Методы вычислительного эксперимента
DESCRIPTION
Методы вычислительного эксперимента. Введение. 0. Введение. Общие сведения. Объем курса – 34 часа лекции 72 часа лабораторные занятия Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica Форма отчетности – экзамен (5 семестр) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/1.jpg)
Методы вычислительного эксперимента
![Page 2: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/2.jpg)
Введение
![Page 3: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/3.jpg)
0. Введение. Общие сведения.
Объем курса – 34 часа лекции72 часа лабораторные занятия
Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica
Форма отчетности – экзамен (5 семестр)
Преподавание обеспечивает кафедра кибернетики
Лектор – Воротницкий Юрий Иосифович
![Page 4: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/4.jpg)
0. Введение. Цели и задачи дисциплины.
Ознакомить с фундаментальными основами дисциплины «Методы вычислительного эксперимента»
Дать необходимые знания в области построения конструктивных вычислительных алгоритмов для решения типовых задач математического моделирования в радиофизике и электронике
Сформировать навыки формализации, разработки математических моделей и реализации вычислительных алгоритмов задач поиска оптимальных решений
![Page 5: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/5.jpg)
0. Введение. Литература.
Основная1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука,
1980, 536 с.2. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974.3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986,
318 с.4. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:Наука,
1985, 334 с.5. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в
физике. М.: Наука, 1983, 235 с.6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –
М.: Мир, 1982.7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975
Дополнительная1. Таха Х. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. – М.: Издательский
дом «Вильямс», 2001. 2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.- М.:Мир, 1975, 392 с.3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.
![Page 6: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/6.jpg)
0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.
Вычислительный эксперимент – методология исследования сложных научных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемых объектов.
Суть эксперимента: исследование объекта с целью изучения его характеристик в зависимости от условий эксперимента.
Цели эксперимента: Проверка гипотез, установление новых законов и
закономерностей окружающего нас мира. Целенаправленный поиск параметров объекта,
обеспечивающих наилучшие (заданные) характеристики
![Page 7: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/7.jpg)
0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.
Что позволяет вычислительный эксперимент: Расширение области экспериментальных
исследований Исследование недоступных объектов Исследование несуществующих объектов Возможность изменения физических законов
Расширение сферы теоретических исследований: Новые методы описания моделей (алгоритмическое
описание) Применение методов оптимального проектирования
для поиска параметров объекта исследования с наилучшими характеристиками
![Page 8: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/8.jpg)
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Абстрагирование объекта исследования
Построение математической модели
Построение вычислительного алгоритма
Разработка программного обеспечения
Проведение вычислений и анализ результатов
![Page 9: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/9.jpg)
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Абстрагирование объекта исследования: Определение главных (учитываемых) и второстепенных
(отбрасываемых) факторов. Формулировка физических законов, на основании которых будет
строиться модель. Оценка границ применимости модели.
Результат - физическая модель
Построение математической модели: Формализация – представление модели в математической
форме Предварительное исследование математической модели
(корректность, существование и единственность решения). Оценка границ применимости модели.
Результат - математическая модель
![Page 10: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/10.jpg)
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Построение вычислительного алгоритма: Дискретизация математической модели Разработка алгоритма Предварительное исследование алгоритма (выполнимость,
конечность, вычислительная сложность, устойчивость и др.) Результат – алгоритмическая модель
Разработка программного обеспечения: Выбор технологий и средств проектирования и
программирования Проектирование Кодирование (написание текста программы) Верификация, отладка, тестирование.
Результат - программная модель
![Page 11: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/11.jpg)
0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента
Проведение вычислений и анализ результатов: Планирование вычислительного эксперимента. Проведение расчётов на ЭВМ. Анализ расчётов с целью установления новых следствий
из законов поведения объекта, оптимизация его параметров.
Уточнение границ применимости физической и математической моделей, алгоритмов и программных средств
Результат - завершение исследований, либо корректировка физической, математической, алгоритмической, программной моделей и повторение цикла вычислительного эксперимента
![Page 12: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/12.jpg)
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
Существенные параметры объекта:Входные
объект на явоздействи внешние - ),...,,( 21T
ltttt
модели параметры входные - ),...,,( 21T
lnyyyy
параметры внутренние енезависимы - ),...,,( 21T
nxxxx
Выходные:
Tk),...,,( 21
yB
• Прямая задача: по известным входным параметрам найти значения выходных
![Page 13: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/13.jpg)
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
),...,,( 21T
lnyyyy
Tk ),...,,( 21
1By
• Обратная задача: по известным выходным параметрам восстановить значения выходных
- известны
- полностью или частично неизвестны
• При невозможности построения обратного оператора B-1 обычно строится итерационный процесс
![Page 14: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/14.jpg)
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
),...,,( **2
*1
* Tnxxxx
Tk ),...,,( **
2*
1*
**1 ),( txB
• Задача оптимизации: найти значения независимых внутренних параметров, приближающих выходные характеристики к заданным
- известны
- заданы
Tltttt ),...,,( 21
- требуется найти
**1 ),( txB
![Page 15: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/15.jpg)
0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента
**1 ),( txB
k
f
![Page 16: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/16.jpg)
Модели. Дискретизация
![Page 17: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/17.jpg)
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
![Page 18: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/18.jpg)
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
Будем рассматривать двухпроводные линии передачи
Ограничимся квазистатическим приближением (поперечная ТЕМ – волна) Описывать волновой процесс будем в терминах токов и
напряжений в линии как функций координаты и времени Потерями на излучение пренебрегаем
В качестве входных параметров модели можно использовать обобщенные параметры: погонные емкость, сопротивление, индуктивность, проводимость
Модель линейная Параметры линии не зависят от величин токов и
напряжений Анализ границ применимости
![Page 19: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/19.jpg)
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
V t( )
x + d xx x0
L R
G C R н
![Page 20: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/20.jpg)
1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи
Существенные параметры объекта:
Входные:
Выходные:
)(),(),(),(R , xLxGxCxl
HR ),(tV
),(),,( txItxUНезависимые
Внешние воздействия:
Физические законы:Закон сохранения электрического зарядаЗакон Ома для участка цепи
![Page 21: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/21.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
)(),(),(),(R , xLxGxCxlHR ),(tV
),(),,( txItxU
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
![Page 22: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/22.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
dxtxUtdxxUtxUU x ),(),(),(
dxxLtxIdxxRtxIdxtxUU tx )(),()(),(),(
=0
![Page 23: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/23.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н
=0
]),([])([ dttxUdxxCUCQCUQ t
dxxCtxUdttxUdxdttxGtxUdxdttxIQ x )()],(),([),(),(),(
dxdtxCtxUdxdttxGtxU t )(),(),(),(
![Page 24: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/24.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
dxdtxCtxUdxdttxGtxU
dxdttxIQ
t
x
)(),(),(),(
),(
dxxLtxIdxxRtxI
dxtxUU
t
x
)(),()(),(
),(
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
![Page 25: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/25.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
V t( )
x + dxx x0
L R
G C R н =0
)()0,(
)()0,(
0
0
xIxI
xUxU
[,0[ ];,0[
)()(
);()(
tlx
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
0),(
)(),0(
tlU
tVtU
![Page 26: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
0),(
)(),0(
tlU
tVtU
0
const
const
GR
C
L
ttxxttxt
xtxx
tx
tx LCUUCUI
LIU
CUI
LIU
CxIxU
xUxU
xt /)()0,(
)()0,(
0
0
[;,0[ ];,0[
;
tlx
LCUU ttxx
![Page 27: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
x
l0
)cos()(),(
)cos()(),(
2
1
txItxI
txUtxU
a
a
0
),(),(
),(),(
)cos()(
H
a
R
xLLxGG
xRRxCC
tVtV
![Page 28: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/28.jpg)
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
2
1
)(
)(
ia
ia
exI
exU
I
U
])(Re[),(
])(Re),(ti
ti
extxI
extxU
I
[U
)()(
)()(
xCUxUGI
xLIxIRU
tx
tx
)()()()()(
)()()(
xCeixxGexex
LeixRexextititi
x
tititix
UUI
IIU
![Page 29: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/29.jpg)
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
)()()()()(
)()()(
xCixxGxx
LixRxx
x
x
UUI
IIU
)()()( xCixGxg
constLiRr
)()(
)(
xxg
xr
x
x
UI
IU
0)(
)0(
lU
VU iVeV
![Page 30: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/30.jpg)
1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным
диэлектрическим заполнением
)()(
)(
xxg
xr
x
x
UI
IU
0)(
)0(
lU
VU
)()()()(
/
xxrgxxg
rr
xxx
xxxxxx
UUUI
UIIU
0)(
)0(
)(
l
xxx
U
VU
UU
![Page 31: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Дискретизация2.1. Метод сеток (Метод конечных разностей)
;
;),...,,(
);()(
321
Dx
xxxxx
xfxUT
n
L
[;,0[ ];,0[
;
tlx
LCUU ttxx
t
x0 li
j(I, j)
![Page 32: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Дискретизация2.2. Проекционные методы
;
;),...,,(
);()(
321
Dx
xxxxx
xfxUT
n
L
N
iii
iii xaxxaxxU
10
10 )()()()()(
![Page 33: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/33.jpg)
2. Дискретизация2.3. Замена физического объекта дискретным аналогом
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
x
l0
xixii
xx
xx
ii eCeCU
eCeCxU
UU
21
21)(
![Page 34: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/34.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
k
k
k
k
xxkxx
x
xkxx
kk
UxUdx
Ud
UxUdx
dUUxU
)(
)( ;)(
2
2
![Page 35: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/35.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
;2
1
2
22
1
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk 11 kk xx
)(
2
21
12
hO
kkx
x dx
Udh
h
UUU
dx
dUk
k
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
![Page 36: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/36.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
;2
2
2
22
1
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk kk xx 21
)(
2
21
22
hO
kkx
x dx
Udh
h
UUU
dx
dUk
k
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
![Page 37: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/37.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
kk xx 21
11 kk xx ;62
1
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kk xxkk
;62
2
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kk xxkk
21
3
3
3
33
11 62
dx
Ud
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk
-
![Page 38: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/38.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
21
3
3
3
33
11 62
dx
Ud
dx
Udh
dx
dUhUU
kxkk
21
3
3
3
3211
122 dx
Ud
dx
Udh
h
UU
dx
dU kk
xk
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k2
11
![Page 39: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/39.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k2
11
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
h
UUU
dx
dU kkx
xk
k
1
![Page 40: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/40.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
U
xxk-1xk+1xk0
1
2
34
![Page 41: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/41.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
kk xx 21
11 kk xx
+
;2462
1
4
44
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kkk xxxkk
;2462
2
4
44
3
33
2
22
1
dx
Udh
dx
Udh
dx
Udh
dx
dUhUU
kkk xxxkk
21
4
4
4
44
2
22
11 242
dx
Ud
dx
Udh
dx
UdhUUU
kx
kkk
![Page 42: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/42.jpg)
3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных
21
4
4
4
44
2
22
11 242
dx
Ud
dx
Udh
dx
UdhUUU
kx
kkk
21
4
4
4
42
211
2
2
24
2
dx
Ud
dx
Udh
h
UUUU
dx
Ud kkkxx
xk
k
211
2
2 2
h
UUUU
dx
Ud kkkxx
xk
k
![Page 43: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/43.jpg)
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
211
2
2 2
h
UUU
dx
Ud kkk
xk
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
![Page 44: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/44.jpg)
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
xx0
X=0
x1 … xk-1 xk xk+1 … xn
X=l
h=l/n
.0
;
;1,...2,1 ;)(2
0
211
n
kkkkkkk
U
VU
nkUUxh
UUU
![Page 45: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/45.jpg)
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
.0
;
;1,...2,1 ;2
0
211
n
kkkkk
U
VU
nkUh
UUU
0
1,...,2,1 ;0)2(
0
12
1
n
kkkk
U
VU
nkUUhU
![Page 46: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/46.jpg)
3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток
0
1,...,2,1 ;0)2(
0
12
1
n
kkkk
U
VU
nkUUhU
0
...
0
...
21...0
1...10
...121
0012
1
2
1
12
22
12 V
U
U
U
h
h
h
nn
![Page 47: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/47.jpg)
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
x
U
0 l
v
0
0
U(l)
V)U(
(x)UU xx
],0[
0
0*
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
*)0( YUtg x
![Page 48: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/48.jpg)
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
0)( ,
],0[
0
0
*
lUчтотакоеYНайти
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
x
U
0l
v
![Page 49: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
],0[
0
0
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
Алгоритм метода стрельбы сводится к численному решению относительно Y нелинейного уравнения
0),( lx
YxU
при этом значения функции U вычисляются путем численного решения задачи
![Page 50: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/50.jpg)
3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы
],0[
0
0*
lx
Y)(U
V)U(
(x)UU
x
xx
Найдя решение нелинейного уравнения Y=Y*, автоматически получают приближенное решение исходной задачи, так как решения задач
],0[
0
0
lx
U(l)
V)U(
(x)UU xx
совпадают (разумеется, с некоторой точностью, определяемой точностью решения нелинейного уравнения и точностью численного интегрирования
![Page 51: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат
2
2
2
2
,0yx
U
квадратасторонахна),(
10
10
0
yxgU
y
x
UU yyxx
х
y
1
1
![Page 52: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/52.jpg)
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
х
y
Хn=1
y0=0
Х1 Хk
y1
yj
yn=1
Х0=0
Uk,j(k,j)
h=1/n
2
,1,,1
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxxxjk
2
1,,1,
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxyyjk
![Page 53: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/53.jpg)
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
U k j, + 1
U k j + 1 ,
U k j, 1
U k j, U k 1 j ,
022
2
1,,1,
2
,1,,1
h
UUU
h
UUU jkjkjkjkjkjk
04 ,1,1,,1,1 jkjkjkjkjk UUUUU
)1,(
)0,(
),1(
),0(
,
0,
,
,0
knk
kk
ijn
ij
xgU
xgU
ygU
ygU 1,1,1,1 njnk
1,1,,1,1, 4
1 jkjkjkjkjk UUUUU
![Page 54: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/54.jpg)
3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений
U k j, + 1
U k j + 1 ,
U k j, 1
U k j, U k 1 j ,
)1,(
)0,(
),1(
),0(
,
0,
,
,0
knk
kk
ijn
ij
xgU
xgU
ygU
ygU
1,1,1,1 njnk
1,1,,1,1, 4
1 jkjkjkjkjk UUUUU
Разностное уравнение – уравнение, полученное путем замены производных в исходном ДУ конечно-разностными аппроксимациями
Разностная схема – разностное уравнение + дискретные аналоги граничных (и начальных) условий
Вычислительный шаблон – совокупность узлов сетки, участвующих в аппроксимации производных в одном из узлов
![Page 55: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/55.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
nkksnk
kks
k
jnjsjn
jjsj
gxgU
gxgU
gygU
gygU
,)1(
,
0,)1(
0,
,)1(
,
,0)1(
,0
)1,(
)0,(
),1(
),0(
1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks
)(1,
)(1,
)(,1
)(,1
)1(, 4
1 sjk
sjk
sjk
sjk
sjk UUUUU
Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й
итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.
Метод Якоби (метод одновременных смещений):
1
1
1
1,,0,0,
)0(, )()(
)1(4
1 n
k
n
jjnjnkkjk gggg
nU
nknk
kk
jnjn
jj
gU
gU
gU
gU
,)0(
,
0,)0(0,
,)0(
,
,0)0(
,0 Начальные значения на 0-й итерации:
![Page 56: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/56.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,n]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,n]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v
![Page 57: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/57.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 58: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,1]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v
![Page 59: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/59.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
6. Выполнять в цикле
Положить δ:=0;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Ub[k,j]:=(Ua[k-1,j]+ Ua[k+1,j]+Ua[k,j-1]+ Ua[k,j+1])/4;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Ua[k,j]:=(Ub[k-1,j]+ Ub[k+1,j]+Ub[k,,j-1]+ Ub[k,,j+1])/4. Если δ<| Ua[k,j]-Ub[k,j]|, положить δ:=| Ua[k,j]-Ub[k,j]|
До тех пор, пока δ> ε
7. Вывести массив Ua
8. Завершить работу
![Page 60: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/60.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
0-я итерация
![Page 61: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/61.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 62: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/62.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 63: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/63.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 64: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/64.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 65: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/65.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 66: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/66.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 67: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/67.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
0-я итерация 1-я итерация
![Page 68: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/68.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 69: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/69.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
δ
![Page 70: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/70.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
![Page 71: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/71.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
Ua Ub
2-я итерация 1-я итерация
![Page 72: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/72.jpg)
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
nkksnk
kks
k
jnjsjn
jjsj
gxgU
gxgU
gygU
gygU
,)1(
,
0,)1(
0,
,)1(
,
,0)1(
,0
)1,(
)0,(
),1(
),0(
1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks
)1(1,
)(1,
)1(,1
)(,1
)1(, 4
1
sjk
sjk
sjk
sjk
sjk UUUUU
Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й
итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.
Метод Либмана (метод последовательных смещений):
1
1
1
1,,0,0,
)0(, )()(
)1(4
1 n
k
n
jjnjnkkjk gggg
nU
nknk
kk
jnjn
jj
gU
gU
gU
gU
,)0(
,
0,)0(0,
,)0(
,
,0)0(
,0 Начальные значения на 0-й итерации:
![Page 73: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/73.jpg)
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v
![Page 74: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/74.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 75: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/75.jpg)
3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана
1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],
2. Положить v:=0;
3. Для i=1..n-1 выполнить
x:=i*h; y:=i*h;
U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);
v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);
4. Положить v:= v/4/(n-1)
5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v
![Page 76: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/76.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
6. Выполнять в цикле
Положить δ:=0;
Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить
Положить q:=U[k,j]
U[k,j]:=(U[k-1,j]+ U[k+1,j]+U[k,j-1]+ U[k,j+1])/4 Если δ<| U[k,j]-q|, положить δ:=| U [k,j]-q]|
До тех пор, пока δ> ε
7. Вывести массив U
8. Завершить работу.
![Page 77: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/77.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 78: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/78.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 79: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/79.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 80: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/80.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 81: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/81.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 82: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/82.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 83: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/83.jpg)
3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби
U
![Page 84: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/84.jpg)
3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)
1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks
)(,
)1(,
)(,
)1(,
sjk
sjk
sjk
sjk UUUU
Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й
итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.
Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:
s
Uk,j
![Page 85: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/85.jpg)
3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)
1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks
)(,
)1(,
)(,
)1(,
sjk
sjk
sjk
sjk UUUU
Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й
итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.
Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:
s
Uk,j
![Page 86: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/86.jpg)
3. Метод сеток3.7. Экстраполяция по Ричардсону
1)/(
)/(
;
);(
);(
;
221
221
22
21
2
1
222
211
12
2
1
2
1
21
hh
UhhUU
h
h
UU
UU
hOUU
hOUU
UиUВведем
hh
h
h
h
h
hh
![Page 87: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/87.jpg)
3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы
DyxgU
Dx
yxfUU yyxx
границена),(
),(
х
y
![Page 88: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/88.jpg)
3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы
0),(4 ,
1,1,,1,1
jkjk
jkjkjkjk
yxfU
UUUU
2
,1,,1
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxxxjk
2
1,,1,
,
2
h
UUUU jkjkjk
yxyyjk
y
Хn=1
y0=0
Х1 Хk
y1
yj
yn
Х0=0
Uk,j(k,j)
h=1/n
jkjkjk
jkjk
jk fUU
UUU
,1,1,
,1,1
, 4
1
![Page 89: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/89.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
xxt UU
,10 x 0t),( txUU
)()0,( xgxU
)](),1([),1(
)(),0(
tqtUtU
ttU
x
t
x
![Page 90: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/90.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
xxt UU
,10 x 0t),( txUU
)()0,( xgxU
)](),1([),1(
)(),0(
tqtUtU
ttU
x
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
![Page 91: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/91.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
![Page 92: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/92.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
![Page 93: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/93.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
2
,1,1 2, h
UUUU jkkjjk
xx jk
kjjk
t
UUU
jk
1,
,
2
,1,,11,
h
UUUUU jkjkjkkjjk
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
![Page 94: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/94.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UUU jkjk
x jk
,1,
,
11,1,11,
jjk
jkjk qUh
UU
h
UUU jkjk
x jk
1,11,
1,
h
UhqU jkj
jk
1
1,111, h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
![Page 95: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/95.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,
![Page 96: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/96.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
![Page 97: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/97.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
jkjkjk
jkjk
UUUh
UU
,1,,1
2,1,
j=0, k=1,2,,,n-1
![Page 98: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/98.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
![Page 99: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/99.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
j=1, k=1,2,,,n-1
![Page 100: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/100.jpg)
3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности
h ,
0
о ш и б ка о к р у гл е н и я
с у м м а р н а я о ш и б к а
о ш и б каа п п р о кс и -м а ц и и
![Page 101: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/101.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
0 )()(~
:
).()(~
;),()(~
L
);()( );( ;LL
;,...,2,1,0 ,:
;),()(L
h
h
hприxUxU
сходимость
xUxU
GxxfxU
xUxUxf)xf(
nkGxh
GxxfxU
khkh
khkh
hkkhkh
khkh
hk
![Page 102: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/102.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
. ;0)(lim
,
~
);()(~
)(
:
0hkkh
h
h
h
khkhkh
Gxxz
еслиUточномук
сходитсяUрешениеоеПриближенн
xUxUxz
схемыразностнойьПогрешност
;)(max kk
h xff
,)(21
2
hkk
kh Gxxfhf
![Page 103: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/103.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
h
k
h
hkkhh
h
h
Gнаhzчтотакие
hhkkkесли
малостипорядокйk
имеетсхемыразностнойьПогрешност
GxxzеслиUточномук
сходитсяUрешениеоеПриближенн
,
)(,0),(,0
,
. ;0)(lim ,
~
0
![Page 104: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/104.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
);()(~
)(
:
khkhkh xUxUxz
схемыразностнойьпогрешност
hhh zUU ~
hhhhhhhhhhhhhh UfzfzUfzU LLLLL
;~
Lh hh fU
hhhhhhhh UUzfU LLLL
hL LL цииаппроксимаошибкаUU hhhh
![Page 105: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/105.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
еслиGнаfLUисходнуюруетаппроксими
fULзадачаРазностная
цииаппроксимаошибкаUU
h
hhh
hhhh
,
~
L LL h
. ;0)(lim0
hkkhh
Gxx
цииаппроксимапорядокйkимеет
схемаразностнаятоGнаhM
hMMMhkkkесли
h
k
h
,
:)(,0),(,0
![Page 106: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/106.jpg)
Разностная схема называется корректной, если:
1. её решение существует и оно единственно при любых ограниченных правых частях.
2. такое m > 0, m m(h), что для любой
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
)(xfh
hh fmU
![Page 107: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/107.jpg)
Теорема: Пусть исходная задача
поставлена корректно, разностная схема
корректна, и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи (1), причём порядок малости погрешности совпадает с порядком аппроксимации (2).
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
;),()(L GxxfxU
hkkhkh GxxfxU
),()(~
Lh
![Page 108: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/108.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
Доказательство (1):
тиустойчивосизxzL hhh ,)(
hh mz
0)(lim)(lim)(lim
)( 0)(lim
000
0
khh
khh
khh
khh
xmxmxz
цияаппроксимаx
![Page 109: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/109.jpg)
3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
Доказательство (2):
цииаппроксимапорядокйkhMk
h
, , MmобозначимhMmzk
h
тьустойчивосmz hh -
k
h hz
![Page 110: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/110.jpg)
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
t
t j
t 1
x 1 x k 1 x
h
h
UhqU jnj
jn
1
1,111,
jjj
kkk
tU
gxgU
)(
)(
,0
0,
jkjkjkjkjk UUUh
UU ,1,,12,1,
k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,
![Page 111: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/111.jpg)
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
xxt UU
1
)()(),(l
lll tTxXatxU
xil
lexX )( tl
letT2
)( khxk jt j
1
2
),(l
txil
jlkl eeatxU
![Page 112: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/112.jpg)
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
llkl ikll
khixi ehee j
ljt qee ljl 22
1
),(l
jl
ikljkh qeatxUU l
Условие устойчивости: |ql| 1.
![Page 113: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/113.jpg)
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
1
),(l
jl
ikljkh qeatxUU l
2
,1,11, 2
h
UUUUU jkkjjkkjjk
2
)1()1(1 2
h
eqeqeqeqeq kijikjkijikjikj
22
2cos2
2cos
21
h
ee
h
eeq iiii
![Page 114: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/114.jpg)
3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник
2
sin412
sin21cos1cos21 22
22
hh
q
2sin41 2
2
h
q
12
sin0 2
2
11
2
hq
2
2
1h
![Page 115: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/115.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
xxt UU 0 < x < 1, t > 0
)()0,( xqxU
)(),0( 1 tgtU
)(),1( 2 tgtU
t
t j
t 0x 0 x k 1 x
![Page 116: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/116.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
kkk qxgU )(0
jjj gtgU 110 )(
jjkj gtgU 22 )(
2
1,11,1,11, 2
h
UUUUU jkjkjkkjjk
k, j+1k-1, j+1 k+1, j+1
k, j
![Page 117: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/117.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2hr
1,11,1,11, 2 jkjkjkkjjk UUUUUr
kjjkjkjk rUUUrU 1,11,1,1 2
1,21,
1,11,0
jjn
jj
gU
gU
1,...,2,1 nk,...2,1,0j
kk qU 0
![Page 118: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/118.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2
,1,11, 2 :
h
UUUUUU jkkjjkkjjk
kj
2
1,11,1,11,1,
2 :
h
UUUUUU jkjkjkkjjk
jk
2
,1,1
2
1,11,1,11,
21
2
h
UUUh
UUUUU
jkkjjk
jkjkjkkjjk
где 0 1
![Page 119: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/119.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
2
,1,11, 2 :
h
UUUUUU jkkjjkkjjk
kj
2
1,11,1,11,1,
2 :
h
UUUUUU jkjkjkkjjk
jk
2
,1,1
2
1,11,1,11,
21
2
h
UUUh
UUUUU
jkkjjk
jkjkjkkjjk
где 0 1
![Page 120: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/120.jpg)
3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.
При = 1/2
jkkjjk
jkjkjkkjjk
UUU
UUUUUr
,1,1
1,11,1,11,
2
22
jkjkkj
jkjkjk
UUUr
UUrU
,1,1
1,11,1,1
12
12
1,...,2,1 nk ,...2,1,0j
k, j+1
k, j
![Page 121: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/121.jpg)
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
xxt UU 0 < x < 1, t > 0
)()0,( xqxU
)(),0( 1 tgtU
)(),1( 2 tgtU
khxk
t
x 0 x k 1 x
![Page 122: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/122.jpg)
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
)(),( tVtxU kk
211
1122
2
)()(2)(
),(),(2),(1),(
h
tVtVtV
txUtxUtxUhx
txU
kkk
kkkk
dt
tdV
x
txU kk )(),(2
2
211 )()(2)()(
h
tVtVtV
dt
tdV kkkk
![Page 123: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/123.jpg)
211 )()(2)()(
h
tVtVtV
dt
tdV kkkk
)()( 10 tgtV
)()( 2 tgtVn
)()(0 ktk xqtV
1,...,2,1 nk
3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией
![Page 124: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/124.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
)(~
)(min xUxUa
2/1
2)~
(min
Da
dvUU DxUUxa
,~
maxmin
![Page 125: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/125.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
ГГxUx )()(0
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
0)( Гi x
![Page 126: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/126.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
],0[ ;sin)()(~
)(1
0 lxl
xiaxxUxU
N
ii
2/1
0
2)),(~
)(()(~
)(min
l
adxaxUxUxUxU
l
i dxl
xiU
la
0
0 sin)(2
![Page 127: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/127.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция
],0[ );,(~
)( lxaxUxU jjj Nj ,...,2,1
)()()( 01
jj
N
ijii xxUxa
)()(
...
)()(
)()(
...
)(...)()(
.........
)(...)()(
)(...)()(
0
202
101
2
1
21
22221
11211
NNNNNNN
N
N
xxU
xxU
xxU
a
a
a
xxx
xxx
xxx
)1( xxii xii sin
,
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
![Page 128: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/128.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
),(~
)(),( axUxUaxR
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
D
dvxfxfxfxf )()()(),( 2121
UU ~0)(0
D
dvxwRRDx
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
![Page 129: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/129.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
),(~
)(),( axUxUaxR
)(xU
),(~
axU
Dxxxxx Tn ,),...,,( 21
Tnaaaa ),...,,( 21
D
dvxfxfxfxf )()()(),( 2121
UU ~0)(0
D
dvxRRDx
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
![Page 130: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/130.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
UU ~)(xj
0)(),( D
j dvxaxR, Nj ,...,2,1
)()(),(~
10 xaxaxU
N
iii
0)(
0)~
(0
10
D
N
iiij
D
j
D
j
dvaU
dvUUdvR
D
j
D
N
iiji dvUdva )( 0
1
Nj ,...,2,1
![Page 131: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/131.jpg)
4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок
D
j
N
i D
iji dvUdva )( 01
Nj ,...,2,1
ba
B
TNaaaa ),...,,( 21
D
ijij dvB D
jj dvUb )( 0
Nji ,...,2,1,
![Page 132: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/132.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
jj
D
ijij dvB
D
jj dvUb )( 0
2/1
2)~
(min
Da
dvUU
![Page 133: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/133.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
jj
D
ijij dvB
D
jj dvUb )( 0
2/1
2)~
(min
Da
dvUU
![Page 134: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/134.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
l
xii
sin
22
12cos
2
1sin
000
2 ldxdx
l
xidx
l
xiB
lll
ii
jiBij ,0
D
i dxl
xiUb
sin)( 0
l
i dxl
xiU
la
0
0 sin)(2
![Page 135: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/135.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
D
N
iii
aD
advaUdVUU
jj
2
10
2/1
2 min)~
(min
02
10
D
N
iii
j
dvaUa
021
0
2
1
20
D
N
iii
N
iii
j
dvaUaUa
![Page 136: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/136.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
20
D
N
iii
N
iii
j
dvaUaUa
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
j
N
iii
j
Uaa
U 01
0
![Page 137: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/137.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
N
i
N
iijiiji
N
kkjk
N
ikik
N
ki
j
N
iii
j
aaa
aaa
aa
1 11
1 1
2
1
2
![Page 138: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/138.jpg)
4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина
021
0
2
1
D
N
iii
jD
N
iii
j
dvaUa
dvaa
001
D
j
D
N
iiji dvUdva
001
D
j
N
i D
iji dvUdva Nj ,...,2,1
D
ijij dvB D
jj dvUb 0
![Page 139: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/139.jpg)
4. Проекционные методы4.3. Аппроксимация функций методом коллокаций
jj xx
)()(
,
,0
j
D
j
jj
jj
xfdvxxxf
xxxx
xxxx
)( ji
D
ji
D
jiij xdvxxdvB
)()()()( 000 jj
D
j
D
jj xxUdvxxUdvUb
![Page 140: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/140.jpg)
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)()( xfxU
L DxT
nxxxx ),...,,( 21
)()( xxU
J x
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~ U~J
)(),(~~~
),( xfaxUUUUUaxR
LLLL
0)( xi
J Ni ,...,1 x
)()(0 xx
J
![Page 141: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/141.jpg)
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)(xj
0)(),( D
j dvxxaR
01
0
D
j
N
iii
D
j dvfadvR LL
D
j
N
i D
jii dvfdva 01
)( LL
![Page 142: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/142.jpg)
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
)(),(~
),( xfaxUaxR
L Dx
)(),(~
),( xaxUaxr
J x
0
drvdVR j
D
j
![Page 143: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/143.jpg)
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
dvdVdV ji
D
ji
D
ji 321)( LLLL
02
2
xdx
Ud 1,0x VU )0( 0)1( U
N
iii xaxaxU
10 )()(),(
~
1
020
2
dxdx
dxb jj
![Page 144: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/144.jpg)
4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений
dvdVdV ji
D
ji
D
ji 321)( LLLL
02
2
xdx
Ud 1,0x VU )0( 0)1( U
1
02
2
)()(
dvxdx
xdB j
iij
1
001
dvdx
d
dx
d
dx
d
dx
dB ji
x
ij
x
ijij
![Page 145: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/145.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
U(x), 0 ≤ x ≤ l
в N точках x1, x2,…, xN, U(xj)=Uj.
N
iii xaxU
1
)()(~ 0)(0 x
NjxUxU jj ,...,2,1 );()(~
N
i
ii xaxU
1
1)(~
)(1
1j
N
i
ii xUxa
Nj ,...,1
![Page 146: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/146.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
U(x)
x1 xN 1 xx2 x l = N
![Page 147: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/147.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
baxU j )(
~ Njxxx jj ,...,2;1
11
11
1
1
11
jjj
jjj
jj
jj
jj
jj
xxx
UUUb
xx
UUa
Ubax
Ubax
)()()(~
111
1)(
jjj
jj
jj
jj xU
xx
xxxU
xx
xxxU
![Page 148: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/148.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
],(,0
),()(
),()(
)(
11
111
111
ii
iiiii
iiiii
i
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
x
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
0)(0 x 0)(1 xN
![Page 149: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/149.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
x1 x N 1 xx 2 x l = N
( )xi
N
3
2
1
x3
![Page 150: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/150.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
В методе коллокаций
baB
)( jiij xB )( jj xUb
)(,0
,1)( iiji xUaIB
ji
jix
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
![Page 151: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/151.jpg)
4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации
)()()(~
11 xaxaxU iiii ii xxx 1
],(,0
),()(
),()(
)(
11
111
111
ii
iiiii
iiiii
i
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
x
)( ii xUa
)()()(~
111
1)(
iii
ii
ii
iii xU
xx
xxxU
xx
xxxU
Ni ,...,2
![Page 152: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/152.jpg)
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
)()( xfxU
),(),( yxfyxU Dyx ),(
D
Udxdyfy
U
x
U2min
2
2
2
2
![Page 153: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/153.jpg)
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
)(xfLU
)(xUU
Dx
LULU ,, DD
dvLUdvLU
0U 0, ULU
UfULUUF
xfLUUFU
,2,)(
)()(min:
![Page 154: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/154.jpg)
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
N
iiiaU
10
~
D
N
iii
D
N
iii
N
iii dvafdvaaLL
10
10
10 2
021
01
01
0
D
N
iii
D
N
iii
N
iii
j
dvafdvaaLLa
021
01
0
D
N
iii
N
iii
j
dvafaLLa
![Page 155: Методы вычислительного эксперимента](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102908/56812d9e550346895d92bf24/html5/thumbnails/155.jpg)
4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ
0221
00
D
j
N
ijiijj dvfLaLL
021
01
0
D
N
iii
N
iii
j
dvafaLLa
01
0
D
j
N
ijiij dvfLaL
D
j
N
i D
jii dvLfdvLa 01
Nj ,...,1