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Libro de Algebra para 2do grado TrilceTRANSCRIPT
Índice
Capítulo 1 Expresiones algebraicas 4
Capítulo 2 Teoría de exponentes I 9
Capítulo 3 Teoría de exponentes II 14
Capítulo 4 Ecuaciones exponenciales 19
Capítulo 5 Valor numérico en polinomios 24
Capítulo 6 Teoría de grados 29
Capítulo 7 Polinomios especiales 34
Capítulo 8 Multiplicación algebraica 39
Capítulo 9 Repaso I 44
Unidad I
Capítulo 10 Productos notables I 49
Capítulo 11 Productos notables II 54
Capítulo 12 División algebraica I 59
Capítulo 13 División algebraica II 64
Capítulo 14 Factorización I 69
Capítulo 15 Factorización II 74
Capítulo 16 Fracciones algebraicas I 79
Capítulo 17 Repaso II 84
Unidad II
Álgebra
Capítulo 18 Fracciones algebraicas II 89
Capítulo 19 Radicación I 94
Capítulo 20 Radicación II 99
Capítulo 21 Radicación III 104
Capítulo 22 Teoría de ecuaciones 109
Capítulo 23 Ecuaciones de 1er grado I 114
Capítulo 24 Ecuaciones de 1er grado II 119
Capítulo 25 Repaso III 124
Unidad III
Capítulo 26 Sistemas de ecuaciones I 128
Capítulo 27 Sistemas de Ecuaciones II 134
Capítulo 28 Repaso IV 140
Capítulo 29 Sistemas de ecuaciones III 145
Capítulo 30 Desigualdades 150
Capítulo 31 Intervalos 155
Capítulo 32 Inecuaciones I 162
Capítulo 33 Inecuaciones II 167
Unidad IV
Capítulo
4
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1
Lectura: NotacióN matemática y aLgebraica
La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t2, b2), multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t2 + b2
+ tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo: “Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación algebraica actual sería: V = h (t2 + b2 + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.
Así tenemos el volumen de una pirámide truncada:
Algunos polinomios, como: f(x) = x2 + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.
h=6
t=2
b=4
( )V h t bt b3
2 2= + +
En este capítulo aprenderemos
Expresiones algebraicas
. El término algebraico y sus componentes.
. Cómo identificar términos algebraicos semejantes.
. La reducción de términos algebraicos semejantes.
expresioNes aLgebraicas
Álgebra
5www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Expresiones Algebraicas
Definición
Notación
Términos semejantes
Reducción de términos algebraicos semejantes
Término algebraico
Capítulo
6
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Calcula en cada caso:
a) 4+9=
b) −8+3=
c) −10+6=
d) −9+(−4)=
2. Calcular en cada caso:
a) −4−5=
b) −9−11=
c) −9+5=
d) 7−10=
13. Calcular el valor de: −3+8−11+2
4. Calcular en cada caso:
a) (−2)(4)=
b) (−5)(−3)=
c) (7)(−5)=
d) (8)(9)(−2)=
5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)
Aplica lo comprendido
1. Indicar las partes del siguiente término algebraico:
T(x)=−4x9
• Variable : _____________
• Exponente : _____________
• Coeficiente : _____________
• Parte literal : _____________
2. Indicar con un aspa (x), el término algebraico que no es semejante a los demás:
5x3 −8x3 4x2 9x3
4x2y3 5x2y3 9y3x2 5xy2
3. Reducir en cada caso:
a) 5x4+8x4=
b) 2m3−7m3=
c) −4ab−5ab=
d) 11x2y−5x2y=
4. Reducir: −2x2y+x2y−3x2y+5x2y
5. Reducir: 4x3−2x2−5x3+7x2
Álgebra
7www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Siendo: A=5xy–4xy–2xyB=–xy+3xy–4xy
Hallar A–B
a) 0 b) 3xy c) xyd) –xy e) –3xy
2. Reducir:
P(x;y)=5x2–2xy+y2–4x2+xy+2y2–x2+3xy–5y2
a) 2xy–2y2 b) 2xy+y2 c) 2xy+2y2
d) 2xy–y2 e) –y2–2xy
3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)B=2xy–[xy–2xy]
Hallar A–B
a) xy b) 2xy c) −3xyd) 4xy e) 5xy
4. De 14mn restar –mn
a) 13mn b) –15mn c) –13mnd) 15mn e) 12mn
5. Restar –2mnp de –mnp
a) –3mnp b) 3mnp c) 0d) –mnp e) mnp
6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]}
a) 2xyz b) –2xyz c) –4xyzd) 4xyz e) –6xyz
7. Reducir:
3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}
a) 8xy b) –8xy c) 3xyd) –3xy e) 0
8. Siendo
P(x)=–x2+x–1Q(x)=2x2–x+2Hallar P(x)+ Q(x)
a) x2–x+1 b) x2+1 c) x2–1d) x2–x–1 e) x2
9. Si P(x)=x3+3x2+2x+3Q(x)=–2x3–4x2–4x+2
Determine 2 P(x)+ Q(x)
a) x2+8 b) 2x2–8 c) 2x2+8d) x2 e) 2x2+6
10. Reducir la siguiente expresión:
E(x;y)= ( )x y x y2
16 20 2 3 5+ − +
a) 5x+5y b) 8x+10y c) 3x+2yd) 13x+15y e) 5x+2y
11. Sabiendo que P(x)=4x5 es semejante con
Q(x)=–5x2a–3, hallar a
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
12. Si T(x;y)=3xayb–1; R(x;y)=5x4y5 son semejantes, hallar “a+b”
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
13. Si:2x2m+p+3x3n+p=px17; entonces “m+n+p” será:
a) 15 b) 9 c) 10d) 11 e) 26
14. Si los términos en variable "x", T1=mxa–b;
T2=nxb–c son semejantes; calcular: b
a c+
a) 1 b) 2 c) 23
d) 34 e)
21
15. Si la expresión:P(x)=(a+3)xb+2+2xa+3+(b+4)x6, se reduce a un solo término. Calcule su coeficiente.
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18
Capítulo
8
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1Practica en casa
1. Siendo: A=6xy–4xy–5xyB=–2xy+5xy–6xy
Hallar: A+B
2. Reducir:
P(x;y)=2x2+xy–2y2–x2–3xy+y2+xy–2x2+y2
3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)]B=–mp–(mp–4mp)
Hallar: A+B
4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)
5. Restar: (3m+4) de (5m+4)
6. Reducir:–{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn
7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y
8. Siendo: P(x)=2x2+4x–2Q(x)=x2–4x+1
Hallar: P(x)+Q(x)
9. Si: F(x)=2x3+2x2–x+4Q(x)=x3+x2+2x+3
Hallar: F(x)–2Q(x)
1. Si x4y; 3xn+1ym son semejantes; ¿qué podemos afirmar de: (m+2)x5y3 ∧ nx5ym+2?a) Diferentesb) Igualesc) Semejantesd) Hay 2 correctase) Constantes
2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales
tales que: 3x8+m+x10=abx5–n, hallar la suma de: m+n+a+b, si: a!b
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Al sumar x6+2x6+3x6+....+nx6 se obtuvo 55x6, indique: n2
a) 76 b) 81 c) 49d) 100 e) 196
10. Reducir la siguiente expresión:
E(x;y)= ( )x y x y5
18 30 4 2 5− − −
11. Sabiendo que Q(x)=3x12 es semejante con
R(x)=–5x2a–6, hallar: a
12. Si: M(x;y)=5xa+1yb+2; A(x;y)=7x7y7
son semejantes, hallar: a+b
13. Si: 3xm–1+4xp+1=qx5
Hallar: m+p+q
14. Si se cumple: (a–2)xb–1+(a+3)x4 ≡ 11xc+1
Hallar: ab–c
15. Si la expresión: P(x)=(a+6)xb+1+5xa+2+(b+3)x8
se reduce a un solo término, calcule su
coeficiente.
4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b). El primero le costo $a y el segundo $(2a–b). ¿Cuánto le costó el tercero?
a) $a b) 7a c) 3a–bd) 3a+2b e) a+2b
5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9xB(x)=2x+4x+6x+8x+10x
Reducir
S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}
a) 35x b) 45x c) 55xd) 65x e) 75x
Tú puedes
9www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Teoría de exponentes I
. Exponente cero, natural, negativo.
. Teoremas de multiplicación y división de potencias.
. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.
teoría de expoNeNtes i
2
Lectura: gauss es, siN duda, uNo de Los mejores matemáticos de todos Los tiempos.Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido.
En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumó las dos filas.
100 99 98 3 2 1 1 2 3 ... 98 98 100
101 101 101 ... 101 101 101
Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.
Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =
o lo que es lo mismo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050
No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.
Capítulo
10
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes I
Teoremas
Exponente Negativo
Exponente Cero
División
Potencia de potencia
Exponente Natural
Definiciones
Multiplicación
Exponentes iguales
Bases iguales
2
Álgebra
11www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
Calcular las siguientes operaciones:1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)
2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)
3. 45
43+
4. 25
34−
5. 25 2−
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: 40–20–(–4)0–5(–70)+320
2. Reducir: . . ...... . ..... ; 0
a a a aa a a a a
veces
veces
40
50
^
6 7 844 44
1 2 344 44
3. Reducir: ( )
( ) . ( )3
3 34 5
2 4 3 22
4. Calcular: (4–1+ 4–2)–1
5. Calcular: 9.3–1+16.2–1
Capítulo
12
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Reducir: ..... ( ) .33 3 3 3 3veces40
38 2# # # # − −1 2 34444 4444
a) 1 b) –3 c) 2d) 0 e) 1
2. Reducir: . . ( ). ( ) . ( ) ;
x x xx x x x 07 12 7 3
30 2 3 4 2!
a) x4 b) x c) x2
d) x6 e) x5
3. Efectuar: M=(b–3)5.(–b)8.(b2)3.(–b)7
a) b6 b) –b6 c) bd) b2 e) b5
4. Reducir: .36
6 182
2 3
a) 150 b) 160 c) 162d) 62 e) 40
5. Reducir: (( . ) . )
((( . ) . ) . )a b b
a b b a3 2 3 7
2 4 5 2
a) a18.b2 b) a2b3 c) abd) a.b5 e) a19.b
6. Reducir: ..
81 327 3x x
x x
2 3 2 4
3 2 12
+ +
+ +
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 18
7. Si: ;Maa
aa a 0
8
4
4
8 2
!=-
-
-
-e eo o
Calcular: M–1
a) a3 b) a4 c) a5
d) a6 e) a7
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
. ( )(( ) ) ;Nx x
x x 037 4
5 2 4!=
- -
- -
a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23
9. Si: A31
41
212 3 3
= + +- - -
` ` `j j j entonces el valor
de: A
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
10. Reducir: .9 2 32 2500
+- --8 B
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Descomposición de potencias
11. Reducir: m mm mm m
m m
3 1
5 3
++
+ +
+ +
a) m b) m2 c) m3
d) m4 e) m5
12. Reducir: n2
2 2n n
n n
2 1
4 3
−−
+ +
+ +
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
13. Si: aa=3, calcular: aaa 1+
a) 25 b) 27 c) 81d) 243 e) 39
Exponente negativo
14. Reducir: 5 25 2n n
n n
++
- -
a) 10 b) 10–n c) 10n
d) n10 e) 10n
15. Si: x–n=9; reducir: 81x2n+x–2n
a) 81/82 b) 1/82 c) 1/81d) 82/81 e) 82
2
Álgebra
13www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Reducir: 2 2 2 ... 2 ( 2) .230
veces35
5# # ## − −1 2 34444 4444
2. Reducir: ( ) ( ) ( )
. ( ) . ( ) ;x x x
x x x x 05 7 3 6
20 3 2 5 2!
3. Efectuar: R=(x–4)2.(–x)2.(–x2)4.(–x)3
4. Reducir: .45
15 753
4 2
5. Reducir: (( . ) . )
((( ) . ) . ) ;x y yxy x y xy 02 2 8
2 3 4!
6. Reducir: ..
343 749 7x x
x x
2 2 7
2 1 3
- +
- +
7. Si: ; 0Nxx
xx x
6
3
3
6 2
!=-
-
-
-e eo o
Calcular: N–1
8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:
. ( )
(( ) ) ;Mx x
x x 0( )6 2 2
4 2 3
3!=
- -
- -
9. Si: B51
31 2
2 2= + +
- -` `j j
entonces el valor de: B
10. Reducir: ( . )16 15 163 4 110 0 0+- - -
Descomposición de potencias
11. Reducir: x xx xx x
x x
3 1
5 3
++
+ +
+ +
12. Reducir: 3 33 3n n
n n
3 1
5 3
−−
+ +
+ +
13. Si: ,b b2b bb 1=
+
14. Reducir: 7 27 2a a
a a
++
- -
15. Si: x–n=8Reducir: 64x2n+x–2n
Tú puedes
1. Efectuar: . .32
49
278x 2x x
` ` `j j j
a) 32 b)
23 c) 1
d) 49 e)
94
2. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x x x x x( )2 3 3 2 3 3 32 2 2= − − −- - -
a) x9 b) –x9 c) –x6
d) x6 e) x3
3. Efectuar: ... ...A 2011 4 3 2 59 60
= - - -^``c h j j m
a) 0 b) 1 c) 30d) infinito e) absurdo
4. Determinar el valor de:
5 5 5 55 5 5 51
1
2 3
x x x 2 x 3
x x x x
+ + +
+ + ++ + +
- - -
a) 5 b) 25 c) 125d) 625 e) 3125
5. Efectuar: 551 5
55
/3 55
5
-^ h; E) 3
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,25d) 0,55 e) 0,5
Capítulo
14
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
En este capítulo aprenderemos
Teoría de exponentes II
. Exponente fraccionario.
. Teoremas de multiplicación y división de radicales.
. Raíz de raíz
teoría de expoNeNtes ii
3
Lectura: eL tabLero de ajedrez y Los graNos de trigo
El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, y posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.
Cuenta la leyenda sobre el inventor de este juego:El Brahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa Ben Dahir (recordemos que Ben Dahir significa “hijo de Dahir”), escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como entretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tan satisfecho con el juego, que juego quiso agradecer al joven otorgándole lo que este pidiera.
Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, el doble por la tercera, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla número 64.
Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta de que la petición era imposible de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor?
Para calcularlo hemos usado las potencias, y hemos obtenido que tenía que darle 263, es decir 9223372036854780000 granos de trigo.
Si lo expresamos con notación científica sería redondeando 9.22 1018 granos de trigo.
1 2 4 8 16
Álgebra
15www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Teoría de Exponentes II
TeoremasDefiniciones
Multiplicación de radicales
División de radicales
Raíz de raíz
ExponenteFraccionario
Capítulo
16
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Efectuar: . . ....x x x xveces20
1 2 344 44
2. Efectuar: 41
51+
3. Efectuar: 38
31+
4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)
5. Simplificar:
a) 244 =
b) 10530 =
3
Aplica lo comprendido
1. Calcular en cada caso:
a) 81=
b) 1253 =
2. Calcular en cada caso:
a) 361/2=
b) 271/3=
3. Calcular en cada caso:
a) 82/3=
b) 1252/3=
4. Reducir la expresión: A x x x2 3 3 4 4= + +
5. Reducir la expresión: A 7 7 76 2 15 5 9 3# #=
Álgebra
17www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Reducir: . . .... .x x xfactores
5 5 5
601 2 34444 4444
a) x5 b) x7 c) x9
d) x12 e) x24
2. Reducir: 2 2 2 22
a) 2 b) 4 c) 8
d) 2 e) 16
3. Reducir: M3 73 7x x
x xx=
++
- -
a) 10 b) 21 c) 3d) 7 e) 21x
4. Efectuar:
. . ( ) ; n n2 2 2 2Nnn nn nn4 3 10 7 2 ! H+ + -
a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 128
5. Al efectuar: .a b16 64 ; se obtiene am.bn
Calcular: m+na) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
6. Efectuar: .x x4 3 246 @
a) x4 b) x8 c) x16
d) x24 e) x32
7. Efectuar: . .x x x5 3 126 @
a) x15 b) x25 c) x30
d) x35 e) x24
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:x x3
a) 1/2 b) 3/2 c) 5/4d) 3/4 e) 5/2
9. Efectuar: .A 2 3249=
a) 2 b) 2 c) 24
d) 23 e) 26
10. Efectuar: ..A
2 162 435
53=
a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 16
11. Reducir: .. ; 0R
a bb a ab
bab
aba!=
a) 1 b) ba c) ab
d) a e) b
12. Efectuar: .
. ; 0a ba b a b 0n m
m nm n ! !
-
-+
a) 1 b) a/b c) abd) a e) b
13. Reducir: L1 31 3
1 61 6
x
xx
y
yy=
++ +
++
- -
a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) 1/2
14. Efectuar: ( ) . ;x x x 0>64 162162 2 420 3
16
c m8 B
a) 2 b) 1 c) xd) x2 e) 2x
15. Simplificar: 20 480 16n n
n nn2
++
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Capítulo
18
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Reducir: . . .... .a a afactores
3 3 3
901 2 34444 4444
2. Reducir: 2. .3 3 3 3
2
3. Reducir: L2 32 3a a
a aa=
++
- -
4. Efectuar: . ( ) .3 3 3nn nn nn2 1 2 4 3- - -
5. Al efectuar: .a b36 32432 ; se obtiene ax.by
Calcular: yx 2
6. Efectuar: ( . )x x25 53 45
7. Efectuar: ( . . )x x x4 44 32
8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: x x34
9. Efectuar: .L 3 3103=
10. Efectuar: L2 93 164
4=
11. Reducir: .
. ; 0Lx y
y x xyyxy
xyx
2
2
!=
12. Efectuar: .
. ; 0 0a ba b a by x
x yx y
2
22 ! !
-
-+
13. Reducir: 1 21 2
1 51 5
a
aa
b
bb
++ +
++-
14. Calcular: 16 254 42 21 1
+- -- -- -
15. Reducir: M= 8 3264 16n n
n nn
2
++
Tú puedes
1. Reducir: ( ) ( ) ( )2 231 4 33 4 1 0− + − + − +-; E
a) 4 b) 2 c) 0d) 3 e) 1
2. Calcular: E361 2 3
4 0 12 5 51 3 7
= + +- -
-
` j
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20
3. Simplifique la expresión "S":
..S
2 3 33 2 3
x x
x x
1
2 1=
−++
+ +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Calcule el valor de "M":
.M 8 184
500 1/
3
35
1 3
= − − −= G
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir
la siguiente expresión: . . .x x x x2 7 435
a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 3
3
19www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones exponenciales
. Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita.
. A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de reso-lución.
. Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales:
– Potencias de bases iguales. – Potencias de exponentes iguales. – Resolución por comparación (xx=44).
ecuacioNes expoNeNciaLes
4
Lectura: Vieta FraNcisco (1540 - 1603)
Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París.
La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar
enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey
Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión,
y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra y
Trigonometría.
Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y
constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro
que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera
como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta
razón se le llamo padre del Álgebra Moderna.
También fue aficionado a la Geometría, calculando el número “pi”
con una aproximación correcta de diez decimales.
Capítulo
20
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Ecuacionesexponenciales
Ecuación Definición Criterios básicos de resolución
Teoría de exponentes
Ecuación de primer grado
Principios básicos de resolución
Potencias de bases iguales
Potencias de exponentes
iguales(exponente cero)
4
Álgebra
21www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
Reducir las siguientes expresiones:
1. –5x+6x–7x+11x
2. –7(x+4)
Resolver las siguientes ecuaciones:
3. 3x–2=91
4. x3
4 1 5− =
5. 5x+8=3x+30
Aplica lo comprendido
1. Resolver: 5x–2=25
2. Resolver: 72x–3=32x–3
3. Al resolver la ecuación 73–x=49x–1
Indicar el valor de: 3x+1
4. Resolver: 49x–2=343x–5
5. Resolver: 31 9
x x5 1=- +` j
Capítulo
22
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Resolver: 8x–2=4x+3
a) 6 b) 5 c) 12d) 10 e) 11
2. Resolver: 4x–1. 5=5x–1 . 4
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver: 73x–2=492–x
a) 51 b) 6 c)
56
d) 65 e)
61
4. Resolver: 45x 2-
=425x 1+
a) –2 b) –3 c) –4d) 1 e) 2
5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 3 93x =6 @
a) 31 b)
43 c)
34
d) 2 e) 21
6. Determinar el valor de “x”, al resolver:
2 42 8x x7 1 2 3=
- +
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
7. Hallar “x”, si (4x+1)(8x–1)=16x+3
a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 20
8. Encontrar el valor de “x”: 3 273 9x x5 1 3=
+ +
a) 1 b) 2 c) 21
d) 31 e)
41
9. Hallar “x” en: 5 1253 3x x2 1 5=
+ +
a) 2 b) 3 c) 51
d) 5 e) 1
10. Calcular el valor de “x” en: 3x+1+3x–1+3x=351
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Al resolver: 16 83 42 2x x= , se obtiene como
solución la fracción irreductible: ba ; indique
a+b.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
12. Resolver: (3). (2x+3)=(192) . (3x–3)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13. Encontrar el valor de "y", si: 1
b1
y–12( )= b
18y
a) 31 b)
32 c)
34
d) 35 e) 3
14. Resolver: 5 31255 25x x5 2=
- +
a) 10 b) 15 c) –15d) –10 e) –5
15. Hallar "x+3"; en: 9 332 125 x1
=- -- - -
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
4
Álgebra
23www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Resolver: 53x–2=25x+9
2. Resolver: 9 936 216x x1 1=
- +
3. Hallar "x" en: 7 494 2x x2 1 2 1=
+ -
4. Calcular el valor de "x" en: 5x+1+5x+5x–1=3875
5. Al resolver: 81 2435 4x x3 3=
Se obtiene la fracción irreductible: nm
indique: m+n
6. Resolver: x x81 316 4x=
7. Resolver: 2 51238x
=
8. Resolver: 3 273 9x x5 1 3=
+ +
9. Resolver: 5 533
993
9x
=` j
10. Resolver: 9318 9
x 1
=- -- -
11. Si: 216 . 6x=6–5, hallar el valor de x
12. Si: 25 58 127 x1
=- -- - -
, hallar: x+1
13. Resolver: x x8 4 16x x 12=
-6 @
14. Si: a aa a a
n
n
3
2511
++ = . Determinar "n"
15. Si 2105a
a
1
2 24=
+
-, encontrar "a"
Tú puedes
1. Hallar "x", si 77 7
7 7x
x
3
12 57
++ =
+
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Resolver: xx=21 .
Indicar el producto de soluciones.
a) –2–1 b) –2–2 c) 2–2
d) 2–3 e) –2–3
3. Hallar "x"; si xxn=n
a) n b) 2 n c) nn
d) n–1 e) n–2
4. Hallar "x"; en: x 4x 1 3=-
a) 2 b) 4 c) 32d) 40 e) 54
5. Hallar "x" en: x39x
3/1 3=
a) 3–6 b) 3–2 c) 3–8
d) 3–3 e) 3–9
Capítulo
24
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
5
Lectura: LegeNdre, adrieN-marie (1752-1833)
Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el
10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de
los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del
Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e
hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su
teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños,
sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los
menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como
son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las
funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números;
Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.
En este capítulo aprenderemos
Valor numérico en polinomios
. La notación polinómica; sus elementos y características.
. Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polino-mio (casos P(x); P(x+a); P(x−a); P(ax±b))
VaLor Numérico eN poLiNomios
Álgebra
25www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Valor Numérico en Polinomios
Notación polinomica
Estrategias para calcular el valor numérico de un polinomio de una, dos o más variables.
Capítulo
26
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Completar:
Polinomio Variables Exponentes Coeficiente
M(x)=–4x3
T(x;y)=8x2y5
2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23
3. Efectuar: A=(–2)2+(–1)3+(2)(–5)–(–1)2
4. Efectuar: 9.310−27.39
5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x2–xyHallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5
Aplica lo comprendido
1. Si: P(x)=x2+5x+1Hallar: P(1)+P(−1)
2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy2
Hallar: P(2;–2)
3. Sea: F(x−1)=4x+3Hallar: F(3)
4. Sea: M(x−5)=x2–3xHallar: M(1)
5. Sea: P(x)=25x10–125x9
Hallar: P(5)
5
Álgebra
27www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Si: A=x2+2xy, hallar el V.N. de "A" cuando: x=5; y=–2
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
2. Si: P(x)=8x3+2x2–x+23
Calcular: P21` j
a) 21 b)
23 c)
25
d) 27 e) 4
3. Si: M(x;y)=(x+y)2–(x–y)2
Calcular: M(0;5)
a) 0 b) 1 c) 4d) 16 e) 25
4. Si: A(m;n)=m2+n3+3mnHallar: A(−2;−1)
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15
5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y "4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1
a) 0 b) 4 c) 25d) 36 e) 49
6. Si: A(x)=x2–60x+900, hallar: A(31)
a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25
7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10
a) 100 b) 220 c) 225d) 226 e) 625
8. Si: P(x)=27x5−81x4+xHallar: P(3)
a) 0 b) 1 c) 3d) 1000 e) 27000
9. Si: P(x)=2x99−64x94+x+1Hallar: P(2)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Si: P(x−2)=4x+11Hallar: P(2)+P(0)
a) 44 b) 46 c) 48d) 50 e) 52
11. Si: Q(3x−1)=3−8xHallar: Q(2)−4.Q(−4)
a) –48 b) −49 c) −47d) −50 e) −52
12. Si: P(5x+3)=x2–4x+2Hallar: P(−2)+3.P(3)
a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15
13. Si: R=x2–482, hallar el V.N. para: x=50
a) 200 b) 198 c) 196d) 194 e) 192
14. Si: M=(x+y)(x–y)+y2; hallar el V.N. para: x=100; y=89
a) 1 b) 10 c) 100d) 1000 e) 10000
15. P(x–3)=2x2–5xHallar: P(2)+P(0)
a) 15 b) 25 c) 28d) 35 e) 38
Capítulo
28
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Si: M(x;y)=3x2–xyHallar: M(1;3)
2. Si: P(x)=27x2+9xHallar: P
31` j
3. Si: P(x;y)=(x+y)2–(x–y)2
Hallar: P(–1;4)
4. Si: M(x;y)=x2–2xy+y2
Hallar: M(15;10)
5. Si: Q(x;y)=x2+2xy+y2
Hallar: Q(20;–10)
6. Si: A(x)=x2–40x+400Hallar: A(22)
7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y", hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8
8. P(x;y)=2xy+y2
Hallar: P(0;2)+P(0;5)
9. Si: F=x2–y2; hallar el V.N. de "F" para: x=38; y=22
10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x2
Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1
11. Si: M(x)=4x98–16x96+xHallar: M(2)
12. P(x)=(x+3)2+5xHallar: P(0)+P(1)+P(–2)
13. Si: M(x)=x3
Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)
14. Si: P(x–2)=3x+8Hallar: P(9)
15. Si: Q(x+3)=5x–7Hallar: Q(2)+Q(5)
Tú puedes
1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x2)1–x; para: x=–2a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
2. Si: P(x)=3x99–729x94+x+1Calcular: P(3)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Si: P(x;y;z)=x2+xy+xz+yzHallar: P(–3;3;–2)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x2–3xy+y2)Hallar: P(2;–3)
a) 184 b) 185 c) 187d) 189 e) 200
5. Sabiendo que:
(a+b+2c)2+(a+b–2c)2=8(a+b)(c)
Calcular el valor de: Ec ba c 3=−−` j
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5
29www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo recordaremos
Teoría de grados
. Concepto de grado.
. Grado relativo para monomios y polinomios.
. Grados absoluto para monomios y polinomios.
teoría de grados
6
Lectura: eL triáNguLo de pascaL
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. También se le denomina como Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un tratado de la primera mitad del siglo XVI.
En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Kayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.
Capítulo
30
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
6Síntesis teórica
Grado
Concepto
Grado
Relativo
Grado
Absoluto
Para monomios y polinomios
Álgebra
31www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Dada la expresión: M(x;y)=6x5y7z3
Indicar:• Las variables• Los exponentes de las variables
2. Calcular la suma de coeficientes de:E(x)=x4+2x3+3x2+4x+5
3. De la expresión: P(x)=xa–2+xa–3+xa–1
Calcular el valor de "a", si el mayor exponente de "x" es 5.
4. Dada la expresión: A(x;y)=x9y5+x8y7+x6y6
Indicar:a) El mayor exponente de "x".b) El mayor exponente de "y".
5. Halla "x" en cada caso:a) x–3=11
b) x+2=7
Aplica lo comprendido
4. Del polinomio: E(x;y)=x5y10+x7y8+x2y12
Calcular: G.R(x)=
G.R(y)=
G.A.=
5. Del problema: A(x;y)=x7+y6+1Hallar: G.R(x)=
G.R(y)=
G.A.=
1. Si: H(x;y)=5x8y7z10
Calcular: G.R(x)=
G.R(y)=
G.A.=
2. Si el grado relativo de: M(x)=3xa–2 es 5Calcular: "a"
3. Si el exponente de la variable es un número entero positivo en: R(x)=8x12/a
Calcular la suma de los posibles valores que puede asumir "a".
Capítulo
32
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
6Aprende más
1. Del monomio: H(x;y)=3x8y6
Calcular: G.R(x)–G.R(y)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en: P(x;y)=2a.xa–7.yb+7
a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7
3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del monomio: R(x;y)=–7xm–3 . y10+m
a) 17 b) 12 c) 19d) 15 e) 13
4. Si los monomios:A(x;y)=5xm . y2m–1
B(x;y)=–6x5m . ym–13
Poseen igual grado absoluto, calcular "m".
a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6
5. Calcular el coeficiente de: M(x;y)=(2a+3b)x3a–2 . y2b–3
si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5
a) 18 b) 16 c) 24d) 20 e) 22
6. De: H(x;y)=8(x2m+3)3.(y3n–5)2
Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular "m+n"
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
7. Del polinomio: P(x;y)=3x7y6+4x5y10+2x6y8
Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A
a) 32 b) 36 c) 30d) 28 e) 26
8. En el polinomio: F(x;y)=xa+5.y5+x7.yb+2
G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8Calcular: "a.b"
a) 35 b) 36 c) 20d) 30 e) 31
9. Calcular el valor de "a", en: H(x)=xa+2+xa+1+xa+3+xa
si: G.R(x)=21–2a
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
10. Calcular el valor de "m", en:R(x)=xm–5+xm–3+xm–7+x10
si el grado absoluto es 13
a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
11. Calcular m+n en el polinomio:A(x;y)=xm–2yn+3+xm+1yn–3+xm–3yn+5
si el grado absoluto de "A" es 15, además: m>3 ∧ n>3
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
12. Del polinomio: H(x)=xa/3+xa–1+x17–a
Calcular la suma de los posibles valores de "a".
a) 40 b) 39 c) 45d) 63 e) 31
13. Del polinomio:N(x)=xa–3+xa/2+xa/3+x31–a
Calcular la suma de los posibles valores de "a"
a) 85 b) 87 c) 98d) 90 e) 76
14. Si la suma de coeficientes del polinomio:K(x)=(a+2)xa–3+(a+1)xa–2+(a+3)xa–1
es 21, calcular su grado absoluto.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
15. Del polinomio: P(x;y)=3 . 7 .x y x ya b35 5 2 3 112 2+- -
se sabe que: G.R(x)=a2+3 ∧ G.R(y)=b2+7identificar un valor de "a+b"
a) 8 b) –3 c) –1d) 2 e) 5
Álgebra
33www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Del monomio: E(x;y;z)=5x7y8z3
Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z))
2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del monomio: H(x;y)=12x3m–2ym+3
3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5 en: M(x;y)=–10xa+3.yb–8
calcular: "a+b"
4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4en: E(x;y)=(3a–2b)x5a+2.yb–5
calcular el coeficiente.
5. Calcular el coeficiente de:S(x;y)=(3a–2b)x5a–3.y4b–1
si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15
6. De: A(x;y)=(x4m–2)3.(y2n–1)6
se sabe que el grado absoluto es 48, calcular "m+n"
7. Del polinomio: H(x;y)=5x9y5+3x6y11+4x8yCalcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y)
8. Del polinomio: E(x;y)=xm+7y8+x3yn+4
se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14calcular el valor de "m+n"
9. Calcular el valor de "a", en:P(x)=xa+5+xa+7+xa+2+xa+1
si: G.R(x)=35–3a
10. Calcular el valor de "m", en:A(x)=xm–4+3xm–6+xm–2+x13
si su grado absoluto es 18.
11. Del polinomio: H(x;y)=xm–5yn+4+xm+3yn–6+xm–2yn+5
se sabe que el G.A(H)=16Calcular: "m+n"
12. Calcular la suma de los posibles valores de "a", en el polinomio: P(x)=xa/5+xa–3+x32–a
13. Del polinomio: E(x)=x43–a+xa–1+xa/2+xa/5
Calcular la suma de posibles valores de "a".
14. Si la suma de coeficientes del polinomio:R(x)=(a+5)xa–4+(a–3)xa–3+(a+1)xa–1
es 27, calcular su grado absoluto.
15. Del polinomio: M(x;y)= . .x y x ya b9 7 4 2 12 2++ +
se sabe que: G.R(x)=2a2+5 ∧ G.R(y)=b2+10Calcular el mínimo valor de "a+b"
Tú puedes
1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.xm.yn.zp
la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor de: m np n +- ; además GR(y)<GR(x)<GR(z)
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7
2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11, en: P(x;y)=6xn+3ym–2+xn+2ym–3, si además: G.R(x)–G.R(y)=5
a) 25 b) 30 c) 21d) 24 e) 16
3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=..
w zx yb a a b
a b a b
- +
- +
es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)=..
w zx yb a
a b
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
4. Si el monomio: P(x)= .x
x xn
n n
14
2 373
+
-
es de grado 2. Calcular el valor de "n".
a) 8 b) 5 c) 10d) 2 e) 7
5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en:
H(x)=2 3 4x x xn3
n 22
19 n
+ +- -
si es un polinomio.
a) 27 b) 30 c) 31d) 33 e) 35
Capítulo
34
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
7
En este capítulo aprenderemos
Polinomios especiales
. Polinomio homogéneo.
. Polinomio completo (propiedad).
. Polinomio ordenado.
. Polinomios idénticos.
. Polinomio idénticamente nulo.
poLiNomios especiaLes
Lectura: eL objetiVo deL áLgebra
"En el mundo laboral nos encontramos diariamente
con problemas referentes al cálculo de cantidades e
incógnitas, lo cuál exige de operadores competentes y
eficaces para resolver dichas dificultades de un modo
optimo".
FUENTE: http://google.com.pe
Álgebra
35www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Polinomios Especiales
Polinomio Homogéneo
Polinomio Completo
Polinomio Ordenado
Polinomios Idénticos
Polinomio Idénticamente Nulo
Capítulo
36
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. En: P(x;y;z)=35x4y6z3
Determinar:
• G.R(x)= ______________________________
• G.R(y)= ______________________________
• G.R(z)= ______________________________
2. En Q(x;y)=x5y4+2x4y7–3x2y8
Determinar:
• G.R(x)= ______________________________
• G.R(y)= ______________________________
• G.A(Q)= ______________________________
3. Dado el monomio: P(x;y)=63x7y9
Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)
4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x4y2–3x3y5–y9
Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)
5. Hallar el valor de "x" en:a) x+3=15
b) x–4=10
c) 3x–5=2x+1
d) 4x–1=2x+7
Aplica lo comprendido
1. Hallar: "a–1"; si el polinomio: P(x;y)=5xa+3y7–x6y8 es homogéneo.
2. Dado el polinomio completo: Q(x)=x4–2x2+5xb+3x+7
Hallar el valor de "b"
3. Dado el polinomio completo y ordenado en forma decreciente: P(x)=xa+1+xb–2+xc–3+5Calcular: "a+b+c"
4. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2bHallar: "a.b"
5. Si: (m–5)x2+(n+1)x+(P-2)≡0Hallar: "m+n+p"
7
Álgebra
37www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Calcular "a"; si el siguiente polinomio: Q(x;y)=x3+ay2–5x4y7 es homogéneo
a) 6 b) 3 c) 5d) 7 e) 11
2. Calcular: "a+b"; si el polinomio:M(x;y)=3x4ya–5xby5+2x2y8 es homogéneo.
a) 10 b) 9 c) 8d) 12 e) 11
3. Calcular: m+n2, si el siguiente polinomio:P(x;y)=xm–1y4+7xm+1yn–x9y5 es homogéneo.
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
4. Dado el polinomio: N(x;y)=2nx3ym+2–3xn–3y4
tiene como grado de homogeneidad a 15; calcular "m.n".
a) 140 b) 150 c) 160d) 180 e) 190
5. Sea el polinomio completo: P(x)=x4+x2–3xa+1+xHallar: a2
a) 4 b) 16 c) 9d) 25 e) 1
6. Calcular: a2+b2; si el siguiente polinomio:P(x)=x5–6x2+3xa+x4–5xa+b–7(b>a) es completo
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
7. Dado el trinomio ordenado: P(x)=x4+xa+2; (a Z! + )Calcular la suma de los posibles valores de "a".
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
8. Si el polinomio: P(x)=18xa+xb+2x2–xc+5es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: "a+b+c"
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
9. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x)=2a+xn–1+3xm–2+xp–3+5xa
Hallar: m+n–p+a
a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 8
10. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado:P(x)=x2013+xa+...+xn+x5+...+2na–2010
a) 64 b) 32 c) 16d) 18 e) 72
11. Dada la identidad: (a–1)x2+(b–2)x+12 ≡ 3x2+x+3cCalcular: a+b+c
a) 12 b) 3 c) 11d) 9 e) 6
12. Calcular: "m.n"Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7
a) 5 b) 16 c) 20d) 18 e) 22
13. Si: (a–8)x2+(b–5)x+(c+3) ≡ 0
Hallar: a b c5
+ +
a) 2 b) 5 c) 1/2d) 10 e) 1
14. Dado el polinomio: P(x)=(a–9)x2+(b–6)x+(3c–15)es idénticamente nulo, hallar: a b c2+ +
a) 5 b) 3 c) 2d) 6 e) 7
15. Dado la identidad:(a2–8)x2+(b+2)x+16 ≡ x2+5x+c2
Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0)
a) 10 b) –4 c) 6d) 2 e) 5
Capítulo
38
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Calcular "a" si el siguiente polinomio:Q(x;y)=x5y8–3x4+ay3 es homogéneo
2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio:P(x;y)=57xmy5–3x6yn–7x3y9 es homogéneo.
3. Dado el polinomio homogéneo:P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8
Hallar: "a.b"
4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x4ym+3–4xn–4y5
tiene como grado de homogeneidad a 16, hallar "n–m"
5. Si el polinomio: P(x;y)=xa–2bya+b–5xbya+2b+7xa–by8
es un polinomio homogéneo, el valor de:E=(a+b)ab es:
6. Sea el polinomio completo: A(x)=4x6+x5+xm+x+x2+3+x4
Hallar: "5–m"
7. Calcular: m2+n2; si el siguiente polinomio:S(x)=x4+7x2–xm+xm+n+4; (n>m) es completo
8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2xm+x5
Calcular la suma de los posibles valores de "m".
9. Si el polinomio: Q(x)=2013xm+xn+3x2–5xp+7es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: m+2n–p
10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x)=3a+xn–1+xm–2–4xp–3+xa
Hallar: m+n+p–a
11. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado.P(x)=x215+xa+...+xn+x4+...+3na–212
12. Calcular "m.n"Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b
13. Dada la identidad: (a+1)x2+(b–1)x+3 ≡ 4x2+5x+cHallar: a+b+c
14. Si: (a–3)x4+(b+2)x2+(5–c) ≡ 0
Hallar: a b c3
+ +
15. Dada la identidad:(a2–2)x2+(b–3)x+c2 ≡ 2x2+4x+25; a>0Hallar el mínimo valor de a+b+c
Tú puedes
1. Si el polinomio:P(x;y)=5ax2bya+2+10bx2ay4b
es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1)
a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25
2. Si el polinomio:P(x;y)= 5 xm–2yn–1(x7+y2n–3)es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, determinar los valores de m y n respectivamente.
a) 2;6 b) 7;5 c) 6;8d) 5;8 e) 6;9
3. Si el polinomio: P(x;y)=axa+b+xa+2–x2a+3xa+xa–1
es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1"
a) 12 b) 6 c) 4d) 2 e) 1
4. Si los polinomios:P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x2
Q(x)=3x2+8x+12son idénticos , hallar: m+n+p
a) 5 b) 10 c) 13d) 14 e) 16
5. El polinomio:P(x)=x(ax2+bx+c)–2x(bx2+cx+d)+2d–1
es idénticamente nula, halla: abcdacd
a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1
7
39www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Multiplicación algebraica
. Multiplicar un monomio por otro monomio.
. Multiplicar un monomio por un polinomio.
. Multiplicar un polinomio por otro polinomio.
muLtipLicacióN aLgebraica
8
Lectura: aL-Khwarizmi, eL áLgebra y Los aLgoritmo
Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813.
al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico.
Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático.
La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra.
La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales.
La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval.
Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo.
Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeración actual y el álgebra.
Murió alrededor del año 835.
Capítulo
40
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Multiplicación algebraica
Monomio por monomio
Monomio por polinomio
Polinomio por polinomio
8
Álgebra
41www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Efectuar:a) 4x3–7x3=
b) –8a6–4a6=
2. Efectuar:a) (–4)(5)=
b) (–8)(–4)=
3. Efectuar:a) x.x.x=
b) a4.a3.a6=
4. Indicar verdadero (V) o falso (F):
• 3.5=5.3 ..........................................( )
• x.y=y.x ...........................................( )
5. Calcular:a) 5×3×4=
b) (–4)(–2)(–5)=
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: (4x2)(5x)
2. Efectuar: (–4xy3)(–5x2y)
3. Efectuar: (–2x2)(2x+5)
4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)
5. Efectuar: (3x+5)(x–1)
Capítulo
42
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Efectuar: (3x2y3)(–5x4y)+14x6y4
a) x6y4 b) –x8y3 c) 29x2y
d) –x6y4 e) –x4y
2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x2
a) 6x b) 12x c) 2x2
d) 6 e) 12
3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1)
a) –4x b) 16x c) 4xd) 0 e) 12x
4. Efectuar: 3x.2x2.3x3.5x4
a) 13x10 b) 45x10 c) 90
d) 90x24 e) 90x10
5. Efectuar: (–8x2y4)(–2x3y)(–6x4y2)
a) 96x9y7 b) –96x9y7 c) 64x24y8
d) –96x24y8 e) –16x9y7
6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x
a) 6x b) 9x2 c) 1
d) 8x e) 0
7. Dados: A=3x(x–2)B=6x(x+1)
Hallar: A B+
a) 2x b) 3x c) 6
d) 3x2 e) x
8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x2+62x
a) 32x+48 b) 30x c) 48
d) 48x e) 30x
9. Si: A=3x(2x3–5x2)–x3(6x–16)
Hallar: A3
a) x b) x63 c) 63
d) x2 e) 2x
10. Efectuar: A=x(x2–2x+4)–(x3–2x2)Hallar: A2
a) 4x6+16 b) 16x4 c) 16x2
d) 0 e) 4
11. Efectuar: (x–5)(x2+2)–x3+5x(x+2)–10(x–1)
a) 2x3 b) 10x2 c) 2x
d) 10 e) –2x
12. Efectuar: (x2+2y)(3y–5x2)+6y(x2–y)+x2y
a) 5x2 b) 3x2y c) 9x2y–21x4y4
d) –5x4 e) 6x4y
13. Efectuar: (x2+x–1)(x2+x–2)–(x2+x+1)(x2+x+2)
a) –6(x2+x) b) 2 c) –6x2
d) 5x e) 0
14. Dados: ( ) ( ) ( )A a a a a6 9 4 22= + + − + +
( ) ( )B a a a a8 16 1 72= + + − + +Hallar: A–B
a) 2 b) 1 c) –2d) –1 e) 0
15. Si: x2+y2=2Hallar: ( ) ( ) ( )x y x y x y x2 3+ + − −
a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 0
8
Álgebra
43www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Efectuar: (2a2b)(–3a2b4)+5a4b5
2. Efectuar: x(x2+5)–5(x–2)–x3
3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x
4. Efectuar: 4a.5a2.3a3.7a4
5. Efectuar: (–5a2b4)(–2a3b)(6a4b2)
6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x2
7. Si: A=5.(x2–3)B=3.(5+3x2)
Hallar: A B x2 2+ +
8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x2+29x
9. Si: A=6x(2x2+x3)–x3(6x–4)
Hallar: A43
10. Efectuar: M= . ( – ) –x
x x x x x12
2 2+ +
11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a2+1)+1
12. Efectuar: (a+1)(a2–a+1)+(a–1)(a2+a+1)
13. Efectuar: (x10+x7–1)(x7+x10–2)–(x10+x7+1)(x10+x7+2)
14. Si: ( ) ( )A a a a a6 9 5 12= + + − + +
( ) ( )B a a a a8 16 1 72= + + − + +Hallar: A–B
15. Si: a2+b4=2
Hallar: ( ) ( ) ( )a b a b a b a2 32 2 2+ + − −
Tú puedes
1. Dada la expresión: P(x;y)=( )n x y n3 2 1-
cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su coeficiente.
a) 4 b) 6 c) 8d) 16 e) 20
2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4xn.(3x3–2x+n)Halle el grado de: Q(x)=xn+m+4.(x3–m)
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
3. Halle el grado de siguiente polinomio:R(x)=(x+2)(x–2)(x4+4x2+16)
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
4. Dada la identidad:(5x+3)(2x–2)(x5+3x–5) ≡ axm+...+bx+6k; m N! ∧ m>6Hallar el valor de: a+m+k
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
5. Halle el grado de: P(x)=(x8+4)(x3+2)(x–1)+5x(x4–3)(x2+x+5)+3x5(x–300)
a) 10 b) 12 c) 20d) 25 e) 27
Capítulo
44
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
En este capítulo recordaremos
Repaso I
. Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de gra-do para polinomios en una variable.
. Teoría de exponentes.
. Ecuaciones exponenciales.
. Notación P(x)−Valor numérico
Lectura: Los desceNdieNtes de carLomagNo
Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos:
“Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es:
2+22+23+24+ ... +238+239+240=22 199023, 255550
Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna.
FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com
repaso i
9
Álgebra
45www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Reducir: A=7ab4–5a4b+9a4b–18ab4
2. Efectuar: B41 5 81 /1 0 1 4= + −-
` j
3. Reducir: ( . )( . )Ca ba b3 2
2 3 3=
4. Sea: P(x)=4x3–5x2+4Calcular: P(–1)
5. Resolver: 73x–2=492–x
Aplica lo comprendido
1. Reducir: P(x)=4x5+x8–9x5+4x8
2. Reducir: (–x)4.(–x)3.(–x)5
3. Hallar "x"; si: 43x–1=0,25
4. Calcular: .
.Q3 15
9 5x x
x x
1 1
1=
- +
-
5. Hallar el grado de Qsi: Q(x;y;z)=4x4.y5.z4.y3.z2.x
6. Hallar el grado de PSi: P(x;y)=x4y3+5x2y3–7x3y2z4
7. Dado el polinomio homogéneo:P(x;y)=4x2ya+5x4yb–ax3y8 ; hallar: "a.b"
8. Sea: P(x)=4x3+2xa+3xb+70un polinomio completo y ordenado, hallar a2+b2
9. Halle: Q(5)
si: Q(2x+1)=4x+3
10. Resolver: 2 8x x23 2=- -
Capítulo
46
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Completar el siguiente cuadro:
Coeficiente Variables Exponentes
x y23 4 2
xy z57 3 4
x y5 34 2+
2. Reducir:A=x2y3–7xy+x2y3–3xy+8xy–2x2y3
a) xy b) –xy c) 2xyd) –2xy e) 0
3. Dado los términos semejantes: 5xa–by5; 31x4ya+b
Calcular: a2–b2
a) 0 b) 1 c) 10d) 15 e) 20
4. Dado el polinomio:P(x;y)=4x3yn+5–3xm+1y5–2x8y6
Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio homogéneo.a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 52
5. Efectuar: A=70+40–(–3)0+231 0−` j –3 50
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
6. Efectuar: . . .... ( 5) .25B 5 5 5 5veces60
58= − −1 2 344 44
a) –2.(5)60 b) –1 c) 1d) 0 e) 2.(5)60
7. Efectuar: ( ) .. . .C3 3
3 3 3 39 8 38
19 21 33 37=
a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 27
8. Efectuar: ;Da b
a b aab 0
7 3 4
2 3 5
!=^
^`h
h j
a) a7b b) ab3 c) a7b3
d) ab e) 1
9. Reducir: A 5 3 3 102 1 72
21 2 02
= − + − −` ^j h
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) –3
10. Efectuar: ( ) .
( ) ( ) ( )M3 5
15 45 812 9 3
6 4 2
2
0
=
a) 1 b) 5 c) 3d) 9 e) 25
11. Resolver: 8x–2=4x+3
a) 1 b) 4 c) 12d) 16 e) 32
12. Resolver: 31 9
x x5 1=- +` j
a) 1 b) 6 c) 7d) –5 e) –7
13. Resolver: 4 425 5x x1 2=
+ -
a) –4 b) –3 c) –2d) 1 e) 2
14. Hallar "x" en: 125 53 3x x5 2 1=
+ +
a) 1/5 b) 1 c) 2d) 3 e) 5
15. Calcular el valor de "x" en:5x+5x+1+5x–1=3875
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
16. Hallar "x" en: 4x–2=5x–2
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
17. Sea: P(x)=x2–16x+64Hallar: P(10)
a) 4 b) 8 c) 16d) 64 e) 128
18. Sea: M(x+3)=2x2+7x–25Hallar: M(5)+M(4)
a) –20 b) –10 c) 20d) 10 e) –19
19. Sea: P(x)=x2+1 Q(x)=5–3xHallar: PP Q Q(2) (1)+^ ^h h
a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4
20. Sea: ;;
P x si xx si x
5 02 3 0
(x) <2
H=
+
−)
Calcular: P(–3)+P(1)+ ( 2)PP^ ha) –1 b) –4 c) –5d) 4 e) 5
9
Álgebra
47www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Completar el siguiente cuadro:
Coeficiente Variables Exponentes
x y5 3 5
xy z32 3 4−
–7x6y3
2. Reducir:A=–5x7y2+3x3y5+2x7y2–9x3y5+x7y2
3. Dado los términos semejantes:
7xb+8ya–7; 52 x7y9
Calcular: a2.b2
4. Dado el polinomio:
Q(x;y)=8x4yn+1–2xm+2y4–13x9y5
Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio homogéneo.
5. Reducir: A 531 5 2 72 0 0 20= − + − + +^ `h j
6. Efectuar: 3.3.3...3 ( ) .B 3 81veces102
98= −S
7. Efectuar: ( ) . ( )
. . . ....C3 3
3 3 3 3 39 5 2 5
2 3 4 10=
8. Reducir: ( ) ;Dx y
x y y xy 010 13 2
3 2 5 3 2
!=^^
hh
9. Efectuar: ( ) ( )M 2 5 2 53 1 3 4 20 7 0= − + − −
10. Efectuar: ( ) . ( ). ( ) . ( )N3 2
6 24 322 5 6 6
7 5 3=
11. Resolver: 25x–2=125x–4
12. Resolver: 71 x3-` j =49x+5
13. Resolver: 3 34 2x x1 2=
+ -
14. Hallar "x" en: ( )49 72 2x x2 1 5=
+ +
15. Calcular "x"en: 3x–1+3x+3x+1=117
16. Hallar "x" en: 73x–1=93x–1
17. Sea: M(x)=x2–24x+144Hallar: M(15)
18. P(x)=x2+40x+400Hallar: P(–18)
19. P(x)=x2–5R(x)=3x+7Hallar: P(5)–R(7)+ ( 2)RP^ h
20. Si: ;;
S x si xx si x3 2 0
10 0(x)
<2
H= +
+)
Hallar: S(–3)+S(–4)+ SS ( 2)^ h
Capítulo
48
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Tú puedes
1. Calcular el valor numérico de:
( ) ( )F x x y x y xy34
45
5(x; y) = + +− −
Para: x=41 ; y=
32
a) 60443 b)
30331 c)
37143
d) 31141 e)
720101
2. De: 34
25
47ab bc a b2 2 2 2+−` j
Restar: bc a b ab52
29
432 2 2 2− −` j
a) ab2+41 a2b2–
101 bc2
b) 1225 ab2+
425 a2b2–
1029 bc2
c) ab2+413 a2b2–
1019 bc2
d) 1225 ab2+
425 a2b2+
1029 bc2
e) ab2+425 a2b2
3. El valor simplificado de: Mx y
x yn n
n n n1
=++- -
e o
tal que xy!0, es:
a) x–1y b) xy–1 c) xy
d) (xy)–1 e) x/y
4. Simplificar: ( )
.P81 3
3 9 27n
n n n
3
1 1 2 2= +
-
+ - -
a) 9 b) 3 c) 28/3
d) 1/3 e) 5
5. Simplificar: . . . ......." ". . . ......." "Q
y y y y n factoresy y y y n factores2 4 6 8
3 5 7
= ;
y!0
a) y b) y–1 c) y–2
d) y–3 e) y–n
9
49www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Productos notables I
. Desarrollo de un binomio al cuadrado.
. Identidades de Legendre.
. Producto de binomios conjugados (diferencia de cuadrados).
productos NotabLes i
1 0
Lectura: La muLtipLicacióN aLgebraica y La geometría
b bx ab
x x2 ax
x a
(x+a) (x+b) =
x2 + (a+b) x + abIlustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
Capítulo
50
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Productos Notables I
Binomio al cuadrado
Identidades de Legendre
Diferencia de cuadrados
1 0
Álgebra
51www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Reducir:
• 4x–7x+8x–2x=
• –2y3+6y3+8y3–12y3=
• 12x2–8x2–9x2+x2=
2. Completar:
• x4.x7.x2=
• (2x2)(–3x3)=
• (–4a)(–2a2)(–8a4)=
3. Efectuar:• 3(2x2–5y2)–6(3x2–2y2)=
• –4(m3–3n2)+5(–2n2+7m3)+n2=
4. Siendo a y b dos números cualesquiera, exprese literalmente las siguientes operaciones:
• El cuadrado de la suma de dos números disminuido en su producto.
• La suma de cuadrados de dos números.
• El cuadrado de la diferencia de dos números aumentado en su producto.
5. Efectuar:• (3x2)2=
• (2m3)3=
• (–4x5)2=
Capítulo
52
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aplica lo comprendido
1. Efectuar:a) (x+3)2=
b) (m–4)2=
2. Efectuar: (2x+5)2
3. Efectuar: (3x–4)2
4. Efectuar: a) (x+8)(x–8)=
b) (3x–5)(3x+5)=
5. Efectuar:a) (x+2)2+(x–2)2=
b) (y+3)2–(y–3)2=
Aprende más
1. Reducir: (x+5)2+(x+3)2–2x2–34
a) 16x b) 6x c) 16d) x e) 0
2. Reducir: (x–3)2+6(x–1)–x2
a) 0 b) 1 c) x2
d) 3 e) 15
3. Reducir: (3x+5)2+(2x–3)2–13x2–34
a) 0 b) 1 c) 18xd) x+34 e) x2+18
4. Reducir: (2x+1)2+(2x–3)2–8x(x–1)
a) 1 b) 2 c) 4d) 10 e) 12
5. Reducir: ( ) ( )( ) ( )
5 1 5 15 1 5 1
2 2
2 2
+ + −+ − −
a) 5 b) 0 c) – 5 /2
d) 5 /3 e) 5 /2
6. Reducir: (x+7)(x–7)–(x–6)(x+6)+13
a) x2 b) 0 c) 1d) 17 e) –13
7. Reducir: (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)+y8
a) x8 b) x4 c) x2
d) x e) y8
8. Efectuar: (x+6)2–(x–6)2+(x+4)2–(x–4)2–40x
a) 1 b) 2 c) 0d) 6 e) 4
9. Efectuar: ( ) ( )x
x x1
1 5 1 52
2 2 2 2
++ + − + −
a) x2–1 b) x2+1 c) 1
d) 2 5 e) 4 5
10. Si: a+b=9; ab=37
Hallar: "a2+b2"
a) 7 b) 5 c) 31d) 4 e) 9
11. Si: ab=29a+b=12
Hallar: "a2+b2"a) 68 b) 86 c) 46d) 76 e) 43
12. Si: x2+y2=56; xy=44Calcular el máximo valor de "x+y"
1 0
Álgebra
53www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
13. Si: x–y=9; xy=3Calcular: x2+y2
a) 47 b) 82 c) 87d) 78 e) 74
14. Si: a=6+5 3b=4+5 3
Calcular:
E= ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b b2 2 2 4 4 8 8 1616 + + + + −
a) 5 3 +6 b) 4+5 3 c) 2– 3
d) 3 5 –6 e) 10(1+ 3 )
15. Si: x+y= 5x.y=2
Calcular: yx
xy+
a) 5 b) 1 c) 2
d) 2–1 e) 5/2
Practica en casa
1. Reducir: (x+10)2+(x+3)2–2x2
2. Reducir: (x–6)2+(x+4)2–(x+2)2
3. Reducir: ( ) ( ) ( ) ( )7 2 7 2 5 3 5 3+ − − + −
4. Reducir: (3x+2)2–(3x+1)2–3(2x+1)
5. Reducir: (x+2)2–(x–2)2–4(2x–1)
6. Efectuar: (x+4)(x–4)+(5+x)(5–x)
7. Efectuar: (x+b)(x–b)(x2+y2)(x4+y4)+b8–x8
8. Efectuar: (x+10)2+(x–10)2+(x+8)2–(x–8)2–2(100+16x)
9. Si: a+b=7 ∧ ab=16Calcular: a2+b2
10. Si: a+b= 5 ; ab=3Calcular: a2+b2
11. Si: a–b=11a.b=6
Calcular: a2+b2
12. Calcular el mínimo valor de "x+y"Si: x2+y2=55 ∧ xy=33
13. Si: a=9+7 5b=7 5 +6
Calcule: E= ( ) ( ) ( )a b a b a b b3 2 2 4 4 88 + + + +
14. Reducir: ( ) ( )( ) ( )
7 1 7 17 1 7 1
2 2
2 2
+ + −+ − −
15. Si: a+b=9ab=14
Calcular: ab
a b2 2+
Tú puedes
1. Si: 2x+2y=ax+y=b
entonces: 4x+4y equivale a:
a) a2+2b b) a2–2b+1 c) a2–2b+1
d) a2–2b e) a2+2b+1
2. Si: a2+b2= m+1
x2+y2= m–1
Halle: (ax+by)2+(ay–bx)2–m
a) m b) 1 c) –md) –1 e) 0
3. Si: x+x1=3; calcular: ( ) ( )E
xx x x x
21 93 5 7 3
= + +
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
4. Si se cumple que:x2+y2=2(3y+2x)–13; {x;y} R!
Calcular: x y5+
a) –1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3
5. Si se cumple: a b
ab
2 5
44 34
+ = +
= +
Calcular: "a–b" ; si: a>b
a) 2 b) –2 c) 2
d) – 2 e) –1
Capítulo
54
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
productos NotabLes ii
En este capítulo aprenderemos
Productos Notables II
. Desarrollo de un binomio al cubo.
. Suma y diferencia de cubos.
. Producto de binomios con término común.
1 1
Lectura: coNstruccióN simuLtáNea de uN cubo y uN producto NotabLe
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más
el cubo del segundo término. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b
Álgebra
55www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Productos notables II
Binomio al cubo
Suma y diferencia de cubos
Binomios con término común
Capítulo
56
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Efectuar:• 3x (x+1)=
• –2x2 . (x–3)=
2. Efectuar:• (3x–5)(4x+1)=
• (2x+1)(3x–7)=
3. Efectuar:• (x+2)2=
• (3x–5)2 =
4. Efectuar:• (4x+5)(4x–5)=
• (3x+4)2–(3x–4)2=
5. Efectuar:• (x+6)(x2–6x+36)=
• (x–5)(x2+5x+25)=
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: (x+5)3=
2. Desarrollar: (3x+2)3
3. Efectuar: (x–2)3
4. Efectuar: (x+11)(x2–11x+121) – x3
5. Reducir: (m+2)(m–2)(m4+4m2+16)–m6
1 1
Álgebra
57www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Efectuar: (x+5)(x+3)+(x+3)(x+4)–2x2
a) x+27 b) 15x+27 c) 27x+20d) 15x+7 e) 0
2. Efectuar: (x+1)(x+2)–(x+2)(x+3)+2x
a) 0 b) –1 c) –2d) –3 e) –4
3. Efectuar: (x+2)(x+3)+(x–1)(x–3)–x–9
a) 10x b) 0 c) x2
d) 2x2 e) 1
4. Efectuar: (x+10)(x2–10x+100)–(x+5)(x2–5x+25)
a) 100 b) 10 c) 875d) 475 e) 575
5. Calcular: "A–B"Si: ( ) ( ) ( )A x x x3 4 22= + − + +
( ) ( ) ( )B x x x4 1 72= + − + +
a) 2 b) 1 c) 0d) –1 e) –2
6. Si al desarrollar (2x+3)3 se obtiene el polinomio de la forma: ax3+bx2+cx+d. Calcular: a+b+d–c
a) –23 b) –47 c) 51d) 17 e) 101
7. Al efectuar: (3x–2)3 se obtiene un polinomio de la forma: mx3+nx2+px+qCalcular: (m–n)+(p–q)
a) –3 b) 71 c) 26d) 3 e) 125
8. Efectuar: (x+2)(x2–2x+4)+(x–2)(x2+2x+4)
a) 2x3 b) x6 c) x3
d) 2x6 e) 0
9. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( ) ;
xx x x x x x x
25 5 25 5 5 25 0
2 2!+ − + + − + +
a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x5
10. Reducir:( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
84 4 16 4 4 162 2+ − + − − + +
a) 1 b) 4 c) 16d) 64 e) 128
11. Efectuar:E=(2x–3)(4x2+6x+9)–(2x+1)(4x2–2x+1)
a) –28 b) –2 c) –18d) x3+7 e) x3+28
12. Reducir:
E=( ) ( ) ( 3) ( 3)7 5 49 35 25 7 73 3 3 3 3+ + + − − +
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 14
13. Determinar el área de:
m–3
m2+3m+9
; m>3
a) m3–9 b) m3+9 c) m3–27d) m3 e) m3+27
14. Si: xx1 5+ = ; obtener el valor de: x3+x–3
a) 90 b) 110 c) 12d) 130 e) 140
15. Si: a+b=5ab=3
Calcular: a3+b3
a) 40 b) 15 c) 80d) 105 e) 27
Capítulo
58
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Efectuar: (x+6)(x+2)+(x+4)(x+1)–2x2
2. Efectuar: (x+10)(x–3)–(x+4)(x+2)+29
3. Reducir: (x+4)(x–2)+(x–6)(x+4)–2x2
4. Reducir:(x+3)(x+2)–(x+7)(x+2)+(x+9)(x–4)–(x+4)(x+1)
5. Reducir: (x+8)(x2–8x+64)–(x–6)(x2+6x+36)
6. Calcular: A+B
si: ( ) ( ) ( )A x x x5 2 82= + − + +
( ) ( ) ( )B x x x6 3 92= + − + +
7. Reducir: ( ) ( ) ( ) ( ); 0
xx x x x x x x
26 6 36 6 6 362 2
!+ − + + − + +
8. Reducir:
( ) ( ) ( ) ( ) ; 0x x x x x x x6
3 3 9 3 3 92 2!+ − + − − + +
9. Al efectuar: (2x+1)3 se obtiene un polinomio de la forma: ax3+bx2+cx+dDetermine el valor de: a+b+c+d
10. Reducir: ( ) ( )6 2 36 12 43 3 3 3 3+ − +
11. Reducir: ( ) ( )10 4 100 40 163 3 3 3 3− + +
12. Determine el área de:
m2+2m+4
; m>2m–2
13. Determine el área de:
2(m–3)
m2+3m+9
; m>3
14. Si: 4xx1+ = ; calcular: x
x133
+
15. Si: a+b=6ab=2
Calcular: a3+b3
Tú puedes
1. Si se cumple: 5xy
33 3= −= −
, calcular:
( ) ( ) ( ) ( )F x y x y x y x y y2 32 2 4 4 8 8 1616= + + + + + +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Efectuar: 7
1 37
1 34
4
4
4
++ −e eo o
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
3. Siendo: x2–3x+1=0
Calcular: T= 1xx
xx
1 22
2+ + +c m
a) 50 b) 51 c) 52d) 53 e) 54
4. Efectuar: (x2+5x+5)2–(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
5. Siendo: x+x2 =3. Calcular el valor de:
P=(x–1)(x+2)(x–2)(x–5)+2011
a) 2008 b) 2009 c) 2010d) 2011 e) 2012
1 1
59www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
Lectura: paoLo ruFFiNi
(Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico
italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces
a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la
Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi
por entero a la investigación matemática.
En este capítulo aprenderemos
División algebraica I
. El objetivo de la división algebraica, así como las propiedades que se requieren para efectuarla.
. El método de Horner, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios.
. El método de Ruffini, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios (comentando sus restricciones).
diVisióN aLgebraica i
1 2
Capítulo
60
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
División algebraica I
Objetivo
Clases de división
algebraica
Propiedades
Método de Horner Método de Ruffini
Métodos prácticos para dividir
1 2
Álgebra
61www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Dado el polinomio: P(x)=3x2–5x4+4–9x3+6xDeterminar:
a) Grado de P(x)=_________________________
b) Coeficiente principal=__________________
c) Término lineal=________________________
d) Término cuadrático= ___________________
e) Término independiente=________________
2. Realizar las siguientes operaciones:
a) −30 ÷ 6=
b) −44 ÷ −11=
c) 10110−+ =
d) 672
−− =
3. Realizar las siguientes operaciones:a) −15−8=
b) −23+13=
c) 10−40=
d) −17−(−8)=
4. Completar y ordenar los siguientes polinomios:
a) P(x)=5x2+3−4x+7x5
P(x)= ________________________________
b) S(x)=5x3−1
S(x)= ________________________________
5. Dado el polinomio: P(x)=8x−2x4+5x2+6x6
coloca en cada cuadrícula solo los coeficientes de P(x); una vez que se encuentre "completo y ordenado en forma descendente".
Aplica lo comprendido
1. Si se divide el polinomio:P(x)=x4+x2−1 entre x2+1, entonces
• Grado del polinomio dividendo:______________________________________
• Grado del polinomio divisor:______________________________________
• Grado del polinomio cociente:______________________________________
2. Del problema anterior, obtenga el grado máximo del residuo.
3. Si se van a dividir los polinomios: x xx x
3 25 3
2
4 2
− ++ +
complete su esquema de división:
1 1 5 0
−2
4. Del problema anterior, una vez operado y completo el esquema indique:
cociente: Q(x)=___________________________
residuo: R(x)= ____________________________
5. Si se van a dividir los polinomios: x
x x x2
305 3+−− −
complete su esquema de división:
1 0 −1
cociente: Q(x)= ___________________________residuo R(x)= _____________________________
Capítulo
62
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Hallar el cociente de la siguiente división:(x3+5x2–7x+5)÷(x2+2x–3)
a) x+5 b) x2+3 c) x+3d) –10x+14 e) 10x–14
2. Hallar el residuo de la división
x xx x x x
3 13 2 52
4 3 2
+
+ +
−− −
a) x2+1 b) 4x–6 c) –2d) –6 e) 4x
3. Hallar "m+n"; si la siguiente división es exacta:
x xx x x mx n
3 32 132
5 3 2
+
+
−+ − +
a) 9 b) –9 c) 24d) –12 e) 12
4. Hallar la suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división:
x xx x x
2 33 32
3 2
+
+
−− −
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Hallar "mn"; si la siguiente división es exacta:
x xx x x mx n
23 52
4 3 2
+
+
−− + −
a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120
6. Dividir e indicar su residuo: x
x x x1
4 5 3 33 2
−− + −
a) 1 b) –1 c) 1/2d) –1/2 e) 0
7. Dividir e indicar su cociente: x
x x x3
6 2 33 4++
+ +
a) 2x2+1 b) 2x4+1 c) 2x3+1d) 2x3–1 e) 2x4–1
8. Dividir: x
x x x12 23 2
−+ − −
Indicar el término independiente de su cociente
a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 0
9. Indicar la suma de coeficientes del cociente al
dividir: x
x x x9
3 32 52 633 2 +−
− −
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. En la siguiente división exacta; hallar "n"( )
xx x x n
22 5 73 2
++ +− −
a) 9 b) 2 c) 5d) 8 e) 7
11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, al
dividir: x x
x x x x2 2
2 5 2 4 82
4 3 2
+
+
−+ − +
a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13
12. Al efectuar la siguiente división:(4x4+13x3+25x+12+28x2)÷(4x2+6+5x)el residuo es:
a) 2x+6 b) –(2x+6) c) –6+2xd) x–2 e) –2x+6
13. Hallar "A+B"; si la siguiente división es exacta
x xx x Ax B
2 2 32 3
2
4 2
+
+
++ +
a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13
14. Hallar el término independiente del cociente,
luego de dividir: x
x x x x3 1
6 4 10 24 3 2
++ +− −
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Hallar el resto en: x
x x x x5 1
15 8 9 7 14 3 2 +−
− − +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
1 2
Álgebra
63www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Al dividir: (x4+4x3+6x2–7x+2)÷(x2+2x+1)indicar el cociente y residuo.
2. Luego de dividir: x x
x x x x2 1
4 5 2 3 12
4 3 2 +
− −− − −
indicar la suma de coeficientes del cociente.
3. Dar el residuo de la siguiente división:
x xx x x
13 2 5 4
2
4 3
− −− − −
4. Calcular el residuo de: –
– –x x
x x x x3 4
3 5 3 42
4 3 2
+
+ +
5. Dividir: x x
x x x4 2 1
8 4 5 22
4 2
+
+
−− −
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
6. Hallar el resto: x
x x x2
8 16 5 95 4
++ − +
7. Hallar el residuo de: x
x x x3
5 16 8 24 3+ ++−
8. Dar el cociente de: x
x x x x3
2 8 9 4 164 3 2
−− + − −
9. Hallar "a" para que la división sea exacta:
xx x x a
12 5 23 2 +
−− +
10. Calcular "A+B" si la división:
x – x 1x – 2x 3x Ax B
2
4 3 2
+
+ + + es exacta
11. Dividir: x x
x x x x3 2
12 2 5 92
4 3 2
− −+ − − −
indicar el producto de coeficientes del residuo.
12. Indicar "ab", si la siguiente división es exacta:
x xx x ax b
2 2 32 3
2
4 2+
+ +− +
13. Obtener: p q r ta b c + + ++ + , luego dividir
a 8 6 9 1 t
b p q
c 5 r
11 22
4 5 11 22 32
14. Señalar el término independiente del cociente,
al dividir: x
x x x x5 1
5 10 17 54 3 2 +−
− − +
15. Señalar el resto, al dividir:
xx x x x
22 8 2 324 3 2 +
++ − +
Tú puedes
1. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la
siguiente división: x xx
2 12007
2
101
− ++
a) 2007 b) 5050 c) 2020d) 4040 e) 3030
2. Calcular "m+n" en la siguiente división exacta:
x xmx nx x
3 23 4
2
4 3 2
− ++ + +
a) –5 b) –7 c) 5d) 7 e) –3
3. El residuo en la siguiente división es: x+3 2Hallar el valor de: b2–a2
x xx x x ax b
2 22 3 2
2
4 3 2+ +
− −− +
a) 5 b) –7 c) 3d) 1 e) –1
4. En la siguiente división; si el residuo es numéricamente igual a la suma de coeficientes del cociente. Hallar "m"
xx x x m
2 34 34 2 +
−− +
a) 3 3 b) 2 3 c) 3
d) 4 3 e) 5 3
5. Hallar el valor de "m", si la suma de coeficientes , tanto del cociente como del residuo, resultan iguales.
( ) ( );x m
x x m m x m x m3
3 3 3 4 1 33 2 2
^+− −
− − − − + +
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
Capítulo
64
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1 3
En este capítulo aprenderemos
En el capítulo "División algebraica II" estudiaremos:
1. El teorema del resto, objetivo y procedimiento.
2. Casos particulares del teorema, para calcular el resto de una división, con divisor no lineal; degradando el dividendo.
3. A calcular el resto de una división algebraica con la identidad fundamental de la división.
diVisióN aLgebraica iiLectura: poLiNomios
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática
elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
¿Son polinomios o no?
a) 3x5 – x7y8 + 9y3x4:
b) 4x2 – 7x3y5 – 7y–3x–4:
c) y x972 4 + 2x–5:
Álgebra
65www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Teorema del Resto
Objetivo Procedimiento
Identidad fundamental de la división
Forma alternativa para hallar el resto
en una división algebraica.
Capítulo
66
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Efectuar: a) (−4)2=
b) (−4)3=
c) (−1)20=
d) (−1)13=
2. Dado el siguiente polinomio:P(x)=x4−2x3+x2−x−1Obtener:
a) P(1)=
b) P(−1)=
c) P(−2)=
3. En cada igualdad; despeje la potencia de mayor exponente:a) x+4=0
b) x2−3=0
c) x5−4x+1=0
d) x5+7=0
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:a) x+y=8
x−y=2
b) 4a+b=7−a+b=3
5. Construya un polinomio lineal en variable "x" tal que: "a": coeficiente lineal.
"b": término independiente.considerando que (a≠0)
Aplica lo comprendido
1. Hallar el residuo en: x
x x x1
3 4 5400 20+ +−
−
2. Hallar el resto en: x
x x x2
2 15 4 2
++− −
3. Hallar el resto en: x
x x x x1
2 3 22
8 6 4 2+ + +
−−
4. Hallar el resto en: x
x x x x1
3 2 52
7 6 3
+
+ +− −
5. Hallar el residuo en: ( ) ( )x x
x x1 2
23
− +− +
1 3
Álgebra
67www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Hallar el resto en la siguiente división:
xx x x
18 3 911 7
++− +
a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15
2. Calcular el residuo en: x
x x x1
3 3 130 20+−
− −
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0
3. Hallar el residuo en: x
x x x4
4 830 29 +−
− −
a) –1 b) –2 c) –3d) –4 e) –5
4. Calcular el valor de "a" si la división es exacta:
xx x x a
1430 12
+− + +
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
5. Hallar "n", si el resto de la división es 15:
xx x x x n
113 24 3 2
−+ + + +
a) −6 b) −5 c) −7d) −2 e) 0
6. Hallar el resto de dividir: x
x x x2
2 7 52
8 4 2 +
+− −
a) 1 b) –1 c) 9d) –9 e) 27
7. Calcule el resto de dividir: x
x x x2
4 5 63
28 22 4
+
+− +
a) −10x+6 b) −8x+9 c) 10x+9d) 8x−8 e) 0
8. Calcule el residuo en:
xx x x x x
14 3 4 2
5
25 20 15 10 5
+
− + − − +
a) –11 b) −9 c) −8d) −5 e) −7
9. Hallar el resto en: ( )x
x x2 1
2 1 6 410 5
−+ + −
a) 1 b) 3 c) 8d) 4 e) 5
10. Calcular el resto en:
( ) ( ) ( )x x
x x x x x x3 5
3 6 3 4 2 3 14
4 102 4 53 4
+
+ + +
−− − − − −
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8
11. Hallar el resto de dividir: x
x x x
21
2 17 68 324 3+
−− +
a) 0,25 b) 3,5 c) –1,25d) –3,5 e) 0,75
12. Calcular el resto en:( ) ( ) ( ) ( )
x xx x x x x
13 5 6 2 2 147
2
2
− −− + − + + −
a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x
13. Calcular el resto en: ( ) ( )x x
x x2 1
25
− −+
a) 30x−33 b) 33x−11 c) 33x−30d) 3x−10 e) 33x+30
14. Hallar el resto en: x x
x x2 3
32
3
− −−
a) 4x+2 b) 4x+4 c) 4x+6d) 4x+5 e) 4x−6
15. Calcular el resto luego de dividir:
( ) ( )x x
x x x x x x3 5
3 6 3 4 2 6 14
4 102 4 53 4
− +− + + − + − + −
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8
Capítulo
68
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Hallar el residuo en: x
x x1
2 3 54+−
−
2. Hallar el residuo en: x
x x1
3 110 +−
−
3. Hallar el resto en la siguiente división:
xx x
14 3 525 2
+− +
4. Hallar el resto en: x
x x x2
8 16 5 95 4++− +
5. Hallar "n", si en la siguiente división el resto es
cero: ( )x
x x x n1
3 5 2 34 2
++ ++ −
6. Hallar el residuo en: x
x x x x1
3 4 23
24 15 6 3+
−− − +
7. Hallar el resto en: x
x x x x1
3 5 6 42
6 4 2+
−+ + −
8. Hallar el resto de dividir: x
x x2 1
2 5 32 + +−
9. Hallar el resto en la siguiente división:
xx x x x x
19 3 5 6 7
3
105 60 21 12 3+
−− − + +
10. Hallar el resto de la división:
xx x x x
13 5 7 1
2
18 9 6+ +
−+ +
11. Hallar el valor de "a" si el resto es 8: x
x x a1
5 318++
+
12. Hallar el resto en: x
x x x x2
2 2 3 192 91 2+ +−
− −
13. Hallar el resto de: ( ) ( )x
x x x2
3 5 1 22000 35
++ + + − −
14. Calcular el resto de: x
x x x5
3 2 52
5 3+ +
−−
15. Calcular el residuo de dividir: ( )x a
x a x a2
7 7 7
++ − −
Tú puedes
1. Calcule el resto de la siguiente división:
( ) ( ) ( ) ... ( )x
x x x x2 4
2 4 2 3 2 2 2 22 2 2 2+−
− − + − + + +
a) 91 b) 81 c) 76d) 55 e) 70
2. Hallar "n", si ( )x y
x y nx y2
4 4 4+−− − es exacta
a) 4 b) 7 c) 5d) 8 e) 10
3. Si el residuo de: x
x x x1
2 3 4 12
17 14 2
++ + − , es de la
forma R(x)=mx+n. Halle: R(m–n)
a) 0 b) 12 c) 1d) 15 e) 14
4. El resto de dividir: x
x x x1
2 5 4 132
37 15 3
+
+ + + , es
R(x)=ax+b2+4; calcular ab
a) –21 b) 18 c) 21d) 0 e) más de una es correcta
5. Hallar el resto en: ( ) ( ) ( ) ( )x x
x x x x5 5
1 2 3 4 52 + +
+ + + + +
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
1 3
69www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo1 4
Lectura: NieLs heNriK abeL (1802 – 1829)
Matemático noruego, nació en una familia muy numerosa, hijo de un pastor
protestante en condiciones de extrema pobreza. A los 16 años, su maestro
le aconsejó leer los grandes libros de los matemáticos más eminentes.
A los 19 años, demostró que las ecuaciones algebraicas de un grado
superior a cuatro no tenían solución algebraica general, creando con
el una importante teoría, llamada "teoría de grupos" y descubrió
importantes propiedades relativas a las funciones elípticas y a una clase
de ecuaciones llamadas ecuaciones abelianas.
Murió de tuberculosis a sus escasos 27 años.
En este capítulo aprenderemos
Factorización I
. El concepto de factorización de polinomios con coeficientes en-teros.
. El concepto de factor algebraico y factor primo.
. Los criterios de factorización:
– Factor común. – Agrupaciones de términos. – Identidades notables.
FactorizacióN i
Capítulo
70
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Factorización
ConceptoCriterios de
Factorización (Métodos)
Agrupaciones de términos
Factor común
Identidades
Factor algebraico
Factor primo
1 4
Álgebra
71www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) xx9
11=
b) aa
5202
5=
c) xx
4323
7− =
d) x yx y
10110
2
4 2
−=
e) ––
a b ca b c
4242 3 4
3 5 7=
2. Indicar cuál o cuales son polinomios constantes:a) P(x)=50b) F(x;y)=3Kx+y
c) M(n)=K2
Rpta: ____________________
3. Indicar cuál o cuales son polinomios lineales:a) P(x)=5x−1b) F(x;y)=x2+yc) M(a)=30
Rpta: ____________________
4. Indicar cuál o cuales son polinomios cuadráticos:a) P(x)=x2+1b) F(x;y)=xy−2c) M(n)=n(n−1)+K
Rpta: ____________________
5. Efectuar: a) x(x+8)=
b) −2x(x2−y)=
c) (x+5)(x−5)=
Aplica lo comprendido
1. Indique los factores algebraicos del siguiente polinomio: P(x)=x.(x+1).(x−1)
2. Del problema anterior, indique los factores primos de P(x).
3. Factorizar en cada caso:a) P(x)=x3+3x2
b) F(x;y)=x3y2−x2y3+3x2y2
c) M(x;z)=x2(x+z)+3(x+z)
4. Factorizar en cada caso:a) P(x;y)=x2y+x+xy2+y
b) Q(x)=x3+x2+x+1
c) F(a;b)=a2−ab+ac−a+b−c
5. Factorizar en cada caso:a) P(x)=25x2−4
b) R(x;y)=8x3+y3
Capítulo
72
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Siendo: P(x)=(x+1)(x–3)(z–1)indica el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Indica la suma de factores primos de:P(x)=(x–1)2(x+1)3
a) 0 b) 1 c) 2x2
d) 2x e) x2+x3
3. Indica el factor primo que más se repite en:P(x)=510x8(x–1)5(y+3)10
a) (y+3) b) 5 c) xd) (x–1) e) 5x
4. Factorizar: 3x2+6x
a) 3x(x+2) b) 2x(x+3) c) x(3x+2)d) x(6x+3) e) (3x+1)(1+2x)
5. Factorizar: mx+m2+xy+my
a) (x+m)(m+y) b) (x+y)(x+m)c) (x+y+m)(x–m) d) (2x+n)(y+2m)e) (2m+x)(y+2m)
6. Factorizar: ax+x2+ab+bx
a) (a+x)(x+b) b) (a+x)(ax+b)c) (a+b)(x+b) d) (a+b+x)(x–b)e) (a+x)(x+a+b)
7. Factorizar: 4a2–9
a) (4a+3)(4a–3) b) (2a–3)(2a+3)c) (4a+9)(4a–9) d) a(4a–9)e) a2(4–9)
8. Factorizar: 36x2–25y2
a) (6x+5y)(6x–5y) b) x2(36–25y)c) y2(36x2–25) d) (36x+5y)(36x–5y)e) (36x+25y)(36x–25y)
9. Factorizar: 81x4−y4
indicando un factor primo
a) 9x+y b) 9x−yc) 9x2+y2 d) 3x+y2
e) 3x−y2
10. Factorizar: ax+bx+cx+ay+by+cy–a–b–c
a) (a+b+c)(x–y) b) (a+b+x)(c–y)c) (a+b+c)(x–y+1) d) (a+b+c)(x+y)e) (a+b+c)(x+y–1)
11. Factorizar: ab+7a+8b+56
a) (a+b+1)(a+7) b) (ab+8)(ab+7)c) (a+b+7)(a+b+8) d) (a+7)(b+8)e) (a+8)(b+7)
12. Factorizar: x3–1
a) x(x–1) b) x2(x–1)c) (x–1)(x2+x+1) d) (x+1)(x2–x+1)e) (x2–1)(x+1)
13. Factorizar: (8x3+1)
a) (8x+1)(x2+1) b) 8(x3+1)c) (2x+1)(4x2–2x+1) d) (2x–1)(4x2+2x+1)e) (8x2+1)(x–1)
14. Factorizar: P(x;y)=x2+2xy+y2−25e indicar la suma de sus factores primos.
a) 2(x+1) b) 2(y+1)c) 2(x−y) d) 2(x+y)e) 2x+y
15. Factorizar:P(x;m)=x2+2ax+a2−m2+4m−4indicar un factor primo
a) x+a+m b) x−a+mc) x+a2+m−2 d) x+a+m−2e) x+2a+m−1
1 4
Álgebra
73www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Siendo P(x;y)=5(x+3)(y+1)(z–5)Indique el n° de factores primos
2. Siendo: P(x)=(x+5)2(y+3)4(x–5)Indique la suma de factores primos
3. Siendo P(x;y)=510(x+1)7(y–3)5(z+1)15
Indique el factor primo que más se repite
4. Factorizar: m8+8m5–6m3
5. Factorizar: x7(3a+2b)–x(3a+2b)–3a–2b
6. Factorizar: x3y2(a–b)–x2y3(a–b)
7. Factorizar: ab+bc+ad+cd
8. Factorizar: 36x2–1
9. Factorizar: 25m2–4n2
10. Factorizar: ax–bx+cx+ay–by+cy–a+b–c
11. Factorizar: 27x3+1
12. Factorizar: x3–8
13. Factorizar: x9+1
14. Factorizar: xy+5x+2y+10
15. Al factorizar: P(x)=x7–x6+x5–x4+x3–x2+x–1se obtiene: (xa+m)(xb+n)(xc–p)
siendo a>b>c; calcular: .m n pa c b+ +
+
Tú puedes
1. Factorizar: 64x2–(8x+2y)2
indicando un factor primo
a) 8x+y b) (8x–3) c) 8x–yd) (x+y+8) e) (4x–y+8)
2. Factorizar: m2np+mnp2+mn2pindicando un factor primo
a) m+n+p b) m–n c) m2+nd) m+n2 e) m2–n
3. Factorizar: x4+x2+1+x6
indicando el n° de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Factorizar: x8+x3y5+x5y3+y8+x5y+y6
indicando el n° de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Factorizar: n3p4z5+n2p4z3+n2p3z3+n2p3z5
indicando el n° de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Capítulo
74
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1 5
En este capítulo aprenderemos
Factorización II
. Los criterios de factorización complementarios:
– Métodos de las aspas:* Aspa simple* Método de los divisores binómicos. (Obtención de
factores lineales)
FactorizacióN ii
Lectura: represeNtacióN gráFica de Las raíces de uN poLiNomio
Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos
como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).
Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio
graficado.
Función Raíces Factorización Gráfica
f(x) = x2 + x – 12 –4 y 3 f(x) = (x+4)(x–3)
f(x)
x–4 –2 0 2 43
(–4; 0)(3; 0)
5
10
15
–5
–10
Álgebra
75www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Factorización II
Métodos
de Factorización
Aspa SimpleDivisores Binómicos
Capítulo
76
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Indicar cuál o cuales de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos:a) P(x)=x2+8x+16b) Q(y)=y2−10y−25c) R(a;b)=a4+14a2+49d) S(m;n)=m2−mn+n2
Rpta: _____________________
2. Desarrollar: a) P(x)=(x+4)(x+9)
b) Q(x)=(x−5)(x−6)
c) R(x)=(x+12)(x−10)
d) S(x)=(x−15)(x+8)
3. Desarrollar:a) P(x;y)=(x+y).(x+2y)
b) Q(x;y)=(x−3y).(x−5y)
c) R(a;b)=(a+66).(a−4b)
d) S(a;b)=(a−9b).(a+7b)
4. Desarrollar: a) P(x)=(3x−5)(x+2)
b) Q(x;y)=(4x2+3y)(5x2−y)
5. Efectuar las siguientes divisiones:
a) x
x x x1
6 11 63 2
−− + −
b) x
x x x2 3
6 6 193 2
−+ − +
Aplica lo comprendido
1. Factorizar en cada caso:
a) x2−11x+28= ________________________
b) x2+29x+100= _______________________
2. Factorizar en cada caso:
a) x2+17x−60= _________________________
b) x2−17−390= ________________________
3. Factorizar en cada caso:a) x2+12x+36= _________________________
b) m2−4mn+4n2= ______________________
4. Factorizar en cada caso:
a) 6x2+11x+3= ________________________
b) 10x2−22x+4= _______________________
5. Factorizar: P(x)=x3−6x2+11x−6
1 5
Álgebra
77www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Si el polinomio: P(x)=x2−10x+(2k+1)es un trinomio cuadrado perfecto: halle el valor de "k"
a) 10 b) 11c) 12 d) 13e) 14
2. Si el polinomio: F(x;y)=4x2+10mxy+25y2
es un trinomio cuadrado perfecto, halle el valor de m2+1.
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
3. Indique un factor primo del siguiente polinomio:P(x;y)=2x2−15xy+7y2
a) 2x+y b) 2x−yc) x−y d) 2x+y2
e) x+7y
4. Indique el factor primo cuadrático de:P(a;b)=a4−a2b2−12b4
a) a2+b b) a+b2
c) a2−b d) a2+3b2
e) a2−3b2
5. Indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos de: P(x)=4x4−13x2+9
a) 1 b) 4c) 8 d) 9e) 5
6. Indicar un factor primo: F(x)=abx2+bx+b(1−a)
a) x−1 b) ax+1c) ax−a+1 d) x+1−ae) x−a
7. Factorizar e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos:P(x)=x4(2x−1)−5x2(2x−1)+4(2x−1)
a) −2 b) −1c) 0 d) 1e) 5
8. Factorizar: x3+x2−7x−15
a) (x−3)(x2+4x+5) b) (x+3)(x2+4x+5)c) (x−3)(x2−4x−5) d) (x−3)(x+3)(x+2)e) (x−3(x+3)(x−2)
9. Factorizar: x3+7x2+15x+12
a) (x+4)(x2+3x+3) b) (x−4)(x2−3x+3)c) (x+4)(x2+x+1) d) (x+3)(x+1)(x−3)e) (x+3)(x−1)(x−3)
10. Factorizar: x3+4x2+x–6
a) (x–1)(x+2)(x+3) b) (x+1)(x+2)(x+3)c) (x–1)(x–2)(x–3) d) (x+1)(x–2)3
e) (x–2)(x+3)(x+6)
11. Factorizar: x3+6x2+3x–10
a) (x+5)2(x–2) b) (x–1)(x+5)(x+2)c) (x+10)(x–1)2 d) (x+1)(x–5)(x–2)e) (x2+x+2)(x–5)
12. Indicar un factor primo de: x3+8x2+19x+12
a) x–1 b) x–3c) x–4 d) x+2e) x+4
13. Hallar un factor primo en: x3–4x2–67x+70
a) x+1 b) x–5c) x–7 d) x+10e) x+7
14. Al factorizar: 3x3–21x+18;toma la forma: a(x–b)(x–c)(x–d) donde: b<c<dCalcular: a–b+c+d
a) 7 b) 4c) 9 d) 6e) 5
15. Factorizar: 2x3+x2+x–1
a) (2x+3)(x2–x+1) b) (x+2)(2x2+x+1)c) (2x–1)(x2+x+1) d) (2x+1)(x2–x+1)e) (x2+1)(2x+x–1)
Capítulo
78
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Factorizar: x2+6x+9
2. Factorizar: 4x2–4x+1
3. Factorizar: 9x2+12x+4Indicar la suma de factores primos
4. Factorizar: x2+x–6Indica el factor primo de mayor suma de coeficientes.
5. Factorizar: x2+7x+12Indica el factor primo de término independiente par.
6. Factorizar: 6x2–5x–21Indica suma de factores primos
7. Factorizar: x6+7x3+10Indica el número de factores primos.
8. Factorizar: 10m8+17m4+3Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.
9. Factorizar: x3+2x2–5x–6
10. Factorizar: x3–11x2+31x–21
11. Factorizar: x3–8x2+3x–24Indica el número de factores primos lineales.
12. Factorizar: x3–4x+3Indica el número de factores primos.
13. Factorizar: x3–3x2–16x–12Indicar la suma de factores primos.
14. Factorizar: 2x3–x2–x–3Indica el término independiente del factor primo de mayor grado.
15. Al factorizar: 2x3+7x2+4x–4se obtiene: (ax+b)(x+a)2
Hallar: ab
Tú puedes
1. Factorizar: P(abc)=(a+b+c)2+3+4a+4b+4c,indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Factorizar: x4+7x 2+16, indicando un factor primo.
a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+x+3d) x2–x+4 e) x2+x–2
3. ¿Qué término hay que sumarle a P(n;k)=n(n+5k)+3(kn+7n2) para que sea factorizable?
a) 3nk b) 6nk c) 5nkd) 8nk e) 2nk
4. Indicar un factor primo: M(x)=(x–3)5+x–2
a) x2+5x–1 b) x2–5x–1 c) x2–5x+7d) x2+5x+1 e) x2+1
5. Factorizar: P(x)=3x3+2x2+5x–2, indicando la suma de términos independientes de sus factores primos.
a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 3
1 5
79www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo16
En este capítulo aprenderemos
Fracciones algebraicas I
. La definición y cálculo del MCD y MCM de polinomios.
. La definición de fracción algebraica así como la clasificación de los mismos.
. La simplificación de las fracciones algebraicas.
FraccioNes aLgebraicas iLectura: Las FraccioNes coNtiNuas
Las aproximaciones numéricas son muy importantes en muchos problemas de matemáticas, ya que en gran cantidad de ocasiones no podemos disponer del valor exacto de ciertos datos, ya sea porque el cálculo de dicho valor exacto es demasiado laborioso o porque ni siquiera es posible (por ejemplo, en la práctica no podemos aspirar a disponer del valor exacto de π).Además en la mayoría de los casos necesitamos la mejor aproximación posible, ya que el hecho de utilizar una no muy buena aproximación puede hacer que el error cometido en nuestros cálculos crezca hasta niveles demasiado altos, inadmisibles en ciertos casos.Vamos a hablar de fracciones continuas, y de cómo estos entes matemáticos nos dan, en cierto sentido, la mejor aproximación posible a un cierto dato cuyo valor exacto no podemos calcular. Una fracción continua es una expresión del tipo
a0+ 1
a1+ 1
a2+ 1
a3+ 1
a4+
Esta expresión tiene varias características muy interesantes. Por ejemplo, todo número real, ya sea entero racional o irracional, puede escribirse como una fracción continua, aunque en algunos casos será más sencillo que en otros. Por ejemplo:
3 =1+ 1
1+ 1
2+ 1
1+ 1
2+ 1
1+
Capítulo
80
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
MCD y MCM de Polinomios
es
se
y y
se
es
Máximo Común Divisor(MCD)
Mínimo Común Múltiplo(MCM)
otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.
obtiene factorizando los polinomios
viene expresado por la multiplicación de los factores
primos comunes elevados a sus menores exponentes.
viene expresado por la multiplicación de los factores
primos comunes y no comunes elevados a sus mayores
exponentes.
obtiene factorizando los polinomios
otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.
Fracciones Algebraicas
es
debemos
para
siempre
Simplificación de fracciones
la división indicada de dos polinomios en la que, por lo menos, el denominador debe ser de grado 1.
factorizar numerador y denominador
eliminar factores comunes
que sean distintos de cero
1 6
Álgebra
81www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Factorizar: P(x)=x2+5x
2. Factorizar: f(x)=x(x+3)–8(x+3)
3. Factorizar: g(x)=x2−x−6
4. Factorizar: q(x)=x2–9
5. Factorizar: h(x)=x3+6x2+3x–10
Aplica lo comprendido
1. Indica el MCM de los polinomios:P(x)=x2–x–12Q(x)=x2–9
2. Indica el MCD de los polinomios:M(x)=x2–25N(x)=x2+7x+10
3. Indica el MCM de: F(x)=x(x–6)2(x+1)3(x–2)G(x)=x2(x–6)(x+1)4
4. Simplifica: 2 15x
x x92
2
−− −
5. Simplifica: x x
x x6 16
82
2
− −−
Capítulo
82
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
Comunicación matemáticas1. Relacionar las columnas correctamente:
A=a9b6
B=a12b4 AFactores comunes elevados al menor exponente: a4b9
A=a6.b9
B=a4.b12 B MCM=(x+3)(x–3)(x+6)
A=x2–9 B=(x–3)(x+6)
C MCD=x–3
A=x2–9 B=(x+3)(x+6)
D
Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente: a12b6
2. Completar los exponentes del MCD y MCM de los polinomios:A=(x+4)6(x–3)9
B=(x+4)8(x–3)2(x+6)4
C=(x+4)2(x+6)5
• MCD=(x+4)
• MCM=(x+4) (x–3) (x+6)
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
• El MCM de los polinomios: A=(x–2)6; B=(x–2)4; C=(x–2)7 es: (x–2)7............. ( )
• El MCD de los polinomios: A=(x–3)4
(x+5)8 ; B=(x–3)8(x+5)2 es: (x–3)8(x+5)8.( )
• El MCD de los polinomios:
{A=x+4B=x–3; es "x" ..................................( )
Resolución de problemas
4. Simplifica: 2 15x
x x92
2
−− −
a) xx
35
−+ b)
xx
53
−− c)
xx
35
−−
d) xx
35
++ e)
xx
53
−+
5. Simplifica: ( )( )
x xx x5 4
10 162 2
−−
a) 5x(x–4) b) 2x(x+4) c) x(x–4)d) x(x+4) e) 5x(x+4)
6. Simplifica: ( )( )
x xx x
2 16 12
+−
a) 3(x+1) b) 3x(x–1) c) x(x+1)d) 3(x–1) e) x
7. Simplifica: x xx x2 36 7 32
2
+ −+ −
a) xx
13 1+
+b)
xx
13 1−+ c)
xx3
1+
d) xx
13 1
−− e)
xx
12 1+−
8. Simplifica: x xx x2 13 2 12
2
+
+
−−
a) xx
2 13 1+
−b)
xx
2 13 1
+− c)
xx2 1
3+−
d) xx
2 13 1
−− e)
xx
1 21 3−+
9. Luego de simplificar: x xx x
8 10 312 5 32
2
+
+
+− , calcula la
suma del numerador y denominador.
a) 5x–1 b) 5x+1 c) 5xd) 1 e) 5x2
10. Simplifica: x y
x y2 2
6 62 2
−−
a) 3x–3y b) 3x c) 3yd) 3x+3y e) x–y
11. Simplifica: x x
x x x2
4 62
3 2
+ −+ + −
a) –x b) 3–x c) xd) x+3 e) x–3
12. Simplifica: x x
x x x4 5
6 3 102
3 2
+ −+ + −
a) x b) x+2 c) x–2d) 2x e) 2x+1
13. Luego de simplificar: ( ) ( ) ( )x
x x x36
1 3 5 32−
+ − + −
calcula la suma del numerador y denominadora) 9x b) –9 c) x+9d) 3 e) x–9
14. Luego de simplificar: x x
x x x44 4
3
3 2
−− − + , calcula la
suma del numerador y denominador
a) 2x b) x–1 c) 2x–1d) 2x+1 e) x+1
15. Simplifica: yx y
x y y242 2 2
+−
a) yx–2y b) yx+2y c) yxd) yx+2 e) yx+1
1 6
Álgebra
83www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
Simplificar las siguientes fracciones:
1. 3 –157 –
xx 5^ h
2. –x y
x y6 –2 2^ h
3. 5 4
–3 –4x xx x2
2
+ +
4. – –6
–5 6x x
x x2
2 +
5. x xx x
2 110 1–2
+^^
hh
6. x xx x
39–22
+^^
hh
Luego de simplificar las siguientes fracciones, calcula la suma del numerador y denominador:
7. x xx x
2 36
2
2
+ −+ −
8. x xx x
10 7 1215 2 82
2
+ −− −
9. ( )
( ) ( )x x
x x x2
2 42 2
+− −
10. x x
x x2 12
2
+ ++
11. x x x
x x x3 15 5
5 2 102 3
3 2
− + −− + −
12. x x
x x x2 1
12
3 2
+ ++ − −
Simplifica:
13. ( )
( ) ( )x y
x y x y9
11 242
2
+ −+ + + +
14. x xx x
2 37 6
2
3
+ −− +
15. x
x x x4
2 4 82
3 2+
−− −
Tú puedes
1. Simplifica: mn kn mc kcmn kn mc kc
3 6 23 6 2
+ − −+ + +
a) n cn c3−+ b)
n cn c3+− c)
n cn c
33 +
−
d) n cn c+
−e)
n cn c
33
+−
2. Simplifica: ( )( )x y zx y z
222 2
3 3
+ −+ +
y de como respuesta el denominador resultante
a) x+y–z b) x+y+z c) x+2y+z
d) x+2y–z e) x–y+2z
3. Simplifica: x y
x xy y27 8
9 12 43 3
2 2
−− +
a) x xy y
x y9 6 4
3 22 2+ +
− b) x xy y
x y6
3 22 2+ +
+
c) x xy y
x y9 6 4
3 22 2+ +
− d) x xy y
x y9 6 4
32 2+ +
−
e) x y
x y32 2+
−
4. Simplifica: ( ) ( )x y
x y x y4
2 5 22 2
3
−− − −
a) x y
x xy y2
4 4 52 2
+− + − b) ( )
x yx y2
2 52
++ +
c) ( )x y
x y2
2 12
++− d)
x yx xy y
24 4 52 2+
−− +
e) x yx y
22
−+
5. Simplifica: ( ) ( )mx m xmx x m
11
2 2
2 2
− + −+ − +
a) 1–m b) m+1 c) m
d) m2 e) m–x
Capítulo
84
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1 7
En este capítulo recordaremos
Repaso II
. Fracciones algebraicas
. Simplificación de fracciones
. Operaciones combinadas
repaso ii
Lectura: eL Número de oro
También conocido como el número áureo, es (podríamos decir) una constante matemática descubierta por los antiguos griegos como una proporción o relación entre partes de un cuerpo o cuerpos, que podemos encontrar en la naturaleza.
Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dio el calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Pero esto no es un blog de arte ni de historia, asi que ¿cuánto vale el número áureo?
El número áureo se denota por la letra griega "U" FI (¿o PHI?), y vale 1,6180339..., y como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, ....) surge de una expresión matemática:
21 5+
Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras.
• Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.• Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI.
Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que el número PHI.• Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.
Así viendo todas estas ¿misteriosas? apariciones de este número y más que ahí, no es de extrañar que los griegos pensarán que era el número de los dioses y de la naturaleza.
Álgebra
85www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aplica lo comprendido
1. Reducir: y
xyyx
54
16202
e co m
2. Simplificar: x x
x4 5
12
2
− −−
3. Reducir: x xx x
2 33 4
2
2
+ −+ −
4. Reducir: x xx x
5 144 21
2
2
− −− −
5. Simplificar: a a
a a4 25
2 153
2
−− −
6. Simplificar: .x
x xxx
94 4
23
2
2
−+ +
+−
7. Simplificar: x
x xx
x4
3 2 2 32' +
−− −
8. Reducir: xx
x xx
2 502 2
4 53 3
2 2'
−−
− −+c cm m
9. Reducir: x
xx
xx
x3 7 2 5 1 5+ + − + −
10. Reducir: 6 9x x
x xx x
x29 6
9 22
2
2+−− −
+ −−
Capítulo
86
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
Comunicación matemática
1. Reducir:
• ( )( )aa
112
3
−− =
• yx
yx
2
2
3' =
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
• El valor que toma: n
n2
3−
para n=2 es 0.
......................................................... ( )
• La fracción: nn
85 1
−− no está definida
para n=8............................................ ( )
3. Relaciona las columnas correctamente:
aba
Aba32
2
aba b
515
4
3 2B b
1
ac da c d
11121
5 8
4 5 7C a
bab
D da11 3
Resolución de problemas
4. Luego de simplificar: x xx x
2 7 42 7 32
2
− −+ +
Indica la suma del numerador y denominador
a) 2x b) 4x–3 c) 2x–1d) 4 e) 5
5. Simplificar: x x
xx xx x
2 11
4 32 3
2
2
2
2
− +−
+ ++ −e eo o
a) x b) x+1 c) x–1d) 1 e) x2–x+1
6. Reducir: xx
xx x
13 2
9 43 2
2 2
2 +
−+
−−c em o
a) xx
14
−− b)
x 12−
c) x 1
1−
d) x 1
1+
e) x 2
1−
1 77. Efectuar:
x xx x x
94
2 186 9
29
2 2
2 2
− −− + +c e cm o m
a) ( )x
x3 22
+b) 1 c)
( )xx
392
2
++
d) 0 e) ( )x 3
92+
8. Al simplificar: ( ) ( )
( 6 9) ( )x x
x x x x27 3
3 93
2 2+
− −− + +
se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. Efectuar: x xx x
x xx x
2 32
6 97 12
2
2
2
2
+ −+ − +
+ ++ +
a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2
10. Efectuar: x x
x xx x
x2 1
2 32 5 2
42
2
2
2+ ++ +− −
− −
a) x+1 b) 2 c) xd) 1 e) 0
11. Efectuar: xx
x257 35
51
2 −− +
+
a) x 514+
b) ( )x 5
142+
c) ( )x2 5
9+
d) ( )x 5
492+
e) x 5
8+
12. Reducir: xx
xx
11
112 2
+− +
−−
a) x b) 2x c) 1d) –x e) –2x
13. Efectuar: ( )xx
xx
3 15 6
3 34 15
+− +
++
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
14. Efectuar: xx
xx x x
12
45 3 42
−+ −
+− + −` ^j h
a) 12x+1 b) 12x+2 c) 12x+3d) 12x+4 e) 12x+5
15. Efectuar: xx
xx
xx
11
11
2 21
2
2
−+ +
+−
+−` ej o
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Álgebra
87www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
16. Efectuar:
x xx x
x xx x
x xx x
8 75 4
9 148 12
6 710 11
2
2
2
2
2
2
+ ++ + +
+ ++ + +
+ −+ −
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
17. Efectuar: xx x x
x x2
1 1 2 2 12+
++ − + +` ` cj j m
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
18. Efectuar: x yx y
x yx y
x yx y
x yx y
'+
++− +
−+ − −
−c cm m
a) –x2–y2 b) x2+y2c)
x yxy2 2+
d) xy
x y2
2 2+ e) ( )xy
x y2
2 2− +
19. Calcula:
x xx x
x xx x
x xx x
3 23 2
2 110 16
26 16
2
2
2
2
2
2'
+ +− +
− ++ +
− −+ −e e eo o o
a) x–2x–1
b) x+2x+2
c) x–2x+1
d) x+2x–1 e) –2
20. Efectuar: ( ) .( ) ( )x
x xx x
xx xx x
93
3 327
39
2
2 2
2
3
2 2
4 2'
−−
+ −−
+−
a) x3 b) –3x2 c) x3–3x2
d) x3+3x2 e) –x3
Practica en casa
1. Relacionar las columnas correctamente:
;x yx y x y
16 168 8
!−−
A x+4
;x
x x416 4
2!
−− B 2
1
; ;ab aab b a a b0
2
2! !
+
+ − C ab
xx
4 41
2
2
++ D 4
1
2. Reducir cada una de las fracciones:
•
x1 1
1+ =__________________
• x x
x x2
5 62
2
−− +
=__________________
• a b
a ab b3 3
22 2
++ +
=__________________
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
• El valor que toma la expresión: n
n2
6−
para: n=2; es 12................................. ( )
• La fracción: x x5 6
12 − +
no está
definida para x=3; x=2......................( )
• Si en la fracción: ba , en la que
b!0, "a" se triplica y "b" se reduce a la mitad, entonces, la fracción se quintuplica......................................... ( )
4. Simplificar: ; ;x xx x x
4 8 36 7 3
21
23
2
2!
− +− −
5. Reducir:( ) ( );
x xy yx xy y x y x y x y
3 22 2 22 2
2 2/! !
+ ++ + + − −
6. Simplificar: ;x x
x x x2 1
4 4 12
2!
− +−
7. Reducir: – – ; –3; –1a aa a a
4 32 3
2
2!
+ +
8. Reducir: ;x y
x xy y x y4 32 2
2 22 2!
−− +
9. Simplificar: ;x y
xy xy25
3 15 52 2
!!−−
10. Efectuar: ;x xy y
x yx xy y
x y x y2 22 2 2 2
!!+ +
−− +
+c cm m
se obtiene una expresión de la forma:
( ) . ( )x y x ykr p− +
calcular: "k+r+p"
11. Efectuar: ;xy yx
xy y y x
24
20 2
2 2/ !! !
+−
−+c cm m
Capítulo
88
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
12. Dado: ;
;
Ax xx x B
x xx x
Cxx x
2012
9 207 12
44 Z
2
2
2
2
2b
=+
+ =+ +
+
= +
−− −
−` j
Simplificar: [(A)÷(B)]÷[C]
13. Efectuar:
... ;x x x x n
x1 1 11
1 12
1 1 1 Zb+ ++
++
++
` ` ` `j j j j
• Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierta variedad de influenza, los funcionarios del Ministerio de Salud aseguran que el costo por vacunar al "x"% de la población es de aproximadamente:
P( )xx x
x
200
1502
2=
-e o en millones de soles.
14. Simplificar la fracción: Px x
x
200
150(x)2
2=
-
15. ¿Cuál es el costo por vacunar al 50% de la población
Tú puedes
1. Reducir: pp
pp p p
p2
1 2 1 11
222 1
2−
++ −
+ ++-e c eo m o
a) p–1 b) p+1 c) pd) p+2 e) p–2
2. Simplificar: ( )pp
p pp p
11
113 1
2−− +
+ ++
-
e o
a) p3+p+1 b) p2+1 c) 0d) p+1 e) 1
3. Si: x–y=2, calcular el valor de: Ex xy y x y
y xx y
x xy y1 32 2 2 2 3 3
=− +
−−− −
++ −
a) 0 b) 1 a) –1b) x c) x–y
4. Efectuar: ...x x x x p
1 1 11
1 12
1 1 1+ ++
++
++` ` ` cj j j m
a) x
x p1
1+
+ + b) x
x p1
1−
+ + c) xx p
1++
d) x
x p 1+ + e) x px 1++
5. Hallar la suma: ...( )
Sx x x x x x x k x k k
13 21
5 61
2 11
2 2 2 2 2=
++
+ ++
+ ++ +
+ +− −;
para x=25 ∧ k=5
a) 1501 b)
1201 c)
501
d) 201 e)
1701
1 7
89www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo18
En este capítulo aprenderemos
Fracciones algebraicas II
. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y divi-sión para fracciones algebraicas con el objetivo de reducir o transformar expresiones algebraicas.
. Incidir en el desarrollo correcto de las operaciones cuando es-tos se presenten de manera combinada.
FraccioNes aLgebraicas iiLectura: Ver para creer
No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente claro. Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas.
Suma de los inversos de las potencias de 2: Vamos a calcular el valor de la siguiente suma: n 1
3
=/
21n
Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica
n 1
3
=/
21
121
21
1n=
−=
Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:
1/2
1/4
1/161/32
1/641/128
1/250
1/8
En la imagen podemos ver cómo 21 es la unidad del área del cuadrado de lado 1, cómo
41 es la mitad
de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos
llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.
Capítulo
90
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Fracciones Algebraicas II
obtener
también luego
así así
se seobtener
homogéneas
heterogéneas
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción Multiplicación División
MCD de todos los denominadores
multiplican los numeradores
invierte la segunda fracción
se multiplican las fracciones
se multiplican los denominadoresc
acb
ca b! !=
ma
nb
pc
mnpanp bmp cmn− + = − + .
.
.ba
dc
ba
cd
b ca d' = =.
.
.ba
dc
b da c=
1 8
Álgebra
91www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Halla el MCM de: 2; 6 y 15
2. Halla el MCM de: (x+2)(x–2) y (x+2)
3. Halla el MCM de: x2–3x y x2–9
4. Simplifica: x
x4162
+−
5. Simplifica: ( )x x
x x5
2 152
−− −
Capítulo
92
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aplica lo comprendido
Comunicación matemática1. Relacionar la columna correctamente:
ca
cb− A .
ba
cd
ba
dc− B
.
.b da c
ba
dc' C
bdad bc−
.ba
dc D
ca b−
2. Efectuar:
• x
ax
x a1 1
1+
++
+ −
• x
xx1 1
1+−−
−
• xx
xx
11
11'+
−+−
=__________; siendo: x!–1
=__________; siendo: x!1
=__________; siendo: x!–1
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
• ;xx
xx x2
11
2 22 2 1!
−+ =
−+` j .......................( )
• 1;yx
xy
y xx y xy 0!+ =++= ..................( )
• 1;x x
xx
x6
462
612 6!=−
+−+ +
−− .......... ( )
Resolución de problemasOpera las siguientes fracciones de acuerdo a las operaciones que hay entre ellas:
4. x x4
26
3 2− + +
a) x24
9 2+ b) x6
9 2+ c) x12
9 2−
d) x24
9 2− e) x249
5. x x x3
162
123 4+− + +
a) x1211 b) x
1310 c) x
89
d) x1213 e) x
2411
6. x y x y y x12 15
230
4+ +
− + −
a) x y30
5 − b) x y60
5 + c) x y60
5−
d) x60
5 1+ e) x30
5 1−
7. xx
xx
12 3
16+−
+−−
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. xx
xx
5 23 1
5 23
−− −
−+
a) x
x5 2
2−
b) xx5 2
4−
− c) xx
5 22 4
−−
d) xx
5 22 4+
−e)
xx5 2
4−+
9. xx
xx
23 4
22 2
++ −
++
a) xx
26
++ b)
xx
22
−+ c) 1
d) xx
25 2
−− e) 2
10. x x x1
21
31
12+
+−
−−
a) x
x1
52 −
b) xx
15 12 −
− c) xx
15 1−+
d) xx
15 1+− e)
xx1
5+
11. x x
x5
225
32−
+−
a) x 25
102 −
b) xx
2510
2 −− c)
xx
255 102 −+
d) x 510−
e) xx
55 10
−+
12. .x
x xx x
x x2
2 22 3
32
2
2
2+− −−
a) 2 b) 1 c) x+1d) x–2 e) x
13. Opera: x xx
x x1
2 21
2 21
2 +− −
−−
+
a) ( )x x
x1
1 22 −− b)
( )x xx
12 12 −− c)
xx
122 −
d) xx
11
+− e) 1
14. Multiplica: .xx
xx x
2 502 2
3 34 5
2
2
−−
+− −
a) x
x3
1− b) xx
3 151
++ c) x
151−
d) xx
3 153 1+− e)
xx
3 151+−
15. Simplifica: 11 30
.x x
x xx
xx xx x8 7
136
4 542
2
2
2
2
2
2'
+−− +
−−
− −− −
a) x b) –1 c) 1d) x–1 e) x+1
1 8
Álgebra
93www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
Realizar las siguientes operaciones:
1. x x5
3 15
2− + +
2. x x7
6 57
5 6− − −
3. x x2
132
41− + −
4. x x4
154
23+ − −
5. ( ) ( )x x x
x1
31 1
5 2++
+ −−
6. x
xx
x3
3 25
2 2− − +
7. .( )x
xx xx x
39
32 2
+−
−+
8. x
xxx
1 12
2'− −
9. Multiplicar: xx
x2 52 52
−−c `m j
10. Operar: x
xxx x
23
93
2
2+−−` ej o
11. Simplificar: x x x10
65
362 2'+ −c cm m
12. Simplificar: .x
x xx x
xx4
23 10
425
12
2 2'
+ +
+−− −
13. Simplificar: ( ) ( )x
xx
x x436
2 86 62
'+−
++ −
14. Simplifica:
.x xx x
x x xx
x xx
10 4 3 32
5 13 62
3
3 2 2'
++
− + − − −
15. Opera: x x x x3 11
2 12
6 5 15
2+−
++
+ +
Tú puedes
1. Simplifica: a cc a
a ac cx axa ax
2 23
2
2−
−− +
− + −−
a) 2/3 b) 2 c) 4/5d) 1 e) 3/2
2. Simplifica:
( )m nm n
m nm n m mn n mn23 3
3 32 2 4
+− −
+− + + +e o
a) m2+n2 b) (m–n)2 c) n2
d) (m+n)2 e) 2m4n
3. Indica el numerador final luego de simplificar:
x yx y
x yx y
x yx y
x yx y 1++−
+ −+−
−+ − -
c cm m
a) x2 b) y2 c) 2xyd) x2y2 e) x+y
4. Simplifica:
( ) ( )yx y
y x xyy
y xxy y
2 4 2 22
2 42 43 3
2++
+−− − − −
e o
a) 0 b) x c) yd) x+y e) x–y
5. Simplifica:
.( )
. . .a b
a abab a ba b
bc cdab ad
bc cdba ad c
2 2
2 3 32+
+ ++− −−
a) ba 13 −` j b) 1
ba 3 +` j c) 1
ab 3
−c m
d) 1ab 3
+c m e) b
a 13 +
Capítulo
94
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1 9
En este capítulo aprenderemos
Radicación I
. La definición de radicación desarrollada en el conjunto de los números reales.
. Las leyes de signos de la radicación y su restricción en los nú-meros reales.
. La aplicación de los Teoremas:
. Radicales del mismo índice, multiplicación, división, raíz de raíz.
. Operaciones
– Adición y sustracción. – Multiplicación y división
radicacióN i
Lectura: breVe historia de Las "raíces"En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca del tema:
"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".
Antes del siglo XVI la raíz cuadrada se representaba poniendo un punto delante del número. El alemán Christoph Rudolff publica en 1525, un tratado titulado Coss. En este aparece por primera vez el símbolo
, es decir es una variación de la letra "r", inicial de la palabra Radix.
Álgebra
95www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Radicación Algebraica I
Ley de signos Teoremas Clasificación
RadicalesHomogéneos
RadicalesSemejantes
Operaciones
Adición y Sustracción
Los radicales son semejantes
Multiplicación y División
Los radicales son homogéneos
Capítulo
96
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. 3x+5x+2x=
2m2+6m3+3m2+5m3=
7x4+8x4–15x4=
6x–12x–7x=
2. (–3)5=
(–3)4=
29=
210=
04=
3. x10.x12.x6=
x5.xm–11.x6=
xx10
12=
xx40
25
-=
4. x1/2=
x1/3=
x2/3=
x5/8=
Aplica lo comprendido
1. Relacionar:
64 A 4
102410 B 16
325 − C 2
2564 D 8
256 E –2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
5 4 93 3 3+ = ..........................
6 2 8+ = ............................
2 3 4 3 6 3+ = .....................
.12 3 6= ...............................
16 24 − =− ...............................
( )
( )
( )
( )
( )
3. Calcular: E 64 81 125 496 4 3= − + −
4. Efectuar:( ) ( )M 3 3 1 2 2 1 3 2 5= − + − + + +
5. Efectuar: J 8 12 50= + +
1 9
Álgebra
97www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
I. Comunicación matemática
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
78 50 2+ = ......................
2 23284 = ..............................
5 6 11+ = ...........................
x x2 3 5+ + = + ....................
( )
( )
( )
( )
2. Relacionar correctamente:
8 A 3 3
27 B 3 2
12 C 2 3
18 D 2 2
II. Resolución de problemas
3. Efectuar: 28 63 175+ −
a) 7 b) 2 7 c) 3 7
d) 7 3+ e) 0
4. Efectuar: ( )2 2 3 5 8 125+ + +
a) 8 2 8 5+ b) 8 2 c) 8 5
d) 8 82 5− e) 8( )2 1−
5. ( )3 1 8 12 3 2 18− + + +
a) 12 b) 14 c) 15d) 13 e) 16
6. Efectuar: E 2 26015 80204= +
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
7. Reducir:
( )V66 27 3 16 3 32 1n
nn
23 4 5= + − − + −
a) 1 b) –1 c) 2d) 3 e) 0
8. Simplificar: ( )
( ) ( )E3 2 2 3
8 27 16 13 4=
−− +
a) –3 b) –2 c) 1d) 2 e) 3
9. Simplificar: L3 7
2 2 2 8 2 182
4
π=
−+ −
a) 2 b) 3 c) 6d) –1 e) 0
10. Reducir: . 6
. .M16 72 18
32 24 234
34=
+a) 1 b) 24 c) 2
d) 34 e) 3
11. Reducir: 2
16 4 543
3 6 3 2− +e o
a) 100 b) 25 c) 16d) 1 e) 5
12. Reducir: . . ( )F 5 125 625 5 625 5n n n n n n n4 4= − + -
a) –5 b) 3 c) –2d) 4 e) –6
13. Si: x y2 1 2 1/= + = −
Además: ( ) ( )E x y x y2 2= + − −
( )( )M
x yx y
56 23
=+
+ −
Calcular: E+M
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14. Reducir:
( ) ( )(2 3) (2 3)G
3 23 2
3 23 2
7 1 7 13 3=
−+ +
+− +
+ −+ −
a) –7 b) 9 c) 13d) 21/2 e) 5/2
15. Calcular: ( 5 24 5 24 )B2
2= + + −
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
Capítulo
98
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
45 125 8 5+ = ....................
2 86065 = ...............................
12 7 19+ = .........................
32 27 15 3− − − = .....................
( )
( )
( )
( )
2. Relacionar correctamente:
72 A 8 2
128 B 6 2
98 C 4 2
32 D 7 2
3. Efectuar: 18 50 72+ −
4. Efectuar: 2 2( )3 5 27 20− + +
5. Efectuar: E 3 33015 63= +
6. Reducir: H77 64 3 1000n
nn
23 3= + − −
7. Simplificar: ( )
( ) ( )M5 2 3 2
12 32 81 15 4=
−− +
8. Reducir: M5 1
3 1 3 5 5 1=+
+ + + −
9. Reducir: M2
32 64 2 84
4 24 12 3
= − +e o
10. Simplificar: ( ) ( )2 2 5 63 2 3 2 15
++ − +
11. Efectuar:
x x x x16 1 1 1 12 2 2+ − − + + −^ ^ ^ ^`h h h h j
12. Efectuar: ( ) ( 1)8 7 562 2+ − +
13. Efectuar:( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)7 7 7 72 2+ + − + + −
14. Efectuar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 1 5 1 3 1 3 1 3 14 4 4 4+ + − + − + +
15. Calcular: .2
5 12
51
51
2
+−
−f fp p
Tú puedes
1. Calcular: .F2
3 12
31
31
2=+
−−
a) 3 b) 6 c) 2
d) 3 1− e) 16 +
2. Si: ;a b21
21
21
21= + = −
entonces E aa
bb
1 1= + + + es igual a:
a) 2 b) –3 c) 21
d) 0 e) –1
3. Efectuar: M32
3 12 3
3 12 3=
++ +
−−c m
a) 2 b) 21 c) 2
d) 22
e) 24
4. Si: ;a b2 12 1
2 12 1= =
+−
−+
Calcular: a3b–ab3
a) 0 b) 1 c) 2
d) –24 2 e) –2 2
5. Efectuar:( ) ( )E
912 8 3 2
427 18 3 22 2
= + + + + − − +
a) 7 b) 9 c) 10d) 12 e) 15
1 9
99www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Radicación II
. A los radicales dobles.
. Su transformación a radicales simples. (Condición para la trans-formación)
. Los diferentes casos para transformar un radical doble a simples (tipo raíz cuadrada)
radicacióN ii
Lectura: La diViNidad deL Número áureo
El número áureo de oro también llamado Divina proporción, representado por la letra griega f (fi) (en minúscula) o F (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:
j=2
1 5 .+ 1,618033988749894848204586834365638117720309...
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitectónicos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, pinturas, música, etc.
En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Poporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:
La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad; del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
20
Capítulo
100
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Radical doble
Forma general
Caso: A B!
Condición operativa
Fórmula de transformación
Regla práctica Casos diversos
Transformación a radicales simples
20
Álgebra
101www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. .x a x a2 = (extraer un factor)
• 45
• 12
• 8
• 32
• 108
• 245
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
2. x b x b2= (ingresar un factor)
• 2 5
• 6 3
• 2 7
• 4 11
• 7 3
• 8 2
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
=____________________________
3. xn.yn=(x.y)n
• 42.32
• 21/3.41/3
• 51/2.51/2
=__________________________
=__________________________
=__________________________
4. Efectuar:
• (x+2)(x–2)
• ( 3 +2)( 3 –2)
• ( 3 +2)2
• ( 3 –2)2
=____________________
=____________________
=____________________
=____________________
5. Factorizar:
• x2–8x+15
• x2–x–2
• x2+5x+4
Aplica lo comprendido
1. Convertir a radicales simples:
8 2 15+
2. Transformar a radicales simples:
9 2 20−
3. Convertir a radicales simples:
5 24−
4. Convertir a radicales simples:
2 3+
5. Transformar a radicales simples:
10 19+
Capítulo
102
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Comunicación matemática1. Relacionar correctamente:
7 2 12+ A 6 2+
8 2 12+ B 3 2+
8 2 15+ C 5 3+
5 2 6+ D 3 2+
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
• El radical doble: 20 2 51− es equivalente a 17 3− .................... ( )
• El radical doble 6 32+ es mayor que 7 2+ ..................................... ( )
• Al multiplicar 2 3 2 3+ − se obtiene 1........................................... ( )
• Todos los radicales dobles son transformables a radicales simples......( )
Resolución de problemas3. Convertir a radicales simples
• 10 19+ = __________________________
• 3 8+ = ___________________________
• 25 6+ = __________________________
• x x x2 5 2 5 62+− − − =______________
______________________________________4. Reducir:
A 5 2 6 10 2 21 9 2 14= − − + + +
a) 3 1− b) 13 + c) 3 2+d) –2 e) 0
5. Calcular "A+B–C" si: ABC
7 2 128 2 159 2 20
= += −= −
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
6. Efectuar: E 21 320 2 9 80= − − + +
a) 5 b) 5 c) 3
d) 2 e) 77. Si se cumple que:
x x x mx n px m5 2 2 6 7 32− + − − = + + −Calcular: "m+n+p"a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 4
8. Transformar en un solo radical doble:8 60 5 24+ − −
a) 7 40− b) 10 40+ c) 7 40+
d) 10 40− e) 5 2+
9. Calcular el valor de:( ) ( )E 3 7 5 7 32 10 7= + − − +
a) –2 b) –3 c) –4d) –5 e) –6
10. Descomponer en radicales simples:.2 7 2 124 −
a) 12 + b) 13 + c) 13 −
d) 3 2+ e) 13 −
11. Efectuar: .M 3 2 5 2 6n n2= + −n n 2>Z!
a) 2n2 b) 2n c) 1
d) 2 e) 2 3n +
12. Calcular "x" en b b x2 3 22− = −
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
13. Transformar a radicales simples la expresión:
E x x x5 2 24 14 52= − + − −
a) x x2
6 52
4 1− + +
b) x x2
5 22
6 3++ −
c) x x2
6 52
4 1+ + −
d) x x6 5 4 1− + +
e) x x2
6 52
4 1− − +
14. Calcular:
M 2 5 3 6 2 8 2 12= + − − + +
a) 24 b) 34 c) 3
d) 2 2 e) 3 3
15. Simplificar:
...M 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2= + + + + +e indicar uno de los radicales simples.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 22 e) 2 2
Aprende más
20
Álgebra
103www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Relacionar correctamente
9 2 14− A 5 2+
9 2 18− B 7 2−
9 2 20+ C 6 3+
9 2 18+ D 6 3−
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
• El radical doble: 10 2 16− equivale a 2 ................................... ( )
• Los radicales simples: 2 5 3+ equivalen al radical doble
29 2 180+ ...................................( )
• El radical doble: 17 2 72− es igual a: 3 2 2− .........................................( )
• El radical doble x x x2 2 2 2+ + + equivale a los radicales simples:
x x1+ + ....................................... ( )
3. Convertir a radicales simples:
• .2 8 15+ =________________________
• .2 18 35+ =_______________________
• x x x2 2 2 2 152+− − − = _____________
______________________________________
• x x2 2 252+ − =_____________________
4. Reducir: E 5 24 9 56 10 84= + + − − −
5. Reducir: L 28 300 19 192= − + +
6. Si se cumple que:
x x x ax b cx a5 1 2 6 22− + − − = + + −
Calcular "a+b+c"
7. Transformar en un solo radical doble:
M 11 112 6 32= + − −
8. Calcular el valor de:
( )H 5 2 3 74 2 3 8 2 3= + − − −
9. Efectuar:
. ; ( ; )E n n7 5 12 2 35 2>Zn n2 != + −
10. Descomponer en radicales simples:
.N 2 17 2 724= +
11. Transformar a radicales simples:
N y y y1 2 32= − + − −
12. Simplificar y transformar a radicales simples:
...L 2 2 2 2 2 2 4 2 3= + + + + +
13. Simplificar: 3 2 x169 2
+ -
14. Si: b b x2 3 22− = − ; (5>b>1)Hallar el valor natural de "x"
15. Reducir: R 4 4 2 6 2 5 10 2 5= − − + −
Tú puedes
1. Proporcionar el valor de: .βα θ
Si: ( )x y xyα θ αθ β+ + + es transformable a radicales dobles.
a) 1/5 b) 1/2 c) 1/4d) 1/3 e) 1/6
2. Indicar un radical simple de:
E x x1 2 1 2= + − ; 0<x<1
a) x b) x 1− c) x 2+
d) x 1+ e) x1 2−
3. Transformar a radicales simples:
x x21 2
41+ −
a) 22 b)
42 c) 2
d) x8
1− e) x2
1+
4. Si: (x) (x)P Q ax b mx2 2+ = + + +
además: P(x)+Q(x)=8x2+30x+17Calcular: "a.b.m"
a) 35 b) 70 c) 80d) 40 e) 60
5. Calcular: ( )n n 1n 1
100− −
=/ , indicar la parte
racional.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10
Capítulo
104
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
radicacióN iii
21
Lectura: ejercicios de 4 operacioNes coN radicaLes
Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente
investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era
irracional, no expresable como cociente
alguno, lo que supuso un hito en la matemática
de la época. Posteriormente se fue ampliando la
definición de raíz cuadrada. Para los números
reales negativos, la generalización de la función
raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de
los números imaginarios y al cuerpo de los
números complejos, algo necesario para que
cualquier polinomio tenga todas sus raíces
(teorema fundamental de álgebra).
FUENTE: http:/www.disfrutalasmatematicas.com
En este capítulo aprenderemos
Radicación III
. El concepto de racionalización.
. El concepto de factor racionalizante.
. Racionalización de:
– Un solo radical. – Una suma o diferencia de raíces cuadradas.
Álgebra
105www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Racionalización
Proceso que transforma el denominador (en algunos casos el numerador) irracional de una fracción en una cantidad racional.
Caso I: xmn Caso II: A B!
Factor racionalizanteCantidad irracional que al multiplicar a otra cantidad irracional la transforma en racional
Capítulo
106
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Efectuar: 3 2 5 2 6 2+ −
2. Efectuar: a) .2 8 =
b) .9 33 3 =
3. Efectuar:
a) .x x23 43 =
b) .m m513 813 =
4. Efectuar:
a) ( ) ( )3 2 3 2+ − =
b) ( ) ( )5 2 5 2+ − =
5. Transformar a radicales simples:
a) 7 2 12+ =
b) 12 2 27− =
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
CantidadIrracional
Factor Racionalizante
x513 A x213
x3513 B x813
x413 C x413
x5013 D x913
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
• El factor racionalizante de: x35 es x25 ..................................................( )
• El factor racionalizante de x11 es x .................................................... ( )
• El factor racionalizante de 3 2− es 3 2− + .............................................( )
• Al racionalizar 6 24−
se obtiene
6 2+ ............................................... ( )
3. Racionalizar el denominador de:
• x137
= _______________________________________
• x1179
= ______________________________________
4. Racionalizar el denominador de:
• 13 21−
= ___________________________
• 15 10
1+
= __________________________
5. Racionalizar el denominador de:10 2 21
2+
21
Álgebra
107www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
Comunicación matemática
1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 2
11–3 A – 11+3
11+3 B ( )11 3− −
– 11+3 C 11+3
– 11–3 D 11–3
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
• El F.R. de: 12 es 3 ...................... ( )
• El F.R. de: 123 es 183 .....................( )
• El factor racionalizante de 3 1+ es 13 − ............................................. ( )
• El factor racionalizante de 2 1− es
1 2− ............................................... ( )
Resolución de problemas
3. Racionalizar el denominador de E49
425
=
a) 6 3435 b) 6 75 c) 6 495
d) 495 e) 3435
4. Racionalizar el denominador de: B36
184
=
a) 6 b) 2 6 c) 3 6
d) 4 6 e) 5 6
5. Indicar el denominador racionalizado de:
Hx y
xy5 73
=
a) x2y3 b) xy2 c) xyd) x3y2 e) x2y
6. Al racionalizar: 3
64
se obtiene una expresión m n4 , indicar: m×n.
a) 18 b) 20 c) 24d) 48 e) 54
7. Racionalizar el denominador de: E7 23=−
a) ( )3 7 2+ b) 7 2− c) 7 2+
d) 7 1− e) 7 3−
8. Racionalizar el denominador: D4 2
42=−
a) 15+2 3 b) 9+3 2 c) 9–3 2
d) 12+3 2 e) 15–2 3
9. Efectuar: M3 5
45 3
23 12=
++
++
−a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Efectuar: A5 3
25 2
33 2
1=+
+−
++
a) 0 b) 5 c) 2 2
d) 2 e) 2 5
11. Efectuar: N33
22
3 21= + −−
a) 3 b) 2 3 c) 0
d) 2 e) 2 2
12. Efectuar:
8 2 124
7 2 103
11 2 301
++
−−
−
a) 1 b) 5 c) 2
d) 0 e) 3
13. Efectuar:
E9 2 183 2
8 2 124 3
5 2 66=
+−
++
+
a) 8 b) 4 c) 0d) 3 e) 5
14. Indicar el denominador racionalizado de:
3 5 810
+ +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Racionalizar: E2 3 5
12 30=+ +
+
y reducir la expresión.
a) 2 3 3 2+ b) 3 3 2 2+ c) 2 5 3+
d) 3 5+ e) 2 30
Capítulo
108
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 3
7 –2 A – 7 +2
7 +2 B – 7 –2
– 7 +2 C 7 +2
– 7 –2 D 7 –2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
• El factor racionalizante de: 73 es 493 ................................................. ( )
• El factor racionalizante de 27 es 3 .................................................... ( )
• El factor racionalizante de 8 1+ es 8 1− ............................................... ( )
• El factor racionalizante de 13 − es 13 + ............................................... ( )
3. Dar la expresión racionalizada de: F3
9=
4. Racionalizar el denominador de: B255
4=
5. Indicar el denominador racionalizado de:
..J
m nm n4 85
=
6. Racionalizar: .2 3
125 79
7. Racionalizar el denominador de: G5 24=−
8. Racionalizar el denominador de: H27 572=
−
9. Racionalizar el denominador de: M8 2 7
6=+
10. Racionalizar el denominador de:H
10 2 211=
−
11. Racionalizar el denominador de: F3 618 12=
++
12. Efectuar luego de racionalizar cada fracción:
5 21
7 61
6 51
−+
++
+
13. Calcular: 7 2
52 11
7 16
++
+−
−
14. Reducir:
3 11
5 31
7 51
9 71
++
++
++
+
15. Indicar el denominador racionalizado de:
2 3 51
+ +
Tú puedes
1. La expresión racionalizada de:
x x x2 5 2 5 612+ + + +
equivale a:
a) x x3 2+ + + b) x x3 2+ +−
c) x x3 2+ + − d) x x3 2+ +−e) 1
2. Efectuar: C5 110 3 5
1 2=
++ +
-^c h m
a) 1 b) 2 c) 32d) 4 e) 5
3. Si se cumple: a b3 7
26 2 7−− = + ; ("a", "b"
enteros positivos). Hallar a2–b
a) 9 b) 15 c) 29d) 2 e) 18
4. Después de reducir:
5 6 10 151
61 4 15
++
− −− −
obtenemos:
a) 6 10 15+ + b) 3 5 2+ +
c) 2 1+ d) 1
e) 15 −
5. Hallar el valor de "x" en la siguiente igualdad:
( )256 8 54x6 9 6+ =
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6d) 2 e) 1/5
21
109www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
teoría de ecuacioNes
En este capítulo aprenderemos
Teoría de ecuaciones
. Concepto de igualdad y ecuación.
. Clasificación de las ecuaciones.
– Por su estructura. – Por el número de soluciones.
. Teoremas de resolución:
– Resolución por despeje. – Ecuaciones literales.
22
Lectura: iguaLdad y equiLibrio
"El concepto de igualdad aparece desde tiempos romanos de la humanidad y la asociamos con la imagen de una balanza equilibrada, la cual nos indica una equivalencia de cantidades, si hay un desequilibrio buscaremos un peso adecuado para obtener el equilibrio, dicho peso nos da la idea de la incógnita en un ecuación.
Capítulo
110
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Igualdad
Teoría de ecuaciones
Ecuación
Resolución por despeje
Ecuaciones literales
Teoremas de resoluciónSolución Clasificación
Definición
Por su estructura
Por el número de soluciones
22
Álgebra
111www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
• 5+2–4 =
• –3+7=
2. Reducir:
• x+5x–8x=
• 2m+4m+7m–9m=
3. Efectuar:
• 4(x–2)=
• 3(x–1)+3=
4. Desarrollar: (x+5)2–x(x+2)=
5. Factorizar:
• mx+nx=
• mx–3x=
Aplica lo comprendido
1. Clasifica a las siguientes ecuaciones de acuerdo
al número de sus soluciones:
I. 2x+5=2x+5
II. 3x+7=3(x+2)
III. 2x+1=15
2. Si x=5 es solución de:
3(x–2)+n=2x
Hallar "n"
3. Hallar "x" en la ecuación: x
x1
3 2+
=
4. Hallar "x" en la ecuación: x 2 5− =
5. Despejar "x" en la ecuación: x–2b=a
Capítulo
112
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Hallar "x" de la ecuación: 3x+1=13
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
2. Hallar "x" en la ecuación: 5(x–2)+3(x+4)=66a) 4 b) 6 c) 8d) 40 e) 12
3. Hallar x" en la ecuación: ( ) 4x10
4 3− =
a) 5 b) 13 c) 9d) 12 e) 8
4. A partir de la ecuación: 5(x+2)=2(x+5)+3xSe puede afirmar que:
a) Presenta solución únicab) Presenta infinitas solucionesc) Es incompatibled) Su solución es 5
e) No presenta solución
5. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: x(x–7)=5(x–7)a) 5 b) {5} c) {7}d) {5;7} e) 5;7
6. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: (5x+3)(x–2)=8(x–2)a) {2} b) {1; 2} c) {2; 3}d) {–2; 3} e) {2; 9}
7. Hallar el conjunto solución de la ecuación:
3xx
112
−− =
a) {1} b) {2} c) { }d) {3} e) {4}
8. A partir de la ecuación: xx x
45
8 205
8+−
= +−
Se puede afirmar que: a) Presenta solución únicab) Presenta infinitas solucionesc) Es incompatibled) Su conjunto solución es vacíoe) c y d
9. Hallar "x" en la ecuación: x3
2 1− =
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 11
10. Despejar "x" de la ecuación: x+b=a
a) ab b) a+b c) a.bd) –(b–a) e) 0
11. Hallar "x" en la ecuación: ( 0)ax a a2
1 !− =
a) a
a1+
b) a
a 1+ c) a
a2 1−
d) a
a2 1+ e) a
a3 1+
12. Hallar "x" en la ecuación: ax–3=bx+a (a!b)
a) aa b
3−+ b)
a ba 3−+ c)
a ba 3+−
d) 1 e) a ba 3
−−
13. Halla "x" en la ecuación: ax–5b=2a+bx
a) a ba b5
++ b)
a ba b2−+ c)
a bb a5−+
d) a ba b2 5−+ e)
a ba b3−+
14. Hallar "x" en: 1x x x12+ + = +
a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2
15. Halle el conjunto solución de:
xx x
xx
24
39 11
2 2
+− + =
−− −
a) {–2} b) {–6} c) {–2;–6}d) {–8} e) {–8;6}
22
Álgebra
113www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Hallar "x" en la ecuación: 2x+3=11
2. Hallar el conjunto solución de: 7(x–2)=35
3. Hallar "x" en la ecuación: ( ) 3x9
2− =
4. La ecuación: 4(x+2)=3(x+1)+x+5de acuerdo al número de soluciones se clasifica como:
5. Si: x=3 es solución de: 4(x–2)+n=9Hallar: "n"
6. Halle el conjunto solución en la ecuación: x(x–4)=5(x–4)
7. Halle el conjunto solución de:(x+4)(x–1)=7(x–1)
8. Halle el conjunto solución de la ecuación:
4xx
242
+− =
9. La ecuación: 8xx – 5
4 40x – 5
4+ += , se clasifica como:
10. Hallar "x" en la ecuación: x 1 4+ =
11. Despejar "x" de la ecuación: x–m=a
12. Hallar "x" en la ecuación: m
mx 1 3− =
13. Hallar "x" en la ecuación: ax+b=cx+d
14. Resolver la siguiente ecuación: x2
5 2+ =
15. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: x x x
52
41
33+ − + = −
Tú puedes
1. Si el C.S de la ecuación:( ) ; :x x x es
nn
32 1
51
103 1+ − − = + +$ .
Hallar el valor de: n2–3
a) 0 b) 6 c) 22
d) 13 e) 46
2. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtiene infinitos valores para "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b"
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
3. Hallar "x" en: ;x a ax a a a
5 65 6 4 0>
+ −+ + =
a) a1546 b) a
1547 c) a
1548
d) a1549 e) a
1550
4. Halle el cardinal del siguiente conjunto:A={x∈R/x–5+ x 9− =2+ x 9− }
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Hallar "x", en: 2n
x mm
x nmn
m n2 2+ − + = + − ; mn≠0a) m+n b) –2n c) m–nd) n–m e) –2m
Capítulo
114
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
23
ecuacioNes de 1er grado i
Lectura: curiosidades matemáticas
El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del
abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie"
de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo
y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores
se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía
emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que
era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió
la x porque en francés esa letra se utiliza poco.
FUENTE: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/curiosidades.htm
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones de 1er grado
. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
. Ecuaciones reducibles a primer grado.
. Ecuación de la forma: Ax+b; compatible determinada, compa-tible indeterminada e incompatible.
Álgebra
115www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Resolución
Ecuaciones reducibles a primer grado
Análisis de la ecuación: Ax+B=0
Ecuaciones de primer grado I
Capítulo
116
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
23Saberes previos
1. Simplifica las siguientes expresiones
• –3x+4x–5x+6x–6x–7x
• x2+2x2+4x2–3x2+5x2
• x2+3x+3x2–5x+6x2
=____________
=____________
=____________
2. Multiplica los binomios
• (x–2)(x+2)
• (3+x)(3–x)
• (x+4)(x–4)
=________________________
=________________________
=________________________
3. Multiplica los binomios
• (x+1)(x–2)
• (x–7)(x–8)
=________________________
=________________________
• (x+9)(x–1) =________________________
4. Desarrolla los binomios al cuadrado
• (x+3)2
• (x–4)2
• (2x–3)2
=____________________________
=____________________________
=____________________________
5. Factorizar:
• ax + 3x = ______________________
• mx – nx = ______________________
• ax + bx – 3x = ______________________
Aplica lo comprendido
A. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones
1. 5(x+3)+2(x−1)=7(x+2)−x
2. (x+3)2+(x−3)2=2x(x+3)−3
3. (3x+1)(x–2)=3x2–12
B. Si la ecuación de incógnita "x":(a–4)x=b+3presenta infinitas soluciones; indicar el valor que adopta"ab".
C. Sea la ecuación: x3m–2+7m=10si la incógnita "x" es de primer grado, hallar el conjunto solución.
Álgebra
117www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 3(x+1)–2(x+3)=5–xa) {8} b) {4} c) {2}d) {–1} e) {5}
2. Calcular el valor de "x", en la ecuación:4(x–2)+3(x+7)=9+3(x+7)a) 17/4 b) 13/4 c) 11/4d) 19/4 e) 7/4
3. Hallar "x" en la ecuación: (x–3)(x+2)–(x+5)(x–1)=3xa) 2 b) 1/8 c) –3d) –1/8 e) 0
4. Hallar "x" en la ecuación:(x–3)(x2+3x+9)–x(x2–4)=1a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
5. Determinar el valor de la incógnita en:(x+3)2+x+(x+4)2=2(x+5)2
a) 9 b) 10 c) 11d) –9 e) –5
6. Hallar "x": (x+2)3=(x+1)3+3x2+7x–5a) 3 b) 4 c) –3d) –4 e) –6
7. Si 6 es solución de: 5(x+m)+2(x–3m)=1Indicar el valor que adopta "m"a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44
8. Si 9 es raíz de: 5(x+n)–2(x–3n)=x–4, hallar "n".a) –5 b) –1 c) –2d) –3 e) –4
9. Si la ecuación de incógnita "x": 5–2(xn+3–n+2)=7, es de primer grado. Determinar: x+na) –4 b) –6 c) –7d) –8 e) –9
10. Hallar "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–15)x+(6m–3n)=0, presenta infinitas solucionesa) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 48
11. Obtener "ab+ba", si la ecuación de incógnita "x": ax+3=2bx+3b, es compatible indeterminada.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12. Si la ecuación en "x": (m–5)x = 1, es incompatible. Hallar m2
a) 0 b) 1 c) 5d) 25 e) 5
13. Si la ecuación en "x": ax+5=5(x+4)+x, es absurda. Hallar "a".a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
14. Que valor no debe tomar "m" para que la ecuación en x: mx–1=3x+5, presente solución única.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. La ecuación: (aa)x+256=27x+bb
es indeterminada: calcular el valor de "ab".
a) 1 b) 4 c) 12d) 0 e) 9
Capítulo
118
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
231. Hallar el conjunto de la siguiente ecuación:
5(x–2)–3(x+1)=5–x
2. Calcular el valor de "x" en la ecuación:3(x–2)+2(x–3)=7(a–4)
3. Hallar el valor de "x" en la ecuación:(x+5)(x–1)–(x–3)(x–2)=88
4. Indicar el valor de la incógnita al resolver la ecuación: (x+5)(x2–5x+25)–x(x+3)(x–3)=1
5. Determinar el valor de la incógnita en:(x–8)2+(x–2)2=2(x–4)2
6. Hallar el valor de "x" en: (x–2)3+3x2=(x–1)2+2
7. Si: 53 es solución de la ecuación:
7(x+n)+3(x+2n)=5indicar el valor que adopta "n".
8. Si: 4–1 es raíz de la ecuación: (x+2n)2–(x–2n)2=1entonces el valor de "n" es:
9. Si la ecuación de incógnita "x":9–4(xm+5+m–7)=1es de primer grado, determinar el valor de "x+m".
10. Hallar el valor de "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–4)x+(3m–2n)=0es indeterminada.
11. Obtener el valor de "ab", si la ecuación de incógnita "x": ax+8=b(3x+2)presenta infinitas soluciones.
12. Si la ecuación en "x": (49n–9)x=2012es absurda, hallar el valor de: n
13. Si la ecuación en "x": mx–4=3(x–2)–xes inconsistente, hallar el valor de "m"
14. Si la ecuación: bx–4=7–2x es incompatibleIndicar el valor que adopta "b".
15. La ecuación: nn–(mm)x=3125–4xpresenta infinitas soluciones, calcular el valor de: J n m2= +
Tú puedes
1. Determinar el valor de la incógnita "x" en:
(x+2a)(x2–2ax+4a2)+(2 2 ax)2=(x2+a)
(x+8a2); (a!0)
a) 2 2 b) 1 c) 2
d) –2 a) 0
2. Calcular "x" en la ecuación:(x+3)(x+1)(x−2)(x−4)=(x−5)(x+4)(x+2)(x−3)+12(x−5)(x+4)+6x
a) 4 b) 8 c) 20d) 24 e) 30
3. Calcular el valor de "x" en la ecuación:( )
bx
ab x
ba a x
2+ + = −
a) a+b b) ab c) a−bd) a2b2 e) (a+b)2
4. Resolver para "x"
(b+c)2=b c
b c3 3
−− + ( )
xbc b c+ ; bc!0
Indique: "x−c"
a) a b) b c) c
d) a+b e) a
b c−
5. Resolver la ecuación de primer grado definida para "x":(x+a)3−(x+b)2+1=(x−a)3+(x−b)2+29a3+2(x+b2)
a) −2 b) 22 c) −2b2
d) 22+b2 e) −4b2
Practica en casa
119www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
ecuacioNes de 1er grado ii
Lectura: dioFaNto
Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC.
Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado
"La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando
ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del
Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas"
Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años
que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el
primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso
niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo
que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
¿Podrías resolver el problema y encontrar cuántos años vivió Diofanto?
FUENTE: http://juntadeandalucia.es
En este capítulo aprenderemos
Ecuaciones de 1er grado II
. Resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios.
. Resolver ecuaciones fraccionarias que se transforman en ecua-ciones de primer grado. (con restricciones)
. Plantear y resolver ecuaciones de 1er grado.
24
Capítulo
120
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Con coeficientes fraccionarios y/o
irracionales
Fraccionarias reducibles a 1er. grado
Planteo de ecuaciones de 1er. grado
Ecuaciones de primer grado II
24
Álgebra
121www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
• 4 (x–3) – 3 (x–5) =
• 8(m–n) + 5 (2m+n) =
2. Calcular:
• mcm (2; 3; 5; 7) =
• mcm (2; 6; 12; 9) =
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
• xx
21
−− está definida; para x=2 ......... ( )
• xx
33
−+ no está definida para x=3 ..... ( )
4. Simplifica las siguientes fracciones:
• x
x3
3−−
• a b
a b4
4− −− +
5. Efectúa las siguientes operaciones:
• 2 5 3 5 125+ − =
• 8 2+
Aplica lo comprendido
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. x x32
51
2 101+ = −
2. x3 1 2 6− = +
3. x x3
17
1−
=−
4. xx x
53
1 153
1+−
= +−
5. Representar a través de una expresión algebraica los siguientes enunciados:• El exceso de A sobre B.• A es excedido por B.
Capítulo
122
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1. Hallar el conjunto solución de:x x x2
32
153 15− = − −
a) {–11} b) {–10} c) {–12}d) {–13} e) {–14}
2. Hallar el conjunto solución de:x x32
101
52− = +
a) 32−$ . b)
23−$ . c)
21−$ .
d) 34−$ . e)
41−$ .
3. Hallar el conjunto solución de:( ) ( )x x x
45 2
34 1
122− − + = −
a) {0} b) {–1} c) {1}
d) { } e) {2}
4. Hallar el conjunto solución de la ecuación:( ) ( )x x5 5 3 3+ = +
a) { 5 3+ } b) { 5 3− }
c) { 5 2 3− } d) { 5 3− − }
e) { 5 3+− }
5. Hallar "x" en: x x3
22
362− − − =
a) 3 2+ b) 3 2− c) 2 3−
d) 2 3− − e) 1
6. Hallar "x" en: 4 2x x2
12
3−
+ =−
+
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7. Hallar "x" en: xx x
x23 7
21 8
++ + =
++
a) –3 b) 1 c) 2d) 5 e) 4
8. Hallar "x" en: x
xx1
2 21
3−
− =+
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
9. Hallar "x" en: x x21
41
101
51+ − =
a) –8 b) –6 c) –4/5d) –2 e) 0
10. Hallar "x" en: ( ) ( )( ) ( )
m m n n n mm x n n x m 1
+ + −+ − − =
a) m b) n c) m+nd) m–n e) mn
11. La suma de tres números consecutivos es 12. Indicar el número mayor.
a) 3 b) 7 c) 5d) 9 e) 10
12. La tercera parte de la edad que tendré dentro de 12 años será igual a 15 años, ¿qué edad tengo?
a) 31 b) 33 c) 34d) 35 e) 40
13. El exceso de un número sobre 30 equivale al exceso de 45 sobre la mitad del número en mención. Hallar dicho número.
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
14. Si el cuadrado de un número N se agrega 11 se obtiene el cuadrado del consecutivo de N. Indicar la quinta parte del valor que adopta N.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Ana le pregunta a Claudia la hora y ella le responde: "Son las cinco séptimas horas de lo que falta para terminar el día", ¿qué hora es?
a) 2 horas b) 4 horas c) 10 horasd) 12 horas e) 14 horas
24Aprende más
Álgebra
123www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Hallar el conjunto solución de: x x75 8
53 4− = +
2. Hallar el conjunto solución de: x x94
31
52 4− = +
3. Resolver: ( ) ( )x x x4
3 13
2 36
3− − + = −
4. Resolver: ( )x x2 2 1 3 1+ = +
5. Al resolver la ecuación: xx
11
23
−+ =
se obtiene el conjunto solución {a+ b }, hallar "a+b"
6. Resolver: x x7
1 97
7 3−
+ =−
+
7. Hallar "x" en: 10xx x
x12 5 2
13
++ + =
++
8. Hallar "x" en: 3x
xx2
32
7−
− =+
9. Hallar "x" en: x x31
61
151
51+ − =
10. Hallar "x" en: q
x pp
x q1 1+ − = − +
11. La mitad de la edad que tendrá Cecilia dentro de 13 años será igual a su edad actual disminuido en 7 años. ¿Cuál es la edad de Cecilia?
12. La mitad de la edad de Valentina excede a su sexta parte en 10 años. Indicar la edad de Valentina hace 5 años.
13. Hallar un número de tal manera que su quíntuplo aumentado en tres equivale a 28.
14. Un número es tal que sus dos quintas partes equivalen al cuadrado de diez. Hallar la mitad de dicho número.
15. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora el nivel del agua disminuye en la mitad más un metro, determinar la cantidad de agua al inicio.
Tú puedes
1. Si la ecuación lineal:3(a−3)−ax2(xn)=2(b+2n)+5xn+2
definida en "x", admite infinitas soluciones.Hallar el valor de "2a−b−n"
a) 10 b) −1 c) 5d) 1 e) −6
2. Resolver: ( ) ( )x x x x52
35 4
33
32 2− + = − − +8 B
a) 2 b) −1 c) 5d) 4 e) 7
3. En la ecuación en "x"n2(x−1)+x(10−7n)=14−9nDetermine el valor de "n" para que dicha ecuación sea compatible indeterminada
a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 7
4. Hallar el valor de "m" de tal manera que la ecuación en "x": m3x−2b+3xm2=7−x(1+3m); sea incompatible
a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) −1
5. Don ramón cría cuyes en una granja. Él ha observado que si coloca 5 cuyes en una jaula, le sobra 4 cuyes; pero si coloca 7 cuyes en cada jaula, le sobran 2 jaulas. ¿Cuántas jaulas tiene
Don Ramón?
a) 9 b) 7 c) 5d) 3 e) 1
Capítulo
124
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
repaso iii
En este capítulo recordaremos
Repaso III
. La identidad notable como la diferencia de cuadrados (a2−b2) y
el trinomio cuadrado perfecto. (identificación, aplicación para
factorizar)
. Identificaremos que el polinomio se trata de una suma o dife-rencia de cubos (a3±b3).
. Reforzaremos el Método de Ruffini para factorizar polinomios de la forma: ax3+bx2+cx+d
Lectura: códigos aLgebraicos
Cuenta la historia que a mediados de siglo XVI los estados
españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que
sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban
una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes
de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500
caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente
intersectados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas
a Vieta las descifró son mayores problemas. Esto desconcertó a
los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había
descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un
matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones
matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra
nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para
las matemáticas al efectuar cálculos con letras en lugar de con
números y aplicar la factorización.
FUENTE: http://neetescuela.com
25
Álgebra
125www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
Aplica lo comprendido
1. Factorizar las siguientes expresiones:
a) x2−4
b) 4x2−1
c) 25x2−36
d) 49x2−81y2
=________________________
=________________________
=________________________
=________________________
2. Factorizar los siguientes trinomios
a) x2+2x+1
b) x2−4x+4
c) 9x2−6x+1
d) 25x2−40x+16
=______________________
=______________________
=______________________
=______________________
3. Factorizar los siguientes polinomios:
a) R(x)=x2+11x+28
b) Q(x)=x2−8x+15
c) Z(x)=2x2−5x+2
d) S(x)=6x2−5x−6
=___________________
=___________________
=___________________
=___________________
4. Factorizar:
a) x3+125
b) a3−343
c) p6−n3
d) 8x3+27y3
=______________________
=______________________
=______________________
=______________________
5. Factorizar los siguientes polinomios:a) R(x)=x3−x
______________________________________
b) Q(x)=3x3−45x−6x2
______________________________________
c) T(x)=5x5+40x2
______________________________________
d) M(a;b)=2a4b−4a3b2+2a2b3
______________________________________
1. Factorizar, indicar la suma de factores primos:
F(x)=x3+2x−5x−6
2. Factorizar, indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos.
G(x)=x3+3x2−4x−12
3. Si una de las raíces del polinomio:Q(x)=3x3−4x2−17x+6, es 3.Indicar la suma de coeficientes de uno de los otros factores primos.
4. Si el polinomio: R(x)=2x3+3x2−11x−6Se anula para x=−3Indicar otro de sus factores primos
5. El polinomio P(x)=x2(x−5)−2(x−12), tiene un factor primo igual a (x+2).
Determine la suma de los otros factores primos.
Capítulo
126
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Factorizar: P(x;y)=4x2y10−9x10y2
e indicar la suma de coeficientes de un factor primo.
a) 5 b) −5 c) −3d) 0 e) 13
2. Luego de factorizar: P(x)=16x4y8−81x8y4
Indique el número de factores primos
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Indicar un factor primo de:P(x;y)=x2−4x+4−y2+6y−9
a) (x+y) b) (x−y+1) c) (x+y+5)d) (x−y−5) e) (x−y)
4. Luego de factorizar:P(x;y)=4x2+4x+1−9y2−6y−1Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.
a) (4x+9y+2) b) (2x+3y+2)c) (4x+3y+2) d) (4x+9y)e) (4x+9y+5)
5. Factorizar: P(x)=x4+36−13x2; e indicar la suma de sus factores primos.
a) 2x2−13 b) 2x+10 c) 4xd) 0 e) −10
6. Luego de factorizar: P(x;y)=x4−10x2y2+9y4
Indicar un factor primo
a) x2−y2 b) 3x−y c) x−9yd) x−y e) x−2y
7. Factorizar: P(m;n)=m3−n3+mn(m−n)
a) (m+n)(m−n)2 b) (m−n)(m+n)2
c) (m−n)2(m−2n) d) m3(m−n)3
e) (m+n)3(m−n)3
8. Factorizar: P(x;y)=x6y3+27a) (x2y)(xy+3)b) (xy2−3)(x2y4+3xy2+9)c) (x2y+3)(x4y2−3x2y+9)d) (x2y+3)3
e) (xy3+9)3
9. Factorizar: P(x;y)=(x3+64)y3−8(x3+64)
a) (x+4)(x2−4x+16)(y−2)(y2+2y+4)b) (x+4)(x2+4x+16)(y−2)(y2−2y+4)c) (x+4)(x−4)3(y−2)(y+4)3
d) (x+4)(x−4)2(y−2)(y+4)2
e) (x+4)(x−4)(x+y)3
10. Factorizar: P(a;b)=(a−2b)3+(a+2b)3
a) a(a2+12b2) b) 2a(a2+12b2)c) 3a(a2+12b2) d) 4a(a2+12b2)e) 5a(a2+12b2)
11. Factorizar: P(x)=x3−8x2−5x+84
a) (x−3)(x+7)(x+4) b) (x+4)(x−7)(x+3)c) (x+7)(x+3)(x−4) d) (x−7)(x+3)(x−4)e) (x+3)(x−5)(x−4)
12. Factorizar: P(x)=x3−39x−70; e indicar la suma de coeficientes de un factor primo.
a) 4 b) 8 c) −1d) −6 e) −2
13. Factorizar: P(x)=x3−7x2−14x+120; e indicar la suma de sus factores primos.
a) 3x−7 b) 3x−14 c) 3x−15d) 3x−5 e) 3x−10
14. Factorizar: F(x)=x3−2x2−5x+6La suma de factores primos lineales es:
a) 3x+2 b) 3x−2 c) 2x−1d) 3x+4 e) 3x+5
15. Factorizar: F(x)=x3−5x2−2x+24; la suma de los términos independientes de sus factores primo es:
a) −11 b) −10 c) −5d) 11 e) 2
16. Factorizar: F(x)=2x3+7x2+7x+2Indicar uno de sus factores lineales.
a) x+3 b) x−1 c) 2x+1d) 2x−1 e) x−2
17. Factorizar: P(x)=2x3−5x2+x+2; indicar la suma de términos constantes de los factores primos.
a) 0 b) 1 c) 2d) −2 e) −1
18. Factorizar: F(x)=2x3+5x2−7x+2. Indicar el número de factores primos lineales.
a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5
19. Factorizar: F(x)=2x3+x2+5x−3. Señale un factor primo.
a) 2x+1 b) 2x+3 c) 2x−1d) 2x−3 e) x+3
20. Factorizar: P(x)=3x3+(2x+1)2, la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es:
a) −4 b) −3 c) −2 d) 3 e) 2
25
Álgebra
127www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Factorizar: P(x;y)=49x10y2−25x2y10
2. Factorizar: P(x;y)=x2−2x+1−y2+2y−1
3. Factorizar: P(x;y)=x5y−xy5
4. Factorizar: P(x)=x4−20x2+64
5. Factorizar: P(x;y)=x2+3x−2xy+y2−3y
6. Factorizar: P(x;y)=x6y2+8x3y2
7. Factorizar: P(x;y)=x9y6−125
8. Factorizar: P(a;b)=a3+b3−ab(a+b)
9. Factorizar: P(a;b)=(a3−8)b3+27(a3−8)
10. Factorizar: P(x;y)=x6+7x3−8
11. Factorizar: P(x)=x3−6x2+11x−6
12. Factorizar: P(x)=x3−2x2−33x+90
13. Factorizar: P(x)=2x3+x2−11x−10
14. Factorizar: P(x)=6x3+25x2−24x+5
15. Factorizar: P(x)=12x3−8x2−13x−3
Tú puedes
1. Factorice el polinomio:
P(a;b)=ca3+a2bc+ab2c+b3c
y del valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Posee 3 factores primos.
II. P(a;b) posee un factor primo lineal.
III. La suma de los factores primos es: a2+b2+a+b+c.
a) VFF b) FVV c) FFFd) FVF e) FFV
2. Factorizar: P(a;b)=a5b−b3a3
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
I. Tiene un factor primo lineal.
II. "ab" es un factor de P(a;b).
III. Tiene un factor primo cuadrático.
a) VFV b) FVF c) VVVd) VFF e) FVF
3. ¿Cuántos factores irreductibles en Q, presenta el
polinomio?
P(x)=1+x+x2+x3
a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4
4. Factorice el polinomio Q, dar como respuesta la suma de sus términos independientes.
R(x)=(x2+x+10)(x2+x−4)+45
a) 1 b) 7 c) −1d) 4 e) 6
5. Factorizar: Z(n)=n5+2n+1+n3+n2
Luego, indique el número de factores primos
obtenidos.
a) 2 b) 1 c) 5d) 3 e) 7
Capítulo
128
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
sistemas de ecuacioNes i
Lectura: sistemas de ecuacioNes babiLóNicos
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los
babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales
como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación
con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla
babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los
siguientes términos:
1/4 anchura + longitud=7 manos
longitud + anchura=10 manos.
Fuente: http://www.tallerhorus.com/paginas/
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones I
. Resolver un sistema de ecuaciones por:
– Igualación
– Sustitución
– Eliminación o reducción . Sistemas con coeficientes literales
. Sistemas con coeficientes fraccionarios
26
Álgebra
129www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Sistemas de Ecuaciones I
Sistemas Lineales
Ejercicios
Capítulo
130
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
Aplica lo comprendido
Aprende más
1. Cuál de los siguientes sistemas
I) 2 7 ........ ( )......... ( )
x y Ix y II1+ =− =
)
II) ........ ( )........ ( )
x y Ix y II3 7
2 7+ =− =
)
tienen como conjunto solución al par ordenado (3; 2)
2. Calcular: "m+n" si el conjunto solución del sistema
7 .......... ( ).......... ( )
mx ny Imx ny II2 4
+ =− =
)
es el par ordenado (2; 1)
3. Resolver el sistema por igualación2 3 ......... ( )
......... ( )x y Ix y II3 13+ =− =
)
4. Resolver por sustitución el siguiente sistema.......... ( ).......... ( )
x y Ix y II
103 2
− =+ =
)
5. Resolver por reducción el siguiente sistema:
.......... ( ).......... ( )
x y Ix y II
3 75 2 9– –− =+ =
)
1. De los siguientes sistemas:
I) x yx y2 12
6–+ ==
) II) x yx y
3 2 192 3 16
+ =+ =
)
III) x yx y
5 234 2 24
– =+ =
)
¿Cuáles tienen como conjunto solución al par ordenado (5; 2)?
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) II y III
2. Calcular "a+b", si el par ordenado (3; –2) es solución del sistema:
13ax byax by2 50+ =− =
)
a) 6 b) 10 c) 11d) 15 e) 19
3. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números.
a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42d) 68 y 52 e) 82 y 46
4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema:
x y
x y5
9
37
= −
= −
Z
[
\
]]
]
Indicar el valor de "xy"
a) –1 b) 2 c) 4d) –9 e) 5
1. Despejar "x" en función de "y" de una de las siguientes ecuaciones:a) 2x=yb) x – 5=y+3c) 2x+3y=–1
2. Despejar "y" en función de "x" de cada una de las siguientes ecuaciones:a) –7y=xb) –2x – y=25
c) x y y3
7 2− =
3. Representar en forma canónica los siguientes sistemas:
a) 2( ) 3( )x y x yx y7 11 2 21+ = −+ = +
) b) 11x y
x y3
21
31
− =
− = +
Z
[
\
]]
]
4. Si: x=1 – ySustituir en la expresión: E=2x – 3yDetermine la expresión simplificada en términos de "y".
5. Si: 2a+3b=1Sustituir en: R=4a+5bDe modo que R esté en términos de "a".
26
Álgebra
131www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
5. Resolver, aplicando el método de igualación en:
x y
x y5
7 23
2 3 11
= +
= +*
Indicar el valor de "x – y"
a) –2 b) 1 c) 0d) –9 e) –1
6. Resolver por igualación:
x y
y x3
2 5
2 4 10
–
–
=
=*
Indique el valor de "x/y"
a) 2 b) 3/2 c) 1/2d) 3/5 e) 15
7. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos?
a) S/.18 b) S/.24 c) S/.17d) S/.15 e) S/.19
8. Resolver por el método de sustitución el sistema:8 3 7 ........ ( )
........ ( )x y Ix y II4 3+ =+ =
)
Indicar: (x.y)
a) 1/2 b) 1/3 c) 1d) 2 e) 8
9. Resolver el sistema por sustitución
3 5 4 .......... ( )7 3 24 .......... ( )x y Ix y II+ =− =
)
Hallar: (x.y)
a) 1 b) 2 c) –3d) –2 e) 8
10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:3( ) 2 2( 7) 5 ............. ( )
( ) ( ) ............. ( )x y y x Ix y x y II5 1 3 4 2− + = + −+ − = + +
)
Hallar: "xy"
a) 4 b) 1/4 c) 8d) 1/8 e) 1/2
11. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm, ¿cuánto vale el lado desigual?
a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm
12. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años, si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿cuál es la edad del mayor?
a) 18 años b) 20 años c) 21 añosd) 22 años e) 25 años
13. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?
a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108d) 223 y 107 e) 224 y 106
14. Al resolver el sistema:
7x y x yx y x y
3 5 9 3 5 43 5 9 3 5 4 1
+ − + − + =+ − − − + =
)
Calcular: x+y
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
15. Resolver el sistema:( 3) ( 4) 18( ) ( )x y xyx y xy5 6 16− + − =− + − =
)
indicar: xy
a) 18 b) –15 c) –18d) 10 e) –12
Capítulo
132
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Cuáles de los sistemas:
I) x yx y
4 2 145 3 23
+ =− =
) II) x yx y
5 193 7
+ =+ =
)
III) 3x yx y4 5 11+ =+ =
)
tienen como conjunto al par ordenado (4; –1)
2. Calcular "a×b", si el par ordenado (–2; 5) es solución del sistema:3 46ax byax by 2
+ =− =
)
3. La suma de dos números es 116 y su diferencia es 42. Hallar dichos números.
4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema:
x y
x y3
7
59
= +
= −
Z
[
\
]]
]
Indicar el valor de "xy"
5. Resolver aplicando el método de igualación
x y
x y7
5 17
3 2 7
= +
= +*
Indicar el valor de "x – y".
6. Resolver por igualación:
x y
y x3
5 1
5 4 2
= −
= −*
Indique el valor de "xy – yx"
7. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles, mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130 soles, ¿cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?
8. Resolver por sustitución el siguiente sistema7 5 11 ........ ( )
........ ( )x y Ix y II3 7+ =+ =
)
Hallar: "yx"
9. Resolver el sistema por sustitución5 7 18 ........ ( )
........ ( )x y Ix y II3 5 20+ =− =
)
Hallar: "xy"
10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:
4( ) 3 3( 5) 13 .......... ( )( ) ( ) .......... ( )x y y x Ix y x y II6 7 4 3 3− + = + −+ − = + +
)
Hallar: "xy"
11. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm, si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de uno de los lados congruentes en 10 cm. Determinar la longitud del lado desigual.
12. La edad de dos hermanos suman 45 años, si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos.
13. Una familia de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/.7 y un niño S/.3. Si el papá invirtió S/.43 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia?
14. Resolver el sistema:31
x y x yx y x y
4 5 13 3 4 44 5 13 3 4 4
+ − + − − =+ − − − − =
)
Calcular: x+y
15. Determinar el valor de "xy", sabiendo que:( 2) ( 3) 14 ........ ( )( ) ( ) ........ ( )
x y y x Iy x x y II6 9 54
− − − =−− − + =
)
26
Álgebra
133www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Tú puedes
1. Hallar los valores de "a" y "b", si los sistemas:2 5ax y
bx y3 10+ =+ =
) 2 7x ayx by3 8+ =+ =
)
son equivalentes, indicar "a×b"
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8
2. Para el sistema definido en "x" e "y":3 2 5x a y by a x b3 5 2= + += − −
) ; {a; b} ⊂ R
Hallar: x y2+
a) a – b b) a+b c) 2a+bd) a e) b
3. Luego de resolver el sistema definido en "x" e "y".
( )( )
a x y x yy x a x y
2 3 32 33 2 8 3+ + + = +− + + = +
)
Indicar el valor de "x"
a) 1 b) 2 +1 c) 3 – 1d) 3 e) 2
4. Encontrar "x" del sistema:
y
xx
x1
1 1=
−
+ .................(1)
a
yy
y1
1 1=
−
+ .................(2)
a) a b) a1 c)
a 11+
d) a1
1−
e) –a
5. Resolver:
x y x y2 3 11
2 13
45
+ −+
− +=
x y x y2 3 14
2 17
41
+ −−
− +=
Hallar: 3x+y
a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Capítulo
134
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
sistemas de ecuacioNes ii
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones II
. La definición de sistemas de ecuaciones.
. Clasificación de los sistemas:
– Compatibles (determinadas e indeterminadas) – Incompatibles.
. Resolución de sistemas lineales
Lectura: tres pLaNos y uN puNto
El sistema de ecuaciones está orientado a servir como una introducción operativa, y muy concreta, a los principios, conceptos y métodos básicos e importantes del Álgebra Lineal en general, así como a sus aplicaciones más elementales y directas que permiten estudiar una amplia gama de temas que, en términos matemáticos, pueden modelarse en torno a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dado esto, los conceptos y métodos de este curso son de extrema importancia en la formación de científicos e ingenieros a nivel universitario, su rango de aplicación es muy grande: comprende desde la investigación científica básica hasta la creación de tecnologías nuevas.
Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen una solución (1 caso).
Tres planos que se cortan en un punto
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/YgAY7rFZCl
27
Álgebra
135www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Sistemas de Ecuaciones II
Definición
Solución
Sistemas Equivalentes
Clasificación
Sistema Lineal
Capítulo
136
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
Aprende más
3. Cuál de las ecuaciones se verifica para x=2 ∧ y=–2a) 5x – y=8b) x+y=0
4. Despeje "x" de cada ecuación:a) 3x – y=0b) x – y+5=0
5. Si x=–5 ∧ y=2 verifican la ecuación:x – 5+2y+7=n. Hallar "n"
Aplica lo comprendido
1. Resolver las siguiente ecuación: x2
1 7+ =
2. Seleccione las ecuaciones lineales en:a) 5x+y2=1
b) 7x=3y
1. Expresar el sistema en forma canónica:– 7 2 3 ........ ( )
........ ( )x y Ix y x y II3 1 2 9–
= ++ = + +
)
2. El conjunto solución {(3; 1)} corresponde a:
I) x yx y
39–
–+ =
=) II) x y
x y42–
+ ==
)
3. Para que el sistema: ...... ( )...... ( )
ax y Ibx y II
75
+ =+ =
)
tenga solución única. ¿Cuál es la relación de "a" y b"?
4. Hallar "m" para que el sistema:( ) ...... ( )
...... ( )mx m y Ix y II
2 53 4 3
+ + =+ =
)
sea incompatible
5. Hallar "a+b" si el sistema...... ( )...... ( )
ax y b Ix y II
4 33 2 4
+ = ++ =
)
es compatible indeterminado
1. Expresar el sistema en forma canónica.– 3 2x y
x y5
24
31 1–
+ =
+ + =
Z
[
\
]]
]
a) 13x yx y3 5 4–+ =+ =
) b) x yx y
65–
+ ==
)
c) x yx y
3 2 82 3 9
– =+ =
) d) 5 13x yx y3 2 4– –+ =
=)
e) 5 13x yx y2 3 4– –+ =
=)
2. El conjunto solución {(3; 2)} corresponde al sistema:
I) x yx y
53–
+ ==
) II) x yx y
5 172 4–
+ ==
)
III) x yx y
2 83 2 2–
+ ==
)
a) I b) II c) IIId) I ó II e) II ó III
3. De los siguientes sistemas:
I) x yx y
135–
+ ==
) II) x yx y
2 203 2 23–
+ ==
)
III) x yx y
3 2 355 3 33–
+ ==
)
¿Cuáles son equivalentes?a) I y II b) I y III c) II y IIId) I; II y III e) N.A.
4. Relacionar correctamente:
I) x yx y
10 6 25 3 1
+ =+ =
)a) Sistema compatible
determinado
II) x yx y
32 2 1+ =+ =
)b) Sistema compatible
indeterminado
III) x yx y
2 52 7+ =+ =
)c) Sistema incompatible
a) Ic,IIa,IIIb b) Ia,IIc,IIIb c) Ib,IIc,IIIad) Ia,IIb,IIIc e) Ib,IIa,IIIc
27
Álgebra
137www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
5. Colocar un aspa (x) en cada recuadro según corresponda:
Sistema de ecuaciones
CompatibleIncompatible
Determinado Indeterminado
x y
x y
4 5 9
3 7 12
+ =
+ ='
x y
x y
7
4
+ =
+ ='
x y
x y
3 4 5
6 8 10
+ =
+ ='
x y
x y
4 7 15
8 14 19
+ =
+ ='
6. Clasificar los siguientes sistemas:
a) x yx y
3 5 46 10 8
+ =−+ =−
) Rpta: _____________
b) ( )( )
mx m ymx m y
1 101 2
+ + =+ + =
) Rpta: _____________
c) x yx y
2 32 3 7
π− =− − =) Rpta: _____________
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
• Un sistema compatible indeterminado no tiene solución.
( )
• El sistema lineal incompatible tiene más de una solución.
( )
• El sistema lineal compatible determinado tiene infinitas soluciones.
( )
• Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener tres soluciones.
( )
8. Hallar los valores que toma "m" para que el sistema:
( ) ...... ( )( ) ...... ( )
m x y Ix m y II
2 75 2 4–
+ + =+ =
)
sea compatible determinado
a) m∈R b) m={2; –2}c) m∈R – {3; –3} d) m∈R – {2; –2}e) m={3; –3}
9. Hallar "m" si el sistema:( ) ...... ( )
( ) ...... ( )m x y Ix m y II
1 4 146 1 21
– + =+ + =
)
no tiene solución
a) –5 b) –1 c) 5d) 1 e) 5 y –5
10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:
( ) ...... ( )( ) ...... ( )
m x y Iy m x II3 5 42 2 6
–– –
+ ==
)
a) 2 b) 3 c) 4/3d) 16/7 e) 0
11. Hallar: "–4ab" si se sabe que el sistema:
( ) ...... ( )...... ( )
a x ay Ix by II
3 123 5 18
––
+ ==
)
tiene infinitas soluciones
a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 52
12. Si el sistema
( )( )a x y
a x y2 3 12
2 4–
–+ =
+ =)
es incompatible. Hallar "a"
a) 3 b) –1 c) 10d) –3 e) 5
13. Si el sistema definido en "x" e "y".
( )( )
n x yx n y
2 5 102 2–
+ + =+ =
)
es incompatible. Determinar el valor de "n".
a) –2 b) 2 c) –3d) 3 e) c y d
14. Si el sistema: ( )
y axy a x
2 32 1 2
= −+ = −
)
es compatible determinado, determine el valor que no debe tomar "a".
a) 3 b) 1 c) 2d) –2 e) 20
15. Si el sistema: ( )( )
y m xy m x
2 3 53 3 2
= − ++ + =
)
no presenta solución. Halle el valor de "m".
a) 9 b) 8 c) –8d) 7 e) –9
Capítulo
138
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Expresar en forma canónica el siguiente sistema:x y
x y3
2 14
1 3
24
31 1
– – –
–
=
+ + =
Z
[
\
]]
]
2. La siguiente gráfica:
(4; 1)
corresponde al sistema:
I) x yx y
52 6–+ =
=) II) x y
x y3 132 3 2–
+ ==
)
III) x yx y3 2 10
5– =+ =
)
3. Cuáles de los siguientes sistemas:
I) x yx y
4 3 193 2 10–
+ ==
) II) x yx y
5 183 14
– =+ =
)
III) x yx y
7 2 322 6–
+ ==
)
son equivalentes.
4. Relacionar correctamente:
I) x yx y
8 5 37 3 11
+ =+ =
)a) Sistema incompatible
II) x yx y
2 3 54 6 7
+ =+ =
)b) Sistema compatible
determinado
III) x yx y
4 8 912 24 27
+ =+ =
)c) Sistema compatible
indeterminado
5. Clasificar los siguientes sistemas:
a) x yx y
2 7 15 7 1
+ =− =−
) Rpta: _____________
b) ( )( )m x mym x my
1 51 7
+ + =+ + =
) Rpta: _____________
c) x yx y
5 7 110 14 2
+ =+ =
) Rpta: _____________
6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.• Un sistema es incompatible si tiene conjunto
solución.
• El sistema lineal compatible determinado tiene solución única.
• Un sistema es compatible indeterminado, si presenta infinitos conjuntos soluciones.
• Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener dos soluciones.
7. Clasifica los sistemas de ecuaciones marcando en el casillero respectivo con un aspa (x).
Sistema de ecuaciones
CompatibleIncompatible
Determinado Indeterminado
x y
x y
3 4 7
4 3 11
– =
+ ='
x y
x y
2 2 6
3 3 9
+ =
+ ='
x y
x y
2
3
+ =
+ ='
x y
x y
3 2 4
4 3 16–
+ =
='
8. Para qué valores de "a" el sistema( ) ........ ( )
( ) ........ ( )a x y Ix a y II
1 7 135 1 23–+ + =+ =
)
será compatible determinada9. Hallar "m", si el sistema:
( ) ........ ( )........ ( )
m x y Ix my II
1 3 154 20
– + =+ =
)
es incompatible
10. Hallar "n", si el sistema: ( )( )
n x y nx n y
4 7 114 8
− − = −+ + =
)
no tiene solución
11. Hallar "ab", si el sistema: ( 3) 9 15( )
a x yx b y4 5 20− + =+ − =
)
tiene infinitas soluciones
12. Si el sistema: ( )( )a x y
a x y3 4 12
3 3− + =+ − =
)
es incompatible. Hallar "a"13. Si el sistema definido en "x" e "y"
ax yx ay
16 123
+ =+ =
)
no tiene solución. Determine el valor de "a".
14. Si el sistema: ( ) ( )m x n yx y
1 2 153 2 5
+ + − =−+ =−
)
es compatible indeterminado. Hallar "m.n"
15. Si el sistema: ( ) ( )y a a xy x
2 9 12 3
+ = − −=− −
)
no presenta solución. Hallar el valor de "a".
27
Álgebra
139www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema:a b y ca b y c1 1 1
2 2 2
+ =+ =)
• es indeterminado, si: aa
bb
cc
2
1
2
1
2
1!= ( )
• es incompatible, si: aa
bb
cc
2
1
2
1
2
1= = ( )
• es determinado, si: aa
bb
2
1
2
1! ( )
2. Al expresar en forma canónica el sistema:
xx
yy
x yx y
aa
11
22
22
33
– –
– –
+ = +
++ + = +
Z
[
\
]]
]]
se obtiene: mx+ny=10 px – qy=0Calcular: "m+n+p+q+a"
a) 8 b) –9 c) 10d) +14 e) 16
3. Hallar "a" para que el sistema........ ( )
( ) ........ ( )ax y a Ix a y a II
6 5 32 7 29 7
– –– –=
+ =)
sea indeterminado
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) –3
4. Hallar el valor entero para "m" para que el sistema:( ) ........ ( )
( ) ........ ( )m m x y Ix m y II
1 13 72 1 5
––
2+ + =+ =
)
sea incompatible
a) –3 b) –1 c) 2d) 1 e) 3
5. Si el sistema definido en "x" e "y":nx y xx ny y
6 124 2
+ = ++ = +
)
es incompatible. Indicar el valor de "n".
a) 4 b) –1 c) a y bd) a o b e) Imposible determinar
Tú puedes
Capítulo
140
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
En este capítulo aprenderemos
Repaso IV
. Ecuaciones y sistema de ecuaciones
repaso iV
Lectura: La eVoLucióN matemática eN La resoLucióN de sistemas
Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.
Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema.
Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias.
FUENTE: http://www.google.com.pe
28
Álgebra
141www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aplica lo comprendido
1. Resolver: 7(x−5)−9(x+2)=3(x−1)−6(x+5)
2. Resolver: (x−1)(x+3)=(x+3)(x−2)+77
3. Resolver: (x+5)2+(x−3)(x+3)=2(x+5)(x−1)
4. Resolver: (6x+7)(2x+5)−(3x+4)(4x−7)=14
5. Resolver:
y x
y x
55 8
340 5
=
=
−
−
Z
[
\
]]
]]
Indique el valor de "x"
6. Resolver: x yx y
7 3 1010 3 164
− =−− =
)
Determinar el valor de "x"
7. Resolver: ( ) ( )( ) ( )x yx y
7 5 2 9 15 1 3 3 10
+ − + =−+ + + =
)
Determine el valor de "xy"
8. Resolver: x y
x y
112
115 3
16
19 4
++
−=−
+−
−=
Z
[
\
]]
]
Indicar el valor de "x−y"
9. Según los gráficos:
(x–5)m (x–6)m
2(x–8)mEl área del cuadrilátero excede al área del triángulo en 57 m2. Determine el perímetro del cuadrilátero.
10. En cierto colegio de Lima, sucede lo siguiente: El número de carpetas por aula excede en tres unidades al número de aulas y el número de profesores de dicho centro educativo excede en 7 unidades al número de aulas del colegio. Además, el cuadrado del número de profesores excede en 159 unidades al número de carpetas de todo el colegio.¿Con cuántos profesores cuenta el colegio?
Capítulo
142
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Hallar "x" en: 3(5−(2x−7))=4−(3(1+3x))+2x
a) −5 b) −7 c) −17d) −24 e) −35
2. Hallar "x" en: x x x54
4 2 1011+ = +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver: x x43 5
65 2+ = +
a) {12} b) {18} c) {36}d) {41} e) {42}
4. Sean: M=3−{x−4(3−x)}−(−x+3)N=4x−2(x−5)−(−2x+7)
¿Para que valor de "x" se da que: M=N
a) 0 b) 89 c)
89−
d) 98 e)
815
5. Resolver: x x65
31
67
5 71
944− + − =` `j j
a) 4 b) 5 c) 6d) 10 e) 12
6. Resolver:(x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)=2(x−2)(x−3)
a) 1 b) 76 c)
37
d) 73 e)
311
7. Resolver para "x": nm
xm
mn
xn1 1 1− + − =` `j j
a) m−n b) m+nc) m2−mn+n2 d) m2+n2
e) m2−n2
8. Hallar "x" en:( )
abx
bcx
acx abc x a b c1+ + − = − + +
a) abc
a b c+ + b) a b c
abc+ +
c) cab
d) c
a b− e) a+b+c
9. Resolver el sistema: .... ( ).... ( )
x y Ix y II
3 7 387 4 48
− =+ =
)
Hallar: x/y
a) −16 b) 9 c) −8d) 7 e) −4
10. Resolver el sistema:( ) ( ) .... ( )( ) ( ) .... ( )x y xy Ix y xy II
2 3 294 5 41
− + − =− + − =
)
e indicar el valor de "x"
a) 5 b) 9 c) 13d) 17 e) 23
11. Resolver: ... ( )
... ( )ax
by I
ax
by II
4 9 61
6 5 1514
=
+ =
−Z
[
\
]]
]
Hallar "y"a) 2a b) 3a c) 3bd) 2b e) 6a
12. Determine el valor de "m" para que el sistema:... ( )... ( )
mx y Ix my II
12 74 12
− =− =
) tenga solución única.
a) m∈R−{2; −2} b) m∈Rc) m=±6 d) m∈R−{6; −6}e) m∈R−{4; −4}
13. Para qué valor del parámetro "m" el sistema:( ) ... ( )
... ( )m x y m I
x my m II2 1
2 1− + =
+ = −)
tiene infinitas soluciones.
a) –1 b) 0 c) –1/2d) 1/2 e) 1
14. Dar el valor o valores de "K" que hacen
que el sistema: ( ) ... ( )
( ) ... ( )x K y IK x y K II
3 1 126 6
+ − =+ + =
)
no admita solución.a) 1; 3 b) 2; 6 c) 3d) 3; –8 e) –8
15. Del gráfico:
4
6 x
y
ax−2by=1
3ax+by=4
Calcular el valor de "ab−1"
a) 61 b)
43 c)
821
d) 14 e) 6
28
Álgebra
143www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Hallar "x" en: 5{x−[−5+2x]}=3−{4(x−5)}
2. Hallar "x" en: 1x x x3
6 25
2 2+ + +− =
3. Resolver: x x x70
2060
3050
40 3− + − + − =
4. Hallar "x" en: 2(x−4)2−(x−2)2=(x−8)2
5. Hallar "x" en: 6x(x−3)=(x+1)3−(x−1)3
6. Luego de resolver el sistema:... ( )... ( )
x y Ix y II
7 5 766 7 20
− =+ =
)
Hallar: "x+y"
7. Resolver el sistema: ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )x y xy Ix y xy II
5 4 194 5 12
+ + = ++ + = +
)
Indicar: "xy"
8. Hallar: "m×n" para que el sistema de ecuaciones:( ) ( )m x n ymx ny
1 9 12 62
+ + =
=
− −−
)
Admita como solución: x=5; y=9
9. Hallar "K" si el sistema:( ) ... ( )
( ) ... ( )K x y K I
x K y II4 7 11
4 2− − = −+ + =
)
no tiene solución.
16. Resolver: ... ( )
... ( )m n
xm n
y m n I
mx
ny m II2
++
−= +
+ =
Z
[
\
]]
]
Hallar "x"
a) m(m+n) b) n(m−n) c) m(m−n)d) n(m+n) e) mn
17. Repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
a) $35 b) $30 c) $20d) $10 e) $60
18. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10.Hallar o indicar la mayor de las partes.a) 12 b) 18 c) 22d) 24 e) 28
19. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es dos y queda un resto de ocho.Determina los números.
a) 23 y 15 b) 30 y 68 c) 59 y 21d) 48 y 10 e) 20 y 58
20. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina: "Libussa" de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteo el siguiente problema:¿Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella saco la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente, para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto quedó vacío, decir cuántas ciruelas tenía el canasto?
a) 38 b) 28 c) 18d) 48 e) 24
10. Calcular "K" para que el sistema:( )( )
K x y KK x y
1 33 2 4+ − =− + =
)
tenga solución única.
11. Determine los valores de "a" y "b" tal que el
sistema: ... ( )
( ) ... ( )ax by a Ib a x y II2 12 32+ =− + + =
)
tenga infinita soluciones, además: ab!0 dar como respuesta: "a+b"
12. Dos números consecutivos son tales que un cuarto del menor excede a un quinto del mayor en 1, encontrar los números.
13. De un cierto número de fichas se toman 3 y el resto se divide por 4; el cociente se aumenta en 4 se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el número de fichas.
14. Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26 respectivamente, la suma de sus cocientes es 10.
15. Pagamos S/. 38 por un libro, un cuaderno y un lapicero. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?
Capítulo
144
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
1. En la siguiente ecuación:
x31
31
31
31 1 1 1 1− − − =` j8 B$ .
Hallar el valor de "x"
a) 27 b) 81 c) 120d) 121 e) 360
2. Resolver la ecuación:( ),
a bx a
a bx a
a bx b
a bx b a b2 !
−+ +
+− =
++ +
−−
a) b b) 2b c) 3bd) 4b e) 6b
3. En una fiesta, Isabel juega el "tiro al blanco" con la condición de que por cada uno que acierte recibirá "a" soles pagará "b" soles por cada uno de los que falle. Después de "n" tiros ha recibido "c" soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?
a) a bbn c
++ b)
an c+ c)
ab c+
d) a b
c+
e) a bc n+−
4. Resolver: x y
yx
2 17
3 19 2
9 152 16
2710
−−
−=
−+ =−
Z
[
\
]]
]
Determine "xy"
a) –2 b) 23 c) 4
d) 8 e) –1
5. Del gráfico:
a
1 x
y y=bx+3
y x b4
2 6+ =
Determinar: "a ba b−+ "
a) 18 b) 5 c) 2d) 20 e) –10
Tú puedes
28
145www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Sistemas de ecuaciones III
. Problemas de sistemas lineales con 2 incógnitas
– Planteamiento de ecuaciones.
sistemas de ecuacioNes iii
Lectura: apLicacióN eN La Vida cotidiaNa de Las ecuacioNes
Al pasar el tiempo los sistemas de ecuaciones no solo han servido para resolver problemas matemáticos,
sino también problemas o situaciones cotidianas, desde una perspectiva científica o también aplicando
resoluciones matemáticas, como por
ejemplo en una granja donde hay conejos
y pollos se puede hallar la cantidad de
cada animal simplemente sabiendo el
total de cabezas y de patas.
FUENTE: http://www.keywordpicture.com
29
Capítulo
146
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
1. Representar algebraicamente:"Los dos tercios de mi edad excede a tu edad en un año".
2. Representar simbólicamente:"La mitad de la diferencia de nuestras edades equivale al doble de tu edad disminuido en quince años".
3. Representar algebraicamente:"El quíntuplo de la diferencia de dos números equivale a la tercera parte de la suma de dichos números".
4. Representar simbólicamente:"Hace doce años nuestras edades sumaban la tercera parte de la diferencia del doble de mi edad y el triple de la tuya".
5. Despejar "a" en función de "b" y "c"17a−7(a−b+2c)=9b−11(c−2b)
Aplica lo comprendido
1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 16 . Hallar dichos números.
2. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercero de su diferencia es 4. Hallar los números.
3. Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21 y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.
4. Hallar una fracción sabiendo que si se aumenta al numerador y al denominador 3 unidades se obtiene 2/3 y si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.
5. Dos cuadernos y tres lapiceros cuestan S/. 20 y tres cuadernos y dos lapiceros cuestan S/. 25.Hallar el precio del cuaderno y del lapicero.
29
Álgebra
147www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números.
a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42d) 68 y 52 e) 82 y 46
2. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos?
a) S/.18 b) S/.24 c) S/.17d) S/.15 e) S/.19
3. Con S/.68 se compran 3 melones y 4 sandías pero faltaría S/.4 para comprar un melón mas y una sandía menos, ¿cuál es el precio de una sandía?
a) S/.15 b) S/.13 c) S/.12d) S/.8 e) S/.6
4. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años.¿Cuál es la edad del mayor?
a) 18 años b) 20 años c) 21 añosd) 22 años e) 25 años
5. La suma de las edades de Pedro y Luis en 1960 era los 5/7 de la suma de las edades de ambos en 1970. En 1980, la edad de Pedro era la mitad de la edad de Luis. ¿En qué año nació Luis?
a) 1916 b) 1918 c) 1920d) 1921 e) 1924
6. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm. ¿Cuánto vale el lado desigual?
a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm
7. La relación de los lados de un cuadrado y un triángulo equilátero es de 7 a 5. La diferencia de sus perímetros es de 130 cm. Determine la diferencia de las longitudes de sus lados.
a) 10 cm b) 17 cm c) 20 cmd) 25 cm e) 30 cm
8. Un hombre y un niño hacen varios viajes juntos, llevando manzanas del campo a la casa. En cada viaje el hombre lleva 35 kg y el niño 15 kg.Transportando en total 650 kg, ¿cuánto habrá llevado cada uno, sabiendo que hacen el mismo número de viajes.a) 455 y 195 kg b) 375 y 275 kgc) 475 y 175 kg d) 385 y 265 kge) 425 y 225 kg
9. En un depósito hay 40 celulares, de los cuales, algunos tienen 16 teclas y otros 20 teclas, la cantidad de teclas entre los 40 celulares es de 696. ¿Cuántos celulares de 20 teclas y cuántos de 16 teclas hay?
a) 28 y 12 b) 22 y 18 c) 26 y 14d) 17 y 23 e) 24 y 16
10. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108d) 223 y 107 e) 224 y 106
11. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km por hora en carretera y a 24 km por hora en ciudad, su tiempo diario de manejo sobre un recorrido de 330 km fue de 7 horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera?
a) 2,5 h b) 5,5 h c) 1,5 hd) 4,5 h e) 3,5 h
12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos (numerador y denominador) se les suma dos,
se obtiene un fracción equivalente a 97 , pero si
se les resta dos a ambos términos de la fracción
original se obtiene una fracción equivalente a 35
.
a) 25 b)
72 c)
75
d) 94 e)
711
13. Dos cilindros contienen un total de 85 galones de gasolina. Si del primero gasto la tercera parte y
del segundo los 54 de su contenido, en el primer
cilindro quedarían 35 galones de gasolina más que en el segundo cilindro. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro.
a) 25 y 50 b) 60 y 25 c) 90 y 30d) 50 y 40 e) 80 y 35
14. ¿Qué hora es? le pregunta Renzo a Mirko.Mirko le responde: Quedan del día 8 horas menos que las transcurridas.Decir: 'Qué hora es?
a) 2 pm b) 4 pm c) 6 pmd) 8 pm e) 10 pm
15. Son más de las 3 sin ser 4 de esta madrugada pero dentro de 50' faltaran para las 5 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde las 2 hasta hace 50', ¿qué hora es?
a) 3:10 b) 3:20 c) 3:30d) 3:40 e) 3:50
Capítulo
148
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. La suma de dos números es 116 y su diferencia
es 42. Hallar dichos números.
2. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,
mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130
soles. ¿Cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?
3. Con 205 soles se compran 4 pelotas y 3 muñecas,
pero faltaría 25 soles para comprar una pelota
más y una muñeca menos. ¿Cuál es el precio de
una muñeca?
4. La edad de dos hermanos suman 45 años. Si
dentro de 20 años la edad de uno de ellos será
el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años.
Determine la diferencia de las edades de dichos
hermanos.
5. La edad de un padre es el doble de la de su
hijo. Si ambos tuvieran 20 años menos, el padre
tendría el cuádruplo de la de su hijo.
Hallar el promedio de las edades de ambos.
6. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a
38 cm. Si el quíntuplo del lado desigual excede
al doble de unos de los lados congruentes en 10
cm. Determine la longitud del lado desigual.
7. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más
que uno de los lados.
Calcular las dimensiones del rectángulo,
sabiendo que su perímetro es de 14 cm.
8. En un corral el número de patos excede en 4 al
número de conejos. Además el número de patas
excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos
conejos hay?
9. Un comerciante empleó 6720 nuevos soles en
comprar trajes a 375 nuevos soles y sombreros a
45. Si la suma del número de trajes y el número
de sombreros que compró es 54. ¿Cuántos trajes
compró y cuántos sombreros?
10. Un tren sale de la ciudad de Chiclayo rumbo
al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro
tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la
misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué
distancia de la ciudad dará alcance el segundo
tren al primero?
11. Una familia compuesta de 9 miembros entre
adultos y niños asisten a un espectáculo por el
que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si
el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo.
¿Cuántos adultos y cuántos niños componen
esta familia?
12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos
(numerador y denominador) se les suma 3, se
obtiene una fracción equivalente a 67 pero si
se les resta 2 a ambos términos de la fracción
original se obtiene una fracción equivalente a 2.
13. Los cilindros contienen un total de 78 galones
de gasolina. Si del primero gastó la mitad y del
segundo los 73 de su contenido, en el primer
cilindro quedarían 9 galones de gasolina más
que en el segundo. Halla la cantidad de galones
que contiene cada cilindro.
14. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma
de las cifras de las horas transcurridas sea igual
a las horas por transcurrir te espero donde ya tu
sabes. ¿A qué hora es la cita?
15. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada,
pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4
a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la
1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?
29
Álgebra
149www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Tú puedes
1. Si se pasara una moneda de la mano izquierda a la derecha, se tendría el mismo número de monedas en ambas manos, pero si se realizará la operación inversa, se tendría el doble número de monedas en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas tengo en total?
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
2. Hace "n" años el promedio de tu edad y la mía era de "7n" años. Si dentro de "2n" años mi edad excederá a la que tu tenías hace "2n" años en "10n" años. ¿Qué edad tenías hace "4n" años?. Siendo n∈Z ∧ n≥1
Rpta:
3. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantas compró de S/.48 ni de S/.42, solamente recuerda que gasto S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no llega a diez. ¿Cuántos objetos de S/.48 compró?
a) 4 b) 6 c) 7d) 9 e) 5
4. Al dividir una varilla de 90 cm en dos partes
resulta que un sexto de la parte mayor excede
en 6 cm a un tercio de la parte menor. ¿Cuánto
mide la parte mayor?
a) 72 cm b) 74 cm c) 76 cmd) 78 cm e) 80 cm
5. Mathias le pregunta la hora a su tío Paolo y
el para confundirlo le dice: Son más de las
tres pero aun no son las cuatro. Si los minutos
transcurridos desde las tres es dos veces más que
lo que faltan transcurrir para que sean las cuatro.
Si dio la hora exacta, ¿cuál es su respuesta?
a) 3:43 b) 3:42 c) 3:50d) 3:45 e) 3:56
Capítulo
150
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
En este capítulo aprenderemos
Desigualdades
. La definición de desigualdad, su notación y su aplicación.
. Las propiedades básicas de las desigualdades.
desiguaLdades
Lectura: La desiguaLdad, uNa Forma de comparar Números
Los seres humanos son especie donde todos son diferentes por uno u otro motivo no hay ser humano que
sea igual que otro. Nos diferenciamos uno del otro por la estatura, el peso, el ADN, el cabello, ... etc. Así
como entre todos nosotros hay diferencia y por lo tanto una desigualdad, en las matemáticas sucede lo
mismo no hay un número que sea igual a otro pueden ser mayor, mayor igual, menor o menor igual, por
ejemplo si comparamos el 2 y −2 podemos obtener una desigualdad ya que 2 es mayor igual que −2.
FUENTE: http://panoramadiario.com
> -
30
Álgebra
151www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Desigualdades
Definición Propiedades
Capítulo
152
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aplica lo comprendido
1. Completa las siguientes proposiciones correctamente, según corresponda.(>, = , <)
a) 5 1
b) −7 −10
c) 32
3123
d) 16 3+1
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones:
a) 40G43−3 ..........( )
b) 25H6×5+2 ..........( )
c) 7×4H52 ..........( )
d) 102G33 ..........( )
3. Completa las siguientes proposiciones:a) La desigualdad 5>2 tiene el mismo
significado que: ______________________.b) La desigualdad xH4 tiene el mismo significado
que: ______________ o _______________.
4. Completa las siguientes proposiciones:a) Si "a" es un número positivo entonces
_______________________.b) Si "a" es un número negativo entonces
_______________________.
5. Completa:a) 4Gx ∧ xG9 entonces: ___________________.
b) xH8 ∧ x<11 entonces: _________________.
Saberes previos
1. Ordene de mayor a menor los siguientes números.
4 0 −3 7 −1 9
2. Ordene de mayor a menor los siguientes números.
21− −1 0 1 3
457−
21
3. Entre que números enteros se encuentran los siguientes números irracionales.
.... 5 ....
.... 11− ....
.... p ....
4. Ordene de menor a mayor los siguientes números:
7 −1 0 2 4 3− −3
5. Entre que número enteros se encuentran los siguientes números racionales fraccionarios:
....32 ....
.... −51 ....
30
Álgebra
153www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Aprende más
1. Si: −2Gx<3Indicar el intervalo de: E=x+7
a) 5<E<10 b) 5<EG10 c) 5GE<10d) 9GE<10 e) 5GE<8
2. Si: −1<xG6Indicar el intervalo de: M=x−8
a) −7<MG−2 b) −8<MG−2c) −9<MG−2 d) −9<MG−3e) −9<MG−6
3. Si: −4<xG3Indicar el intervalo de: N=3x+2
a) −10<NG11 b) −9<NG10c) −10<NG10 d) −10<NG2e) −10<NG9
4. Si: 3<xG5Indicar el intervalo de: P=−x+5
a) 0<P<2 b) 0GP<2c) −2GP<0 d) −2<PG0e) −3GP<0
5. Si: 4Gx<5Indicar el intervalo de: S=3−4x
a) −10<SG−3 b) −17<SG−13c) −16<SG−13 d) −12GS<14e) −9GS<−4
6. Si: −70G2xG20Indicar el intervalo de: H=−3x
a) −20GHG95 b) −40GHG115c) −30GHG105 d) −50GHG175e) −40GHG105
7. Si: −1<11−2x<1Indicar el intervalo de: y=3x−10
a) 2<y<7 b) 5<y<8 c) 6<y<9d) 4<y<10 e) 5<y<9
8. Cuántos números enteros: H(x)=8−x existen; si se sabe que: 1<xG3
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
9. Si: 1<x<5Indicar el intervalo de: P=
x1
a) 1/5<P<2 b) 1/5<P<1c) 1<P<5 d) 1/5<PG1e) 2<P<4
10. Si: −1Gm−3<2Indicar el intervalo de: H=
m41+
a) 1/9<HG1/5 b) 1/9<HG1/6c) 1/9GH<1/4 d) 5GH<9e) 1/9<H<1/7
11. Si: −3<xG4Indicar el intervalo de: M=
x72−
a) 1/5<M<2/3 b) 1/5<MG2/3c) 1/5GM<2/3 d) 1/5GMG2/3e) 1/5GM<2/3
12. Sea "x" la temperatura del departamento de Puno; esta cumple simultáneamente con las siguientes condiciones: x>1 y x<5.Se sabe por otro lado que por razones geográficas la temperatura de la capital depende de la función:
P(x)=x2 13+
¿Cuál es el intervalo de variación de la temperatura de la capital?
a) 4/5<P<11/3 b) 2/17<P<1/5c) 1<P<11/3 d) 3/11<P<1e) 2/5<P<1
13. Si: −2<xG1
Indicar el intervalo de: F=x7 3
52−
a) 4<FG12 b) 4<FG13c) 4<FG11 d) 4<F<13e) 3GF<14
14. Si: 2GxG5, indique la suma del mayor y menor valor que toma la expresión:
xx
13
−+ .
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
15. Si: 4Gxx
57+
−G13
Indicar el intervalo de "x"
a) 1<xG4 b) 6Gx<13 c) 6GxG9d) 7GxG9 e) 4GxG8
Capítulo
154
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Si a>b, indicar verdadero (V) o falso (F)I. a+c>b+cII. 2a>a+bIII. a2>ab
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:( ) si −3<x<−4 −1/4<x−1<−1/3( ) si −5<x<−2 2<x−1<5( ) si −7<x<5 0Gx−1<49
3. Si: x−y>x ∧ x+y<y indicar, ¿cuántas de las afirmaciones son verdaderas?
I. y<xII. x<y<0III. xy>0IV. xy<0V. x2>y3
4. Si x∈<−3; 4]Determinar el intervalo de cada una de la siguientes expresiones:a) P(x)=2x+1b) Q(x)=7x−11
5. Si: (3x−5) ∈ [4; 10>Determinar el intervalo de cada una de las siguientes expresiones:a) P(x)=10+2xb) Q(x)=2(x−11)
6. Si: (3x) ∈ <−60; 30>Indicar el intervalo de:a) P(x)=−5xb) Q(x)=700−25x
7. Si: (19−5x) ∈ <−21; 39]Además: (3x+7) ∈ [a; b>Hallar: "a+b"
8. Si x∈ <2; 3> entonces:¿A qué intervalo pertenece:
x2 34
−?
9. Si: x∈ <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece:
x2 54+
?
10. Si: x∈ <−4; −3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece:
xx
34 13++ ?
11. Si: 2xx
24 3 3G G++ , entonces, ¿a qué intervalo
pertenece x?
12. Si: x∈ <−3; 2>Hallar el intervalo de: "3x+5"
13. Si: x∈ <3; 8>Hallar el intervalo de: 2−5x
14. Si: 2x+1 ∈<3; 7>Hallar el intervalo de: 3x+7
15. Si: 3x−2 ∈ <−8; 7>Hallar el intervalo de: 4−x
Tú puedes
1. Si: a>b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
I. a b
ba
a b>+
+ II. a2+b2<2ab
III. a b a>2 2+ IV. ba
ab1 1<− −` cj m
a) VFVV b) VFVF c) FFVFd) FVFV e) FFVV
2. Si: (3x−a+b) ∈ [2a+b; 4b−a>; a<0<bAdemás: F(x)=abx y F(x) ∈ <N; P]Determine el valor de " "
NP
a) a b) b c) ba
d) ab e) 1
3. Si x∈ <−2; 1], entonces:¿A qué intervalo pertenece:
x2 35
−?
a) <0; 1>b) <−∞; 1> ∨ [2; +∞>
c) <−∞; 85− > ∨ [5; +∞>
d) < −∞; −5] ∨ <85 ; +∞>
e) <−5; 85 >
4. Si: x∈ [1; 4] y se sabe que: mxx n
34G G
++
Calcular: "m+n"
a) 13/7 b) 19/28 c) 17/4d) 67/28 e) 65/68
5. Si: xx
57
−+ ∈ [4; 13]
Hallar el intervalo de: x2−14x+46
a) [−5; 7> b) [−3; 25] c) [−3; 1]d) [−5; 25] e) <−1; 17]
30
155www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
En este capítulo aprenderemos
Intervalos
. La ubicación de los números en la recta numérica.
. Entender y representar intervalos:
– Intervalos abiertos – Intervalos cerrados – Intervalos semi abiertos – Intervalos infinitos
. Intersección y unión de conjuntos en la recta numérica.
iNterVaLos
Lectura: La música y Los símboLos matemáticos
Intervalo se refiere a aquel espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos, según corresponda la situación. En tanto, será en la música, en la matemática y en el teatro donde mayormente uno se puede encontrar con el empleo de este término de manera regular. Porque para la matemática un intervalo será todo un subconjunto conexo de la recta real.
Para representar a los mismos, generalmente se usan dos tipo de notaciones: a y b con el signo del corchete. Por otra parte, en la música se llama intervalo a la diferencia de altura (frecuencia) que puede darse entre dos notas musicales y que es medida cuantitativamente en grados o notas naturales y en términos cualitativos a través de semitonos.
FUENTE: http//bach2411111.blogcindario.com
31
Capítulo
156
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Intervalos
Recta
Numérica
Intersección
y unión
Tipos
Abierto
Infinitos
Cerrado
31
Álgebra
157www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
1. Indique el intervalo haciendo el uso de los símbolos de desigualdad que represente a todos los números "x" entre −2 y 5.
2. Ordene los siguientes números reales:−7; −3; 0; 4; 3 ; −2; 2; −5
3. Si: a=−7 y b=5 donde a<xGb¿Cuántos números enteros toma "x"?
4. Si se tiene el conjunto:A={3, 5, 7} y B={−3, 3, 8}Dar la suma de elementos del conjunto A∪B
5. Si se tienen los conjuntos:A={3, 5, 8, 12}B={−7, −1, 5, 8, 14}Hallar la suma de elementos del conjunto A∩B.
Aplica lo comprendido
1. Representa gráficamente lo siguiente:a) x<−7
b) xH4
2. Represente gráficamente lo siguiente:a) −5<xG1
b) x∈[−2; 3]
3. Del siguiente gráfico:
−7 −2 106
AB
¿Qué intervalo entre A y B, representa el área sombreada?
4. Si: A=<−3; 2], B=<0; +∞>Determine:a) A∪B
b) A∩B
5. Si: A=<−2; 5]∪<7; +∞>, B=<−1; 9]Determine: A∩B
Capítulo
158
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Aprende más
1. Indique verdadero (V) o falso (F)I. En el intervalo [−3; −1] existen tres valores
enteros.II. El mayor valor en el intervalo <−4; 3> es 3.III. La suma de todos los elementos enteros del
intervalo <−2; 4> es 5.
a) VVF b) VFV c) VFFd) FFV e) FFF
2. La representación gráfica corresponde al intervalo:
2 5−∞ +∞
a) <2; 5] b) <3; 4> c) <3; 6>d) <2; 5> e) <2; 5]
3. Representar gráficamente y relacionar:
I. [1; 4] A. −1 4−∞ +∞
II. <1; 5> B. 5−∞ +∞
III. −1Gx<4 C. 1 5−∞ +∞
IV. x>5 D. 1 4−∞ +∞
a) IA, IIB, IIIC, IVD b) ID, IIC, IIIA, IVBc) IB, IIC, IIID, IVA d) ID, IIC, IIIB, IVAe) ID, IIA, IIID, IVC
4. Si: x∈<−2; 3], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x+5"
a) 7 8
b) −3 8
c) 3 8
5. Si: (x+7)∈<−3; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "2x−1"
a) −21
b) −21
c) −21
6. Si: (2x−1)∈<−∞; −7], entonces representar gráficamente el intervalo de: x2−10
a) 5 b) −1
c) 7
7. Si: (1−x)∈<−3; 7>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x2−10"
a) −10 26
b) 10 26
c) −10 26
8. Dados los conjuntos: A=<−5; 8>; B=<3; 11]Determinar cuántos números enteros hay en: A∪B.
a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
9. Dados los conjuntos: M=<−3; 8>; N=<5; 10]; P=<−6; 1].Determinar "a × b". Si M∪N∪P ∈ <a; b]
a) −30 b) −40 c) −60d) −18 e) 18
10. Si: A=<−8; 2]; B=<−5; 10]; C=<7; 14]Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos se representa de la forma:
n p qm
A B C
r s−∞ +∞
Hallar: (m+s)+np+r−q
a) −5 b) −3 c) −1d) 7 e) 17
11. Si A=<−10; 4] ∪ <0; 6>B=<−∞; 0> ∪ [2; +∞>
Hallar: "A∪B"a) <−10; 6>b) <−10; 0>∪<2; 6>c) <−∞; −10>∪<6; +∞>d) Be) R
31
Álgebra
159www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
12. En cada caso halla A∩B
a) 2 4
BA
5 9−∞ +∞
b) −1 3
BA
7 4−∞ +∞
c) 2
BA
9−∞ +∞
d) −3
BA
−1 2−∞ +∞
e) −2
BA
1 5−∞ +∞
13. Dados los conjuntos:M=<−3; 2]A=[−1; 0]T=[0; 3]
=<−3; 0]S=[−2; 2]Hallar:
a) M∩A b) A∩T c) A∩T∩d) M∩S e) M∩A∩T∩ ∩S
14. Sean los intervalos:A=[−1; 4]B=<2; 7]C=[5; 9]¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. A∩B=<2; 4> II. A∩C=III. A∩B∩C= IV. B∩C=[5; 7]
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
15. Se dan los conjuntos en R :A=<−2; 9>−{3}B=<4; 8>−{5}C=[−3; 6>∪{7}Hallar:
a) A∩B b) A∩C c) B∩Cd) A∩B∩C
Capítulo
160
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Practica en casa
1. Indique verdadero (V) o falso (F):I. En el intervalo [−2; 3] existen cinco valores
enteros.II. El menor valor en el intervalo [−4; 2> es −4.III. La suma de todos los elementos enteros del
intervalo <−3; 5> es 4.
2. Indicar a que intervalo corresponde el siguiente gráfico:
−2 3−∞ +∞
3. Relacionar cada intervalo según corresponda:
I. [−1; 2> A. 2 5−∞ +∞
II. <2; 5] B. 2−∞ +∞
III. −1<xG3 C. −1 2−∞ +∞
IV. x<2 D. −1 3−∞ +∞
4. Si: x∈ [−3; 2>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x−5"
5. Si: (x+10) ∈ <2; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "3x−2"
6. Si: (5x−17) ∈ <−∞; −37], entonces representar gráficamente el intervalo de: "1−3x"
7. Si: (−2x) ∈ <−6; 8], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x2+10"
8. Dados los conjuntos:A=<−7; 5>; B=<2; 8] determinar el número de cantidades entera que hay en: A∪B.
9. Dados los conjuntos: A=<−5; 6>, B=<3; 7], C=<−8; 8]; determine "a+b".Si: A∪B∪C ∈ <a; b]
10. Si: A=<−6; 4], B=<−3; 12], C=<9; 16]Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos esta representada por:
b c da e f−∞ +∞
Hallar: (a+c)+(f.e)+(d+b)
11. Si: P=<−12; 2]∪<5; 8>Q=<−6; 7>∪[4; 15>
Hallar: "P∪Q"
12. En cada caso hallar A∩B
a) −4 −2
BA
1 5−∞ +∞
b) −7 −2
BA
5 8−∞ +∞
c) −5 8
BA
−∞ +∞
d) −3
BA
1 6−∞ +∞
e) −2
BA
1−∞ +∞
13. Dados los conjuntos:M=<−3; 1]A=[1; 7]T=<7; 13>
=<8; 13>S=<−2; 6]Hallar:
a) M∩A b) A∩S c) A∩T∩d) A∩T∩ ∩S e) M∩A∩T∩ ∩S
14. Sean los intervalos:A=<−3; −2>B=[−1; 2>C=<−2; 5]¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. A∩B=[−2; −1>II. A∩C={−2}III. B∩C=<−1; 2>IV. A∩B∩C=
15. Se dan los conjuntos en RA=<−4; 7>−{0}B=<−2; 8>∪{3}C=<−1; 6>−{3}Hallar:a) A∩Bb) B∩Cc) A∩Cd) A∩B∩C
31
Álgebra
161www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Tú puedes
1. De los siguientes enunciados:I. A=[−1; 2]∪<12; 20>; B=<−∞; −8]∪[5; 9>
→ A∩B=øII. A=<−∞; −5>∪<6; 10]; B=<−5;
−1]∪<2; +∞]→ A∩B=<6; 10]
III. A=[−6; −1]∪<3; +∞>; B=<−∞; 2>∪<5; 9]→ A∩B=<−6; −1]
Son verdaderos:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I, II y III
2. Si: (1−2x) ∈ <2b+1; 1−6a]Además, el intervalo de "x", está representado gráficamente por:
b3
9− a2
4 7−
Determinar:"a+b"
a) −11 b) 7 c) 0d) 10 e) Imposible determinar
3. Sean los conjuntos en RA=<−3; 8>; B=<−∞; 3]; C=[6; +∞>Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. (A∪B)∩C=<−∞; 7]...........................( )II. (A∩C)∪B=<−∞; −3>∪<6; 8>.....( )III. (C−A)=[8; +∞>...............................( )IV. A'=<−∞; −3]∪[8; +∞>..................( )
a) VFFV b) FVFV c) FFVVd) FFVF e) VVFV
4. Sean los intervalos:A=<−1; 3]∪[5; 7>B=<−2; 2>∪<5; 6]C=<−3; 1]∪[6; 8>¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. A∩B=<−1; 2>∪<5; 6]II. A∩C=<−3; 1]∪[5; 7>III. B∩C=<−2; 1]∪<5; 8]IV. A∩B∩C=<−1; 1]∪{6}
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
5. Sean los intervalos:A=<−3; 4]∪[7; 9>B=<−3; 1>∪<6; 8]C=<−4; 0>∪<7; 11>Hallar:I. (A∪B)∩(B∪C)
II. (A∪B)∩(A∩C)
III. A∩B
IV. B∩C
Capítulo
162
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
iNecuacioNes i
Lectura: Las iNecuacioNes y La iNterpretacióN de resuLtados
Al terminar los temas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e intervalos entramos al mundo
de las inecuaciones y podemos introducir el tema aprendiendo a diferenciar ecuaciones de inecuaciones.
Porque lo primero que nos preguntamos al
ingresar a este tema es cuál es la diferencia y
la respuesta es muy simple que las ecuaciones
son igualdades donde obtendrás valores exactos;
ejemplo: ecuación lineal obtendrás una solución,
ecuación cuadrática obtendrás dos soluciones y
así sucesivamente, mientras, que las inecuaciones
son desigualdades y no importa el grado porque
siempre obtendremos un intervalo de resultados.
Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_V_g3inTTPu4/SFqd9iQBI
En este capítulo aprenderemos
Inecuaciones I
. La definición de inecuación.
. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.
. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.
32
Álgebra
163www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Síntesis teórica
Inecuaciones I
De primer grado, con una incógnita
Sistemas de inecuaciones de 1er Grado con una incógnitaDefinición
Capítulo
164
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Saberes previos
4. Simboliza las siguientes proposiciones:a) 5 es menor que 15 ..................b) 3 es mayor que 1 ..................c) "x" es un número positivo ..................d) "y" es un número negativo ..................
5. Expresar simbólicamente las siguientes gráficas
a)x
–∞ +∞3 5b)
x
–∞ +∞3c)
x
–∞ +∞7
1. Expresar de manera simbólica:
a) Un número "x" menor que 8
b) El duplo de "x" mayor o igual que 32
c) La quinta parte de "x" menor o igual que 3
d) Los tres medios de un número "Z" es mayor
que 15
2. Expresar el conjunto solución de cada caso del problema anterior, usando notación de intervalo.
3. Resolver cada caso indicando su conjunto numérico.a) Si: x∈N; x+3<7b) Si: x∈Z+ ; 2x – 3≤7c) Si: x∈Z- ; 5x>–25
Aplica lo comprendido
1. Determine el intervalo solución de:a) 1 – x<x – 1b) 2(x – 1) – 3(x+1)≥0
2. Indique el intervalo solución de:
a) x32 1
61>− b) x
42
81#−
3. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.a) (x – 3)2>(x+2)2
b) (x+7)(x – 2)≤(x+6)(x – 2)
4. Graficar la solución de cada uno de los siguientes sistemas.
a) 2 1 7xx 1 10>
#− −+ −
' b) x
x32 1 1
23 1 10
<
#
−
+
Z
[
\
]]
]
5. Resolver en Z7(x – 1)+10 ≤ 5(x+2) – 13 < 6(x+1)Determine el producto del máximo y mínimo valor que asume "x".
Aprende más
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. Si 2x – 1>5 → x ∈<3; ∞>II. Si 3x+1≥7 → x ∈ [2; ∞>III. Si 5 – 2x≥7 → x ∈ [–1; ∞>
a) VVV b) VVF c) VFVd) VFF e) FVF
2. De las siguientes proposiciones:I. 5<x+2<9 → x ∈<3; 7>II. 1≤x – 3<2 → x ∈ [4; 5>
III. 1< x3
2 1+ ≤5 → x ∈<1; 7>
IV. –1< x2
1 − <3 → x ∈<–5; 3>¿Cuántas son verdaderas?
a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) ninguna
3. Indicar verdadero o falso según corresponda:I. x+1>–5 → x ∈<–∞; –6>II. –3x – 1<5 → x ∈<–∞; –2>III. –2x+1>5 → x<–2a) VVV b) FFF c) VFVd) FFV e) FVF
4. Resolver: 5(2x–1)–3(3x+1)≤7(2x+1)–5(3x–1)Indicar el mayor valor que puede tomar la incógnita.a) –9 b) 10 c) 11d) 9 e) N.A.
5. Resolver: x x x x3
2 12
3 16
14
2 1>+ − + − − +
Indicar el intervalo solución:
a) [1; ∞> b) ;213− c)
21;38
d) <–∞; 1> e) ;213− −
32
Álgebra
165www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
6. Resolver:(2x – 1)(2x+1) – (x+1)(x – 1)≤3(x – 2)2
¿Cuál de los siguientes valores no es solución para la inecuación?
a) –95 b) –155 c) 1d) 89 e) Todas son soluciones.
7. Resolver:(2x – y)2+(2x+y)2 – 2y2>2(2x–1)2+6xIndicar el mínimo valor entero de la incógnita "x"
a) 1 b) 5 c) 0d) 2 e) –1
8. Resuelve el siguiente sistema:( 4) ( 2) ( 5) ( 7)( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x x3 2 1 3<
$− + − +− + + +
)
a) ;59 3− + b) <–3; 1] c) ;
427
59− B
d) <–3; 1> e) ;4273− B
9. Resuelve el siguiente sistema de inecuación:– – 48
–x xx x x x
3 36 6 2 8
2 2
2 2
2
2
++ + +
^ ^^ ^ ^
h hh h h
)
a) <4; 8> b) <4; 9> c) <5; 7>d) <6; 8> e) <4; 11>
10. Halla el conjunto solución del sistema de inecuaciones:
; ;x x x x x x2
24
4 15
2 17 ># #+ + + +
a) ;03
17 b) <1; 3> c) 2;3
176
d) ;33
17 e) ;5319
11. Resuelve el siguiente sistema:( )x x x
27 2
35 6
59 1< <− + +
a) ;52
23 b) ;1
23 c) <0; 1>
d) ;23
1118 e) ;
51
21
12. Resolver el sistema:
3x x
x x2 3
1
31
41
>
<
+ −
+ −
Z
[
\
]]
]
a) <2; 5> b) <1; 3> c) <4; 9>d) <4; 8> e) <5; 8>
13. Indicar la suma de valores enteros que verifican el sistema:
x x
x x23
62 13
32
42 2>
#+ −
− +
Z
[
\
]]
]
a) 10 b) 15 c) 20d) 6 e) 18
14. Indicar el intervalo solución del sistema:
( )
x x
x x x
34 1 4
27 1 2
24 3
32 1<
#− + − +
− − +
Z
[
\
]]
]
a) ;21318 b) ;2
213 c) [0; 5>
d) ;22138 e) [1; 6]
15. Cuántos valores naturales verifican el sistema de inecuaciones:
x x x5
43
24
3# G+ − +
a) 3 b) 8 c) 5d) 7 e) 9
Practica en casa
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. Si 4x+1>9 → x ∈<2; ∞>II. Si –3x+2>11 → x ∈ <–3; ∞>III. Si x
2≥1 → x ∈ [2; ∞>
2. De las siguientes proposiciones:I. 5<x – 1≤6 → x ∈<6; 7>II. –1<x+2<1 → x ∈<–3; –1>
III. 2< x2
3 1+ <5 → x ∈<–1; 3>
IV. –1< x2
1 − <1 → x ∈<–4; 2>
¿Cuántas son verdaderas?
3. Indicar verdadero o falso según corresponda:I. –4x+1>9 → x>–2 II. –2x – 1≥5 → x≤–3III. –x+3<5 → x>–2
4. Resolver:7(3x – 1) – 5(4x+2)≥5(3x+1) – 4(4x – 2)Indicar el menor valor que toma la incógnita.
Capítulo
166
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
5. Resolver: x x x x3
3 12
2 16
44
3 1<− − + + − −
Indicar el intervalo solución.
6. Resolver: (3x – 1)(3x+1) – (2x+1)(2x – 1)≤5(x – 2)2
Indicar el máximo valor de la incógnita.
7. Resolver:(3x – y)2+(3x+y)2 – 2y2 < 2(3x – 1)2 – 14Indicar el máximo valor entero que asume la incógnita "x"
8. Resuelve el siguiente sistema:2x+3 ≤ 3x+4 ≤ 4x+5
9. Resuelve el siguiente sistema( 3) ( 1) ( 4) ( 3)( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x x4 5 2 9<
$− + − ++ + + +
)
10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones
( ) ( )( ) ( ) ( )x xx x x x
4 4 645 5 2<
2 2
2 2 2
$+ − −+ + − +
)
11. Halla el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones:
; ;x x x x x x3
14
3 12
8 5< >$− + − −
12. Resolver el sistema:x x
x x4
15
241
2 42 2
>
<
− + −
− +
Z
[
\
]]
]
13. Calcular la suma de valores enteros que verifican el sistema:
21
62 3x x
x x x3
2 12
14
1
>
$
+ +
+ − − +
Z
[
\
]]
]
14. Indicar el intervalo solución del sistema:
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x x32 1
61
61 9
32 2 1
21
23 1
61>
#+ − +
+ − − + − −
Z
[
\
]]
]
15. ¿Cuántos números naturales satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones?
x x12
14 3
7# #− +
Tú puedes
1. Hallar el conjunto A sabiendo que:
/A x la proposici n x x3
2 52
1ó >Rd= +−
− −$
sea falsa
a) <–7; ∞> b) [–7; ∞> c) <–∞; –7>d) <–∞; –7] e) <–7; 7>
2. Resolver: (ax+1)(bx+1)<abx2+1Si: a<b<0
a) x<0 b) x>0 c) x<1d) x>1 e) x∈Ø
3. Resolver la siguiente inecuación:x x x x3 15 35 63 2
161
121
201
301
421
561
721>+ + + + + + + + + +
a) x>21 b) x<
21 c) x>–
21
d) x<–21 e) x>2
4. Resolver: ( )m n x
m nm n1 1$+ +
++ +
( )m n xm n
m n1 1$− +−
− +
siendo: m>n>0
a) ( )
1 ;m n 2
3+
+; b) ( )
;m n
123
−+;
c) ;( )
1m n 2
3−+
E d) ;( )m n
12
3−−
E
e) [0; +∞>
5. Indicar el intervalo solución del sistema:
2
2 2
x x
x x
x x
62 1
31
91
32
21
4 81
72 1 5
41
>
>
>
+ + + −
+ + +
+ + +
Z
[
\
]]]
]]]
a) ;381
543− b) ;
455
343−
c) ;381
455− d) ;
455
381− −
e) ;455
335−
32
167www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Capítulo
iNecuacioNes ii
En este capítulo aprenderemos
Inecuaciones II
. Resolver sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas.
. Desarrollar un plan para llevar a cabo la resolución y planteo de
un problema textual de una inecuación de 1er. Grado.
Lectura: La programacióN LiNeaL
En este capítulo se trabajan los Sistemas de
Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución
es una habilidad que te conviene adquirir ya que
será indispensable para resolver ejercicios de
PROGRAMACIÓN LINEAL.
La programación lineal un sistema que sirve para
optimizar recursos. Ya fue utilizado con éxitos en
el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para
conseguir un mayor engorde del ganado con el
menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó
en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema
denominado método símplex para la resolución de
estos problemas.
FUENTE: http://4.bp.blogspot.com
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
22 4
x yx yy 1
#
$
$
+
− −
Z
[
\
]]
]
x 0 1
y=2–x 2 1
x 0 2
y= x2 +2 2 3
1
33
Capítulo
168
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Síntesis teórica
Inecuaciones II
Sistema de inecuaciones lineales con dos o más incógnitas
Solución de problemas
Problemas de inecuaciones
33
Álgebra
169www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Saberes previos
Aplica lo comprendido
Aprende más
1. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistemax yx 3><
'x+y es igual a:
2. Resolver el sistema en enteros positivos55
xyx y2 3 19
<<
>+
Z
[
\
]]
]
luego indicar el valor de: xy
3. Resolver el sistema en enteros positivos:x y
x y3 2
4<<+
)
indicar: xy
4. Resolver el sistema en enteros:x+y<32x – y<1
luego indicar: xy
5. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema.
3– 2
x yx yx 2
#
#
$
+
*
indicar: xy
1. Si "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema:x yx y
3 27–><
−)
Entonces x+y puede ser:
a) 5 b) 6 c) 7 ó 8d) 8 ó 9 e) 9 ó 10
2. Resolver el sistema en enteros positivos:x yx y
51
<>
+−
)
indicar: xy
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Resolver el sistema en enteros para luego indicar el valor de: x – y5 3 2xx y
y2 11
5
><
>
−+
Z
[
\
]]
]
a) 6 b) –6 c) 4d) –4 e) 2
4. Resolver en Z+
1x y
y x
x
7
5 51
5
31
#
$
#
+
−
Z
[
\
]]]
]]]
Indicar el valor de y/x
a) –1 b) 2/3 c) –4/5d) 4/3 e) 1
1. Si: x – 3<7; hallar la suma de los números naturales que toma "x"
2. Resuelva las siguientes inecuaciones
a) x23 1 11<−
b) x3
2 1 5$−
3. Graficar los siguientes intervalosa) x ∈ <–7; 5]b) x ∈ [3; +∞>c) x ∈ <–∞; 4]
4. Representar gráficamente las siguientes expresiones:a) 4 < x ≤ 7b) –7 ≤ x < 3
c) –21 < x <
51
5. Luego de resolver, indicar la suma de valores enteros que verifique el siguiente sistema de inecuaciones.
3 5 ......... ( ).......... ( )
x Ix II2 1 5
<$
−−
)
Capítulo
170
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
5. Resolver en Z+:x y
x y
y
3 5 152
2 211
3
>
<
>
−
+
Z
[
\
]]
]]
Indicar el valor de x2+y2
a) 4 b) 16 c) 25d) 9 e) 36
6. Resolver en Z
1
x y
x y
x
4 61
21>
#
#
+
−
Z
[
\
]]
]]
Indicar el mayor valor de "xy"
a) –2 b) 4 c) 6d) 7 e) 8
7. Resolver en Z+
2
x y
x yyx
3 7 211
3 13
3
>
<><
−
+
Z
[
\
]]]
]]]
Hallar el valor de: y2 – x2
a) 5 b) 8 c) –6d) –7 e) 9
8. Resolver el sistema en los enteros:2 5 30
3 22x y
x yy 8
><
>
−+ −−
Z
[
\
]]
]
Indicar: x+y
a) –5 b) –4 c) –8d) 5 e) –9
9. Si: {x; y; z} N1 ; resolver:
3 28
2 5 2
y xyx z
z
4
12
<>
<<+
Z
[
\
]]
]]
Indicar un valor de: E=x+y
a) 4 b) 5 c) 6d) 13 e) 8
10. Un número entero es tal que su duplo, aumentado en siete unidades es menor que 101. Y su quíntuplo, disminuido en treinta unidades no es menor que 200. Hallar tal número.
a) 40 b) 45 c) 46d) 47 e) 48
11. La edad de mi padre disminuida en su tercera parte no es mayor a 38 años. Pero, si al doble de su edad le disminuimos la tercera parte de su edad actual no es menos que 95 años. ¿Qué edad tiene mi padre?
a) 55 años b) 54 años c) 56 añosd) 57 años e) N.A.
12. José tiene cierta cantidad de dinero, gasta S/. 10 y lo que le queda es más que los 2/3 de lo que tenía inicialmente, gasta luego la mitad y el saldo es menor que S/. 11. ¿Cuántos tenía inicialmente?
a) 61 b) 1 c) 41d) 31 e) 21
13. Un carpintero hizo cierto número de sillas. Vende 49 y después le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20 quedándole menos de 41 sillas. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas?
a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120
14. Se compra un número par de naranjas, si se venden la cuarta parte, quedan menos de 59 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedaría más de 64 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron?
a) 64 b) 78 c) 82d) 56 e) 66
15. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es menor que 29.
a) 57 b) 63 c) 49d) 85 e) 74
33
Álgebra
171www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria
Practica en casa
1. Resolver el sistema en enteros positivos:6x y
x y 2<>
+−
)
Indicar: xy
2. Resolver el sistema en enteros positivos e indicar el mayor valor de "x+y"x yx y
2 104<>
+−
)
3. Calcular los valores enteros de "x" e "y" que verifican el sistema:5 3 22 11x yx y
y 3
><
>
−+
Z
[
\
]]
]
Indicar: "x+2y"
4. Resolver en Z
1
1
x y
x y
x
10
6
51
<
<
$
+
−
Z
[
\
]]]
]]]
Determinar el máximo valor de "x"
5. Resolver en Z
x y
x y
y
2 211
3 2 61
51>
$
#
−
+ −
−
Z
[
\
]]]
]]]
Indicar el mínimo valor entero que puede tomar "y"
6. Resolver en Z
1
x y
x y
x
6 9 21
3
21>
#
#
−
+
Z
[
\
]]]
]]]
Indicar el valor de "xy"
7. Resolver en Z
1
( ) 1
x y
x y
y
10
6
101<
$
$
−
− +
−
Z
[
\
]]]
]]]
Indicar el máximo valor entero de "y"
8. Al resolver el sistema5 3 25
y xx yx y11 2
<<>
−++
Z
[
\
]]
]
para {x; y}∈Z+
Calcular: E=x+y
9. Hallar las soluciones enteras y positivas del sistema:24 7
4 2
y xy z
x z
<><−
*
Calcular: x+y+z
10. Un número entero es tal que su triple, aumentado en once unidades es menor que 98. Y su duplo, disminuido en diecisiete no es menor a 39. Hallar dicho número.
11. Mi dinero es tal que, si tuviera la tercera parte más no sería mayor que S/. 1000. Pero, si tuviera la tercera parte menos no sería menos a S/. 500. ¿Cuánto dinero tengo?
12. Ricardo tiene cierta cantidad de propina, gasta $8 y lo que queda es más que los 3/4 de lo que tenía inicialmente; luego gasta la mitad y el saldo es menor que $13. ¿Cuánto tenía inicialmente?
13. Un panadero hizo cierto número de tortas. Vende. Vende 29 y después le queda por vender más de la mitad. Hace después 9 tortas y vende 10 quedándose menos de 30 tortas. ¿Cuántas tortas ha hecho inicialmente el panadero?
14. Hallar un número natural, sabiendo que la quinta parte del que le precede disminuida en una docena, es mayor que 4, y que la tercera parte del que le sigue, aumentado en una docena es menor que 40.
15. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo, pero menos que el tercero. ¿Qué número de piezas arroja la máquina por minuto?
Capítulo
172
Colegios
TRILCE Central: 6198 – 100
Tú puedes
1. Luego de resolver en enteros el siguiente sistema:84
0
x y zx y zz yz 5
><
><
+ +− +−
Z
[
\
]]
]]
Indicar: y+z
a) 7 b) 5 c) 4d) 3 e) 2
2. Siendo "x", "y", "z" los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema:
146
x y zx y zy zz 7
><
<<
+ +− +
Z
[
\
]]
]]
El valor de la expresión y z 8x 3 2− − es:
a) 1 b) 3 c) 5d) 4 e) 2
3. Luego de resolver en Z
( ) ( )
( )
x y x y
x y x
y
32
23
61
1<
#
$
− +
−
Z
[
\
]]
]]
Indique el valor de "x"
a) –1 b) 2 c) 0d) 3 e) 1
4. Hallar los valores enteros de x, y, z que satisfacen el siguiente sistemax y zx y zx y z
z
2 11
4 2 14
<><
<
+
+
+
−−
−
Z
[
\
]]
]]
Indicar: xyz
a) 1 b) 8 c) 6d) 12 e) 27
5. Entre Carlos y Daniel tienen menos de 6 hijos; Daniel tiene más hijos que Pablo y aunque Carlos tuviera un hijo menos, seguiría teniendo más hijos que Pablo. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de ellos? Ordenar hijos de Carlos después Daniel y último de Pablo.
a) 2, 1, 3 b) 1, 2, 3 c) 3, 2, 1d) 3, 1, 2 e) 1, 3, 2
33