cardano%2c tartaglia y ferrari

indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari

ECUACIONES CUBICAS

W. Parra, R. Cardenas, L. CastroUniversidad Pedagogica NacionalDepartamento de Matematicas

15 de junio de 2012

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Temario1 Historia2 Tartaglia3 Cardano4 Ferrari

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Historia

Scipione Del Fierro

Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia

Tartaglia Vs Cardano

Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia

Tartaglia regresa a casa

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Historia

Scipione Del Fierro

Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia

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Tartaglia

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.

Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal

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Tartaglia

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.

Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal

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Tartaglia

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.

Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal

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Tartaglia

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.

Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

108

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Ecuacion a solucionar:

x3 + 6x = 20

Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia

u − v = 20

u × v = (6

3)3

Despujando u y reemplanzando obtenemos

v2 + 20v − 20 = 0

Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = −10 +√

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Metodo de Tartaglia

Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos

u = 10 +√

108

El valor de x sera entonces:

x =3

√10 +

√108− 3

√−10 +

√108

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Metodo de Tartaglia

Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos

u = 10 +√

108

El valor de x sera entonces:

x =3

√10 +

√108− 3

√−10 +

√108

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Metodo de Tartaglia

Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos

u = 10 +√

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El valor de x sera entonces:

x =3

√10 +

√108− 3

√−10 +

√108

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Metodo de Tartaglia

Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos

u = 10 +√

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El valor de x sera entonces:

x =3

√10 +

√108− 3

√−10 +

√108

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Metodo de Tartaglia

Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos

u = 10 +√

108

El valor de x sera entonces:

x =3

√10 +

√108− 3

√−10 +

√108

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Cardano

Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.

• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.

• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).

• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.

Metodo 1, Modelo del cubo

x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)

Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado

x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Ecuacion a resolver

x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0

sustituimos a x por

x = t +7

3sustituimos

t3 − 1

3

t

− 2

27= 0

Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos

v =−q +

√p2 − 4q

2

v = − 1

27

u =1

27

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Metodo de Cardano

Reemplazamos

t =3

√1

27− 3

√− 1

27=

2

3

Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x

x = t +7

3→ x =

2

3+

7

3

El valor de x serax = 3

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Metodo de Cardano

Reemplazamos

t =3

√1

27− 3

√− 1

27=

2

3

Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x

x = t +7

3→ x =

2

3+

7

3

El valor de x serax = 3

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Metodo de Cardano

Reemplazamos

t =3

√1

27− 3

√− 1

27=

2

3

Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x

x = t +7

3→ x =

2

3+

7

3

El valor de x serax = 3

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Metodo de Cardano

Reemplazamos

t =3

√1

27− 3

√− 1

27=

2

3

Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x

x = t +7

3→ x =

2

3+

7

3

El valor de x serax = 3

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Ferrari

Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.

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Ferrari

Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.

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Ferrari

Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.

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Metodo de Ferrari

Ecuacion a resolver

x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11

La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2

x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11

(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11

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Metodo de Ferrari

Ecuacion a resolver

x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11

La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2

x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11

(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11

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Metodo de Ferrari

Ecuacion a resolver

x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11

La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2

x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11

(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11

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Metodo de Ferrari

Ecuacion a resolver

x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11

La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2

x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11

(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11

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Metodo de Ferrari

Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.

(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0

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Metodo de Ferrari

Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.

(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0

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Metodo de Ferrari

Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.

(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0

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Metodo de Ferrari

Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica

−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0

y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0

La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

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Metodo de Ferrari

Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica

−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0

y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0

La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

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Metodo de Ferrari

Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica

−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0

y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0

La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

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Metodo de Ferrari

Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica

−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0

y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0

La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

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Metodo de Ferrari

Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica

−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0

y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0

La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion

(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuacion cuarticapropuesta inicialmente.

indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari

Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuacion cuarticapropuesta inicialmente.

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuacion cuarticapropuesta inicialmente.

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuacion cuarticapropuesta inicialmente.

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Metodo de Ferrari

Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.

(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2

(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)

(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2

x2 + 3x + 5 = 5x + 6

x2 − 2x − 1 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones

1 +√

2 ; 1−√

2

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