7 btoq control chart
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Seven Basic Tools of Quality: Control Charts Introduction (p chart).
G. Edgar Mata Ortiz
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• ¿Qué es un gráfico de control?
• Es una de las 7 herramientas básicas para la calidad
• Está formado por las medias aritméticas, rangos, desviaciones estándar u otros estadísticos de un conjunto de muestras tomadas a intervalos regulares en el tiempo; cada hora, cada 4 horas, cada turno, o cualquier otra secuencia sistemática.
• Su característica más sobresaliente son los límites de control, tres líneas principales y cuatro secundarias que nos permiten identificar variaciones no aleatorias en un proceso.
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• ¿Por qué son importantes las variaciones no aleatorias de un proceso?
• Cualquier proceso presenta variabilidad; los pequeños cambios que ocurren en los diferentes factores de la producción o el servicio no pueden ser evitados y afectan a la calidad.
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• ¿Por qué son importantes las variaciones no aleatorias de un proceso?
• Cualquier proceso presenta variabilidad; los pequeños cambios que ocurren en los diferentes factores de la producción o el servicio no pueden ser evitados.
• Sin embargo, cuando estos cambios no son aleatorios, es posible determinar sus causas y eliminarlos para reducir la variabilidad y mejorar la calidad del producto o servicio.
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• Por la forma en que están elaborados, los gráficos de control nos proporcionan una visión del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo.
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• Una vez trazado el gráfico y sus límites de control, es posible aplicar las Nelson Rules para facilitar su interpretación.
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• Cada punto de la gráfica corresponde a un estadístico de una muestra tomada en un tiempo establecido, por ejemplo:• La media aritmética de la variable el lunes 28 a las 7:00 de la
mañana
• La desviación estándar de la variable el martes 29 a las 10:00 de la mañana
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• Por las características de los datos se dispone de dos tipos de gráfico de control.
Variables
Atributos
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•Gráficos de control para variables.
Los gráficos de control para variables se elaboran con estadísticos como la media aritmética, el rango y la desviación estándar.
Los más usuales son:
1. Gráfica de medias y rangos
2. Gráfica de medias y desviaciones estándar.
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•Gráficos de control para atributos.
Los gráficos de control para atributos se construyen empleando proporciones, porcentajes, fracciones.
Los más usuales son:
1. Gráfica tipo p, np, 100p
2. Gráfico tipo c
3. Gráfico tipo u
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En una fábrica de semiconductores el espesor de las obleas es una característica de calidad.
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• Este espesor debe ser de 11 ± 1 milésimas de pulgada.
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Con la finalidad de determinar la proporción de obleas que no cumplen con las especificaciones, se ha decidido tomar 40 muestras; una cada hora durante los próximos 5 turnos de 8 horas de operación.
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pEl número de piezas defectuosas y muestreadas se encuentra en las siguientes tablas (parte 1 de 2).
Número de piezas
muestreadas 1190 1186 1214 1192 1204 1198 1200 1180
Número de piezas
defectuosas 9 6 10 5 4 5 3 8
Número de piezas
muestreadas 1198 1202 1196 1200 1194 1188 1190 1194
Número de piezas
defectuosas 4 5 5 6 4 5 3 4
Número de piezas
muestreadas 1198 1192 1214 1202 1188 1212 1202 1196
Número de piezas
defectuosas 4 6 4 3 5 4 4 3
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El número de piezas defectuosas obtenidas y muestreadas se encuentra en las siguientes tablas (parte 2 de 2).
Número de piezas
muestreadas 1198 1180 1176 1194 1008 1210 1194 1210
Número de piezas
defectuosas 2 3 5 3 5 5 6 2
Número de piezas
muestreadas 1192 1194 1214 1192 1196 1202 1216 1194
Número de piezas
defectuosas 5 3 4 12 4 3 7 5
p
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p
• La fracción defectuosa o proporción defectuosa se obtiene dividiendo, para cada muestra, el número de piezas defectuosas, entre el número de piezas muestreadas.
• Por ejemplo, para la muestra 1 tenemos:
𝒑 =Número de piezas defectuosas
Número de piezas muestreadas
𝒑 =𝟗
𝟏𝟏𝟗𝟎→ 𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟔
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• Con esta fórmula se calculan las proporciones de defectos de todas la muestras.
1 1190 9 0.007563
2 1186 6 0.005059
3 1214 10 0.008237
4 1192 5 0.004195
5 1204 4 0.00332235 1214 4 0.003295
36 1192 12 0.010067
37 1196 4 0.003344
38 1202 3 0.002496
39 1216 7 0.005757
40 1194 5 0.004188
…
p
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Estos puntos se representan en un plano cartesiano de modo que en el eje x se encuentra el número de muestra y, en el eje y, la proporción defectuosa.
p
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Este gráfico, sin ser todavía un gráfico de control, puede emplearse para analizar el comportamiento del proceso en términos muy generales:
La muestra 36 presenta una inusualmente alta proporción de defectos, mientras las muestras 25 y 32 presentan proporciones muy bajas de defectos.
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Este gráfico, sin ser todavía un gráfico de control, puede emplearse para analizar el comportamiento del proceso en términos muy generales:
La muestra 36 presenta una inusualmente alta proporción de defectos, mientras las muestras 25 y 32 presentan proporciones muy bajas de defectos.
p
![Page 23: 7 btoq control chart](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052312/55c8d697bb61ebfc0f8b45b0/html5/thumbnails/23.jpg)
Este gráfico, sin ser todavía un gráfico de control, puede emplearse para analizar el comportamiento del proceso en términos muy generales:
La muestra 36 presenta una inusualmente alta proporción de defectos, mientras las muestras 25 y 32 presentan proporciones muy bajas de defectos.
p
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Un gráfico de control, además de los puntos correspondientes a la fracción defectuosa, debe contener los límites de control que se emplearán para identificar variaciones no aleatorias en el proceso.
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El primer límite de control que interesa es el CL (Central Limit) o Central Line.
Este límite central es la media aritmética de las 40 proporciones de defectos y se representa en la gráfica como una línea.
𝑝 = 𝑖=1𝑛 𝑝𝑖𝑛
p
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El CL nos indica el punto medio del proceso.
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Para calcular el valor de 𝒑 es necesario sumar las 40 proporciones defectuosas y dividir el resultado entre 40.
𝒑 =𝟎. 𝟏𝟔𝟐𝟎𝟓
𝟒𝟎El valor de n es el tamaño de muestra promedio, es necesario sumar todos los tamaños de muestra, dividir entre las 40 muestras y redondear.
𝒏 =𝟒𝟕𝟕𝟎𝟎
𝟒𝟎
p
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En este ejemplo el valor de la proporción media de defectos es:
𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏
El valor de n es el tamaño de muestra promedio:
𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑Estos valores se emplean para determinar la desviación estándar:
p
𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏
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En este ejemplo el valor de la proporción media de defectos es:
𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏
El valor de n es el tamaño de muestra promedio:
𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑
𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏𝒔 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏)
𝟏𝟏𝟗𝟑
p
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Sustituyendo: 𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏𝒏 = 𝟏𝟏𝟗𝟑
𝒔 = 𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏𝒔 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏)
𝟏𝟏𝟗𝟑
p
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La proporción media de defectos más el triple de la desviación estándar es el UCL (Upper Control Limit) o límite superior de control:
𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏
𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗
𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 + 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
p
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La proporción media de defectos más el triple de la desviación estándar es el UCL (Upper Control Limit) o límite superior de control:
𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 + 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 + 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
𝐔𝐂𝐋 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟔𝟖
p
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La proporción media de defectos menos el triple de la desviación estándar es el LCL (Lower Control Limit) o límite inferior de control:
p
𝒑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏
𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗
𝐔𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
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La proporción media de defectos menos el triple de la desviación estándar es el LCL (Lower Control Limit) o límite inferior de control:
𝐋𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔
p
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La proporción media de defectos menos el triple de la desviación estándar es el LCL (Lower Control Limit) o límite inferior de control:
𝐋𝐂𝐋 = 𝒑 − 𝟑𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟑𝟗)
𝐋𝐂𝐋 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟔
Cuando el límite inferior de control es negativo se toma igual a cero:
𝐋𝐂𝐋 = 𝟎
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El gráfico de control queda completo cuando se agregan las líneas correspondientes al UCL y LCL.
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Los límites de control LCL y UCL deberían estar a la misma distancia del CL, pero debido a que el LCL fue negativo y se tomó como cero, se observa una distancia un poco menor hacia el LCL que hacia el UCL.
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Con el gráfico de control ya completo podemos emplear las Nelson Rules para localizar, sobre la gráfica, comportamientos no aleatorios.
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One point is more than three standard deviations from the mean.
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Un punto de la gráfica se encuentra a más de tres desviaciones estándar de la media aritmética ( 𝑝).
No olvidemos que el limite superior de control (UCL) se encuentra a tres desviaciones estándar de la media, y el punto 36 está más allá de dicho límite superior.
One point is more than three standard deviations from the mean.
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Aprovechando los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) es posible localizar algunas irregularidades, sin embargo, algunos otros puntos que también muestran un comportamiento, aparentemente, no aleatorio, pueden resultar difíciles de identificar.
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Aprovechando los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) es posible localizar algunas irregularidades, sin embargo, algunos otros puntos que también muestran un comportamiento, aparentemente, no aleatorio, pueden resultar difíciles de identificar.
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Aprovechando los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) es posible localizar algunas irregularidades, sin embargo, algunos otros puntos que también muestran un comportamiento, aparentemente, no aleatorio, pueden resultar difíciles de identificar.
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Para facilitar la interpretación del gráfico, es conveniente agregar cuatro líneas más a la gráfica: la media más una y dos desviaciones estándar y la media menos una y dos desviaciones estándar.
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Se observa nuevamente que el límite inferior está demasiado cerca de la media aritmética (y mucho más cerca de la media menos dos desviaciones estándar), recordemos que se debe a que el valor del LCL fue negativo y se tomó como cero.
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Incluso puede ser conveniente suprimir el resto de las líneas horizontales.
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Ahora resulta evidente que estos dos puntos no cumplen con la Nelson Rule 5:
Two or three out of three points in a row are more tan two standard deviations from the mean in the same direction.
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Ahora resulta evidente que estos dos puntos no cumplen con la Nelson Rule 5:
Two or three out of three points in a row are more tan two standard deviations from the mean in the same direction.
En un primer momento parecía que los dos puntos se encontraban a más de dos desviaciones estándar de la media, pero no es así, el punto uno queda dentro de dichas dos desviaciones estándar.
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En esta sección de la gráfica si parece haber un comportamiento no aleatorio; la parte media de la gráfica, desde el punto 9 hasta el punto 31 no muestran la variabilidad esperada.
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Ya con las líneas en: 𝒑 + 𝟏𝒔, 𝒑 + 𝟐𝒔, 𝒑 − 𝟏𝒔, 𝒑 − 𝟐𝒔 es posible identificar la Nelson rule que se aplica.
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Ya con las líneas en: 𝒑 + 𝟏𝒔, 𝒑 + 𝟐𝒔, 𝒑 − 𝟏𝒔, 𝒑 − 𝟐𝒔 es posible identificar la Nelson rule que se aplica.
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Ya con las líneas en: 𝒑 + 𝟏𝒔, 𝒑 + 𝟐𝒔, 𝒑 − 𝟏𝒔, 𝒑 − 𝟐𝒔 es posible identificar la Nelson rule que se aplica.
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Son 16 puntos que se mantienen dentro de las dos líneas:
𝒑 + 𝟏𝒔 𝒚 𝒑 − 𝟏𝒔
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Son 16 puntos (sólo 15 son requeridos) que se mantienen dentro de las dos líneas:
𝒑 + 𝟏𝒔 𝒚 𝒑 − 𝟏𝒔
Fifteen points in a row are all within one standard deviation of the mean on either side of the mean.
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El resultado final del problema consiste en señalar las dos Nelson Rules encontradas en la gráfica.
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El resultado final del problema consiste en señalar las dos Nelson Rules encontradas en la gráfica.
A continuación, el responsable del proceso debe realizar un análisis para determinar las causas de la variabilidad no aleatoria y corregirla para mejorar la calidad del producto o servicio.
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El resultado final del problema consiste en señalar las dos Nelson Rules encontradas en la gráfica.
Las restantes herramientas pueden ser útiles para el análisis de causas: Diagrama de Ishikawa, Diagrama de Pareto o alguna otra metodología dirigida a la solución de problemas.
p
A continuación, el responsable del proceso debe realizar un análisis para determinar las causas de la variabilidad no aleatoria y corregirla para mejorar la calidad del producto o servicio.
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p
El gráfico que se ha tomado como ejemplo es un
gráfico tipo p, de fracción defectuosa o de proporción defectuosa.
Si se desea facilitar la comprensión y la interpretación, pueden multiplicarse todos los valores por 100, obteniéndose así porcentaje de piezas defectuosas.
En tal caso el gráfico recibe el nombre de:
Gráfico tipo 100p
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100p
Si se desea facilitar la comprensión y la interpretación, puede multiplicarse la escala del eje y por 100, obteniéndose así porcentaje de piezas defectuosas.
En tal caso el gráfico recibe el nombre de:
Gráfico tipo 100pEn este ejemplo, si empleamos un gráfico 100p, la tasa media de defectos sería:
Y podemos expresar, en forma más intuitiva que la tasa de defectos es del 0.4051%
𝒑 = 𝟏𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟓𝟏
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1000p
Si la multiplicación por cien sigue arrojando valores muy pequeños y se desea hacerlos más intuitivos, podemos multiplicar por mil. En tal caso podemos nombrar el gráfico como:
Gráfico tipo 1000pEn este ejemplo, si empleamos un gráfico al que llamamos 1000p, la tasa media de defectos sería:
Y podemos expresar, en forma más intuitiva, que la tasa de defectos es de 4.051 defectos por cada mil piezas producidas.
𝒑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟓𝟏 = 𝟒. 𝟎𝟓𝟏
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• Referencias:
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
https://sites.google.com/site/mataspc/home
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata