capituloii gradiente

INGENIERÍA ECONÓMICA

MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• Relación prestamista - prestatario.

• Formas de pago de un préstamo.

• Pago único.

• Serie uniforme.

• Amortización constante.

MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• Serie gradiente.

• Serie gradiente porcentual.

• Equivalencias para formas de pago.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

• Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo.

• Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo.

Elementos de un préstamo: Magnitud o monto. Valor de la tasa de interés. Plazo.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

Forma de pago. Garantía o fiador. Requisitos de capacidad de pago. Periodo de gracia: tiempo durante el cual se

pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.

Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses.

RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• SERIE UNIFORME:

Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.

P

A A A A A

0

1 2 3 4 n

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE:

El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.

A2

AnA3

P

1 2 3 n

A1

0

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• SERIE GRADIENTE:

El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).

1 2 n

A1A2

An

P

3

A3

0

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

• SERIE GRADIENTE PORCENTUAL:

El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).

A1 A2

An

P

1 2 n0

PAGO ÚNICO

F = P(1+i)n

P

F

1 2 n0

PAGO ÚNICO

Demostración de la formula de valor futuro, donde:P: préstamoi: tasa de interésn: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período KTotal intereses: I = Total pagado-Total prestado

I = F-P (1)

PAGO ÚNICOFIN DE

PERÍODOINTERESES DEL PERÍODO

SALDO AL FINALDEL PERÍODO

0 0 P1 i.P P + iP = P(1. + i)

2 i.P(1+i)P(1 + i) + iP(1 + i)= p(1 + i)2

3 IP(1 + i)2 P(1 + i)2 + iP(1 + i)2

= P(1 + i)3

-- -- ---- -- ---- -- --K -- Sk = P(1 + i)k (2)-- -- ---- -- ---- -- --n -- F = P(1 + i)n (3)

PAGO ÚNICO

EJEMPLO:

Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?

Valor futuro: F = P(1+i)n (3)Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´)Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01

SERIE UNIFORMEP

A A A A A

0

1 2 3 4 n

A = P * i (1+i)n (1+i)n -1

SERIE UNIFORME

Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde:

A: cuota uniforme. ak: abono o parte de la cuota que amortiza la deuda.Ik: parte de la cuota que cubre intereses.

Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.

SERIE UNIFORME

P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas.

Pk = A * (1+i)-k según formula (3)P = Pk por principio N°2P = A * (1+i)-k

P = A * (1+i)-k P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*)

P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)

SERIE UNIFORME

Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A.

A = P * i (1+i)n (4) (1+i)n -1

El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n)

Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)

SERIE UNIFORME

Despejando P de (4) tendremos:

Para las tablas:

P = A * (P/A,i,n) (4’’’)

(1+i)n - 1 i (1+i)n

P = A * (4’’)

P

1 2

........ ...

3 4

SK

k+1 n

K PAGADAS

(n-k)

PENDIENTES

0k

A A AA A A A A

SERIE UNIFORME

Saldo o deuda:

SERIE UNIFORME

Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes.

Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)

Sk = A (1+i)n-k -1 i (1+i)n-k (5)

SERIE UNIFORME

En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses?

ak = Sk-1 - Sk (6)

Ik = i S(k-1) (7) Ik= A- ak

Comportamiento del saldo (Sk) para la forma de pago serie uniforme

0 1 2 3 4 . . . nk

Sk

P

En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.

SERIE UNIFORMEEjemplo:Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual?

Solución:P

A A A A A

0

1 2 3 24

SERIE UNIFORME

A =1000000 0.005 (1+0.005)24

(1+0.005)24 -1= $44.320,61

•Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes.

Solución:Se debe transladar el préstamo a un periodoantes con la formula de pago único y luegoaplicamos la formula de A.

SERIE UNIFORME

P

0

0´ 1 2 3 4 23 24

A A A A A

F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87

A = 1000000 0.005 (1+0.005)23 (1+0.005)23 -1

= $ 44.100

SERIE UNIFORME

•Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19.

Solución: S19

$1000.000

1 2 3

.......

24

19 PAGADAS

(24-19)

019

A A A A A A A A

i:0.5%

SERIE UNIFORME

S19 = 44.320,61 (1+0.005)24-19 -1 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399

• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés?

Solución:a19 = S18 – S19

S18 = 44.320,61 (1+0.005)24-18 -1 0.005 (1+0.005)6

= $261.331,35

a19=$43.013,9I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66

•Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados?

Solución:

I = total de intereses pagados – total pagado

I= n A-P = $63.644,40

SERIE UNIFORME

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

A: Ahorro

A A A A......

F = ?

0 1 2 3 n Periodos

Interés = i

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Dados A, i y n se deberá calcular F.

F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme.

F = P (1+i)n aplicando (3)

Pero:(1+i)n - 1 i (1+i)n

P = A aplicando (4’’)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

(1+i)n - 1 i (1+i)n

F = A * (1+i)n

Entonces:

(1+i)n - 1 i

F = A * (8)

Para el uso de tablas:

F = A * (F/A, i, n) (8´)

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Ejemplo:

Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años.¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

0´ 0 1 2 59 60 meses

200.000

F = ?

i = 2% ef. mensual

CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE

UNIFORME

Solución:

F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59.F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)F59 = 200.000 (114.051539)F59 = 22’810.307,8F = F59 (1.02)1

F = (22’810.307,8) (1.02)F = 23’266.513,96F = 23’266.513,96

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

1 2 3 n

A2

AnA3

P

A1

0

Ak= i P +

1 - (k - 1) P n n

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Demostración de la formulas para amortización constante, donde:

Ak: cuota al final del periodo k.

Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.

Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:

a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)

AMORTIZACIÓN CONSTANTEA1 = i P + (P/n)

Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)

S1 = P 1 - 1n

A2 = i S1 + (P/n) i P 1 - +1n

Pn

S2 = P - = P 1 - 2n

2P n

Entonces:

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Ak = i P 1 - +(k-1) n

Pn

Sk = P 1 - kn

Ik = i P 1 -

(k-1) n

(10)

(11)

(12)

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

A3= 0.031000000 1 - +

(3 - 1) 1000000 10 10

A3=124.000

S3 = 1000000 1 - = 7000000 310

A1=0.031000000 1 - + (1- 1) 1000000 10 10

A1=130.000

Solución:

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

1 2 3 n

A1A2

An

P

A3

0

AK = A1 + (K - 1)*g

1)1(

11)1(

)1(1 nn

n

in

ig

iii

PA

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)Esta forma de pago se compone por la suma de dos Esta forma de pago se compone por la suma de dos

series, una que se comporta de manera uniforme y otra series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo.que sufre un cambio aritmético para cada periodo.

Demostración de la formula para serie gradiente, donde:g : aumento aritmético de la cuota.Ak seria:A1 = A1

A2 = A1 + gA3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g AK = A1 + (k - 1) g (en funciòn de A1) (13)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes.

At=A1+Ag (14)

A1:serie parte uniforme.Ag:serie uniforme equivalente a parte

gradiente.At :serie uniforme total equivalente a la serie

gradiente original.

P

1 2 3 n-1 n

. . .

. . .

0 A1

+Ag

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ag se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría:

1)1(

1ng i

n

igA

Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)

(15)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

De (14) tenemos: A1= At - Ag

Por tabla seria:

A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16’)

(16)

1)1(

11)1(

)1(1 nn

n

in

ig

iii

PA

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Para uso de tablas:

P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’)

1)1(

11)1(

)1(1 nn

n

in

igA

iii

P (17)

Partiendo de (16) se obtiene:

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.

P Sk = ?n - k

Pendientes 1 2 3 4 k

k-1

k pagados Ak

0

Ak + 1

An

. . .

. . .

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Utilizando (17) con "A1" = Ak+1

Y remplazando en (13) tenemos:

Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde

"A1" = A1 + kg

De lo anterior:

),,/(

),,/(1

kniPA

knigAggkAS k

(18)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?

Solución:

A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)

A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)

A1 =112.519

A5 = A1 + (5 - 1)*$200

A5 =112.519+ 4*$200

A5 = 912.519

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

•Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.

Solución:

P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519

)35%,30,/(

)35%,30,/(2002003519.1123

PA

gAS

S3 = 1.088,05

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

PARA LA SERIE GRADIENTE PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN DECRECIENTE SE UTILIZAN

LAS MISMAS FÓRMULAS QUE LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE EN LA CRECIENTE, PERO SE

REEMPLAZA REEMPLAZA gg POR POR -g-g..

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ak = A1 (1+ ig)k-1

A1 A2

An

P

1 2 n-1 n

0

An-1

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde:ig :incremento porcentual en las cuotas.

A1 = A1 A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2

A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3

Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1) (19)

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:

Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k

nk

kkPP

1

pero Pk = Ak (1+i)-k

nk

k

kkg iiAP

1

11 )1()1(

Para obtener Al se debe llevar el valor de cada cuota al presente (Pk) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Expandiendo la sumatoria:

P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)

+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*)

Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1

tendremos:

P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+

(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1 (2*)

nk

k

kkg iiAP

1

11 )1()1(

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

El factor del corchete solo será válido para iig, pues el denominador no puede ser cero.

n

g

g

i

i

iiPA

1

11

1 (20)

Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar

para obtener:

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

g

n

g

ii

i

i

AP1

11

1(20’)

iig

De la fórmula (20) podemos despejar P:

Partiendo de esta fórmula se puede hallar Sk.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

P

A1 A2 Ak Ak+1

An

Sk = ? Pendientes

n-k cuotas

1 2 k k+1 n 0

k Pagadas

El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k).

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos:

Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde

"A1" = A1(1+ig)k

De lo anterior:

g

kn

g

kgk ii

i

i

iAS1

11

)1(1 (18)

iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Solución:

19.303$

3.01

2.011

2.03.0000.1

51

A

A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

•Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

Solución:

ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19

018,775$2.03.0

3.01

2.011

)2.01(19,303

35

33

S

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Análisis de los tres intervalos.

Intervalo I:

El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P

No hay amortización: ak = 0

La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik

La cuota es inferior a los intereses generados en el período: Ak = Ik < i. Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo II:

El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1

No hay amortización: ak = 0

La cuota es intereses: Ik = Ak

La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo III:

El saldo es decreciente pero inferior a P:

P > Sk-1 > Sk

Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk

Los intereses contenidos en la cuota son:

Ik = Ak - ak

Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i Sk-1

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III:

Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización contenida en Ak será: ak = P - Sk

Recordemos que se amortiza sólo lo que abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak

No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik

Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO