Algunos conceptos de estabilidad aplicable

al control basado en modelo

Representación en el espacio de estados

Fuentes de inestabilidad

Ejemplo: Sistema masa-resorte

Ley de Newton de movimiento

fuerza = masa*aceleración

Ecuación de segundo orden, un grado de libertad, diferencial lineal

con coeficientes constantes:

donde:m: Masa del bloqueb: Coeficiente de fricciónk: Rigidez del resorte

Ejemplo: Sistema masa-resorte (I)

Representación en el espacio de estados

Se definen los estados:

Resulta:

En forma matricial:

Ejemplo: Linealización por realimentación

Ecuación de orden n, un grado de libertad

Vector de estados:

Se redefine el vector de estados:

Vector de estados:

Ejemplo: Ecuación de error

Ecuación de error

Representación en el espacio de estados

Se definen los estados:

Resulta:

En forma matricial:

Ejemplo: Ecuación de error (I)

Representación en el espacio de estados

Matriz Jacobiana

Ejemplo: Modelo de referencia

Linealización por realimentación

Ley de control

vdt

xdn

n

=)(

ekekekdt

xdv n

nn

nd

011

1 ...)( ++++= −

− 0... 011

1 =++++ −− ekekeke nn

n

Modelo de referencia yde −=

Sistemas de segundo ordenSistema masa-resorte

Función de transferencia

Ecuación característica

Transformada de Laplace

Sistemas de segundo orden (I)Solución de la Ecuación característica

Sistemas de segundo orden (II)Respuesta del sistema en lazo abierto

u=0

function xt = bloque_resp(t,x)m=2; % masak=2.5; % resorte%b=10*sqrt(4*m*k); % Respuesta sobreamortiguada%b=0.1*sqrt(4*m*k); % respuesta subamortiguadab=sqrt(4*m*k); % Respuesta críticamente amortiguada xt = [x(2); (-b/m)*x(2) - k/m*x(1)]; % Resuelve la ecuación diferencial>>[t,x] = ode45('bloque_resp',[0 50],[1; 0]);>>plot(t,x(:,1))

Sistemas de segundo orden (III)Respuesta sobreamortiguada

Sistemas de segundo orden (IV)Respuesta subamortiguada

Sistemas de segundo orden (V)Respuesta críticamente amortiguada

Generalmentemás deseadaen sistemas

de control

Sistemas de segundo orden (VI)

Sistema masa-resorteError de seguimiento de

modelo de referencia

001 =++ ekeke

Ecuación característica:

0012 =++ ksks

Ecuación característica:

Solución: Solución:

2

4

20

211

2,1

kkks

−±−=

Respuesta críticamente amortiguada 4

21

0

kk = 61 =k 096 =++ eee

Sistemas de segundo orden (VII)

096 =++ eee

Representación en el espacio de estados

Error de seguimiento

function et = bloque_resp(t,e)k1=6;k2=9; et = [e(2); -6*e(2) - 9*e(1)];% Resuelve la ecuación diferencial>>[t,e] = ode45('bloque_resp',[0 50],[1; 0]);>>plot(t,e(:,1))

Estabilidad basada en Lyapunov

El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio

Sistema dinámico no lineal invariante en tiempo

8)()(

)( xxfx

xVxV −=

∂∂=

Estabilidad basada en Lyapunov (I)Ejemplo

5xx −=

Función candidata 425.0)( xxV =

El sistema es estable en el punto de equilibrio5xx −= 0=x

Estabilidad basada en Lyapunov (II)Sistemas lineales

Si para una matriz definida positiva:

Existe una matriz definida positiva:

Que es solución a la siguiente ecuación:

Entonces para una función candidata de Lyapunov:

Su diferencial cumple:

Estabilidad basada en Lyapunov (III)Demostración

Función candidata de Lyapunov:

Teorema de KrasovskiiSistema no lineal

Puede representarse por:

Jacobiano:

La función candidata de Lyapunov se define en términos de f(x) y no de x

Si resulta definida negativa:

Una función candidata de Lypunov es:

Si, adicionalmente, se cumple:

El sistema es global y asintóticamente estable en el punto de equilibrio

Estabilidad basada en Lyapunov (IV)Ecuación de error

Se define la matriz Q (definida positiva):

Por ejemplo:

Debe encontrarse la matriz P definida positiva solución de:

>> P=lyap([0 1;-9 -6]',[1 0;0 1])P = 1.1667 0.0556 0.0556 0.0926>> eig(P) 0.0897 1.1695

Como existe la matriz P definida positiva, el sistema es global y asintóticamente estable en el punto cero de equilibrio

Estabilidad basada en Lyapunov (V)Sistema masa-resorte

Se desea diseñar un controlador estable de la forma:

Sistema equivalente en lazo cerrado:

Se supone la matriz A:

Respuesta críticamente amortiguada 4

21

0

kk =¿Otra opción?

Estabilidad basada en Lyapunov (VI)Sistema masa-resorte

Se define la matriz Q (definida positiva):

>> P=lyap([0 1;-4 -5]',[1 0;0 1])P = 1.1250 0.1250 0.1250 0.1250>> eig(P) 0.1096 1.1404

Solución de matriz P definida positiva:

Coeficientes del controlador solución de:

Estructuras de Control

¿ ?

Estructuras de Control (I)Sistema dinámico

en lazo cerrado

Modelo de referencia

Ley de control: Depende de estados y el modelo de referencia

Salida de la planta: Depende de estados y

la ley de control