clase sistemas - convolucion - deconvolucion

Procesamiento Digital de Señales Sistemas discretos LTI Septiembre de 2009 1 / 60

Sistemas AutocorrelaciónConvolucion Deconvolucion

Sistemas Discretos LTISistemas Discretos LTI

MSc. Bioing Rubén Acevedoracevedo@bioingenieria.edu.ar

Procesamiento Digital de SeñalesLicenciatura en Bioinformática

FI-UNER

Septiembre de 2009

Organización

1 Sistemas

2 Convolucion

3 Deconvolucion

3 Autocorrelación

Sistemas

DefinicionesDefiniciones

• “Una colección de objetos que están dispuestos de una forma ordenada, de acuerdo a su finalidad”.

• “Un ente formado por un conjunto de elementos que evolucionan coordinadamente según determinadas reglas”.

• “Cualquier parte de un ambiente que causa que ciertas señales que existen en él se encuentren relacionadas”.

• “Cualquier proceso que produce una transformación de señales”.

Sistemas

La interrelación de las señales impuesta por las

leyes que gobiernan al sistema se denomina

Regla ó Dinámica del sistemaRegla ó Dinámica del sistema

Sistemas

Sistemas como entidades abstractas → caja negra.

h [n] y [n]x [n]

Sistemas de tiempo discreto

Sistemas

ClasificaciónClasificación

Cantidad de entradas y salidas

Causales o no causales

Parámetros concentrados o distribuidos

Inversibles o no inversibles

Estables o inestables

Con memoria o sin memoria

Variantes o invariantes en el tiempo

Lineales o no lineales

Sistemas

ClasificaciónClasificación Cantidad de entradasCantidad de entradas

h[n] y[n]x[n]Single Input Single Output

x1[n]x2[n] h[n] y[n]Multiple Input Single Output

y1[n]y2[n]h[n]x[n]Single Input Multiple Output

y1[n]y2[n]

x1[n]x2[n] h[n]Multiple Input Multiple Output

Sistemas

ClasificaciónClasificación CausalesCausales

Un sistema es causal si la salida en cualquier instante depende únicamente de los valores presentes y/o pasados de la entrada, y de valores pasados de la salida.

Suele llamarse no anticipativo ya que la salida del sistema no se anticipa considerando valores futuros de la entrada.

Sistemas

ClasificaciónClasificación Parámetros concentradosParámetros concentrados

La entrada afecta en forma simultánea a cada elemento del sistema.

Se pueden describir por ecuaciones diferenciales ordinarias.

Parámetros distribuidosParámetros distribuidos

Los efectos se distribuye en las dimensiones espaciales del sistema.

Se describen por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Sistemas

ClasificaciónClasificación InversiblesInversibles

Un sistema es inversible si a partir de la salida sepuede encontrar determinísticamente la entrada.

Ejemplo: y[n] = 2. x[n] → z[n] = 0,5.y[n]

h[n] h-1[n]y(n) z[n] = x(n)x(n)

Sistemas

ClasificaciónClasificación EstabilidadEstabilidad

Si la entrada a un sistema estable está acotada, entonces la salida también debe ser acotada (no diverge).

x[n] entrada

y[n] salida

Sistema inestable Sistema estable

Sistemas

ClasificaciónClasificación Con memoriaCon memoria

La salida en un instante de tiempo depende de la

entrada en ese instante y en instante anteriores.

Sin memoriaSin memoria

La salida en un instante de tiempo depende

únicamente de su entrada en ese instante.

Sistemas

ClasificaciónClasificación Invariante en el tiempoInvariante en el tiempo

Es aquel en el cual sus parámetros no se modifican con el tiempo.

Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida

Variante en el tiempoVariante en el tiempo

Un desplazamiento de la entrada causa el mismo desplazamiento de la salida,

pero la respuesta es diferente de la que se obtiene con desplazamiento nulo.

Sistemas

ClasificaciónClasificación LinealesLineales

Son los sistemas que cumplen con el principio de superposición.

a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n]

La salida de un sistema lineal a una entrada nula es también nula.

Un sistema lineal sólo modifica el espectro de frecuencias de la entrada.

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI

La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e

invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante

ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.

La dinámica de los sistemas de tiempo discreto lineales e

invariantes en el tiempo (LTI) se representan mediante

ecuaciones en diferencias lineales y de coeficientes constantes.

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI TiposTipos

Sistemas Moving Average (MA) Sistemas de respuesta finita al impulso (FIR)

Sistemas Auto Regresivos (AR)

Sistemas ARMA

Sistemas de respuesta infinita al impulso (IIR)

Sistemas

Sistemas LTISistemas LTI RepresentaciónRepresentación

Una forma de representar sistemas LTI discretos es mediante diagramas de bloques.

Estos facilitan la interpretación de su comportamiento en forma gráfica.

Sistemas

+x1[n]

x1[n] + x2[n]Suma

Multiplicación por escalar

Retardo

x1[n]a

a.x1[n]

Dx[n] x[n-1]

Sistemas

Ejemplo: diagrama de bloques del sistema y[n] = 3x[n] + 5x[n-1] - 2y[n-1]

Sistemas

Paralelo

Convolucion

DefiniciónDefinición

x[n]: entrada al sistema.

h[n]: respuesta al impulso del sistema.

y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].

x[n] y[n]h[n]

Sistema LTI

Convolucion

DefiniciónDefinición Propiedades de sistemas LTIPropiedades de sistemas LTI

x1[n] → y1[n] x2[n] → y2[n]

a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n] Linealidad

x[n]→ y[n]

x[n-k] → y[n-k]Invariancia temporal

Convolucion

DefiniciónDefinición Sumatoria de impulsosSumatoria de impulsos

∑∞

−∞=−δ=

k]kn[].k[x]n[x

Convolucion

0i)]ik[(h)i(x)k(y

Convolucion

PropiedadesPropiedades

• Conmutativasi existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x

• Asociativasi existe (x ∗ y) ∗ z → (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

• Distributivasi existen x ∗ y y x ∗ z → x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z

• Conmutativa con respecto al producto por un escalarsi existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x

Convolucion

CálculoCálculo

Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]

Entrada: x[n] = [1, 2, 2]

x[n] h[n]

1 10,5

Convolucion

CálculoCálculo

• Multiplicación término a término

• Sumatoria de convolución

• Matricialmente

Convolucion

CálculoCálculo Multiplicación término a términoMultiplicación término a término

h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]

h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]

x [1].δ[n-1]

x[2].δ[n-2]

x [0].δ[n]

y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]

y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]

h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]

Convolucion

CálculoCálculox[-n]

x[1-n]

x[2-n]

h[n]Sumatoria de convoluciónSumatoria de convolución

y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0

y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0

y[0] = x[-n] . h[n] = 2

y[1] = x[1-n] . h[n] = 5

y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = x[3-n] . h[n] = 3

y[4] = x[4-n] . h[n] = 1

y[5] = x[5-n] . h[n] = 0

y[6] = x[6-n] . h[n] = 0

x[3-n]

x[4-n]

Convolucion

CálculoCálculo MatricialMatricial

y[0] = h[0].x[0]y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]...

(0) (0) 0 0 0 .. (0)(1) (1) (0) 0 0 .. (1)

•(2) (2) (1) (0) 0 .. (2)

...... ................................. .......

y h xy h h xy h h h x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y = H.x

Convolucion

Convolucion circularConvolucion circular

TFx(t) ∗ y(t) → X(f) . Y(f)

TDFx[n] ∗ y [n] → X [k] . Y[k]x

Convolucion

h[n]xp[-n]

xp[1-n]

xp[2-n]

Convolucion circularConvolucion circular

xp[3-n]

y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5

y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3

y[0] = xp[-n] . h[n] = 3

y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5

y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3

y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3

y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5

y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5

Convolucion

Convolucion circularConvolucion circular Convolucion lineal vía TDFConvolucion lineal vía TDF

x1[n] → N muestras

x2[n] → N muestras

x1m[n] → N+N-1 muestras

x2[n] → N+N-1 muestras

x1[n] → x1m[n] → X1m[k]

→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n] x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]

x2[n] → x2m[n] → X1m[k]

Deconvolucion

h [n] ?y [n]x [n]Identificación

Problema inverso

h [n]y [n]x [n] ?Control

Deconvolucion

h-1 [n]

y[n] = x[n] ∗ h[n] x[n] = y[n] ∗ h-1[n]

• Matricialmente

• División término a término

• Vía Transformada Discreta de Fourier

CálculoCálculo

Deconvolucion

CálculoCálculo MatricialMatricial

Identificación: y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]

Control: y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]

Deconvolucion

CálculoCálculo División término a términoDivisión término a término

y[n] h[n]

2 5 6.5 3 1 2 1 0.5Derecha a izquierda:

y[n] h[n]

2 1 0.52 5 6.5 3 1Izquierda a derecha:

Deconvolucion

CálculoCálculo Vía TDFVía TDF

x[n] N muestras ⇒ X[k] N muestras

h[n] M muestras ⇒ H[k] M muestras

y[n] N+M-1muestras ⇒ Y[k] N+M-1 muestras

Convolucion circular

Deconvolucion

CálculoCálculo Vía TDFVía TDF

Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]

Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros

Paso 3: calcular H-1[k]

Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]

Paso 5: antitransformar con TDFI

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido

h [n]y [n]x [n]

y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la entradaRuido en la entrada

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida

r[n]= sin(2.π.1.T)

r[n]= sin(2.π.5.T)

r[n]= sin(2.π.10.T)

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]

Deconvolucion

Efectos del ruidoEfectos del ruido Ruido en la salidaRuido en la salida

Autocorrelación

Electroencefalograma

Electromiograma

Potenciales evocados auditivos

Autocorrelación

Proceso aleatorio

, τ = t2 - t1)]2t(X)1t(X[E)(xx =τγ

Autocorrelación

Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(x)t(x)(Rxx

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗ +=n

xx knx.nx)k(r

Función de autocorrelación

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗ +=n

xy kny.nx)k(r

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(y)t(x)(R xy

Función de correlación cruzada

Autocorrelación

InterpretaciónInterpretación

Espacio de señales + Producto interno

[ ] [ ]∑∞

−∞=+=

nknxnx)k(xxr , para -∞ ≤ k ≤ ∞

[ ] [ ]∑−−

0nknxnx

N1)k(xxr , para 0 ≤ k ≤ N-1

Autocorrelación

PropiedadesPropiedades

• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.

• rxy(k) = ryx(-k)

• rxx(k) = rxx(-k)

• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)

• |rxx(k)| ≤ rxx(0)

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Medición de tiemposMedición de tiempos

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Detección de señalesDetección de señales

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 1 1 . 2 1 . 4

T i e m p o ( s e g )

- 0 . 5

Artefacto del estímulo Onda MSEMG voluntario

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Extracción de señalesExtracción de señales

Autocorrelación

AplicacionesAplicaciones Estimación espectralEstimación espectral

Teorema de Wiener – Khintchine

τ=ττ= π−

−∫∫ d.e).t(x

Td.e).(R)f(P ftj

Toxxxx

Método de Bartlett

Método de Welch

Método de Blackman - Tukey

[ ]∑−

−−=

π−=1

mfjxxxx e.mr)f(P

Autocorrelación

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

[ ] [ ]∑∞

−∞=+=

nxy kny.nx)k(r Correlación cruzada de y[n] y x[n].

∑∞

−∞=−=

kxy ]kn[y].k[x]n[conv Convolución lineal de y[n] y x[n].

Autocorrelación

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

Paso 1: reflejar una de las secuencias.

Paso 2: desplazamiento de una secuencia.

Paso 3: producto de las secuencias.

Paso 4: suma de la secuencia producto.

Convolución

Paso 1: desplazamiento de una secuencia.

Paso 2: producto de las secuencias.

Paso 3: suma de la secuencia producto.

Correlación

rxy(k) = x(k)∗y(-k)

Fin de la claseFin de la clase

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