algeblocks politabla de dreyfus

Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 9

Introducción

El material didáctico puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se puede representar geométricamente una expresión algebraica de segundo grado. Está inspirado en una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 19631 para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.

Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones de segundo grado, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de trinomios de segundo grado.

Su aplicación a la resolución de ecuaciones de segundo grado, constituye un método mixto (geométrico y algebraico) de resolución que tiene entre sus antecedentes la factorización geométrica de trinomios de segundo grado y el método de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemático árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr wa´l muqqabala”, por lo que puede ser considerado un método de resolución con raíces interculturales que contempla el desarrollo histórico de las matemáticas.

El método de resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la ecuación que se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las hubiese, se obtienen aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de resolución (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz).

1Citado por Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instrucción, (pag. 119).

2Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics

Teacher, Vol. 93 issue 6, september 2000, (pag. 462-520).

Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________

Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 10

1. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con puzzle algebraico.

1.1. Descripción del material didáctico puzzle algebraico.

Llamamos puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados y rectángulos que representan:

el cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva.

el rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.

el cuadrado de área X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.

Cuadrado de área 1

Unidad positiva

Rectángulo de área X

Tira positiva

Cuadrado de área X2

Placa positiva

Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden representar trinomios de segundo grado de términos positivos.

En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con términos positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores.

Cuadrado de área - 1

Unidad negativa

Rectángulo de área – X

Tira negativa

Cuadrado de área - X2

Placa negativa

Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.

1

1

1 X1

XX2

X

X

- 1

1

- 1 - X- 1

X- X2

X

- X

Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia.___________________________________________________________________________________________________________________________


1.2. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado mediante un conjunto de piezas.

Toda expresión de 2º grado en forma general completa ( cbxax2 ) o incompleta ( bxax

2 o

cax2 ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del puzzle algebraico.

Esta representación geométrica se realiza término a término.

En concreto:

1) El término cuadrático ( 2ax ) se representa mediante:

a) Una placa o conjunto de placas 2X cuando 2

ax es positivo.

Ejemplos:

x2 2x2 3x2

4x2

···

b) Una placa o conjunto de placas 2X , cuando 2

ax es negativo.

Ejemplos:

- x2 - 2x2 - 3x2

- 4x2

...

2) El término en X (bx ) puede ser representado mediante:

a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X ,cuandobx es positivo.

Ejemplos:

x 2x 3x 4x 5x

···

b) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos grupos de tiras X , cuando bx es negativo.

Ejemplos:

-x - 2x - 3x - 4x - 5x

...

X2 X2 X2X2

-X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2

-X2 -X2

-X2 -X2

X2 X2

X2 X2

X2 X2

x xxxxx xx x

xx

xx xx

-x-x -x-x -x -x-x

-x

-x-x -x

-x-x

-x -x


Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 12

c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y X como se indica en las figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bxque queremos representar. Aquí se aplica el principio: “pares de valores opuestos se anulan”

Ejemplos:

2x

xxx 224

- 3x

xxx 34

- x

xxx 54

...

3) El término independiente (c) se representa mediante:

a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término independiente es positivo.

Ejemplos:

1 4

45

8

...

b) Una unidad o conjunto de unidades negativas ( 1) cuando el término independiente es negativo.

Ejemplos:

- 1 - 4

- 7

- 9 - 12 - 12

...

Ejemplo: La expresión de 2º grado completa 3522

xx se puede representar por las piezas:

22x x5 3

11

11

11

11

1

11111

11

11

1 1 1 1

X2 X2 111X XX X X

-x-x

xx x x

x

-x-x -x -x

xxxx

-x-x-x -x -x

-1 -1 -1 -1-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1 -1 -1

-1 -1 -1

-1 -1 -1

-1

-1

-1

-1 -1 -1

-1 -1 -1

-1 -1 -1

-1

-1 -1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1



1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle algebraico.

Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al menos una placa (X2) representa una expresión de 2º grado.

Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.

Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión:

1112

xxxxx

Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada:

1.4. Utilidad del puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para obtener expresiones equivalentes más simples.

A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes (identicas) a la expresión general de 2º grado inicial representada.

Para fundamentar y describir este proceso de obtención de expresiones equivalentes desarrollaremos dos ejemplos.

Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 232

xx en forma factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.

a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 232

xx

b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:

X2-1 -1-1x -x -x -x

xX2 11xx

X2

x

x

1 1

x

322

xx



c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes:

Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones:

El área del rectángulo es igual a la suma de las áreas de las piezas que lo forman:

Área rectángulo = 112

xxxx

Agrupando términos, tenemos:

El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura:

Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo.

Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 122

xx en forma de binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa.

a) Seleccionamos las piezas que representan

la expresión 122

xx

b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre varias combinaciones el siguiente:

Área rectángulo = 232

xx Área rectángulo = 1x.2x

x2+3x+2 = (x+2).(x+1)

xxX2 1 1x++ + + +

X+2

X+1

1

X

X 1 1

Área rectángulo = base . alturaÁrea rectángulo = Suma área de las piezas

Área = (x+2).(x+1)Área = x2+3x+2 =

X2 1-x -x

X 1

X 1X2

1

-x

-x



c) Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:

Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones:

El área del cuadrado como suma de las áreas de las piezas que lo forman es:

El área del cuadrado como producto de sus dimensiones o como el cuadrado del lado es:

Conclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la construcción de un cuadrado.

2. Construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico: Características y condiciones.

La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes más sencillas de expresiones de 2º grado en forma general.

Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos.

Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas.

En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción de rectángulos y cuadrados válidos.

Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del puzzle que

representa la expresión algebraica de 2º grado: 62xx

Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería:

En este rectángulo es imposible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura).

Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas cuando deberían ser iguales.

Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener una expresión equivalente.

Área cuadrado= 122

xx Área cuadrado=2

11·1 xxx

22112 xxx

-1

-1 -1-1

-1-1

X2 -x -xx xx

-1

-x

x

X2

-x

-1

-1

-1

-1

-1

x

x

Área = (x-2)2Área = x2-2x+1 =



2.1. Tablero para la construcción de rectángulos y cuadrados con “puzzle algebraico”

La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la determinación de las dimensiones, se realizará sobre un tablero de construcción o “esquina” en cualquiera de sus dos versiones: superior o inferior.

a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas 2x y para determinar las

dimensiones de las construcciones.

b) En las barras horizontal y vertical, independientemente del tablero adoptado, anotaremos las medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido.

2.2. Reglas básicas de agrupación y combinación de piezas.

La construcción de figuras con puzzle algebraico se realizará siguiendo unas reglas de agrupación y combinación de piezas. Para ilustrar la presentación de estas reglas partiremos del rectángulo del

ejemplo anterior, construido a partir de la representación de la expresión: 62xx .

La primera regla es:

Medida de la base

Me

dida de la a

ltura

Punto de partida para colocar las piezas X2

para determinar las dimensiones de la construcción

X2

Punto de partida para colocar las piezas X2

para determinar las dimensiones de la construcción

Medida de la base M

edi

da

de

la a

ltura

X2

-x

-x x

X2-1 -1

-1-1

-1

-1

x

x

1ª Regla Las unidades tienen que estar agrupadas en un único bloque,

en forma de cuadrado o de rectángulo.

Esquina superior

Esquina inferior


Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 17

La segunda regla es:

La tercera regla es:

Aplicando las tres reglas, obtenemos el siguiente rectángulo, cuyas dimensiones se indican:

En resumen, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas, o de forma abreviada las reglas de construcción, serían:

X2 -x xx

-1

-1 -1

-1

-1

-1

x

-x

3ª Regla Las tiras positivas X y negativas –X,

no pueden estar “mezcladas” entre si. No pueden combinarse

en un mismo bloque

2ª ReglaLa placa X2 y el “bloque de unidades” tienen que estar situadas en diagonal

No pueden situarse en la misma fila o columna X2

-1

-1

-1

-1 -1

-1

x

-x x x-x

X2

-x

xxx

-x -1

-1

-1-1

-1-1

X+3

X 2

1ª Regla: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando un rectángulo o un cuadrado.

2ª Regla: La placa X2 y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal. No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila.

3ª Regla: Las tiras X y –X, no pueden estar “mezcladas” entre si en la misma fila o columna.

Ministerio de Educación Curso de Postgrado.

Tercer Ciclo de Educación Básica. Especialidad Matemática. Curso: Álgebra de los Números Reales

Julio de 2010

POLITABLA DE DREYFOUS 1 1 1 1 1 x x x x x y y 1 1 1 1 1

x

x

x

x

x

y

y

Conozcamos la Politabla Dre*yfous@ y multipiiquemos f .,. -. - , Objetivo: Conocer como utilizar la Politabla Dreyfousa a tnves de rnultipiicaci6n , ,,, ' ?-

Para empezar a trabajar es necesario que tengas la Politabla frente a ti. X continuacidn aparece la Figun I que rnuestn Ias rnedidas de Ias longitudes de cada espacio. Es importance que siempre recuerdes que la longitud miis pequeiia es la unidad. la que le sigue en tamaiio es la x y la mas larga es la y. El rnismo arreglo de longitudes esta en la pane vertical y horizontal.

Figun 1

Empeccmos con el siguiente cjcmplo: rnultipliquemos 2 por 3. Primero. rornemos una iiguilla ilzul clara y utilizando las longitudes horizontales. cstlre la ligu~lla clc i~qulrrcla J derccha Ilasta cubrir dos unidadrs. i o m o sc: Inuestra cn 1a Figura 2 .

Es imponante que ahora intentrs hncer varios ejercicios por tu cuenta -. uti1iz;rndo la Politabla p m que de esa forma la aprendils a u l i i b r lo mis promo posibls. -

. / + . Multiplica 10s siguientes numeros: . 't

-A 'A

. r

% .

. . 1) 3 veces 3 2)4por5

Ah(1r.l. tcncmo:. quc hoccr lo nilsnli) cot1 cl hcgundo factor: cl 3. Esto o. cl prlrlicr lnctor sc COIIK.:I CII rl lndo tlor~ront;ll y cl *cpulltio cn cl l;ldc, vcnical. kt1 I;! Figuc: ? sc pucdc vcr quc

. . 1;1 ~litcncccio~i dc ];I\ do\ I ~ ~ u i l l u \ tic), d ; ~ cl prtduc~ir. Lrl 1;1 F I ~ U C I ;I U O I I I I I I U ~ C I O I I C I ~ r c ; ~

. xi)n~hrc;ld;i indic;~ cl productu. chit) c \ . 0 -A: . . f f ~ l d

flk. t i I 1 1

I

1 I I 1 1 ,)(3 " b I , [ 1

- b#& I

1 I

I I

-10 2 Multipliquemos

lado horizontal. como s

&

4

lado vertical. cb# * . .

3 por x. Recuerda. el primer factor. en este caso 3. se coloca e muestra en la Figun 3. Ahora colocamos el segundo factor

~ C U A e; la contestation a iste ejercici 3%

1 '

I

I

I D

n m

e m

11

' :

!

nr I

L

I

1

I < .

. . h1ultlpilquenloh ( x + 1 I 1x1: t -\ + 2 : I*nnwriimcntc rcprcxntcnlo. 1 + I en 1;i pan; hoy=izont;ll l u q o + 2 J:r pan:- ~ c n ~ c z l 7 r4t;l de hnccrlo sln mlrw 1;1 F1gur;i 5 quc iluh[l..:

rl producio. - # .,, ;A"--. ; b

*,,* <. 2 A! .iF * . ' -. .I

~CUAI es la contesracion final del ejerdcio?

S i- deseas utilizar 10s Algdmks pan detcrminar el resultado final puedes hacerio . pero tmta de identificar las figuras que esdn dentro del h a sornbreada. Es imponante w

stiialar que a1 multiplicar (x + 1)tx + 2) hay un patron. Ahora intents haccr 10s siguientcs ejercicios primer0 con la Politabla p a detnminar el patron y luepo sin hacer uso de la mism.

!-

Ejercicios: Multiplique

Ahon vamos a multiplicar expresiones con signos. Para multiplicar expresiones con signos vamos a utilizar las liguillas oscuras para reqmsenm lo negativo. - p , ,- . . ,. . .:!. ' . . . t . "

Antes de ernpezar a trabajar con In dtipi&.zsih dc ndrnenu con signos es ix&~nte repasar las reglas de 10s mismos. Contesta 10s siguientes ejercicios:

r ,

3) 3 - 6 1 4) Positivo por Pasitivo f

+ . r -5

I . , - . . - - . I ' : 5) PositivoporNegativo ' ' 6) Negativo por Positivo ' . . w-'. * 7) Negat ivo por Negativo .. . .

.. . - * 9 .-r. " -, * % , .

r * , . 1 ., 1 . t Y

!3a2u .'. - ,a , . .". * . .L.;

C ' - *- "r a L,

. . . .- I .

*2 por -3. Primero repesen'tamos' b en la parre horizontaL con una liguilla color azul ciaro. Luego vmos a representar -3 en la parte vertid con una iiguilla azul oscuro. Ffjate que a1 rnultlpiicar un numero positivo poi uno negativo tenemog dos laxios dei rectjngulo con liguillas azul ciaro y dos lados azul oscun, esto nos indica que el resultado va a ser negativo ; pues 10s lados dei enmcion de 'a-3.

+2 - * , . . ,

\ . %

:, . . Figura (7

, . I

4

, 'A . * Y.

- 4

I:ii;i[c ~ L I C 1;1 I I I [ L ' ~ S C . C C ~ ~ ~ ~ 1;1 \omhrc3rno\ con cl color osctlrt, Ir, cual qu~cn: ~llu.lr 'b I ! I IC \ I ~ c f l c t r l o \ tin n u n i c r o I I C C ~ I I V O pqr un!) p o u ~ t t ~ i ) C ! rcxulla~10 tlcnc \ I t n o ~ I L ' I ICC~I IV( I .

b Q . .

, - . . . f.. . . . P-

La divisidn cs in opernci611 opuesta la Illlllliplicaci6ll. [lsto es. ailora ~ C I I L ' I I I ~ S lil i~~ l~rsccc i t i l~ dc los ~nclores. Nurstru imh;lja collsistirii cn ohteller cl olro inelor: el c ( r i c ~ ~ ~ e .

ElawlQl 4x ~ i ~ i d ~ ~ ~ ~ ~ -;;-. Parat~ncer esto, pr i i~~ero c o l o c a ~ ~ ~ o s el tlivisor ( en eslc c:lxo 2 ) en cl L

lado horizontal corrlo sc tnuestra ell la Figur;) 10. Ahorn lc~lc~llos que ohtcncr 4 x r l c ~ ~ t ~ o clc 1;) intersecciGn de Ins ligllillns. Para lOgrdrl0 estirilrnlllo~ In ligllilli~ hilsla ohtcllcr 4 fccl:i~lpi~lo~: cada ullo con ull lado 'lr Ji~ncnsicin 1 unidird y cl otro I;lrlo x ullid;\dcs. La corl~c\~;rcitin tlc la divisi611 se obliene olrscrv;lntlo la pilrll. c l ~ ill.rih:l. !ill C c l C C;lSO Cl filctol- c l l l c 1~114~.;11llo';

Figure 10

2 " lil divisic',n dc x + 2x cmllllY x. ~cc l l c ld :~ clue 1Jri11lcl.o rcyrcsc~rr:~~llor el tlivisor c11 la p;lrlc horizo~lt~l y de11tro dc I*\ illlerscci.ifin \':I~ilos ;I oh~cncr x + 2u.

I . .

I . , ,

x+Q ,. . . .- Co~*&?z' . ' v A +... j

r- *, ' 3 "

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?c . 9.' .

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1

. <

. . - - . F , ' . .. . . _.. . .

,: , .,: . -. . , , .

. . . . . . ...

> < ,.. I -

. . +. . 3x + 3

Divide . Para haccr csto tcncmos quc cmpcznr rcprcscntando cl divisor (cl x + l

tlcnominador) colno u n o dc. los Iilctorcs, i'rinrcro utilizamos una iiguilla paril cl divisor colno niucstra I ~ I siguicrlrc prifica.

3rd 12

. . . . f

El siguiente paso es obtener 3x + 3 dentro de la Politabla. Comenzamos obteniendo 3%. Esto es.

Figura 13

Divide (x2 + 2x) por (x + 2) . Aqu1 v:llllos n sclr~~ir t-I ~iiislno 111Ccttklo ~ I I C t~ti l i~:~li~o< anlerionne~~le. I'rilnero represellr;lllIos x + 2 , esto cs:

Figura 14

Segundo, ter~enlos que obterler xz . Al ob~ener x2consepuinlos tanlbif II Ins 2x quc l~ecesitdba~nos como se represenla en la figura 15.

Dtvtdando

Vcmos que la contestacitin clc la divisicin dc x? + 2x p r x + 2 es x.

Divide (x' -t 3x + 2 ) por (x + 2) . Dc igual forma que en el ejen~plo anterior. prirncro rcprcscntamos x + 2 . Esto es.

Ahota tenemos que obtcner x2, La figura 17 muestra lo que tenemos a1 obtener 2.

Figura 18 ' -.

' . - . - . ..

.., . . > . X .. . -. . . : . 7 .

, .

rn . * ' ' . . - A L . . I . . . . . - . ' 'c :.

, .... , . . . . , . .- .. . -". . ' t?, - . . -- ., . I

K x + 2 DIVISC? ' , ' ,

. s . . , - ,, 9. , .

t

Ahora dtbcmos prestar atenci6n a la foma en que lo hicimos. Rimero representarnos x + 2, entonces queriamos obtcncr 9 y utilizamos una liguilla para obteneria. Una vez rtpresentamos la x corno paste de un cociente. entonces vimos que teniamos x+ + 2x y d d b a m o s 2 + 3x + 2, por lo cual s6lo nccesitAbamos aiiadir x + 2. Finalmtntc aiiadimos 1 unidad mis a1 cociente y el resultado fue x + 1. Vearnos el algoritrno que podemos desarrollar paniendo de estos pasos.

Figura 17

*u . I

El dividendo que queremos obtener es x2 + 3x + 1 y hastn el mornenlo hernos logrido x2 + 2x. Fijate que para completar el dividendo necesitamos x + 2 ! una x mi3 2 unidades). Vemos que si aiiadimos 1 unidad al cociente obtenemos lo siguiente:

. . x + l . - . , I ~. 4..

D

b

' i . - .. . I . -

' * I :

. ! .+ rcl. -.. . ~.

t . : b. . . , '*..?. I

% : ,. . . . '< '. . .

:,x .,

Fac torizaci611 de polino~i~ius

( )~)JCI~VO: Fictor i~iu polino~~lios.

1.a iac'tori~3c'iti11 cs bic11 1)1reciOi(, ill ~ ~ O C C S O dc (livisihn. Lib tlifcrrncia cstriba ~ I I clue en la ~ l i \ i s i~ i r~ y3 sc tic11e LIIIO d(: Ios I'ilct~rcs. 1l1ic111r5s (111~: en I U t'ilc10ri~aci6n 110 se ticne ninguno.

I:ac[oricc: j x + 6 . 1.0 C I L I ~ 11~cct,iti(r1~os I I ~ c ~ I - cs tzllc'r 3 x t 6 611 lu I I L L I I ~ interior dt: la Iai,lr~abla. 1:bltr cs. I ~ I I ~ I I ~ O S ~ U C I L ' I ~ C ~ 3 I . L ' C [ ~ ~ I ~ ~ L I I ~ ) S ~ 0 1 1 ;~CC;L x Y 6 urlidailes ~ u a d r i i d a ~ . I'r.i~~lcro b i ~ ~ t l i ~ c r ~ ~ o s 10s 3 rci'tii11gl1lt)b C O I ~ X. L~t'gl) ~ C ~ . C I ~ I O S O ~ I C I I ~ L . ILLS 6 ~ ~ l i d i i d ~ ~ , pero IL'I IL ' I I~O: , L ~ I C ii)r111;1r U I ~ r c c t i i ~ ~ g u l ~ . Si 11 exl)resi611 qutf 110s d;ln ILO furn~a UIL rectiingulu, c~btoaces Iro fictorina. A cil~rticlu;rci&l LCIIL'IIIOS, ~ ' 1 1 la rcgihn ~ ~ t l t b ~ . ~ a d i t , 3x*+ 6 y 10s L'~~CIOI.CS ~ O I I Iat, Iongitir~lcs dc catla lado ~ lc l r cc l i~~g i~ l t ) . Esto sc ilustra C I I la Cigurir yur: aparzcc a ~ . t~r i~ i~ l t~ac ' ih r~ .

x

Vcrnos quc en In I'ncrc~riznciBn dc x ' + 2 k . utlo dc los fnclorcs cs x y el otro cs x + 2.

lados trnrcs dc los

Fipura 2 1

Factorice r : + 3r + 4. Nucvamentc. recuerda que para obtencr r2 nccesiws x en nrnbos Adernis. para ohrener 2 necesitnrnos rcncr dos unidadcs cuadndas. Es lrnportante quc

por tu cuenta de factorizarlo. Fijate que la un~ca forma es ~cniendo una unidad en uno , facrorcs y dos unidades en cl otro factor.

x + 2

J x + l

algeblocks politabla de dreyfus

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