assign noriza
Post on 27-Jan-2016
373 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1.0 Pengenalan
Dalam sejarah matematik, konsep dikatakan lebih penting daripada istilah tetapi, perubahan
nama keratan kon adalah disebabkan oleh Apollonius. Selama satu setengah abad, lengkung
tidak lagi mempunyai nama tersendiri selain gambaran tentang cara lengkung ditemui
contohnya keratin kon berbentuk tirus (oksitom), keratin kon bersudut tegak (ortotom) dan
keratin kon bersudut cakah (amblitom). Penggunaan nama elips, parabola dan hiperbola
mungkin dimulakan oleh pengikut Pythagoras dalam persamaan kuadratik melalui
penggunaan luas. Elipsis bermakna kekurangan telah digunakan apabila segi empat tepat
luasnya diberi digunakan apabila segi empat kepada tembereng garis diberi dan berkurangan
sebanyak suatu segiempat sama. Perkataan hiperbola iaitu balingan yang melepasi digunakan
apabila luas melebihi tembereng garis. Perkataan parabola iaitu diletakkan disisi atau
bandingan menunjukkan sama ada berlebihan atau berkurangan. Kini Apollonius
menggunakan perkataan tersebut dalam konteks baharu iaitu sebagai nama unntuk keratin
kon. Persamaan moden lazim bagi parabola yang mempunyai bucu di asalan y2= lx dengan l
ialah ‘latus rectum atau perimeter yang kini sering diwakili oleh 2p atau sesekali oleh 4p.
Oleh itu, parabola itu memiliki sifat tidak kira titik apa yang dipilih seseorang pada lengkung
segi empat sama pada ordinat itu adalah betul-betul sama dengan segiempat tepat pada abisi x
dan parameter l . Begitu juga persama elips dan hiperbola yang dirujuk kepada bucu asalan
ialah ( x∓ a )2/a2 ± y2/b2=1 atau y2=1 x∓b2 x2/a2 dengan l sekali lagi ialah latus rectum atau
parameter 2 b2/a. Oleh itu, y2<lx untuk elips dan y2>lx untuk hiperbola. Ia adalah sifat
lengkung yang diwakili oleh ketaksamaan tersebut sehinggakan nama yang diberi oleh
Apollonius lebih daripada dua alaf suatau masa dahulu masih digunakan.
Maksud keratan kon adalah satu satah yang memotong kon tersebut pada suatu sudut yang
tertentu yang akan menghasilkan satu keratan rentas. Dua kon boleh dipotong sekali untuk
menghasilkan satu titik , satu garis lurus atau dua garis lurus. Dengan menggunakan analisis
geometri, persamaan bagi lengkungan boleh diperolehi.
Setiap persamaan lengkung adalah kes istimewa bagi persamaan am peringkat kedua dalam
dua pemboleh ubah seperti berikut:
A x2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0
CONTOH PERSAMAAN :
Persamaan Lingkaran : 3x2 + 3y2 + 6x + y = 5
Persamaan Parabola : 3x2 + 3y + 6x = 5
Persamaan Elips : 3x2 + y2 + 6x + y = 5
Persamaan Hiperbola : 3x2 – 3y2 + 6x + y = 5
2.0 Ringkasan Artikel
Ringkasan Artikel 1
Parabola
Parabola itu adalah tempat titik-titik yang mempunyai jarak sama terhadap sebuah titik dan
sebuah garis.
- Titik tersebut ialah fokus/titik api (F)
- Garis tersebut ialah garis arah
- Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah ialah sumbu simetri parabola
- Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
- Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu
simetri
Rajah menunjukkan formula dan persamaan bagi parabola
Elips
Elips itu merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu
tetap.
- Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horizontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
- Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
Elips juga merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap
sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1
- Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
- Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu major
- Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2
- Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu major dan memotong elips disebut sumbu
minor
Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horizontal; b = ½ panjang vertikal)
Hiperbola
Hiperbola itu merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik
tertentu tetap
- Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horizontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
- Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F1 dan F2 adalah 2c
Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap
sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1
- Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
- Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
- Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
- Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu
sekawan)
- Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
- Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik
→ ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum
Ringkasan artikel 2
Parabola
Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah
himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak
antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai
direktriks.
Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas
dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi secara keseluruhannya, kita dapat menganggap
parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik
fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud
memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan
sebagai (x, –p).
Hiperbola
Hiperbola ditunjukkan melalui kedudukan pada rajah berikut:-
Hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai
hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat
dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat
hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat.
Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat
hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang
melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai bucu tranversal, sedangkan
garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai bucu
konjugat.
Elips
Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut bucu major, dengan titik-titik
ujung bucu major disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi bucu
major menjadi 2 bahagian yang sama disebut bucu minor.
Jika p > q, bucu majornya horizontal (sejajar dengan bucu-x) dengan panjang 2p, dan
bucu minornya vertikal dengan panjang 2q.
Jika p < q, bucu majornya vertikal (sejajar dengan bucu-y) dengan panjang 2q, dan bucu
minornya horizontal dengan panjang 2p.
Dari apa yang kita lihat di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips
sebagai berikut:-
Bentuk Standard dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,
Jika p ≠ q persamaan tersebut menunjukkan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai
|p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal
titik pusat dengan grafik
Bucu major
Bucu minor
3.0 Kaedah yang lebih mudah
Kaedah yang dirasakan mudah untuk difahami adalah gabungan daripada artikel satu dan dua
di mana kaedah grafik lebih mudah untuk menunjukkan cara menerangkan apakah yang
dimaksudkan dengan parabola, elips dan hiperbola. Namun begitu, tambahan kepada grafik
boleh digunakan untuk membantu melihat dengan lebih mudah kedudukan ketiga-tiga
keratan kon tersebut.
Pada permulaan perlu diterangkan dengan jelas yang manakah yang dimaksudkan dengan
parabola, elips dan hiperbola. Seperti yang kita lihat bahawa terdapat lengkung yang berbeza
terbentuk dan bergantung kepada sudut satah memotong kon.Parabola berlaku apabila satah
selari dengan sisi kon. Elips pula berlaku apabila satah sendeng dan memotong hanya satu
bahagian kon sahaja. Hiperbola pula berlaku apabila satah sendeng dan memotong kedua-dua
bahagian kon.
Parabola
Suatu parabola adalah lokus (set) bagi semua titik (x; y) dalam suatu satah yang sama jarak dari
suatu garis yang dipanggil direktriks, dan suatu titik tetap F yang dipanggil fokus. Titik tengah
antara titik fokus F dan direktriks dipanggil titik bucu V . Garis yang melalui titik F; V dan D
adalah paksi simetri bagi parabola.
a) Paksi simetri mencangcang b) Paksi simetri mengufuk
Paksi simetri dan direktriks adalah berserenjang dan bersilang pada titik D:
Katakan jarak antara titik fokus F dan titik bucu V ialah p: Maka,
d (FV ) = d (V D) = p
d (FP) = d (PD1) = d1:
Ini merupakan ciri utama bagi suatu parabola. rajah di (a) menunjukkan bentuk parabola terbuka
ke atas, dan rajah di (b) menunjukkan bentuk parabola terbuka ke kanan. Bentuk parabola boleh
juga terbuka ke bawah atau ke kiri. Dalam bahagian seterusnya, kita akan membincangkan
bentuk piawai persamaan parabola dan menentukan bukaan bagi graf parabola.
Bentuk piawai pertama persamaan-persamaan parabola boleh disimpulkan seperti berikut:
Dalam bentuk piawai persamaan parabola, bukaan paraboladitentukan oleh nilai p:
Elips
Suatu elips adalah lokus (set) bagi semua titik dalam suatu satah di mana hasiltambah jarak dari
dua titik tetap yang dinamakan titik-titik fokus, F1 dan F2 ke sebarang titik (x; y) pada lokus
tersebut adalah malar.
Bentuk graf bagi suatu elips adalah hampir sama dengan bentuk graf bagi bulatan, kecuali graf
bagi elips adalah berbentuk bujur. Titik-titik V1 dan V2 dinamakan titik-titik bucu manakala
titik-titik B1 dan B2 dinamakan titik-titik sebucu. Perentas V1V2 adalah lebih panjang daripada
perentas B1B2: Perentas V1V2 dinamakan paksi major, dan perentas B1B2 dinamakan paksi
minor. Titik-titik fokus F1 dan F2 berada pada paksi major. Paksi major dan paksi minor adalah
berserenjang dan bersilang pada titik C: Titik ini adalah pusat bagi elips tersebut. Pusat C juga
merupakan titik tengah3 kepada perentas F1F2: Jarak antara pusat C dengan sebarang titik P (x;
y) pada graf elips adalah tidak tetap, tetapi hasiltambah jarak antara titik fokus F1 dan titik P (x;
y) ; iaitu d (F1P) = d1, dan, jarak antara titik fokus F2 dan titik P (x; y), d (F2P) = d2 adalah
malar, iaitu:
d (F1P) - d (F2P)
= d1 + d2 adalah malar
Ini merupakan ciri utama bagi suatu elips.
Katakan d (V1C) = a; d (B1C) = b; dan d (F1C) = c; dengan a; b; c > 0
maka,
_ d (V1V2) = 2a
_ d (B1B2) = 2b
_ d (F1F2) = 2c
_ d (F1P) + d (F2P) = d1 + d2 = 2a = d (V1V2) ;
_ 0 < b < a; dan a2 = b2 + c2:
Terdapat dua bentuk graf bagi elips. Bentuk graf-graf ini bergantung kepada paksi majornya:
mengufuk atau mencancang. Kedua-dua bentuk ini diperolehi daripada persamaan elips.
Rumus bagi titik tengah antara dua titik A(x1; y1) dan B (x2; y2) ialah:
Hiperbola
Takrifan bagi hiperbola serupa dengan takrifan bagi elips. Bezanya adalah bagi elips,
hasiltambah jarak antara dua titik fokusnya dan sebarang titik pada elips adalah malar, manakala
bagi hiperbola pula, hasiltolaknya adalah malar.
Suatu hiperbola adalah lokus (set) bagi semua titik dalam suatu satah di mana hasiltolak jarak
dari dua titik tetap F1 dan F2 (dinamakan titik-titik fokus) ke sebarang titik (x; y) pada lokus
tersebut adalah malar.
Graf bagi suatu hiperbola mempunyai dua bahagian yang tak berhubung dipanggil cabang.
Cabang-cabang kelihatan se akan-akan bentuk parabola, tetapi bukan parabola; dengan.bukaan
ke kanan dan kiri (Rajah ?(a) ), atau bukaan ke atas dan bawah (Rajah ?(b) ). Garis yang
melalui dua titik fokusnya, F1 dan F2 bersilang dengan hiperbola tersebut pada dua titik bucu,
V1 dan V2: Garis segmen V1V2 yang menghubungkan kedua-dua titik bucu ini dipanggil paksi
merentas lintang. Titik tengah C bagi paksi merentas lintang adalah pusat bagi hiperbola.
Terdapat dua bentuk graf hiperbola dengan paksi merentas lintas mengufuk dan mencancang.
Salah satu ciri utama suatu hiperbola ialah hasiltolak d (F1P) = d1 dan d (F2; P) = d2 adalah
malar, iaitu:
Rujukan
http://ms.swewe.net/word_show.htm/?12858_1&Kon
http://www.mdp.ac.id/materi/2012-2013-1/ti202/032049/ti202-032049-872-1.pdf
http://arifrahmanhakimmia1.blogspot.com/2014/10/irisan-kerucut-conics.html
top related