Неопределенный интеграл
DESCRIPTION
Неопределенный интеграл. §1 Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x ), произведение которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на этом промежутке. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Неопределенный интеграл.
§1 Первообразная функция.Понятие неопределенного интеграла.
Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), произведение которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на этом промежутке.
Определение: Если на некотором промежутке выполняется равенство F’(x)=f(x), то функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на этом промежутке.
1 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx т.к. (Sinx)’=Cosx2 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx+1000 т.к. (Sinx+1000)’=Cosx3 для функции f(x)= F(x)=Arctgx т.к. (tgx)’=
21
1
x
1
12 x
Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.
Доказательство: - некоторая функция и - первообразные т.е.
)(xf)(1 xF )(2 xF
CFFFFfFfF 212121 ''';'
Следствие: Прибавляя к какой-нибудь первообразной
F(x) для данной функции f(x), определенной на [a;b], все возможные const C, мы получим все первообразные для функции f(x).
Определение: Выражение F(x)+C является общим выражением для всех первообразных заданной непрерывной функции f(x).
Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (или от дифференциального выражения f(x)dx) и обозначается символом
,где dxxf )(
CxFdxxf )()(
)()(' xfxF
Определение: Функция f(x) называется подынтегральной функцией.
f(x)dx называется подынтегральным выражением.
Правило: Найти неопределенный интеграл значит найти такую функцию, F(x)
производная, которой была бы равна f(x) и к ответу прибавить const C.
Ищем такую функцию F(x), дифференциал которой совпадет с подынтегральным выражением.
dxxf )(
)()(')( xdFdxxFdxxf
§2 Свойства неопределенного интеграла.
12345
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfAdxxAf
CxFxdF
dxxfdxxfd
xfdxxf
)()())()((
)()(
)()(
)())((
)()')((
Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.
Пусть x - независимая переменная, y=f(x) - некоторая непрерывная функция на
данном промежутке и F(x) ее первообразная.
- непрерывно дифференцируемая функция(и и непрерывны).
CxFdxxfxfxF )()()()('
)(xu '
Рассмотрим Следовательно функция является
первообразной для подынтегральной функции .
Доказательство:В силу независимости дифференциала 1-го
порядка
dxuufduxf ')()(
))(()( xFuf
')( uuf
,)()(')()()(
')()(')( CuFduufuufdx
du
du
udF
dx
udfuufduufudF
ãäå )()(' ufuF
§3 Общая таблица простейших интегралов.
Cedue
Ca
adua
Cuduu
duu
Cn
uduu
uu
uu
nn
ln
ln11
1
1
1n
4
3
2
1
Carctguu
du
CctguuSin
du
CtguuCos
du
CSinuduCosu
CCosuduSinu
2
2
2
19
8
7
6
5
Ckuuku
du
Cua
ua
aua
du
Ca
uarcCosC
a
uarcSin
ua
du
CarcCosuCarcSinuu
du
Ca
uarctgaua
du
2
2
22
22
2
22
ln
ln2
1
1
1
14
13
12
11
10
Полезные свойства, применяемые при вычислении интегралов.
adkxk
dx
axddx
dkxdx
1
)(2
1
3
2
1
§4 Метод интегрирования.п.1 Метод разложения .
Метод основан на свойствах неопределенного интеграла.
Cx
SinxarctgxdxxCosxdxx
dx
dxxCosxdxdxx
dxxCosxx
3
2636
13
61
36
1
3
23
2
1
2
22
п.2 Метод подстановки, метод выделения новой переменной.
Пусть функция непрерывна на промежутке , а функция непрерывна на причем
Тогда, учитывая, что неопределенный интеграл
записывается в виде:
)(xf
.)('))(()( dtttfdxxf
ba; )(' xx ; ,)( a .)( b
dttdx )('
dxxf )(
п.3 Метод интеграла по частям.
- дифференциалы на некотором промежутке функции.
Тогда
Проинтегрировали обе части равенства по переменной х. Это можно сделать, т.к. функции и зависят от х.
),(xuu )(xvv
vduuvdudv
udvvduuvd
)(
)(
u v
- формула интегрирования по частям.
vduuvdudv )(
vduuvudv
dxvuuvdxxuv ')('
§5 Классы интегрируемых функций.п.1 Функции интегрируемые по частям.
По частям находят три вида интегралов.а) интеграл вида:
- многочлен n-ой степени причем формула
интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена.
В этом случае за функцию u берется многочлен, а за dv берем все остальное.
d
tg
e
xP
kx
kx
kx
kx
n
cos
sin)(
nP
б)
Интеграл находят по частям причем за u берут обратную функцию
Функцию интегрируем столько раз, какова степень обратной функции.
dx
arctgkx
kx
kx
x
xPn
arccos
arcsin
)ln(
)(
arctgkx
kx
kx
x
uarccos
arcsin
ln
)(xdxPdv n
в) Смешанный тип:
Такого рода интеграла формула интегрирования по частям применяется дважды, в результате получаем уравнение относительно искомого интеграла u решение уравнения, находим ответ.
dxx
dxx
tgtxdxe
txdxe
kx
kx
)cos(ln
)sin(ln
sin
п.2 Интегрирование рациональных дробей.
Определение: Дробь вида , где и n=m многочлен соответствующая
степень n и m наз. рациональной дробью.Определение: Если n m, дробь называется
неправильной.Если n m дробь называется правильной.При интегрирование рациональных дробей,
если дробь неправильная выделяют целую часть дроби и правильную дробь.
)(
)(
xQ
xP
m
n
)(xPn ),(xQm
Интегралы от правильных дробей.
Cakx
kA
akx
kxd
kA
akx
dxAdx
akx
A
ln1)(1
)á
)a
2
22
22
2
2
22
222
222
22
;0
)(;0
)(
0
2
21
42
1
2222
1
2)(1
u
duk
vku
duk
vku
du
k
kab
x
ab
xd
aA
a
b
a
c
a
bx
dx
aA
ac
ab
ab
ab
xx
dx
aA
eddede
a
cxa
bx
dx
aA
cbxax
Adx
)â
ku
dulat
dtm
a
ku
dulat
dtma
dtudu
ududt
tku
ku
dulaku
mudu
a
dukuku
mu
aduku
kmu
adu
ku
nabm
mu
a
duku
nab
um
adudxa
bux
a
bxu
ab
ac
ab
x
dxnmx
a
ab
ab
ab
ab
xx
dxnmx
aac
xab
x
nmx
acbxax
dxnmx
2
2
2
22
2222
2
2
22
2222
2
1
2
1
121
2
211
11121
21
2
2
42
)(1
2222
)(1)(1)(
п.3 Дроби раскладываемые на сумму дробей.
Для разложения дробей на простейшие применим метод неопределенного коэффициента .
В общем случае дроби на простейшие получается по формуле:
tSxx
NM
tSxx
NM
tSxx
NM
qpxx
D
qpxx
DC
qpxx
DC
x
B
x
B
x
B
x
A
x
A
x
A
tSxxqpxxxx
xP
xxx
xxx
m
2122
211
2
3
1222
211
21
2
2
2
1
11
1
2
1
1
2221
44
44
3
33
2
22
1
11
43
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(
)(
Приводя дроби правой части равенства к общему знаменателю получаем разные дроби с одинаковыми знаменателями, следовательно можно приравнять друг к другу числители – многочлены.
Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
При одинаковых степенях х получим систему m+1 уравнение с m+1 неизвестными, которая всегда совместна и имеет единое решение.
Решить систему, найдем значения коэф. стоящих в числителе в правой части разложения – в этом заключается метод неопределенного коэффициента.
1! Метод применяется для правильных дробей.Если дробь неправильная, то в дроби
выделяется сначала целая часть.2! Если многочлены равны, то равны значения
многочленов при одних и тех же значения х.Приравнивая х (удачному) значению получим
более простую систему уравнений для определения коэф. разложения.
п.4 Интегрирование простейших иррациональностей.
а) Если подынтегральная функция содержит , то производят замену ,
выражая находят тем самым приводят заданный интеграл к интегралу от рациональной дроби.
б) Интеграл вида находят выделением под корнем полного квадрата, и если , то данный интеграл является табличным – №14, а если , то табличный интеграл вида
n bax ntbax x dx
cbxax
Adx2
0a
0a .arcsin x
в) Если подынтегральная функция являлось рациональной функцией от ,
то делают замену вычислить и в общем случае интеграл приводить к интегралу от рациональной дроби.
bskn xxxx ...;;)...,,( lskníîêtx dx
п.5 Интегрирование тригонометрических функций.
а) Если одно из чисел m или n четное, а другое
не четное , то если m четное, то делаем замену , а выражаем через
Если n четное, то заменаЕсли m и n четные, то применяют формулы степени, а именно
xdxx ncossin 2
tx sin xcos .sin x
.cos tx
.2
2cos1cos;
2
2cos1sin 22 x
xx
x
Если m и n нечетные и n=m, то используют формулу двойного угла:
Интеграл вида:
Находят, применяя формулы выражения произведения тригонометрических функций к сумме.
xxx cossin22sin
nxdxmx
nxdxmx
nxdxmx
coscos
cossin
sinsin
§6 Теорема Коши.Понятие о «неберущихся» интегралов.
Теорема: Всякая непрерывная функция имеет первообразную (от всякой непрерывной функции существует неопределенный интеграл).
Например: по теореме Коши, т.к. ф-ия при и непрерывна.
CxFx
dx )('
ln xln
1
0x 1x
С другой стороны никакими известными способами не удается выразить F(x) в виде элементарной функции (т.е. в виде конечного числа основных элементарных функций или конечного числа сложной функции).
В этом случаи интеграл такого рода называется «неберущимся».
Ответ есть и он выражается через бесконечное число элементарных функций.
К «неберущимся» интегралам относятся следующие интегралы:
x
dx
xdxCosx
xdxSinx
ln
ln
ln
dxx
Cosx
dxe
dxe
x
x
2
2
dxx
Sinx