เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่อง...

เอกสารแนะแนวทางท 1 เรองสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย แบบรปและความสมพนธ

แบบรป (pattern) แบบรปเปนหนงในกลยทธส าคญทเปนพนฐานในการชวยคด

แกปญหาตางๆ ในชวตประจ าวน โดยทเราไดเคยพบเหนและไดผานการใชกระบวนการคดวเคราะหดวยเหตผลกบแบบรปในลกษณะตางๆกนมานานแลว เพยงแตยงไมเหนความส าคญทจะหยบยกมากลาวถงกนอยางจรงจง ซงแบบรปทจะกลาวถงนเปนการน าเสนอแบบรป ในลกษณะตางๆ เพอใหนกเรยนไดเหนรปแบบของการจดล าดบและการกระท าซ าอยางตอเนอง และเพอเปนการกระตนใหนกเรยนไดใชการสงเกต การวเคราะห และการใหเหตผลในการบอกความสมพนธของสงตางๆทสงเกตได และสามารถอธบายความสมพนธตางๆทพบเหนไดอยางถกตองจนถงขนสรปเปนกฎเกณฑ และสามารถน าความรเรองแบบรปไปใชในการแกปญหาตางๆ ตลอดจนสามารถสรางแบบรปขนเองไดโดยใชความคดสรางสรรค การคดหาหรอสรปแบบรปของความสมพนธนนสามารถคดไดหลากหลายไมมขอจ ากดวาถกหรอผดตายตว ทงนขนอยกบการคด การใหเหตผล และประสบการณของผมอง

แบบรปอาจปรากฏใหเหนในลกษณะตางๆกน เชน รปภาพ จด เสน ประโยค ตวเลข สญลกษณตางๆ เปนตน ความสมพนธ (relation) ในชวตประจ าวนเราจะพดถงความสมพนธระหวางคน สตว สงของ ฯลฯ มากมายหลายความสมพนธ ซงแตละความสมพนธจะแตกตางกนออกไปขนกบวาเราเปนผก าหนดวาจะใชเงอนไขใดเปนตวก าหนดใหเกดความสมพนธกนในรปแบบใด

ตวอยางท 1 สถานการณปกระเบอง

รปท 1 รปท 2 รปท 3

จากวธปกระเบองในรปพบวา ถาเรยงกระเบองลายทาง 1 แผน จะตองใชกระเบองลายจด 8 แผนลอมรอบกระเบองลายทาง ถาเรยงกระเบองลายทาง 2 แผน จะตองใชกระเบองลายจด 10 แผนลอมรอบกระเบองลายทาง

2

ค าถาม 1. จะตองใชกระเบองลายจดกแผนถาจ านวนกระเบองลายทางเทากบ 4 แผน 2. จะตองใชกระเบองลายจดกแผนถาจ านวนกระเบองลายทางเทากบ 7 แผน 3. ถามกระเบองลายจด 100 แผน กระเบองลายทางดานในจะมกแผน 4. ถาใชกระเบองลายทาง n แผน จะตองใชกระเบองลายจดกแผน วธท า จากความสมพนธระหวางกระเบองลายทางและกระเบองลายจดสามารถน ามาเขยนความสมพนธไดดงน ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ดงนน ถาเราจดเขยนเปนความสมพนธโดยใชตวแปร จะไดความสมพนธดงน ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 1. ถาจ านวนกระเบองลายทางเทากบ 4 แผน ตองใชกระเบองลายจด ……………………...แผน 2. ถาจ านวนกระเบองลายทางเทากบ 7 แผน ตองใชกระเบองลายจด ……………………...แผน 3. ถามกระเบองลายจด 100 แผน สามารถหาจ านวนกระเบองลายทางไดดงน ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 4. ถาใชกระเบองลายทาง n แผน จะตองใชกระเบองลายจด ………………………..……...แผน

3

ตวอยางท 2 ไมขดไฟ รปขางบนเกดจากการน ากานไมขดไฟมาเรยงตอกน ใหเปนรปสามเหลยมทมดาน 1 ดานรวมกน 1. ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 6 รป 7 รป 8 รป 9 รป และ 10 รป จะตองใชไมขดทงหมดกกาน 2. ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 100 รป จะตองใชไมขดทงหมดกกาน วธท า ………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ดงนน ถาเราเขยนเปนความสมพนธโดยใชตวแปร จะไดความสมพนธดงน ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ค าตอบ 1. ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 6 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 7 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 8 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 9 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน และถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 10 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน 2. ถาวางเรยงไมขดเพมใหมรปสามเหลยมทงหมด 100 รป จะตองใชไมขดทงหมด …………………………………………………….. กาน

4

ตวอยางท 3 จ านวนจรง 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , … จากชดของจ านวนจรงทก าหนดใหจงหาจ านวนในล าดบตอไปอก 3 ล าดบ วธท า ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

สรป ความสมพนธ (relation) เกดจากสองสงใดๆ ทมความเกยวของกนภายใตกฎเกณฑ หรอเงอนไขอยางใดอยางหนง

แบบรป (pattern) เปนความสมพนธทแสดงลกษณะรวมกนของชดของจ านวน รปเรขาคณตหรออนๆ เราสามารถคดพจารณาเพอหาความสมพนธของแบบรปทก าหนดให

5

เอกสารแนะแนวทางท 2 เรองสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย แบบรปและความสมพนธ

สถานการณเกงซอขาวสาร

พจารณาปญหาตอไปน เกงสงซอขาวสารจากรานคา ราคาถงละ 80 บาท และใหทางรานน ามาสงทบาน

ซงตองเสยคาสงเทยวละ 50 บาท ถาเขาจายเงนซอขาวสารครงนไปทงหมด 690 บาท อยากทราบวาเกงซอขาวสารกถง

วธหาค าตอบอาจหาจ านวนขาวสารโดยวธลองหาจ านวนเงนทจาย เมอเพมจ านวน

ขาวสารทละถงจนกวาจะได 690 วธนจะตองหาจ านวนเงนถง 8 ครง จงจะได 690 ดงตาราง ซงท าใหเสยเวลามาก

จ านวนขาวสาร

(ถง) คาขาวสาร (บาท)

คาสง (บาท)

จ านวนเงนทจาย (บาท)

1 1×80 50 ( ) 130=50+1×80 2 2×80 50 ( ) 210=50+2×80 3 3×80 50 ( ) 290=50+3×80 4 4×80 50 ( ) 370=50+4×80 5 5×80 50 ( ) 450=50+5×80 6 6×80 50 ( ) 530=50+6×80 7 7×80 50 ( ) 610=50+7×80 8 8×80 50 ( ) 690=50+8×80

n n×80 50 ( ) 50+n×80

ในทางคณตศาสตรเราจะหาแบบรปของความสมพนธระหวางจ านวนขาวสารกบ

จ านวนเงนทจาย เมอ n แทนจ านวนขาวสารเปนถง จ านวนเงนทจายเปนคาขาวสาร n ถง จะเทากบ ( ) 50+n×80

6

ถาจ านวนเงนทจายเปน 690 บาท เราสามารถเขยนแสดงความสมพนธเพอหาจ านวนขาวสารไดดงน

( ) 690=50+n×80 เรยกประโยคนวา สมการ จาก สมการ ( ) 690=50+n×80 เมอแทน n ดวย 8 จะได

( ) 50+640=50+8×80 690

ดงนน เกงซอขาวสารมา 8 ถง ในการหาค าตอบของเกงดงตารางขางตนนเปนการลองแทนคา n ดวย 1, 2, 3, 4,

..., 8 ในสมการ ( ) 690=50+n×80 จนเมอแทน n ดวย 8 จงท าใหสมการ ( ) 690=50+n×80 เปนจรง

สมการอาจมตวแปรหรอไมมตวแปรกได เชน ( ) 690=50+n×80 เปนสมการทม n เปนตวแปร และ 3 – 5 = -2 เปนสมการทไมมตวแปร

สมการ เปนประโยคทแสดงการเทากนของจ านวนโดยมสญลกษณ = บอกการเทากน

7

เอกสารแนะแนวทางท 3 เรองสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย ค าตอบของสมการ

ค าสง จงพจารณาวาสมการเปนจรงหรอไม เมอแทนตวแปร x ดวยคาตางๆทก าหนดใหใน

ตารางตอไปน

สมการ คาของตวแปร แทนคาตวแปร สมการ

เปนจรง ไมเปนจรง

x - 9 = -3

-2 (-3 ) - 9 -3 - 0 0 - 9 -3 3 3 - 9 -3 6 6 - 9 = -3

y + 5 = 1

-6 -4 2 6

จากตารางขางตน จ านวนทน าไปแทนตวแปร x และ y ในสมการแลวท าใหสมการ เปนจรงคอค าตอบของสมการนนเอง

จากตาราง สามารถสรปความหมายของ “ค าตอบของสมการ” ไดดงน

ตวอยางท 1 จงหาค าตอบของสมการ 2=7+a โดยวธลองแทนคาตวแปร

วธท า เนองจาก 2=7+(-9)

เมอแทน a ดวย -9 ใน 2=7+a แลวจะไดสมการเปนจรง

ดงนน ค าตอบของสมการ 2=7+a คอ -9

ค าตอบของสมการ คอ ................................................................................................

8

ตวอยางท 2 จงหาค าตอบของสมการ 12=4-b 2 โดยวธลองแทนคาตวแปร

วธท า เนองจาก 12=4-)(4 2

เมอแทน b ดวย 4 ใน 12=4-b 2 แลวจะไดสมการเปนจรง

เนองจาก 124)4( 2 เมอแทน b ดวย -4 ใน 12=4-b 2 แลวจะไดสมการเปนจรง

ดงนน ค าตอบของสมการ 12=4-b 2 คอ 4 และ -4

ตวอยางท 3 จงหาค าตอบของสมการ c+5=5+c โดยวธลองแทนคาตวแปร

วธท า เนองจาก เมอแทน c ดวยจ านวนใดๆ ใน c+5=5+c แลวจะไดสมการ

เปนจรงเสมอ ดงนน ค าตอบของสมการ c+5=5+c คอ จ านวนทกจ านวน

ตวอยางท 4 จงหาค าตอบของสมการ d=d+2 โดยวธลองแทนคาตวแปร

วธท า เนองจาก ไมมจ านวนใดแทน d ใน d=d+2 แลวท าใหสมการเปนจรง

ดงนน ไมมจ านวนใดเปนค าตอบของสมการ d=d+2

จากตวอยางท 1, 2, 3 และ 4 สามารถจ าแนกสมการได ...... แบบ ตามลกษณะ

ค าตอบของสมการ ดงน ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................

9

เอกสารแนะแนวทางท 4 การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว

เรองยอย การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ในการแกสมการ นอกจากจะใชวธการแทนคาตวแปรเพอหาค าตอบของสมการแลว เพอความรวดเรวเราสามารถใชสมบตของการเทากนมาชวยในการหาค าตอบ ไดแก

1. สมบตสมมาตร การเขยนประโยคแสดงการเทากนของจ านวน 2 จ านวน สามารถเขยนได 2 แบบ

ตวอยางเชน 1. x = 3 หรอ 3 = x 2. -3 + x = 1 หรอ 1 = -3 + x

3. 2 p = -11 หรอ -11 = 2 p

4. s = t + 1 หรอ t + 1 = s 5. a + b = c หรอ c = a + b การเขยนแสดงการเทากนดงกลาวเปนไปตามสมบตสมมาตร ซงกลาววา

2. สมบตถายทอด การเขยนประโยคแสดงการเทากนของจ านวนตงแต 2 จ านวนขนไป โดยใชสมบตของ

การเทากนท าใหไดขอสรป ดงตวอยางเชน 1. ถา 2 = x และ x = y แลวจะสรปไดวา 2 = y หรอ y = 2 2. ถา พนทรปสเหลยมจตรส = ความยาวดาน 2 และ ความยาวดาน 2 = 64 แลว

จะสรปไดวา พนทรปสเหลยมจตรส = 64 3. ถา a + b = c และ c = 6 แลวจะสรปไดวา a + b = 6 4. ถา rqp และ 12 sr แลวจะสรปไดวา 12 sqp 5. ถา yx และ zy แลวจะสรปไดวา zx การเขยนแสดงการเทากนดงกลาวเปนไปตามสมบตถายทอด ซงกลาววา

การแกสมการ คอ ………………………………

ถา ba แลว ab เมอ a และ b แทนจ านวนใดๆ

ถา ba และ cb แลว ca เมอ ba, และ c แทนจ านวนใดๆ

10

จงเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ 1) ให x2

2

1 ดงนน x2 ...............

2) ให qp และ 4q ดงนน ............... = 4 3) ให ba 12 ดงนน b = ………… 4) ให ts 4 และ 7t ดงนน 4s ................

5) ให y

x8

เมอ 0y ดงนน y

8 ..............

6) ให 12 ab ดงนน ............... ab 2 7) ให 11xy และ 11z ดงนน xy ............... 8) ให qp 5 ดงนน q ..............

9) ให nm 35

2 ดงนน .................. m

5

2

10) ให yx

2

1 และ 12y ดงนน x2

1 ................

3. สมบตการบวก ถามจ านวน 2 จ านวนทเทากน เมอน าจ านวนหนงมาบวกกบแตละจ านวนทเทากนนน

ผลลพธจะไดเทากน เชน 1. ถา x = -5 แลว x - 3 = -5 - 3 2. ถา 422 แลว 34322

3. ถา 745 y แลว )4(7)4(45 y 4. ถา qp แลว )()( rqrp

การเขยนแสดงการเทากนดงกลาวเปนไปตามสมบตการบวก ซงกลาววา

หมายเหต จ านวนทน ามาบวกกบแตละจ านวนทเทากนนน อาจเปนจ านวนบวกหรอจ านวนลบกได

การบวกแตละจ านวนทเทากนดวยจ านวนลบ กคอการน าจ านวนบวกมาลบออกจากทงสองจ านวนทเทากนนนเอง ดงน

ถา ba แลว cbca เมอ ba, และ c แทนจ านวนใดๆ


11

4. สมบตการคณ ถามจ านวน 2 จ านวนทเทากน เมอน าจ านวนหนงมาคณกบแตละจ านวนทเทากนนน

ผลลพธจะไดเทากน เชน

1. ถา -3x = 4

1 แลว 44

14)3( x

2. ถา 422 แลว 34322 3. ถา yx แลว yx 22

4. ถา nm แลว nm

4

1

4

1 นนคอ nm4

1

4

1

5. ถา zy

x และ 0y แลว yzx

การเขยนแสดงการเทากนดงกลาวเปนไปตามสมบตการคณ ซงกลาววา

หมายเหต จ านวนทน ามาคณกบแตละจ านวนทเทากนนน อาจเปนจ านวนเตมหรอเศษสวนกได

การคณแตละจ านวนทเทากนดวยเศษสวน เชน k

1 เมอ k เปนจ านวนเตมใดๆ ท

0k กคอการน าจ านวนเตม k มาหารทงสองจ านวนทเทากนนนเอง ท าใหสรปไดวา

ตวอยางท 1 จงแกสมการ 125 x วธท า 125 x น า 5 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได 51255 x 17x ตรวจค าตอบ แทน x ดวย 17 ในสมการ 125 x จะได 12517 เปนสมการทเปนจรง ดงนน 17 เปนค าตอบของสมการ 125 x ตอบ 17


ถา ba แลว c

b

c

a เมอ ba, และ c แทนจ านวนใดๆ ท 0c

12

ตวอยางท 2 จงแกสมการ 5

7

5

1y

วธท า 5

7

5

1y

น า - 5

1 มาบวกทงสองขางของสมการ

จะได 5

1

5

7

5

1

5

1y

5

6

5

17

y

y

ตรวจค าตอบ แทน y ดวย 5

6 ในสมการ 5

7

5

1y

จะได 5

7

5

1

5

6

5

7

5

7 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 5

6 เปนค าตอบของสมการ 5

7

5

1y

ตอบ 5

6


1x

วธท า 73

1x

น า 3 มาคณทงสองขางของสมการ

จะได 733

13 x

21x

ตรวจค าตอบ แทน x ดวย 21 ในสมการ 73

1x

จะได 7213

1


ดงนน 21 เปนค าตอบของสมการ 73

1x

ตอบ 21

13

ตวอยางท 4 จงแกสมการ 124 y วธท า 124 y


จะได 4

12

4

4

y

3y ตรวจค าตอบ แทน y ดวย 3 ในสมการ 124 y จะได 1234 1212 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 3 เปนค าตอบของสมการ 124 y ตอบ 3


x

วธท า 532

x

น า 3 มาบวกทงสองขางของสมการ

จะได 35332

x

82

x


จะได 822

2 x

16x

ตรวจค าตอบ แทน x ดวย 16 ในสมการ 532

x

จะได 532

16

538 55 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน 16 เปนค าตอบของสมการ 532

x

ตอบ 16

14

ตวอยางท 6 จงแกสมการ 2873 x วธท า 2873 x น า 7 มาลบทงสองขางของสมการ จะได 728773 x

213 x น า 3 มาหารทงสองขางของสมการ

จะได 3

21

3

3

x

7x ตรวจค าตอบ แทน x ดวย 7 ในสมการ 2873 x จะได 28773 28721

2828 เปนสมการทเปนจรง ดงนน 7 เปนค าตอบของสมการ 2873 x

ตอบ 7


3

2

13 x

วธท า 4

3

2

13 x

น า 2

1 มาลบทงสองขางของสมการ

จะได 2

1

4

3

2

1

2

13 x

4

13

4

233

x

x

น า 3 มาหารทงสองขางของสมการ

จะได 3

4

1

3

3

x

12

1

3

1

4

1

x

x

ตรวจค าตอบ แทน x ดวย 12


3

2

13 x

15

จะได 4

3

2

1

12

13

4

3

2

1

4

1

4

3

4

21

4

3

4


ดงนน 12


3

2

13 x

ตอบ 12

1

การแกสมการทมเศษสวนอยางเชนตวอยางท 7 อาจท าไดอกวธหนง คอ ก าจดสวน ทงหมดในสมการใหหมดไป โดยการน าสวนทงหมดมาหา ค.ร.น. แลวน า ค.ร.น. ทไดมาคณตลอดสมการ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 8 จากโจทยในตวอยางท 7 จงแกสมการ 4

3

2

13 x โดยวธก าจดสวน

วธท า 4

3

2

13 x

หา ค.ร.น. ของสวนคอ 2 และ 4 ได 4 น า ค.ร.น. คณตลอดสมการ

จะได 4

34

2

134

x

3212

32

14)3(4

x

x

น า 2 มาลบทงสองขางของสมการ จะได 232212 x

112 x น า 12 มาหารทงสองขางชองสมการ

จะได 12

1

12

12

x

12

1x

ตอบ 12

1

จากตวอยางท 7 และ 8 จะเหนวา การแกสมการทมเศษสวนโดยวธปกต และโดยวธก าจดสวน ตางท าใหไดผลลพธเทากน

16

เอกสารแนะแนวทางท 5 การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว


2

4

3

2

1

3

2

x

วธท า วธท 1 3

2

4

3

2

1

3

2

x

น า 2

1 มาบวกทงสองขางของสมการ

จะได 2

1

3

2

4

3

2

1

2

1

3

2

x

12

7

3

2

12

689

3

2

2

1

3

2

4

3

3

2

x

x

x

น า 2

3 มาคณทงสองขางของสมการ

จะได 2

3

12

7

2

3

3

2

x

8

7x

ตรวจค ำตอบ แทน x ดวย 8


2

4

3

2

1

3

2

x

จะได 3

2

4

3

2

1

8

7

3

2

4

89

2

1

12

7

12

1

12

67

12

1

12


ดงนน 8


2

4

3

2

1

3

2

x

ตอบ 8

7

วธท 2 ก าจดสวนของเศษสวนในสมการ 3

2

4

3

2

1

3

2

x

หา ค.ร.น. ของสวนคอ 2, 3 และ 4 ได 12 น า ค.ร.น. คณตลอดสมการ

17

จะได

3

2

4

312

2

1

3

212

x

168

8968

3

212

4

312

2

112

3

212

x

x

x

น า …… มา………ทงสองขางของสมการ จะได

น า ...... มา........ทงสองขางของสมการ จะได .................................................................

.................................................................. ตอบ .....................................................................

ตวอยางท 10 จงแกสมการ 10)3(3 a วธท า วธท 1 10)3(3 a


จะได 3

10

3

)3(3

a

3

103 a

น า 3 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได ................................................

................................................ ................................................ ................................................ ตรวจค ำตอบ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................

ดงนน ....... เปนค าตอบของสมการ 10)3(3 a ตอบ ................................................

18

วธท 2 10)3(3 a น า 3 มาคณในวงเลบ ( สมบตการแจกแจง ) จะได 1093 a น า 9 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได 910993 a

13 a


จะได 3

1

3

3

a

3

1a

ตอบ 3

1

จากตวอยางท 10 จะเหนไดวา การแกสมการทมวงเลบ สามารถท าไดโดยอาศยสมบตการแจกแจง ซงผลลพธทไดจะเทากบวธปกต


1b โดยอาศยสมบตการแจกแจง

วธท า 623

1b

น า ........ มา........ในวงเลบ จะได

...........................

น า ....... มา..........ทงสองขางของสมการ จะได ................................................

................................................ ................................................ ................................................ ตรวจค ำตอบ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................

ดงนน ......... เปนค าตอบของสมการ 623

1b

ตอบ ............

19

เอกสารแนะแนวทางท 6 การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยางท 12 จงแกสมการ 102153 xx วธท า 102153 xx น า x2 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได 102)2(153)2( xxxx

1015

102)2(153)2(

x

xx

น า -15 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได ................................................ .…………………………………. ตรวจค ำตอบ แทน x ดวย -25 ในสมการ 102153 xx จะได 10)25(215)25(3

10501575

10)25(215)25(3

............................................. เปนสมการทเปนจรง ดงนน ….. เปนค าตอบของสมการ 102153 xx

ตอบ ………………………………………. ตวอยางท 13 จงแกสมการ 3213 cc โดยอาศยสมบตการแจกแจง วธท า 3213 cc น า 3 และ 2 คณแจกแจงเขาไปในวงเลบ จะได 6233 cc น า 3 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได 362333 cc .................................. น า c2 มาบวกทงสองขางของสมการ จะได 32)2(3)2( cccc ................................................ .............................

20

ตรวจค ำตอบ แทน c ดวย ....... ในสมการ 3213 cc จะได ....................................... ........................................

.......................................... เปนสมการทเปนจรง ดงนน ........ เปนค าตอบของสมการ 3213 cc

ตอบ .................................

21

เอกสารแนะแนวทางท 7 เรองสมการเชงเสนตวแปรเดยว เรองยอย โจทยปญหาเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยว

1. เจยบมเงนอยจ านวนหนง แมใหมาอก 350 บาท เมอน าเงนทมอยเดมมานบรวมกบเงนทแมใหจะนบได 678 บาท เดมเจยบมเงนอยเทาไร

วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22

2. น าผงซอสมดมาจ านวนหนง น ารวมกบสมดทมอยเดมอก 148 เลม แจกใหนกเรยน 43 คนคนละ 6 เลม น าผงซอสมดมากเลม วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

3. แดงมลกหนอยจ านวนหนงด ามลกหนมากกวาสองเทาของแดงอย 5 ลก ถาด ามลกหน 61 ลก แดงจะมลกหนกลก วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

4. 5 เทาของจ านวนเปดทนายแดงและนายด าเลยงจะเทากบจ านวนเปดของนายเขยว ถานายด ามเปด 48 ตว นายเขยวมเปด 500 ตว นายแดงจะมเปดจ านวนกตว

วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

25


ตวอยางท 1 5 เทาของเลขจ านวนหนงมากกวา 3 อย 7 วธท า ให x แทนเลขจ านวนหนง จะไดสมการคอ 5x – 3 = 7 น า 3 บวกทงสองขางของสมการ 5x – 3 + 3 = 7 + 3 5x = 10

น า 5

1 คณทงสองขางของสมการ

5

1 5x = 5

110

x = 2 ตรวจค าตอบ ................................................................................................................ .......................................................................................................................................... …………………………………………………………………………………………………….. ตวอยางท 2 แมคาซอมะมวงมาขายจ านวนหนง วนแรกขายไดครงหนงของทซอมา วนทสอง

ขายไดอก 5

3 ของจ านวนมะมวงทเหลอจากวนแรก ถาวนทสองขายมะมวงได

111 ผล ใหหาวาแมคาซอมะมวงมาขายทงหมดกผล วธท า สมมตซอมะมวงมาทงหมด ผล

วนแรกขายได 2

x ผล

วนทสองขายได 5

3 ของทเหลอ 10

3

25

3 xx ผล

เนองจากวนทสองขายได 111 ผล

จะได 11110

3

x

370

3

110,1

110,1

101113

x

x

26

ตรวจค าตอบ แทนคา x = 370 ในสมการ 11110

3

x

11110

)370(3

111 = 111 สมการเปนจรง ดงนน ซอมะมวงมาทงหมด 370 ผล วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

27


ตวอยาง ขณะนตกกอาย 17 ป อก 4 ปขางหนาเธอจะอายเปน 3 เทา ของอายป กก

ปจจบนป กกอายเทาไร

วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………

28

วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………

29


ตวอยางท 1. นาย ก ใหนาย ข ยมเงน 7 บาท แตนาย ก ขอยมเงนจากนาย ค และนาย

ง 15 บาท และ 32 บาท ตามล าดบ กอนหนานน นาย ง เปนหน นาย ค และนาย ข 3 บาท และ 7 บาทตามล าดบ ถามการช าระหนทงหมดขน ใครจะมเงน 18 บาท

การแกปญหา ขอมลทโจทยก าหนดให น ามาหาความสมพนธไดดงน

ขนท 1 ใชจด . แทน นาย ก , ข , ค ,ง

ขนท 2 นาย ก ใหนาย ข ยมเงน 7 บาท

นาย ก ขอยมเงนจากนาย ค และนาย ง 15 บาท และ 32 บาท

ขนท 3 นาย ง เปนหน นาย ค และนาย ข มากอน 3 บาท และ 7 บาท

.ง

.ก

.ข .ค 15 7 32

นาย ง

3 32 7

15 7 นาย ค นาย ก นาย ข

แทนการใหยม

.ง

.ก

.ข .ค

30

เมอมการช าระหนทงหมด จะเกดความสมพนธ ดงน

ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

31

ตวอยางท 2. ถาสามวนกอนวนพรงน เปนวนพฤหสบดแลว สวนหลงจากเมอวานเปนวนอะไร การแกปญหา จากโจทย หาความสมพนธ ไดดงน ขนท 1 ก าหนดวนพรงน แลวหา 3 วนกอนจากวนพรงน ขนท 2 หาวนน และเมอวานน ขนท 3 หาสวนตอจากวนเมอวานน ขนท 4 ก าหนดวนทงหมด

พฤ

3 วนกอนพรงน

พรงน

พฤ


พรงน

เมอวานน วนน

พฤ


พรงน

เมอวานน วนน

32

ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

33

ตวอยางท 3. แมแบงเงน 150 บาท ใหลกสาวและลกชายในอตราสวน 2:3 แบงเงนใหลกสาวเทาไร ขนท 1 แมแบงเงนใหลกสาว 2 สวน จากทงหมด 5 สวนซงเงนทงหมด 5 สวน

คดเปนเงน 150

ขนท 2 เงน 5 สวน คดเปน 150 บาท ถาจะหาเงน 1 สวน จะตองแบง 150 บาท ออกเปน 5 สวนดวย

ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………

ลกชาย 3 สวน

ลกสาว 2 สวน

5 สวน

รวม เทากบ

150 บาท

34

วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 4. รอยละ 60 ของนกเรยน 420 คน เปนนกเรยนชาย มนกเรยนชายกคน

นกเรยนทงหมด

420 คน

รอยละ 60

หมายถง

ถามนกเรยนอย 100 คน

จะเปนนกเรยนชาย 60 คน

60 100

60 100

60 100 1 1 1 - -

-

เปนชาย 100 คน 60 คน

- - -

60 100

นกเรยน ทงหมด 1 คน

เปนชาย

35

วธคด ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ตรวจค าตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………สรปค าตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… วธคดแบบอนเพมเตมทนาสนใจ ………………………...……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

36

ตวอยางท 5 ครอบครวของ ด.ช.หมาก ซงมสมาชก 3 คน ไดการท าบญชรายรบรายจาย ตามหลกเศรษฐกจพอเพยง โดยค านงถงความพอประมาณ มเหตผล และมภมคมกนในตวทด โดยในเดอนทผานมารายรบและรายจายของครอบครว มขอมลดงน

รายรบ ไดแก เงนเดอนพอ 35,000 บาท และเงนเดอนแม 25,000 บาท รายจาย ไดแก คาผอนบาน 7,000 บาท คาเรยนพเศษ 3,000 บาท คาอาหาร 9,000

บาท คาน าและไฟฟา 1,000 บาท คาซกผา 1,500 บาท คาเสอผา 4,000 บาท คาฟตเนส 3,000 บาท คาอปกรณการเรยน 1,000 บาท คารกษาพยาบาล 1,500 บาท คาผอนรถยนต 5,000 บาท คาเครองส าอางและน าหอมของแม 2,000 บาท คาอปกรณกฬาของหมาก 1,000 บาท คาขนมไปโรงเรยนของหมาก 1,200 บาท คาใชจายเบดเตลด 2,000 บาท

ใหนกเรยนชวย ด.ช.หมาก ท าบญชรายรบรายจาย และวางแผนการใชเงนอยางเหมาะสม โดยใชความรเรองสมการเชงเสนตวแปรเดยว

เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่อง...

Documents