a multiple pairs shortest path algorithm 解説

A Multiple Pairs Shortest Path Algorithm

NTS 2012.5.18増谷

Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.

MPSP

• Multiple Pairs Shortest Path Algorithm–複数の点間の OD 最短距離を求める

http://www.youtube.com/watch?v=PaT1l-mzZtc

http://www.youtube.com/watch?v=87_1K2GQFdU&feature=relmfu


Purpose of MPSP• OD-Multi-commodity flow problem (ODMCFP)– 複数のＯＤ需要から最適な最短路を求める– 経路（辺）のキャパシティは決まっている– minimum cost multi-commodity flow problem

• コストを最小にする• ＮＰ完全

– 応用• 航空路の最適化• RWA(Routing Wavelength Assignment)

– WDM を利用したフォトニックネットワークの経路選択– 接続を最大化させる


紹介論文• Wang, I.-L., Johnson, E. L., & Sokol, J. S. (2005).

A Multiple Pairs Shortest Path Algorithm. Transportation Science, 39(4), 465-476. doi:10.1287/trsc.1050.0124

• 選定理由– MPSP に関する最近の文献–分野を外していない (Transportation)


著者• I-Lin Wang 教授 @ National Cheng Kung

University ( 台湾 )– OR 方面の人（特に Network Optimization ）– Logistics, Network, Data Mining, Telecommunication,

Bioinformatics など応用– MIT 卒、富士通研究所、ジョージア工科大を経て現

職– http://ilin.iim.ncku.edu.tw/index.html


いわゆる経路探索• グループ化• 1) 組み合わせ、ネットワーク探索

– Label-setting methods (Dijkstra 1959, Dantzig 1960, Dial 195)– Label-correcting methods (Ford 1956, Moore 1957, Bellman

1958, Pape 1974)– Their Hybrids (Glober ,Klingman 1984)

• 2) 線形計画法– Primal network simplex methods (Goldfarb, Hao, and Kai

1990, Goldfarb and Jin 1999)– Dual ascent method (Bertsekas, Pallottino, Scutella 1995;

Pallottino and Scutella 1997)

• 3) 代数的、行列計算– Floyd-Warshall (Floyd 1962, Warshall 1962)– Carre’s algorithm (Carre 1969,1971)

SSSP 用

APSP 用


Algebraic Method for APSP• APSP が以下の式で表される

– X : n*n shortest distance matrix– C : n*n measure matrix– In: identity matrix

• Bellman 方程式に一致

• Floyd-Warshall, Carrer アルゴリズムのベース


MPSP と SSSP,MPSP の関係• SSSP の拡張– 何度も SSSP を行う– Q が N に対して十分小さい場合

• SSSP を q 回やるのが高速

– q が多い場合• SSSP は APSP に近づき、無駄なペアの経路を抽出することになる

• MPSP の応用– 結果からピックアップするだけ– 対象以外のペアも計算している

-> そのままでは無駄が多い


各種定義

• cij コスト行列

• xij 距離行列

• xij*

最短距離行列

• succij successor matrix

• succij* 最短 successor matrix 　

例：　 Succ41 = [3,2]

例：　 x41* = 3

例：　 x41 = 8

例：　 Succ41* = [2]


各種定義• Triple comparison– s -> k -> t– xsk + xkt と xst を比較–新しい経路の方が短い場合

• xst をアップデート• fill-in arc (s,t) を作る（直接辺が無かった場合）

k st

例：　 x42 + x21 = 3 < x41 = 9

fill-in

最短経路アルゴリズムは triple comparisonの繰り返し

最短経路アルゴリズムは triple comparisonの繰り返し


各種定義• ノードの順列– Higher / lower i>j– highest / lowest– Upward / downward


DLU

• DLU は Carre の APSP アルゴリズムの拡張– LU 分解を利用–密なグラフに有効–最短経路木を作らずにＯＤ距離を計算可能


条件• Q 個の要求 OD ペア– Q:={(si,ti): i=1,…q}

• ノード i とノード j の間の暫定距離初期化– [xij] := [cij]

• ノード j へのノード i からの経路行列の初期化– [succij] := [j]


DLU の手順手順1.A_LU2.Get_D(si,ti)


A_LU

• 対角要素 (k,k) を利用して、 (k,t) for each t>k の要素を消す

• 灰色部分の行列をアップデートまたは fill-ins を作る


A_LU でのアップデート• 現状見つかっている (s,t)

間の最短路よりも短い経路が見つかれば Update– xst , succst 　を Update

k=1 k=2 k=3

X X3 XX X21

113

43

4

→2

fill-in


A_LU の意味• G から G’(augmented graph) を作成– Fill-in 辺を追加–中間ノードは s,t よりも小さいノードのみ考

慮


A_LU の産物

• xst は A_LU の後、部分グラフ H(..) 内の最短経路を示す• 自分より小さい index の　　ノードを使ったグラフ


Get_D(s,t)

• 上三角、下三角行列に分解– Acyclic graph になる


Get_D_L(ti)

• 下三角行列への処理–下流への辺をもつグラフ–今度は s,t の間にあるノード　を使って triple comparison

st k


Get_D_L(ti)

• 下三角行列への処理–下流への辺をもつグラフ–今度は s,t の間にあるノー

ド　を使って triple comparison

s tk


Min_add(si,ti)

• Get_D_U と Get_D_L 後– ri=max{si,ti}

– H([1,ri]) 中の最短経路が求まっている状態

• Min_add は xst*

を求めるための残りの走査を行うの最短路[ri+1,n] の triple comp


• GL の最短経路は H([1,s]) の最短経路に一致 ,s>t

• GU の最短経路は H([1,t]) の最短経路に一致 ,s<t


• Get_D_L(t) は H([1,s]) のすべての (s,t) ペアに関して最短路を与える s>t

• Get_D_U(t) は H([1,t]) のすべての (s,t) ペアに関して最短路を与える s<t


• DLU は OD pair の最短路を計算する• Get_D は xij

* 、 succij

* を正しく求める


DLU の注意点• 特徴–正しさは、 Triple comparison の順序に依存し、

パスのトレース順序には依存しない–それゆえ、 successor アップデートは行わな

くても機能する– Floyd-Warshall 法と似ている


Trace もほしい場合• Get_P(s,t)– S から t に到達するまで最短路をたどってい

く


計算複雑性• Triple comparison の回数• A_LU

• Get_D_U

• Get_D_L

• Min_add


高速化テクニック• ワーストケース O(n3)–完全グラフに対する APSP– Floyd-Warshall, Carre Algorithm と同様– SSSP よりは良い

• 疎な無閉路グラフ–ノードの順序が性能に影響– Fill-in をいかに減らすか– Fill-in reduction は NP 完全だが、多くのテク

ニックが存在


生来持っている高速性• OD ペアが s や t を共有する場合–重複を避けることができる

• OD ペアの経路途中のノード– Get_P では再利用できる

• MPSP に応用した場合、全ペアの計算を行わなくて良い–必要なＯＤペアだけ探索する–他の” algebraic” なアルゴリズムでは全ペア計

算


評価• 完全グラフの場合の机上検討– Triple comparison

• Floyd-warhsall に比べた性能向上

Floyd-Warshall (n-1)2(n-2)+(n-2)

Label-correcting SSSP O(n4)

DLU (2/3)n(n-1)(n-2)


実装での比較• 複数の SSSP アルゴリズムと比較


• SPGRID-SQ–自動生成されたグリッド型データ–正方形–最速版の 3-10倍


• SPGRID-WL–自動生成されたグリッド型データ–長方形–最速版の 3-5倍


• Flight Networks–ノード数 130-1000 、アーク数　 700-8000– DLU が最速


結果• 人工データでは性能が出ない

• 実データでは他のアルゴリズムを凌駕


性能向上の指針• 性能は OD ペアの分布と順序による–分散していると非効率（それでも APSP よりは良い）

–ノードの順序が悪いー＞ fill-in 増加– Fill-in が増えると、 dense になり遅くなる

• 改良–右下よりにＯＤが集まっていれば速く終わる– Reordering

• なるべくグループ化させて、 fill-in を発生させないようにする


まとめ• 比較的単純なアルゴリズム– MPSP の厳密解が得られる

• 改良の余地–性能向上のための reorder が効く– LU 分解での各種テクニックが使える

• 動的なコストへの適用– DLU の初期のグラフ最適化は DLU のための最

適化であり、コストの変化に依存しない–→　１度の高速化でＯＫ


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