2 sistem koordinat
Post on 11-Apr-2017
182 Views
Preview:
TRANSCRIPT
• Beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya denganmenggunakan koordinat tabung dan bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindrisdan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinatbola.
• Ilustrasi :Titik P dapat digambarkan dalam 3 buah koordinatKoordinat cartesian = (x, y, z)Koordinat silindris = (ρ, , z )Koordinat bola = (r,,)
Sistem koordinat
Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Sistem Koordinat
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistemkoordinat :A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)A = Aρaρ + Aa + Azaz (Silindris)A = Arar + Aa + Aa(Bola)
Z
Y
Xx
y
z
A (x, y, z)
Z
X
z
Yρ
Z
X
z
Y
r
A (r, φ, z)A (ρ, , z) A (r, ,θ)
Komponen Koordinat Cartesian
Komponen Koordinat Silinder
Komponen Koordinat Bola
Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidangpermukaan koordinatnya dan memiliki arah di manakoordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:ax x aY = aZ aρx a = az ar x a = a
Koordinat cartesian – koordinat silinder
Transformasi Koordinat Cartesian - Silinder
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
zazAaAaAA Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapat ditransformasike koordinat silinder (ρ, θ,z) atau sebaliknya dengan persamaan:
cartesian ⇨silinder silinder ⇨cartesian
Sedangkan komponen vektor dapat ditransformasikan dengn menggunakan tabel perkalian titik sebagai berikut:
aρ aΦ az
ax. cos Φ -sin Φ 0
ay. Sin Φ cos Φ 0
az. 0 0 1
Aρ = (Axax + Ayay + Azaz) • aρ
AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ
Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az
Contoh soal 1:
Transformasi koordinat cartesian - bolaKoordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
aAaArarAA
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapatditransformasi ke koordinat bola (r, θ,z) atau sebaliknya denganpersamaan:
cartesian ⇨ bola bola ⇨ cartesian
Dengan cara yang sama maka transformasi komponen vektor dapat dilakukan dengan perkalian titik seperti pada tabel berikut:
ar a az
ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin
ay. Cos θ Sin Cos
az. Cos θ -Sin θ 0
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
A = (Axax + Ayay + Azaz)• a
A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ
Sin θ sin
Contoh soal 2:
Diferensial volume pada tiga sistem koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegakterhadap ar adalah,
dS = (r d)(r sin d) = r2 sin dElemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola)
Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinatsilindris!
Penyelesaian :Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar diperoleh:A = -5ay,B = 5ay + 10az
Contoh Soal 3
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalenantara kedua titik
210|| AB
Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area darisebuah lembaran tipis pada selubung bola dengan jari‐jari r = r (Gambar 1‐9).Berapakah luas area yang diperoleh jika = 0 dan = ?
Penyelesaian :Diferensial elemen permukaan adalah[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]
dS = r02 sin d d
Selanjutnya,
2
0
20
20 )cos(cos2sin rddrA
sehingga saat = 0 dan = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.
Contoh Soal 4
top related