Recta y plano en el espacio

Un vector paralelo a L es aquello con representación PQ. Entonces

P= (X1.Y2.Z1) Y Q=(X2. Y2. Z2)formula v=PQ =(X2 –X1)I + (Y2-Y1)J + (Z2-Z1)K (451)Entonces PR es parabelo PQ, que a su vez es parabelo a V que es por teorema 4,3,3 en la pagina 263 PR=TV (452)La figura 435. Se tiene OR=OP+PR (453)Y la cambinar se obtiene OR=OP+TV (454)

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA Y PARAMETRICA

• XI+YJ+ZK=X1I + Y1J + Z1K + T(X2-X1)I+T(Y2-Y1)J + T(Z2-Z1)K• X=X1+T(X2-X1)• Y=Y1+T(Y2-Y1)

• Z=Z1+T(Z2-Z1) (455) FORMULA

• DEFINIR X2 – X1 =A, Y2 - Y1 = B Y Z2 - Z1 =C SE ENCUENTRA QUE SI A,B,C= 0

• FORMULA • (456)

FORMULA

DETEMINACION DE LAS ECUACION DE UNA RECTA

• ENCUENTRA LAS ECUACIONES VECTORIALES, PARAMETRICAS Y SIMETRICAS DE LAS RECTA L QUE QUE PASA POR LOS PUNTOS P=(2,-1,6) Y Q =(3,1,-2) POR EJEMPLO (X,Y,Z) Q Y P

• SOLUCION•

• V= (3 - 2)I + [(1- (-1 )]J + (-2 – 6)K = I +2J - 8K.• DESPUES DE (454 ) SI R= (X,Y,Z) SE OBTIENE • OR = XI + YJ + ZK = • OP + TV =2I – J + 6K + T(I +2J – 8K )• X= 2 + T Y= -1 + 2T Z= 6 - 8T

• V =• V = I +2J - 8K• V = A= 1 B=2 C= -8

• EC. PARAMETRICAS EC. SIMETRICAS• X= 2 + 1T • Y= -1 + 2T • Z= 6 - 8T 3= X – 2 = Y + 1 = Z – 6• 1 2 -8 • 3*1=3 + 2 =5 • 3*2=6 -1 =5• 3* -8= -24 + 6 = -18 (5,5,-18)

(3 - 2)I + [(1- (-1 )]J + (-2 – 6)K

• POR UTLIMO, COMO A=1 B=2 C= -8, LAS ECUACIONES SIMETRICAS SON

• X – 2 = Y + 1 = Z – 6• 1 2 -8

•

(457)

• SE COMPRUEBA QUE (2,-1,6 ) Y (3,1,-2 ) LOS PUNTOS (457)

• 2 – 2 = - 1 + 1 = 6 – 6 = 0• 1 2 - 8• • 3 – 2 = 1 + 1 = - 2 – 6 = 1• 1 2 - 8

• POR EJEMPLO SI T = 3

• 3= X – 2 = Y + 1 = Z - 6 (5,5,-18)• 1 2 -8

OBTENCION DE LAS ECUACIONES SIMETRICAS DE UNA RECTA

• LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (1,- 2,4) Y ES PARABELO AL VECTOR Y = I + J – K

• SOLUCION SE UNA FORMULA (456) CON ´P = ( X1, Y1, Z1 )= ( 1,- 2,4) Y QUE A= 1 B=1 C=-1

• X – 1 = Y + 2 = Z – 4 • 1 1 -1

plano

• Sea P un plano en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero. Entonces el conjunto de todos los puntos Q (x,y,z) para lo que PQ . N=0 constituye un plano en R3

• P = (X0, Y0, Z0) UN VECTOR N = AI + BJ + CK• • Q= (X,Y,Z) PQ= (X – X0)I + (Y – Y0)J + (Z – Z0)K

• A(X – X0) + B(Y – Y0) + C(Z – Z0)=0

• (458)

ECUACION CARTESIANA DE UN PLANO

• FORMULA • AX + BY + CZ = D

• DONDE D = AX0 + BY0 + CZ0 = OP . N•

• (459)

EJEMPLO

• DE (458)• UN PLANO Ñ QUE PASA POR EL PUNTO (2,5,1)

QUE TIENE UN VECTOR NORMAL N= I – 2J + 3K

• (X - 2) -2 (Y - 5) + 3 (Z - 1) = 0• 1*2=2 -2*-5=-10 3*1=3 = -5• X – 2Y + 3Z = -5

EL DIBUJO DE UN PLANO

• CASO.1 EL PLANO ES PARABELO A UN PLANO COORDENADO.

• X = A (PARABELO AL PLANO YZ)• Y = B (PARABELO AL PLANO XZ)• Z = C (PARABELO AL PLANO XY)

TRES PLANOS PARABELOS A ALGUN PLANO COORDENADO

• PASO 1. GRAFIQUE LOS TRES PUNTOS DE CRUCES • PASO 2. UNOS LOS TRES PUNTOS DE CRUCES PARA FORMA UN

TRIANGULO• PASO 3. TRACE DOS LINEAL PARABELO DIBUJE UN

PARALELOGRAMO CUYO DRIAGONAL ES EL TERCER LADO DEL TRIANGULO

• PASO 4. EXTIENDA EL PARALELOGRAMO DIBUJANDO CUATRO LINEAL PARABELO

• LA GRAFICA DEL PLANO X + 2Y + 3Z = 6 EN LA FIGURA (438) LOS CRUCES SON (6,0,0),(0,3,0),(0,0,2) UN PLANO (439)

X+ 2Y + 3Z = 6

LA ECUACION DE UN PLANO Q PASA POR TRES PUNTOS DADOS

• P=(1,2,1) Q=(-2,3,-1) R=(1,0,4)

SOLUCION

• P (1,2,1) Q (-2,3,-1) Y R = (1,0,4)• V=(-2) - 1)I + (3 - 2)J + (-1) - 1)K• = -3I + 1J - 2K

• QR= (1 – (-2)I+ (0 - 3)J + (4 – (-1 )K• 3I -3J +5K

SOLUCION

• N = PQ * QR

1*5=5 3*-3= 9 3*5=15-3*-2=-6 3* 1= 3 3*-2=65-6=-1I 9-3 = 6K 15-6 = 9J

I

1 -2

-3 5

J

3 -2

3 5

K

3 1

3 -3

I J K

3 1 -2

3 -3 5

• USADO EL PUNTO P (1,2,1) EN LA ECUACION (458) - I + 9J + 6K

• N: -(X - 1) + 9(Y – 2 ) + 6(Z - 1)= 0• -1 + 18 + 6 = 23

• -X + 9Y + 6Z = 23

DEFINICION ´LA PLANO PARABELO

• DOS PLANO SON PARABELO SI SUS VECTOR NORMALES SON PARABELO, ES DECIR SI EL PRODUCTO CRUZ DE SUS VECTOR NORMAL ES CERO.

DOS PLANOS PARABELOS

• LOS PLANO Ñ : 2X + 3Y –Z = 3 • Ñ : -4X – 6Y + 2Z= 8 SON PARABELO YA QUE

N1 = 2I + 3J – K• N2 = -4I – 6J + 2K = - 2n1(Yn1 Xn2 = 0)

Puntos de interseccion de planos• Los planos 2x –y –z = 3 y x + 2y + 3z = 7

• x = 13 - 1 t y = 11 - 7 t y z = t• 5 5 5 5

gracia por atención