29 sept. 07 prof. margarita santiago 1 conociendo números irracionales famosos 1 alianza para el...

29 sept. 07 Prof. Margarita Santiago

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Conociendo Números Irracionales Famosos

2 2

51

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Alianza para el Aprendizaje de Ciencias y Matemáticas (AlACiMa)

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Parte I

• Objetivo: Repasar cuáles son los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y relaciones entre ellos.

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En la siguiente tabla escribe dos ejemplos inventados por tí de números naturales, enteros,

racionales, irracionales y reales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 1.

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3

Números Ejemplo 1 Ejemplo 2 Auto evaluación

% Dominio

Naturales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

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4

Rúbrica 1

4

EscalaNúmero de

ejercicios correctosInterpretación

Dominó 10, 9 u 8 Si resulta que 70% o mas de los

estudiantes no dominaron la

destreza se sugiere se retomen los conceptos y se

presenten otros ejemplos antes de pasar a la parte

III.

Dominio Parcial 7, 6, 5

No Dominó 4, 3, 2 o 1

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5

Número Racional Irracional Auto evaluación % Dominio

754.86

π

7.282828…

⅝

252

3.14

8

Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 2

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6

EscalaNúmero de

ejercicios correctos

Interpretación

Dominó 6 ó 7 Si resulta que 70% o mas de los

estudiantes no dominaron la

destreza, se sugiere se retomen los conceptos y se

presenten otros ejemplos antes de

pasar a la parte III.

Dominio Parcial 4 ó 5

No Dominó 1, 2 ó 3

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7

Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales

252

8

Número Racional Irracional

754.86

7.282828…

⅝

3.14

Tabla 2

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Parte II

• Objetivo: Aproximar el valor de buscando la razón entre la circunferencia y el diámetro de objetos circulares.

Se le proveerá al estudiante 3 objetos circulares, cinta métrica y una regla. Llenarán la Tabla 3 indicando la

medida en centímetros de la circunferencia y del diámetro de los objetos circulares. Calcularán la razón

entre la medida de la circunferencia y la medida del diámetro. Buscarán en el salón un objeto circular y

repetirán las instrucciones.

8

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Objeto Medida Circunferencia

Medida Diámetro

Circunferencia / Diámetro

Tabla 3

?

diámetro

nciacircunfere aproxima se valor queA ¿

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Reflexión• Resumen:

es diámetrosu y círculoun de

nciacircunfere la entrerazón La

r2

2

d

C

2r des diámetrosu y 2 C

esr radio de círculoun de

nciacircunfere La

r

r

10

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Datos históricos y/o curiosos de

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Muchos intentos para determinar con exactitud están relacionados con el clásico problema de la

cuadratura del círculo: "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área

igual a un círculo dado"

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Modernamente para evaluar se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en

Kerala (India) en el Siglo XV.

En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de

10,000 cifras de . En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539,600,000 cifras, utilizando

un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó

que es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional).

Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que es un número trascendental. Esto significa, entre otras cosas, que el problema

de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando. No es solución de ninguna

ecuación algebraica.

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Parte III

• Objetivo: Medir la hipotenusa de triángulos rectángulos donde los catetos midan igual a un número natural.

• Comprobar las medidas con el Teorema de Pitágoras y observar que surgen números irracionales

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Figura Medida Cateto1 = cateto2

Medida hipotenusa

Usando el teorema de Pitágoras calcular la hipotenusa

(Se obtiene un número irracional)

Aproximar con la

calculadora el valor de h

Tabla 4

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Utilizando papel cuadriculado construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden igual a una unidad ( 1 cm, 1 “, etc.) . Medir la hipotenusa.

Utilizar el Teorema de Pitágoras para comprobar las aproximaciones.

Ejemplo

1 cm

1cm

h

Midiendo el valor de la hipotenusa resulto 1.4 cm

15

41.12h

positiva es esta medida, una es hipotenusa la Como

2

2

11

:obtenemos Pitágoras de Teorema elaplicar Al

2

2

22

21

2

h

h

h

cch

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Generalizando: Si los catetos miden igual a un numero natural x .

Al utilizar el Teorema de Pitágoras, obtenemos:

16

irracionalnúmerounesquex

xhoxh

xh

xh

xh

xxh

2h

22

2

2

2

2

22

22

222

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Parte IV

• Objetivos: Resolver una ecuación cuadrática y obtener un número irracional, llamado la razón dorada.

• Comentar datos de la razón dorada.• Realizar una actividad con fotos, calculando la

razón entre la distancia de la barbilla a la frente con la distancia entre las orejas y observar que aproximadamente resulta el número o razón dorada.

• Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci.

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Usando la fórmula cuadrática resolver la ecuación x2 – x – 1 = 0

2

51

)1(2

)1)(1(4)1()1(

2

4

2

2

a

acbbx

18

618034.12

51

irracional número el es doradarazón La

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Áreas donde se aplica la razón

La anatomía de los humanos se basa en una relación Phi (φ) exacta,. Razones entre partes del cuerpo resultan en una aproximación de este número, tales como:

• La razón entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

• La razón entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

• La razón entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

• La razón entre el diámetro de la boca y el de la nariz

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1 que de propiedad lacon racional número único el es 2

12

51

2

2

2

53

22

)53(2

4

526

4

5521

2

51

1

2

2

2 overificand

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•Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

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Además, por ejemplo, Leonardo da Vinci utilizó la razón áurea para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

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•En muchos ejemplos de la naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonnacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan

las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás

que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

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Utilizando las siguientes fotos, calcular una aproximación de la razón áurea. Medir, en centímetros, la distancia de la

barbilla hasta la cabeza y la distancia entre las orejas.

56.15.2

9.3

orejas las entre medida

cabeza a barbilla dist. medida

cm

cm

24

Carlos ArroyoZuleyka Rivera

56.15.2

9.3

orejas las entre medida

cabeza a barbilla dist. medida

cm

cm

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Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

618034.12

51

613.113

21,625.1

8

13,6.1

5

8

67.13

5,5.1

2

3,2

1

2,1

1

1

Calculemos la razón entre un término y el anterior.

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Esta sucesión tiene el nombre en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa. La

sucesión recibe el nombre de Fibonnacci por “ filius Bonacci”, que quiere decir hijo de Bonacci. Recibe el nombre en honor a su

padre, quien era representante de los mercaderes de la república de Pisa en los

negocios de Argelia.

¿Por qué la sucesión se llama sucesión de

Fibonnacci ?

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La sucesión surge al determinar el número de parejas de conejos

que se tendrán al cabo de un año, sabiendo que se

comienza con una sola pareja y que cada

pareja engendra mensualmente otra pareja a partir de su

segundo mes de vida.

¿Cómo surgió la sucesión?

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Hacer un mapa de conceptos de lo aprendido

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Reflexión:Alineación temas y/o conceptos discutidos con los

Estándares de contenido 10-12

Estándares de Contenido??

1: El estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos

Matemáticos al representar, estimar, realizar cómputos ,

relacionar números y sistemas numéricos.

4: El estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y

técnicas de medición para establecer conexiones entre

conceptos espaciales y numéricos

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3030

Reflexión:¿Como transferir lo aprendido

hoy a la sala de clases?