kalkulus lanjut integral permukaan dan teorema divergensi
DESCRIPTION
KalkulusTRANSCRIPT
-
LAPORAN HASIL PRESENTASI MATA KULIAH MATEMATIKA LANJUT
(Integral Permukaan dan Teorema Divergensi)
Disusun Oleh :
Kelompok II :
Sumarni H12112271
Nahliyani H12112272
Rahmadana H12112255
Boghi Kurniawan H12112263
Wahyudi Usman H11112273
Rijal Fajriatul H11112274
Aswad H. M H11112276
Risnayni H11112012
Arimbi Gita H11112272
Mentari H11112266
Dosen:
Dr. Mawardi, M. Sc
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
-
1. TEMPAT DAN WAKTU
Waktu pelaksanaan yaitu pada :
Hari/Tanggal : Senin,25 dan 30 November 2013
Waktu : 12.50-15.00 dan 07.30-09.00 WITA
Tempat : Ruang PB 231 dan Lt.7
2. PESERTA
Hampir semua mahasiswa kelas Matematika Lanjut C semester III.
3. MATERI PRESENTASI
Materi yang dipresentasikan yaitu Integral Permukaan dan Teorema Divergensi
pada halaman 156-163 (referensi dari fileMatematika Lanjut).
4. PROSES JALANNYA PRESENTASI
1) Penyaji I : Sumarni (hadir)
Halaman 156:
Pada Bagian 4.1, kita telah belajar bagaimana cara untuk mengintegrasikan sepanjang
kurva. Sekarang kita akan belajar bagaimana mengintegrasikan permukaan di R3,
seperti pada bola atau parabola. Mengingat materi di bagian 1.8,bagaimana kita
mengidentifikasi poin (x, y, z) pada kurva C di R3, dengan parameter x = x (t), y = y
(t), z = z (t),a t b, dengan titik-titik terminal dari vektor posisi
(t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k untuk t dalam [a, b].
Ide di balik parameterisasi kurva adalah bahwa hal itu mengubah subset dari R1
(biasanya interval [a, b]) ke kurva di R2 atau R
3 (lihat Gambar 4.4.1).
-
Gambar 4.4.1 Parameterisasi kurva C di R3
Sama halnya dengan bagaimana kita menggunakan parameterisasi kurva untuk
menentukan garis sepanjang kurva, kita akan menggunakan parameterisasi kurva
untuk menentukan permukaan. Kita akan menggunakan dua variabel, u dan v, untuk
parameter sebuah permukaan di R3 :
x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v),
untuk(u, v) di beberapa daerah R di R2 (lihat Gambar 4.4.2).
Gambar 4.4.2 Parameterisasi permukaan di R3
Dalam hal ini, vektor posisi pada permukaan diberikan oleh fungsi bernilai vector :
(u,v) = x(u,v)I + y(u,v)j + z(u,v)k for (u,v) in R
-
2) Penyaji 2 : Wahyudi Usman (hadir)
Halaman 157
Karena (u, v) adalah fungsi dari dua variabel, maka turunan parsial
dan
di R
ditentukan dari :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Parameterisasi dapat dianggap sebagai transformasi daerah di R2 ( di
bidang uv) ke permukaan 2 dimensi di R3. Parameterisasi permukaan ini kadang-
kadang disebut patch , berdasarkan gagasan menambal wilayah R ke dengan
cara grid seperti ditunjukkan pada Gambar 4.4.2 .Bahkan,petak-petak di R membawa
kita bagaimana kita akan menentukan permukaan atas . Sepanjang petak-petak
vertikal di R, u variabel konstan . Jadi baris tersebut akan dipetakan menjadi kurva
pada , dan u variabel konstan sepanjang r vektor posisi ( u , v ). Dengan demikian ,
vektor singgung kurva pada suatu titik ( u , v ) adalah
. Demikian pula, petak-
petak horisontal dalam R dipetakan ke kurva pada dengan
.
Sekarang ambil titik ( u , v ) di R, dengan asumsi sudut kiri bawah dari salah
satu kotak persegi panjang bagian dalam R , seperti yang ditunjukkan pada Gambar
4.4.2 .Misalkan persegi panjang ini memiliki lebar kecil dan tinggi masing-masing
dan . Poin sudut persegi panjang adalah( u , v ) , ( u + , v ) , (u + , v +
) dan ( u , v + ) .Jadi luas persegi panjang A = .
Kemudian persegi panjang akan dipetakan oleh parameterisasi tadi ke beberapa
bagian dari permukaan ,
Untuk dan yang cukup kecil , akan memiliki luas permukaan ( sebut
saja ) yang sangat dekat dengan luas jajaran genjang yang memiliki sisi yang
berdekatan ( u + , v ) ( u , v )( sesuai dengan segmen garis dari ( u , v ) ke ( u
+ , v ) di R ) dan ( u , v + ) ( u , v )( sesuai dengan segmen garis dari ( u ,
v ) ke ( u , v + ) di ) .
Diterapkan pada fungsi dari dua variabel ,
-
( ) ( )
( ) ( )
Jadi,luas permukaan elemen d adalah
( ) ( ) ( ) ( ) (
) (
)
Dengan demikian, total luas permukaan S dari kira-kira jumlahnya
, atas persegi panjang di R. Mengambil batas bahwa jumlah sebagai
diagonal dari persegi panjang terbesar ke 0 memberikan :
3) Penyaji Ketiga : Nahliyani (hadir)
Halaman 158-159
Kita akan menulis integral ganda di sebelah kanan menggunakan notasi khusus :
Ini adalah kasus khusus dari integral permukaan sepanjang permukaan , di mana
elemen luas permukaan d dapat dianggap sebagai 1d. Menggantikan 1 terhadap
fungsi bernilai real f (x, y, z) didefinisikandi R3, seperti berikut:
Definisi 4.3. Misalkan permukaan di R3 dengan parameter x = x (u, v), y = y (u,
v),z = z (u, v), untuk (u, v) di beberapa daerah R di R2. Misalkan (u, v) = x (u, v) i +
y (u, v) j + z (u, v) k adalah vektor posisi untuk setiap titik pada , dan misalkan f (x,
y, z) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada beberapa
-
subset dari R3 yang berisi . Integral permukaan f (x, y, z) di atas permukaan
adalah
( ) ( ( ) ( ) ( ))
Secara khusus, luas permukaan S dari adalah
Contoh 4.9. Sebuah torus T adalah sebuah permukaan yang diperoleh dengan
memutar lingkaran dengan jari-jari dalam bidang yz sekitar sumbu z, di mana pusat
lingkaran adalah pada jarak b dari sumbu z (0
-
Maka vector posisinya : ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sehingga,
( ) ( )
dan menghitung perkalian silangnya :
( ) ( ) (
)
Yang memiliki jarak :
( )
Dengan demikian, luas permukaan T adalah
( )
|
-
4) Penyaji keempat : Risnayni (hadir)
Contoh lain( dari referensi lain) :
Hitung luas permukaan dibawah bidang z=4
Jawab:
Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada darah S(daerah yang dibatasi lingkaran ).
Misalkan ( ) . Maka diperoleh dan
Sehingga luas permukaan G adalah
Dengan {( ) }
Dengan koordinat polar, maka batasan S berubah menjadi
{( ) }
Jadi,
( )
( ) |
( )
Dan latihan halaman 163 no.1 :
1. (x,y,z) = xi + 2yj + 3zk , : x2 + y2 + z2 = 9
Jawab :
Div =
+
+
= 1 + 2 + 3
= 6
dv =
dv = 6
dv = 6 vol (s) = 6 . 4 (3)3/3
= 6 .4 /3 (27)
= 216
-
5) Penyaji Kelima : Arimbi Gita (hadir)
Halaman 160
Definisi 4.4. Misalkan merupakan permukaan di R3 dan misalkan (x, y, z) = f1 (x,
y, z) i + f2 (x, y, z) j + f3 (x, y, z) k menjadi medan vektor yang didefinisikan pada
beberapa subset dari R3 yang berisi . Integral permukaan f di atas adalah
dimana, di setiap titik di , n adalah satuan luar vektor normal ke .
6) Penyaji Keenam : Aswad H.Mangalaeng (hadir)
Halaman 160-161
Contoh 4.10. Evaluasi integral permukaan
,dimana (x, y, z) = yzi + xzj +
xyk dan adalah bagian dari x + y + z = 1 dengan x 0, y 0, dan z 0, dengan n
menunjuk ke arah z positif (lihat Gambar 4.4.5).
Solusi: Karena vektor = (1,1,1) adalah normal untuk x + y + z = 1 kemudian
membagi oleh panjangnya menghasilkan vector n =(
). Kita sekarang perlu
parameterisasi Seperti yang bisa kita lihat dari Gambar 4.4.5, memproyeksikan
ke xy menghasilkan daerah segitiga R = {(x, y): 0 x 1, 0 y 1 x}. Jadi,
dengan menggunakan (u, v) bukan (x, y), kita melihat bahwa
( ) untuk
adalah parameterisasi dari atas R (karena z = 1 (x + y) pada ). Jadi pada ,
( ) (
)
( )
(( ) )
(( )( ( )) )
-
(( ) ( ) )
Untuk (u,v) di R dan untuk (u,v) = x(u,v)I + y(u,v)j + z(u,v)k = ui + vj + (1-(u +
v))k sehingga
( ) ( ) ( )
Dengan demikian, mengintegrasikan R menggunakan irisan vertikal (misalnya seperti
yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 4.4.5 sehingga
( ( ( ) ( ) ( )) )
(( ) ( ) )
(( )
( )
|
)
(
)
7) Penyaji ketujuh : Rahmadana (hadir)
Halaman : 162
Teorema 4.8 : Misalkan merupakan permukaan tertutup di R3 yang dibatasi oleh S,
dan misalkan (x, y, z) = f1 (x, y, z) i + f2 (x, y, z) j + f3 (x, y, z) k menjadi medan
vektor yang didefinisikan pada beberapa subset dari R3
yang berisi .
-
Contoh soal :
Tentukan
dimana (x,y,z) = xi + yj + zk , = x2 + y2 + z2
Solusi :
Div =
+
+
= 1 + 1 + 1
= 3
( ) ( )
8) Penyaji Kedelapan : Mentari (hadir)
Halaman 163
Teorema 4.9 :
Jika fluks dari medan vektor f adalah nol melalui setiap permukaan tertutup yang
memuat titik tertentu, maka div f = 0 pada titik tersebut.
Bukti: Dengan rumus (4.33), pada titik tertentu (x, y, z)
Div (x,y,z) =
untuk permukaan tertutup yang berisi (x, y, z)
,sehingga
=
(0) dengan asumsi bahwa fluks melalui masing-masing
adalah nol, sehingga,
=
= 0
Terakhir,diperoleh notasi :
(x,y,z) dan
9) Penyaji kesembilan : Rijal Fajriatul (hadir)
-
Halaman 163
Latihan no.2 :
2. (x,y,z) = xi + yj + zk , : S = {(x,y,z): 0 x,y,z 1}
Solusi :
Div =
+
+
= 1 + 1 + 1
= 3
=
=
dy dz
=
dz
=
= 3
DAFTAR PUSTAKA
Corral Michael. Vector Calculus. 2008
Spiegel Murray and Wrede Robert C. KALKULUS LANJUT EDISI KEDUA.