ฟังก์ชั่น และ แล้ว¸Ÿังก์ชั่น.pdf · 1...
TRANSCRIPT
1
ฟังก์ช่ัน
นิยาม ฟังกช์ัน่คือเซตของคู่ล าดบั ซ่ึงมีคุณสมบติัวา่ ถา้ ( ) และ ( ) แลว้
ข้อสังเกต ความสัมพนัธ์ท่ีมีตวัหนา้ไม่ซ ้ ากนัเป็นฟังกช์ัน่
นิยาม โดเมนและเรนจข์องฟังกช์ัน่ นิยามลกัษณะเดียวกนักบัการนิยามความสัมพนัธ์
โดเมนของฟังกช์ัน่ { ( ) }
เรนจข์องฟังกช์ัน่ { ( ) }
นิยาม ค่าฟังกช์ัน่ของ f ท่ี x เขียนแทนดว้ย f(x) ก าหนดโดย y = f(x)
เช่น {( ) }
อาจเขียนแทนดว้ย f(x) = 2x +1
ถา้ x = 1 จะเรียก y ท่ี x =1 วา่ f(1) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( 1 ) = 2(1) +1 = 3
จะไดว้า่ ( )
ถา้ x = 4 จะเรียก y ท่ี x =4 วา่ f(4) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( 4 ) = 2(4) +1 = 9
จะไดว้า่ ( )
ถา้ x = a จะเรียก y ท่ี x =a วา่ f(a) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( a ) = 2(a) +1 = 2a +1
จะไดว้า่ ( )
ถา้ x = จะเรียก y ท่ี x = วา่ f( ) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( ) = 2( ) +1 = 2 +1
จะไดว้า่ ( )
ถา้ x = a+h จะเรียก y ท่ี x = a+h วา่ f(a+h) โดยค านวณหา ค่า จาก f ( a+h ) = 2(a+h) +1 = 2a+2h+1
จะไดว้า่ ( )
นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่จาก A ไป B ( function from A into B ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี
และ
นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่จาก A ไปทัว่ถึง B ( function from A onto B ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี
และ
นิยาม f เป็นฟังกช์ัน่หน่ึงต่อหน่ึง จาก A ไป B ( one to one function from A onto B ) ก็ต่อเม่ือ
f เป็นฟังกช์ัน่ซ่ึงมี และ โดย ถา้ ( ) และ ( ) แลว้
นิยาม f เป็นการสมนยั 1-1 จาก A ไป B ( one to one correspondence ) ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่
1-1 จาก A ไปบน B
2
การพิจารณาวา่ความสัมพนัธ์ท่ีก าหนดใหเ้ป็นฟังกช์ัน่หรือไม่จากกราฟ
ถา้เส้นตรงขนานแกน y ทุกเส้นตดักราฟของ r ไดไ้ม่เกิน 1 จุด r จะเป็นฟังกช์ัน่
การพิจารณาวา่ฟังกช์ัน่ท่ีก าหนดใหเ้ป็นฟังกช์ัน่ 1-1 หรือไม่จากกราฟ
ถา้เส้นตรงขนานแกน x ทุกเส้นตดักราฟ f ไม่เกิน 1 จุด จะไดว้า่ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1
สูตร การหาจ านวนฟังก์ช่ัน
1. จ านวนฟังกช์ัน่ทั้งหมดจาก A ไป B เท่ากบั ( ) ( )
2. จ านวนฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B เท่ากบั n(B)Pn(A)
n(B)Pn(A) = ( )
( ( ) ( ))
นิยาม ก าหนดให ้ f เป็นฟังกช์ัน่ จากสับเซตของ R ไป R และ
f เป็นฟังกช์ัน่เพิ่ม ( Increasing function ) ใน A ก็เม่ือ ส าหรับ ถา้ แลว้ ( ) ( ) f เป็นฟังกช์ัน่ลด ( Decreasing function ) ใน A ก็เม่ือ ส าหรับ ถา้ แลว้ ( ) ( ) f เป็นฟังกช์ัน่โมโนโทน ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่เพิ่มหรือฟังกช์ัน่ลด และถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ โมโนโทน
แลว้ f เป็น 1-1 ฟังกช์ัน่
ชนิดของฟังก์ช่ัน
ฟังกช์ัน่แบ่งไดเ้ป็น 2 ชนิด คือฟังกช์ัน่พีชคณิต ( Algebratic Function ) และฟังกช์ัน่อดิสัย ( Trancendental
Fuction)
ฟังก์ช่ันพชีคณติ คือฟังกช์ัน่ท่ีมีนิพจน์ประกอบดว้ยค่าคงท่ี ตวัแปร และเคร่ืองหมายบวก ลบ คูณ หาร
ยกก าลงั หรือถอดกรณ์ เช่น
- ฟังกช์ัน่เชิงเส้น ( Linear Function) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( )
- ฟังกช์ัน่คงท่ี ( Constant Function) หรือฟังกช์ัน่คงตวั คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป f(x) = b จะไดเ้ป็น
กราฟเส้นตรงท่ีขนานแกน x
- ฟังกช์ัน่ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูปค่าสัมบูรณ์ เช่น
f(x) = | |
- ฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ( Step Function) คือฟังกช์ั้นท่ีมีค่าคงตวัเป็นช่วงๆ จะไดก้ราฟเป็นรูปขั้นบนัได
- ฟังกช์ัน่ก าลงัสอง ( Quardratic Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( ) เม่ือ
a , b , c เป็นจ านวนจริง และ จะไดก้ราฟเป็นรูปพาราโบลา โดยจะไดเ้ป็นรูปพาราโบลา
3
คว ่าเม่ือ และจะไดเ้ป็นกราฟพาราโบลาหงาย เม่ือ และใหจุ้ด ( ) เป็นจุด
วกกลบั จะไดว้า่
- ฟังกช์ัน่พหุนาม( Polynomial Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีมีฐานเป็นตวัแปร และมีก าลงัเป็นจ านวนเตม็
บวกหรือ ศูนย ์ ดงันั้น ฟังกช์ัน่เชิงเส้น ฟังกช์ัน่คงตวั และฟังกช์ัน่ก าลงัสองเป็นแบบต่างๆ ของ
ฟังกช์ัน่พหุนาม ซ่ึงเขียนไดใ้นรูป ( ) - ฟังกช์ัน่ตรรกยะ ( Rational Function ) คือฟังกช์ัน่ท่ีอยูใ่นรูป ( ) ( )
( ) ( )
เม่ือ p , q เป็นฟังกช์ัน่พหุนาม
- ฟังกช์ัน่ท่ีเป็นคาบ ( Periodic Function ) เป็นฟังกช์ัน่ท่ีเป็นคาบ ซ่ึง f(x+p ) = f(x) เม่ือ p เป็นจ านวน
จริงส าหรับทุกค่า x และ x+p ท่ีอยูใ่นโดเมนของ f
ฟังก์ช่ันอดิสัย คือฟังกช์ัน่ท่ีไม่ใช่ฟังกช์ัน่พีชคณิต เช่นฟังกช์ัน่ เอก็โปเนนเชียล ฟังกช์ัน่ลอการิทึม
ฟังกช์ัน่ ตรีโกณมิติ
อินเวอร์ส ( Inverse ) ของฟังกช์ัน่
นิยาม ให ้ f เป็นฟังกช์ัน่ จาก A ไป B อินเวอร์สของ f เขียนแทนดว้ย คือฟังกช์ัน่จาก B ไป A
ซ่ึงมีสมาชิกคู่ล าดบั ( ) โดยท่ี ( )
ขอ้สังเกต 1. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ใดๆ จะสามารถหา ไดเ้สมอ
2. ( )
3.
ทฤษฎบีทเกี่ยวกบัฟังก์ช่ันอนิเวอร์ส
1. ก าหนด f เป็นฟังกช์ัน่ เป็นฟังกช์ัน่ก็ต่อเม่ือ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 เท่านั้น
2. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B จะไดว้า่ เป็นฟังก์ชัน่ 1-1 จาก ไปทัว่ถึง A
3. ถา้ f เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไปบน B จะไดว้า่ เป็นฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไปบน A
4
ฟังก์ช่ันประกอบ ( Composite function )
นิยาม
1. ถา้ f : A B ; g : B C จะมี h : A C โดยท่ี h(a) = g( f(a))
เรียกฟังกช์ัน่ f วา่เป็นฟังกช์ัน่ประกอบของ f และ g
2. ให ้ f และ g เป็นฟังกช์ัน่และ ฟังกช์ัน่ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ย
gof ก าหนดโดย ( gof)(x) = g ( f(x)) ทุก x ซ่ึง ( )
3. ถา้ f : A B และ g : B C แลว้จะได ้ และ
4. ( ) พชีคณติของฟังก์ช่ัน
คือการน าฟังกช์ัน่ตั้งแต่สองฟังกช์ัน่ข้ึนไปมา บวก ลบ คูณ หรือหารกนั
ให ้ f และ g เป็นฟังกช์ัน่ในเซตของจ านวนจริง
1. f + g = { ( x ,y ) y = f(x) + g(x) และ x }
2. f - g = { ( x ,y ) y = f(x) - g(x) และ x }
3. f g = { ( x ,y ) y = f(x) g(x) และ x }
4.
= { ( x ,y ) y =
( )
( ) และ x เม่ือ ( ) }
…………………………………………………………………………………………………………….
5
แบบฝึกหดัเร่ืองฟังกช์ัน่ชุดท่ี 1
1. ก าหนดให ้ { } { } จงเขียนฟังกช์ัน่ตามเง่ือนไข
ในแต่ละขอ้
1.1 ฟังกช์ัน่จาก A ไป B
……………………………………………………………………………………………………………
1.2 ฟังกช์ัน่จาก B ไป A ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
1.3 ฟังกช์ัน่จาก B ไป B ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
1.4 ฟังกช์ัน่จาก A ไป A ( เขียนใหดู้ 5 แบบ )
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
2. ก าหนดให ้ A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 4 , 5 , 6} จงเขียนฟังกช์ัน่ตามเง่ือนไขในแต่ละขอ้ต่อไปน้ี
2.1 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป B
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
2.2 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไป A
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
2.3 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก A ไป A
6
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
2.4 ฟังกช์ัน่ 1-1 จาก B ไป B
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
3. ฟังกช์ัน่ในขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ัน่จาก R ไปทัว่ถึง R
3.1 f(x) = x +3
3.2 f(x) =
3.3 ( ) | |
3.4 ( )
3.5 ( ) {
3.4 ( ) {
4. จงพิจารณาวา่ฟังกช์ัน่ในขอ้ใดเป็นฟังกช์ัน่แบบ 1-1
4.1 {( ) }
4.2 {( ) }
4.3 {( ) √ }
4.4 {( ) }
4.5 {( ) | | }
5. ก าหนดให ้ ( ) จงหาค่าต่อไปน้ี
5.1 f ( 1)
……………………………………………………………………………………………………
5.2 f ( b+1 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7
5.3 f ( x+h)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
6. ก าหนดให ้ ( ) {
จงหาค่าของ
6.1 f ( 3 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
6.2 f (-1)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
6.3 (√ )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
6.4 f (5) + f ( -10 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7. ก าหนดให ้f ( x +2 ) = 2x+5 และ g ( 2x-1 ) = จงหาค่าของแต่ละขอ้ต่อไปน้ี
7.1 f ( 2 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7.2 g ( -2 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7.3 f ( g (3))
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8
7.4 g ( x +7 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7.5 f (2x-3 )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8. จงหา และ ของฟังก์ชัน่ต่อไปน้ี
8.1 {( ) }
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8.2 {( ) | |
}
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8.3 {( ) | | | |
}
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8.4 {( ) √ }
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
8.5 {( )
√ }
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
9
8.6 {( ) √ }
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
9. จงตรวจสอบวา่ฟังกช์ัน่ต่อไปน้ี เป็นฟังกช์ัน่เพิ่ม หรือฟังกช์ัน่ลดในเซตท่ีก าหนดให ้
9.1 f ( x ) = 2x+ 3 : R
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
9.2 ( )
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
9.3 ( ) | | ( )
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
9.4 ( ) ( )
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
9.5 ( ) ( )
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
10. จงหาค่าสูงสุด หรือต ่าสุดของฟังกช์ัน่ต่อไปน้ี
10.1
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
10.2
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
10
11. ลวดเส้นหน่ึงยาว 32 เซนติเมตร ตดัลวดออกเป็นสองส่วน เอาส่วนท่ีหน่ึง ยาว x เซนติเมตร ไปดดั
ใหเ้ป็นรูปวงกลม และ ส่วนท่ีสองท่ีเหลือ ไปดดัเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัส ถา้ผลบวกของพื้นท่ี ของ วงกลม
และส่ีเหล่ียมจตุัรัส เท่ากบั A ตารางเซนติเมตร จงเขียนฟังกช์ัน่แสดงความสัมพนัธ์ ระหวา่ง A และx
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
12. ลวดหนามยาว 200 เมตรน าไปลอ้มร้ัวรอบท่ีดินริมแม่น ้าเป็นรูปส่ีเหล่ียมผนืผา้ โดยกั้นเพียง 3 ดา้น
ดา้นริมแม่น ้าไม่ตอ้งลอ้มร้ัว จะลอ้มไดพ้ื้นท่ีมากท่ีสุดเท่าไร
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
13. ก าหนด *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
จงหา
13.1 fog
………………………………………………………………………………………………………………
13.2 gof
………………………………………………………………………………………………………………
13.3 hog
………………………………………………………………………………………………………………
13.4 goh
………………………………………………………………………………………………………………
11
13.5 foh
………………………………………………………………………………………………………………
13.6 ( hof)og
………………………………………………………………………………………………………………
14. ก าหนด *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) + จงหา
14.1 fog
………………………………………………………………………………………………………………
14.2
………………………………………………………………………………………………………………
14.3
………………………………………………………………………………………………………………
14.4 ( )
………………………………………………………………………………………………………………
14.5 ( )
………………………………………………………………………………………………………………
14.6 gof (2) + fog(5)
………………………………………………………………………………………………………………
15. ก าหนด *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ f = …………………………………………………………………………………….
16. ก าหนด ( ) ( ) จงหา
16.1 gof (x) = …………………………………………………………………………………
16.2 fog (x) = …………………………………………………………………………………..
16.4 gof (4 ) = …………………………………………………………………………………..
16.5 fog (-1) = …………………………………………………………………………………
16.6 (x) = ………………………………………………………………………………
12
17. ก าหนด ( ) ( ) √
17.1 จงหาโดเมนและเรจข์อง fog
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
18. ก าหนด ( ) {
และ ( )
จงหา ( ) ( )
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
19. ก าหนดให ้ ( ) และ ( )
จงหาค่า x ท่ีท าให ้ f(g(x)) = g (f(x))
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
20. ก าหนดให ้
( ) {
เม่ือ
( ) {
เม่ือ
จงหาค่าของ ( )( ) ( )( )
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
13
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
21. จงเขียนกราฟของ f และ เม่ือก าหนด f(x) ดงัต่อไปน้ี
21.1 f(x) = 3x+2 21.2 ( )
21.3 f(x) = 6 21.4 ( )
21.5 ( ) √ ( ) 21.6 ( ) √
14
22. ก าหนด ( ) จงหา ( )
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
23. ก าหนดให ้ ( ) { √
จงหา ( ) และ ( ) ( )
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
24. จงตรวจสอบวา่ฟังกช์ัน่ใดบา้งท่ีมีอินเวอร์สเป็นฟังก์ชัน่
24.1 ( )
24.2 ( )
24.3 ( ) √
24 .4 ( )
24.5 ( ) | |
24.6 ( )
25. ก าหนดให ้ *( ) ( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
25.1 f + g = …………………………………………………………………
25.2 f –g = ……………………………………………………………………
25.3 ……………………………………………………………………
25.4
= ………………………………………………………………………
15
26. ก าหนดให ้ ( ) และ ( ) จงหา
3.1 ( )( ) .....................................................................
3.2 .....................................................................
27. ก าหนดให ้ ( )
และ ( ) √ จงหา
4.1 ( )( ) .....................................................................
4.2 .....................................................................
28. ก าหนดให ้ ( )
และ ( )
| | จงหา
5.1 ( )( ) .....................................................................
5.2 .....................................................................
29. ก าหนดให ้ ( ) {
และ ( )
6.1 ( )( ) .....................................................................
6.2 ( ) ( )( ) .................................................
30. ก าหนดให ้ ( ) ( )( ) ( ) จงหา
30.1 ( ) ( ) .................................................................................................................. .............
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
30.2 ( )( )
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………