Циклические группы. Теорема Эйлера

Дискретные структурыМФТИ, осень 2013

Александр Дайнякwww.dainiak.com

Коммутативные группы

• Группа коммутативная или абелева, если

Примеры абелевых групп:

Примеры неабелевых групп: • группы подстановок• группа всех аффинных преобразований плоскости

Теоремы Лагранжа и Силова

• Если , то делит

• Если число вида делит , то

Остаток от деления

Для любых и существуют и однозначно определены , такие, что

Число — остаток от деления на , или вычет числа по модулю .Обозначение:

Равенство по модулю

Если

то пишут

и говорят, что и равны по модулю

Мы ещё будем обозначать это так:

Равенство по модулю

Утверждение.Пусть и .Тогда

Равенство по модулю

Доказательство:По условию,

Отсюда

Следовательно,

Равенство по модулю

Отсюда

Аналогично, .Следовательно,

Равенство по модулю

Утверждение.Если , то для любого .

Доказательство: индукцией по с использованием предыдущего утверждения.

Пример вычислений по модулю

Задача.Какому числу из равно по модулю значение выражения ?

Решение:

Аддитивная группа вычетов

Утверждение.Множество чисел

образует группу относительно операции , где — это такое число , что ( — операция сложения по модулю )

Пример. Если мы работаем в , то

Операцию будем обычно обозначать просто

Аддитивная группа вычетов

Утверждение.Множество чисел образует группу относительно операции .

Доказательство:

• Ассоциативность операции:

Пусть и . Тогда , где , и следовательно

Аналогично, . Так как и , то .

Аддитивная группа вычетов

Продолжение доказательства:

• Нейтральный элемент:

• Существование обратных элементов:

Для обратный элемент .

Для обратным будет , т.к.

Циклические группы

Определение.Если конечная группа изоморфна группе , то называется циклической группой.Также циклическими называют бесконечные группы, изоморфные группе .

Циклические группы

Примеры циклических групп:• Группа поворотов плоскости относительно начала координат

на угол, кратный • для любого (определение см. дальше)• Группа чисел вида относительно умножения (при фиксированном

)

Порядок элемента

Пусть — группа с операцией Порядком элемента называется такое наименьшее , для которого

где — нейтральный элемент в .Если такого не существует, порядок элемента считается равным .Обозначается порядок так:

Порядок элемента

Утверждение.У каждого элемента в конечной группе есть конечный порядок.Доказательство:В последовательности обязательно возникнет повторение: для

Отсюда сразу следует, что .

Циклические подгруппы

Для каждого обозначим

По определению положим

где — нейтральный элемент группы.

Циклические подгруппы

Утверждение.Пусть и . Тогда множество

является подгруппой группы , и .

Доказательство:

Нейтральный элемент .При для элемента обратным будет элемент .

При этом , поскольку если и , то .

Циклические подгруппы

Утверждение.Пусть и . Тогда множество

образует циклическую группу, изоморфную

Доказательство:Изоморфизм очевиден:

Тогда поскольку , то

то есть сохраняет групповую операцию, ч.т.д.

Циклические подгруппы

Утверждение.Пусть и . Тогда множество

образует циклическую группу, изоморфную

называется подгруппой, порождённой элементом , обозначается:

Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел

образует группу относительно операции .

— операция умножения по модулю .

По определению , если и

Примеры: в имеем

Операцию будем обычно обозначать просто

Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел

образует группу относительно операции .

Доказательство:• Ассоциативность доказывается, как и для • Нейтральный элемент: • Нетривиально только существование обратных элементов…

Мультипликативная группа вычетовДоказательство существования обратных:Пусть и . Так как конечно, то в последовательности

есть повторяющиеся элементы.То есть для некоторых .Заметим, что элемент и будет обратным к .

Мультипликативная группа вычетов

Поскольку , то

Так как и взаимно просты, то отсюда следует

А значит

то есть, по определению, обратен к .

Мультипликативная группа вычетовУтверждение.Множество чисел

образует группу относительно операции .

Следствие.Для любого простого множество образует мультипликативную группу относительно умножения по модулю .

Функция Эйлера

Через обозначается функция Эйлера:

Примеры:

• для любого

• для любого простого

Теорема Эйлера—Ферма

Теорема.Если — взаимно простые числа, то

Доказательство:Пусть . Достаточно доказать, что

Заметим, что , и рассмотрим группу .Имеем , .

Теорема Эйлера—Ферма

Имеем , .Поскольку — подгруппа , то по теореме Лагранжа получаем

для некоторого .Отсюда

Теорема Эйлера—Ферма

Теорема.Если — взаимно простые числа, то

Следствие. (Малая теорема Ферма)Для любого простого и для любого

Пример вычислений по модулю,с применением теоремы ФермаЗадача.Какому числу из равно по модулю значение выражения ?

Решение: