algebra2, normál - elte algebra és számelmélet...
TRANSCRIPT
Algebra2, normál 3. előadás 1 / 25
Algebra2, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék
Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress
3. előadás
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, ha
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába,azaz A(0V ) = 0W
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).
Bizonyítási ötlet az első állításra
A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).
Bizonyítási ötlet az első állításra
A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25
A lineáris leképezés fogalma
Definíció (F5.1.1. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).
Állítás (F5.1.2. Tétel)
Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).
Bizonyítási ötlet az első állításra
A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ), adjunk hozzá −A(0V )-t.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3)
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
(7) V = W tetszőleges vektortér,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 3 / 25
Példák lineáris leképezésre
(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).
(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.
(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).
(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).
(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .
(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.
(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I vagy IV .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
R
([
10
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
R
([
10
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
R
([
10
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
[
01
]
R
([
10
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
[
01
]
R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
R
([
12
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
R
([
12
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
R
([
12
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
21
]
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
R
([
12
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 4 / 25
Tükrözés egyenesre
PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
✲
✻y = x
[
21
]
[
12
]
[
10
]
[
01
]
R
([
01
])
=
[
10
]
R
([
10
])
=
[
01
]
R
([
12
])
=
[
21
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
= x
[
01
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
= x
[
01
]
+ y
[
10
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
= x
[
01
]
+ y
[
10
]
=
[
0x
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
= x
[
01
]
+ y
[
10
]
=
[
0x
]
+
[
y
0
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 5 / 25
A tükrözés képlete
Kérdés
Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R
([
x
y
])
= ?
Láttuk: R
([
10
])
=
[
01
]
és R
([
01
])
=
[
10
]
. Ezért
R
([
x
y
])
= R
([
x
0
]
+
[
0y
])
= R
([
x
0
])
+ R
([
0y
])
,
hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
R
(
x
[
10
])
+ R
(
y
[
01
])
= xR
([
10
])
+ yR
([
01
])
=
= x
[
01
]
+ y
[
10
]
=
[
0x
]
+
[
y
0
]
=
[
y
x
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
=
[
ax
bx
]
+
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
=
[
ax
bx
]
+
[
cy
dy
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
=
[
ax
bx
]
+
[
cy
dy
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
=
[
ax
bx
]
+
[
cy
dy
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 6 / 25
Vektor képe általános transzformációnál
Kérdés
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Ha A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
= ?
A
([
x
y
])
= A
([
x
0
]
+
[
0y
])
= A
([
x
0
])
+ A
([
0y
])
,
hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez
A
(
x
[
10
])
+ A
(
y
[
01
])
= xA
([
10
])
+ yA
([
01
])
=
= x
[
a
b
]
+ y
[
c
d
]
=
[
ax
bx
]
+
[
cy
dy
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjüka, b, c , d értékét.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[
a c
b d
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[
a c
b d
] [
x
y
]
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[
a c
b d
] [
x
y
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[
a c
b d
] [
x
y
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
(így lehet kiszámolni egy vektor képét).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 7 / 25
Lineáris transzformáció mátrixa
Láttuk
Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha
A
([
10
])
=
[
a
b
]
és A
([
01
])
=
[
c
d
]
, akkor A
([
x
y
])
=
[
ax + cy
bx + dy
]
.
Definíció
A fenti A mátrixa [A] =
[
a c
b d
]
. (Az oszlopok
[
10
]
és
[
01
]
képei.)
A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[
a c
b d
] [
x
y
]
=
[
ax + cy
bx + dy
]
(így lehet kiszámolni egy vektor képét).
Azaz A(v) = [A]v .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal:
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa:
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα)
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔
[
cosαsinα
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔
[
cosαsinα
]
.
A második:
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔
[
cosαsinα
]
.
A második: i(cosα+ i sinα) =
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔
[
cosαsinα
]
.
A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 8 / 25
A forgatás mátrixa
Példa
Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=
[
cosα − sinαsinα cosα
]
.
A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.
Az x + iy számnak az
[
x
y
]
felel meg:
[
10
]
↔ 1 és
[
01
]
↔ i .
A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔
[
cosαsinα
]
.
A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα ↔
[
− sinαcosα
]
.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.
Azaz [A]d/b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
azt jelenti, hogy
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.
Azaz [A]d/b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
azt jelenti, hogy
A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.
Azaz [A]d/b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
azt jelenti, hogy
A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 9 / 25
Mátrix bázispárban
Definíció (F5.7.1. Definíció)
b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa
a (b,d) bázispárban [A]d/b =[
[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d
]
∈ Tm×n.
A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.
Azaz [A]d/b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
azt jelenti, hogy
A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.
Az előbbi példákban a sík szokásos bázisa szerepelt.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben,
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V .
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij))
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)).
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
λ11µ1 + . . .+ λ1nµn
...λm1µ1 + . . .+ λmnµn
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
λ11µ1 + . . .+ λ1nµn
...λm1µ1 + . . .+ λmnµn
Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) =
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
λ11µ1 + . . .+ λ1nµn
...λm1µ1 + . . .+ λmnµn
Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
λ11µ1 + . . .+ λ1nµn
...λm1µ1 + . . .+ λmnµn
Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm.
Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 10 / 25
Vektor képének kiszámítása
Tétel (F5.7.3. Tétel)
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.
Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).
Bizonyítás
Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor
[A]d/b[v ]b =
λ11 . . . λ1n
.... . .
...λm1 . . . λmn
µ1
...µn
=
λ11µ1 + . . .+ λ1nµn
...λm1µ1 + . . .+ λmnµn
Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm. Behelyettesítve és átrendezveA(v) = (λ11µ1 + . . .+ λ1nµn)d1 + . . .+ (λm1µ1 + . . .+ λmnµn)dm.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
[
0 −11 0
]
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
[
0 −11 0
] [
y
x
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
[
0 −11 0
] [
y
x
]
=
[
0y + (−1)x1y + 0x
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
[
0 −11 0
] [
y
x
]
=
[
0y + (−1)x1y + 0x
]
=
[
−x
y
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25
Példa kompozícióra
KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).
[
x
y
]
7→ R
([
x
y
])
=
[
y
x
]
.
Mivel [F ] =
[
cos 90◦ − sin 90◦
sin 90◦ cos 90◦
]
=
[
0 −11 0
]
, ezért
[
y
x
]
képe
F
([
y
x
])
=
[
0 −11 0
] [
y
x
]
=
[
0y + (−1)x1y + 0x
]
=
[
−x
y
]
.
Az eredmény az y -tengelyre való tükrözés (HF).
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény:
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
, és [B] =
[
a′ c ′
b′ d ′
]
,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
, és [B] =
[
a′ c ′
b′ d ′
]
, akkor
[A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
, és [B] =
[
a′ c ′
b′ d ′
]
, akkor
[A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Tehát [A ◦ B] = [A][B]:
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
, és [B] =
[
a′ c ′
b′ d ′
]
, akkor
[A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 12 / 25
A kompozíció mátrixa
Definíció
Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A
(
B(v))
tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.
Tétel
Ha [A] =
[
a c
b d
]
, és [B] =
[
a′ c ′
b′ d ′
]
, akkor
[A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.
A mátrixok szorzását azért definiáltuk ezekkel a képletekkel,hogy ez az összefüggés igaz legyen.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
]
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
]
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Példa: [F ◦ R] =
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =
[
0 −11 0
]
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =
[
0 −11 0
] [
0 11 0
]
=
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 13 / 25
A kompozíció mátrixának kiszámítása
Tétel
[A]=
[
a c
b d
]
, [B]=
[
a′ c ′
b′ d ′
]
=⇒ [A ◦ B]=
[
aa′ + cb′ ac ′ + cd ′
ba′ + db′ bc ′ + dd ′
]
.
Bizonyítás
A
(
B
[
10
])
= A
([
a′
b′
])
=
[
a c
b d
] [
a′
b′
]
=
[
aa′ + cb′
ba′ + db′
]
.
Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.
A
(
B
[
01
])
= A
([
c ′
d ′
])
=
[
a c
b d
] [
c ′
d ′
]
=
[
ac ′ + cd ′
bc ′ + dd ′
]
.
Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.
Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =
[
0 −11 0
] [
0 11 0
]
=
[
−1 00 1
]
.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu)
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu)
A kompozíció definíciója miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
A kompozíció definíciója miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
B skalárszoros-tartása miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
B skalárszoros-tartása miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
A skalárszoros-tartása miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
= λA(
B(u))
A skalárszoros-tartása miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
= λA(
B(u))
A kompozíció definíciója miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
= λA(
B(u))
= λAB(u).
A kompozíció definíciója miatt.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 14 / 25
Kompozíció az általános esetben
Definíció (F5.6.1. Definíció)
Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A
(
B(u))
minden u ∈ U-ra.
Tétel (F5.6.2. Tétel)
Ha A és B lineáris, akkor AB is az.
Bizonyítás
AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A
(
B(λu))
= A(
λB(u))
= λA(
B(u))
= λAB(u).
HF: AB összegtartó.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W )
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ).
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a)
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze:
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1
d/b.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1
d/b.
Bizonyítás
[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b =
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1
d/b.
Bizonyítás
[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b,
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1
d/b.
Bizonyítás
[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.
Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 15 / 25
Általános kompozíció mátrixa
Tétel (F5.7.6. Tétel)
Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.
Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).
Következmény
Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1
d/b.
Bizonyítás
[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.Hasonlóan [A]d/b[A
−1]b/d is az egységmátrix.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v)
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v)
A λA definíciója miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
=
A λA definíciója miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
=
Az A összegtartása miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
=
Az A összegtartása miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
=
A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
== λ
(
A(u))
+ λ(
A(v))
A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
== λ
(
A(u))
+ λ(
A(v))
A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
== λ
(
A(u))
+ λ(
A(v))
= (λA)(u) + (λA)(v).
A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25
Pontonkénti műveletek
Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .
(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.
(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(
A(v))
minden v ∈ V -re.
Tétel (F5.5.3. Tétel)
A+ B és λA is lineáris transzformáció.
Mintabizonyítás: λA összegtartó
(λA)(u + v) = λ(
A(u + v))
= λ(
A(u) + A(v))
== λ
(
A(u))
+ λ(
A(v))
= (λA)(u) + (λA)(v).
A másik három állítás bizonyítása HF.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezés
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ),
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d =
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 17 / 25
Az összeg mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.
Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei. A mátrixok összeadásánakdefiníciója miatt tehát [A+ B]d/b = [A]d/b + [B]d/b.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezés
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ),
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d =
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 18 / 25
A skalárszoros mátrixa
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.
Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai. A mátrixok λ-szorosánakdefiníciója miatt tehát [λA]d/b = λ[A]d/b.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ),
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB)
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.
FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.
FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.
FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC
Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 19 / 25
A műveletek tulajdonságai
JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.
Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.
FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC és (B + C )A = BA+ CA.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.Ekkor A 7→ [A]d/b izomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.Ekkor A 7→ [A]d/b izomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25
Példák izomorfizmusra
Definíció (F5.2.1. Definíció)
Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .
Két fontos példa
Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.
Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.Ekkor A 7→ [A]d/b izomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).A művelettartást láttuk, az egyértelműséget most bebizonyítjuk.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn)
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =mert A skalárszorostartó.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 21 / 25
Az előírhatósági tétel
Tétel (F5.3.1. Tétel)
Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Bizonyítás: egyértelműség
Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet. Az egyértelműséget tehát beláttuk.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 22 / 25
Az előírhatósági tétel: létezés
Bizonyítás: létezés
Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.Hasonlóan A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezés
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor
A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 23 / 25
Mátrixok és leképezések: egyértelműség
Tétel (F5.7.4. Tétel)
Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.
Bizonyítás
w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W
minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben, és azelőírhatósági tételből kapott A leképezésnek M lesz a mátrixa.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben,
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.
Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 24 / 25
Az izomorfizmus jellemzése
Tétel (F5.2.5. Tétel)
Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim
(
Hom(V ,W ))
= dim(V ) dim(W ).
Bizonyításvázlat
Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.Ezért a két dimenzió megegyezik.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris;
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű,
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója.
Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25
A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.
TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója. Az előírhatósági tétel.