17 números inteiros
Post on 05-Jul-2015
945 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
17NÚMEROS INTEIROS
x x2 x
5= 34
10x 5x 2x = 34017x = 340x = 20
01 x 3x = 524x = 52x = 13
02
2x 5 = 272x = 27 − 52x = 22x = 11
3x x3
= 60
9x x = 18010x = 180x = 18
03
04
x2 x
3= 25
3x 2x = 1505x = 150x = 30
2x x2= 3x − 4
4x x = 6x =−84x − x − 6x =−8−x =−8x = 8
05 06
x x3= 12
3x x = 364x = 36x = 9
07 2x − 8 = x4
13
8x − 32 = x 528x − x = 52 327x = 84x = 12
08 2x 5 = 3x − 192x − 3x =−19 − 5−x =−24x = 24
10 11 12
09
3x2
− 2x3
= x − 1
9x − 4x = 6x − 69x − 4x − 6x = −6−x =−6x = 6
x4
x46 = 35
x4 x
4. 1
6= 35
x4
x24 = 35
6x x = 8407x = 840x = 120
x x2 x
3 x
12= 46
12x 6x 4x x = 55223x = 552x = 24
7x 32
− 4 = 15
7x 3 − 8 = 307x = 30 − 3 87x = 35x = 5
13 x59
[ x59 ÷ 7]= 24
x5
. 19 [ x
5. 1
9 ÷ 7]= 24
x45
x45
÷ 7 = 24
x45
x315
= 24
7x x = 7.5608x = 7.560x = 945
14
2x x2
2x5
3x10
40 = 200
20x 5x 4x 3x 400 = 2.00032x = 1.600x = 50
Subtende-se na questão:“...aumentada de 1/2, AUMENTADA dos 2/5 DELA, AUMENTADA dos 3/10 dela...”
15
[2x − 2 . 2 − 2] . 2 = 684x − 4 − 2 . 2 = 688x − 8 − 4 = 688x = 68 12
178x = 80x = 10
{[2x − 80 . 2 − 80 ] . 2 − 80} = 0[4x − 160 − 80 . 2 − 80] = 08x − 320 − 160 − 80 = 08x = 320 160 808x = 560x = 70
18
a b = 70a c = 90b c = 120
2a 2b 2c = 280a b c = 140
90 b = 140b = 140 − 90b = 50
19
a b = 200a c = 208b c = 216
2a 2b 2c = 624a b c = 312
a 216 = 312a = 312 − 216a = 96
20
R D = 9D J = 13J R = 12
2R 2D 2J = 34R D J = 17
12 D = 17D = 17 − 12D = 5
21
a b = 50a c = 60b c = 70
2a 2b 2c = 180a b c = 90
50 c = 90c = 90 − 50c = 40
22
24
23
a c = 4 bb c = 6 aa b = 2 c
a b = 200 ca c = 600 bb c = 100 a
2a 2b 2c = 900 c b aa b c = 900
a 100 a = 9002a = 900 − 1002a = 800a = 400
2a 2b 2c = 12 a b ca b c = 12
4 b b = 122b = 12 − 42b = 8b = 4b = 4.000
25 a b c = 60a b = 7a c = 10b c = 11
2a 2b 2c = 28a b c = 14 caixas vazias
60 − 14 = 46
26 a b c = 8,5b c d = 12,5a b d = 10,5a c d = 12
3a 3b 3c 3d = 43,5a b c d = 14,5
a 12,5 = 14,5a = 14,5 − 12,5a = 2a = 2.000
27 a b c = 73b c d = 60a b d = 68a c d = 63
3a 3b 3c 3d = 264a b c d = 88
68 c = 88c = 88 − 68c = 20
28 x x 1 = 452x = 44x = 22
x x 1 x 2 = 1023x = 99x = 33x 2 = 35
29
30 x x 1 = 17[x 1 − x ]2x 1 = 172x = 16x = 8x 1 = 9
x x 2 = 1062x = 104x = 52
31
32 x x 2 x 4 = 3663x = 360x = 120
x x 2 = 11[x 2 − x ]2x 2 = 222x = 20x = 10x 2 = 12
33
34 x x 2 x 4 = 333x 6 = 333x = 27x = 9
35x x 2 = 65[x 2 − x]2x 2 = 1302x = 128x = 64x 2 = 66
36 x x 2 x 3 = 953x = 90x = 30x 3 = 33
37x x 6 = 762x = 70x = 35x 4 = 39
38 395x 5 x 1 5 x 2 = 1955x 5x 5 5x 10 = 19515x = 180x = 125 x 1 = 65
7x 7 x 1 7 x 2 = 2737x 7x 7 7x 14 = 27321x = 252x = 127x = 847 x 1 = 917 x 2 = 98
??? 2 20 − y 4y = 5840 − 2y 4y = 582y = 18y = 9 coelhos20 − 9 = 11 galinhas
40
x y = 20 ⇒ x = 20 − y2x 4y = 58
41
2 58 − y 4y = 178116 − 2y 4y = 1782y = 62y = 31 coelhos58 − 31 = 27 cisnes
x y = 58 ⇒ x = 58 − y2x 4y = 17842
2 39 − y 4y = 10478 − 2y 4y = 1042y = 26y = 13 cabritos39 − 13 = 26 marrecos
x y = 39 ⇒ x = 39 − y2x 4y = 10443
885 − y 3y = 320680 − 8y 3y = 320−5y = −3605y = 360y = 72 3 rodas85 − 72 = 13 8 rodas
x y = 85 ⇒ x = 85 − y8x 3y = 32044
4 39 − y 6y = 190156 − 4y 6y = 1902y = 34y = 17 6 rodas39 − 17 = 22 4 rodas
x y = 39 ⇒ x = 39 − y4x 6y = 19045
335 − y 4y = 125105 − 3y 4y = 125y = 20 quadrados39 − 20 = 19 triângulos
x y = 35 ⇒ x = 35 − y3x 4y = 12546
340 − y 5y = 156120 − 3y 5y = 1562y = 36y = 18 pentágonos40 − 18 = 22 triângulos
x y = 40 ⇒ x = 40 − y3x 5y = 15647
2 48 − y 4y = 13096 − 2y 4y = 1302y = 34y = 17 coelhos48 − 17 = 31 galinhas
x y = 48 ⇒ x = 48 − y2x 4y = 13048
2 135 − y 4y = 352270 − 2y 4y = 3522y = 82y = 41 porcos135 − 41 = 94 galinhas
x y = 135 ⇒ x = 135 − y2x 4y = 35249
3x 8x 518 − 3x = 7411x 90 − 15x = 74−4x =−164x = 16x = 4 triângulos2x = 8 quadrados
x 2x y = 18 ⇒ y = 18 − 3x3x 4 2x 5y = 7450
520 − y − 3y = 36100 − 5y − 3y = 36−8y = −648y = 64y = 8 erros20 − 8 = 12 acertos
x y = 20 ⇒ x = 20 − y5x − 3y = 3651
530 − y − 3y = 110150y − 5y − 3y = 110−8y = −408y = 40y = 5 erros30 − 5 = 25 acertos
x y = 30 ⇒ x = 30 − y5x − 3y = 11052
4 32 − y − 2y = 86128 − 4y − 2y = 86−6y = −426y = 42y = 7 erros32 − 7 = 25 acertos
x y = 32 ⇒ x = 32 − y4x − 2y = 8653
1024 − y − 6y = 0240 − 10y − 6y = 0−16y = −24016y = 240y = 15 erros24 − 15 = 9 acertos
x y = 24 ⇒ x = 24 − y10x − 6y = 054
630 − y − 4y = 60180 − 6y − 4y = 60−10y = −12010y = 120y = 12 erros30 − 12 = 18 acertos
x y = 30 ⇒ x = 30 − y6x − 4y = 6056
1024 − y − 6y = −32240 − 10y − 6y =−32−16y = −27216y = 272y = 17 erros24 − 17 = 7 acertos
x y = 24 ⇒ x = 24 − y10x − 6y = −3255
x 4y 4
= 23
⇒ 3x 4 = 2y 4 ⇒ 3x 12 = 2y 8 ⇒ 3x − 2y =−4
x − 1y − 1
= 12
⇒ 2 x − 1 = 1y − 1 ⇒ 2x − 2 = y − 1 ⇒ 2x − y = 1
57
3x − 2y =−42x − y = 1 . −2
3x − 2y = −4 −4x 2y =−2
−x 0 = −6x = 6
3 . 6 − 2y = −418 − 2y =−4−2y =−22
3x − 2y = −4−4x 2y =−2
2y = 22y = 11x
y= 6
11
x − 3y − 3
= 14
⇒ 4 x − 3 = 1y − 3 ⇒ 4x − 12 = y − 3 ⇒ 4x − y = 9
x 5y 5
= 12
⇒ 2 x 5 = 1y 5 ⇒ 2x 10 = y 5 ⇒ 2x − y = −5
58
4x − y = 92x − y = −5 . −1
4x − y = 9 −2x y = 5
2x 0 = 14x = 7
4 . 7 − y = 928 − y = 9−y =−19y = 19
4x − y = 9−2x y = 5
xy= 7
19
x 8y
= 2 ⇒ x 8 = 2y ⇒ x − 2y = −8
xy − 5
= 3 ⇒ x = 3y − 5 ⇒ x = 3y − 15 ⇒ x − 3y = −15
59
x − 2y = −8x − 3y =−15 . −1
x − 2y =−8 −x 3y = 15
0 y = 7y = 7
x − 2 . 7 =−8x − 14 = −8x = 6
x − 2y = −8−x 3y = 15
xy= 6
7
xx 5 7
= 12
⇒ 2x = 1[x 5 7] ⇒ 2x = x 5 7 ⇒ x = 1260
xx 5
= 1217
x y = 34x 1
y= 4 ⇒ x 1 = 4y ⇒ x = 4y − 1
61
xy= 27
7
4y − 1 y = 345y = 35y = 7
x = 4 . 7 − 1x = 27
A 1B 1
= 12
⇒ 2 A 1 = 1B 1 ⇒ 2A 2 = B 1 ⇒ 2A − B =−1
A − 1B − 1
= 13
⇒ 3A − 1 = 1B − 1 ⇒ 3A − 3 = B − 1 ⇒ 3A − B = 2
62
2 . 3 − B = −16 − B = −1−B =−1 − 6B = 7
2A − B = −13A − B = 2 . −1
2A − B = −1 −3A B =−2
−A 0 = −3A = 3
2A − B = −1−3A B =−2
“Se dividirmos as idades de A POR B...”
5 x13 y
= 2 . 513
⇒ 5 x13 y
= 1013
⇒ 13 5 x = 1013 y ⇒
65 13x = 130 10y ⇒ 13x − 10y = 65
5 x 13 y = 46 ⇒ x y 18 = 46 ⇒ x y = 28
63
10 . 15 10y = 280150 10y = 28010y = 130y = 13
13x − 10y = 65x y = 28 . 10
13x − 10y = 65 10x 10y = 280
23x 0 = 345x = 15
13x − 10y = 6510x 10y = 280
x 1y
= 1830
⇒ x 1y
= 35
⇒ 5x 1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5
x 1y 1 = 5
10⇒ x 1
y 1 = 1
2⇒ 2 x 1 = 1y 1 ⇒ 2x − y =−1
64
5 . 2 − 3y =−510 − 3y =−5−3y = −153y = 15y = 5
5x − 3y =−52x − y =−1 . −3
5x − 3y = −5 −6x 3y = 3
−x 0 =−2x = 2
5x − 3y = −5−6x 3y = 3
xy= 2
5
x 1y
= 1830
⇒ x 1y
= 35
⇒ 5x 1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5
x 1y 1 = 5
10⇒ x 1
y 1 = 1
2⇒ 2 x 1 = 1y 1 ⇒ 2x − y =−1
64
5 . 2 − 3y =−510 − 3y =−5−3y = −153y = 15y = 5
5x − 3y =−52x − y =−1 . −3
5x − 3y = −5 −6x 3y = 3
−x 0 =−2x = 2
5x − 3y = −5−6x 3y = 3
xy= 2
5
x y = 610x y − 36 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 36 ⇒ x − y = 4
65
5 y = 6y = 6 − 5y = 1
x y = 6 x − y = 4
2x 0 = 10x = 5
10 . 5 1 = 51
x y = 1510x y − 9 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1
66
8 y = 15y = 15 − 8y = 7
x y = 15 x − y = 1
2x 0 = 16x = 8
10 . 8 7 = 87
x y = 1010x y 54 = 10y x ⇒ 9x − 9y =−54 ⇒ x − y = −6
67
2 y = 10y = 10 − 2y = 8
x y = 10 x − y = −6
2x 0 = 4x = 2
10 . 2 8 = 28
x y = 710x y − 27 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 27 ⇒ x − y = 3
68
5 y = 7y = 7 − 5y = 2
x y = 7 x − y = 3
2x 0 = 10x = 5
10 . 5 7 = 52
x y = 72 10y x 2 = 10x y ⇒ 20y 2x 2 = 10x y ⇒ −8x 19y =−2
69
x 2 = 7x = 7 − 2x = 5
8x 8y = 56 −8x 19y =−2
0 27y = 54y = 2
x y = 7 . 8−8x 19y =−2
8x 8y = 56−8x 19y =−2
10 . 2 5 = 25
x y = 15
2332
. 10y x = 10x y ⇒ 230y 23x32
= 10x y ⇒
230y 23x = 3210x y ⇒ 230y 23x = 320x 32y ⇒ −297x 198y = 0 ⇒−99x 66y = 0 ⇒ −33x 22y = 0 ⇒ −3x 2y = 0
70
x 9 = 15x = 15 − 9x = 6
3x 3y = 45 −3x 2y = 0
0 5y = 45y = 9
x y = 15 . 3−3x 2y = 0
3x 3y = 45−3x 2y = 0
10 . 9 6 = 96
y − x = 3 ⇒ −x y = 3
47
. 10y x = 10x y ⇒ 40y 4x7
= 10x y ⇒ 40y 4x = 7 10x y ⇒
40y 4x = 70x 7y ⇒ −66x 33y = 0 ⇒ −6x 3y = 0 ⇒ −2x y = 0
71
−3 y = 3y = 3 3y = 6
x − y = −3 −2x y = 0
−x 0 =−3x = 3
−x y = 3 . −1−2x y = 0
10 . 6 3 = 63
x − y =−3−2x y = 0
5x − 2y = 710x y 36 = 10y x ⇒ 9x − 9y =−36 ⇒ x − y = −4
72
5 . 5 − 2y = 725 − 2y = 7−2x =−18x = 9
5x − 2y = 7 −2x 2y = 8
3x 0 = 15x = 5
5x − 2y = 7x − y = −4 . −2
5x − 2y = 7−2x 2y = 8
10 . 5 9 = 59
10x y 10y x = 187 ⇒ 11x 11y = 187 ⇒ x y = 1710x y10y x = 1 9 ⇒ 10x y = 110y x 9 ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1
73
9 − y = 1−y = 1 − 9−y =−8y = 8
x y = 17 x − y = 1
2x 0 = 18x = 9
x y = 17x − y = 1 10 . 9 8 = 98
10x yy − x
= 12 ⇒ 10x y = 12y − x ⇒ 22x − 11y = 0
10y x 9x y
= 8 ⇒ 10y x 9 = 8 x y = −7x 2y =−9
74
x = 32x = 6
22x − 112x = 0 ⇒ 22x − 22x = 0 ⇒ 0 = 0−7x 22x = −9 ⇒ −7x 4x =−9 ⇒ −3x =−9 ⇒ x = 3
10 . 3 6 = 36
x y 5 = 12 ⇒ x y = 7
100x 10y 5 − 54 = 5 . 100 10x y ⇒ 100x 10y − 49 = 549 10x y ⇒90x 9y = 451 ⇒ 10x y = 61
75
6 y = 7y = 7 − 6y = 1
−x − y = −7 10x y = 61
9x 0 = 54x = 6
x y = 7 . −110x y = 61
100 . 6 10 . 1 5 = 615
−x − y =−710x y = 61
x 9 y = 21 ⇒ x y = 12
100x 1 9 . 10 y 1 = 100y 9 . 10 x − 497 ⇒100x 100 90 y 1 = 100y 90 x − 497 ⇒ 99x − 99y =−369 ⇒x − y = −4
76
4 y = 12y = 12 − 4y = 8
x y = 12 x − y = −4
2x 0 = 8x = 4
x y = 12x − y = −4 100 . 4 10 . 9 8 = 498
x y 2x = 18 ⇒ 3x y = 18
100x 10y 2x 297 = 2x . 100 10y x ⇒ −99x = −297 ⇒ x = 3
77
3 . 3 y = 189 y = 18y = 18 − 9y = 9
100 . 3 10 . 9 2 . 3 = 396
x y z w = 13z w = y ⇒ x y y =13 ⇒ x 2y = 13
x w = y2
⇒ 2 x w = y ⇒ 2x 2w = y
1.000w 100z 10y x − 1.000x 100y 10z w = 8191.000w 100z 10y x − 1.000x − 100y − 10z − w = 819−999x − 90y 90z 999w = 819−111x − 10y 10z 111w = 91−111x 111w 10−y z = 91
−111x 111w − 10w = 91−111x 101w = 91
78
formular uma equação que tenha as variáveis x e w:
x 2y = 13 ⇒ 2y = 13 − x ⇒ y = 13 − x2
2x 2w = y
2x 2w = 13 − x2
2 2x 2w = 13 − x4x 4w x =5x 4w = 13
5x 4 . 2 = 135x = 13 − 8x = 1
−555x 505w = 455 555x 444w = 1.443
0 949w = 1.898w = 2
−111x 101w = 91 . 55x 4w = 13 . 111
1 6 z 2 = 13z = 13 − 9z = 4
−555x 505w = 455555x 444w = 1.443
2 . 1 2 . 2 = yy = 2 4y = 6
1000 . 1 100 . 6 10 . 4 2 = 1.642
79 x y z w = 14
z = w2
y = z x ⇒ x = y − z
1.000x 100y 10z w 4.905 = 1.000w 100z 10y x1.000x 100y 10z w − 1.000w − 100z − 10y − x = −4.905999x 90y − 90z − 999w = −4.905111x 10y − 10z − 111w =−545111x − w 10 y − z = −545
111x − 111w 10x = −545121x − 111w =−545
formular uma equação que tenha as variáveis x e w:
x y z w = 14
x w2
x w2
w = 14
2x w 2x w 2w = 284x 4w = 28x w = 7
y = z x ⇒ y = w2
x
z = w2
z = 62
z = 3
121x − 111w = −545 −121x − 121w = −847
0 − 232w =−1.392w = 6
121x − 111w = −545x w = 7 . −121
y = 3 1y = 4
121x − 111w = −545−121x −121w =−847
x 6 = 7x = 1
1000 . 1 100 . 4 10 . 3 6 = 1.436
80 1938 − 1900 10x y = 10x y1938−1900 − 10x − y − 10x − y = 0−20x − 2y =−3820x 2y = 3810x y = 19
x = 1y = 9
1838 − 1800 10x y = 10x y1938−1800 − 10x − y − 10x − y = 0−20x − 2y =−13820x 2y = 13810x y = 69
x = 6y = 9
Supõe-se que a avó tenha nascido em 18...
81 o segundo número é o triplo do primeiro:3 1 . 105 104 a 103 b 102c 10d e = 105a 104 b 103c 102 d 10e 1 ⇒3.105 3.104a 3.103 b 3.102 c 3.10d 3e = 105a 104 b 103 c 102d 10e 1 ⇒3.105 − 1 = 105 a − 3.104a 104 b − 3. 103 b 103c − 3.102 c 102d − 3.10d 10e − 3e ⇒3.105 − 1 = 7. 104a 7.103 b 7.102 c 70d 7e ⇒3.105 − 1 = 7 104 a 103 b 102c 10d e ⇒
3.105 − 17
= 104 a 103 b 102c 10d e ⇒
3. 105 − 17
105 ⇒ 299.9997
105 ⇒ 42857 100.000 ⇒ 142.857
1abcde = abcde1
105 a − 3 .104 a = 100.000 − 30.000 = 70.000 = 7.104 a104 b − 3.103 b = 10.000 − 3.000 = 7.000 = 7.103 b103 c − 3 .102 c = 1.000 − 300 = 700 = 7.102 c102 d − 3.10d = 100 − 30 = 70 = 7 .10d10 e − 3e = 10 − 3 = 7 = 7e
veja que para abcde1 falta
logo, para 1abcde falta também 105
105
5x 30 = 7x 45x − 7x = 4 − 30−2x =−26x = 13
83 15x 30 = 20x 2015x − 20x = 20 − 30−5x = −10x = 2
8x 4 = 10x − 28x − 10x =−2 − 4−2x =−6x = 3 caixas8 . 3 4 = 28 laranjas
84 85
82a1 = 10x ya2 = 10y xa3 = 100x y
Como em uma P.A.: a2 − a1 = a3 − a1
10y x − 10x y = 100x y − 10y x ⇒9y − 9x = 99x − 9y ⇒108x − 18y = 0 ⇒6x − y = 0x < 2. Se x fosse maior que ou igual a dois, seria preciso que y fosse um número de dois algarismos para satisfazer a equação.Então x = 1
6 . 1 − y = 0−y =−6y = 6
a1 = 10 6 = 16a2 = 60 1 = 61a3 = 100 6 = 106
9x 14 = 10x − 49x − 10x = −4 − 14−x =−18x = 18 caixas9 . 18 4 = 166 laranjas
86 87 8x 4 = 10x − 48x − 10x =−4 − 4−2x =−82x = 8x = 4 cestos8 . 4 4 = 36 abacates
12x 10 = 15x − 812x − 15x =−8 − 10−3x = −183x = 18x = 6 caixas12 . 6 10 = 82 pêssegos
88 89 2x 14 = 4 x − 52x 14 = 4x − 202x − 4x =−20 − 14−2x =−342x = 34x = 17 alunos2 . 17 14 = 48 lápis
42 − 2 = 40 bancos40 . 3 2 = 122 passageiros
90 91 2x 2 = 3x − 2 . 32x − 3x =−6 − 2−x =−8x = 8 bancos2 . 8 2 = 18 passageiros
92 93 2x 13 = 3x − 3 . 32x − 3x =−9 − 13−x =−22x = 22 caixas2 . 22 13 = 57 pacotes
35 2x = 3x − 5 . 32x − 3x = −15 − 35−7x = −50x = 50 bancos35 2 . 50 = 135 passageiros
94 95 1x 18 = 3x − 6x − 3x =−6 − 18−2x =−242x = 24x = 12 gaiolas 12 18 = 30 pássaros
4x − 2 . 4 = 2x 24x − 2x = 2 82x = 10x = 5 galhos4 . 5 − 2 . 4 = 12 pássaros
96 97 5x = 7x − 4 . 65x − 7x = −24−2x =−242x = 24x = 12 crianças 5 . 12 = 60 bombons
8x 4 = 9x − 28x − 9x =−2 − 4−x =−6x = 6 bancos8 . 6 4 = 52 alunos
98 99
x2 1 [ x − x
2 1
2 2]= x
x 22
[ x − x 22
2 2] = x
x 22
2x − x − 22
. 12 2 = x
x 22
2x − x − 24 2 = x
2x 4 2x − x − 2 8 = 4x2x 2x − x − 4x =−4 2 − 8−x = = −10x = 10
5x = 2x 31 15x − 2x = 62 13x = 63x = 21 crianças21 . 5 = 105 bolas
x − x 102
2 3 ⇒
x − x − 102
2 3 ⇒
2x − x − 1022
3 ⇒
2x − x − 102
. 12 3 ⇒ 2x − x − 10
4 3 ⇒ 2x − x − 10 12
4⇒ x 2
4
x 102
1º freguês:
2º freguês:
100
x − x 102 − x 2
4 2
1 ⇒x − x − 10
2− x − 2
42
1 ⇒
4x − 2x − 20 − x − 242
1 ⇒ x − 224
. 12 1 ⇒ x − 22
8 1 ⇒ x − 22 8
8⇒
x − 148
3º freguês:
x 102
x 24
x − 148
= x ⇒ 4x 40 2x 4 x − 14 = 8x ⇒
4x 2x x − 8x =−40 − 4 14 ⇒ −x =−30 ⇒ x = 30
100x = 150 x − 10100x − 150x =−1500−50x = −150050x = 1500x = 30
100x 4.200 = 120x − 15100x 4.200 = 120x − 1.800100x − 120x =−1.800 − 4.200−20x = −6.00020x = 6.000x = 300
101 102
150x − 1.380 = 60x 690150x − 60x = 690 1.38090x = 2.070x = 23
130x 800 = 190x − 160130x − 190x = 160 − 800−60 =−96060 = 960x = 16 entradas 130 . 16 800 = 2.880 dinheiro
103 104
x − y = 2x9
x y = 3.840 ⇒ x = 3.840 − y
3.840 − y − y =2 3.840 − y
93.840 . 9 − 9y − 9y = 2 3.840 − y 3.840 . 9 − 18y = 2 . 3.840 − 2y−16y = 2 . 3.840 − 3.840 . 916y = 3.840 . 7
y =3.840 . 7
16⇒ y = 240 . 7 ⇒ y = 1.680 o que devo
x = 3.840 − 1.680 ⇒ x = 2.160 o que me devem
105
351 − x12
= x
351 − x = 12x13x = 351x = 27
106
x − y = 6.289xy
= 23 41 ⇒ x = 23y 41
23y 41 − y = 6.28922y = 6.248y = 284x = 23 . 284 41x = 6.573
107 x y = 59xy
= 8 y −1 ⇒ x = 8y y − 1 ⇒
x = 9y − 1
9y − 1 y = 5910y = 60y = 6x = 9 . 6 − 1x = 53
108
x − y = 84 ⇒ x = 84 yx 1 . y 1 = xy 379xy x y 1 − xy = 379x y = 378
84 y y = 3782y = 294y = 147x = 84 147 ⇒ x = 231
109 x . y 10 = x 1 . y 1xy 10 = xy x y 1xy − xy − x − y =−10 1−x − y =−9x y = 9
110
x − y = 84 ⇒ x = 84 yx 1 . y 1 = xy 379xy x y 1 − xy = 379x y = 378
84 y y = 3782y = 294y = 147x = 84 147 ⇒ x = 231
109 x . y 10 = x 1 . y 1xy 10 = xy x y 1xy − xy − x − y =−10 1−x − y =−9x y = 9
110
x − y = 4 ⇒ x = 4 y5x 3y = 84
5 4 y 3y = 8420 5y 3y = 848y = 64y = 8x = 4 8 ⇒ x = 12
111 x 5 = 5x5x = 5 x5x − x = 54x = 5
x = 54
112
113 2y y 2y y = 66y = 6y = 12y = 22y y = 3
213
x y = 325 ⇒ x = 325 − y
x y2= 180
325 − y y2
= 180
650 − 2y y = 360−y =−290y = 290 peso da água x = 325 − 290x = 35 copo vazio
114 x y = 14 ⇒ x = 14 − yx4 y = 5
14 − y4
y = 5
14 − y 4y = 203y = 6y = 2 vaso x = 12 água
115
12x = 9x 9 . 20012x − 9x = 1.8003x = 1.800x = 600
12 .600 = 7.200
116 100x 100y = 3.000
150x = 3.000 ⇒ x = 3.000150
⇒ x = 20
100 . 20 100y = 3.000100y = 3.000 − 2.000100y = 1.000y = 10
117
x y = 50 ⇒ x = 50 − yx − 5 = y 5
50 − y − 5 = y 5−y − y = 5 − 50 5−2y =−402y = 40y = 20x = 50 − 20 ⇒ x = 30
118 2 x − 1 = y 1x 1 = y − 1 ⇒ x = y − 2
2 y − 2 − 1 = y 12y − 4 − 2 = y 12y − y = 1 4 2y = 7
119
x y = 32 ⇒ x = 32 − yx6 y
5= 6 ⇒ 5x 6y = 180
5 32 − y 6y = 180160 − 5y 6y = 180y = 20x = 32 − 20 ⇒ x = 12
120 4 29 − x = 31 x−4x − x = 31 − 116−5x = 855x = 85x = 17 1.700
121
350x 31.500 = 4 350x 6.300350x 31.500 = 1.400x 25.200350x − 1.400x = 25.200 − 31.500−1.050x = −6.3001.050x = 6.300x = 6
122 x − y = 5.000 ⇒ x = 5.000 y5 . 200 x = 2 5 . 200 y
1.000 5.000 y = 2.000 2yy − 2y = 2.000 − 6.000y = 4.000x = 5.000 4.000x = 9.000
123
8.100x 40
= 5.700x
8.100x = 5.700 x 408.100x − 5.700x = 228.0002.400x = 228.000x = 95 operários 5.700
95= 60 salário
124 5x 7y = 222 ⇒ x = 222 − 7y5
3x 5y = 150
3 222 − 7y5 5y = 150
666 − 21y5
5y = 150
666 − 21y 25y = 7504y = 84y = 21
x = 222 − 7 . 215
⇒ x = 222 − 1475
x = 755
⇒ x = 15
125
1.400 4x12
= 3x 504
4 1.400 4x = 12 3x 505.600 16x = 36x 600−20x = −5.00020x = 5.000x = 250
126 127
2.400 x12
= x − 4004
4 2.400 x = 12 x − 4009.600 4x = 12x − 4.800−8x = −14.4008x = 14.400x = 1.800
128 700 5.000x15
= 6.000x 3.00045
700 5.000x1
= 6.000x 3.0003
3 700 5.000x = 1 6.000x 3.0002.100 15.000x = 6.000x 3.0009.000x = 900x = 0,1 tijolo700 5.000 . 0,1
15= 80 dia de serviço
129
1.200 x10
= x − 4006
6 1.200 x = 10 x − 4007.200 6x = 10x − 4.000−4x =−11.2004x = 11.200x = 2.800
135 − x = 2 85 − x135 − x = 170 − 2x−x 2x = 170 − 135x = 35
130 131 x y = 23 ⇒ x = 23 − yx − 5 = y 2 ⇒ x = y 723 − y = y 7−y − y = 7 − 23−2y =−16y = 8 caixa x = 23 − 8 ⇒ x = 15 cesto
x y = 1.800 ⇒ x = 1.800 − yx − 500 = 4 y − 300
1.800 − y − 500 = 4y − 1.200−y − 4y = −1.200 − 1.800−5y = 2.500
132
5y = 2.500y = 500 mais novox = 1.800 − 500x = 1.300 mais velho
4 x − 4 = y 4 ⇒ y = 4x − 204 y − 2 = x 2 ⇒ x = 4y − 10
x = 4 4x − 20 − 10x = 16x − 80 − 10−15x = −90x = 6 esquerda y = 4 . 6 − 20 ⇒ y = 4 direita
133 134 80x = 50 x 380x = 50x 15080x − 50x = 15030x = 150x = 5 prateleiras80 . 5 = 400 livros
x = y 15
x x2= y 28 ⇒ 3x = 2y 56
3 y 15 = 2y 563y 45 = 2y 563y − 2y = 56 − 45y = 11 Joãox = 11 15 ⇒ x = 26 Pedro
135 136 x 24 = 80 y80 − y = x
80 − y 24 = 80 y−y − y = 80 − 80 − 24−2y =−24y = 12 o quanto passou de 80x = 80 − 12x = 68 número primitivo
137 x − y 5 = 3 y 5 ⇒ x − y − 5 = 3y 15 ⇒ x = 4y 20x − y − 8 = 4 y − 8 ⇒ x − y 8 = 4y − 32 ⇒ x = 5y − 40
5y − 40 = 4y 205y − 4y = 20 40y = 60 bolas retiradas x = 4 . 60 20 ⇒ x = 260 bolas da caixa
138 x − 5 = y 5 ⇒ x = y 105 y − 5 = x 5 ⇒ 5y − 25 = x 5 ⇒ 5y = x 30
5y = y 10 304y = 40y = 1x = 10 10 ⇒ x = 20
139 x 1.000 = 2yy 1.000 = 3x ⇒ y = 3x − 1.000
x 1.000 = 2 3x − 1.000x 1.000 = 6x − 2.000−5x = −3.000x = 600 primeiroy = 3 . 600 − 1.000 ⇒ y = 800 segundo
140 3x 2y = 2x 3y 2 ⇒ 3x − 2x = 3y − 2y 2 ⇒ x = y 24x 2y = x 3y 2 10 ⇒ 4x − x = 3y − 2y 12 ⇒ 3x = y 12
3 y 2 = y 123y 6 = y 123y − y = 12 − 62y = 6y = 3 $0,10
x = 3 2x = 5 $ 0,50
141 25 x 150 = 30 x − 7025x 3.750 = 30x − 2.100−5x = −5.850x = 1.170 total de postes25 . 1.170 150 = 33.000 estrada
5x 4y = 44 ⇒ x = 44 − 4y5
4x 5y = 46
4 44 − 4y5 5y = 46
176 − 16y5
5y = 46
176 − 16y 25y = 2309y = 54y = 6
x = 44 − 4 . 65
x = 44 . 245
x =205
x = 4
x y = 10
142
x x x2 x
4 1 = 100
4x 4x 2x x 4 = 40011x = 396x = 36
143 note que “outros tantos” significa “o mesmo número” x x x
3 x
5 4 = 80
15x 15x 5x 3x 60 = 1.20038x = 1.140x = 30
144
x x2 2x 3x = 65
2x x 4x 6x = 13013x = 130x = 10
145 3x 2x x = 606x = 60x = 10 mais novo2x = 20 segundo3x = 30 mais velho
146
x 30 x 20 x = 803x = 30x = 10
10 30 10 20 = 70
147 3x x 4 3x x = 4004x 12x 4x = 40020x = 400x = 20
3 . 20 20 = 80
146
2x x 3 2x x = 1203x 6x 3x = 12012x = 120x = 10
149 2x x 2x x = 6.2406x = 6.240x = 1.040 Augusto2x = 2.080 José
150
primeira parte 9
terceira parte x = 9 y2
segunda parte y = 9 x
151 y = 9 9 y2
2y = 18 18 yy = 36 segunda parte
x = 9 362
x = 9 18x = 27 terceira parte
9 36 27 = 72
4x 7 x 4x 7 x − 3 = 1614x 7 x 5x 4 = 16110x = 150x = 154 . 15 7 = 67
152
153 x y z w = 60
x = y z w2
⇒ 2x = y z w
y = x z w3
⇒ 3y = x z w
z =x y w
4 ⇒ 4z = x y w
x 2x = 603x = 60x = 20
y 3y = 604y = 60y = 15
z 4z = 605z = 60z = 12
20 15 12 w = 60w = 60 − 47w = 13
x 2 . 50 = x . 15050x 100 = 150x−100x = 100x = 1 m /s1 . 150 = 150 prédio
154 x y = 450 ⇒ x = 450 − y
x − x6= y y
4⇒ 12x − 2x = 12y 3y ⇒
10x = 15y ⇒ 2x = 3y ⇒ x = 3y2
3y2
= 450 − y ⇒ 3y = 900 − 2y
5y = 900 ⇒ y = 180 Joséx = 450 − 180 ⇒ x = 270 Pedro180
4= 45
155
x y z = 550
y = x 30 ⇒ x 30 = y ⇒ x = y − 30y = z − 40 ⇒ z − 40 = y ⇒ z = y 40
156
y − 30 y y 40 = 5503y = 540y = 180
x = 180 − 30x = 150
z = 180 40z = 220
x y z w = 770157
y = 50 x ⇒ 50 x = y ⇒ x = y − 50y = z − 70 ⇒ z − 70 = y ⇒ z = y 70z = w − 80 ⇒ y 70 = w − 80 ⇒ y = w − 150 ⇒ w − 150 = y ⇒ w = y 150
y − 50 y y 70 y 150 = 7704y 170 = 7704y = 600y = 150
x y z w = 157158
y = 5 x ⇒ 5 x = y ⇒ x = y − 5y = z − 7 ⇒ z − 7 = y ⇒ z = y 7z = w − 8 ⇒ y 7 = w − 8 ⇒ y = w − 15 ⇒ w − 15 = y ⇒ w = y 15
y − 5 y y 7 y 15 = 1574y 17 = 1574y = 140y = 35 z = 35 7 ⇒ z = 42 $ 42.000
2 5x 5x = 45015x = 450x = 30
1 5x = 150
159 A B C D = 219
A = B − 27 ⇒ A = C − 34 − 27 ⇒ A = C − 61B = C − 34D = C 47
C − 61 C − 34 C C 47 = 2194C = 267 ⇒ C = 66,75B = 66,75 − 34 ⇒ B = 32,75 $ 32.750
160
x = 360 − x3
3x = 360 − x4x = 360x = 90
161 x2 360 − x
3= x
3x 720 − 2x = 6x−5x = −720x = 144
162 x 30 − x2
= 2x
2x 30 − x = 4x−3x = −30x = 10
163
x =2 7 − x
55x = 147x = 14x = 2
164 x = 24 − x3
3x = 24 − x4x = 24x = 6
165 x = 24 − x2
2x = 24 − x3x = 24x = 8
166
x = 24 − x4
4x = 24 − x5x = 24x = 4h resta 4
165 4 . 60 = 2405x = 240x = 48min
4h e 48min
2x5
=2 24 − x
36x = 240 − 10x16x = 240x = 15
168
x = 12 − x2
2x = 12 − x3x = 12x = 4h da tarde 16h
169 12 − x3
= x
12 − x = 3x4x = 12x = 3h da tarde 15h
170
x =3 12 − x
55x = 36 − 3x8x = 36x = 4h resta 4
171 12 − x3
= x
12 − x = 3x4x = 12x = 3h da tarde 15h
4 . 60 = 2408x = 240x = 30min
4h e 30min da tarde 16h e 30min
x = 6 12 − x 5x = 72 − 6x 57x = 77x = 11 da noite 23h
172 300150
= 2h173 divide-se a extensão da estrada
pela soma das velocidades:
18060
= 3h174 480120
= 4h175 600150
= 4h176 35070
= 5h177
21070
= 3h178 50 . 3 = 150 o quanto o trem já percorreu 80 − 50 = 30 a diferença da velocidade do trem e do carro
179
35070
= 5h
50 . 2 = 10070 − 50 = 20
10020
= 5h
180 20 . 3 = 6025 − 20 = 2
605
= 12h
181 50 . 2 = 10060 − 50 = 10
10010
= 10h
7 10 = 17h60km / em 10h = 600km
182
1806
= 30h
5 . 30 = 150km
183 540180
= 3h
70 . 3 = 210km
184 30 . 2 = 60200 − 60 = 140
14060 10
= 2h
30 . 2 2 = 120km
185
24080
= 3h
30 . 3 = 90km
186 187 70 . 2 = 140740 − 140 = 600
60070 80
= 4h
8 4 = 12h70 . 2 4 = 420km de A80 . 4 = 320km de B
60 − 12 = 48eles se encontrarão no km 48
A ⇒ x − 4 . y = 48 ⇒ xy − 4y = 48 ⇒ xy − 4y = 48B ⇒ 60 − xy − 60 = 48 ⇒ 60 − xy 60 = 48 ⇒ −xy =−72
xy − 4y = 48 −xy =−72
0 − 4y = −244y = 24y = 6h
A ⇒ x − 4 . 6 = 486x − 24 = 486x = 72x = 12 velocidade de Bx − 4 = 8 velocidade de A
188
300150
= 2h se encontrarão
80 . 2 = 160km de B
16040
= 4h
2 4 = 6h8h 6h = 14h
189
z = 20x
yx 1
temos as seguintes grandezas:
x = velocidadey = distânciaz = tempo total
z−23= 20 y
x 1z1
3= 20 y
x
23= 40min 1
3= 20min
substituindo o ''z'' nas outras equações:
20x
yx 1
− 23= 20 y
x 1⇒ 20
x− 2
3= 20 y
x 1− y
x 1⇒ 20
x− 2
3= 20
x 1
20x
yx 1
13= 20 y
x⇒ y
x 1 1
3= 20 y
x− 20
x⇒ y
x 1 1
3= y
x
190
20x
− 23= 20
x 1⇒ −2
3= 20
x 1− 20
x⇒ 2
3= 20
x− 20
x 1
yx 1
13= y
x⇒ 1
3= y
x− y
x 1
Reorganizando:
20x
− 23= 20
x 1⇒ −2
3= 20
x 1− 20
x⇒ 2
3= 20
x− 20
x 1
yx 1
13= y
x⇒ 1
3= y
x− y
x 1
23= 20 . 1
x− 1
x 1 13= y . 1
x− 1
x 1
Simplificando (tire o fator comum):
2 . 13= 2
3
Note que a primeira é o dobro da segunda:
2 . y = 20y = 10
y = distância
Logo, a distância percorrida foi 20 + 10 = 30km
49 x = 3 15 x 49 x = 45 3xx − 3x = 45 − 49−2x =−4x = 2
191 32 x = 3 4 x32 x = 12 3xx − 3x = 12 − 32−2x =−20x = 10
192 3 11 x = 35 x33 3x = 35 x3x − x = 35 − 332x = 2x = 1
193
2 x − 6 = 12 x2x − 12 = 12 x2x − x = 12 12x = 24
194 31 − x = 4 13 − x 31 − x = 52 − 4x−x 4x = 52 − 313x = 21x = 7
195 196 35 − x = 5 15 − x35 − x = 75 − 5x−x 5x = 75 − 354x = 40x = 10
197 55 x = 9 x 11 x 13 xx − 3x = 33 − 55−2x =−22x = 11
19842 − x = 4 15 − x42 − x = 60 − 4x−x 4x = 60 − 423x = 18x = 6
199 48 − x = 30 − x 20 − x 6 − x−x 3x = 56 − 482x = 8x = 4
53 − x = 15 − x 24 − x 22 − x−x 3x = 61 − 532x = 8x = 4
200
201 53 − x = 33 − x 32 − x 31 − x 29 − x−x 4x = 125 − 533x = 72x = 24
202 x y = 21 ⇒ x = 21 − y3y = x 3
3y = 21 − y 34y = 24y = 6x = 21 − 6 ⇒ x = 15
203 x y = 96 ⇒ x = 96 − yx − 22 = y 22
96 − y − 22 = y 22−y − y = 22 22 − 96−2y =−52 ⇒ y = 26x = 96 − 26 ⇒ x = 70
204 x y = 120 ⇒ x = 120 − yx − 10 = y 10
120 − y − 10 = y 10−y − y = 10 10 − 120−2y =−100 ⇒ y = 50
205 x − y = 24 ⇒ x = 24 yx 5 = 3 y 5
24 y 5 = 3y 15y − 3y = 15 − 29−2y =−14 ⇒ y = 7x = 24 7 ⇒ x = 31
206 x y = 78 ⇒ x = 78 − yx − 9 = 3 y − 9
78 − y − 9 = 3y − 27−y − 3y =−27 9 − 78−4y =−96 ⇒ y = 24x = 78 − 24 ⇒ x = 54
207 x − 7 = 7 y − 7 ⇒ x − 7 = 7y − 49 ⇒x = 7y − 42x 3 = 3 y 3 ⇒ x 3 = 3y 9 ⇒x = 3y 6
7y − 42 = 3y 67y − 3y = 6 424y = 48 ⇒ y = 12
208 x − 7 = 3 y − 7 ⇒ x − 7 = 3y − 21 ⇒ x = 3y − 14x 7 = 2 y 7 ⇒ x 7 = 2y 14 ⇒ x = 2y 7
3y − 14 = 2y 73y − 2y = 7 14y = 21
x = 2yx − 10 = 3 y − 10 ⇒ x − 10 = 3y − 30 ⇒ x = 3y − 20
2y = 3y − 202y − 3y =−20 ⇒ y = 20x = 2 . 20 ⇒ x = 40
209
x − 18 = 2 y − 18 ⇒ x − 18 = 2y − 36 ⇒ x = 2y − 18
x 9 =54 y 9 ⇒ x 9 =
5y 454 ⇒ 4x 36 = 5y 45 ⇒ 4x = 5y 9
4 2y − 18 = 5y 98y − 72 = 5y 93y = 81 ⇒ y = 27x = 2 . 27 − 18 ⇒ x = 54 − 18 ⇒ x = 36
210
211 x = 5yx 5 = 3 y 5 ⇒ x 5 = 3y 15 ⇒ x = 3y 10
5y = 3y 102y − 10y = 5
212 x − 10 = 35x 10 ⇒ x − 10 = 3x 30
5⇒
5x − 50 = 3x 30 ⇒ 2x = 80 ⇒ x = 40
213 x 20 = 2 x − 20 ⇒x 20 = 2x − 40 ⇒x − 2x = −40 − 20 ⇒x = 60
215
214 x = y 303y = x 50
3y = y 30 502y = 80y = 40x = 40 30 ⇒ x = 70
23= x
y⇒ 2y = 3x
x − 10y − 10
= 14
⇒ 4x − 40 = y − 10 ⇒ y = 4x − 30
2 4x − 30 = 3x8x − 60 = 3x5x = 60 ⇒ x = 122y = 3 . 12 ⇒ 2y = 36 ⇒ y = 18
216 x x 5 x 10 x 15 2x = x x 5 x 10 x 15 x 20x − x x 5 − x 5 x 10 − x 10 x 15 − x − 15 2x = x 202x = x 20x = 20
20 20 5 20 10 20 15 2 . 20 = 150
217 x = y 30x = 3 y − 2 ⇒ x = 3y − 6
y 30 = 3y − 6−2y =−36y = 18
note que se o filho nascesse dois anos depois ele seria atualmente mais novo.
218 x 2 x − 4 = 302x = 32x = 16
x − 4 = 12
Passado Presente Futuro Eu y 2x A Tu x y 2x
Passado Presente Futuro Eu y 4x A Tu x y 4x
Passado Presente Futuro Eu y 3x A Tu x y 3x
xy20 = 3x
5 ⇒ xy4 = 3x ⇒ xy = 12x ⇒ y = 12x
x ⇒ y = 12
4xy5
= y 2 ⇒ 4xy = 5y2 ⇒ 4x = 5y2
y⇒ 4x = 5y
4x = 5 . 12 ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15
2x − y = y − x3x = 2y
x = 2y3
Relacionando o presente com o passado
Relacionando o futuro com o presente
A − 2x = 2x − y5 = 2x − y−y = 5 − 2xy = 2x − 5
x =2 2x − 5
33x = 4x − 10−x =−10x = 10
y = 2 . 10 − 5y = 20 − 5y = 15
219
220
4x − y = y − x5x = 2y
x = 2y5
Relacionando o presente com o passado
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 4x − y9 = 4x − y−y = 9 − 4xy = 4x − 9
x =2 4x − 9
55x = 8x − 18−3x =−18x = 6
y = 4 . 6 − 9y = 24 − 9y = 15
221
Eu: 2 . 10 = 20Tu: 15
Eu: 4 . 6 = 24Tu: 15
3x − y = y − x4x = 2y
x = 2y4
⇒ x = y2
Relacionando o presente com o passado
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 3x − y20 = 3x − y−y = 20 − 3xy = 3x − 20
x =3x − 20
22x = 3x − 20−x =−20x = 20
y = 3 . 20 − 20y = 60 − 20y = 40
222
Eu: 3 . 20 = 60Tu: 40
Passado Presente Futuro Eu y 3x A Tu x y 3x
Passado Presente Futuro Eu y 2x A Tu x y 2x
Passado Presente Futuro Eu
Tu x y
Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 4 3 8 Raposa 5 6 5
3x − y = y − x4x = 2y
x = 2y4
⇒ x = y2
Relacionando o presente com o passado
Relacionando o futuro com o presente
A − 4x = 3x − y10 = 3x − y−y = 10 − 3xy = 3x − 10
x = 3x − 102
2x = 3x − 10−x =−10x = 10
y = 3 . 10 − 10y = 30 − 10y = 20
223
Eu: 3 . 10 = 30Tu: 20
Relacionando o presente com o passado
Substituindo o x:
224
2x − y = y − x3x = 2y
x = 2y3
Relacionando o futuro com o presente
2y3
4y3
4y3
A −4y3 =
4y3 − y
3A − 4y = 4y − 3y3A = 5y
A =5y3
5y3
A soma das idades:A 2x = 54 ⇒
5y3
4y3 = 54
5y 4y = 1629y = 162y = 18
x = 2 . 183
x = 2 . 6x = 12
Eu: 2 . 12 = 24Tu: 18
225
Convertendo os pulos de cão em de raposa:
cão raposa3 64 x
3x = 6 . 4
x = 243
x = 8 8 − 5 = 3
Quando o cão dá 8 pulos (de raposa) a raposa dá 5, então o cão tira 3 pulo da raposa
Regra de três:
A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 3 pulos da raposa. Então para se tirar 60 pulos será necessário dar x pulos:
Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 4 6 6 Lebre 5 9 5
Regra de três:
A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da lebre. Então para se tirar 50 pulos será necessário dar x pulos:
Saltos Equivalência Saltos Convertidos Cão 6 3 14 Raposa 9 7 9
Regra de três:
A cada 6 saltos (de cão) o cão tira 5 saltos da raposa. Então para se tirar 60 saltos será necessário dar x saltos:
cão raposa4 3x 60
3x = 60 . 4
x = 60 . 43
x = 20 . 4x = 80
226
Convertendo os pulos de cão em de lebre:
cão lebre6 94 x
6x = 9 . 4
x = 366
x = 66 − 5 = 1
cão lebre4 1x 50
x = 50 . 4x = 200
227
Convertendo os saltos de cão em de raposa:
cão raposa3 76 x
3x = 6 . 7
x = 423
x = 14 14 − 9 = 5
Quando o cão dá 14 saltos (de raposa) a raposa dá 9, então o cão tira 5 saltos da raposa
Quando o cão dá 6 pulos (de raposa) a raposa dá 5, então o cão tira 1 pulo da raposa
Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 3 6 5 Raposa 4 10 4
Regra de três:
A cada 3 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da raposa. Então para se tirar 63 pulos será necessário dar x pulos:
Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 11 5 17,6 Lebre 14 8 14
Regra de três:
A cada 11 pulos (de cão) o cão tira 3,6 pulos da lebre. Então para se tirar 63 pulos será necessário dar x pulos:
cão raposa6 5x 60
5x = 60 . 6
x = 60 . 65
x = 12 . 6x = 72
228
Convertendo os pulos de cão em de raposa:
cão raposa6 103 x
6x = 3 . 10
x = 306
x = 5 5 − 4 = 1
cão raposa3 1x 63
3x = 63 . 3x = 189
229
Convertendo os pulos de cão em de lebre:
cão lebre5 8
11 x
5x = 11 . 8
x = 885
x = 17,6
Quando o cão dá 17,6 pulos (de lebre) a lebre dá 14, então o cão tira 3,6 pulos da lebre
17,6 − 14 = 3,6
cão lebre11 3,6x 63
3,6x = 63 . 11
x = 63 . 113,6
x = 17,5 . 11x = 192,5
Quando o cão dá 5 pulos (de raposa) a raposa dá 4, então o cão tira 1 pulo da raposa
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
4 . 30º = 120º
121
2
3
4
567
8
9
10
11
3 . 30º = 90º
121
2
3
4
567
8
9
10
11
6 . 30º = 180º
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
4 . 30º = 120º
230 231 232 233
Quando o ponteiro grande percorre 360º, o pequeno percorre 30º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
grande pequeno360 30120 x
360x = 30 . 120
x = 30 . 120360
x =303
x = 10
120º − 10º = 110º
apenas o ponteiro grande:4 . 30º = 120º
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
x
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11234
apenas o ponteiro pequeno:0º
Quando o ponteiro grande percorre 360º, o pequeno percorre 30º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 180º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
grande pequeno380 30180 x
360x = 30 . 180
x = 30 . 180360
x = 302
x = 15
180º − 30º 15º = 135º
apenas o ponteiro grande:6 . 30º = 180º
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
x
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11235
apenas o ponteiro pequeno:1 . 30º = 30º
Quando o ponteiro grande percorre 360º, o pequeno percorre 30º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
grande pequeno380 30120 x
360x = 30 . 120
x = 30 . 120360
x =303
x = 10
120º − 60º 10º = 50º
apenas o ponteiro grande:4 . 30º = 120º
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
x
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11236
apenas o ponteiro pequeno:2 . 30º = 60º
Quando o ponteiro grande percorre 360º, o pequeno percorre 30º
Regra de três:
O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?
grande pequeno380 30120 x
360x = 30 . 120
x = 30 . 120360
x = 303
x = 10
120º 10º = 130º
apenas o ponteiro grande:4 . 30º = 120º
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
x
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11237
apenas o ponteiro pequeno:4 . 30º = 120º
A primeira superposição ocorre depois de 1h, nela vemos que:12
1
2
3
4
56
7
8
9
10
11
O ponteiro grande percorreu 1h + 5min + xseg
O ponteiro pequeno percorreu apenas 5min + xseg
238
Formulando uma equação:grande pequeno
60 5 x = 5 x65 x = 5 x65 x = 12 5 x
65 x = 60 12x11x = 5
x =5
11
A velocidade do ponteiro grande é 12 vezes a do pequeno
Então, para a primeira superposição temos:1h 5min 5/11seg
A superposição dos ponteiros::
Entre 12 e 1 hora - não háEntre 1 e 2 horas - 1h 5min 5/11segEntre 2 e 3 horas - 2 (1h 5min 5/11seg) = 2h 10min 10/11seg...
Voltando ao problema:
Entre 4 e 5 horas: 4 (1h 5min 5/11seg) = 4h 20min 20/11seg = 4h 21min 9/11seg
239Entre 2 e 3 horas: 2 (1h 5min 5/11seg) = 2h 10min 10/11seg
240Entre 6 e 7 horas: 6 (1h 5min 5/11seg) = 6h 30min 30/11seg = 6h 32min 8/11seg
241Entre 7 e 8 horas: 7 (1h 5min 5/11seg) = 7h 35min 35/11seg = 7h 38min 2/11seg
242 Entre 19 e 20 horas: 7 (1h 5min 5/11seg) = 7h 35min 35/11seg = 7h 38min 2/11seg = 19h 38min 2/11seg
243 xy = 120 ⇒ x = 120y
x − 2 . y 2 = 120 ⇒ xy 2x − 2y − 4 = 120 ⇒ xy 2x − 2y = 124
120y
. y 2 . 120y
− 2y = 124
120 240y
− 2y = 124
120y 240 − 2y2 = 124y−2y2 − 4y 240 = 02y2 4y − 240 = 0y 2 2y − 120 = 0
x = meninosy = cota
y =−2 ± 22 − 4 . 1 . −120
2 . 1
y =−2 ± 4 480
2
y = −2 ± 4842
y =−2 ± 22
2
y ' = −2 − 222
y ' = −242
y ' =−12
y ' ' = −2 222
y '' = 202
y ' ' = 10
x = 12010
x = 12
x y z w = 450
x 20 = y − 20 = 2z = w2
x x 40 x 202 2x 40 = 450
4x 80 x 202
= 450
8x 160 x 20 = 9009x 180 = 9009x = 720x = 80
244y − 20 = x 20 ⇒ y = x 40
2z = x 20 ⇒ z = x 202
w2
= x 20 ⇒ w = 2x 40
y = 80 40 ⇒ y = 120
z = 80 202
⇒ z = 50
w = 2 . 80 40 ⇒ w = 200
2452x = y − 155 x − 45 = y − 15 ⇒ y = 5x − 210
2x = 5x − 210 − 15−3x = −225x = 75
2 . 75 = y − 15y − 15 = 150y = 165
2463 100 − 6x 4y = 100 − 4y 6x300 − 18x 12y 4y − 6x = 100−24x 16y = −20024x − 16y = 200x y = 20
x = 20 − y
24 20 − y − 16y = 200480 − 24y − 16y = 200−40y =−280y = 7
x = partidas perdidas pelo paiy = partidas perdidas pelo filho
x = 20 − 7x = 13
O pai ganhou 7 partidasO filho ganhou 13
247x2= y 1 ⇒ x = 2y 1 ⇒ 2y = x − 1 ⇒ y = x − 1
2x3= z 1 ⇒ x = 3z 1 ⇒ 3z = x − 1 ⇒ z = x − 1
3x4 = w 3 ⇒ x = 4w 3 ⇒ 4w = x − 3 ⇒ w =
x − 34
y z w = x
x − 12
x − 13
x − 34
= x
6x − 6 4x − 4 3x − 9 = 12x6x 4x 3x − 12x = 6 4 9x = 19
x y z w = 60
x = y z w2
⇒ 2x = y z w
y = x z w3
⇒ 3y = x z w
z = x y w4
⇒ 4z = x y w
248x 2x = 60 ⇒ 3x = 60 ⇒ x = 20
3y y = 60 ⇒ 4y = 60 ⇒ y = 15
4z z = 60 ⇒ 5z = 60 ⇒ z = 12
20 15 12 w = 60w = 60 − 47w = 13 $13,00
“todo o enxame” se refere a toda colmeia. A questão quer saber quantas abelas têm em toda a colmeia
x = colmeia
x2
= enxamegrupo de abelhas que pousou sobre o jasmim
8x9
= abelhas que ficaram na colmeia
2 = abelha da lótus abelha no cálice
x = x2 8x
9 2 ⇒ x
2= x − 8x
9− 2 ⇒ x
2= x
9− 2 ⇒ x
2= x
9− 2
2
⇒
x2= x2
81− 4 ⇒ 81x = x2 − 648 ⇒ x2 − 81x − 648 = 0
x =−−81 ± −812 − 4 . 1 . 648
2 . 1
x =81 ± 6.561 − 2.592
2
x = 81 ± 3.9692
x =81 ± 63
2
x ' = 81 − 632
x ' = 182
x ' = 9
x ' ' = 81 632
x ' ' = 1442
x ' ' = 72
249
250Supõe-se que haja 300 unidades de ração, pois 15 . 20 = 300300 – 30 = 270, pois 2 . 15 = 30270 – 72 = 198, pois 4 . 18 = 72
(18 – x) . 18 = 198324 – 18x = 198-18x = -126x = 7
251 Supõe-se que haja 40.000 unidades de víveres, pois 500 . 80 = 40.00040.000 – 14.000 = 26.000, pois 28 . 500 = 14.000650x = 26.000x = 40
252 Supõe-se que haja 22.500 unidades de víveres, pois 250 . 90 = 22.50022.500 – 3.750 = 18.750, pois 15 . 250 = 3.75018.750 – 4.400 = 14.350, pois 20 . 220 = 4.400287x = 14.350x = 50
top related