николаева первообр интеграл

Первообразная Интеграл

Содержание Понятие первообразной Неопределенный интеграл Таблица первообразных Три правила нахождения первообразных Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции (1) Площадь криволинейной трапеции (2) Площадь криволинейной трапеции (3) Площадь криволинейной трапеции (4) Пример (1) Пример (2)

Понятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если на нем производная функции F(x) равна f(x):

Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием.

)x(f)x(F

Примеры1. f(x) = 2x; F(x) = x2 F(x)= (x2) = 2x = f(x)

2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)

3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x F(x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)

4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x F(x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.

c)x(Fdx)x(f

Где С – произвольная постоянная (const).

Примеры

3344

3 xx441С

4x;С

4xdxx.4

xxxx eCe;Сedxe.2

xsinCxcos;Сxcosxdxsin.3

ACAx;CAxAdx.1

xcos

1Cxtg;Cxtgdxxcos

1.5 22

Три правила нахождения

первообразных1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x).2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для kf.3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –

постоянные, причем k ≠ 0, то функция

F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b).

1k

Площадь криволинейной трапеции

a b x

y

y = f(x)

0

)a(F)b(F

dx)x(fSb

aABCD

A B

CD

x =

a

x =

b y = 0

Площадь криволинейной трапеции (1)

a b x

y

y = f(x)

0A B

CD

x =

a

x =

b

y = 0

b

aABCD dx)x(fS

)b(F)a(F

a b x

y

y = f(x)

0

y = g(x)

A B

CD

MP

ABMPABCDPMCD SSS

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

Площадь криволинейной

трапеции (2)

a b x

yy = f(x)

0

y = g(x)

A B

CD

MP

b

a

b

a

b

a

dxxgxf

dxxgdxxf

ABMPABCDPMCD SSS

Площадь криволинейной

трапеции (3)

Пример 1: вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.

x

y

y = x

2

y = x

+ 2

-1 2A

B

OD

C

2

ABOCDABCDВОС SSS

2

1

2

1

2 dxxdx2x

4,5215

312

21

3842

2

1

322

1

2

3x2x

2xdxх2х

a b x

y

y = f(x)

0y = g(x)

ABC

D

с

Е

СDBAEDCАЕDВ SSS

с

a

b

сdxxgdxxf

Площадь криволинейной

трапеции (4)

Пример 2:

2 8 x

y = (x – 2) 2

0A BC

D

4

yy = 2√8 – x

4

вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

СDBADСАDВ SSS

8

4

4

2

34

2

8

4

2

3x8x84

32xdxх-82dx2-x

348484

388884

322

324 33

Пример 2: вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х

= 8, у = 0

3113

340

332

38