221 inégalités
Post on 14-Jun-2015
173 Views
Preview:
TRANSCRIPT
انفصم األول
انمسائم
المتباينات قديمها وحديثها 6
المسائل 7
أثثد صذح انمرثاىح (١
𝑎2 + 1 − 𝑏 2 + 𝑏2 + 1 − 𝑐 2 + 𝑐2 + 1 − 𝑎 2 ≥3 2
2
,𝑎نكم األعذاد انذممح 𝑏, 𝑐 .
Kõmal
٢ )[Dino Şerbănescu] إرا كان 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ، فأثثد أن 0,1
𝑎𝑏𝑐 + 1 − 𝑎 1 − 𝑏 1 − 𝑐 < 1
Junior TST 2002, Romania
٣ )[Mircea Lascu] افشض أن 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذاد دممح ذذمك 𝑎𝑏𝑐 = أثثد أن. 1
𝑏 + 𝑐
𝑎+
𝑐 + 𝑎
𝑏+
𝑎 + 𝑏
𝑐≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3
Gazeta Matematică
𝑥4إرا كان نهمعادنح ( ٤ + 𝑎𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1 = جزس دمم وادذ عه األلم، 0
𝑎2 فأثثد أن + 𝑏2 ≥ 8
Tournament of the Towns, 1993
𝑥3جذ انممح انعظم نهممذاس ( ٥ + 𝑦3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 عهما تأن 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1
,𝑥دث 𝑦, 𝑧أعذاد دممح .
المتباينات قديمها وحديثها 8
,𝑎نركه (٦ 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح تذث 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = أثثد أن . 1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Ukraine, 2001
٧ )[Darij Grinberg] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐دممح مىجثح فأثثد أن ا أعذاد
𝑎
𝑏 + 𝑐 2+
𝑏
𝑐 + 𝑎 2+
𝑐
𝑎 + 𝑏 2≥
9
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
٨ )[Hojoo Lee] افشض أن𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن. أعذاد غش سانثح
𝑎4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏4 + 𝑏4 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐4 + 𝑐4 + 𝑐2𝑎2 + 𝑎4
≥ 𝑎 2𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 2𝑏2 + 𝑐𝑎 + 𝑐 2𝑐2 + 𝑎𝑏
Gazeta Matematică
,𝑎إرا كاود ( ٩ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح تذث 𝑎𝑏𝑐 = ، فأثثد أن 2
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥ 𝑎 𝑏 + 𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏
مر ذرذمك انمساواج ؟
JBMO 2002 Shortlist
المسائل 9
١٠ )[Joan Tomescu] افشض أن 𝑥, 𝑦, 𝑧 > أثثد أن . 0
𝑥𝑦𝑧
1 + 3𝑥 𝑥 + 8𝑦 𝑦 + 9𝑧 𝑧 + 6 ≤
1
74
مر ذرذمك انمساواج ؟
Gazeta Matematică
١١ )[Mihai Piticari, Dan Popescu] أثثد أن
5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 6 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 1
,𝑎نكم 𝑏, 𝑐 > 𝑎 ذذمك 0 + 𝑏 + 𝑐 = 1 .
١٢ )[Mircea Lascu] فشض أن ا𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ دث 𝑛 ≥ 𝑎 و 2 > إرا كان . 0
𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑎 وكان 𝑎2
𝑛−1 𝑥1
2 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛
2 فأثثد أن ≥
𝑥𝑖 ∈ 0,2𝑎
𝑛𝑖 نكم ∈ 1,2, … , 𝑛
١٣ )[Adrian Zahariuc] نكم 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ أثثد صذح انمرثاىح 1,2
𝑏 𝑎
4𝑏 𝑐 − 𝑐 𝑎+
𝑐 𝑏
4𝑐 𝑎 − 𝑎 𝑏+
𝑎 𝑐
4𝑎 𝑏 − 𝑏 𝑐≥ 1
المتباينات قديمها وحديثها 10
,𝑎إرا كاود (١٤ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح ذذمك 𝑎𝑏𝑐 ≤ ، فأثثد أن1
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑐+
𝑐
𝑎≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
١٥ ) [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح
𝑎 تذث + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 و 𝑎 + 𝑥 ≥ 𝑏 + 𝑦 ≥ 𝑐 + 𝑧 أثثد أن
𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 ≥ 𝑎𝑐 + 𝑥𝑧
١٦ )[Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح تذث
𝑎𝑏𝑐 = أثثد أن . 1
1 +3
𝑎 + 𝑏 + 𝑐≥
6
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
Junior TST 2003, Romania
,𝑎نركه (١٧ 𝑏, 𝑐 أثثد أن. أعذادا دممح مىجثح
𝑎3
𝑏2+
𝑏3
𝑐2+
𝑐3
𝑎2≥
𝑎2
𝑏+
𝑏2
𝑐+
𝑐2
𝑎
JMBO 2002 Shortlist
𝑛نركه (١٨ > ,𝑥1 و 3 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أثثد أن. 1 أعذادا مىجثح داصم ظشتها ساو
1
1 + 𝑥1 + 𝑥1𝑥2+
1
1 + 𝑥2 + 𝑥2𝑥3+ ⋯ +
1
1 + 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝑥1> 1
Russia, 2004
المسائل 11
١٩) [Marian Tetiva] نركه 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح ذذمك انششغ
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦𝑧 = أثثد ما ه 1
𝑥𝑦𝑧 ≤1
8 (أ)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤3
2 (ب)
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≤3
4≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (ج)
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≤1
2+ 2𝑥𝑦𝑧 (د)
٢٠ )[Marius Olteanu] افشض أن 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3, 𝑥4 , 𝑥5 ∈ ℝذذمك
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = أثثد أن ، 0
𝑐𝑜𝑠𝑥1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥3 + 𝑐𝑜𝑠𝑥4 + 𝑐𝑜𝑠𝑥5 ≥ 1
Gazeta Matematică
٢١ )[Florina Cârlan, Martin Tetiva] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧 > وذذمك انششغ 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 فأثثد أن
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + +𝑦𝑧 ≥ 3 + 𝑥2 + 1 + 𝑦2 + 1 + 𝑧2 + 1
٢٢ )[Laurenţiu Panaitopol]أثثد أن
1 + 𝑥2
1 + 𝑦 + 𝑧2+
1 + 𝑦2
1 + 𝑧 + 𝑥2+
1 + 𝑧2
1 + 𝑥 + 𝑦2≥ 2
,𝑥نكم األعذاد انذممح انر ذذمك 𝑦, 𝑧 > −1
JBMO, 2003
المتباينات قديمها وحديثها 12
,𝑎فشض أن ا(٢٣ 𝑏, 𝑐 > 𝑎 وذذمك 0 + 𝑏 + 𝑐 = أثثد أن. 1
𝑎2 + 𝑏
𝑏 + 𝑐+
𝑏2 + 𝑐
𝑐 + 𝑎+
𝑐2 + 𝑎
𝑎 + 𝑏≥ 2
,𝑎فشض أن ا(٢٤ 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑎4 وذذمك 0 + 𝑏4 + 𝑐4 ≤ 2 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 .
𝑎2أثثد أن + 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 .
Kvant, 1988
𝑛نركه (٢٥ ≥ ,𝑥1فشض أن األعذاد انذممح انمىجثح ا و2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ذذمك
1
𝑥1 + 1998+
1
𝑥2 + 1998+ ⋯ +
1
𝑥𝑛 + 1998=
1
1998
أثثد أن
𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑛𝑛
𝑛 − 1≥ 1998
Vietnam, 1998
٢٦ )[Marian Tetiva] إرا كاود األعذاد انذممح انمىجثح 𝑥, 𝑦, 𝑧 ذذمك انششغ
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥𝑦𝑧 فأثثد صذح ما ه
𝑥𝑦𝑧 ≥ (أ) 27
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≥ (ب) 27
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ (ج) 9
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + (د) 9
المسائل 13
,𝑥افشض أن (٢٧ 𝑦, 𝑧 أثثد أن . 3 أعذادا دممح مىجثح مجمىعها ساو
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥
Russia, 2002
٢٨ )[D.Olteanu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح
𝑎 + 𝑏
𝑏 + 𝑐∙
𝑎
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐+
𝑏 + 𝑐
𝑐 + 𝑎∙
𝑏
2𝑏 + 𝑐 + 𝑎+
𝑐 + 𝑎
𝑎 + 𝑏∙
𝑐
2𝑐 + 𝑎 + 𝑏≥
3
4
Gazeta Matematică
,𝑎أل أعذاد دممح مىجثح (٢٩ 𝑏, 𝑐أثثد صذح انمرثاىح
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑐+
𝑐
𝑎≥
𝑐 + 𝑎
𝑐 + 𝑏+
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑐+
𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑎
India, 2002
,𝑎نركه ( ٣٠ 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح
𝑎3
𝑏2 − 𝑏𝑐 + 𝑐2+
𝑏3
𝑐2 − 𝑎𝑐 + 𝑎2+
𝑐3
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2≥
3 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
(ألرشح هزا انسؤال ألونمثاد انثهمان انشاظ)
٣١ )[Adnan Zahariuc] إرا كاود األعذاد𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 غش سانثح وذخرهف عه تععها
انثعط، فأثثد أن
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ + 𝑥𝑛2 ≥ 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑥1 + 2𝑛 − 3
المتباينات قديمها وحديثها 14
٣٢ )[Murray Klamkin] أفشض أن 𝑛 ≥ ,𝑥1 ونركه 2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا غش سانثح
جذ انممح انعظم نهممذاس . 1مجمىعها ساو
𝑥12𝑥2 + 𝑥2
2𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛−12 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛
2𝑥1
Crux Mathematicorum
,𝑥1نركه (٣٣ 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑘+1 أعذادا مىجثح ذذمك … ≥ 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘 نكم 𝑘.
تذث ذرذمك انمرثاىح 𝑐جذ أكثش لمح نهثاتد
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ≤ 𝑐 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
. 𝑛نكم
IMO Shortlist, 1986
,𝑎نركه ( ٣٤ 𝑏, 𝑐 و 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح تذث 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑦 = 𝑐 + 𝑧 = 1
أثثد أن
𝑎𝑏𝑐 + 𝑥𝑦𝑧 1
𝑎𝑦+
1
𝑏𝑧+
1
𝑐𝑥 ≥ 3
Russia, 2002
٣٥ )[Viorel Vâjâitu, Alexandru Zaharescu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐أنأثثد . أعذادا دممح مىجثح
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐+
𝑏𝑐
𝑏 + 𝑐 + 2𝑎+
𝑐𝑎
𝑐 + 𝑎 + 2𝑏≤
1
4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Gazeta Matematică
المسائل 15
,𝑎إرا كاود (٣٦ 𝑏, 𝑐, 𝑑 نهممذاسفادسة انممح انعظم . 1 أعذادا دممح مجمىع مشتعاذها ساو
𝑎3 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑏3 𝑐 + 𝑑 + 𝑎 + 𝑐3 𝑑 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑑3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
٣٧ )[Walther Janous] نركه𝑥, 𝑦, 𝑧أثثد أن. أعذادا دممح مىجثح
𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 +
𝑦
𝑦 + 𝑦 + 𝑧 𝑦 + 𝑥 +
𝑧
𝑧 + 𝑧 + 𝑥 𝑧 + 𝑦 ≤ 1
Crux Mathematicorum
𝑛افشض أن (٣٨ ≥ 𝑎1 ونركه 2 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛أثثد أن . أعذادا دممح
𝑎1𝑎24 + 𝑎2𝑎3
4 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑎14 ≥ 𝑎2𝑎1
4 + 𝑎3𝑎24 + ⋯ + 𝑎1𝑎𝑛
4
Iran, 1999
٣٩ )[Mircea Lascu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح
𝑏 + 𝑐
𝑎+
𝑐 + 𝑎
𝑏+
𝑎 + 𝑏
𝑐≥ 4
𝑎
𝑏 + 𝑐+
𝑏
𝑐 + 𝑎+
𝑐
𝑎 + 𝑏
,𝑎1نركه (٤٠ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 > مه األعذاد انرانح ال عه األلمأثثد أن وادذا. أعذادا صذذح1
3 زذ عه 3
.
𝑎2𝑎1 , 𝑎3
𝑎2 , … , 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 , 𝑎1
𝑎𝑛
Adapted after a well-known problem
المتباينات قديمها وحديثها 16
٤١ )[Mircea Lascu, Marian Tetiva]عذاد انذممح انمىجثح افشض أن األ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ذذمك
𝑥𝑦انششغ + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 2𝑥𝑦𝑧 = أثثد صذح انمرثاىاخ انرانح. 1
𝑥𝑦𝑧 ≤1
8 (أ)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥3
2 (ب)
1
𝑥+
1
𝑦+
1
𝑧≥ 4 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (ج)
𝑧 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 دث 1
𝑥+
1
𝑦+
1
𝑧− 4 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥
2𝑧 − 1 2
𝑧 2𝑧 + 1 (د)
٤٢ )[Manlio Marangėlli] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن
3 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥 𝑥𝑦2 + 𝑦𝑧2 + 𝑧𝑥2 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3
٤٣ )[Gabriel Dospinescu]إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح تذث
𝑚𝑎𝑥 𝑎, 𝑏, 𝑐 − 𝑚𝑖𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ ، فأثثد أن 1
1 + 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 6𝑎𝑏𝑐 ≥ 3𝑎2𝑏 + 3𝑏2𝑐 + 3𝑐2𝑎
1 −1
𝑛< 𝑎𝑛 < 𝑎𝑘+1 فأثثد أن 1 = 𝑎𝑘 +
𝑎𝑘2
𝑛𝑎𝑜 و =
1
2 ٤٥) إرا كان
TST Singapore
المسائل 17
٤٦ )[Călin Popa] افشض أن𝑎, 𝑏, 𝑐وذذمك 0,1 انفرشجعذادا دممح ف أ
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = أثثد أن . 1
𝑎
1 − 𝑎2+
𝑏
1 − 𝑏2+
𝑐
1 − 𝑐2≥
3
4
1 − 𝑎2
𝑎+
1 − 𝑏2
𝑏+
1 − 𝑐2
𝑐
٤٧ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ وأن 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = أثثد أن . 1
1
1 + 𝑥2+
1
1 + 𝑦2+
1
1 + 𝑧2≤
27
10
𝑥 إرا كان ( ٤٨ + 𝑦 + 𝑧 = ، فأثثد أن 1
1 − 𝑥 2 1 − 𝑦 2 1 − 𝑧 2 ≥ 215𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥
,𝑥افشض أن (٤٩ 𝑦, 𝑧إرا كان . عذادا دممح مىجثح أ𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + فأثثد انران 2
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (أ)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤3
2 𝑥𝑦𝑧 (ب)
,𝑥نركه (٥٠ 𝑦, 𝑧 إرا كان . عذادا دممحأ𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = ، فأثثد أن 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑥𝑦𝑧 + 2 IMO Shortlist, 1987
المتباينات قديمها وحديثها 18
٥١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذاد ف
,1,2 أ ذثذم نهمجمىعح σإرا كان . 0,1 انفرشج … , 𝑛 فأثثد صذح انمرثاىح ،
1
1 − 𝑥𝑖≥ 1 +
𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
∙ 1
1 − 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝜎 𝑖
𝑛
𝑖=1
. أثثد أن 1
1 + 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= ,𝑥1 أعذادا دممح مىجثح ذذمك انششغ 1 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ٥٢) نركه
𝑥𝑖 ≥ 𝑛 − 1 1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
Vojtech Jarnik
٥٣ )[Titu Andreescu] افشض أن𝑛 > ,𝑎1 ونركه 3 𝑎2, … , 𝑎𝑛 عذادا دممح ذذمكأ
𝑎1 انششطه + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ≥ 𝑛 و 𝑎12 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 ≥ 𝑛2 . أثثد أن
𝑚𝑎𝑥 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ≥ 2 USAMO, 1999
٥٤ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن
𝑎 − 𝑏
𝑏 + 𝑐+
𝑏 − 𝑐
𝑐 + 𝑑+
𝑐 − 𝑑
𝑑 + 𝑎+
𝑑 − 𝑎
𝑎 + 𝑏≥ 0
𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 > ,𝑥 ، أثثد أن 1 𝑦 ٥٥) أل عذده دممه مىجثه
France, 1996
المسائل 19
,𝑎إرا كاود (٥٦ 𝑏, 𝑐 فأثثد أن 1 أعذادا مىجثح داصم ظشتها ساو ،
𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≥ 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1 MOSP, 2001
,𝑎أل أعذاد مىجثح (٥٧ 𝑏, 𝑐 أثثد صذح انمرثاىح
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎
٥٨ ) [D.P.Mavlo] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا مىجثح، فأثثد أن
3 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +1
𝑎+
1
𝑏+
1
𝑐+
𝑎
𝑏+
𝑏
𝑐+
𝑐
𝑎≥ 3
𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1
1 + 𝑎𝑏𝑐
Kvant, 1988
٥٩) [Gabriel Dospinescu] إرا كاود 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها
، فأثثد أن 1ساو
𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑖𝑛 + 1 ≥ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖=1
,𝑎نركه ( ٦٠ 𝑏, 𝑐, 𝑑مىجثح وافشض أن ا أعذاد 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = أثثد أن . 1
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ 𝑚𝑖𝑛 1
4,1
9+
𝑑
27
Kvant, 1993
المتباينات قديمها وحديثها 20
,𝑎أل أعذاد دممح (٦١ 𝑏, 𝑐 أثثد صذح انمرثاىح
1 + 𝑎2 2 1 + 𝑏2 2 𝑎 − 𝑐 2 𝑏 − 𝑐 2
≥ 1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 𝑎 − 𝑏 2 𝑏 − 𝑐 2 𝑐 − 𝑎 2
AMM
٦٢ )[Titu Andreescu, Mircea Lascu] نركه𝛼, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح تذث
𝑥𝑦𝑧كىن = 𝛼 و 1 ≥ أثثد أن .1
𝑥𝛼
𝑦 + 𝑧+
𝑦𝛼
𝑧 + 𝑥+
𝑧𝛼
𝑥 + 𝑦≥
3
2
, 𝑦1إرا كاود (٦٣ … , 𝑦𝑛 , 𝑥1 و … , 𝑥𝑛 أعذادا دممح ذذمك
𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛
2 = 𝑦12 + ⋯ + 𝑦𝑛
2 = فأثثد أن 1
𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 2 ≤ 2 1 − 𝑥𝑘𝑦𝑘
𝑛
𝑖=1
Korea, 2001
٦٤ )[Laurenţiu Panaitopol] نركه𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا صذذح مىجثح ذخرهف عه
تععها انثعط، أثثد أن
𝑎12 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 ≥
2𝑛 + 1
3 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
TST Romania
المسائل 21
٦٥ )[Călin Popa] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 فأثثد أن 1 أعذادا دممح مىجثح داصم جمعها ساو ،
𝑏 𝑐
𝑎 3𝑐 + 𝑎𝑏 +
𝑐 𝑎
𝑏 3𝑎 + 𝑏𝑐 +
𝑎 𝑏
𝑐 3𝑏 + 𝑐𝑎 ≥
3 3
4
٦٦ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] أفشض أن 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 أعذادا دممح ذذمك
1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 1 + 𝑑2 = أثثد أن 1
−3 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑑𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5
أل أعذاد دممح مىجثح ، أثثد صذح انمرثاىح (٦٧
𝑎2 + 2 𝑏2 + 2 𝑐2 + 2 ≥ 9 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 APMO
٦٨ )[Vasile Cîrtoaje]0 إرا كان < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧 و 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + ، فأثثد أن2
1 − 𝑥𝑦 1 − 𝑦𝑧 1 − 𝑥𝑧 ≥ (أ) 0
𝑥2𝑦 ≤ 1, 𝑥3𝑦2 ≤32
27 (ب)
٦٩ )[Titu Andreescu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 مىجثح تذث دممح أعذادا 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 .
أثثد أوه عه األلم ذصخ اثىران مه انمرثاىاخ انرانح
2
𝑎+
3
𝑏+
6
𝑐≥ 6 ,
2
𝑏+
3
𝑐+
6
𝑎≥ 6 ,
2
𝑐+
3
𝑎+
6
𝑏≥ 6
TST 2001, USA
المتباينات قديمها وحديثها 22
٧٠ )[Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva]نركه 𝑥, 𝑦, 𝑧 > أعذادا ذذمك 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 . أثثد أن
𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1 ≤ 6 3 − 10
٧١ )[Marian Tetiva] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، أثثد أن
𝑎3 − 𝑏3
𝑎 + 𝑏+
𝑏3 − 𝑐3
𝑏 + 𝑐+ +
𝑐3 − 𝑎3
𝑐 + 𝑎 ≤
𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2
4
Moldova TST, 2004
٧٢ )[Titu Andreescu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح
𝑎5 − 𝑎2 + 3 𝑏5 − 𝑏2 + 3 𝑐5 − 𝑐2 + 3 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3
USAMO, 2004
٧٣ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > ,𝑥1نركه و2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا مىجثح ذذمك
𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
∙ 1
𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
= 𝑛2 + 1
أثثد أن
𝑥𝑘2
𝑛
𝑘=1
∙ 1
𝑥𝑘2
𝑛
𝑘=1
> 𝑛2 + 4 +2
𝑛 𝑛 − 1
المسائل 23
٧٤ )[Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐
مىجثح فأثثد أن دممحأعذادا
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏𝑐 + 3 ≥ 1 + 𝑎 1 + 𝑏 1 + 𝑐
٧٥) [Titu Andreescu, Zuming Feng] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2+
2𝑏 + 𝑎 + 𝑐 2
2𝑏2 + 𝑎 + 𝑐 2+
2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 2
2𝑐2 + 𝑎 + 𝑏 2≤ 8
USAMO, 2003
,𝑥أل عذده دممه مىجثه (٧٦ 𝑦 وأل عذده صذذه مىجثه 𝑚, 𝑛.أن أثثد
𝑛 − 1 𝑚 − 1 𝑥𝑚+𝑛 + 𝑦𝑚+𝑛 + 𝑚 + 𝑛 − 1 𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝑥𝑛𝑦𝑚
≥ 𝑚𝑛 𝑥𝑚+𝑛−1𝑦 + 𝑦𝑚+𝑛−1𝑥
Australian-Polish Competition, 1995
,𝑎إرا كان داصم ظشب األعذاد انذممح انمىجثح (٧٧ 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 فأثثد أن 1 ساو ،
𝑎 + 𝑎𝑏𝑐
1 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐𝑑+
𝑏 + 𝑏𝑐𝑑
1 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑𝑒+
𝑐 + 𝑐𝑑𝑒
1 + 𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑒𝑎
+𝑑 + 𝑑𝑒𝑎
1 + 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒𝑎𝑏+
𝑒 + 𝑒𝑎𝑏
1 + 𝑒𝑎 + 𝑒𝑎𝑏𝑐≥
10
3
Crux Mathematicorum
المتباينات قديمها وحديثها 24
٧٨ )[Titu Andreescu] إرا كان 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 0, 𝜋 ، فأثثد صذح انمرثاىح 2
𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑐)
𝑠𝑖𝑛(𝑏 + 𝑐)+
𝑠𝑖𝑛𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 − 𝑐) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 − 𝑎)
𝑠𝑖𝑛(𝑐 + 𝑎)
+𝑠𝑖𝑛𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑐 − 𝑎) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑐 − 𝑏)
𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏)≥ 0
TST 2003, USA
,𝑎إرا كاود (٧٩ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن
𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2
≥ 𝑎3𝑏 + 𝑏3𝑐 + 𝑐3𝑎 + 𝑎𝑏3 + 𝑏𝑐3 + 𝑐𝑎3
KMO Summer Program Test, 2001
٨٠ )[Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu] أل 𝑛 > ذمك 𝑘𝑛 جذ أصغش ثاتد ، 2
,𝑎1إرا كاود : انخاصح انرانح 𝑎2, … , 𝑎𝑛فئن 1 داصم ظشتها ساو أعذادا مىجثح
𝑎1𝑎2
𝑎12 + 𝑎2 𝑎2
2 + 𝑎1 +
𝑎2𝑎3
𝑎22 + 𝑎3 𝑎3
2 + 𝑎2 + ⋯ +
𝑎𝑛𝑎1
𝑎𝑛2 + 𝑎1 𝑎1
2 + 𝑎𝑛 ≤ 𝑘𝑛
٨١ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح ، فأثثد صذح انمرثاىح انرانح
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥2
3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Kvant, 1989
المسائل 25
٨٢ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أثثد أن ف. أظالع مثهث ماأطىال
3 𝑎
𝑏+
𝑏
𝑐+
𝑐
𝑎− 1 ≥ 2
𝑏
𝑎+
𝑐
𝑏+
𝑎
𝑐
٨٣ ) [Walther Janous] كه ل𝑛 > ,𝑥1 وافشض أن2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا مىجثح داصم
أثثد أن . 1جمعها ساو
1 +1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
≥ 𝑛 − 𝑥𝑖
1 − 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Crux Mathematicorum
٨٤ )[Vasile Cîrtoaje, Gheorghe Eckstein] نركه𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 مىجثح دممح أعذادا
أثثد أن. 1داصم ظشتها ساو
1
𝑛 − 1 + 𝑥1+
1
𝑛 − 1 + 𝑥2+ ⋯ +
1
𝑛 − 1 + 𝑥𝑛≤ 1
TST 1999, Romania
٨٥ )[Titu Andreescu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 إرا كان . غش سانثحدممح أعذادا
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑎𝑏𝑐 = ، فأثثد أن 4
0 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ 2 USAMO, 2001
المتباينات قديمها وحديثها 26
٨٦ )[Titu Andreescu] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد صذح انمرثاىح
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3− 𝑎𝑏𝑐
3≤ 𝑚𝑎𝑥 𝑎 − 𝑏
2, 𝑏 − 𝑐
2, 𝑐 − 𝑎
2
TST 2000, USA
٨٧ )[Kiran Kedlaya] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن دممح مىجثح أعذادا ،
𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐3
3≤ 𝑎 ∙
𝑎 + 𝑏
2∙𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
3
ذمك 𝑘جذ أكثش ثاتد عذدا صذذا مىجثا نس مشتعا كامال ف𝑛 إرا كان (٨٨
1 + 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜋 𝑛 > 𝑘
Vietnamese IMO Training Camp, 1995
٨٩ )[Dung Tran Nam] فشض أن ا𝑥, 𝑦, 𝑧مىجثح ذذمك دممح أعذادا
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3 = 32𝑥𝑦𝑧 . جذ أصغش وأكثش لمح نهممذاس
𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 4
Vietnam, 2004
٩٠ )[George Tsintifas] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 مىجثح ، فأثثد أن دممح أعذادا
𝑎 + 𝑏 3 𝑏 + 𝑐 3 𝑐 + 𝑑 3 𝑑 + 𝑎 3 ≥ 16𝑎2𝑏2𝑐2𝑑2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 4
Crux Mathematicorum
المسائل 27
٩١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] جذ انممح انعظم نهممذاس
𝑎𝑏 𝑛
1 − 𝑎𝑏+
𝑏𝑐 𝑛
1 − 𝑏𝑐+
𝑐𝑎 𝑛
1 − 𝑐𝑎
,𝑎دث 𝑏, 𝑐و 1 مجمىعها أعذاد دممح غش سانثح 𝑛عذد صذخ مىجة .
,𝑎نركه (٩٢ 𝑏, 𝑐أثثد أن . دممح مىجثح أعذادا
1
𝑎 1 + 𝑏 +
1
𝑏 1 + 𝑐 +
1
𝑐 1 + 𝑎 ≥
3
𝑎𝑏𝑐3
1 + 𝑎𝑏𝑐3
٩٣ )[Dung Tran Nam] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐ق ق أعذادا دممح ذخ𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 9 ،
فأثثد أن
2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ 10 Vietnam, 2002
,𝑎نركه ( ٩٤ 𝑏, 𝑐أثثد أن . دممح مىجثح أعذادا
𝑎 +1
𝑏− 1 𝑏 +
1
𝑐− 1 + 𝑏 +
1
𝑐− 1 𝑐 +
1
𝑎− 1
+ 𝑐 +1
𝑎− 1 𝑎 +
1
𝑏− 1 ≥ 3
المتباينات قديمها وحديثها 28
٩٥ )[Gabriel Dospinescu] نكه 𝑛 جذ أكثش عذد دمم . 2 عذداصذذا أكثش مه𝑚𝑛
انهزان ذممان انمرثاىح 𝑀𝑛وأصغش عذد دمم
𝑚𝑛 ≤ 𝑥𝑖
𝑥𝑖−1 + 2 𝑛 − 1 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑀𝑛
,𝑥1 نكم مجمىعح أعذاد دممح مىجثح 𝑥2, … , 𝑥𝑛 دث 𝑥0 = 𝑥𝑛 و 𝑥𝑛+1 = 𝑥1 .
٩٦ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن
1
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2+
1
𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2+
1
𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2≥
9
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2
Gazeta Matematică
٩٧ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑مىجثح ، فأثثد أن دممح أعذادا
2 𝑎3 + 1 𝑏3 + 1 𝑐3 + 1 𝑑3 + 1
≥ 1 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 1 + 𝑑2
Gazeta Matematică
,𝑎إرا كاود (٩٨ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح ، فأثثد أن
𝑎 + 𝑏 4 + 𝑏 + 𝑐 4 + 𝑐 + 𝑎 4 ≥4
7 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4
Vietnam TST, 1996
المسائل 29
,𝑎نركه ( ٩٩ 𝑏, 𝑐 أثثد أن . 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو
1
1 + 𝑎 + 𝑏+
1
1 + 𝑏 + 𝑐+
1
1 + 𝑐 + 𝑎≤
1
2 + 𝑎+
1
2 + 𝑏+
1
2 + 𝑐
Bulgaria, 1997
١٠٠ )[Dung Tran Nam] جذ أصغش لمح نهممذاس 1
𝑎+
2
𝑏+
3
𝑐,𝑎 دث 𝑏, 𝑐 أعذداد دممح
مىجثح ذذمك
21𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 8𝑐𝑎 ≤ 12 Vietnam, 2001
١٠١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 > وذذمك 0
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = أثثد أن . 3
𝑎
𝑏 + 𝑐 𝑦 + 𝑧 +
𝑏
𝑐 + 𝑎 𝑧 + 𝑥 +
𝑐
𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑦 ≥ 3
,𝑎إرا كاود ( ١٠٢ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن
𝑏 + 𝑐 − 𝑎 2
𝑏 + 𝑐 2 + 𝑎2+
𝑐 + 𝑎 − 𝑏 2
𝑐 + 𝑎 2 + 𝑏2+
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2
𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐2≥
3
5
Japan, 1997
المتباينات قديمها وحديثها 30
١٠٣ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] نركه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا غش سانثح
. أثثد. هى أصغشها𝑎𝑛وافشض أن
𝑎1𝑛 + 𝑎2
𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 − 𝑛𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 ≥ 𝑛 − 1
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1
𝑛 − 1− 𝑎𝑛
𝑛
١٠٤ )[Turkevici] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن
𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 + 𝑡4 + 2𝑥𝑦𝑧𝑡 ≥ 𝑥2𝑦2 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧2𝑡2 + 𝑡2𝑥2 + 𝑥2𝑧2 + 𝑦2𝑡2
Kvant
,𝑎1إرا كاود (١٠٥ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح، فأثثد صذح انمرثاىح
𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
2
≤ 𝑖𝑗
𝑖 + 𝑗 − 1𝑎𝑖𝑎𝑗
𝑛
𝑖 ,𝑗 =1
,𝑎1افشض أن ( ١٠٦ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ,𝑏1 و 𝑏2, … , 𝑏𝑛ذذمك[1001,2002] ف انفرشج دممح أعذادا
𝑎12 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 = 𝑏1
2 + 𝑏22 + ⋯ + 𝑏𝑛
أثثد صذح انمرثاىح 2
𝑎13
𝑏1+
𝑎23
𝑏2+ ⋯ +
𝑎𝑛3
𝑏𝑛≤
17
10 𝑎1
2 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛
2
TST Singapore
المسائل 31
١٠٧ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح
، فأثثد أن 1مجمىعها ساو
𝑎2 + 𝑏2 𝑏2 + 𝑐2 𝑐2 + 𝑎2 ≥ 8 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 2
١٠٨ )[Vasile Cîrtoaje] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو .
أثثد أن 1
1 + 𝑎 2+
1
1 + 𝑏 2+
1
1 + 𝑐 2+
1
1 + 𝑑 2≥ 1
Gazeta Matematică
١٠٩ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن
𝑎2
𝑏2 + 𝑐2+
𝑏2
𝑐2 + 𝑎2+
𝑐2
𝑎2 + 𝑏2≥
𝑎
𝑏 + 𝑐+
𝑏
𝑐 + 𝑎+
𝑐
𝑎 + 𝑏
Gazeta Matematică
١١٠ )[Gabriel Dospinescu] نركه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح وافشض أن 𝑆 مجمىعح
,1,2 جزئح غش خانح مه … , 𝑛 . أثثد أن
𝑎𝑖
𝑖∈𝑆
2
≤ 𝑎𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑗 2
1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
TST 2004, Romania
المتباينات قديمها وحديثها 32
١١١ )[Dung Tran Nam] نركه 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥2004 ذذمك 1,1− أعذادا دممح ف انفرشج
𝑥13 + 𝑥2
3 + ⋯ + 𝑥20043 = 0 .
𝑥1 جذ انممح انعظم نهممذاس + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥2004 .
١١٢ )[Gabriel Dospinescu, Călin Popa] نركه 𝑛 ≥ ,𝑎1 وافشض أن 2 𝑎2, … , 𝑎𝑛
أثثد أن . 1أعذادا دممح داصم ظشتها ساو
𝑎12 + 𝑎2
2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 − 𝑛 ≥
2𝑛
𝑛 − 1∙ 𝑛 − 1
𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 − 𝑛
١١٣ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن
2𝑎
𝑎 + 𝑏+
2𝑏
𝑏 + 𝑐+
2𝑐
𝑐 + 𝑎≤ 3
Gazeta Matematică
,𝑥أثثد انمرثاىح انرانح أل أعذاد دممح ( ١١٤ 𝑦, 𝑧 .
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 1
𝑥 + 𝑦 2+
1
𝑦 + 𝑧 2+
1
𝑧 + 𝑥 2 ≥
9
4
Iran, 1996
,𝑥أل ( ١١٥ 𝑦 ∈ أثثد أن 0,1
1 + 𝑥2 + 1 + 𝑦2 + 1 − 𝑥 2 + 1 − 𝑦 2 ≥ 1 + 5 1 − 𝑥𝑦
المسائل 33
١١٦ )[Suranyi] إرا كاود𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد صذح انمرثاىح
𝑛 − 1 𝑎1𝑛 + 𝑎2
𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 + 𝑛𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
≥ 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑎1𝑛−1 + 𝑎2
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛−1
Miklos Schweitzer Competition
,𝑥1نركه (١١٧ 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أثثد أن . 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو
𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 2
1≤𝑖<𝑗≤𝑛
≥ 𝑥𝑖2 − 𝑛
𝑛
𝑖=1
A generalization of Turkevici’s inequality
١١٨ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 وافشض أن 2 عذدا صذذا أكثش مه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛
مم عه وكم مىها 1أعذادا مجمىعها 1
𝑛−1 جذ انممح انصغشي نهممذاس .
𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
1 − 𝑛 − 1 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
المتباينات قديمها وحديثها 34
١١٩ )[Vasile Cîrtoaje] نركه𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 1 أعذادا دممح غش سانثح مم كم مىها عه
وافشض أوها ذذمك انششغ
𝑎 = 𝑎1
2 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛
2
𝑛≥
3
3
أثثد أن 𝑎1
1 − 𝑎12 +
𝑎2
1 − 𝑎22 + ⋯ +
𝑎𝑛
1 − 𝑎𝑛2
≥𝑛𝑎
1 − 𝑎2
١٢٠ )[Vasile Cîrtoaje, Mircea Lascu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح
وافشض أوها ذذمك
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = أثثد أن . 4
𝑎𝑏𝑐𝑥𝑦𝑧 <1
36
١٢١ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > انز ذمك 𝑘𝑛جذ أصغش لمح نهثاتد . 2
1
1 + 𝑘𝑛𝑥1
+1
1 + 𝑘𝑛𝑥2
+ ⋯ +1
1 + 𝑘𝑛𝑥𝑛
≤ 𝑛 − 1
,𝑥1نكم مرراتعح 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1 مه األعذاد انمىجثح انر ساو داصم ظشتها .
Mathlinks Contest
المسائل 35
١٢٢ )[Vasile Cîrtoaje, Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > 𝑘𝑛جذ أكثش لمح نهثاتد . 2
1 انز ذمك − 𝑥1 + 1 − 𝑥2 ⋯ 1 − 𝑥𝑛 ≥ 𝑘𝑛𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝑛 نكم مرراتعح
𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1مجمىع مشتعاذها ساو مه األعذاد انمىجثح انر.
top related