apostila de matemática financeira e comercial
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-
RAZO E PROPORO
RAZO
Chamamos razo de um nmero racional para outro (diferente de zero), ao quociente
do primeiro pelo segundo.
NOTA: A razo de um nmero racional para outro sempre um nmero racional. Assim, a
razo do nmero a para o nmero b (b 0) indicada por: a
a b oub
que se l : razo de a para
b ou razo ente a e b. E seus termos so conhecidos como
a antecedente
b consequente
Exemplos:
Exp1. A razo de 2 para 5 2
5ou 2 5 .
Exp2. A razo de 4 para 20 4 4 1
= 1 520 4 5
ou
Exp3. A razo entre 1
92
e
11 1 12 1 18
9 2 9 18ou
Exp4. A razo entre 1
5 23
e 5 5 3 5 3 15
5 15 71 7 7 1 7 7
23 3
ou
Razo de duas grandezas
Dadas duas grandezas em uma certa ordem, a razo entre a medida da primeira grandeza
e a medida da segunda.
Se as grandezas so da mesma espcie, suas medidas devem ser expressas na mesma
unidade. Neste caso, a razo um nmero puro.
Exemplos:
Exp5. A razo de 2m para 3m : 2 2
3 3
m
m
Exp6. A razo de 30 dm para 6 m :
1
2
30 3 1
6 6 2
dm m
m m
Se as grandezas no so da mesma espcie, a razo um nmero cuja unidades depende
das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razo.
Exp7. Um automvel percorre 160 Km em 2 horas. A razo entre a distncia percorrida e o tempo
gasto em percorr-la :
-
160 160
2 2
km kmhh
Podemos dizer, ento, que esse automvel faz em mdia 80 km em 1 hora ou 80km h .
ALGUMAS RAZES IMPORTANTES
ESCALA VELOCIDADE MDIA
comprimento no desenhoescala
comprimento real
velocidade percorridavm
tempo de percurso
DENSIDADE DENSIDADE DEMOGRFICA
massaD
volume
tannmerodehabi tesd
rea
1. Calcule a razo entre os nmeros:
a. 256 e 960 c. 5 e 1
3 e.
12
5
e 3
b. 1,25 e 3,75 d. 1
2e 0,2
2. Calcule a razo entre as seguintes grandezas:
a. 27 km e 3 de lcool d. 20 cm e 4 dm
b. 40 g e 5 cm e. 20 d e 15 d
c. 24 kg e 80 kg
3. A distncia entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 de 8,5 cm. Qual a distncia real entre essas duas cidades?
4. Uma caixa de chocolate possui 250g de peso lquido e 300g de peso bruto. Qual a razo do peso lquido para o peso bruto?
PROPORES
Dados quatro nmeros (15, 3, 20 e 4), como a razo entre os dois primeiros nmeros (15 e 3) igual razo entre os dois ltimos (20 e 40), isto :
155
3 e
205
4 ,
dizemos que os nmeros 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporo, que expressamos mediante a igualdade das duas razes:
15 20
3 4
RESOLVA
-
Assim:
Dados, em uma certa ordem, quatro nmeros (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo entre os dois primeiros (a e b) igual razo entre os dois ltimos (c e d).
Simbolicamente, representamos uma proporo por:
a c
b d
e lemos: a est para b, assim como c est para d.
Essas anotaes pem em evidncia o fato de que uma proporo uma igualdade entre duas razes.
Exemplos:
Exp8. 18 27
6 9 , pois
183
6 e
273
9 .
Exp9.
92 2 ,1 3
3 4
pois2 1 3
2 2 61 3 1
3
e
3 2
1 1
99 42 6.
3 2 3
4
ELEMENTOS DE UMA PROPORO
Na proporo:
a c
b d
temos:
, , (1 , 2 ,3 4 , )
a b c e d so os termos e temos respectivamente
a e c so os antecedentes
b e d so os consequentes
a e d so extremos
b e c so meios
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Sejam a, b, c e d nmeros reais diferentes de zero, tais que:
a c
b d
Multiplicando os dois membros da igualdade por bd (produto dos consequentes da proporo), obtemos:
a c
bd bdb d
Simplificando temos:
ad cb
o que nos permite dizer que:
Em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios
-
Exp10. Dada a proporo:
4 2
6 3
temos:
4 3 124 3 6 2
6 2 12
5. Verifique se so ou no verdadeiras as seguintes propores:
a. 6 24
7 28 b.
2 12
3 15
6. Aplicando a propriedade fundamental, verifique se so ou no propores as seguintes expresses:
a. 4 72
15 270 b.
3 15
4 16 c.
2 3
5 51 1
6 2
d.
5 2
9 32 0,8
3
CLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO
Aplicando a propriedade fundamental das propores, sempre possvel determinar o valor de um termo qualquer quando so conhecidos os outros trs.
RECPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Consideremos quatro nmeros reais quaisquer (a, b, c e d), diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois isto :
ad bc
Dividindo ambos os membros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do primeiro membro por um dos fatores do segundo (por exemplo, db), temos:
,ad bc
db db
o que nos permite escrever:
,a c
b d
que uma proporo formada pelos nmeros dados.
Podemos, ento concluir que:
Dados quatro nmeros reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, esses nmeros formam uma proporo que tem para extremos os fatores de um dos produtos e para meios os fatores do outro.
RESOLVA
-
Simbolicamente:
, , ,
a b c d a c
e ad bc b d
NOTA:
Observe que da igualdade ad = bc podemos, por um processo anlogo, obter as propores:
, ,a b d c d b
c d b a c a
7. Resolva as seguintes propores:
a. b. c. d.
e. f. g.
8. Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporo .
9. Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporo .
10. A soma da idade do pai e do filho 45 anos. A idade do pai est para a idade do filho, assim como 7 est para 2. Determine a idade do pai e do filho
SRIE DE RAZES IGUAIS
Considerando as razes:
6 10 12 8, , , ,
3 5 6 4
Vemos que todas so iguais a 2. Logo, podemos escrever:
6 10 12 8,
3 5 6 4
Essa expresso denominada srie de razes iguais ou proporo mltipla.
Em smbolos:
-
...a c m
b d n
NOTA:
A proporo o caso particular em que a srie de razes se reduz a duas razes.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Seja a srie de razes iguais:
...a c m
b d n
Fazendo a razo comum igual a k, obtemos:
, ,... ,a c m
k k kb d n
onde,
, ,...a bk c dk m nk
Somando membro a membro essas igualdades, vem:
... ...a c m bk dk nk
Pondo k em evidncia, temos:
... ...a c m k b d n
onde,
...
...
a c mk
b d n
Como:
... ,a c m
kb d n
podemos escrever:
...
......
a c m a c m
b d n b d n
Assim:
Em uma srie de razes iguais, a soma dos antecedentes est para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente est para o seu respectivo consequente
Exp11:
6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8
3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4ou ou ou
-
11. Calcule x, y e z, sabendo que 9 11 15
x y z e 420x y z
12. Determine os antecedentes de uma proporo, sabendo que sua soma 47 e que os consequentes so 2 e 8.
13. Determine dois nmeros, sabendo que sua soma 60 e que a razo entre eles 2
3.
14. Calcule dois nmeros, sabendo que sua soma 169 e que a razo 4
9.
15. Qual o nmero que, aumentado de 2 unidades, est para 5 assim como 28 est para20?
16. A importncia de R$ 588 foi dividida entre trs pessoas. Sabendo que a parte da primeira est para a da segunda com 5 para 7, e que a parte da segunda est para a da terceira como 7 para 9, determine as trs partes.
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Uma barra de alumnio de 100 cm de volume pesa 270 g; nas mesmas condies, uma barra de 200 cm pesar 540 g e uma de 300 cm, 810 g. Podemos, ento, escrever a seguinte tabela:
Volume (cm)
100 200 300 500
Massa (g)
270 540 810 1350
Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, j que aumentando uma (volume), a outra (massa) tambm aumenta. Alm disso notamos que:
270 540 810 1.350
2,7100 200 300 500
Chamando de x a grandeza volume e y a grandeza massa, temos:
12
2,7y
x ou 2,7y x
Dizemos, neste caso, que as sequncias de nmeros (100, 200, 300, 500) e (270, 540, 810, 1.350) so diretamente proporcionais ou, ento, que as grandezas x e y so diretamente proporcionais e 2,7 a razo ou coeficiente de proporcionalidade.
Assim:
Duas grandezas variveis so diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se os valores correspondentes x e y so expressos por uma funo do tipo:
O valor 2,7 corresponde massa especifica do alumnio, expressa em g/cm
-
y= kx,
onde k um nmero real constante, diferente de zero.
17. O comprimento de uma pea de tecido e seu preo so grandezas diretamente proporcionais? Por qu?
18. Verifique se so diretamente proporcionais as sequncias de nmeros (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4, 5).
19. Os nmeros das sequncias (6, 9, 20) e (2, 3, 6) so proporcionais?
20. Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b:
x 7 9 b
y 21 3 39
21. Verifique se so ou no proporcionais os nmeros das sequncias:
a. (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b. (5, 6, 7) e (75, 90, 105)
22. Qual a razo de proporcionalidade entre as sequncias de nmeros diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?
23. Determine os valores de a e b nas sequncias de nmeros proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).
PROPRIEDADE DOS NMEROS PROPORCIONAIS
Dadas duas sequncias de nmeros proporcionais, multiplicando-se todos os elementos de uma das sequncias por um nmero qualquer diferente de zero, a nova sequncia continua sendo proporcional outra.
Consideremos as sequncias de nmeros (5, 7, 9) e (15, 21, 27).
Temos:
15 21 27
5 7 9
Logo, essas sequncias de nmeros so diretamente proporcionais.
Multiplicando por 6 os elementos de qualquer uma das sequncias (por exemplo, os da primeira), as razes ficam multiplicadas por 6 mas continuam iguais, isto :
15 21 27
30 42 54
o que nos mostra que as sequncias (30, 42, 54) e (15, 21, 27) continuam sendo proporcionais.
-
24. Quais os menores nmeros inteiros proporcionais aos nmeros 2 3 1
, e 3 4 6
.
25. Dados os nmeros 1 3 7
, e ,5 6 10
determine os trs menores nmeros inteiros proporcionais a
esses nmeros.
26. Os nmeros x, y e 32 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 72, 128. Determine os
nmeros x e y.
27. Sabendo que a, b, c e 120 so diretamente proporcionais aos nmeros 180, 120, 200 e 480, determine os nmeros a, b e c.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma distncia de 1200 km pode ser percorrida por um avio, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, ento, escrever a tabela:
Velocidade (km/h)
100 200 300 400
Tempo
(h) 12 6 4 3
Vamos que, tambm aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, j que aumentando a velocidade o tempo diminui. Porm, agora temos:
12 100 6 200 4 300 3 400 1200
ou:
12 6 4 31200
1 1 1 1
100 200 300 400
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: 1 2 3
, e 2 3 4
1
1.200 ou 1.200yx yx
Dizemos, ento, que as sequncias de nmeros (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) so inversamente proporcionais ou, ento, que as grandezas x e y so inversamente proporcionais e 1.200 o fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Assim:
Duas grandezas variveis so inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e y so expressos por uma funo do tipo:
1,y k
x
onde k um nmero real constante, diferente de zero.
-
28. Verifique se so ou no inversamente proporcionais as sequncias de nmeros:
a. (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9)
b. (2, 5, 8) e (40, 30, 20)
29. Determine os valores de a e b nas sequncias de nmeros inversamente proporcionais (2, 3, b) e (15, a, 5).
30. Verifique se so ou no inversamente proporcionais as sequncias de nmeros:
a. (20, 12, 10) e (6, 10, 12)
b. (1, 2, 5) e (4, 8, 20)
31. Qual o fator de proporcionalidade entre as sequncias de nmeros inversamente
proporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)?
32. Sabendo que os nmeros das sequncias (1, a, -4) e (4, 2, b) so inversamente proporcionais,
determine a e b.
33. A 60km/h fao o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo
estimado para percorrer este trajeto?
34. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo
necessrio para enche-lo?
35. Um tecelo levou 12 horas para produzir um tapete, razo de 6 metros por hora. Se ele
trabalhasse razo de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete?
36. Um certo volume de medicao demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12
gotas por minuto. Se o nmero de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria
demorado a aplicao desta mesma medicao?
DIVISO PROPORCIONAIS
Dividir um nmero em partes proporcionais a vrios outros nmeros dados decomp-lo
em parcelas proporcionais a esses nmeros.
DIVISO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Suponhamos que voc queira dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5, e 11. Isso significa dividir o nmero 180 em trs parcelas, tais que a razo da primeira parcela para o nmero 2 seja igual razo da segunda parcela para o nmero 5 e igual razo da terceira parcela para o nmero 11. Assim, chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas, devemos verificar que:
-
2 5 11
x y z
Alm disso, como x, y e z so as parcelas em que dividimos o nmero 180, devemos ter:
180x y z
Como uma srie de razes iguais, podemos escrever, pela propriedade fundamental:
2 5 11 2 5 11
x y z x y z
ou:
180
18 2 5 11
x y z
Como 180
1018
, temos:
102 5 11
x y z
Da:
10 2 10 202
10 5 10 505
10 11 10 11011
xx
yy
zz
Sendo 20 + 50 + 110 = 180, conclumos que as partes procuradas so: 20, 50 e 110.
Nota: Por conveno, chamamos, simplesmente, de diviso proporcional a diviso diretamente proporcional.
36. Divida o nmero 70 em partes proporcionais aos nmeros 2, 3, e 5.
37. Divida o nmero 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.
38. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1 2 3
, e 2 3 4
.
39. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1 1 1
, e 3 4 7
40. Dois operrios contratam um servio por R$ 180. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e outro 8 horas, sendo a diviso diretamente proporcional ao tempo de servio?
DIVISO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Suponhamos, agora, que voc queira dividir o nmero 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o nmero 210 proporcionalmente aos inversos dos nmeros 3, 5 e 6, isto , determinar parcelas x, y e z tais que:
1 1 1
3 5 6
x y z
-
Como o m.m.c. (3, 5, 6)= 30, temos:
10
1
130 10
3 ,
6
1
130 6,
5
5
1
130 5
6
Logo:
10
210 6
5
x
y
z
sendo 10 6 5
210
x y z
x y z
Como:
210
1021
k k
vem:
10 10 100
6 10 60
5 10 50
x
y
z
10 10 100
6 10 60
5 10 50
x
y
z
Logo, as partes procuradas so:
100, 60 e 50
41. Divida o nmero 260 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. 42. Um pai deixou R$ 2800,00 para serem divididos entre seus trs filhos na razo inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?
43. Trs trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um servio realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao nmero de dias trabalhados. Quanto dever receber cada um?
44. Dois ambulantes obtiveram R$ 1.560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais a 5 e 7, respectivamente. Quanto ir receber cada um?
45. Os trs jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador iro receber um prmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiao referente a cada um deles respectivamente?
46. Vamos dividir 11 tortas aos funcionrios de uma determinada empresa sabendo que os funcionrios A recebe um salrio, o funcionrio B recebe dois salrios e o funcionrio C recebe trs salrios de modo que essa diviso seja inversamente proporcional aos nmeros 1, 2 e 3 respectivamente.
47. A quantia de R$ 3 000,00 precisa ser dividida entre Joana, Beatriz e Carla, de forma inversamente proporcional a suas idades, que so 20 anos, 15 anos e 12 anos, respectivamente. Determine a quantia que cada um receber.
-
REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade uma das aplicaes da diviso proporcional. Tem por objetivo a diviso dos lucros ou dos prejuzos entre as pessoas (scios) que formam uma sociedade, por ocasio do Balano geral exigido anualmente por lei ou quando da sada de um dos scios ou da admisso de um novo scio. Por conveno, o lucro ou prejuzo dividido pelos scios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando-se em conta as condies estipuladas no contrato social. Classicamente, h quatro casos a considerar: 1) Os capitais so iguais e empregados durante o mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de cada scio, dividimos o lucro ou prejuzo pelo nmero deles. Exp12. Trs scios obtiveram um lucro de R$ 222.600. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros:
540 540 0,02 10,827
27 450 0,02 450 0,02 9,01350
360 360 0,02 7,2
x x
y k y
z z
222.600
74.2003
Logo, a parte de cada um no lucro de: R$ 74.200 2) Os capitais so desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, dividimos o lucro ou prejuzo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos scios. Exp13. Por ocasio do Balano anual de uma firma comercial formada por trs scios, verificou-se um prejuzo de R$ 27.000. Vamos determinar a parte correspondente a cada scio, sabendo que seus capitais so de R$ 540.000, R$ 450.000 e R$ 360.000:
540 540 0,02 10,827
27 450 0,02 450 0,02 9,01350
360 360 0,02 7,2
x x
y k y
z z
Logo, o prejuzo correspondente a cada scio , respectivamente, de: R$ 10.800, R$ 9.000 e R$ 7.200 3) Os capitais so iguais e empregados durante tempos desiguais Teoricamente, o lucro ou o prejuzo correspondente a cada scio seria determinado dividindo-se o lucro ou prejuzo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. Porm, na prtica este caso no ocorre, porque, em uma sociedade, os scios no podem permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo scio se retira ou um novo scio admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, aps o Balano, calculando-se o Ativo e Passivo. 4) Os capitais so desiguais e empregados durante tempos tambm desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuzo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Tambm neste caso vale a observao feita pra o caso anterior.
-
48. Trs scios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$ 22.500 e R$ 27.000 e obtiveram um lucro de R$ 27.000. Qual ser a parte de cada um? 49. Trs scios realizaram um capital de R$ 240.000. Sabendo que, ao fim de um certo perodo de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000, R$ 22.000 e R$ 18.000, qual era o capital de cada um?
REGRA DE TRS Chamamos de regra de trs os problemas nos quais figura uma grandeza que direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Temos dois tipos de regra de trs: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas. REGRA DE TRS SIMPLES Neste caso, so dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, ento, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira. Exp14. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?
Comprimento Preo
(m) (R$)
6 15
8 x
6 15
8 x
Armamos a proporo formada pelas razes que construmos, seguindo as setas:
6 15
8 x
e determinamos o valor de x:
3600
3
:
3 3600 3108
3600 100 100
P
r
Assim
pp
8 15
206
x x
-
Logo, o preo procurado : R$ 20,00 Exp15. Se 6 operrios fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operrios fariam a mesma obra?
Operrio Dias
6 10
20 x
6 10
20 x
Em seguida, invertemos os valores de coluna do nmero de operrios (por ser uma grandeza inversamente proporcional de nmero de dias):
20 10
6 x
Da:
20 10 6 10 603
6 20 20x x x
x
Logo sero necessrios: 3 dias
50. Um operrio recebe R$ 836 por 20 dias de trabalho. Quanto receber por 35 dias?
51. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?
52. Se 1 c de lcool pesa 8g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de lcool? Para transformar c em
litro use a formula 100.00
cL e para transformar Kg em g use a formula 1000g kg .
53. Em um navio com uma tripulao de 880 marinheiros h viveres para 45 dias. Quanto tempo duraro os viveres se o navio receber mas 100 marinheiros?
REGRA DE TRS COMPOSTA
Na regra de trs composta ocorrem trs ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso, de cada grandeza so dados dois valores, com exceo de uma delas, da qual dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
Exp16. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais s primeiras, imprimiro 350.000 desses exemplares?
-
Exemplares Rotativas Tempo (min)
87.500 5 56
350.000 7 X
Assim temos:
87.500 5 56
350.000 7 X
Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:
87.500 7 56
350.000 5 X
56 5 350.000160
87.500 7x x
54. Uma famlia composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 Kg de po. Quantos quilogramas de po sero consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?
55. Quinze homens, trabalhando 8 h dirias, cavaram um poo de 400 m em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h dirias, cavem 60mm m restantes?
56. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00 quanto se pagar por 12 m?
57. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias?
PORCENTAGEM
Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questes apresentadas.
A razo entre o nmero de questes acertadas e o nmero total de questes :
12 4 8 800,8
15 5 10 100
Quando um razo apresentada com o consequente 100 (neste caso, 80
100) ela chamada
razo centesimal.
Uma outra forma de representarmos as razes centesimais, muito usada principalmente no universo financeiro, substituir o consequente 100 pelo smbolo % (que lemos: por cento). Assim:
80
100=80% (lemos: oitenta por cento) denominado taxa percentual.
-
Exp17. Escreva a razo 3
4 em forma de taxa percentual.
3 3 10075
4 100 4
xx
58. Escreva sob a forma de taxa percentual as razes:
a)2
25 b)
19
40 c)
1
4
ELEMENTOS DO CLCULO PERCENTUAL
Vimos que 12 80
15 100
Neste exemplo, chamamos o 12 de porcentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos:
100
porcentagem taxa
principal
Dai, obtemos as seguintes definies:
Taxa o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Porcentagem o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a
uma taxa.
Principal o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.
PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
Representando:
O principal por P;
A porcentagem por p;
A taxa por r;
Temos, genericamente
100
p r
P
Dados, ento, dois quaisquer dos trs elementos, podemos calcular o terceiro fazendo uso
da proporo .
Exp18. Um vendedor tem 3% de comisso nos negcios que faz. Qual sua comisso numa venda
de R$ 3.600?
-
3600
3
:
3 3600 3108
3600 100 100
P
r
Assim
pp
Logo, a comisso de: R$ 108,00
59. Em um colgio 26% dos alunos so meninas. Quantos aluno possui o colgio, se elas so em
nmero de 182?
60. Um automvel foi adquirido por R$ 5.000 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual a
porcentagem de lucro?
61. Em uma liquidao, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de abatimento. De
quanto foi o abatimento?
62. Um corretor recebe R$ 2.800 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comisso.
Qual o valor de venda das propriedades?
63. Uma pessoa devia R$ 20.000 e pagou R$ 7,400. Quantos por cento da dvida foram pagos?
64. Do meu salrio R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a
quantos por cento do meu salrio?
65. Eu tenho 20 anos. Meu irmo tem 12 anos. A idade dele quantos por cento da minha?
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