Математическое описание пьезоэлектрических...

Математическое описание пьезоэлектрических исполнительных

устройств

Математическая модель многослойного

тонкопленочного актюатора • Рассмотрим тонкопленочный актюатор поперечного сечения So,

закрепленный одним концом на неподвижном основании, первоначальный размер lo которого изменяется под действием электрического поля Е в направлении действия поля на значение Δl , и перемещающий объект управления массой mo , сочлененный с его свободным концом.

• Кроме объекта управления перемещаются также элементы объема активной части пьезоэлемента, масса которого mk чаще всего меньше, чем масса исполнительного органа. При этом инерционность перемещающихся элементарных объемов актюатора будет учтена при расчете суммарной приведенной подвижной массы mΣ, которая будет равна сумме массы mo и части массы пьезокерамики mk , так как пьезоэлемент закреплен одним концом и эта его часть не принимает участия в движении.

Характеристики объекта моделирования

• Влиянием внутренних электродов и припоя на упругие свойства актюатора можно пренебречь, учитывая то, что толщина их слоя в 20-30 раз меньше слоя керамики, а возможные межэлектродные зазоры были выбраны начальным сжатием актюатора в ходе технологического процесса его изготовления.

• C точки зрения упругих характеристик, актюатор рассматривается как монолитный блок.

• Деформации во всем объеме будем считать однородными, а в целом, весь актюатор рассматривать как электроупругую систему с одной степенью свободы.

• Кроме того, для того, чтобы остаться в рамках линейных представлений модели устройства, будем считать, что напряженность управляющего поля существенно меньше поля предварительной поляризации

• Рабочий частотный диапазон находится вдали от первого электромеханического резонанса (верхняя граница диапазона отличается от частоты резонанса не менее чем на порядок).

Математическая модель• Для описания пьезоэффектов воспользуемся уравнениями, где в

качестве независимых переменных используются Т (механическое напряжение) и E (напряженность электрического поля):

ETdD

EdTsST

t

пE

Нас интересует уравнение обратного пьезоэффекта. Запишем его с учетом того, что механическое напряжение материала препятствует деформации из-за пьезоэффекта:

EdTsS пE

Теперь запишем это уравнение с учетом принятых обозначений:

l

lS

Ys E 1

Умножив все члены уравнения обратного пьезоэффекта на YSo, получим:

TSEYSdYSl

lп 000

0

Уравнение равновесия сил• Левая часть выражения описывает усилие упругой деформации:

• Первое слагаемое правой части определяет усилие, вызванное приложенным электрическим полем:

lKll

YSF уу

0

0

EYSdF пэ 0

Механическое напряжение, входящее во второе слагаемое правой части уравнения определяется статическим усилием Fc, приложенным к ОУ и действующим на актюатор. Кроме того, во время движения ОУ возникают динамическая сила пропорциональная ускорению Fдин и демпфирующее усилие пропорциональное скорости смещения ОУ, вызванное процессами, связанными с потерей энергии в актюаторе.

Уравнение равновесия сил, приложенных к подвижной границе активной части актюатора: диндсэу FFFFF

2

2

dt

ldmFдин

dt

ldKF д

д

lКF уу

Структурная схема модели

Fc(p)

Fу(p)+Fд(p)

V(p)

ПвKR

oK

pKK ду

p

1

1

1

pTэpm

1U(p) Fэ(p)eп(p) l(p)

– Структурная схема модели тонкопленочного многослойногоактюатора как объекта с сосредоточенными параметрами при управлении отисточника э.д.с.

Передаточная функция актюатора

1)()()(

)()(

23

pK

KKR

K

KTp

K

KT

K

mp

K

mТ

KK

pe

plpW

у

ОПв

у

дэ

у

дэ

ууэ

у

O

пА

Различными аппаратными средствами можно добиться минимального влияния прямого пьезоэффекта (KП) и инерционности преобразователя (Tэ). Так, например, снизить выходное сопротивление усилителя можно, применив мощные выходные транзисторы, а для минимизации влияния прямого пьезоэффекта рекомендуется применять такие меры как организация специальных быстродействующих контуров регулирования управляющего поля и включением в схему усилителя дополнительных диодов, образующих цепи замыкания наведенных токов. Кроме того, влияние внутреннего демпфирования как правило, очень мало и им тоже можно пренебречь. В таких условиях получим существенно упрощенную передаточную функцию актюатора:

1)(

)()(

2

pK

m

KK

pe

plpW

у

уO

пА

Особенности ПФ многослойных

тонкопленочных актюаторов

121

)(

)()(

222

pТpТ

KK

pK

Kp

K

m

KK

pe

plpW

мм

уO

у

д

у

уO

пА

Tм - механическая постоянная времени актюатора;

мQ2

1 - декремент затухания переходного процесса

Q - механическая добротность материала.

Для многослойных тонкопленочных актюаторов (особенно с большим диапазоном перемещений, более 20 мкм), в силу большого значения собственной емкости, пренебречь электростатической постоянной не всегда удается, тогда вполне приемлема передаточная функция вида:

)12)(1()(

)()(

22

pTpTpT

KK

pe

plpW

ммэ

уO

пА

Ползучесть и последействие

последействие

ползучесть

(x10 )-6

м

t, c

Напряжениеподано

Напряжениеснято

Механическая релаксация пьезокерамики

Гистерезис

, м

U у, В

max

hmax

Статическая характеристика пьезоэлектрического исполнительногоустройства

Учет влияния гистерезиса

При моделировании пьезоэлектрических устройств, работающих в гармонических режимах, гистерезис можно учитывать с помощью звена чистого запаздывания, которое имеет передаточную функцию вида:

pepW )(

Нужно, только учитывать, что у звена чистого запаздывания фазовый сдвиг зависит от частоты входного воздействия:

)(зап

Более универсальной и удобной для описания в большинстве стандартных режимах является, так называемая, арктангенсная модель гистерезиса, которая имеет вид

)(2arctan)()()( txtutxtx

Моделирование гистерезиса

Арктангенсная модель гистерезиса в Simulink

Ux10 [B]

y х10-6,[м]

Петля гистерезиса при синусоидальном входномсигнале.

Модель Прандтла-Ильшинского

Простейшая сумма люфтов.

Петля гистерезиса при амплитуде синусоидальноговходного сигнала равной 100 В и перемещении 7 мкм.