เอกสารแนะแนวทางที่ 1 · web view1.1.1 ค าเฉล...
TRANSCRIPT
ใบความรท 1.1.1 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ 1.1 ค�กล�งของขอมล
การวเคาระหขอมลเบองตนนอกจากจะทำาโดยการสรางตารางแจกแจงความถหรอกราฟดงไดกลาวมาแลว การหาคากลางซงเปนตวแทนของขอมลทงหมดไวใช เพอสะดวกในการจดจำาหรอสรปเรองราวทเกยวกบขอมลนนๆจะชวยใหการวเคาระหขอมลเบองตนดขน เชนผอำานวยการโรงเรยนตองการทราบผลการเรยนวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนตางๆของปทผานมา วาเปนอยางไร แทนทผอำานวยการจะตองทราบระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนแตละคนในแตละชน อาจทราบเพยงคากลางของระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนในแตละชนกเพยงพอทจะตดสนใจไดโดยกวางๆวาผลการเรยนวชาคณตศาสตรของแตละชนเปนอยางไร คากลางมทงหมด 6 ชนดแตทนยมใชมอย 3 ชนดแรกคอ
1.1.1 คาเฉลยเลขคณต หรอคาเฉลย (arithmetic mean ) 1.1.2.มธยฐาน (median ) 1.1.3 ฐานนยม (mode ) 1.1.4 คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean ) 1.1.5 คาเฉลยฮารโมนค (harmonic mean ) 1.1.6 คากงกลางพสย (mid-range ) กอนทจะศกษาคากลางชนดตางๆเรามาศกษาสญลกษณของ ซกมา “ ” (sigma )
…………. (summation of x )
สมบตบางประการของ ถา c เปนคาคงตวใดๆ
1. เชน
2. เชน
3.
4.
ตวอยางท 1 ถา
จงหา ก. ข. ค.
วธทำา (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ)ก.
=……………………………………………….. =……………………………………………….. =………………………………………………..
ข. =……………………………………………….. =………………………………………………..
=………………………………………………..
ค. = =……………………………………………….
=………………………………………………. =………………………………………………. =……………………………………………….
ตวอยางท 2 (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ) ถา และ จงหา
ก. = ข. =
= …………………….. = ……………………………… =…………………….. =………………………………
=……………………. =……………………………….
= ……………………………...
ใบความรท 1.1.1 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1 (ข) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.1 ค�เฉลยเลขคณต (arithmetic mean ) หรอค�เฉลย ใชสญลกษณ “ ” (เอกซบาร)หรอ A.M.
-ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) จะใชกรณทมขอมลไมมากนกและเปนขอมลทมาจากตวอยาง
ผลรวมของขอมลทงหมดสตร
จำานวนขอมลแตถาขอมลมาจากประชากรจะใช
ผลรวมของขอมลทงหมดสตร
จำานวนขอมล
ตวอยางท 1 ตอไปนเปนความสงของนกเรยนเจดคน(หนวยเปนเซนตเมตร)คอ 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาความสงโดยเฉลยของคนทงเจดคนนวธทำา
จากสตร =………………………………………………………..
=………………………………………………………..
=………………………………………………………..
- ค�เฉลยเลขคณตแบบถวงนำ�หนก (weighted arithmetic mean ) “ ”
คอคากลางเลขคณตทไดจากขอมลทมคาความสำาคญไมเหมอนกนหาไดจากสตร
คอคาความสำาคญหรอนำาหนกทใชถวงเมอ I= 1,2,3,…………n
คอคาจากการสงเกต เมอ I = 1,2,3,……………n
ตวอยางท 2 นางสาวอรอนงค ทรงงาม มผลการเรยนรายวชาประจำาภาคเรยนท1 ชน ม.ศ.5 ดงตารางตอไปน จงคำานวณหาระดบคะแนนเฉลยของนางสาวอรอนงค ทรงงาม ในภาคเรยนน
วธทำา จากสตร
- หนวยกต ( นำาหนก )- ระดบคะแนน ( )
เพราะฉะนนคะแนนเฉลย(เกรดเฉลย) ของนางสาวอรอนงค ทรงงาม มคาเทากบ 2.70
- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว ( grouped data ) ใชในกรณทมจำานวนขอมลมากแลวนำามา
แจกแจงความถของขอมลหาได 2 วธคอ1.แบบธรรมด�
คอคาของความถของแตละอนตรภาคชนเมอ i=1,2,3,……..,kสตร
รายวชา หนวยกต ระดบคะแนนภาษาไทย 3
3ภมศาสตร 1
2ประวตศาสตร 1
3ศลธรรม 1
3พลานามย 1
2English 4
คอคาจดกงกลางชนของแตละอนตรภาคชน เมอ I=1,2,3,………,k
ตวอยางท 3 จากตารางแจกแจงความถแสดงความสงของคนกลมหนงจงหาคาเฉลยของความสงของคนกลมนวธทำา ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหครบเพอแทนคาในสตร
=
=
2.แบบลด (วธทอนค�ขอมล) เมอขอมลหรอจดกงกลางชนทงหมดมคามาก การหาคา
เฉลยเลขคณตโดยการบวกตวเลขมากๆอาจมขอผดพลาดไดและเสยเวลาในการบวกเลข ฉะนนจงใชวธลดคาตวเลขของขอมลใหนอยลงลดหลนลงไปทกๆอนตรภาคชนเทาๆกนทงนตองอาศยความเบยงเบนของขอมล(deviation of data ) เขยนยอ “ ” แตละคาหางจากตวกลางสมมตเขยนยอ “a” หารดวยขนาดของอนตรภาคชน กลาวคอ
เมอ i=1,2,…..,kซง a ในทนจะเลอกสมมตจากจดกงกลางชนใดกได
ความสง(ซม.)
จำานวนคน
148-152
5
153-157
7
158-162
12
163-167
6
168-172
3
173- 4
แตโดยทวไปนยมเลอกชนทมความถสงสด และ I เปนขนาดของอนตรภาคชนซงเทากนทกชน จะได
จากตวอยางท 3 จงหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธลด
วธทำา I = , a = จากสตร
= = ซม.
ความ
สง(ซม.)
จำานวนคน
148-152
5 150
153-157
7 155
158-162
12 160
163-167
6 165
168-172
3 170
173- 4 17
- ค�เฉลยเลขคณตรวม (combined arithmetic mean ) “ ”
ในกรณทมขอมลหลายๆชด แตละชดมคาเฉลยเลขคณตและกำาหนดจำานวนขอมลใหจะได
คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,….,n
คอจำานวนขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,……..,n
ตวอยางท 4 นกเรยนชน ม.ศ. 5 ของโรงเรยนแหงหนงมหาหองแตละหองมจำานวนนกเรยน28,30,32,33 และ 27 คนตามลำาดบ ในการสอบกลางภาคไดคะแนนเฉลยวชาสถตแตละหองคอ48,45,36,42 และ 40 คะแนนตามลำาดบ อยากทราบวาคะแนนเฉลยทง 5 หองเปนเทาใดวธทำา จากโจทยกำาหนดใหจะได และ
จากสตร
กลาวคอ คะแนนเฉลยวชาสถตทงหาหองเทากบ 42.08 คะแนน
สมบตทสำ�คญของค�เฉลยเลขคณต1. คาเฉลยเลขคณตเมอคณกบจำานวนขอมลทงหมด จะไดผลรวม
ของขอมลทกๆคา กลาวคอ
ซงมาจากสตร (ครและนกเรยนชวยกนยก
ตวอยาง)2. ผลรวมของความแตกตางระหวางแตละคาของขอมลจากคาเฉลย
เลขคณตของขอมลชดหนงจะ
เทากบ 0 เสมอ กลาวคอ (ครและนกเรยนชวยกนยก
ตวอยาง)3. ผลรวมของความแตกตางกำาลงสองของแตละคาของขอมล จากจำานวน M ใดๆจะมคานอยทสดเมอ M เทากบคาเฉลยเลขคณต
ของขอมลชดนนกลาวคอ นอยทสดเมอ
(ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)
4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆจะตองอยระหวางคาจากการสงเกตทนอยทสดและคาจากการสงเกตทมากทสดในขอมลชดนน กลาวคอ เมอ และ เปนคาจากการสงเกตทนอยทสดและมากทสดในขอมลตามลำาดบ (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)5. ถาตวแปร Y สมพนธกบตวแปร X ในรปของฟงกชนเสนตรงนนคอ ถา เมอ i = 1,2,3,…….,N เมอ a,b เปนคาคงตวใดๆแลว จะสมพนธกบ ดงน ตวอยางท 5 ถาอณหภมเมอเวลา 12.00 น. ของแตละวนในสปดาหแรกของเดอนเมษายน พ.ศ.2516เปน 33,35,32,37,34,36 และ 31 องศาเซลเซยล ตามลำาดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตวธทำา ให C เปนตวแปรแทนอณหภมมหนวยเปนองศาเซลเซยล F เปนตวแปรแทนอณหภมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตความสมพนธระหวาง C กบ F คอ จะได
ในทน เมอ i = 1,2,3,………,7 ดงนน
แต
ดงนน นนคอ คาเฉลยเลขคณตของอณหภมคอ 93.2 องศาฟาเรนไฮต6. ถานำาคาคงตวตวหนงไปบวกกบทกคาในขอมลชดหนง แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมเทากบ ผลบวกของคาคงตวนนกบคาเฉลยของขอมลชดเดม
ถา คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม , คอคาเฉลยเลคณตของขอมลชดใหมจะได เมอ C คอคาคงตวตวอยางท 6 ในปจจบนเดกหาคนมอายดงน 8,10,11,15,16 ป ตามลำาดบ จงหา
ก. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคนในอก 6 ปขางหนา
ข. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคน เมอ 4 ปทแลว
วธทำา ให แทนอายเฉลยของเดกในปจจบน แทนอายเฉลยของเดกในอก 6 ปขางหนา แทนอายเฉลยของเดกเมอ 4 ปทแลว ป
ก. ข. ป ป
7. ถานำาคาคงตวตวหนงไปคณกบทกคาในขอมลชดหนงแลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหม
เทากบผลคณของคาคงตวนนกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)8. ถานำาคาคงตวตวหนงซงไมเทากบ 0 ไปหารทกคาในขอมลชดหนง
แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดมหารดวยคาคงตวนน
ถา ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)
9. จากคาสงเกต 72,68,80,70,85,80,75,78,82,86,79,69 หาคาเฉลยเลขคณตได = 77ถานำามาสรางตารางแจกแจงความถแลวหาคาเฉลยเลขคณตจะได
อนตรภาคชน
68 - 72 4 70 28073 - 77 1 75 7578 - 82 5 80 40083 - 87 2 85 170
N = 12
คาเฉลยเลขคณตทหาไดจากคาสงเกต (77) จะเปนคาเฉลยเลขคณตทแทจรง
สวนคาเฉลยเลขคณตทหาไดจากตารางแจกแจงความถ (77.08) จะเปนคาเฉลยเลขคณตโดยประมาณเทานน
สรป ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กค�สงเกตจะมคว�มเทยงตรงกว�ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กต�ร�งแจกแจงคว�มถ
ใบความรท 1.1.1 (ค)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ค) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลโดยใช Microsoft Excel
1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวไปทเมนเครองมอ เลอก คาเฉลย
3. กด Enter กจะไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 160 ท A8
ใบความรท 1.1.2 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.2 (ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.2 มธยฐ�น (median) “Med” คอขอมลทมตำาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอเรยงลำาดบขอมลทงหมดแลว
- เมอขอมลไมแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) ถา N เปนจำานวนขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากหรอจากมากไปหานอย
ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ ขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 1,3,6,7,9 จงหามธยฐาน
วธทำา N= 5 ตำาแหนงของมธยฐานคอ เพราะฉะนนมธยฐานคอ 6
ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ คาเฉลยของขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 18.3,20.6,22.4,19.3,20.2,18.8,20.0,19.7 จงหามธยฐานวธทำา เรยงลำาดบขอมล 18.3,18.8,19.3,19.7,20.0,20.2,20.6,22.4N = 8 ตำาแหนง และตำาแหนง เพราะฉะนน มธยฐานคอ ขอสงเกต 1. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานจะเปนคาในขอมลนน
2. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานอาจจะเปนหรอไมเปนคาในขอมลนน
- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว(grouped data ) คอคาของขอมลในอนตรภาคชนซงมขอมลตำากวาและสงกวามจำานวนอยางละครงหนงของจำานวนขอมลทงหมด หามธยฐานไดจาก
ตำาแหนงของขอมลทเปนมธยฐานสตร ความถของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ความถสะสมทตำากวาอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ขอบลางของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ขนาดของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ตวอยางท 1 จากตารางแจกแจงความถ แสดงรายไดตอวนของกรรมกรเปนดงนก. จงหามธยฐานของรายไดตอวนของกรรมกรวธทำา
……..,I = …… ,L = ……., cuf=………fm = ………..แทนคา
= …………………… = ……………………
= ………………… บาท / วน
ข. จงหามธยฐานโดยใชกราฟของโคงความถสะสม
ความถสะสม
รายได 59.5 65.5 71.5 77.5 83.5 89.5
95.5 101.5
รายไดตอวน(บาท)
จำานวนกรรมกร
60-65 366-71 772-77 1578-83 684-89 1090-95 5
96-101 4 N =
50454035302520
โคงความถ
วธทำา หาตำาแหนงมธยฐาน ซงอยบนแกนตง แลวลากเสนตรงจากจดนขานกบแกนนอนไปตดทกราฟโคงความถสะสม ทจดตดกราฟลากเสนตรงขนานกบแกนตงลงมาตดกบแกนนอนจดทตดกบแกนนอนคอคามธยฐานซงเทากบ 77.5
ตวอยางท 2 จากตารางแจกแจงความถ เปนนำาหนกของคน 100 คนดงน
ก. จงหาคาของมธยฐานวธทำา จากสตร
………,I = …. ,L = ……., cuf=……..fm = …….., แทนคาในสตรจะได
= ……………….. = ……………….กก.ข. จงหาคาเฉลยเลขคณต ( จากตารางแจกแจงความถ ไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตได เนองจากไมสามารถหาจดกงกลางชนของชนแรกและชนสดทายได )สมบตของมธยฐ�น ผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางคาในขอมลแตละตวกบคาคงตว จะมคานอยทสดกตอเมอ คาคงตวนนเทากบมธยฐาน นน
คอ จะมคานอยทสดเมอ a = Medเชน กำาหนดขอมล 18,22,22,23,24,24,29
นำาหนก(กก
.)
จำานวนคน
ตำากวา 60
3
60-62 563-65 1566-68 4269-71 27
จะเหนวา เมอ a = 23 ซงคอคามธยฐาน จะทำาให ม
คานอยทสดคอ 15
ใบความรท 1.1.2 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.2(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคามธยฐานของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวพมพ = MEDIAN (A1:A7)
3. กด Enter กจะไดคามธยฐานเทากบ 157 ท A8
ใบความรท 1.1.3 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.3(ก)ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน 1.1.3 ฐ�นนยม (Mode)” ” คอขอมลทมความถมากทสด(มตวซำากนมากทสด)หรอคอขอมลทมแนวโนมเกดมโนภาพมงไปสความคดแบบเดยวกนฐ�นนยม จะสอความหมายไดเมอใชขอสรปขอมลทเปนขอมลเชงคณภาพ เชน เพศ อาชพ ภมลำาเนา เบอรหรอขนาดของเสอ ความคดเหน ความชอบ เปนตน
- ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ (ungrouped data ) ขอมลทมคาซำากนมากทสด ขอมลนนคอฐานนยมตวอยางท 1 จากขอมลตอไปนจงหาฐานนยม
ก. 29,31,30,31,26,31,24,29,22,25 วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 31 มความถเทากบ 3 ฐานนยมคอ 31
ข. 2,5,8,9,8,7,10,8,9,10,10
วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 8 มความถ 3 และ 10 มความถ 3 ฐานนยมมสองคาคอ 8 และ 10
ค. 3,4,8,10,12,7,6,5,9วธทำา ขอมลชดนไมมฐานนยมเพราะขอมลทกตวมความถเทากนหมดคอ 1
ง. 2,5,5,4,2,3,3,2,4,5,3,4วธทำา ขอมลชดนมความถมากทสดมมากกวาสองคาเราถอวาไมมฐานนยม- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว (grouped data)สตร อนตรภาคชนทฐานนยมตกอยคอ
อนตรภาคทมความถมากทสด
L คอขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยI คอขนาดของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอย
คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงเปนชวงคะแนนทตำากวา
คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงปนชวงคะแนนทสงกวาKarl Peason ไดคนพบความสมพนธของ ดงน
ความสมพนธนจะใชกรณทโจทยกำาหนดสองคาใดๆมาให
T ตวอยางท 2 ตอไปนเปนตารางแสดงนำาหนกคดเปนกโลกรมของนกเรยนจำานวน 50 คนจงหาฐานนยมของนำาหนกทงหมด
วธทำา จากสตร
ชนทฐานนยมตกอยคอชน 45-49 (มความถมากทสดคอ 14)L= 44.5 , I = 5 , แทนคาในสตร
ตวอยางท 3 จากตวอยางท 2 จงหาฐานนยมโดยใชฮสโทแกรม ความถ
R S pP
29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 นำาหนก วธทำา 1. สรางฮสโทแกรม 2. ชนทฐานนยมตกอยคอแทงรปสเหลยมมมฉากทสงสด3. ลาก RT ตดกบ SQ ทจด P 4. จากจด P ลาก PM ขนานกบแกนตงตดแกนนอนทจด Mคาทอานไดบนแกนนอนทจด M คอฐานนยม ซงมคาเทากบ 46.5 กโลกรม
นำาหนก(กก
.)
จำานวนคน
30-34 535-39 740-44 1045-49 1450-54 855-59 6
15
10
PT
Q
ใบความรท 1.1.3 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.3(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาฐานนยมของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวพมพ = MODE (A1:A7)
3. กด Enter กจะไดคาฐานนยมเทากบ 156 ท A8