Методы вычислительного эксперимента
Post on 31-Dec-2015
63 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Методы вычислительного эксперимента
Введение
0. Введение. Общие сведения.
Объем курса – 34 часа лекции72 часа лабораторные занятия
Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica
Форма отчетности – экзамен (5 семестр)
Преподавание обеспечивает кафедра кибернетики
Лектор – Воротницкий Юрий Иосифович
0. Введение. Цели и задачи дисциплины.
Ознакомить с фундаментальными основами дисциплины «Методы вычислительного эксперимента»
Дать необходимые знания в области построения конструктивных вычислительных алгоритмов для решения типовых задач математического моделирования в радиофизике и электронике
Сформировать навыки формализации, разработки математических моделей и реализации вычислительных алгоритмов задач поиска оптимальных решений
0. Введение. Литература.
Основная1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука,
1980, 536 с.2. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974.3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986,
318 с.4. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:Наука,
1985, 334 с.5. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в
физике. М.: Наука, 1983, 235 с.6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –
М.: Мир, 1982.7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975
Дополнительная1. Таха Х. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. – М.: Издательский
дом «Вильямс», 2001. 2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.- М.:Мир, 1975, 392 с.3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.
0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.
Вычислительный эксперимент – методология исследования сложных научных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемых объектов.
Суть эксперимента: исследование объекта с целью изучения его характеристик в зависимости от условий эксперимента.
Цели эксперимента: Проверка гипотез, установление новых законов и
закономерностей окружающего нас мира. Целенаправленный поиск параметров объекта,
обеспечивающих наилучшие (заданные) характеристики
0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.
Что позволяет вычислительный эксперимент: Расширение области экспериментальных
исследований Исследование недоступных объектов Исследование несуществующих объектов Возможность изменения физических законов
Расширение сферы теоретических исследований: Новые методы описания моделей (алгоритмическое
описание) Применение методов оптимального проектирования
для поиска параметров объекта исследования с наилучшими характеристиками
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Абстрагирование объекта исследования
Построение математической модели
Построение вычислительного алгоритма
Разработка программного обеспечения
Проведение вычислений и анализ результатов
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Абстрагирование объекта исследования: Определение главных (учитываемых) и второстепенных
(отбрасываемых) факторов. Формулировка физических законов, на основании которых будет
строиться модель. Оценка границ применимости модели.
Результат - физическая модель
Построение математической модели: Формализация – представление модели в математической
форме Предварительное исследование математической модели
(корректность, существование и единственность решения). Оценка границ применимости модели.
Результат - математическая модель
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Построение вычислительного алгоритма: Дискретизация математической модели Разработка алгоритма Предварительное исследование алгоритма (выполнимость,
конечность, вычислительная сложность, устойчивость и др.) Результат – алгоритмическая модель
Разработка программного обеспечения: Выбор технологий и средств проектирования и
программирования Проектирование Кодирование (написание текста программы) Верификация, отладка, тестирование.
Результат - программная модель
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Проведение вычислений и анализ результатов: Планирование вычислительного эксперимента. Проведение расчётов на ЭВМ. Анализ расчётов с целью установления новых следствий
из законов поведения объекта, оптимизация его параметров.
Уточнение границ применимости физической и математической моделей, алгоритмов и программных средств
Результат - завершение исследований, либо корректировка физической, математической, алгоритмической, программной моделей и повторение цикла вычислительного эксперимента
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
Существенные параметры объекта:Входные
объект на явоздействи внешние - ),...,,( 21T
ltttt
модели параметры входные - ),...,,( 21T
lnyyyy
параметры внутренние енезависимы - ),...,,( 21T
nxxxx
Выходные:
Tk),...,,( 21
yB
• Прямая задача: по известным входным параметрам найти значения выходных
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
),...,,( 21T
lnyyyy
Tk ),...,,( 21
1By
• Обратная задача: по известным выходным параметрам восстановить значения выходных
- известны
- полностью или частично неизвестны
• При невозможности построения обратного оператора B-1 обычно строится итерационный процесс
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
),...,,( **2
*1
* Tnxxxx
Tk ),...,,( **
2*
1*
**1 ),( txB
• Задача оптимизации: найти значения независимых внутренних параметров, приближающих выходные характеристики к заданным
- известны
- заданы
Tltttt ),...,,( 21
- требуется найти
**1 ),( txB
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
**1 ),( txB
k
f
Модели. Дискретизация
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
Будем рассматривать двухпроводные линии передачи
Ограничимся квазистатическим приближением (поперечная ТЕМ – волна) Описывать волновой процесс будем в терминах токов и
напряжений в линии как функций координаты и времени Потерями на излучение пренебрегаем
В качестве входных параметров модели можно использовать обобщенные параметры: погонные емкость, сопротивление, индуктивность, проводимость
Модель линейная Параметры линии не зависят от величин токов и
напряжений Анализ границ применимости
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
V t( )
x + d xx x0
L R
G C R н
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
Существенные параметры объекта:
Входные:
Выходные:
)(),(),(),(R , xLxGxCxl
HR ),(tV
),(),,( txItxUНезависимые
Внешние воздействия:
Физические законы:Закон сохранения электрического зарядаЗакон Ома для участка цепи
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
)(),(),(),(R , xLxGxCxlHR ),(tV
),(),,( txItxU
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
dxtxUtdxxUtxUU x ),(),(),(
dxxLtxIdxxRtxIdxtxUU tx )(),()(),(),(
=0
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
=0
]),([])([ dttxUdxxCUCQCUQ t
dxxCtxUdttxUdxdttxGtxUdxdttxIQ x )()],(),([),(),(),(
dxdtxCtxUdxdttxGtxU t )(),(),(),(
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
dxdtxCtxUdxdttxGtxU
dxdttxIQ
t
x
)(),(),(),(
),(
dxxLtxIdxxRtxI
dxtxUU
t
x
)(),()(),(
),(
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н =0
)()0,(
)()0,(
0
0
xIxI
xUxU
[,0[ ];,0[
)()(
);()(
tlx
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
0),(
)(),0(
tlU
tVtU
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
0),(
)(),0(
tlU
tVtU
0
const
const
GR
C
L
ttxxttxt
xtxx
tx
tx LCUUCUI
LIU
CUI
LIU
CxIxU
xUxU
xt /)()0,(
)()0,(
0
0
[;,0[ ];,0[
;
tlx
LCUU ttxx
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
x
l0
)cos()(),(
)cos()(),(
2
1
txItxI
txUtxU
a
a
0
),(),(
),(),(
)cos()(
H
a
R
xLLxGG
xRRxCC
tVtV
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
2
1
)(
)(
ia
ia
exI
exU
I
U
])(Re[),(
])(Re),(ti
ti
extxI
extxU
I
[U
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
)()()()()(
)()()(
xCeixxGexex
LeixRexextititi
x
tititix
UUI
IIU
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
)()()()()(
)()()(
xCixxGxx
LixRxx
x
x
UUI
IIU
)()()( xCixGxg
constLiRr
)()(
)(
xxg
xr
x
x
UI
IU
0)(
)0(
lU
VU iVeV
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
)()(
)(
xxg
xr
x
x
UI
IU
0)(
)0(
lU
VU
)()()()(
/
xxrgxxg
rr
xxx
xxxxxx
UUUI
UIIU
0)(
)0(
)(
l
xxx
U
VU
UU
2. Дискретизация2.1. Метод сеток (Метод конечных разностей)
;
;),...,,(
);()(
321
Dx
xxxxx
xfxUT
n
L
[;,0[ ];,0[
;
tlx
LCUU ttxx
t
x0 li
j(I, j)
2. Дискретизация2.2. Проекционные методы
;
;),...,,(
);()(
321
Dx
xxxxx
xfxUT
n
L
N
iii
iii xaxxaxxU
10
10 )()()()()(
2. Дискретизация2.3. Замена физического объекта дискретным аналогом
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
x
l0
xixii
xx
xx
ii eCeCU
eCeCxU
UU
21
21)(
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
k
k
k
k
xxkxx
x
xkxx
kk
UxUdx
Ud
UxUdx
dUUxU
)(
)( ;)(
2
2
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
;2
1
2
22
1
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk 11 kk xx
)(
2
21
12
hO
kkx
x dx
Udh
h
UUU
dx
dUk
k
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
;2
2
2
22
1
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk kk xx 21
)(
2
21
22
hO
kkx
x dx
Udh
h
UUU
dx
dUk
k
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
kk xx 21
11 kk xx ;62
1
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kk xxkk
;62
2
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kk xxkk
21
3
3
3
33
11 62
dx
Ud
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk
-
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
21
3
3
3
33
11 62
dx
Ud
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk
21
3
3
3
3211
122 dx
Ud
dx
Udh
h
UU
dx
dU kk
xk
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k2
11
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k2
11
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
U
xxk-1xk+1xk0
1
2
34
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
kk xx 21
11 kk xx
+
;2462
1
4
44
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kkk xxxkk
;2462
2
4
44
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kkk xxxkk
21
4
4
4
44
2
22
11 242
dx
Ud
dx
Udh
dx
UdhUUU
kx
kkk
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
21
4
4
4
44
2
22
11 242
dx
Ud
dx
Udh
dx
UdhUUU
kx
kkk
21
4
4
4
42
211
2
2
24
2
dx
Ud
dx
Udh
h
UUUU
dx
Ud kkkxx
xk
k
211
2
2 2
h
UUUU
dx
Ud kkkxx
xk
k
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
211
2
2 2
h
UUU
dx
Ud kkk
xk
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
.0
;
;1,...2,1 ;)(2
0
211
n
kkkkkkk
U
VU
nkUUxh
UUU
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
.0
;
;1,...2,1 ;2
0
211
n
kkkkk
U
VU
nkUh
UUU
0
1,...,2,1 ;0)2(
0
12
1
n
kkkk
U
VU
nkUUhU
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
0
1,...,2,1 ;0)2(
0
12
1
n
kkkk
U
VU
nkUUhU
0
...
0
...
21...0
1...10
...121
0012
1
2
1
12
22
12 V
U
U
U
h
h
h
nn
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
x
U
0 l
v
0
0
U(l)
V)U(
(x)UU xx
],0[
0
0*
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
*)0( YUtg x
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
0)( ,
],0[
0
0
*
lUчтотакоеYНайти
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
x
U
0l
v
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
],0[
0
0
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
Алгоритм метода стрельбы сводится к численному решению относительно Y нелинейного уравнения
0),( lx
YxU
при этом значения функции U вычисляются путем численного решения задачи
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
],0[
0
0*
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
Найдя решение нелинейного уравнения Y=Y*, автоматически получают приближенное решение исходной задачи, так как решения задач
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
совпадают (разумеется, с некоторой точностью, определяемой точностью решения нелинейного уравнения и точностью численного интегрирования
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат
2
2
2
2
,0yx
U
квадратасторонахна),(
10
10
0
yxgU
y
x
UU yyxx
х
y
1
1
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
х
y
Хn=1
y0=0
Х1 Хk
y1
yj
yn=1
Х0=0
Uk,j(k,j)
h=1/n
2
,1,,1
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxxxjk
2
1,,1,
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxyyjk
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
U k j, + 1
U k j + 1 ,
U k j, 1
U k j, U k 1 j ,
022
2
1,,1,
2
,1,,1
h
UUU
h
UUU jkjkjkjkjkjk
04 ,1,1,,1,1 jkjkjkjkjk UUUUU
)1,(
)0,(
),1(
),0(
,
0,
,
,0
knk
kk
ijn
ij
xgU
xgU
ygU
ygU 1,1,1,1 njnk
1,1,,1,1, 4
1 jkjkjkjkjk UUUUU
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
U k j, + 1
U k j + 1 ,
U k j, 1
U k j, U k 1 j ,
)1,(
)0,(
),1(
),0(
,
0,
,
,0
knk
kk
ijn
ij
xgU
xgU
ygU
ygU
1,1,1,1 njnk
1,1,,1,1, 4
1 jkjkjkjkjk UUUUU
Разностное уравнение – уравнение, полученное путем замены производных в исходном ДУ конечно-разностными аппроксимациями
Разностная схема – разностное уравнение + дискретные аналоги граничных (и начальных) условий
Вычислительный шаблон – совокупность узлов сетки, участвующих в аппроксимации производных в одном из узлов
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
nkksnk
kks
k
jnjsjn
jjsj
gxgU
gxgU
gygU
gygU
,)1(
,
0,)1(
0,
,)1(
,
,0)1(
,0
)1,(
)0,(
),1(
),0(
1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks
)(1,
)(1,
)(,1
)(,1
)1(, 4
1 sjk
sjk
sjk
sjk
sjk UUUUU
Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й
итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.
Метод Якоби (метод одновременных смещений):
1
1
1
1,,0,0,
)0(, )()(
)1(4
1 n
k
n
jjnjnkkjk gggg
nU
nknk
kk
jnjn
jj
gU
gU
gU
gU
,)0(
,
0,)0(0,
,)0(
,
,0)0(
,0 Начальные значения на 0-й итерации:
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,n]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,n]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,1]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
6. Выполнять в цикле
Положить δ:=0;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Ub[k,j]:=(Ua[k-1,j]+ Ua[k+1,j]+Ua[k,j-1]+ Ua[k,j+1])/4;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Ua[k,j]:=(Ub[k-1,j]+ Ub[k+1,j]+Ub[k,,j-1]+ Ub[k,,j+1])/4. Если δ<| Ua[k,j]-Ub[k,j]|, положить δ:=| Ua[k,j]-Ub[k,j]|
До тех пор, пока δ> ε
7. Вывести массив Ua
8. Завершить работу
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
0-я итерация
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
0-я итерация 1-я итерация
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
δ
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
2-я итерация 1-я итерация
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
nkksnk
kks
k
jnjsjn
jjsj
gxgU
gxgU
gygU
gygU
,)1(
,
0,)1(
0,
,)1(
,
,0)1(
,0
)1,(
)0,(
),1(
),0(
1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks
)1(1,
)(1,
)1(,1
)(,1
)1(, 4
1
sjk
sjk
sjk
sjk
sjk UUUUU
Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й
итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.
Метод Либмана (метод последовательных смещений):
1
1
1
1,,0,0,
)0(, )()(
)1(4
1 n
k
n
jjnjnkkjk gggg
nU
nknk
kk
jnjn
jj
gU
gU
gU
gU
,)0(
,
0,)0(0,
,)0(
,
,0)0(
,0 Начальные значения на 0-й итерации:
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
6. Выполнять в цикле
Положить δ:=0;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Положить q:=U[k,j]
U[k,j]:=(U[k-1,j]+ U[k+1,j]+U[k,j-1]+ U[k,j+1])/4 Если δ<| U[k,j]-q|, положить δ:=| U [k,j]-q]|
До тех пор, пока δ> ε
7. Вывести массив U
8. Завершить работу.
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)
1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks
)(,
)1(,
)(,
)1(,
sjk
sjk
sjk
sjk UUUU
Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й
итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.
Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:
s
Uk,j
3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)
1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks
)(,
)1(,
)(,
)1(,
sjk
sjk
sjk
sjk UUUU
Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й
итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.
Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:
s
Uk,j
3. Метод сеток3.7. Экстраполяция по Ричардсону
1)/(
)/(
;
);(
);(
;
221
221
22
21
2
1
222
211
12
2
1
2
1
21
hh
UhhUU
h
h
UU
UU
hOUU
hOUU
UиUВведем
hh
h
h
h
h
hh
3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы
DyxgU
Dx
yxfUU yyxx
границена),(
),(
х
y
3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы
0),(4 ,
1,1,,1,1
jkjk
jkjkjkjk
yxfU
UUUU
2
,1,,1
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxxxjk
2
1,,1,
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxyyjk
y
Хn=1
y0=0
Х1 Хk
y1
yj
yn
Х0=0
Uk,j(k,j)
h=1/n
jkjkjk
jkjk
jk fUU
UUU
,1,1,
,1,1
, 4
1
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
xxt UU
,10 x 0t),( txUU
)()0,( xgxU
)](),1([),1(
)(),0(
tqtUtU
ttU
x
t
x
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
xxt UU
,10 x 0t),( txUU
)()0,( xgxU
)](),1([),1(
)(),0(
tqtUtU
ttU
x
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
2
,1,,11,
h
UUUUU jkjkjkkjjk
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
11,1,11,
jjk
jkjk qUh
UU
h
UUU jkjk
x jk
1,11,
1,
h
UhqU jkj
jk
1
1,111, h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
jkjkjk
jkjk
UUUh
UU
,1,,1
2,1,
j=0, k=1,2,,,n-1
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
j=1, k=1,2,,,n-1
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
h ,
0
о ш и б ка о к р у гл е н и я
с у м м а р н а я о ш и б к а
о ш и б каа п п р о кс и -м а ц и и
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
0 )()(~
:
).()(~
;),()(~
L
);()( );( ;LL
;,...,2,1,0 ,:
;),()(L
h
h
hприxUxU
сходимость
xUxU
GxxfxU
xUxUxf)xf(
nkGxh
GxxfxU
khkh
khkh
hkkhkh
khkh
hk
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
. ;0)(lim
,
~
);()(~
)(
:
0hkkh
h
h
h
khkhkh
Gxxz
еслиUточномук
сходитсяUрешениеоеПриближенн
xUxUxz
схемыразностнойьПогрешност
;)(max kk
h xff
,)(21
2
hkk
kh Gxxfhf
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
h
k
h
hkkhh
h
h
Gнаhzчтотакие
hhkkkесли
малостипорядокйk
имеетсхемыразностнойьПогрешност
GxxzеслиUточномук
сходитсяUрешениеоеПриближенн
,
)(,0),(,0
,
. ;0)(lim ,
~
0
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
);()(~
)(
:
khkhkh xUxUxz
схемыразностнойьпогрешност
hhh zUU ~
hhhhhhhhhhhhhh UfzfzUfzU LLLLL
;~
Lh hh fU
hhhhhhhh UUzfU LLLL
hL LL цииаппроксимаошибкаUU hhhh
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
еслиGнаfLUисходнуюруетаппроксими
fULзадачаРазностная
цииаппроксимаошибкаUU
h
hhh
hhhh
,
~
L LL h
. ;0)(lim0
hkkhh
Gxx
цииаппроксимапорядокйkимеет
схемаразностнаятоGнаhM
hMMMhkkkесли
h
k
h
,
:)(,0),(,0
Разностная схема называется корректной, если:
1. её решение существует и оно единственно при любых ограниченных правых частях.
2. такое m > 0, m m(h), что для любой
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
)(xfh
hh fmU
Теорема: Пусть исходная задача
поставлена корректно, разностная схема
корректна, и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи (1), причём порядок малости погрешности совпадает с порядком аппроксимации (2).
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
;),()(L GxxfxU
hkkhkh GxxfxU
),()(~
Lh
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
Доказательство (1):
тиустойчивосизxzL hhh ,)(
hh mz
0)(lim)(lim)(lim
)( 0)(lim
000
0
khh
khh
khh
khh
xmxmxz
цияаппроксимаx
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
Доказательство (2):
цииаппроксимапорядокйkhMk
h
, , MmобозначимhMmzk
h
тьустойчивосmz hh -
k
h hz
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
xxt UU
1
)()(),(l
lll tTxXatxU
xil
lexX )( tl
letT2
)( khxk jt j
1
2
),(l
txil
jlkl eeatxU
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
llkl ikll
khixi ehee j
ljt qee ljl 22
1
),(l
jl
ikljkh qeatxUU l
Условие устойчивости: |ql| 1.
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
1
),(l
jl
ikljkh qeatxUU l
2
,1,11, 2
h
UUUUU jkkjjkkjjk
2
)1()1(1 2
h
eqeqeqeqeq kijikjkijikjikj
22
2cos2
2cos
21
h
ee
h
eeq iiii
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
2
sin412
sin21cos1cos21 22
22
hh
q
2sin41 2
2
h
q
12
sin0 2
2
11
2
hq
2
2
1h
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
xxt UU 0 < x < 1, t > 0
)()0,( xqxU
)(),0( 1 tgtU
)(),1( 2 tgtU
t
t j
t 0x 0 x k 1 x
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
kkk qxgU )(0
jjj gtgU 110 )(
jjkj gtgU 22 )(
2
1,11,1,11, 2
h
UUUUU jkjkjkkjjk
k, j+1k-1, j+1 k+1, j+1
k, j
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2hr
1,11,1,11, 2 jkjkjkkjjk UUUUUr
kjjkjkjk rUUUrU 1,11,1,1 2
1,21,
1,11,0
jjn
jj
gU
gU
1,...,2,1 nk,...2,1,0j
kk qU 0
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2
,1,11, 2 :
h
UUUUUU jkkjjkkjjk
kj
2
1,11,1,11,1,
2 :
h
UUUUUU jkjkjkkjjk
jk
2
,1,1
2
1,11,1,11,
21
2
h
UUUh
UUUUU
jkkjjk
jkjkjkkjjk
где 0 1
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2
,1,11, 2 :
h
UUUUUU jkkjjkkjjk
kj
2
1,11,1,11,1,
2 :
h
UUUUUU jkjkjkkjjk
jk
2
,1,1
2
1,11,1,11,
21
2
h
UUUh
UUUUU
jkkjjk
jkjkjkkjjk
где 0 1
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
При = 1/2
jkkjjk
jkjkjkkjjk
UUU
UUUUUr
,1,1
1,11,1,11,
2
22
jkjkkj
jkjkjk
UUUr
UUrU
,1,1
1,11,1,1
12
12
1,...,2,1 nk ,...2,1,0j
k, j+1
k, j
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
xxt UU 0 < x < 1, t > 0
)()0,( xqxU
)(),0( 1 tgtU
)(),1( 2 tgtU
khxk
t
x 0 x k 1 x
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
)(),( tVtxU kk
211
1122
2
)()(2)(
),(),(2),(1),(
h
tVtVtV
txUtxUtxUhx
txU
kkk
kkkk
dt
tdV
x
txU kk )(),(2
2
211 )()(2)()(
h
tVtVtV
dt
tdV kkkk
211 )()(2)()(
h
tVtVtV
dt
tdV kkkk
)()( 10 tgtV
)()( 2 tgtVn
)()(0 ktk xqtV
1,...,2,1 nk
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
)(~
)(min xUxUa
2/1
2)~
(min
Da
dvUU DxUUxa
,~
maxmin
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
ГГxUx )()(0
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
0)( Гi x
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
],0[ ;sin)()(~
)(1
0 lxl
xiaxxUxU
N
ii
2/1
0
2)),(~
)(()(~
)(min
l
adxaxUxUxUxU
l
i dxl
xiU
la
0
0 sin)(2
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
],0[ );,(~
)( lxaxUxU jjj Nj ,...,2,1
)()()( 01
jj
N
ijii xxUxa
)()(
...
)()(
)()(
...
)(...)()(
.........
)(...)()(
)(...)()(
0
202
101
2
1
21
22221
11211
NNNNNNN
N
N
xxU
xxU
xxU
a
a
a
xxx
xxx
xxx
)1( xxii xii sin
,
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
),(~
)(),( axUxUaxR
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
D
dvxfxfxfxf )()()(),( 2121
UU ~0)(0
D
dvxwRRDx
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
),(~
)(),( axUxUaxR
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
D
dvxfxfxfxf )()()(),( 2121
UU ~0)(0
D
dvxRRDx
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
)()(),(~
10 xaxaxU
N
iii
0)(
0)~
(0
10
D
N
iiij
D
j
D
j
dvaU
dvUUdvR
D
j
D
N
iiji dvUdva )( 0
1
Nj ,...,2,1
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
D
j
N
i D
iji dvUdva )( 01
Nj ,...,2,1
ba
B
TNaaaa ),...,,( 21
D
ijij dvB D
jj dvUb )( 0
Nji ,...,2,1,
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
jj
D
ijij dvB
D
jj dvUb )( 0
2/1
2)~
(min
Da
dvUU
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
jj
D
ijij dvB
D
jj dvUb )( 0
2/1
2)~
(min
Da
dvUU
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
l
xii
sin
22
12cos
2
1sin
000
2 ldxdx
l
xidx
l
xiB
lll
ii
jiBij ,0
D
i dxl
xiUb
sin)( 0
l
i dxl
xiU
la
0
0 sin)(2
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
D
N
iii
aD
advaUdVUU
jj
2
10
2/1
2 min)~
(min
02
10
D
N
iii
j
dvaUa
021
0
2
1
20
D
N
iii
N
iii
j
dvaUaUa
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
20
D
N
iii
N
iii
j
dvaUaUa
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
j
N
iii
j
Uaa
U 01
0
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
N
i
N
iijiiji
N
kkjk
N
ikik
N
ki
j
N
iii
j
aaa
aaa
aa
1 11
1 1
2
1
2
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
001
D
j
D
N
iiji dvUdva
001
D
j
N
i D
iji dvUdva Nj ,...,2,1
D
ijij dvB D
jj dvUb 0
4. Проекционные методы4.3. Аппроксимация функций методом коллокаций
jj xx
)()(
,
,0
j
D
j
jj
jj
xfdvxxxf
xxxx
xxxx
)( ji
D
ji
D
jiij xdvxxdvB
)()()()( 000 jj
D
j
D
jj xxUdvxxUdvUb
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)()( xfxU
L DxT
nxxxx ),...,,( 21
)()( xxU
J x
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~ U~J
)(),(~~~
),( xfaxUUUUUaxR
LLLL
0)( xi
J Ni ,...,1 x
)()(0 xx
J
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)(xj
0)(),( D
j dvxxaR
01
0
D
j
N
iii
D
j dvfadvR LL
D
j
N
i D
jii dvfdva 01
)( LL
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)(),(~
),( xfaxUaxR
L Dx
)(),(~
),( xaxUaxr
J x
0
drvdVR j
D
j
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
dvdVdV ji
D
ji
D
ji 321)( LLLL
02
2
xdx
Ud 1,0x VU )0( 0)1( U
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
1
020
2
dxdx
dxb jj
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
dvdVdV ji
D
ji
D
ji 321)( LLLL
02
2
xdx
Ud 1,0x VU )0( 0)1( U
1
02
2
)()(
dvxdx
xdB j
iij
1
001
dvdx
d
dx
d
dx
d
dx
dB ji
x
ij
x
ijij
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
U(x), 0 ≤ x ≤ l
в N точках x1, x2,…, xN, U(xj)=Uj.
N
iii xaxU
1
)()(~ 0)(0 x
NjxUxU jj ,...,2,1 );()(~
N
i
ii xaxU
1
1)(~
)(1
1j
N
i
ii xUxa
Nj ,...,1
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
U(x)
x1 xN 1 xx2 x l = N
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
baxU j )(
~ Njxxx jj ,...,2;1
11
11
1
1
11
jjj
jjj
jj
jj
jj
jj
xxx
UUUb
xx
UUa
Ubax
Ubax
)()()(~
111
1)(
jjj
jj
jj
jj xU
xx
xxxU
xx
xxxU
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
],(,0
),()(
),()(
)(
11
111
111
ii
iiiii
iiiii
i
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
x
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
0)(0 x 0)(1 xN
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
x1 x N 1 xx 2 x l = N
( )xi
N
3
2
1
x3
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
В методе коллокаций
baB
)( jiij xB )( jj xUb
)(,0
,1)( iiji xUaIB
ji
jix
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
],(,0
),()(
),()(
)(
11
111
111
ii
iiiii
iiiii
i
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
x
)( ii xUa
)()()(~
111
1)(
iii
ii
ii
iii xU
xx
xxxU
xx
xxxU
Ni ,...,2
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
)()( xfxU
),(),( yxfyxU Dyx ),(
D
Udxdyfy
U
x
U2min
2
2
2
2
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
)(xfLU
)(xUU
Dx
LULU ,, DD
dvLUdvLU
0U 0, ULU
UfULUUF
xfLUUFU
,2,)(
)()(min:
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
N
iiiaU
10
~
D
N
iii
D
N
iii
N
iii dvafdvaaLL
10
10
10 2
021
01
01
0
D
N
iii
D
N
iii
N
iii
j
dvafdvaaLLa
021
01
0
D
N
iii
N
iii
j
dvafaLLa
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
0221
00
D
j
N
ijiijj dvfLaLL
021
01
0
D
N
iii
N
iii
j
dvafaLLa
01
0
D
j
N
ijiij dvfLaL
D
j
N
i D
jii dvLfdvLa 01
Nj ,...,1
top related