modul 1 2 kalkulus-ekstensi
TRANSCRIPT
KALKULUS PROGRAM EKSTENSI
MODUL I
FUNGSI
A. RELASI
Definisi : diberikan himpunan pasangan terurut (x, y) dimana x A & y B maka
himpunaan (x,y)x A & y B dinamakan relasi dari x A ke y B dinotasikan
sebagai xRy
Himpunan A disebut domain (daerah asal)
Himpunan B disebut codomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang mempunyai sifat xRy disebut range atau daerah hasil
(jelajah)
xRy artinya x tidak berelasi dengan y
Contoh 1 :
Diberikan suatu relasi R dari A ke B dengan A = (1,2 & B = a,b,c & R = (1,a), (1,b),
(1,c), (2,a), (2,b), (2,c) maka y suatu relasi 1Ra, 1Rb, 1Rc, 2Ra, 2Rb, dan 2Rc
A B
1 a
2 b
c
Contoh 2 :
Diberikan persamaan y = x2, persamaan ini menghubangkan suatu relasi R antara
bilangan real x dengan bilangan real y
Relasi R adalah R = (x,y)x R & y = x2
= (x,x2)x R
1
Dalam hal ini adalah bilangan real R, codomain juga bilangan real R sedangkan range
adalah y y R & y 0
B. FUNGSI
Kejadian khusus dari suatu relasi
Dalam aljabar digunakan istilah pemetaan
Dalam analisa digunakan istilah fungsi
Definisi : fungsi f dari A ke B ditulis f : A B dimaksud suatu aturan perkawanan yang
pada anggota A menentukan dengan tunggal satu kawan (anggota) dalam B.
Contoh :
Diambil A adalah himpunan lima dadu yaitu A =D1, D2, D3, D4, D5, sedangkan B
adalah himpunan bilangan mata dadu 1 s.d. 6. Jadi B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Apabila kelima
dadu itu kita lemparkan bersama, maka lemparan ini merupakan suatu fungsi f dari A ke
B.
A B
D1 1
D2 2
D3 3
D4 4
D5 5
6
Himpunan 1, 4, 5, 6 yang merupakan bagian dari B disebut range (daerah hasil) dari
fungsi f.
Syarat fungsi :
- domain harus habis
- codomain tidak harus habis
- anggota domain mempunyai kawan tunnggal
2
Latihan :
Apakah diagram dibawah ini menunjukkan suatu fungsi ?
A B A B
1 1 a 4
2 3 b 8
3 9 c 16
4 18 d
e
Suatu fungsi f dari A ke B disajikan dengan tanda :, f : A B. Apabila a A, maka
kawannya (tunggal) di dalam B yang disajikan dengan tanda f (a), dan dikatakan bahwa a
dibawa ke f (a), dengan simbol : a f (a).
Adakalanya suatu fungsi f dapat juga disajikan dengan suatu rumus, misalnya domain
dan codomain adalah himpunan bilangan-bilangan riil : f : a f (a) = a2 adalah suatu
fungsi yang mengawankan bilangan riil anggota domain dengan bilangan riil kuadratnya
di dalam codomain
Domain Codomain
-2 0
-1 1
0 2
1 3
2 4
Sehingga diperoleh hasil : -2 anggota domain mempunyai kawan 4 dalam kodomain atau
f (-2) = 4, dst.
f : x y = f (x) = x2
jadi rumus y = x2 menentukan suatu fungsi
3
C. GRAFIK KUADRAT
Definisi : grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua pasangan (x, f (x)) dalam sistem
koordinat dimana x anggota domain f (x)
Contoh :
f (x) = x2 yang didalam f pada interval (0, 2) maka grafiknya adalah
y
x y = x2 4 f (x) = x2
0 01/2 1/4 31 1 2 4 2. . . . 1. .
1 2 3 4 x
Beberapa fungsi dan model grafiknya:
1. Fungsi Linear
B.U : ax + by = c atau y = mx + n, m = gradien grafik fungsi tersebut.
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 4
Penyelesaian :
Titik potong dengan sumbu x y = 0
y = 2x + 4
0 = 2x + 4
x = -2 A (-2, 0)
Titik potong dengan sumbu y x = 0
y = 2x + 4 = 2 . 0 + 4 = 4 B (0, 4)
Gambar : y
4
4
x -2
2. Fungsi Kuadrat
B.U: Y = ax2 + bx + c
Grafik fungsi kuadrat ini mempunyai :
a. Sumbu simetri pada garis x = -
b. Puncak di P (- , ), dengan D = b2 – 4 ac
c. Apabila a > 0 maka grafik fungsi membuka ke atas
d. Apabila a < 0 maka grafik fungsi membuka ke bawah
e. Apabila ditinjau dari harga diskriminan (D), maka
a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x)
D > 0 D = 0 D < 0
a < 0
a < 0 a < 0
D > 0 D = 0 D < 0 y = f (x) y = f (x) y = f (x)
Contoh :1. Grafik fungsi y = x2
y Sumbu simetri x = - = - = 0
5
Y = x2 Puncak di P (- , ) = (0, 0)
Sebab = = = 0
x
2. Grafik fungsi y = x2 –2x – 3
y Titik potong dengan sumbu x y = 0 x2 –2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0 x = -1 A (-1, 0) x = 3 B (3, 0)
Sumbu simetri di x = - = 1
Puncak P (- , ) = P (1, -4)
Latihan : 1. y = x2 + 2x + 3
2. y = 2x2 + 8x + 6
3. Fungsi Trigonometri
Dipelajari dalam mata kuliah trigonometri
4. Fungsi Komposisi
Definisi : fungsi komposisi yang dinyatakan oleh f.g didefinisi sebagai
(f.g) (x) = f g (x) dengan domain f.g adalah himpunan semua x sehingga g (x)
anggota domain f
g f
x g (x) f (g(x))
Contoh :
Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = 2x – 3
Tentukan : a. f (x) apabila f (x) = (f.g) (x)
b. Domain f (x)
Penyelesaian :
6
a. f (x) = (f.g) (x) = f (g(x)) =
b. Domain dari g adalah (- , ) sedangkan domain f adalah (0, ) sehingga
domain dari f adalah himpunan semua bilangan real x 2x – 3 0 atau x
atau ( , )
Contoh :
Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = x2 – 1
Tentukan : a. f.g
b. g.f
c. Domain untuk f.g & g.f
Penyelesaian :
a. (f.g) (x) = f (g(x)) = f (x2 –1) =
b. (g.f) (x) = g (f (x)) = ( )2 – 1 = x – 1
c. Domain dari f.g adalah himpunan semua bilangan real x x2 – 1 0 atau
(x - 1) (x + 1) 0
+ - + -1 1
yaitu himpunan (- , ) (1, ) atau sama dengan himpunan semua x
diluar (-1,1)
d. Domain (g.f) adalah himpunan semua x dalam domain f yaitu xx 0
5. Fungsi Tangga (Step Function)
Definisi : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x yaitu x = n, jika n x
< n + 1, dengan n bilangan bulat
Dari definisi di atas maka :
1 = 1 -3 = -3
1,2= 1 -4,8= -5
= 0 dst
Contoh :
a. Gambar grafik f (x) = x
b. Gambar grafik f (x) = x - x
7
6. Fungsi Invers
Definisi : fungsi f disebut fungsi matematika (one to one) apabila untuk setiap x1
x2 maka f (x1) f (x2)
Contoh :
a. Diberikan fungsi f (x) = x3 dengan x R
b. Diberikan fungsi f (x) = x2 dengan x R
Definisi : apabila f adalah fungsi satu-satu maka invers fungsi f yang diberi
simbol f-1, adalah fungsi berharga tunggal yang didefinisikan pada
rangenya f dan memenuhi fungsi komposisi :
F (f-1(x)) = x untuk setiap x pada rangenya f
Contoh :
a. Tentukan fungsi invers dari fungsi f (x) = x3
b. Tentukan fungsi invers dari y = 2x –4
c. Tentukan fungsi invers dari y = sin x pada - x
d. Tentukan fungsi invers dari f (x) =
MODUL 2
BARISAN DAN LIMIT FUNGSI
A. BARISAN
Suatu barisan (sequence) dan bilangan-bilangan :
8
a1, a2, a3, ……
adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya
barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah bilangan asli 1, 2, 3, …
Perhatikan fungsi f : N R yang dinyatakan oleh rumus f (n) = n2
f N R
1 12 43 94 16. .. .. .
Maka f (n) akan membentuk sebuah barisan dengan suku-suku :
f (n) = a (n) dan lazim ditulis
= an
dimana : a1 = 12 = 1
a2 = 22 = 4
a3 = 32 = 9
a4 = 42 = 16
……………………
Sehingga diperoleh barisan :
a1, a2, a3, a4, …
atau 1, 4, 9, 16, …
Selanjutnya untuk menyingkat barisan tersebut cukup ditulis dengan notasi an atau n2
Perhatikan contoh barisan berikut :
(i) an dengan an = 1 - mka barisan itu adalah 0, , , , , …
(ii) bn dengan bn = 1 + (-1)n maka barisan itu adalah 0, , , , , , …
9
(iii) cn dengan cn = (-1)n maka barisan tersebut adalah 0, , - , , - , , - , …
(iv) dn dengan dn = 0,999 maka barisan tersebut adalah 0,999, 0,999, 0,999, 0,999,
…
a1 a2a3
-1 0 1
b1 b3b5 b4b2
-1 0 1 c5c3 c1 c4 c2
-1 0 1
d1 d2 d3 -1 0 1
Dari contoh keempat barisan tersebut maka nampak bahwa barisan an dan bn
konvergen (memusat) menuju bilangan 1 artinya bahwa :
a. nilai-nilai barisan itu untuk n b akan saling mendekati 1
b. nilai-nilai untuk n akan saling mendekati
Dengan demikian barisan dn akan konvergen ke 0,999 namun barisan cn tidak
konvergen sebab kedua syarat tidak terpenuhi, suatu baris yang tidak konvergen disebut
divergen
Definisi : baris an disebut konvergen menuju bilangan atau mempunyai limit dan
ditulis :
Limit an =
n
bila dan hanya bila untuk setiap bilangan > 0, terdapatlah bilangan positif N
sedemikian hingga untuk n > N berlaku an - <
y
10
0 N x
n N an - <
Perhatikan barisan an dengan an = 1 - maka untuk n harga an 1, dan dari
gambar nilai an akan semakin berdekatan dan mendekati nilai 1, dengan demikian dapat
didekatkan bahwa :
Barisan an konvergen menuju 1 atau
Limit an = Limit (1 - )
n n
= 1 - = 1 – 0
= 1
Theorema 1. Misalkan an dan bn adalah suatu barisan yang konvergen dan k suatu
konstan maka
1. Limit k = k n 2. Limit k an = k Limit an
n 3. Limit (an bn) = Limit an Limit bn n n n 4. Limit (an.bn) = Limit an . Limit bn
n n n
5. Limit = , asal Limit bn 0
n n
Contoh :
a. Tentukan suku-suku dari an apabila an = , selidiki apakah an konvergen
hitunglah Limit an
n
11
b. Diketahui barisan , , , , …. Tentukan rumus umum suku-suku barisan itu dan
selidiki konvergensinya
c. Tentukan Limit
B. LIMIT FUNGSI
Pengertian limit fungsi adalah merupakan konsep dasar dalam mempelajari
matematika.Untuk itu perhatikan fungsi berikut :
f (x) =
Domain dari f (x) adalah semua real x R kecuali x = 1
Akan diselidiki harga fungsi f (x) untuk mendekati 1, tetapi tidak sama dengan 1, yaitu
nilai f (x) untuk x mendekati 1 dari kanan
x f (x) x f(x) 0 3 2 7 0,25 3,5 1,75 6,5 0,5 4 1,5 6,0 0,75 4,5 1,25 5,5 0,9 4,8 1,1 5,2 0,99 4,98 1,01 5,02 0,999 4,9981 1,001 5,002 0,9999 4,99981 1,0001 5,0002 0,99999 4,99998 1,00001 5,00002
Dari kedua tabel ini nampak bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, maka nilai f
(x) semakin dekat dengan 5.
Perhatikan bahwa apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,0001 yaitu x = 0,9999 dan x
= 1,0001 maka nilai f (x) berbedad dari 5 dengan 0,0002 yaitu f(0,9999) = 4,9998 dan f
(1,0001) = 5, 0002. Demikian pula apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,00001
yaitu x = 0,99999 dan x = 1,00001 maka nilai f (x) berbeda dari 5 dengan 0,00002
yaitu f (0,99999) = 4,99998 dan f (5,00002) = 5,00002, dan seterusnya. Kenyataan ini
dapatlah ditarik kesimpulan bahwa kita dapat membuat harga f(x) cukup dekat denagn 5
apabila x cukup dekat kepada 1. Denagn kata lain harga f(x) - 5 dapat dibuat sekecil
12
mungkin, dengan membuat harga x - 1 cukup kecil. Pernyataan ini secara metematis
dapat dikatakan sebagai berikut :
Untuk sembarang bilangan positif yang diberikan maka terdapatlah bilangan positif > 0
sedemikian hingga 0 < x - a < dan berlaku f(x) - < . Selanjutnya pengertian ini
diangkat sebagai definisi limit fungsi.
Definisi : bilangan disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati suatu harga a, ditulis :
f(x) =
Jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan (bagaimanapun kecilnya)
dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk semua harga x
dimana 0 < x - a < berlaku f(x) - < .
Dengan logika matematika definisi limit dapat ditulis :
f(x) = (A > 0)(E > 0)(Ax)
0 < x - a < f(x) - <
y
L + L L -
0 a x
Contoh :
13
a. Dengan menggunakan definisi dari limit fungsi, perlihatkan bahwa
(x2 + 1) = 2
b. Buktikan bahwa (x2 + 3x + 1) = 1
Teorema
Apabila f(x) = A dan g(x) = B, maka
1. c f(x) = cA c = konstanta
2. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = A + B
3. f(x) . g(x) = f(x) . f(x) = A . B
4. f(x) = f(x) = , asal B 0
g(x)
Contoh :
a. (2x + 3) = ….
b. (x2 – 4x + 1) = ….
c. = ….
d. = ….
e. = ….
f. = ….
g. = ….
14
h. Hitunglah = ….
i. Diberikan f(x) = x2 – 3x, hitunglah
j. Diberikan f(x) = , hitunglah
k. Hitunglah
l. Hitunglah
C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN SUATU FUNGSI
Pada pembicaraan mengenai limit fungsi di atas, kita sama sekali tidak memperhatikan
bagaimana cara pendekatan harga x = a, sehingga harga limit itu ada di x = a.
Walaupun harg ayang didekati aalah sama, mungkin suatu fungsi mempenyai harga limit
yang bebeda-beda dengan cara pendekatan yang berbeda pula.
Untuk hal yang demikian kita mengenal dua macam limit :
1. Limit Kiri
Limit kiri f(x) untuk y mendekati a (harga a didekati oleh x dari kiri), ditulis :
f(x) = f(x)
2. Limit Kanan
Limit kanan f(x) untuk x mendekati a (harga a didekati oleh x dari kanan), ditulis :
f(x) = f(x)
Definisi : bilangan L disebut limit kiri dari fungsi f(x) untuk x mendekati a, apabila untuk
setiap > 0 yang diberikan, terdapatlah > 0, sedemikian hingga untuk semua x di mana
a - < x < a, berlaku f(x) - L <
Tentu saja definisi limit kanan analog
15
Sebagai contoh diambil fungsi f(x) = x untuk x 2
x + 1 untuk x > 2
y
0 2 x
y = x
Diselidiki f(x)
Dipandang untuk x mendekati 2 dari kanan, maka :
f(x)
dst.
16