158

บทท 6

การเคลอนทแบบออสซลเลต

บทนา

การเคลอนทแบบออสซลเลต (Oscillatory motion) จะหมายถงการเคลอนทเปนรอบ

หรอการเคลอนทเปนคาบรอบตาแหนงสมดล เชน การเคลอนทของลกตมนาฬกา การเคลอนทของ

วตถทผกตดไวทปลายสปรงเมอยดสปรงแลวปลอย การสนของอะตอมในของแขง อะตอม

ในโมเลกลกสนสมพทธซงกนและกน อเลกตรอนในสายอากาศมการเคลอนทแบบสนแกว ง

อยางรวดเรว นอกจากนการสนแบบออสซลเลตยงเปนพนฐานของการศกษาเรองคลนอกดวย

ในบรรดาการเคลอนทแบบออสซลเลต การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก (Simple

harmonic motion, SHM) นบวาเปนชนดทสาคญทสด เพราะวาเปนการเคลอนทซงสามารถใช

คณตศาสตรอธบายไดงายทสด และยงประกอบดวยคาบรรยายทคอนขางแมนยาสาหรบการสนท

พบในธรรมชาต

6.1 การเคลอนทแบบ SHM (Simple harmonic motion)

เมออนภาคเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก เมอการกระจด y สมพทธกบจดกาเนดของ

ระบบโคออดเนตเปนฟงกชนของเวลา และสมพนธกนตามสมการ

y = A sin (t + ) …..(6-1)

เมอปรมาณ t + เรยกวา เฟส (Phase) และ เรยกวา เฟสเรมตน เมอเวลา t = 0

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกยงสามารถนยามเปน Cosine function กได แตจะแตกตางกน

เพยงประการเดยวคอ เฟสเรมตนจะตางกนอย 90 หรอ /2 เรเดยน ทงนเนองจาก Sine function

หรอ Cosine function มคาอยระหวาง –1 กบ +1 ดงนนการกระจดจงมคาอยระหวาง x = -A กบ

x = +A ซงเรยกวา แอมปลจด (Amplitude) ของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะเวยนซาเดม

ในทก ๆ ครงทมมเฟส t เพมขนทก 2 ดงนนการกระจดของอนภาคจะซาเดมอกหลงจา

ชวงเวลา 2/ ไดผานไป การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจงเปนแบบพรออดก (Periodic)

ซงคาบ T คอ

T = ωπ2

…..(6-2)

159

เมอความถเชงมม = 2f และทาใหความถ f = 1/T ดงนนความเรว v และความเรง a

ของอนภาคซงอนพนธฟงกชนกบเวลาสามารถหาไดจากสมการท (6-1) คอ

v = dtdy

= Acos(t + ) …..(6-3)

และ a = 2

2

dt

yd =

dtdv

= -2A sin(t + ) = -2y…..(6-4)

จากสมการท (6-4) จะเหนวาในการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก ความเรงจะเปน

ปฏภาคโดยตรงและมทศทางตรงขามกบการกระจด ดงแสดงในรปท 6-1 ซงเปนกราฟของ

การกระจด ความเรว และความเรงเปนฟงกชนของเวลา

รปท 6-1 กราฟการกระจด x ความเรว v ความเรง a ของวตถทเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก

การกระจดของอนภาคทเคลอนทแบบ SHM สามารถใชเวกเตอรหมน (Rotating vector)

อธบายไดดงรปท 6-2 ถาพจารณาองคประกอบตามแนวแกน x ของเวกเตอร A

เมอหมนทวนเขม

นาฬการอบจด O ดวยความเรวเชงมม และทามมในขณะใด ๆ เปน t + กบแกน –y ดงรปท

160

6-3 ซงแสดงเวกเตอร A

ในตาแหนงตาง ๆ กน ดงนนขนาดขององคประกอบของเวกเตอร A

ตาม

แนวแกน x ณ เวลา t ใด ๆ สามารถแสดงไดเปน x = Ax = A sin (t + )

(ก) (ข) (ค)

รปท 6-2 Rotating vector สาหรบการกระจดใน SHM

รปท 6-3 แสดง Rotating vector สาหรบการกระจด x ความเรว v และความเรง a ใน SHM

ความเรวและความเรงของอนภาคสามารถแทนไดดวยเวกเตอรหมน A และ A2

ตามลาดบ และมองคประกอบของความเรว ความเรง ตามแนวแกน x ของอนภาคซงกาลงเคลอนท

แบบ SHM โดยตาแหนงของเวกเตอรหมนสามารถแสดงได ดงรปท 6-4

161

(ก) (ข)

รปท 6-4 แสดงความสมพนธระหวางการเคลอนทแบบวงกลมกบ SHM

จากรปท 6-4 จะเหนวาเวกเตอรความเรว A นาหนาเวกเตอรการกระจด A ไป /2

และเวกเตอรความเรง 2A นาหนาเวกเตอรการกระจด A ไป เมอสมพนธกบเวกเตอรหมน A

เมอมเฟสนาหนาไปเชนน จงเขยนสมการท (6-3) และ (6-4) ใหมไดเปน

v = A sin(t + + 2π

) …..(6-5)

และ a = 2A sin(t + + ) …..(6-6)

ซงแสดงใหเหนวา เวกเตอรความเรว v และเวกเตอรความเรง a มเฟสแตกตางจาก

การกระจด x เปนจานวน /2 และ ตามลาดบ นอกจากนเรายงสามารถใชการเคลอนทแบบ

วงกลมอธบายการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกไดอก ดงแสดงในรปท 6-4

ความสมพนธระหวางการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกกบการเคลอนทแบบวงกลม

ดงรปท 6-4 สามารถพจารณา OP ซงมความยาวเทากบ A ในรปท 6-5 (ก) และหมนรอบจด O

ดวยความเรวเชงมม ซงเสน OP จะเปนเวกเตอรหมน โดยเวกเตอร OP ทามม กบแนวระดบ

ทเวลา t = 0 จด N จะเปนเงา (Projection) ของจด P ในแนวแกน y เมอเวกเตอร OP หมน จะทาให

จด N เกดการออสซลเลตไปตามแนวแกน y ถากาหนดให y เปนความยาวของ ON ทเวลา t ใด ๆ

มมระหวางรศม OP และแกน x เทากบ t + นนคอ

y = A sin(t + )

ความเรวของการเคลอนท ทจด P ดงรปท 6-4 (ข) มขนาดเปน A และความเรว

ในแนวแกน y จะมคาเทากบ

v = A cos(t + )

162

และความเรงของจด P คอความเรงเชงมมซงมขนาด A2 และความเรงในแนวแกน y คอ

a = 2A sin(t + )

ตวอยางท 6-1 จงหาการกระจด ความเรว และความเรงของอนภาคทแกวงแบบ SHM ดวยขนาด

แอมปลจด A = 0.05 m และความถ f = 20 Hz ในขณะเวลา 0.04 s ภายหลงทอนภาคผานตาแหนง

สมดลและกาลงเคลอนทไปในทศทางบวก

วธทา หาขนาดเนองจากการแกวงแบบ SHM จาก

y = A sin(t + )

เมออนภาคผานตาแหนงสมดล ทาใหเฟสเรมตน = 0 และ = 2f ดงนน

y = A sin t

y = 0.05 sin(2 20 0.04)

= -0.048 m ตอบ

สาหรบความเรวเกดจากอนพนธของการกระจดเทยบกบเวลา คอ

v = dtdy

= A cos(t)

v = 2 20 0.05 cos(2 20 0.04)

= 1.9 m/s ตอบ

ทานองเดยวกนความเรงกเกดจากอนพนธของความเรวเทยบกบเวลา จะได

a = dtdv

= -2A sint

a = -[(2 20)2 0.05 sin(2 20 0.04)]

= 7.5 102 m/s ตอบ

6.1.1 แรงและพลงงานของการเคลอนทแบบ SHM

พจารณาจากมวล m ทยดตดกบสปรงทมคาคงทของสปรง k ดงรปท 6-5

เราสามารถหาแรงเนองจากสปรงทกระทาตอมวล m หลงจากออกแรงยดสปรงไดระยะ x เทากบ

-kx และจากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน F = ma เมอแทนคาความเรงของการเคลอนทของ

อนภาคมวล m ตามสมการท (6-4) โดยกาหนดให x เปนการกระจดทไดจากการยดสปรง จะได

163

รปท 6-5 แสดงมวลยดตดกบปรง

F = -m2x = -kx …..(6-7)

ดงนน = mk

…..(6-8)

จากสมการท (6-7) จะเหนวาแรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะเปน

สดสวนโดยตรงและมทศตรงกนขามกบการกระจด สมการของคาบในสมการท (6-2) สามารถเขยน

ใหมไดเปน

T = 2km

…..(6-9)

และความถ f = mk

π2

1 …..(6-10)

เนองจากพลงงานจลนของอนภาคมวล m ทกาลงเคลอนทดวยความเรว v เทากบ

Ek = 21

mv2 …..(6-10)

เมอแทนคาความเรวจากสมการท (6-3) ลงในสมการท (6-11) จะไดพลงงานจลนเปน

Ek = 21

mv2 = 21

m2A2 cos2(t + ) …..(6-12)

เนองจาก sin2 + cos2 = 1 และ x = Asin(t+) เราสามารถเขยนพลงงานจลน

ของอนภาคมวล m ใหมได

Ek = 21

m2A2 [1 - sin2(t + )]

หรอ Ek = 21

m2[A2 - x2] …..(6-13)

164

จะเหนวาพลงงานจลนมคามากทสดทจดสมดลเมอ x = 0 และมคานอยทสด คอ

ศนย เมอการกระจด x = +A สาหรบการหาคาพลงงานศกย EP เราสามารถใชสมการ

F = -dx

dE P

และจากสมการท (6-7) เมอแทนคาแรง F แลวอนทเกรตจากพลงงานศกยเรมตน

ณ จดกาเนดหรอตาแหนงสมดลไปยงพลงงานศกย ณ ตาแหนง x ใด ๆ จะได

PE

0PdE = dxkx

x

0

EP = 21

kx2 = 21

m2x2 …..(6-14)

ดงนนพลงงานศกยทมคานอยทสดเปนศนย ณ ตาแหนงสมดล หรอตาแหนง x = 0

และจะมคาเพมขนและมากทสดเมออนภาคเคลอนทจากตาแหนงสมดล จนการกระจด x = +A และ

เมอรวมสมการท (6-13) กบ (6-14) เขาดวยกนจะไดพลงงานรวมทงหมดของการเคลอนทแบบ

ซมเปลฮารโมนกของอนภาคเปน

E = Ek + EP = 21

m2A2 = 21

kx2 …..(6-15)

แสดงวาการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะมคาพลงงานรวม E คงท ซงอาจ

กลาวไดวาในระหวางการแกวงนน พลงงานจลนและพลงงานศกยยอมแลกเปลยนกนในขณะท

อนภาคเคลอนทออกจากตาแหนงสมดล และพลงงานศกยลดลงเทากบพลงงานจลนทเพมขน

เมออนภาคเคลอนทเขาหาตาแหนงสมดล ความสมพนธของพลงงานและการกระจดสามารถแสดง

ไดดงรปท 6-6

รปท 6-6 แสดงความสมพนธระหวาง E EP และ Ek

(ดดแปลงจาก: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.462)

165

ในรปท 6-6 พลงงานศกย EP = 21

kx2 ซงแทนดวยเสนโคงพาราโบลาสาหรบ

พลงงานทงหมด E ทกาหนดใหไดแสดงไวดวยเสนระดบ ขดจากดของการแกวงหาไดจากจดตดกน

ของเสนระดบนกบเสนโคงของพลงงานศกย เนองจากเสนโคงพาราโบลานมลกษณะสมมาตร

ขดจากดของการแกวงจงอยทระยะการกระจด x = +A เทากนจากจด O พลงงานจลน Ek ณ จด x ใด

ๆ คอระยะทางระหวางเสนโคง EP(x) กบเสนตรง E

ตวอยางท 6-2 อนภาคมวล 0.25 kg เคลอนทแบบสนแกวงภายใตแรงเนองจากสปรงทมคาคงทของ

สปรง k = 4.0 N/m2 ถาวตถเรมตนดวยความเรว 0.4 m/s ไปทางขวาจากจดเรมตนซงอยหางจาก

จดสมดลเปนระยะทาง 0.1 m จงคานวณหา

(ก) คาบความถ และความถเชงมม (ข) พลงงานทงหมด

(ค) แอมปลจด (ง) เฟสเรมตน

(จ) ความเรวและความเรงสงสด

(ฉ) การกระจด ความเรว และความเรง เมอเวลาผานไป /8 วนาท

วธทา (ก) คานวณหา คาบ ความถ และความเรวเชงมม ตามลาดบ

T = 2km

= 2425.0

= 1.6 s

f = mk

π2

1 =

25.04

21π = 0.64 Hz

= 2f = 2 0.64 = 4 rad/s ตอบ

(ข) คานวณหา พลงงานรวมทงหมด

E = Ek + EP = 21

m20v +

21

k20x

E = 21

0.25 (0.4)2 +21 4 (0.1)2

= 0.04 J ตอบ

(ค) คานวณหาแอมปลจด จาก x = A เมอ Ek = 0 และ E = EP = 21

kA2 ดงนน

A = kE2

= 4

04.02 = 0.14 m ตอบ

(ง) คานวณเฟสเรมตนเมอการกระจดเรมตน x0 = 0.1 m จาก

sin = Ax 0

= 14.01.0

= sin4π

ดงนน เฟสเรมตน = 4π

rad ตอบ

166

(จ) คานวณความเรวสงสดขณะอนภาคอยทตาแหนงสมดลจาก

vmax = A = 4 0.14 = 0.57 m/s

และความเรงสงสดขณะวตถมการกระจด x = A

amax = 2A = 42 0.14 = 2.3 m/s2 ตอบ

(ฉ) การกระจด ความเรว และความเรง เมอเวลา t = /8 วนาท โดยพจารณาสมการ

การเคลอนทของอนภาคนแบบ SHM ดงนนสมการการกระจด ความเรว และความเรง สามารถ

เขยนได

x = A sin(t + ) = 0.14 sin(4t + 4π

)

v = A cos(t + ) = 0.57 cos(4t + 4π

)

a = -2A sin(t + ) = -2x

เมอแทนคา t แลวจะได

x = 0.14 sin(8

4 π+

4π

) = 0.10 m

v = 0.57 cos(8

4 π+

4π

) = -0.40 m/s

a = -2x = -(4)2 0.10 = -0.16 m/s2 ตอบ

6.1.2 การเคลอนทของมวลตดสปรงและลกตมนาฬกาอยางงาย

การเคลอนทของมวลตดสปรง

สปรงเมอยดกบมวล m อยทตาแหนง x = 0 และเมอดงมวล m ใหยดออก ตวสปรง

จะดงมวลกบดวยแรงขนาด F = -kx เมอ k เปนคาคงทของสปรงมหนวยเปน N/m และเมอดงมวล m

ออกไปเรอย ๆ จนถงจด ๆ หนง และเมอปลอยแรงดงแลวสปรงสามารถหดตวกลบได เรยกจดนวา

จดขดจากดความยดหยน (Elastic limit) แตถาดงสปรงนตอไปอกสปรงจะไมกลบคนสภาพเดม

และตอไปสปรงกจะขาดออกจากกน

167

รปท 6-7 การเคลอนทแบบ SHM ของมวลผกตดกบสปรง

พจารณารปท 6-7 เมอดงสปรงใหยดไปเปนระยะทาง x ซงยงไมถงจดขดจากด

ความยดหยน แลวปลอยใหสปรงดงมวลกบดวยแรง F = -kx สปรงจะดงมวล m เคลอนทกลบมา ณ

จด x = 0 ทนท แตเนองจากโมเมนตมของความเฉอยของมวล และความเรวทเกดจากแรง F = -kx

เดม จะทาใหมวล m เคลอนทเลยจดศนยไปยงจด -x ซงในสปรงจะมแรงตาน F = kx ทนท และจะ

ผลกวตถใหเคลอนทกลบมาทจดศนยอก และดวยเหตผลเดยวกบครงแรก มวลจะเคลอนทเลยจด x

และเปนเชนนเรอย ๆ ตราบใดทไมมแรงภายนอกมากระทาตอมวลน การเคลอนทของมวลน

เราเรยกวา การเคลอนทแบบฮารโมนก (Harmonic motion) และถาเขยนกราฟการเคลอนทตอเวลาท

ผานไป จะไดลกษณะกราฟเปนรป Sine curve ดงแสดงในรปท 6-7 สาหรบสมการการเคลอนท

แบบฮารโมนกสามารถเขยนหาไดจาก

F = ma = -kx

เนองจาก a = d2x/dt2 เมอแทนคาและจดเทอมใหม จะได

2

2

dt

xd+

mk

x = 0 …..(6-16)

เมอสมการท (6-16) เปนสมการการเคลอนทแบบฮารโมนก ซงมลกษณะเปนกราฟ

รปไซน (Sine curve) ดงนนถาสมมตใหคาของคาตอบ (Solution) ของสมการนเปน

x = C cos0t และ x = D sin0t …..(6-17)

168

หาอนพนธของ x จะได

2

2

dt

xd = -0 C sin0t

และ 2

2

dt

xd = -

20ω C cos0t = -

20ω x

ทานองเดยวกน

dtdx

= -0 D cos0t

และ 2

2

dt

xd = -

20ω D sin0t = -

20ω x

จะเหนวาคาของ x ทงสองในสมการท (6-17) จะไดคา 2

2

dt

xd =

20ω x เชนเดยวกน

และเมอนาไปแทนคาในสมการท (6-16) จะได

20ω =

mk

หรอ 0 = mk

…..(6-18)

แสดงวาคาคาตอบของสมการท (6-16) จะมคาของ x นาจะเปน

x = -C cos0t + D sin0t …..(6-19)

หรอเขยนในรปแบบใหม คอ

x(t) = A sin(0t + )

หรอ x(t) = A cos(0t + )

เพราะเมอหาอนพนธเทยบกบเวลากาลงสองแลวจะได 2

2

dt

xd = -

20ω x เชนเดม

เมอ เปนผลตางเฟส

ถาสมมตให และ t เปนศนย เมอใชคาตอบเปน

x(t) = A sin(0t + ) จะได x(0) = 0

แตถาใชคาตอบเปน

x(t) = A cos(0t + ) จะได x(0) = A

สาหรบตารานจะกาหนดใหใชคาตอบของสมการอนพนธอนดบสองในการอธบาย

การเคลอนทแบบฮารโมนก เมอเวลาเปนศนยคาของ x จะตองเทากบศนยดวย ดงนน

x(t) = A sin(0t + ) .....(6-20)

169

ตวอยางท 6-3 วตถมวล 2 kg ยดตดกบสปรงทมคาคงท k = 8 N/m ทเวลา t = 0 มวลอยทตาแหนง

ของการกระจด x = 0.2 m แลวปลอยใหเคลอนท จงหาสมการการเคลอนทแบบฮารโมนก

วธทา จากสมการท (6-20)

x(t) = A sin(0t + )

เมอ t = 0 x(0) = A sin

ดงนน ความเรวของมวล ณ t = 0 จะได

v(0) = dtdx

= A cos

เมอ t = 0 ในขณะท x 0 แต v(0) = 0 ดงนน จะตองเทากบ /2 และ A = 0.2 m

นนคอ

x(t) = 0.2 sin(0t + 2π

)

x(t) = 0.2 cos(0t)

แตเนองจาก 0 = mk

= 28

= 2 rad/s แทนคา จะได

x(t) = 0.2 cos(2t) ตอบ

ตวอยางท 6-4 ถานามวล m ตอกบสปรงสองตวทมคาคงท k1 และ k2 จงหาคาบของการแกวง เมอตอ

สปรงแบบอนกรมและตอแบบขนาน ดงแสดงตามรปท 6-8 กาหนดใหพนไมมความเสยดทาน

(ก) ตอสปรงแบบอนกรม (ข) ตอสปรงแบบขนาน

รปท 6-8 ตวอยางท 6-4

170

วธทา เมอตอสปรงแบบอนกรม ใหจดยดออกไปของสปรง k1 เปน x1 และของสปรง k2 เปน x2

ดงนน ระยะยดออกไปทงหมดเปน x = 1x+ 2x และจาก

F = -kx หรอ x = -kF

แตเนองจาก x = 1x+ 2x = -F

21 k1

k1

ดงนนแสดงวา k1

=

21 k1

k1

= 21

21

kkkk

จาก 0 = mk

และ 0 = Tπ2

ดงนนคาบการแกวง

T = 2km

= 221

21

kk)kk(m

ตอบ

สาหรบการตอสปรงแบบขนาน แลวทาใหสปรงยดออกเปนระยะทาง x แรงดงกบ

เนองจากสปรง k1 และของสปรง k2 เทากบ F1 = k1x และ F2 = k2x ตามลาดบ แตงแรงทกระทาตอ

มวลเปน

F = F1 + F2 = -(k1 + k2)x = -kx

แสดงวา k = k1 + k2

และคาบการแกวง T = 2km

= 221 kk

m ตอบ

ลกตมนาฬกาอยางงาย

การเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย (Simple pendulum) เปนตวอยางหนงของ

การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกประกอบดวยลกตมนาหนกมวล m ผกตดกบจด O ดวยเสนเชอก

เบามากและยาว L ดงรปท 6-9 หลกการทสาคญของการเคลอนทแบบนคอ ลกตมจะตองแกวงทามม

เลก ๆ กบแนวดงและถอวาเปนการแกวงของวตถทเปนจด

รปท 6-9 การแกวงของลกตมนาฬกา

171

เมอดงลกตมมวล m ไปยงปลายขางหนงของจดสมดล จะมแรงดงกลบ F เทากบ

F = -mg sin …..(6-21)

ถามม มคานอย ๆ การแกวงของลกตมนาฬกาจะเปนการเคลอนทแบบซมเปล

ฮารโมนก ซงคาของมม sin และสวนโคง x = L ดงนนสมการท (6-21) จะเปน

F = -mg = -L

mgx …..(6-22)

นนคอ แรงดงกลบจะเปนปฏภาคโดยตรงกบระยะทาง x และมทศทางตรงกนขาม

ซงคาคงทนกาหนดใหเทากบ k ดงนน จากสมการท (6-22) จะได k = mg/L แตเนองจาก

การเคลอนทของสปรงจะมความถตามธรรมชาต 0 = 2f0 = mk

ดงนนจะไดความถตาม

ธรรมชาตของการแกวงแบบลกตมนาฬกาเปน

0 = 2f0 = Tπ2

= mLmg

= Lg

…..(6-23)

จากสมการ (6-23) แสดงวาความถตามธรรมชาตของการแกวงแบบลกตมนาฬกา

ไมไดขนอยกบมวลของลกตมแตขนอยกบความยาว L ของลกตมนาฬกา สาหรบกรณทแอมปลจด

ของการแกวงกวางขน คาบการแกวงจะขนอยกบมม ดวย

รปท 6-10 การแปรผนของคาบของลกตมนาฬกากบแอมปลจด

การแปรผนของคาบของลกตมนาฬกา T กบแอมปลจดในพจนของคาบของ

สมการท (6-23) ซงเทากบ T = 2Lg

ทสมนยกบแอมปลจดเลกมากนน ไดแสดงไวในรปท 6-10

ใหสงเกตวาเมอแอมปลจดกวางมาก ๆ เทานน

172

จงจะเหนวา T แตกตางจาก T อยางเหนไดชด สาหรบแอมปลจดทกวางไมมาก

เกนไปนกใหอนโลมใชสตร

T = 2

2

161

1gL θ …..(6-24)

ซงมม ตองวดเปนเรเดยน สตรนเปนคาประมาณทใชไดดพอสาหรบทางปฏบต

เปนสวนมาก ตามขอเทจจรงนนพจนแกไขใหถกตอง คอ 2/16 มคานอยมากเมอแอมปลจดเลกกวา

23 จงอนโลมใหใชสตรตามสมการท (6-24) ได

ตวอยางท 6-5 ลกตมนาฬกาอนหนงมความยาว 619 mm ลกตมถกดงไปทางขวามอไกล 25 mm

จากจดสมดลแลวปลอย เรมจบเวลาเมอลกตมผานจดตาสดครงแรก จงหา

(ก) แอมปลจด ความถ คาบ และเฟสเรมตน

(ข) เวลาทลกตมมาหยดครงแรกชวขณะ

(ค) อตราเรวสงสดของลกตมในระหวางแกวง

วธทา (ก) แอมปลจด A = 0.025 m ดงนนความถ f และคาบ T จะได

f = T1

= Lg

π2

1 =

61.081.9

21π = 0.64 Hz

และ T = f1

= 64.01

= 1.6 s

สวนเฟสเรมตน = 0 ตอบ

(ข) จากสมการความเรว

v = A cos(t + ) = 2fA cos(2ft + 0)

เมออนภาคหยด แสดงวาความเรว v = 0 ดงนน

cos(2ft) = 0 = cos2π

ดงนนจะไดวา 2ft = 2π

หรอ t = 2π

f21π = 0.39 s ตอบ

(ค) ทจดสมดล อนภาคจะมอตราเรวสงสด จากสมการ

v = A cos(t + )

= 2fA cos(2ft + 0)

ในกรณนจะไดวา cos(2ft + ) = 1 ดงนน จะไดวา

173

vmax = 2fA = 2 0.64 0.025

= 0.10 m/s ตอบ

ตวอยางท 6-6 ลกตมนาฬกาจะตองยาวเทาไร จงจะมคาบการแกวง 1.0 s สาหรบแอมปลจดแคบ ๆ

ถากาหนดใหความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกเทากบ 9.78 m/s2

วธทา จากคาบของการแกวง

T = 2gL

หรอ L = 2

2

4

gT

π

L = 2

2

4

)0.1(78.9

π

= 0.248 m

เพราะฉะนนลกตมนาฬกาจะยาว 248 mm จงจะมคาบการแกวงเทากบ 1.0 s ตอบ

6.2 หลกการรวมกนการเคลอนทแบบ SHM (Superposition of simple harmonic motion)

ตอไปนเราจะพจารณาการรวมกนไดของการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนก (Superposition)

หรอเรยกอกอยางหนงวา การแทรกสอด (Interference) ของการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนก

ซงทาใหเกดการกระจดของอนภาคไปตามเสนตรงเดยวกนหรอตางกน สาหรบในตาราน เพอเปน

ตวอยาง เราจะพจารณาการรวมกนของสองการเคลอนทแบบ SHM 3 แบบ ดงตอไปน คอ

แบบท 1: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางเดยวกนและความถเดยวกน

พจารณาการรวมกนไดของการเคลอนทของสอง SHM ทมการกระจดอยในแนวเสนทาง

เดยวกน และการเคลอนททงสองมความถเทากน ถากาหนดใหเฟสเรมตนของการกระจด y1 เปน

ศนย และของ y2 เปน จะไดสมการของการกระจด y1 และ y2 เปน

y1 = A1 sint

และ y2 = A2 sin(t + )

ดงนนสมการของการกระจดรวมกน จะเปน

y = y1 + y2 = A1 sint + A2 sin(t + )

ในกรณพเศษ ถา = 0 นนคอการเคลอนทของทงสอง SHM ทมเฟสตรงกน การกระจด

ลพธของการเคลอนทของสอง SHM จะรวมกนเปน

y = A1 sint + A2 sint = (A1 + A2)sint

174

y = (A1 + A2)sint = Asint …..(6-25)

ซงยงคงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทมความถเชงมม เทากน และม

แอมปลจดลพธหรอผลรวมของแอมปลจดเปน A = A1 + A2 ดงแสดงในรปท 6-11 (ก) โดยเสนประ

ในรปแสดงกราฟของการกระจด y1 และ y2 และเสนทบแสดงกราฟของการกระจดรวม y จากรปน

จะเหนวา y มความถเชงมมเทากบความถของ y1 และ y2 และมแอมปลจดรวมเทากบผลรวมของ

แอมปลจดทงสอง

(ก) การรวมกนของสอง SHM ทมเฟสตรงกน (ข) การรวมกนของสอง SHM ทมเฟสตางกน

รปท 6-11 แสดงการรวมคลน

ในกรณ = จะไดการกระจดเปน

y1 = A1 sint

และ y2 = A2 sin(t + ) = -A2sint

ดงนนการกระจดรวมของการเคลอนทจะเปน

y = A1 sint -A2sint

y = (A1 - A2)sint …..(6-26)

ซงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทมความถเชงมมเทากน และมแอมปลจดรวม

เปนผลตางของแอมปลจดของการเคลอนท ดงแสดงในรปท 6-11 (ข)

สาหรบกรณท เปนมมใด ๆ ไมวาผลตางของมมเฟสจะเปนเทาใดกตาม การรวมกนของ

สอง SHM กยงคงเปนการเคลอนทแบบ SHM โดยมสมการของการกระจดเปน

y = y1 + y2 = A1 sint + A2sin(t + ) …..(6-27)

ซงสามารถเขยนเปนสมการของการกระจดรวมใหอยในรปทวไป ไดดงตอไปน

175

y = A sin(t +) …..(6-28)

โดยมม เปนผลตางของมมเฟส (Phase difference) ของการกระจด y และ y1 สวน A

เปนแอมปลจดรวมของการเคลอนทแบบ SHM ดงแสดงในรปท 6-12

รปท 6-12 การรวมกนของสอง SHM ทมความถเทากนและผลตางเฟสเปน

เมอเปรยบเทยบสมการท (6-27) และ (6-28) จะได

A sin(t +) = A1 sint + A2sin(t + ) …..(6-29)

จากตรโกณมต sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB ดงนน สมการท (6-29) ดานซายมอ

จะได

A sin(t +) = A sint cos + A cost sin

และดานขวามอของสมการท (6-29) คอ

A1 sint + A2sin(t + ) = A1 sint + A2 sint cos + A2cost sin

เมอนาทงสองคานแทนลงในสมการท (6-29) พรอมทงจดเทอมใหมจะได

A sint cos +A cost sin = A1 sint+A2 sint cos+A2cost sin …..(6-30)

เนองจากวาสมการนจะตองเปนจรงในเวลา t ใด ๆ ดงนนสมประสทธของ sin t

และ cos t ในแตละขางของสมการท (6-30) จะตองเทากนซงจะได

A sint cos = A1 sint + A2 sint cos …..(6-31)

A cost sin = A2cost sin …..(6-32)

สมการท (6-31) หารดวย sin t และสมการท (6-31) หารดวย cos t จะได

A cos = A1 + A2 cos …..(6-33)

176

A sin = A2 sin …..(6-34)

สมการท (6-33) และ (6-34) ยกกาลงสองแลวรวมกนจะได

A2(cos2 + sin2) = 21A + 2A1A2 cos +

22A (cos2 + sin2)

= 21A + 2A1A2 cos +

22A

หรอ A = cosAA2AA 2122

21 …..(6-35)

ตวอยางท 6-7 อนภาคตวหนงมการเคลอนทของสอง SHM พรอมกนดวยความถและทศทาง

เดยวกน ถาสมการของการการเคลอนททงสองเปน y1 = 10sin2t และ y2 = 6sin(2t+125π

) ตามลาดบ

จงหาสมการการเคลอนทรวมของการเคลอนททงสอง

วธทา เนองจากผลตางของมมเฟส คอ 125π

เรเดยนและแอมปลจดของการเคลอนทเปน A1 = 10

และ A2 = 6 ดงนน จากสมการท (6-35) จะมแอมปลจดรวมเปน

A = cosAA2AA 2122

21

= 125

cos)6102(261022 π = 12.92

และจากสมการการรวมกนของสองซมเปลฮารโมนก

y = A sin(t + )

โดย เปนผลตางของมมเฟสระหวาง y และ y1 และ ณ เวลา t = 0 จะได

y = 12.92 sin

และจาก y = y1 + y2 = 0 + 6 sin125π

= 5.79

ดงนน sin = 92.1279.5

= 0.4486

จะได = 26.5 = 0.147 rad

นนคอ สมการการรวมกนของสองซมเปลฮารโมนก จะไดเปน

y = A sin(t + )

y = 12.92 sin(2t + 0.147) ตอบ

177

แบบท 2: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางเดยวกนแตความถตางกน

พจารณาการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนกทเคลอนทในแนวทางเดยวกน แตความถ

ตางกน ดงแสดงไดดวยสมการ y1 = A1sin(1t) และ y1 = A2sin(2t) โดยมสมการของการเคลอนท

รวม คอ y = y1 + y2 ดงนนจาก Rotating vector ดงรปท 6-13

รปท 6-13 การรวมกนของสอง SHM ทมความถตางกนและผลตางเฟสเปน

จากรปท 6-13 มมระหวางเวกเตอรหมน A2 กบ A1 คอ = 2t - 1t = (2 - 1)t ซงม

คาไมคงท เพราะฉะนนเวกเตอรลพธ A จะยาวไมคงท ดงนนการเคลอนทรวม y = y1 + y2 จงไมเปน

SHM และมแอมปลจดของการเคลอนทเปน

A = )cos(AA2AA 122122

21 ωω - …..(6-36)

ซงจะมการสนแกวงระหวางคา A1 + A2 เมอ = (2 - 1)t = 2n และ A = A1 - A2 เมอผลตางเฟส = (2 - 1)t = 2n + โดยคาของ n = 1, 2, 3,... กรณเชนน เรามกจะพดวา

Amplitude modulation และมความถ Amplitude oscillation

f = πωω

2)( 12 -

= f2 - f1 …..(6-37)

ซงเทากบผลตางความถของการเคลอนททงสองทแทรกสอดกน การเปลยนแปลง

แอมปลจดกลบไปกลบมาน ตวอยางเชน สอมเสยงสองอนทมความถใกลเคยงกนตางกสนพรอมกน

ในบรเวณใกลเคยงกน ผฟงจะไดยนเสยงทมความเขมของเสยงขนลง ซงเกดเนองมาจาก

การเปลยนแปลงแอมปลจด เราเรยกปรากฏการนวา บตส (Beat)

178

รปท 6-14 บสตเมอแอมปลจดของการเคลอนททงสองเทากน

ในกรณทนาสนใจอกกรณหนงคอ เมอแอมปลจดของสอง SHM มคาเทากน A1 = A2

ดงนนสมการท (6-36) จะเขยนใหมไดเปน

A = ]t)cos(AA1[2A 12211 ωω - …..(6-36)

และจากเอกลกษณ 1+cos = 2 cos2(/2) ดงนน เราจะไดแอมปลจด เปน

A = 2A1cos2

t)( 12 ωω - …..(6-38)

ซงมคาอยระหวาง 0 กบ 2A1 และกราฟระหวาง y กบ t ไดแสดงไวในรปท 6-14 ซงเสนประ

แสดงโมดเลชน (Modulation) ของแอมปลจด

แบบท 3: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางตงฉากกนและความถเดยวกน

พจารณาในกรณทอนภาคอนหนงเคลอนทในระบบทมพกด x และ y ทงสองสนแกวง

แบบ SHM ถาการแกวงสนดวยความถเทากนการเคลอนทตามแนวแกน x จะเปนไปตามสมการ

x = A sin t …..(6-39)

และการเคลอนทในแนวแกน y เปนไปตามสมการ

y = B sin (t + ) …..(6-40)

เมอ ในทนเปนความตางเฟสระหวางการสนแกวงของ x และ y และสมมตวา

แอมปลจด A กบ B ตางกน จะเหนวาการกระจดของอนภาคจะจากดอยในแนวเสนตรง x = +A และ

y = +B ซงตอไปนจะพจารณากรณพเศษบางกรณ ถาการเคลอนททงสองมผลตางของมมเฟส = 0

และ y = B sin t เมอรวมกบ x = A sint จะได y/x = B/A สมการนคอ สมการของเสนตรง PQ

ในรปท 6-15 (ก) และในการเคลอนทรวมเปน SHM ทมแอมปลจด เปน 22 BA ทงนเปน

เพราะวาการกระจดในแนว PQ คอ

179

(ก) = 0 (ข) =

(ค) = /2 (ง) = 3/2

รปท 6-15 การเคลอนทของสอง SHM ทมความถเทากนแตมทศทางตงฉากซงกนและกน

r = 22

yx = 22BA sint …..(6-41)

ในทานองเดยวกนถาการเคลอนทของทงสอง SHM มทศทางตรงกนขาม = จะได

y/x = -B/A ซงเปนสมการของเสนตรง RS ในรปท 6.14 (ข) การเคลอนทยงคงเปนแบบ SHM

เชนเดม โดยมแอมปลจดเทากบ 22BA เพราะฉะนนจงอาจกลาวไดวา เมอ = 0 หรอ =

การรวมกนของสอง SHM ทตงฉากกนและมความถเทากนจะไดการเคลอนทรวมเปนการเคลอนท

ฮารโมนกเชงเสนตรง (Rectilinear harmonic motion)

แตสาหรบ = /2 เราจะเรยกการเคลอนทไปตามแนวแกน x และแกน y วา Quadrature

และไดสมการของการเคลอนทเปน

y = B sin(t + 2π

) = B cost …..(6-42)

180

เมอรวมกบสมการท 6.39 แลว จะได

2

2

A

x+ 2

2

B

y = 1 …..(6-43)

ซงเปนสมการของวงรดงแสดงในรปท 6-14 (ค) รปวงรนวนตามเขมนาฬกา ซงอาจ

ตรวจสอบไดโดยการหาความเรวของอนภาคทจด x = +A จะไดความเรวขนานกบแกน y ทจดน

ตามสมการท (6-39) จะตองไดวา sint = 1 และองคประกอบของความเรวตามแนวแกน y คอ

vy = dtdy

= -B sin(t) = -B …..(6-44)

เนองจากตดคาลบ จดทผาน A จงกาลงเคลอนทลงลาง ซงสมนยกบการหมนของเขม

นาฬกานนเอง

ถา = 3/2 หรอ = -/2 จะไดวงรเหมอนกน แตการเคลอนทจะเปนแบบทวนเขม

นาฬกา ดงรปท 6-14 (ง) ฉะนนจงอาจกลาวไดวา เมอผลตางของเฟส = +/2 แลวการรวมกน

ของสอง SHM ทมความถเดยวกนจะไดการเคลอนทเปนวงร โดยมแกนทงสองของวงรขนานกบทศ

ของการเคลอนททงสอง

เมอ A = B วงรจะเปลยนรปมาเปนวงกลม และไดการเคลอนทเปนวงกลม สาหรบผลตาง

เฟสใด ๆ การเคลอนทกยงคงเปนวงร แตแกนของรปจะหมนไปสมพทธกบแกนโคออดเนต

การเคลอนทสาหรบผลตางเฟสบางคา ไดแสดงไวดงรปท 6-16

รปท 6-16 Lissajous figure

181

ลกษณะการแทรกสอดทนาสนใจอกกรณหนง คอ การรวมกนของการเคลอนทสนแกวง

ของสอง SHM ทตงฉากกนและมความถตางกน นนคอ การเคลอนทในแนวแกน x จะเปน

x = A1 sin1t …..(6-45)

และการเคลอนทในแนวแกน y เปนไปตามสมการ

y = A2 sin(2t +) …..(6-46)

ซงแนวการเคลอนทรวมจะขนอยกบอตราสวนของ 1: 2 และขนอยกบผลตางเฟส

ดวย แนวการเคลอนทเหลานจะเรยกวา Lissajous figure ซงจะไมขอกลาวถงรายละเอยดในตาราน

6.2.1 การออสซลเลตแบบแอนฮารโมนก (Anharmonic oscillation)

การเคลอนทแบบ SHM เกดขนจากการกระทาของแรง F = -kx ซงสมนยกบ

พลงงานศกยตามความสมพนธ EP = 21

kx2 เมอ x วดจากตาแหนงสมดล โดยใหตาแหนงสมดลอยท

x0 แทนทจะอย ณ จดกาเนด ดงรปท 6-17 พลงงานศกยสามารถเขยนใหมไดเปน EP = 21

k(x-x0)2

รปท 6-17 Harmonic oscillator

กราฟของ EP เปนเสนพาราโบลาทมจดยอดเปนจดสมดลอยท x0 ถาพลงงาน

ทงหมดเทากบ E ตดกบ EP ทจด A และจด B แลวอนภาคจะสนแกวงแบบซมเปลฮารโมนก

ในระหวาง x1 กบ x2 ซงอยในตาแหนงสมมาตรเมอเทยบกบ x0

182

รปท 6-18 Anharmonic oscillator

ในกรณทพลงงานศกยไมเปนเสนโคงพาราโบลา แตมคาจดตาสดอยทจด x0

ซงเปนตาแหนงสมดล ดงรปท 6-18 ลกษณะแบบนพบไมบอยในระบบกายภาพและเปนผลมาจาก

Anharmonic oscillatory motion ถาพลงงานทงหมดเทากบ E อนภาคสนแกวงระหวาง x1 และ x2

ซงโดยทวไปจะไมสมมาตรเมอเทยบกบตาแหนงสมดล x0 ในกรณนความถจะขนอยกบพลงงาน

ตวอยางเชน พลงงานศกยของอตรกรยาระหวางอะตอมสองอะตอมซงอยในโมเลกลทมเพยงสอง

อะตอม จะมลกษณะคลายกบรปท 6-18 อะตอมทงสองตางกมการเคลอนทแบบออสซลเลตสมพทธ

การเคลอนทแบบนจะสามารถคดวาเปนการเคลอนทแบบ SHM ไดตอเมอมพลงงานตามาก แตถ

พลงงานของการสนของโมเลกลมคาเพมขน การเคลอนทจะเปลยนเปนแบบฮารโมนก และความถ

ของสนจะเปลยนไป

6.2.2 การออสซลเลตแบบแดมพ (Damp oscillation)

จากหวขอการออสซลเลตทกลาวมาแลวขางตนทงหมดถอวาไมมแรงเสยดทาน

จากภายนอกมากระทาตอออสซลเลเตอร ซงถาเปนไปตามนแลวการเคลอนทของวตถตาง ๆ เชน

ลกตมนาฬกาหรอนาหนกบนลวดสปรงจะมการออสซลเลตอยางไมหยดยง แตในความเปนจรงแล

แอมปลจดของการออสซลเลตจะคอย ๆ ลดลงจนกระทงเปนศนย ทงนเนองจากวามแรงเสยดทาน

มาตานการเคลอนท แรงเสยดทานนมกจะมาจากความตานทานของอากาศหรอแรงภายในของ

ระบบ โดยขนาดของแรงเสยดทานมกจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวของวตถ แตทศทาง

ตรงกนขาม ตวอยางหนงของการเคลอนทแบบออสซลเลตแบบนไดแสดงไวในรปท 6-19

การเคลอนทเมอมแรงเสยดทานมาเกยวของ จะเรยกวา การออสซลเลตแบบแดมพ (Damp

183

oscillation) ซงเปนการเคลอนทแบบกลบไปกลบมา ซงมคาบของการสนแกวงคงท แตขนาดของ

แอมปลจดจะลดลงไปเรอย ๆ จนในทสดเปนศนย และพลงงานจะลดนอยลง

รปท 6-19 การออสซลเลต

(ทมา: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.471)

เพอความเขาใจในเรองการเคลอนทซงจานถกหนวงดวยของเหลว เราอาจคดวา

นอกเหนอจากแรงยดหยนของสปรง F = -kx แลวยอมจะมแรงอนทพยายามตานการเคลอนท

สาหรบในเรองของเหลว แรงเนองจากความหนดจะเปนแรงภายในของเหลวทพยายามตาน

การเคลอนท ซงพบวาเปนปฏภาคโดยตรงกบความเรว ดงสมการ

F

= - v

เมอ คอ ตวคงท และ v เปนความเรว สาหรบเครองหมายลบแสดงถงแรง

ตานทานการเคลอนท สวน Damping force แบบอน ๆ ทเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวทยกกาลง

สงขน หรอมฉะนนกมความสมพนธเชงฟสกสทแตกตางออกไป อาจมสวนเกยวของอกดวยกได

แตจะไมพจารณาในทน ดงนนสมการของการออสซลเลตแบบแดมพจะพจารณาจากกฎขอทสอง

ของนวตน

F = ma

ดงนน -kx - v = ma

หรอ

m 2

2

dt

xd+

dtdx

+kx = 0 …..(6-47)

จดสมการท (6-47) ใหม จะไดเปน

2

2

dt

xd+2

dtdx

+20ω x = 0 …..(6-48)

184

โดยคา 2 = /m และ 20ω = k/m ซง 0 เปนความถตามธรรมชาตในกรณทไมม

แดมพเกดขน แตในกรณทเกดแดมพเพยงเลกนอย นนคอคา มคานอย โดย < ดงนนคาตอบ

จากการแกสมการอนพนธในสมการท (6-48) ตองใชเทคนคจากวชาแคลคลสซงจะไมแสดงวธทา

ในทน แตจะเขยนเปนตาตอบของสมการเปน

x = Ae-t sin( + ) …..(6-49)

เมอ A และมม เปนคาคงทใด ๆ และมคา

= 22

0 γω - = 2

mk γ- …..(6-50)

โดยคาของ จะนอยกวาความถตามธรรมชาต 0 ของการเคลอนทแบบไมเกด

แดมพ

จากสมการท (6-50) จะเหนวาการเกดแดมพมผลทาใหความถของการออสซลเลต

ลดลง แตคาบของการแกวงยาวขน นนคอแรงเสยดทานจะทาใหการเคลอนทชาลง แตถาไมมแรง

เสยดทาน คาของ จะเปนศนย และ จะเทากบความถตามธรรมชาต 0 นนคอ

= 0 = mk

รปท 6-20 การกระจดทเปลยนไปตามเวลา

(ทมา: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.471)

พจารณารปท 6-20 แสดงการเปลยนแปลงการกระจดของ x ไปตามเวลา t ของ

การเคลอนทแบบออสซลเลต ซงมแดมพเกดขนเพยงเลกนอย ขนาดของแอมปลจด A ของ

การเคลอนทแบบมแดมพจะขนอยกบเวลา คอ

A = Ae-t …..(6-51)

ซงแอมปลจดจะลดลงเมอเวลา t เพมขนจนกระทงลดลงเปนศนย ดงนนพลงงาน

ของวตถจะลดลงดวย พลงงานทหายไปนจะสญเสยใหกบสงแวดลอม

185

ตวอยางท 6-8 ลกตมนาฬกาอนหนงประกอบดวยทรงกลมอลมเนยมแขวนไวดวยเสนเชอกยาว

L = 1 m พบวาในเวลา 27 นาท แอมปลจดลดลงจาก 6 ไปเปน 5.4 ใหหา และจงสรปวาแรง

ตานของอากาศจะมผลตอคาบของการแกวงของลกตมนาฬกาอยางไร

วธทา จากสมการแอมปลจดของการออสซลเลตแบบแดมพ

A = Ae-t

หรอเขยนใหมในเทอม

= AA

nt1

เมอแทนคา t = 27 60 = 1.62103 s, A = 6 และ A = 5.4 จะได

= AA

nt1

= 4.5

6n

1062.1

13

= 6.56 10-4 s-1

ในกรณของลกตมนาฬกา 20ω = g/L ดงนน จากสมการท (6-50) จะได

= 22

0 γω - = 2

Lg γ-

ดงนนคาบของการแกวง

T = ωπ

2 =

2

Lg

2

γ

π

-

ซงในตวอยางน g/L = 9.8 s-2 และ 2 = 4 10-7 s-2 โดยคา 2 มคานอยมากเมอเทยบกบ

g/L สามารถตดทงได ดงนนจะไดคาบของการสนแกวงเปน

T = 2gL

= 280.91

= 2.01 s

ซงแสดงวาแรงตานของอากาศไมมผลตอคาบแตจะผลตอแอมปลจดของการแกวงของ

ลกตมนาฬกา ตอบ

6.2.3 การออสซลเลตเมอมแรงกระทา (Forced oscillation)

ถามแรงภายนอกทเปนพรออดก เชน แรงมขนาด F0cos ft มากระทาตอวตถ

และทาใหวตถนนสนแกวง โดยมคา f เปนความถเชงมม และ F0 เปนแอมปลจด ซงเราเรยก

การสนแกวงแบบนวา การออสซลเลตเมอมแรงมากระทา (Forced oscillation) สาหรบสมการของ

การเคลอนทแบบนจะเปนไปตามกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน โดยความเรงทเกดขนในกรณน

186

จะมแรงเนองจากการดงกลบของดงสปรง F = -kx แรงททาใหเกดแดมพ F = -v และแรง

ภายนอกทเปนพรออดก F0cos ft ดงนน จาก F = ma จะได

-kx - v – F0cosft = ma

หรอ ma + v + kx = F0cosft

ดงนน

m 2

2

dt

xd+

dtdx

+kx = F0cosft …..(6-52)

โดยวธเดยวกนกบการออสซลเลตแบบแดมพ จดสมการท (6-52) ใหม จะได

2

2

dt

xd+2

dtdx

+20ω x =

mF0

cosft …..(6-53)

จากสมการท (6-53) จะไดวาวตถจะออสซลเลตดวยความถเชงมมของแรงทมา

กระทา คอ f ดงนนคาตอบของสมการทเปนไปไดคาตอบหนง คอ

x = A sin(ft - ) …..(6-54)

โดย A เปนแอมปลจดของแรงออสซลเลต และ เปนเฟสเรมตน ซงแสดงวา

ระบบนจะมการออสซลเลตดวยความถของแรงทมากระทา แตมมมเฟสทตางจากแรงทมากระทา

และจะมการสนแกวงหรอออสซลเลตดวยแอมปลจดคงท

จากการกระจาย

sin(ft - ) = sinft cos - cos ft sin

แทนคา x จากสมการท (6-54) ลงในสมการท (6-53) จะเหนวาสมการท (6-54)

จะถกตองกตอเมอแอมปลจด A มคาเปน

A = 2f

2220

2f

0

4)(

m/F

ωγωω - …..(6-55)

และมมเฟสเรมตนของการกระจดเปน

= tan-1

f

20

2f

2γωωω -

…..(6-56)

ดงนนทงแอมปลจด A และมมเฟสเรมตน จะไมเปนคาใด ๆ แตจะตองมคาคงท

ซงขนอยกบความถ f ของแรงทมากระทา สาหรบความเรวของการเคลอนทแบบนจะพจารณาจาก

v = dtdx

= fA cos(ft - ) …..(6-57)

187

ซงแสดงวาแอมปลจดของความเรวคอ v0 = fA จะเหนวา Forced oscillation

ขนอยกบความถของแรงทใชกระทา สาหรบการแปรคาของ Velocity amplitude: v0 ตามความถ f

ไดแสดงไวในรปท 6-21

รปท 6-21 การแปรคาแอมผลจด

ถาความถของแรงภายนอกเทากบความถตามธรรมชาตของวตถ นนคอ f = 0 =

mk

จะไดแอมปลจด ความเรว และพลงงานจลนของการออสซลเลตมคามาก ทาใหเกดกาทอน

(Resonance) โดยทแรงทใสเขาไปและความเรวจะมมมเฟสเหมอนกนเมอ = 0 และอตราของ

การถายเทพลงงานจากแรงทใสเขาไปยงวตถทออสซลเลตจะมคามากทสด

รปท 6-22 ลกตมนาฬกาททาใหเกดกาทอน

การเกดกาทอนสามารถแสดงใหเหนไดโดยการทดลอง คอ ถาเอาเชอกชนด

เดยวกนมาทาลกตมนาฬกาหลายอนทมความยาวตางกน และแขวนอยบนเสนเชอก AB ซงเปนเสน

เชอกชนดเดยวกนกบลกตมนาฬกา ดงแสดงในรปท 6-22 ถาเราทาใหลกตม P แกวง ลกตมอก 5 อน

กจะแกวงดวย ทงนเนองจากเกดการถายทอดพลงงานจากลกตม P ไปยงลกตมทง 5 อน จาก

การแกวงของลกตมทง 5 อนทถกทาใหแกวง จะพบวาลกตมอนท 3 จะแกวงดวยแอมปลจดทมคา

มากทสด ทงนเพราะลกตมอนท 3 มความยาวเทากบลกตม P นนคอ มความถตามธรรมชาตเทากน

188

กาทอนจะเกดขนในวชาฟสกสเกอบทกสาขาวชา การกาทอนเกดในระบบทมแรง

ภายนอกมากระทา ซงแปรคาเปนคาบตามเวลา ตวอยางเชน ถาใสกาซไวในสนามไฟฟา ซงสน

แกวง (อยางกรณของคลนแมเหลกไฟฟา) กจะเกด Forced oscillation ในอะตอมทประกอบกนขน

เปนโมเลกลของกาซ เนองจากโมเลกลมความถตามธรรมชาตทแนนอน การดดกลนพลงงานจะมาก

ทสดเมอความถของสนามไฟฟาทใชเทากบความถตามธรรมชาตของโมเลกลอนใดอนหนง

โดยหลกการนเราสามารถไดรบ Vibrational spectrum ของโมเลกลได ในทานองเดยวกน

เราสามารถคดเรองอเลกตรอนในอะตอมวาเปนออสซลเลเตอรซงมความถตามธรรมชาตทแนนอน

อนหนง พลงงานทอะตอมดดกลนจากสนามไฟฟาทสนแกวงจะมากทสด เมอความถของ

สนามไฟฟาเทากบความถธรรมชาตอนหนงของอะตอม ผลกบางชนด เชน โซเดยมคลอไรด

ประกอบดวยอนภาคทมประจบวกและประจลบ ซงเรยกวา ไอออน ถาผลกถกกระทาดวย

สนามไฟฟาทสนแกวงจากภายนอก แลวไอออนบวกจะสนสมพทธกบไอออนลบ การดดกลน

พลงงานโดยผลกมคาสงสดเมอความถของสนามไฟฟาเทากบความถตามธรรมชาตของไอออนทสน

สมพทธกน ในกรณของผลกโซเดยมคลอไรดพบวามความถประมาณ 5 1012 Hz

การกาทอนทเรามกคนเคยกนดจะเกดขนเมอเราหมนหาคลนวทยใหตรงกบความถ

ของสถานวทยกระจายเสยง สถานวทยกระจายเสยงทกสถานจะผลต Forced oscillation บนวงจร

ของเครองรบวทยตลอดเวลา เมอหมนใหไดความถเทากบความถของสถานวทยแลว การดดกลน

พลงงานกจะมากทสด และเปนสถานเดยวเทานนทเราไดยนเสยง ถาสองสถานใชความถใกลเคยง

กนมาก บางทจงไดยนเสยงสองสถานในเวลาเดยวกน การเหลอมลาของความถนเปนผลใหเกด

การแทรกสอดขน

เราสามารถขยายความคดเรองการกาทอนแกกระบวนการ หรอกรรมวธซงเปน

เงอนไขทเหมาะ แกการถายเทพลงงานจากระบบหนงไปสอกระบบหนง แมจะไมสามารถบอก

กระบวนการนนในพจนของ Forced oscillation ไดกตาม ในความหมายนทาใหสามารถพดเรอง

การกาทอนในปฏกรยานวเคลยรและในขบวนการทเกดในอนภาคมลฐานได

189

แบบฝกหด

1. วตถมการเคลอนทแบบ SHM ซงมระยะการกระจดทขนกบเวลา คอ x(t) = 10sin(2t + )

เมอ x มหนวยเปนเมตร และเวลา t เปนวนาท จงหา

(ก) ความถและคาบของการเคลอนท

(ข) แอมปลจดและเฟสคงทของการเคลอนท

(ค) ระยะกระจดทเวลา t = 0.2 s

(ง) ความเรวและความเรงเมอ t = 2π

2. ถาปลอยลกเทนนสมวล 200 g สงจากพน 2 m เมอลกเทนนสตกกระทบพนมความยดหยน

อยางสมบรณ และไมคดแรงเสยดทานของอากาศ ลกเทนนสจะเคลอนทกลบไปกลบมาดวย

ความถ 3 รอบตอวนาท จงหา

(ก) คาบของการเคลอนท

(ข) ความเรว และความเรงของลกเทนนส

3. ลกเหลกมวล 100 g นามาเชอมตดกบสปรงซงมคาคงท 10 N/m และเมอกดสปรงจากตาแหนง

สมดลเปนระยะทาง x = 5 cm แลวปลอยใหเคลอนทตามแนวดง ถาการเคลอนทไมมแรงเสยด

ทานของอากาศ จงหา

(ก) คาบของการเคลอนท

(ข) ความเรวและความเรงสงสด

(ค) ฟงกชนของระยะการกระจด ความเรว และความเรงเมอเวลาใด ๆ

(ง) ความเรว และความเรงทระยะ 3 cm จากจดสมดล

(จ) เวลาทใชเคลอนทจาก x = 0 ถง x = 3 cm

(ฉ) ฟงกชนของพลงงานจลน และพลงงานศกยทเวลาใด ๆ

4. เมออนภาคเคลอนทแบบ SHM ตามแนวแกน x จากจดเรมตนไปทางขวามอ ซงมแอมปลจด 5

cm และมความถ 4 Hz

(ก) จงแสดงวาระยะกระจดของการเคลอนท คอ x = 10sin(4t) ในหนวย cgs

(ข) จงหาความเรวและความเรงสงสด

(ค) จงหาระยะทอนภาคเคลอนทไดจาก t = 0 ถง t = 1 s

5. การแกวงของลกตมนาฬกาอยางงายมคาบเทากบ 4 วนาท จงหาความยาวของเสนเชอก และ

คาบการแกวง เมอนาไปแกวงทดวงจนทรซงมคาความโนมถวงเทากบ 1.5 m/s2

190

6. ลกตมนาฬกาอยางงายใชลกเหลกมวล 400 g และเชอกยาว 1 m จงหาคาบทเปลยนแปลงไป

เมอคาความเรงเนองจากแรงโนมถวงเปลยนจาก 10 m/s2 เปน 9.8 m/s2

7. เมอนามวล 1 kg ยดตดกบสปรงทมมวลนอยมาก และมคาคาบการเคลอนทเทากบ 1 s ถานา

มวลทไมทราบคามาเชอมตดแทนจะมคาบของการเคลอนทเปน 2 s จงหา

(ก) มวลไมทราบคาน

(ข) คาคงทของสปรง

8. เมอนามวล 200 g ไปตดทปลายสปรงซงมคาคงท 300 N/m ถาระยะการกระจดเรมตนเทากบ

20 cmเมอมแรงกระทา F = -bv จะทาใหแอมปลจดลดลงเปน 10 cm ในเวลา 2 วนาท จงหา

คาคงท b

9. สมการทวไปของการเคลอนทแบบ SHM คอ x = Asin(t + 0) ซงสามารถเขยนใหมในรป

ของ x = B sint + C cost

(ก) จงเขยนแอมปลจด B และ C ในเทอมของแอมปลจด A และ Bและมมเฟสเรมตน 0

(ข) จงแสดงแอมปลจด B และ C ในรปของเวกเตอรหมน

10. สปรงสองอนมความยาวเทากน และคาคงทของสปรงตางกน คอ k1 และ k2 ผกตดกบวตถมวล

m ซงวางอยบนพนระนาบทไมมแรงเสยดทาน จงหาคาคงทของสปรงรวมในแตละกรณ

ซงแสดงไวดงรป (ก) และรป (ข)

(ก) (ข)

รปภาพ สาหรบโจทกขอท 10

11. อนภาคสองตวมการเคลอนทแบบ SHM ซงเคลอนทดวยแอมปลจด และความถเดยวกนไป

ตามแนวเสนตรงเดยวกน ในแตละครงทอนภาคทงสองเคลอนทผานซงกนและกน

ในทศทางตรงขามกน การกระจดจะเทากบครงหนงของแอมปลจด จงหาผลตางของมมเฟส

ระหวางอนภาคทงสอง

191

12. จงหาสมการของทางเดนของการเคลอนทรวมของอนภาคทมการเคลอนทแบบ SHM ทตงฉาก

กน และมสมการของการเคลอนทเปน x = 4sint และ y = 3sin(t +) โดยในแตละกรณ

ใหเขยนกราฟเสนทางเดน และวถการเคลอนทของอนภาคเมอ เทากบ 0, /2 และ

13. จงหาสมการการเคลอนทของการรวมกนไดของสองคลน SHM ทขนานกนและมสมการ

การเคลอนทเปน x1 = 2sin(t + 3/2) และ x2 = 3sin(t + /2)

14. สปรงเบามากเสนหนง มคาคงทของสปรงเทากบ 7 N/m ถกตดแบงครงเปนสองเสน

รปภาพ สาหรบโจทกขอท 14

(ก) จงหาคาคงทของสปรงแตละเสน

(ข) ถาใชสปรงทถกตดแบงครงสองเสนมายดวตถมวล M ดงรป และระบบนสนดวยความถ 3

Hz จงหาคามวล M

15. จงเขยนสมการของการเคลอนทแบบ SHM ของ Oscillator เนองจากมแรง F = F0cosft

มากระทา และจงแสดงใหเหนวารากของสมการน คอ

x = )(m

F2f

20

0

ωω -cosft

192

16. ลกตมความยาว L และมมวล M มสปรงทมคาคงท k ตดอยหางจากจดแขวน h ดงรป จงหา

ความถของการเคลอนทของระบบมวลน กาหนดให นอยมาก ๆ

รปภาพ สาหรบโจทกขอท 16

17. จงหาความถสนพอง (Resonance frequency) ของระบบมวล ดงรป

รปภาพ สาหรบโจทกขอท 17