7 proporcionalidad - inicio - ceahformacion.esceahformacion.es/data/documents/e1_ma_u07... · 2021....

18 Unidad 7 | Proporcionalidad

COMPOSICIÓN NUTRICIONAL

POR 100 g YOGUR (125 g) PROTEÍNAS 4,1 g 5,1 g HIDRATOS DE CARBONO 5,6 g 7 g GRASAS 3,7 g 4,6 g CALCIO 108 mg 135 mg ENERGÍA 72 kcal 90 kcal

15 30 45 60 75 90

1

2

0

3

Tiempo (min)

Pre

cio

(€

)

A

B

7 Proporcionalidad Quieres viajar a los Estados Unidos, que tienen como moneda el dólar. En el banco ofrecen este cambio: 1 € = 1,25 dólares.

7.1. Quieres cambiar 650 €. ¿Cuántos dólares te darán? ¿Y si quieres cambiar 900 €?

812,50 dólares. 1.125 dólares.

7.2. Necesitas 1.000 dólares. ¿Cuántos euros te pedirá el banco?

800 €

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

7.1. Observa esta etiqueta de un yogur.

1. Si tomas dos yogures, ¿cuántas kilocalorías te aportan? ¿Y si tomas un yogur y medio? (Supón que no añades azúcar.)

180 kcal. 135 kcal

2. ¿Cuántas proteínas contiene 1 g de yogur? ¿Y 1.000 g?

0,041 g. 41 g

3. Las cantidades de proteínas, hidratos de carbono y grasas correspondientes a 125 g son proporcionales a las correspondientes a 100 g. ¿Qué crees que quiere decir proporcional? ¿Cómo puedes saber si realmente estas cantidades son proporcionales?

Que si aumenta una, la otra lo hace en la misma proporción, y si disminuye, también. Comprobando, por ejemplo, que en ambos casos existe la misma cantidad por cada gramo de esas sustancias.

4. ¿Por cuánto debes multiplicar la cantidad de proteínas que hay en 100 g para obtener la cantidad que hay en 125 g?

Por 1,25

7.2. La gráfica muestra la correspondencia entre el tiempo de estacionamiento y el precio del

aparcamiento.

Unidad 7 | Proporcionalidad 19

2,25 €/kg 1,95 €/docena

Naranjas

Peso ..............2 kg

Precio............5 €

Naranjas

Peso ..............4 kg

Precio............10 €

Naranjas

Peso ..............5 kg

Precio............12,50

Naranjas

Peso ..............3 kg

Precio............7,50

1. La gráfica tiene dos ejes. ¿Qué magnitud representa el eje horizontal? ¿Y el eje vertical?

El tiempo en minutos. El precio en euros.

2. La recta de la gráfica está formada por puntos, y cada punto relaciona valores de cada magnitud. Indica qué valores relaciona el punto A. ¿Y el punto B?

A relaciona 30 minutos con 1 euro. B relaciona 90 minutos con 3 euros.

3. ¿Cuánto cuesta media hora de estacionamiento? ¿Y dos horas?

1 €. 4 €

ACTIVIDADES

7.1. (TIC) Indica qué magnitudes de las siguientes son directamente proporcionales.

a)

b)

c)

a y c

7.2. Una tienda ofrece estos productos.

Alberto dice que los precios son, de hecho, razones de proporcionalidad. Indica el significado de cada una de estas razones.

El precio de los plátanos es el cociente entre el dinero que cuesta una cantidad y el peso de dicha cantidad. El precio de los huevos es el cociente entre el dinero que pagamos por una cantidad de huevos y el número de docenas que representan.

7.3. Isabel dice que la razón para pasar de la magnitud A a la magnitud B es 4, y la razón para pasar

de la magnitud B a la magnitud A es 0,4. ¿Puede ser?

No, la razón sería la inversa, es decir, 1

0,254

= .

7.4. Estos tiques de compra de la tienda Fruta Fresca son del mismo día.

¿El precio de las naranjas es directamente proporcional al peso? ¿Cuál es el valor de la razón de proporcionalidad?

Sí, la razón de proporcionalidad es 2,5.

Magnitud A 1 2 3 4 5 6

Magnitud B 1,2 2,4 3,6 4,8 6 7,2

Magnitud C 1 2 3 4 5 6

Magnitud D 3 6 8 10 11 12

Magnitud E 6 18 24 36 48 72

Magnitud F 9 27 36 54 72 108


Mangos

Cantidad .......2 Peso ..............450 g Precio............3 €

Mangos

Cantidad ......5 Peso .............900 g Precio...........7,50 €

Mangos

Cantidad .......4 Peso ..............800 g Precio............6 €

Mangos

Cantidad ..... 3 Peso ............ 650 g Precio.......... 4,50 €

Pague dos y llévese tres

7.5. Estos tiques de compra también son de la tienda Fruta Fresca.

a) ¿El precio de los mangos es proporcional al peso o a la cantidad?

b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

a) A la cantidad

b) 1,5

7.6. (TIC) *Encuentra qué par de valores de la tabla no es directamente proporcional.

La pareja 2, 5 no es directamente proporcional al resto.

7.7. (TIC) Completa los valores de la tabla en tu cuaderno.

7.8. Tres tabletas de chocolate nos cuestan 3,75 €. ¿Cuánto nos costarán 5 tabletas?

1,25 € cada una, luego 6,25 € las 5 tabletas.

7.9. (TIC) Determina cuáles de estos pares de razones no son equivalentes.

a) 4

7 y

12

21 b)

2

9 y

6

25 c)

8

3 y

48

18 d)

5

9 y

20

35

b y d

7.10. Una tienda vende unas pinturas a 5 € el bote. Un día hace la siguiente oferta:

a) Calcula el precio de dos botes.

b) Calcula el precio de tres botes.

c) Calcula el precio de cuatro botes.

d) ¿El precio de los botes es proporcional al número de botes comprados?

a) 10 €

b) 10 €

c) 15 €

d) No, no se incrementa de manera proporcional.

Magnitud 1 2 5 7 9 12 15

Magnitud 2 5 2,5 3,5 4,5 6 7,5

Magnitud 1 3 5 6 9 11 12

Magnitud 2 5,25 8,75 10,5 15,75 19,25 21


7.11. La tabla muestra las correspondencias entre las horas que ha estado encendida una bombilla de 100 vatios y el consumo en kilovatios-hora (kWh).

Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6

Consumo (kWh) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

a) ¿Cuál es el valor de consumo correspondiente a 3 h?

b) ¿Cuánto consumirá esta bombilla en un día? ¿Y en tres días?

c) La bombilla ha consumido 0,5 kWh. ¿Cuánto rato ha estado encendida?

d) Dejamos encendida la bombilla toda la noche, desde las 23.00 hasta las 7.00. ¿Cuántos kilovatios-hora ha consumido?

e) Una operadora eléctrica cobra a 0,18 € el kWh. La bombilla de 100 vatios la hemos tenido encendida 60 h en un mes. ¿Cuál será el coste del consumo?

a) 0,3 kW h

b) 2,4 kW h. 7,2 kW h

c) 5 h

d) 0,8 kW h

e) En 60 h se consumen 6 kW h, y, por tanto, el coste será de 1,08 €.

7.12. Actividad interactiva.

7.13. Un coche ha consumido 33,6 L de gasolina para recorrer 420 km. ¿Cuántos litros consume

para recorrer 100 km?

8 L

7.14. Una fuente tarda 2 min en llenar una garrafa de 10 L. ¿Cuánto tardará en llenar un cubo de

25 L? ¿Y uno de 75 L?

5 min. 15 min

7.15. En una bolsa, 3 de cada 7 bolas son rojas. La bolsa contiene 105 bolas. ¿Cuántas son rojas?

45 bolas rojas

7.16. Disolvemos 200 g de azúcar en 1 L de agua y lo removemos bien. A continuación vertemos el

agua con el azúcar disuelto en una probeta hasta 20 cL. ¿Puedes saber de manera exacta, con los datos que te hemos dado, la cantidad de azúcar que habrá en la probeta?

Sí, 40 g

7.17. Si la rueda pequeña da 6 vueltas completas, ¿cuántas dará la rueda grande?

La rueda grande tiene 3 veces más dientes que la pequeña, luego dará 2 vueltas.


2,50 €/kg

2,25 €/kg

1,10 €/kg

2 €/doc.

1,75 €/kg

1,60 un.

1,80 un.

0,40 €/un.

Lista de la compra

● 5 kg de naranjas ● 1 lechuga ● 3 kg de manzanas ● 4 kg de patatas ● 2 kg de tomates ● 1/2 docena de huevos ● 1 coliflor ● 12 yogures

2 4 6 8

12

0

3

1 3 5 7 9

45678

B

A

D

EG

10

I

F

CH

Y

XO 621 4 53

4

3

5

2

1

7.18. Un puesto ofrece estos productos. Ana lleva esta lista de la compra.

a) Estima, redondeando los precios, cuánto le costará la compra a Ana. Lleva dos billetes de 20 €. ¿Podrá pagarla?

b) Calcula el valor del tique que el cajero dará a Ana.

c) Ana da los 40 €. ¿Qué cambio recibirá?

a) Redondeando, 12,5 + 6 + 4 + 2 + 1,5 + 4 + 1 + 6 = 37 €. Sí puede pagarla.

b) 35,85 € c) 4,15 €

7.19. Indica las coordenadas de estos puntos.

A(1, 2), B(0, 4), C(3, 7), D(3, 0), E(5, 2), F(6, 5), G(7, 1), H(9, 6), I(10, 3)

7.20. Representa estos puntos en un plano cartesiano.

a) (6, 3) b) (0, 5) c) (–4, 2) d) (2, –4)


1 2 3

1

2

0

3

Peso (kg)P

reci

o (

€)

4

2 4 6

0,40

0,80

0

Tiempo (min)

Pre

cio

(€

)

0,20

0,60

1 3 5 7

7.21. La gráfica muestra el precio de los tomates en una tienda. ¿Cuál es el precio?

1,5 €/kg

7.22. Representa de forma gráfica las magnitudes “peso de aceitunas” y “cantidad de aceite”.

Peso aceitunas (kg) 4 8 12 16 20

Aceite (L) 1 2 3 4 5

7.23. Una operadora de móviles cobra 0,20 € por establecimiento de llamada y 0,10 € por minuto de llamada. ¿El coste de la llamada es proporcional al tiempo?

No, porque, por ejemplo, a doble de tiempo no corresponde el doble del precio, debido al establecimiento de llamada.

4 8 12 16 20 24 28Peso aceitunas (kg)

Ace

ite

(L)

2

4

5

0

1

3


1 2 3

80

160

0

Tiempo (h)

Co

nsu

mo

(Wh

)40

120

0,5 1,5 2,5 3,5

40 W 60 W 100 W

A B C

AbscisasOrdenadas

7.24. La gráfica muestra el consumo de energía en vatios por hora (Wh) de una bombilla durante las 6 h que ha estado encendida.

a) ¿Cuál de las magnitudes está representada en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical?

b) ¿Cuál es el valor correspondiente a 3 h? ¿Y a 5 h?

c) ¿Cuál es el valor que corresponde a 120 Wh? ¿Y a 240 Wh?

d) ¿Puedes decir cuál es el valor correspondiente a 2 h 30 min?

e) La gráfica expresa el consumo de una bombilla. ¿Cuál de estas bombillas crees que es?

a) Tiempo (h). Consumo (W h)

b) 180 W h. 300 W h

c) 2h. 4 h

d) 150 W h

e) B

7.25. Una librería regala a lo largo de un día 3 marcapáginas a cada cliente. Queremos representar gráficamente esta correspondencia.

a) La magnitud “número de visitantes”, ¿en qué eje la representarás? ¿Y la magnitud “número de marcapáginas”?

b) ¿Qué divisiones harás en el eje de las abscisas? ¿Y en el eje de las ordenadas?

c) Representa gráficamente las magnitudes. ¿Tiene sentido unir los puntos?

a) Abscisas. Ordenadas

b) De 1 en 1 unidad. De 3 en 3 unidades.

c) No tiene sentido unir los puntos, porque no se puede tener un número decimal de clientes, o de marcapáginas.

Nº. de visitantes

Nº.

de

mar

cap

ágin

as

0

3

6

9

12

1 2 3 4 5


Tiempo (h)

Número de periódicos vendidos

00

400350300250200150100

50

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

450

17

Tiempo (h)0

0

50Distancia (km)

5

40302010

1 2 3 4Tiempo (h)

00

50Distancia (km)

5

40302010

1 2 3 4

a b

7.26. La gráfica muestra el número de periódicos vendidos por un quiosquero a lo largo de la mañana.

a) ¿Cuántos periódicos ha vendido entre las 9.00 y las 12.00?

b) ¿A qué horas ha vendido más periódicos? ¿Y menos?

c) Teniendo en cuenta que el precio del periódico es de 1€, ¿qué recaudación ha hecho por este concepto a la una de la tarde?

a) 75

b) De 8 h a 9 h. De 10 h a 11 h y de 14 h a 15 h.

c) 300 €

7.27. En una autopista llana, el consumo de gasolina varía básicamente con los cambios de velocidad. ¿Estas magnitudes son dependientes? Razónalo.

Sí, porque el gasto de gasolina depende de la velocidad que llevemos, de tal modo que, a partir de cierto valor y a más velocidad, más gasolina se gasta.

7.28. Las gráficas muestran el viaje que ha hecho un grupo de amigos en bicicleta. Han salido juntos, pero se han formado dos grupos que han ido a un ritmo diferente.

a) ¿Quién ha llegado primero? ¿Cuál ha sido la diferencia entre los dos grupos? ¿A alguna hora han ido a la misma velocidad?

b) ¿Cuánto rato ha estado parado el grupo a? ¿Y el grupo b?

a) El grupo b, con 1 h de adelanto respecto al a. De 3 a 4 horas, han ido a la misma velocidad.

b) Ambos grupos han parado 1 h cada uno.

7.29. Calcula estos porcentajes mentalmente.

10% 20% 30% 40% 50% 25% 75%

200 20 40 60 80 100 50 150

500 50 100 150 200 250 125 375

700 70 140 210 280 350 175 525

4.000 400 800 1.200 1.600 2.000 1.000 3.000


Espacio utilizado: 85%

Espacio libre: 15%

Capacidad: 60 GB

2,5 GB 1,5 GB 1,5 GB 2 GB 3 GB

7.30. (TIC) Calcula los siguientes porcentajes.

a) 30% de 650 b) 7% de 60 c) 45% de 245 d) 8% de 45

e) 12% de 1.450 f) 18% de 210 g) 24% de 350 h) 65% de 8.000

a) 195 b) 4,2 c) 110,25 d) 3,6

e) 174 f) 37,8 g) 84 h) 5.200

7.31. (TIC) Calcula estos porcentajes con la calculadora.

a) 19% de 360 b) 87% de 3.560 c) 75% de 245 d) 31% de 355

e) 24% de 35.000 f) 35% de 678 g) 55% de 1.600 h) 27% de 950

a) 68,4 b) 3.097,2 c) 183,75 d) 110,05

e) 8.400 f) 237,3 g) 880 h) 256,5

7.32. (TIC) En un partido de baloncesto, el porcentaje de aciertos de un jugador ha sido del 60%.

a) Si ha hecho 20 lanzamientos, ¿cuántos de ellos han entrado?

b) El 25% de los lanzamientos que han entrado han sido hechos desde más lejos de la línea de 6,25 m. ¿Cuántas cestas de 3 puntos ha hecho?

a) 12 b) 3

7.33. (TIC) El público que una noche ha asistido a un teatro representa el 120% del aforo de este. La capacidad del teatro es de 500 personas.

a) ¿Cuánta gente ha ido al teatro?

b) ¿Cuánta gente no ha podido entrar a ver el espectáculo?

a) 600 b) 100

7.34. Un futbolista dice: “Este año he marcado el 100% más de goles que el año pasado”. ¿Qué ha querido decir? ¿Y si hubiera marcado el 200% más de goles?

Que ha marcado el doble que el año pasado. Habría marcado el triple.

7.35. Además del tanto por ciento, también se utiliza la noción de tanto por mil (‰). ¿Qué quiere decir que el 3‰ de los terneros que nacen en una región sufren malformaciones?

Que 3 de cada 1.000 tienen deformaciones, es decir, el 0,3%.

7.36. El diagrama muestra el estado en que se encuentra el disco duro de un ordenador.

Queremos grabar en el ordenador seis juegos de estos tamaños:

a) ¿Podremos grabarlos todos?

b) Decidimos grabar el número máximo de juegos posible. ¿Cuáles grabaremos?

a) No, porque solo hay 9 GB libres, y los juegos ocupan 12,5.

b) Cualquier combinación de 4 juegos como máximo, excepto los de 2,5 + 2 + 3 + 2 GB.

2 GB


a) b) c)

460 €

120 €

145 €

Ayuntamiento de Valladolid

MULTA

Fecha de la infracción: 05–10–2009

Plazo de pago: 05–12–2009

Vehículo Seat Altea 2456 PMT

Aparcamiento indebido. Calle de los Olmos, 5

Importe de la multa:...................................50 €

– Descuento por pago inmediato: 40%

– Recargo por pago fuera de plazo: 20%


7.38. En un restaurante, el precio del menú es de 8,20 €, sin contar el IVA, que es del 7%. ¿Cuánto cuesta el menú en este restaurante?

8,77 €

7.39. En un instituto de 648 alumnos, 445 van andando, y 136 cogen un medio de transporte público.

a) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos va al instituto andando? ¿Y en transporte público?

b) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos no va al instituto ni andando ni en transporte público?

a) Andando, el 68,67%, y en transporte público, el 20,99%.

b) 10,34%

7.40. Disminuimos una cantidad en un 25%, y la cantidad resultante la aumentamos en un 25%. ¿Obtendremos la misma cantidad original? Compruébalo con dos ejemplos.

No se obtiene la cantidad original.

Ejemplo 1: si disminuimos un 25% a 100 obtenemos 75, y si ahora aumentamos un 25% a 75, obtenemos 93,75.

Ejemplo 2: si disminuimos un 25% a 50 obtenemos 37,5, y si ahora aumentamos un 25% a 37,5, obtenemos 46,875.

7.41. Una tienda de electrodomésticos hace un descuento del 15% en todos sus productos. Indica los nuevos precios de estos.

a) 391 € b) 102 € c) 123,25 €

7.42. Rosa ha recibido esta multa.

a) Si paga la multa de manera inmediata, ¿cuál será el importe?

b) Si hace efectiva la multa el 10 de diciembre, ¿cuánto deberá pagar?

a) 30 € b) 60 €


1:125

Cala Morell

Sant Climent

Llucmaçanes

S'Algar

Fornells

Ferreries

Es Migjorn Gran

Es Mercadal

Alaior

Es Castell

Sant Lluís

Ciutadella

1:750.000

Mahón


7.44. (TIC) Observa este plano de un piso.

a) La escala del plano es 1 : 125. ¿Qué representa la escala? Exprésala en forma de fracción.

b) ¿Cuál es la anchura del piso? ¿Y la profundidad?

c) ¿Cuáles son las medidas de la cama doble representada?

a) Que 1 unidad de dibujo se corresponde con 125 unidades de la realidad. En fracción, sería 1

125.

b) Ancho en el dibujo = 6,7 cm. Ancho en la realidad = 6,7 · 125 = 837,5 cm = 8,375 m

Profundidad en el dibujo = 5,5 cm. Profundidad en la realidad = 5,5 · 125 = 687,5 cm = 6,875 m

c) En el dibujo mide 1,5 × 1,1 cm. En la realidad, 1,875 × 1,375 m.

7.45. (TIC) Observa este mapa.

a) ¿Cuál es la escala del mapa? Exprésala en forma de fracción.

b) La distancia entre Ciutadella y Mahón es de 5,7 cm en el mapa. ¿Cuál es la distancia entre estas poblaciones en la realidad?

c) Sabemos que dos poblaciones del mapa están separadas en la realidad por 10 km. ¿Cuáles pueden ser estas poblaciones?

a) 1 : 750.000 =1

750.000

b) 4.275.000 cm = 42,75 km

c) 10 : 750.000 = 1,33 cm en el plano. Pueden ser Es Mercadal y Fornells.

7.46. En el cálculo de una escala, dividimos la distancia en el plano por la correspondiente distancia en la realidad. ¿Por qué es necesario este convenio?

Si no hubiera convenio, unas veces se haría de una manera y otras de otra, y confundiríamos las medidas del plano y la realidad al operar incorrectamente.


Original

Representación A Representación B

7.47. Observa el coche y sus representaciones.

Determina, en cada caso, por qué factor o razón debemos multiplicar las medidas de la figura original para obtener sus representaciones.

Representación A: por 4

7= 0,5714; representación B: por

3

7= 0,4286

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

7.48. (TIC) Precios de un parquímetro

Observa la tabla de precios de un aparcamiento.

Tiempo Precio

5 min 15 cent

10 min 30 cent

15 min 45 cent

20 min 60 cent

25 min 75 cent

Indica el valor de la razón que expresa la relación entre el tiempo de estancia del coche y el precio.

La razón es 3.

7.49. (TIC) Precio unitario

Calcula el precio unitario de estos productos.

a) 12 yogures cuestan 2,88 €.

b) 6 latas de refresco cuestan 1,50 €.

c) 3 latas de atún cuestan 2,25 €.

a) 0,24 €

b) 0,25 €

c) 0,75 €


A B C D

7.50. (TIC) Magnitudes directamente proporcionales

La tabla muestra la tarifa de una copistería.

Fotocopias 15 20 30 50 100

Precio (€) 0,80 1,08 1,62 2,40 4,80

¿Es directamente proporcional la relación entre las fotocopias y el precio?

No, porque los cocientes entre magnitudes no son constantes.

7.51. (TIC) Magnitudes directamente proporcionales

¿Son directamente proporcionales estas magnitudes?

Pintura (kg) 2 3 7 10 12

Precio (€) 1,50 2,25 5,25 7,50 9

Sí, de razón de proporcionalidad 0,75.

7.52. Cajas con bolas

Observa estas cajas con bolas.

a) Calcula en cada caja la cantidad de bolas rojas que hay respecto a las verdes.

b) Expresa en cada caja la razón (en número decimal) entre bolas rojas y verdes. ¿En algún caso obtienes la misma razón de proporcionalidad?

a) A. 6

2; B.

5

6; C.

9

6; D.

10

12

b) A. 3; B. 0,83; C. 1,5; D. 0,83. Tienen la misma razón B y D.

7.53. Consumo de gasolina

El fabricante de coches Rimbatti dice que su modelo Desco consume 7 L cada 100 km.

a) Indica cuántos litros consume por kilómetro recorrido.

b) Calcula cuántos kilómetros puede recorrer con un litro.

a) 0,07 L

b) 14,2857 km

7.54. (TIC) Precio del jamón

Completa el valor que falta en esta tabla que expresa la relación entre el peso del jamón y su precio.

Peso (g) 200 400 500 800 1.200

Precio (€) 4 8 10 16 24


–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

0

A

C

BK

J

I

G

H

F

D

E

7.55. (TIC) Precio del queso

Sabiendo que 400 g de un queso nos han costado 6 €, completa esta tabla de precios en tu cuaderno.

Peso (g) 100 200 400 700 1.500

Precio (€) 1,50 3 6 10,50 22,50

7.56. (TIC) Productos cruzados

Determina, haciendo los productos cruzados, si estos pares de razones son equivalentes.

a) 6

7 y

18

21 b)

5

9 y

20

36 c)

2

7 y

10

28

a) Sí, 6 · 21 = 7 · 18 b) Sí, 36 · 5 = 20 · 9 c) No, 2 · 28 ≠ 7 · 10

7.57. (TIC) Igualdad de razones

Busca los términos que faltan en estas igualdades entre razones.

a) 5 20

= 8

b) 3

= 7 42

c) 12

= 9 27

a) 32 b) 18 c) 4

7.58. Inversión empresarial

Un grupo de empresarios ha invertido en un negocio 300.000 €. El primer año han obtenido unos beneficios de 7.500 €, y el segundo año, 12.000 €.

a) ¿Cuántos euros han obtenido por cada euro invertido el primer año? ¿Y el segundo año?

b) ¿Cuántos euros han obtenido por cada 100 € invertidos el primer año? ¿Y el segundo año?

a) 7.500 : 300.000 = 0,025 € el primer año y 0,04 € el segundo.

b) 2,5 € el primer año y 4 € el segundo.

7.59. Avión

Un avión que se desplaza a velocidad constante ha recorrido 2.800 km en 4 h. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 6.300 km?

9 h

7.60. Coordenadas de puntos

Indica el valor de los puntos representados en esta gráfica.

A(2, 2), B(4, 4), C(5, 0), D(1, –1), E(3, –4), F(0, –4), G(–2, –2), H(–5, –3), I(–3, 0), J(–4, 3), K(–2, 4)


200 400 600

20

40

0

10

30

50

100 300 500 700

Volu

men

(cm

3 )

Peso (g)

7.61. Peso y volumen del mercurio

La gráfica muestra la relación entre el peso del mercurio y el volumen que ocupa.

a) Tenemos una botella de 5 cL de mercurio. ¿Cuánto pesa el mercurio de la botella?

b) ¿Qué volumen ocuparán 2 kg de mercurio?

a) 5 cL = 50 cm3, luego pesa 700 g.

b) 142,86 cm3

7.62. Aparcamiento

La tabla muestra la tarifa de precios de un aparcamiento.

Tiempo (h) 2 4 6 8 10

Precio (€) 4 8 12 16 20

Representa estos datos en un diagrama.

a) ¿Qué magnitud representarás en el eje horizontal? ¿Cómo lo graduarás?

b) ¿Qué magnitud representarás en el eje vertical? ¿Cómo lo graduarás?

c) Si unes los puntos, ¿sale una recta que pasa por el origen?

d) A partir de la gráfica que has dibujado, determina el precio de una estancia de 5 h.

a) Abscisas = tiempo (de 2 en 2 unidades)

b) Ordenadas = precio (de 4 en 4 unidades)

c) Sí

d) 10 €

7.63. Porcentajes gráficos

Relaciona las figuras con los porcentajes correspondientes.

25% 12,5% 33% 75%

33%, 25%, 75% y 12,5%, respectivamente

Tiempo (h)

Pre

cio

(€

)

0

4

8

12

16

20

2 4 6 8 10


7.64. Porcentajes, fracciones y decimales

Relaciona los porcentajes con las fracciones y los números decimales correspondientes.

Porcentajes 35% - 48% - 12% - 25% - 90% - 68%

Fracciones 90 35 48 68 25 12

- - - - - 100 100 100 100 100 100

Números decimales 0,48 - 0,9 - 0,35 - 0,12 - 0,68 - 0,25

35% = 0,35 = 35

100 48% = 0,48 =

48

100 12% = 0,12 =

12

100

25% = 0,25 = 25

100 90% = 0,9 =

90

100 68% = 0,68 =

68

100

7.65. (TIC) Cálculo de porcentajes

Calcula estos porcentajes.

a) 25% de 350 b) 15% de 80 c) 42% de 125

d) 65% de 240 e) 75% de 45 f) 38% de 950

a) 87,5 b) 12 c) 52,5 d) 156 e) 33,75 f) 361

7.66. Encuesta

Se ha hecho una encuesta y solo la han contestado un 82% de los encuestados. ¿Qué porcentaje de gente no ha contestado la encuesta?

18%

7.67. Preferencias escolares

Al 35% de los alumnos de 1.º de ESO les gusta el baloncesto. En total, en 1.º de ESO son 80 alumnos. ¿A cuántos alumnos les gusta el baloncesto?

A 28 alumnos

7.68. Aumento de sueldo

A María le han aumentado en un 2% su sueldo de 1.100 €. ¿Cuánto cobrará a partir de ahora?

1.122 €

7.69. Ayuda humanitaria

David tiene 450 € ahorrados. Quiere destinar un 15% de sus ahorros a ayudas humanitarias. ¿Cuánto dinero le quedará a David después de hacer esta donación?

382,50 €

7.70. Descuentos e IVA

En una tienda hacen un descuento del 20% sobre sus productos, y al mismo tiempo añaden un 16% de IVA. Compramos un televisor que vale 842 €.

a) ¿Cuánto pagaremos si calculamos primero el impuesto y después aplicamos el descuento?

b) ¿Cuánto pagaremos si primero calculamos el descuento y después aplicamos el impuesto?

a) 781,38 € b) Lo mismo


0Novelas

de aventuras

10

20

30

40

% a

lum

no

sNovelas

policíacasNovelas

de terrorOtras

Escala 1: 60

8 m

6 m

7.71. Hermanos

En una clase de 26 alumnos, 8 tienen dos hermanos, y 14 tienen uno.

a) ¿Qué tanto por ciento de la clase tiene dos hermanos?

b) ¿Qué tanto por ciento de la clase tiene un hermano?

a) 30,77% b) 53,85%

7.72. Encuesta escolar

En un instituto de 400 alumnos se ha hecho una encuesta sobre los gustos literarios. El gráfico muestra los tipos de novela preferidos en porcentajes.

¿Cuántos alumnos de la escuela han elegido como preferidas las novelas de aventuras? ¿Y las novelas de terror?

140 alumnos. 80 alumnos

7.73. (TIC) Dibujo de un plano

Una habitación mide 8 m de ancho por 6 m de profundidad. Dibuja el plano de esta habitación a escala 1 : 60.


7.74. (TIC) Cálculo de escala

La distancia en línea recta entre Barcelona y Gerona es de 90 km. En un plano, esta distancia se representa en 4 cm. ¿Cuál es la escala de este plano?

4 : 9.000.000 o, equivalentemente, 1 : 2.250.000

7.75. Fotos digitales

La impresión de 20 fotos digitales nos ha costado 15 €, y la impresión de 30 fotos digitales nos ha costado 21 €.

a) ¿Cuesta lo mismo cada foto?

b) ¿Crees que el precio es directamente proporcional al número de fotos que se imprimen? ¿Por qué?

a) En el primer caso valen 0,75 € la unidad, y en el segundo, 0,70 € la unidad.

b) El precio no es directamente proporcional al número de fotos, porque hay costes fijos que no dependen del número de fotos.

7.76. Construcción de coches

Un fabricante de coches construye 800 unidades a la semana gracias al trabajo de 2 turnos de 8 h cada uno. La demanda aumenta y decide poner un tercer turno, también de 8 h. ¿Cuántos vehículos pasará a fabricar durante la semana?

Cada hora se fabrican 50 coches. Entonces, añadiendo un turno, se trabajarán 24 h al día, por lo que en una semana se fabricarán 1.200 coches.

7.77. Tienda de ropa

En una tienda de ropa, de cada 100 € de género que han vendido, 60 € correspondían a ropa femenina, y el resto, a ropa masculina. La tienda ha vendido género por valor de 24.000 €. ¿Cuánto dinero ha obtenido por la venta de ropa masculina?

La ropa masculina representa el 40% de las ventas, luego se han obtenido 9.600 €.

7.78. Inversión empresarial

Un empresario abre un negocio. Su inversión es de 450.000 €. Quiere obtener al tercer año 7,50 € por cada 100 € invertidos. ¿Qué beneficios deberá producir el negocio para satisfacer sus expectativas?

7,5% de 450.000 = 33.750 €

7.79. Transporte público

Una empresa hace un estudio sobre el transporte utilizado por sus trabajadores. El resultado es que 6 de cada 10 trabajadores van a la empresa en transporte público. Si usan el transporte público 240 personas, ¿cuántos trabajadores tiene la empresa?

240 representan el 60% de la empresa, luego la empresa tiene 400 trabajadores.

7.80. Fotografía

La anchura de una foto original es de 12 cm, y la de la copia es de 8 cm. ¿A qué porcentaje la hemos reducido?

8

12 · 100 = 66,67%


2 pelotas ---> 3 € 4 pelotas ---> 6 € 6 pelotas ---> 9 € 5 pelotas ---> 7,50 €

Aluminio

D = 2,7 g/cm3

Cobre

D = 8,9 g/cm3

Hierro

D = 7,8 g/cm3

Aluminio

Precio: 3 €/kg

Cobre

Precio: 7,50 €/kg

Hierro

Precio: 0,40 €/kg

7.81. *Pelotas de tenis

En una tienda de deportes venden las pelotas de tenis en paquetes.

1. Averigua si el precio de los paquetes es directamente proporcional al número de unidades.

3 6 9 7,50

2 4 6 5= = = = 1,50 €/unidad, luego sí es proporcional.

2. Imagina que en esta tienda deciden vender paquetes de 3 pelotas de tenis. ¿Qué precio tendrán dichos paquetes?

3 · 1,5 = 4,50 €

7.82. Densidad

La densidad expresa la relación entre el peso y el volumen de una sustancia.

Densidad = Peso

Volumen

Aquí tienes la densidad de tres metales:

Estos son los precios de dichos metales:

1. Tenemos una pieza de 250 g de hierro. ¿Qué volumen ocupa? ¿Y qué volumen ocupa una pieza de 400 g de cobre?

250 : 7,8 = 32,05 cm3; 400 : 8,9 = 44,94 cm3

2. Una cantimplora de aluminio pesa 120 g. ¿Qué volumen ocuparía la cantimplora si la prensáramos?

120 : 2,7 = 44,44 cm3

3. Queremos hacer un marco de un cuadro de metal. Necesitaremos un volumen de metal de 125 cm3, y no queremos que pese más de 1.000 g. ¿Qué materiales podemos elegir?

Aluminio: 125 · 2,7 = 337,5; cobre: 125 · 8,9 = 1.112,5; hierro: 125 · 7,8 = 975

Podemos elegir aluminio o hierro.

4. Si para el marco tenemos un presupuesto de 1 € en material, ¿qué metal elegiremos?

Aluminio: 0,3375 · 3 = 1,0125 €; hierro: 0,40 · 0,975 = 0,39 €. Elegiremos el hierro.


4.000 8.000 12.000

400

800

0

200

600

1.000

Inte

rés

(e)

Depósito (e)16.000

1

400

800

0

200

600

1.000

Din

ero

(e

)

Tiempo (días)

A

2 3 4 5 6 7

1.200

D

E

F

B C

8

7.83. Ordenadores

Un fabricante produce ordenadores de sobremesa y ordenadores portátiles. Han hecho un estudio y han detectado la siguiente proporción de averías durante el primer año de garantía de estos ordenadores:

– 3 de cada 80 ordenadores de sobremesa.

– 4 de cada 110 ordenadores portátiles.

1. ¿Cuál de los dos tipos de ordenadores tiene menos averías?

Sobremesa: 3,75% de averías. Portátiles: 3,64%. El portátil tiene menos averías.

2. Este fabricante hace cada mes 720 ordenadores de sobremesa y 660 ordenadores portátiles. ¿Qué deberán reparar más, ordenadores de sobremesa u ordenadores portátiles?

27 de sobremesa y 24 portátiles. Luego deben arreglar más de sobremesa.

7.84. Intereses bancarios

Una entidad financiera ha creado el Depósito Plus. La gráfica muestra el dinero que da anualmente en función del capital depositado.

1. ¿Qué interés da al dinero depositado?

200 : 4.000 = 5%

2. Si ponemos 9.000 €, ¿cuánto dinero nos darán anualmente? ¿Y si ponemos 2.500 €?

450 €. 125 €

7.85. Turismo

El gráfico muestra el dinero que han gastado unos turistas y el número de días que han estado de viaje.

1. ¿Quién ha gastado más?

F ha gastado más.

2. ¿Quién ha gastado más por día? ¿Y menos?

A: 166,67 €/día B: 150 €/día C: 120 €/día

D: 160 €/día E: 166,67 €/día F: 171,43 €/día

F ha gastado más por día, y C, menos.


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

7.86. Incendios forestales

En el año 2009 se produjeron 565 incendios forestales en una localidad, que calcinaron 1.067 ha. La tabla te ofrece el porcentaje mensual de incendios.

1. ¿Cuántos incendios se produjeron en el mes de agosto?

Nota: Redondea el resultado.

118 incendios

2. ¿Qué porcentaje, respecto al total, representan los incendios declarados en los tres meses de verano (junio, julio y agosto)? ¿Cuántos incendios son?

El 51,2%, que son 289 incendios.

3. ¿Cuántas hectáreas se quemaron en los tres meses de verano (junio, julio y agosto)? ¿Y en el resto del año?

En los meses de verano se quemaron en total 546,304 ha.

En el resto del año, 520,696 ha.

4. ¿Cuántos kilómetros cuadrados representaron el total de hectáreas quemadas en 2009? Compara esta superficie con la de tu municipio.

1.067 ha = 10,67 km2. Respuesta abierta.

5. En el mes de septiembre se quemaron 522 ha de las 1.067 ha que se quemaron en total a lo largo del año. ¿Crees que el número de hectáreas quemadas se corresponde siempre con el número de incendios? Razona la respuesta.

No, el número de hectáreas quemadas no depende exclusivamente del número de incendios producidos. Los factores que intervienen en la cantidad de superficie quemada son múltiples: la gravedad del incendio, si se ha controlado pronto, si se ha extendido con facilidad porque la vegetación estaba muy seca o hubo mucho viento, etc.

6. En vista de los datos, ¿en qué época es más adecuado hacer una campaña de prevención de incendios? Razona la respuesta. Piensa qué características podría tener esta campaña.

La época más adecuada para lanzar una campaña contra incendios es el verano, pues es cuando se concentran más de la mitad de los incendios.

Las campañas de prevención de incendios suelen incidir en que no se haga fuego en zonas forestales, que no se tiren colillas ni vidrio, etc.

Mes %

Enero 2,6%

Febrero 2,3%

Marzo 4,2%

Abril 1,7%

Mayo 5,6%

Junio 11,8%

Mes %

Julio 18,5%

Agosto 20,9%

Septiembre 6,4%

Octubre 14%

Noviembre 9%

Diciembre 3%


¿En qué gastamos el agua?

Los habitantes de Córdoba gastamos de media 122 L de agua por persona y día.

Aproximadamente, una tercera parte de esta agua la utilizamos para el váter; otra tercera parte, para la ducha y el baño; cerca del 20%, para la lavadora, y el resto, para otros usos, como limpieza de la casa o riego de plantas de interior. Solo una pequeña parte, entre 3 y 6 L, la utilizamos para beber y cocinar.

Guía de educación ambiental: el agua y la ciudad

Ayuntamiento de Córdoba

1:75

7.87. Consumo de agua

Lee este texto y contesta.

1. ¿Cuántos litros de agua gasta un cordobés para el váter?

122

3= 40,67 L/día

2. ¿Cuántos litros de agua utiliza para la lavadora?

20% de 122 = 20 · 122

100= 24,4 L/día

3. ¿Qué tanto por ciento del agua que consume un cordobés la utiliza para beber y cocinar?

3

122· 100 = 2,46;

6

122· 100 = 4,92. Para beber y cocinar utiliza entre el 2,46% y el 4,92%.

4. ¿Cuántos litros gasta en los usos no especificados?

Entre el 10,27% y el 13,27%

7.88. Compra de un armario

El plano de nuestra habitación es este:

1. Calcula las medidas de la habitación.

El plano son 6 cm de largo y 4 de ancho, por lo que la habitación mide 6 · 75 = 450 cm = 4,5 m de largo y 4 · 75 = 300 cm = 3 m de ancho.


1:50 1:50

1:100

2. Queremos poner un armario exactamente entre las dos ventanas. En una tienda tienen estos armarios. ¿Cuál elegirías?

Entre las ventanas hay 2,6 · 75 = 195 cm. Los armarios miden 3,5 · 50 = 175 cm y 4,4 · 50 = 220 cm, respectivamente, por lo que pondremos el primer armario.

3. Dibuja el plano de la habitación con el armario a escala 1:100.

Nota: Considera que los armarios tienen una profundidad de 50 cm.

7.89. Información nutricional

Quesos El Prado elabora dos tipos de queso blanco fresco. En el etiquetado de cada queso aparece una tabla con la información nutricional correspondiente.

Queso blanco entero Queso blanco desnatado

INFORMACIÓN NUTRICIONAL INFORMACIÓN NUTRICIONAL

Análisis medio 100 g Envase de

75 g Análisis medio 100 g

Envase de 75 g

Valor energético

192 kcal (803,3 kJ)

144 kcal (602,5 kJ)

Valor energético

73 kcal (305,4 kJ)

55 kcal (230,1 kJ)

Proteínas 11 g 8,2 g Proteínas 13,5 g 10 g

Hidratos de carbono

3 g 2,2 g Hidratos de carbono

4,4 g 3,3 g

Grasas 15 g 11,3 g Grasas 0,17 g 0,13 g

Calcio 317 mg 237,7 mg Calcio 474 mg 356 mg

Fósforo 265 mg 198,7 mg Fósforo 269 mg 202 mg

1. ¿Cuántos gramos del queso desnatado debes tomar para ingerir la misma cantidad de grasa que ingerirías si tomaras un envase del queso entero (75 g)?

11,3 : 0,17 · 100 = 6.647 g debería tomar.

2. Los médicos aconsejan tomar 800 mg de calcio y 800 mg de fósforo diariamente. ¿Qué cantidad de queso blanco desnatado debes tomar en un día para llegar a la cantidad recomendada de calcio? ¿Y para llegar a la cantidad recomendada de fósforo?

Calcio: 800 : 474 · 100 = 168 g Fósforo: 800 : 269 · 100 = 297 g


Pack de 3 envases de 75 g

Precio: 1,80 €

Envase de 500 g

Precio: 3,85 €

Queso blanco fresco

• Cantidad pack: 3 × 75 g • Precio pack: 1,80 € • Precio por 100 g: 0,80 €

Queso blanco fresco

• Cantidad envase: 500 g • Precio envase: 3,85 € • Precio por 100 g: 0,77 €

QuesoEl Prado

QuesoEl Prado

RICO EN CALCIO RICO EN CALCIO

GRASA

0 %

Queso blanco fresco Queso blanco fresco

3. Las kilocalorías (kcal) y los kilojulios (kJ) son unidades de energía.

a) ¿Puedes deducir cuántos kilojulios son una kilocaloría? ¿Y cuántas kilocalorías son un kilojulio?

b) Una persona necesita tomar aproximadamente unas 2.500 kcal al día. ¿Cuánto queso fresco entero debería tomar en un día? ¿Crees que sería una nutrición correcta?

a) 1 kcal = 803,3 : 192 = 4,18 kJ; 1 kJ = 192 : 803,3 = 0,239 kcal

b) 2.500 : 192 · 100 = 1.302 g. No sería correcta, pues carecería de unos nutrientes y excedería de otros.

4. Quesos El Prado quiere comercializar envases de 125 g del queso blanco desnatado. Completa en tu cuaderno la composición nutritiva de la etiqueta del envase.

INFORMACIÓN NUTRICIONAL

Análisis medio 100 g Envase de 125 g

Valor energético 73 kcal (305,4 kJ) 91,25 kcal (381,75 kJ)

Proteínas 13,5 g 16,875 g

Hidratos de carbono 4,4 g 5,5 g

Grasas 0,17 g 0,2125 g

Calcio 474 mg 592,5 mg

Fósforo 269 mg 336,25 mg

5. Quesos El Prado comercializa el queso blanco entero en dos tipos de envases:

Completa estas etiquetas que aparecen en el estante de un súper.

6. Observa las etiquetas de los quesos.

a) ¿Qué etiqueta corresponde al queso desnatado? ¿Y al queso entero?

b) El eslogan «Grasa 0%», ¿es correcto? Da un argumento a favor y otro en contra.

a) La de la izquierda corresponde al desnatado, y la de la derecha, al entero.

b) No, no es correcto, porque el desnatado tiene algo de grasa, y poniendo 0% da la impresión de que no hay nada. Sin embargo, la cantidad de grasa es tan pequeña que podemos considerarla nula haciendo un redondeo.


1 2 3 4

6

12

0

Esp

acio

(km

)

3

9

Tiempo (h)

AUTOEVALUACIÓN

7.1. Calcula la razón de proporcionalidad entre A y B.

A 4 6 8 10 12

B 24 36 48 60 72

6

7.2. Las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Determina los valores que faltan en la

tabla.

A 3 5 8 12 16

B 7,5 12,5 20 30 40

7.3. Hemos comprado 2 kg de plátanos y nos han costado 5 €. ¿Cuánto nos habrían costado 5 kg?

12,50 €

7.4. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre el espacio recorrido y el tiempo?

4,5

7.5. Calcula estos porcentajes.

a) 8% de 50 b) 12% de 60 c) 25% de 300

d) 40% de 250 e) 16% de 64 f) 37% de 950

a) 4 b) 7,2 c) 75 d) 100 e) 10,24 f) 351,5

7.6. Expresa los valores siguientes en forma de porcentaje.

a)20

200 de 50 b)

15

100 de 40 c) 0,7 partes de 25 d) 0,8 partes de 30

a) 10% de 50 = 5 b) 15% de 40 = 6 c) 70% de 25 = 17,5 d) 80% de 30 = 24

7.7. Nos queremos comprar unos zapatos que están marcados a 50 €. Nos hacen un descuento del 15%. ¿Cuánto nos costarán?

42,50 €

7.8. La escala de un plano es de 1:25.000. La distancia en el plano entre dos puntos A y B es de 7 cm. ¿Cuál es la distancia real entre estos dos puntos?

175.000 cm = 1,75 km

7.9. Un coche de juguete mide 25 cm de longitud. En la representación que hemos hecho, la longitud es de 5 cm. ¿A qué escala lo hemos representado?

5 : 25 o, equivalentemente, 1 : 5


–1–2–3–4 1 2 3 4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

0

4

2

4

2

2 51

3

4 0 2

1

APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

El juego de las ardillas

Se juega por parejas. Cada jugador dibuja dos ejes de coordenadas graduados cada uno de –4 a 4, y sitúa en cada cuadrante una ardilla. No puede haber dos ardillas con la misma abscisa o con la misma ordenada.

Para averiguar la posición de las ardillas, los jugadores dan, por turnos, las coordenadas de un punto. Se ha de contestar si se ha acertado la abscisa, la ordenada, o las dos coordenadas. Gana quien primero adivina la posición de los cuatro animales.

Actividad lúdica.

Los calcetines

En un cajón de un armario hay 10 calcetines negros y 10 marrones. Si la habitación está completamente a oscuras, ¿cuántos calcetines hemos de sacar como mínimo para estar seguros de sacar un par del mismo color?

Si sacamos 3 calcetines, habrá al menos 2 del mismo color.

Suma 10

Llena los círculos con estos números:

0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5

Los cuatro números de cada raya deben sumar 10.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, M.ª Ángeles Anaya, Rafaela Arévalo, José Luis González, Rafael A. Martínez Edición: Pedro Machín, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz, José Santos Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Boé; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrión; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; ÍNDEX; PAISAJES ESPAÑOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogáfico Nacional Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

7 proporcionalidad - inicio - ceahformacion.esceahformacion.es/data/documents/e1_ma_u07... · 2021....

Documents