os números inteiros

Sumario

OS NUMEROS INTEIROS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

09 de setembro de 2016

Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao

Sumario

1 Introducao

2 A Adicao e a Multiplicacao

3 Ordenacao dos Inteiros

4 Princıpio da Boa Ordenacao


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1 Introducao





Numeros Inteiros

Desenvolvimento das atividades mercantis na Europa no final da Idade Media:necessidade de considerar os inteiros relativos e com eles efetuar operacoes

Bombelli (1526-1572) l’Algebra:

regras operatorias com

numeros inteiros

Final do seculo XIX: nocao de numero baseada em conceitos da teoria dosconjuntos, considerados mais primitivos


Numeros Inteiros

Nosso ponto de partida: o conjunto dos numeros inteirosZ = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

juntamente com as operacoes de adicao (a, b) 7→ a + b e de multiplicacao(a, b) 7→ a.b

Em Z ha um conjunto que se destaca: o conjunto dos numeros naturaisN = {1, 2, 3, ...}

Abordagem axiomatica, ou seja, a partir de uma lista razoavelmente pequena de

propriedades basicas dos numeros inteiros e das duas operacoes, vamos mostrar

como podem ser obtidas as demais propriedades


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1 Introducao





A Adicao e a Multiplicacao

As operacoes de adicao e de multiplicacao em Z possuem as seguintes propriedades:

1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:Para todos a, b, a′, b′ ∈ Z, se a = a′ e b = b′, entao a + b = a′ + b′ ea.b = a′.b′

Essa propriedade e a que permite somar um dado numero a ambos os lados de uma igualdade, ou

multiplicar ambos os lados por um mesmo numero

2 A adicao e a multiplicacao sao comutativas:Para todos a, b ∈ Z, a + b = b + a e a.b = b.a

3 A adicao e a multiplicacao sao associativas:Para todos a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)

4 A adicao e a multiplicacao possuem elementos neutros:Para todo a ∈ Z, a + 0 = a e a.1 = a

5 A adicao possui elementos simetricosPara todo a ∈ Z, existe b(= −a) tal que a + b = 0

6 A multiplicacao e distributiva com relacao a adicao:Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se a.(b + c) = a.b + a.c


Numeros Inteiros

Anel: conjunto munido das operacoes de adicao e multiplicacao quepossui as propriedades de 1 a 6 acima (conjunto cujos elementos

sujeito as leis basicas da aritmetica

Dada a existencia de tantos outros conjuntos com operacoes deadicao e multiplicacao sujeitos as leis basicas da aritmetica

Note que Z = N ∪ {0} ∪ (−N)


Numeros Inteiros

Proposicao 1.1: a.0 = 0 para todo a ∈ Z

Proposicao 1.2: A adicao e compatıvel e cancelativa com respeito aigualdade:

∀a,b, c ∈ Z, a = b ⇔ a + c = b + c

A operacao de adicao permite-nos definir uma nova operacaochamada de subtracao

Dados dois numeros inteiros a e b, define-se o numero b menos a,denotado por b − a, como sendo

b − a = b + (−a)Dizemos que b − a e o resultado da subtracao de a e de b


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1 Introducao





Ordenacao dos Inteiros

Admitiremos que em Z tambem valem as seguintes propriedades:

7 Fechamento de N: O conjunto N e fechado para a adicao e para amultiplicacao, ou seja, para todos a, b ∈ N, tem-se que a + b ∈ N eab ∈ N

8 Tricotomia: Dados a, b ∈ Z, uma, e apenas uma, das seguintespropriedades e verificada:i) a = b ii) b − a ∈ N iii) −(b − a) = a− b ∈ N ou ainda b < a

Diremos que a e menor do que b, simbolizado por a < b, toda vez que apropriedade (ii) acima for verificada

Resultado: a > 0 se, e somente se −a < 0



Proposicao 1.3: A relacao “menor do que” e transitiva:∀a, b, c ∈ Z, a < b e b < c ⇒ a < c

Proposicao 1.4: A adicao e compatıvel e cancelativa com respeito a relacao“menor do que”:

∀a, b, c ∈ Z, a < b ⇔ a + c < b + c

Proposicao 1.5: A multiplicacao por elementos de N e compatıvel ecancelativa com respeito a relacao “menor do que”:

∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ N, a < b ⇔ ac < bc

Proposicao 1.6: A multiplicacao e compatıvel e cancelativa com respeito aigualdade:

∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ Z\{0}, a = b ⇔ ac = bc



Resultado: Z e um domınio de integridade

Formulacao contrapositiva: ∀a,b ∈ Z\{0} tem-se que ab 6= 0

Note que a relacao < nao e uma relacao de ordem pois nao ereflexiva



Relacao de ordem: Diremos que a e menor ou igual do que b,ou que b e maior ou igual do que a, escrevendo a ≤ b ou

b ≥ a, se a < b ou a = b

Propriedades que deve possuir uma relacao de ordem:

Reflexividade: ∀a ∈ Z, a ≤ aAntissimetria: ∀a,b ∈ Z, a ≤ b e b ≤ a⇒ a = bTransitividade: ∀a,b, c ∈ Z, a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c


Valor Absoluto

Definicao: Seja a ∈ Z, definimos

|a| =

{a, se a ≥ 0−a, se a < 0

Note que ∀a ∈ Z, tem-se que |a| ≥ 0 e |a| = 0⇔ a = 0

O numero inteiro |a| e chamado de modulo ou valor absolutode a


Valor Absoluto

Proposicao 1.7 Para a,b ∈ Z e r ∈ N, temos:

i) |ab| = |a||b|ii) |a| ≤ r se, e somente se, −r ≤ a ≤ riii) −|a| ≤ a ≤ |a|iv) a desigualdade triangular||a| − |b|| ≤ |a± b| ≤ |a|+ |b|


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1 Introducao





Princıpio da Boa Ordenacao

Diremos que um subconjunto S de Z e limitado inferiormente,se existir c ∈ Z tal que c ≤ x para todo x ∈ S. Diremops quea ∈ S e um menor elemento de S se a ≤ x para todo x ∈ S

Convencionamos que o conjunto vazio, apesar de nao possuirnenhum elemento, e limitado inferiormente, tendo qualquernumero como cota inferior

Resultado: Um menor elemento de S, se existir, e unico



Princıpio da Boa Ordenacao9 Se S e um subconjunto nao vazio de Z e limitado

inferiormente, entao S possui um menor elemento

Em particular, como qualquer subconjunto de N e limitadoinferiormente, tempos que todo subconjunto nao vazio de Npossui um menor elemento



Proposicao 1.8: Nao existe nenhum numero inteiro n tal que0 < n < 1

Corolario 1.9: Dado um numero inteiro n qualquer, nao existenenhum numero inteiro m tal que n < m < n + 1

Corolario 1.10: Sejam a,b ∈ Z. Se ab = 1, entao a = b = ±1

Corolario 1.11: Se a,b ∈ Z, com b 6= 0, entao |ab| ≥ |a|



Propriedade ArquimedianaCorolario 1.12: Sejam a,b ∈ Z, com b 6= 0. Entao existe n ∈ Z

tal que nb > a

Um subconjunto T de Z sera dito limitado superiormente se forvazio ou se existir um numero d ∈ Z tal que

∀x ∈ T , x ≤ dNesse caso, diremos que d e uma cota superior para T

Diremos que um elemento b ∈ Z e o maior elemento de T , seb e uma cota superior de T com b ∈ T

Resultado: Um menor elemento de T , se existir, e unico.Nesse caso ele sera denotado por max T



O Princıpio da Boa Ordenacao possui a seguinte formulacao:

Proposicao 1.13: Se T e um subconjunto de Z nao vazio elimitado superiormente, entao T possui um maior elemento

Uma das mais importantes consequencias do Princıpio da BoaOrdenacao:

Princıpio de Inducao MatematicaTeorema 1.14: Sejam S um subconjunto de Z e a ∈ Z tais que:i) a ∈ Sii) S e fechado com respeito a operacao de “somar 1” a seuselementos, ou seja, ∀n, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Entao,{x ∈ Z; x ≥ a ⊂ S}



Definicao: Uma sentenca aberta em n e uma frase deconteudo matematico onde figura a letra n como palavra e que

se torna uma sentenca verdadeira ou falsa quando n esubstituıdo por um numero interiro bem determinado

Prova por Inducao Matematica

Teorema 1.15: Seja a ∈ Z e seja p(n) uma sentenca abertaem n. Suponha quei) p(a) e verdadeiro, e queii) ∀n ≥ a, p(n)⇒ p(n + 1) e verdadeiroEntao, p(n) e verdadeiro para todo n ≥ a



Exemplo 1.16: (Francesco Maurolycus - 1575)Determinacao de uma formula exata em funcao de n ≥ 1 paraa soma dos n primeiros numeros naturais ımparesSn = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n − 1)

Exemplo 1.17: Vamos determinar uma formula para a somados n primeiros numeros pares



Prova por Inducao Completa

Teorema 1.15: Seja p(n) uma sentenca aberta tal quei) p(a) e verdadeiro, e queii) ∀n, p(a) e p(a + 1) e ... e p(n)⇒ p(n + 1) e verdadeiroEntao, p(n) e verdadeiro para todo n ≥ a

Definicao: Seja A um conjunto qualquer. Uma sequencia em Aeuma funcao

s : N→ An 7→ s(n)

E praxe denotar o elemento s(n) de A por sn. Uma sequencia stambem sera denotada por (sn)

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