интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл
TRANSCRIPT
![Page 1: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/1.jpg)
Интегралын хэрэглээ,
өргөтгөсөн интеграл
Лекц-5
![Page 2: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/2.jpg)
Дэд сэдвүүдТодорхой интегралын геометр утгаТодорхой интегралыг ашиглан муруй
шугаман трапецийн талбай олохЭргэлтийн биеийн эзэлхүүн олохЭргэлтийн биеийн гадаргуун талбай
олохМуруй нумын уртыг олохӨргөтгөсөн интеграл
![Page 3: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/3.jpg)
y=f(x) функц [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй, f(x)>0 функц байг. Дээрээсээ y=f(x) функцийн график доороосоо ОХ тэнхлэг баруун ба зүүн талаасаа x=а ба x=b шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.
n
iii
a
b
xfdxxfI1
0)(lim)(
Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох
![Page 4: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/5.jpg)
Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох
Муруй шугаман трапец f(x)<0 a<x<b бол түүний талбайг
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
![Page 6: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/6.jpg)
Муруй шугаман трапец бол түүний талбайг
bxaxfxg ,0)( ,0)( 21
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfxg
dxxfdxxgdxxfdxxgS
)]()([
)()()()(
21
2121
b
a
dxxfxfS )]()([ 21
![Page 7: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/7.jpg)
жишээ дараах дүрсээр хүрээлэгдсэн дүрсийн
талбайг ол
![Page 8: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/8.jpg)
Туйлын координатын систем дэх дүрсийн талбай
Хавтгай дээр туйлын координат систем нь туйл гэж нэрлэгдэх О цэг авч, туйлын тэнхлэг гэж нэрлэгдэх цацраг авна. Хавтгай дээрх цэг бүхэн М коодинатаар тодорхойлогдоно. Үүнд
![Page 9: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/9.jpg)
дүрсийн талбайг олохын тулд дэд хэсгүүдэд хуваавал
![Page 10: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/10.jpg)
жишээ
![Page 11: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/11.jpg)
хоёр функцээр хашигдсан дүрсийн талбай олох
![Page 12: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/12.jpg)
Эргэлтийн биеийн гадаргуун талбай олох
[a,b] хэрчимд тасралтгүй дифференциалчлагдах f(x) функц өшөдсөн бол түүнийг Ох тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх гадаргуун талбайг интеграл ашиглан дараах томъёогоор олно.
![Page 13: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/13.jpg)
Хэрэв бие ОУ тэнхлэгийг тойрон эргэсэх бол
Хэрэв y=f(x) функц параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн бол
Хэрэв туйлын координатын системд өгөгдсөн бол
dy
yxfd
c
(y)'1(y)2Q
(y)x )(
2
dt
tfyxf
b
a
22 (t)'(t)'(t)2Q
(t)'
(t)')(' b][a, t(t)y (t) x)(
d
yx
22 )(')('sin)(2Q
sin)( cos)( )(
![Page 14: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/14.jpg)
Биеийн эзэлхүүн олох
Т биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг S=S(x) гэе.
бол түүний эзэлхүүн нь
![Page 15: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/15.jpg)
Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн[a,b] хэрчимд тасралтгүй y=f(x) функц
өгөгджээ. Энэ биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтолбол f(x) радиустай дугуй үүснэ.
Дугуйн талбай нь
Үүнийг ашиглан эзэлхүүнийг олбол
![Page 16: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/16.jpg)
жишээ
муруй ОХ тэнхлэгийг тойрон эргэсэн бол үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол.
![Page 17: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/17.jpg)
Гөлгөр муруй, Нумын урт
[a,b] хэрчимд тасралтгүйӨгөдсөн бол эдгээр тасралтгүй муруйг тодорхойлно. Эдгээр функц нэгэн зэрэг тэгээс
ялгаатай тасралтгүй уламжлалттай байвал түүнийг гөлгөр муруй гэнэ. Г тэмдэглэнэ. Нумын уртыг хэсгүүдэд хуваавал
Хуваалтын алхмын хамгийн уртыг
)(
)(
)(
tz
ty
tx
n
ikk AAГ
11
itmax
![Page 18: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/18.jpg)
Хэрэв хуваатын алхамын урт 0-рүү Г-ийн хязгаар төгсгөлөг оршин байвал түүнийг гөлгөр муруйн нумын урт гэнэ.
dttttГb
a 222 )]('[)]('[)]('[
![Page 19: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/19.jpg)
Өргөтгөсөн интегралТодорхойлолт: (1) интегралын
f(x) функцийн 1-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл гэнэ.
(2)хэрэв (1) интеграл нийлэх байвал (2)
интегралыг нийлэх өргөтгөсөн интеграл гэнэ. Хэрэв (1) интеграл нь төгсгөлгүй эсвэл үл орших бол (2) өргөтгөсөн интегралыг сарних интеграл гэнэ.
b
ab
dxxf )(lim
b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
![Page 20: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/20.jpg)
Өргөтгөсөн интегралыг бодох арга
3 ,4 интегралууд нь төгсгөлөг байхад нийлнэ.
(4) )(lim)( )()(lim
)(lim)(lim)(
(3) )()(lim)(lim)(lim)(
AFbFAFbF
xFdxxfdxxf
aFbFxFdxxfdxxf
AA
b
AA
b
A
b
b
b
ab
b
ab
a
)(lim )(lim AFbFAb
![Page 21: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/21.jpg)
Жишээ нь:
2lim]0[lim
][lim1
1lim
1
10
02
02
arctgarctgBarctgarctgB
arctgxdxx
dxx
BB
B
B
B
B
![Page 22: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/22.jpg)
Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох
интеграл нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын >0 авахад B>0 тоо олдоод B’>B , B”>B байх B’ ба B”н хувьд
Тэнцэл биелэх явдал юм.
"
'
)(B
B
dxxf
![Page 23: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/23.jpg)
Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт
тодорхойлогдсон [a,b] хэрчимд
интегралчлагдах сөрөг биш f(x)ба (x)
функцүүд хa0, 0 f(x)(x) байвал
нийлэх интеграл байвал
нийлэх ба харин сарних
интеграл байвал сарних
байна.
a
dxxf )(
a
dxx)(
a
dxxf )(
a
dxx)(
![Page 24: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/24.jpg)
Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт
тодорхойлогдсон эерэг f(x)ба (x) функцүүд нь
ямарч төгсгөлөг [a,b[ дээр интегралчлагддаг
байг. Тэгвэл төгсгөлөг хязгаар
Оршин байвал
Интеграл нэгэн зэрэг нийлэх буюу эсвэл сарних
байна.
0)(
)(lim
Lx
xfx
a
dxxf )(
a
dxx)(
![Page 25: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/25.jpg)
Жишээ нь:
нийлнэ. 132)(
)(
32
22
2
2
x
dx
xx
dxx
x
dxxf
xx
dx
22)()(
)1()1(lim)1(lim
2)1(
)1(lim
2)1(32 222
arctgarctg
AarctgBarctgxarctg
x
xd
x
dx
xx
dx
AB
AB
B
AAB
![Page 26: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/26.jpg)
Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют нийлэлтТодорхойлолт:
нийлж байвал өргөтгөсөн
интеграл ийг абсолют нийлэлт
гэнэ.
Харин сарниж байвал
нийлж байвал түүнийг нөхцөлт нийлэлт
гэнэ.
a
dxxf )(
a
dxxf )(
a
dxxf )(
a
dxxf )(
![Page 27: интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интеграл](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022050623/559085401a28abbe328b471a/html5/thumbnails/27.jpg)
2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл
Тодорхойлолт: хэрэв хязгаар
төгсгөлөг оршин байвал түүнийг
зааглагдаагүй функц f(x)ийн өргтгөсөн
интеграл буюу 2-р төрлийн өргтгөсөн
интеграл гэнэ.
b
a
dxxf )(lim0
b
a
b
ab
dxxfdxxf )(lim)(lim0
b
a
b
ab
dxxfdxxf
болцэгонцгойньax
)(lim)(lim
0