cardano%2c tartaglia y ferrari
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indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
ECUACIONES CUBICAS
W. Parra, R. Cardenas, L. CastroUniversidad Pedagogica NacionalDepartamento de Matematicas
15 de junio de 2012
indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Temario1 Historia2 Tartaglia3 Cardano4 Ferrari
indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
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Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
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Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
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Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
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Scipione Del Fierro
Fiori (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (discıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
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Tartaglia
Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.
Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.
Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal
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Tartaglia
Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.
Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.
Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal
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Tartaglia
Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.
Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.
Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal
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Tartaglia
Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.
Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igualal tercio cubo de la cosa neto.
Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restadoste dara a ti la cosa principal
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
108
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
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Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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x3 + 6x = 20
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u − v = 20
u × v = (6
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Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
108
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Metodo de Tartaglia
Ecuacion a solucionar:
x3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u − v = 20
u × v = (6
3)3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadratica sugerida por Tartaglia a v
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = −10 +√
108
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Metodo de Tartaglia
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
u = 10 +√
108
El valor de x sera entonces:
x =3
√10 +
√108− 3
√−10 +
√108
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Metodo de Tartaglia
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
u = 10 +√
108
El valor de x sera entonces:
x =3
√10 +
√108− 3
√−10 +
√108
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Metodo de Tartaglia
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
u = 10 +√
108
El valor de x sera entonces:
x =3
√10 +
√108− 3
√−10 +
√108
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Metodo de Tartaglia
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
u = 10 +√
108
El valor de x sera entonces:
x =3
√10 +
√108− 3
√−10 +
√108
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Metodo de Tartaglia
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
u = 10 +√
108
El valor de x sera entonces:
x =3
√10 +
√108− 3
√−10 +
√108
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matematico (1501), Milan-(1576),Roma.
• Oficios: Profesor de Matematicas, Profesor de Medicina yJugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Practica de Aritmetica y las medicionessimples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae(1572).
• Ferrari, discıpulo, ecuacion general de cuarto grado.
Metodo 1, Modelo del cubo
x3 − s3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R2 (1)
Metodo 2, Formula general de ecuaciones de terce grado
x3 + Ax2 + Bx + c = 0 (2)
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Metodo de Cardano
Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
27
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Metodo de Cardano
Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Metodo de Cardano
Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Metodo de Cardano
Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
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3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Ecuacion a resolver
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sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
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Metodo de Cardano
Ecuacion a resolver
x3 − 7x2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
x = t +7
3sustituimos
t3 − 1
3
t
− 2
27= 0
Aplicando el metodo de tartaglia a la ecuacion anterior obtenemos
v =−q +
√p2 − 4q
2
v = − 1
27
u =1
27
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Metodo de Cardano
Reemplazamos
t =3
√1
27− 3
√− 1
27=
2
3
Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x
x = t +7
3→ x =
2
3+
7
3
El valor de x serax = 3
indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Metodo de Cardano
Reemplazamos
t =3
√1
27− 3
√− 1
27=
2
3
Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x
x = t +7
3→ x =
2
3+
7
3
El valor de x serax = 3
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Metodo de Cardano
Reemplazamos
t =3
√1
27− 3
√− 1
27=
2
3
Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x
x = t +7
3→ x =
2
3+
7
3
El valor de x serax = 3
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Metodo de Cardano
Reemplazamos
t =3
√1
27− 3
√− 1
27=
2
3
Por ultimo, retomamos la primera sustitucion y obtenemos el valorde x
x = t +7
3→ x =
2
3+
7
3
El valor de x serax = 3
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Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.
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Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.
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Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la solucon de las cuicas que Tartagliales habıa comunicado. Ferrari descubrio tambien la solucion generalde las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumentoreducıa el problema a resolver una cubica por el metodo deTartaglia, como Cardano habıa jurado a Tartaglia que no publicarıalas solucion de las cubicas, esos tampoco podıa publicar lasoluciones de las cuarticas ya que dependıan de la solucion de lasecuaciones cubicas.
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Metodo de Ferrari
Ecuacion a resolver
x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2
x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11
(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11
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Metodo de Ferrari
Ecuacion a resolver
x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2
x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11
(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11
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Ecuacion a resolver
x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2
x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11
(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11
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Metodo de Ferrari
Ecuacion a resolver
x4 + 6x3 = 6x2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al ladoizquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x2
x4 + 6x3 + 9x2 = 15x2 + 30x + 11
(x2 + 3x)2 = 15x2 + 30x + 11
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Metodo de Ferrari
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.
(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0
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Metodo de Ferrari
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.
(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0
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Metodo de Ferrari
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por loque se hace necesario adicionar a la ecuacion la expresion2yx2 + 6xy + y2,por lo que obtenemos la siguiente ecuacin.
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que laexpresion del lado derecho de la igualdad (ecuacion de segundogrado) sea un cuadrado perfecto, por tal razon se debe buscar queel discriminante de la ecuacion de segundo grado se igual a cero,por tanto.
(30 + 6y)2 − 4(15 + 2y)(11 + y2) = 0
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Metodo de Ferrari
Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica
−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0
y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
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Metodo de Ferrari
Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica
−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0
y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
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Metodo de Ferrari
Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica
−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0
y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
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Metodo de Ferrari
Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica
−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0
y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
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Metodo de Ferrari
Desarrollando el producto se obtiene una ecuacion cubica
−8y3 − 24y2 + 272y + 240 = 0 = 0
y3 + 3y2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuacion cubica la resolvemos con el metodo deTartaglia. Una de las soluciones de la ecuacion es y = 5, entonces,reemplazamos el valor de y en la ecuacion
(x2 + 3x + y)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2)
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Metodo de Ferrari
Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.
(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones
1 +√
2 ; 1−√
2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuacion cuarticapropuesta inicialmente.
indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Metodo de Ferrari
Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.
(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones
1 +√
2 ; 1−√
2
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Metodo de Ferrari
Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.
(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones
1 +√
2 ; 1−√
2
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Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.
(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuacion de segundo grado, obtenemos lassoluciones
1 +√
2 ; 1−√
2
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(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
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1 +√
2 ; 1−√
2
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(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
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2 ; 1−√
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Reemplazando y operando obtendremos la ecuacion de segundogrado.
(x2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y)x2 + (30 + 6y)x + (11 + y2
(x2 + 3x + 5)2 = (25)x2 + (60)x + (36)
(x2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x2 + 3x + 5 = 5x + 6
x2 − 2x − 1 = 0
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2 ; 1−√
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