601 Matematikundervisningens dilemman

Föreläsningen tar sin utgångspunkt i föreläsarens doktorsavhandling i matematikämnets didaktik med titeln: "Matematikundervisningens konkreta gestaltning". I avhandlingen beskrivs vad som händer under ett antal matematiklektioner i skolåren 4 - 9. Avhandlingen ger svar på flera av de frågor som under senaste tiden ställts om tillståndet i svensk matematikundervisning. Den reder också ut orsakerna till de vanligaste inlärningsproblemen. Madeleine Löwing är fil dr i matematikämnets didaktik och är verksam som univesritets-lektor inom lärarutbildningen vid Göteborgs universitet. Föreläsning Alla

Dokumentation Under senare år har en rad utvärderingar såsom TIMSS (Skolverket, 2003) och Pisa (Skolverket, 2003) visat på svenska elevers problem i ämnet matematik. och Pisa (2003). I andra rapporter har man försökt utreda orsakerna till problemen (NCM, 2001; Skolverket, 2003; SOU 2004:97). Detta har i första hand gjorts från ett utifrån-perspektiv. I doktorsavhandlingen Matematikundervisningens konkreta gestaltning (Löwing, 2004) tas istället ett inifrån-perspektiv, varvid ett antal matematiklektioner analyseras utgående från lärarens och eleverna synvinkel. Syfte Lärares möjligheter att nå fram till eleverna med ett individuellt anpassat matematikinnehåll beror i hög grad på hur undervisningen planeras och arrangeras. De arbetsformer, arbetssätt och material som används under lektionerna utgör undervisningen ramar. Ett bra val av ramar kan stödja, och ett mindre bra val av ramar kan spoliera, möjligheterna till en gynnsam kommunikation. Syftet med avhandlingen var att studera hur ett antal lärare kommunicerar ett matematikinnehåll med sina elever och vilka villkor lärandemiljön sätter för denna kommunikation. Kunskaper om detta är i sin tur en förutsättning för att kunna genomföra de förändringar som är nödvändiga för att svensk matematikundervisning skall ge bättre resultat. Teoretisk bakgrund Inom lärarutbildningen har man länge tagit för givet att den som behärskar matematik och pedagogik med automatik skulle bli en bra lärare i matematik. Detta sätts i dag under debatt och ifrågasätts av forskare såsom Ball och Bass (2000)

We assume that the integration required to teach is simple and happens in course of experience. In fact, however, it does not happen easily, and often not happens at all.

För att genomföra den här studien krävdes två olika, varandra kompletterande, teorier. Det behövdes en teori för att analysera betydelsen av undervisningens ramar i relation till undervisningsprocessen och det behövdes en annan teori för att bedöma kvaliteten i det matematikinnehåll som undervisades. Som övergripande teori använde en version av ramfaktorteori som utvecklats av Dahllöf (1967, 1971) och Lundgren (1977) och som anpassats till matematikundervisning av Kilborn (1979). För att bedöma undervisningens kvalitet användes den teoriansats som beskrivs i

Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning (Löwing, 2002). Denna teori beskriver inte matematikämnet som akademisk vetenskap utan hur det går till när skolans elever bygger upp sitt vetande i matematik.

Lärarperspektivet För att kunna tolka denna typ av data krävs en syn på lärarens roll i undervisningen och vilken kompetens som krävs av läraren. Man konstaterar då att läraren är arbetsledare för en grupp individer med olika förutsättningar för att studera matematik. Som lärare har man ansvar för att möta alla dessa elevers behov. Det betyder att:

• Läraren måste kunna ta en annan människas perspektiv. Det räcker inte med att man själv har förstått något. Kan det jag själv förstått förstås på andra sätt? Vilka förkunskaper och erfarenheter behövs för att förstå ett innehåll på dessa olika nivåer och sätt?

• Läraren måste ha ett språk som fungerar, inte bara för att förklara något eller för att lösa ett problem på ett formellt sätt. Språket måste också fungera för att konkretisera eller verklighetsanpassa det som skall förklaras så att eleven via konkretiseringen förstår matematiken.

• Läraren måste oavsett med vilken åldersgrupp elever hon / han arbetar känna till såväl innehållet som didaktiken för undervisning i andra åldersgrupper. Detta för att skapa den kontinuitet som krävs för att eleven skall kunna bygga upp och strukturera sina matema-tikkunskaper.

Metod Studien bygger på klassrumsobservationer i sju klasser i grundskolan. Observationerna inleddes med en intervju om lärarens mål för lektionen och om hur lektionen planerades att vara uppbyggd. Läraren intervjuades också efter lektionen om hur de ansåg att det hade gått och om lektionen fungerat som planerat. I början av de observerade lektionerna tilldelades varje elev en lapp med ett nummer, där de fick skriva sitt namn och vilken uppgift som var den första de löste under lektionen. Mot slutet av lektionen fick de också skriva vilken som var den sista uppgift de löste. Så här såg Linas lapp ut efter lektionen:

24 Namn: Lina Första uppgift: 31 Sista uppgift: 35 b

Det nummer eleverna fick var relaterade till deras platser i klassrummet. Så här såg elevernas placering ut i en klass i skolår 4. F står för flicka, P för pojke. Placeringslista användes under lektionen av observatörerna för att hålla reda på med vem läraren kommunicerade.

P15 P25 P35

F14 F24 -

P13 P23 P33

F12 P22 P32

F11 P21 P31

F44

P43

P42

P41

F53

P52

P15 P25 P35

F14 F24 -

P13 P23 P33

F12 P22 P32

F11 P21 P31

F44

P43

P42

P41

F53

P52

Under lektionen bar läraren en mikrofon genom vilken all kommunikation mellan lärare och elev registrerades. Denna kommunikation transkriberades och analyserades. På det sättet blev det möjligt att kartlägga såväl hur läraren kommunicerade med de olika eleverna som innehållet i denna kommunikation. Lektionerna observerades av två oberoende observatörer, som kontinuerligt noterade med vilka elever läraren kommunicerade och vad som i övrigt hände under lektionerna. Under de flesta matematiklektioner kommunicerar eleverna mer med ett läromedel än med sin lärare. Det betyder att även innehållet i de aktuella läromedlen måste analyseras. Denna analys visade att lärare och läromedelsförfattare ofta hade olika uppfattningar om hur innehållet skulle introduceras och behandlas. Matematikundervisningens dilemman Vid analys av undervisningsprocessen kunde man konstatera ett antal kritiska faktorer i undervisningen. De viktigaste av dessa rör Synen på individualisering och hur den genomförs. De flesta av lärarna i studien upp-fattade individualisering som en fråga om att organisera och gruppera. Få exempel gavs på individualisering i termer av att anpassa undervisningen till olika elevers förkunskaper och förmåga. Lärarnas syn på och kunskaper om undervisningens innehåll. Det saknades en långsiktig syn på undervisningen. Elevernas problem löstes för stunden, inte med tanke på deras framtida behov av kunskaper. När elever hade problem med algoritmer, bråk m.m. valde lärarna att undvika eller gå runt dessa områden istället för att reda ut elevernas problem. Elevernas förkunskaper. Många elever saknade adekvata förkunskaper vilket ledde till att de inte förstod lärarens förklaringar. De hade ofta bristande kunskaper om grunderna för de fyra räknesätten och de fick därför inte något flyt i sitt räknande. Till detta kom att de lärare som studerades hade dåliga kunskaper om elevernas förkunskaper. Detta ledde till att lärare och elever ständigt talade förbi varandra. Skolmatematiken och språket. Endast en av de observerade lärarna använde ett korrekt matematiskt språk och krävde detsamma av eleverna. Övriga lärare användes ett mer eller mindre slarvigt ungdomsspråk, vilket ledde till en rad missförstånd. Deras strävan att göra undervisningen lättare för eleverna ledde till motsatt resultat. Vad dessa lärare inte var medvetna om är att det inte är orden utan begreppen som brukar vålla problem. Och begreppen kan aldrig göra klara om man använder ett otydligt språk. Lärares uppfattning om konkretisering. Under de observerade lektionerna förekom mycket lite konkretisering. De tillfällen när lärarna verkligen ansträngde sig att konkretisera gällde laborationer i geometri. Det visade sig emellertid att laborationerna inte i något fall ledde fram

till den abstraktion som avsågs. När man skulle konkretisera formeln för cirkelområdets area, blandade man dels samman π som ett tal med poängen med laborationen, nämligen att π är en proportionalitetskonstant. Laborationerna var dessutom dåligt planerade och handlade mer om aktivitet (klippa och klistra) än om inlärning. Under de båda laborationerna kom ingen av eleverna fram till något användbart resultat. Undervisningen och dess ramar. Under senare år har det utvecklats en retorik om hur man skall vara som lärare. Vikten av att eleverna arbetar i grupp är en del av denna retorik. Under de lektioner som observerades var eleverna i de flesta fall placerade i grupper. Tanken med detta var att de skulle tala matematik med varandra och hjälpa varandra. Eftersom grupperna var sammansatta av sociala skäl, arbetade eleverna oftast så olika fort att det enda de kunde diskutera var privata spörsmål. I en klass utförde eleverna ett grupparbete varvid läraren förutsatte att eleverna skulle samarbeta och förklara för varandra. I själva verket var det en eller två elever som drev på gruppen för att den skulle bli färdiga före andra grupper. Det fanns därför inget intresse i grupperna av att förklara för de elever som inte förstod och bara försinkade arbetet. När läraren kommunicerade med grupperna blev det inte bättre, Det skedde bara en kollektiv kommunikation utan hänsyn tagen till vem som svarade och vem som förstod.

Sammanfattning Vid analys av de observerade lektionerna blev två saker tydliga.

• De resurser lärarna hade till förfogande var mindre väl utnyttjade. Ramar i form av arbetssätt, arbetsform och material hade ofta valts på ett sådant sätt att de snarare försvårade än underlättade en individualisering av undervisningen.

• Lärarna saknade kunskaper i matematikämnets didaktik. De hade därför problem med att undervisa utgående från olika elevers förkunskaper och förmåga. Alla elever fick i stort sett samma förklaringar. De få försök till konkretisering som gjordes ledde sälla till någon abstraktion alltså till en generaliserbar matematikkunskap.

Förslag till hur man som lärare kan hantera de här problemen och bygga upp en mer effektiv kommunikation ges i boken Matematikundervisningens dilemman, Löwing (2006)

Referenser Ball, D. & Bass, H. (2000). Interweaving Content and Pedagogy in Teaching and Learning t Teach: Knowing and Using Mathematics. In J. Boaler (Ed.), Multiple Perspectives on Mathematics Teaching. (pp. 83-104), Westport: Ablex Publishing. Dahllöf, U. (1967). Skoldifferentiering och undervisningsförlopp. (Göteborg Studies in Educational Sciences 2.) Stockholm: Almqvist & Wiksell. Dahllöf, U. (1971). Ability grouping, content validity and curriculum processs analysis. New York: Columbia University, Teachers College Press. Kilborn, W. (1979). PUMP-projektet. Bakgrund och erfarenheter. (Utbildningsforskning, FOU-rapport 39.) Stockholm: Skolöverstyrelsen. Lundgren, U.P. (1977). Model Analysis of Pedagogical Processes. Lund: Liber/CWK Gleerup Löwing, M. (2002). Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning. Ämneskunskapers relation till individ och omvärld. (IPD-rapport nr 2002:11) Göteborg: Göteborgs universitet. Institutionen för pedagogik och didaktik.

Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. (Göteborg Studies in Educational Sciences 208.) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare hanterar undervi-sningens komplexitet Lund: Studentlitteratur. NCM. Nationellt centrum för matematikutbildning. (2001). Hög tid för matematik. NCM-rapport 2001:1. Göteborg: NCM. Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2003). Pisa 2003 – svenska femtonåringars kunskaper och attityder i ett internationellt perspektiv. Rapport 254. Stockholm: Skolverket Skolverket. (2004). (TIMSS 2003. Svenska elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i skolår 8 i ett nationellt och internationellt perspektiv. Rappport nr 255.) Stockholm: Skolverket SOU2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. Stockholm: Elandrs Gotab AB.

602 Hur kan du utveckla din matematikundervisning ?

Lärare berättar om sina erfarenheter från en kompetensutvecklingskurs som bidragit till förändring och utveckling av deras arbetssätt. Utgångspunkten för diskussionen tas i konkreta undervisningsexempel. Heléne Palm, gymnasielärare i matematik och fysik på komvux i Partille. Medverkade i Matematikbienetten 2005, med ungefär samma innehåll, på Pedagogen, Göteborgs Universitet. Susanne Frisk Jonsson, 4-9 MaNo lärare. Undervisar även på Pedagogen, Göteborgs Universitet. Föreläsning Alla

Dokumentation Vi är två lärare som gick en fortsättningskurs i ämnesdidaktik med inriktning mot matematik ht –03/vt-04.

Under kursens gång fick vi ta del av forskning internationellt och nationellt. Vår kursledare,

Madeleine Löwing, var själv inne i slutfasen av sin egen avhandling. Diskussionerna var

många och givande.

Vi har efter den här kursen utvecklat vår egen undervisning och vill gärna rekommendera andra att gå liknande utbildningar. Vi kommer att ge exempel på vissa moment och tankar som vi utvecklat sen kursen. Några exempel är vikten att se den röda tråden i inlärningen eller med andra ord vikten av att ha kunskap om hur den matematiska kunskapen byggs upp. Om vi hade en större kunskap och medvetenhet om detta tror vi att man skulle kunna bygga upp undervisningen under hela grundskolan och vidare på gymnasiet på ett bättre sätt.Att man även som enskild lärare behöver ha hela perspektivet. Kunskap om mina elevers förkunskaper (eller brist på sådana) samt vart de är på väg. Exempel 1 Vi tänker oss en elev som har problem med ekvationslösningen. Kan det vara så att hon inte har tagit steget från att se = som ”blir” (en operation) till att se det som ”lika med” (ett objekt). Exempel 2 1218

Vilka förkunskaper behöver vi? 12 3

4kr kr= Delningsdivision räcker inte här.

12 34

krkr

= Innehållsdivision behöver vara känd.

Då kan vi förstå 140,5

och sedan

1218

För att sedan kunna klara av

2

4

4

x

x

Vi kommer även att ta upp exempel på hur man kan räkna med bråktal på olika sätt och vilken

förståelse som behövs som förkunskap.

Exempel på förkunskap:

Att förstå att 85 =

81 +

81 +

81 +

81 +

81

Organisationen Det handlar om hur vi organiserar vår undervisning. Flexibiliteten är ett nyckelord idag inom skolan. Ofta känner lärare att de inte räcker till för att möta varje elev på just den nivå den befinner sig på och ge den enskild ledning vidare. Kursen i matematik didaktik har hjälpt oss att se att vi har ramar. Vi har ekonomiska ramar, tidsramar och fysiska ramar i form av klassrummets storlek mm. Dessa är vad man kan kalla fasta ramar (eller givna ramar) som man ofta inte kan ändra under terminens gång. Sedan har vi mer rörliga ramar (eller valda ramar) som man kan välja för undervisningen. Ska vi arbeta i grupp, ska var och en arbeta i sin egen takt utifrån

hur långt man har hunnit (hastighets individualisering), ska man ha en gemensam genomgång i helklass eller kanske i grupp mm? Att vi har ramar kan man inte göra något åt. Men det man kan är att försöka välja rörliga ramar som stöder målet med kursavsnittet/lektionen så bra som möjligt för så många som möjligt. Att tänka på om ramarna samverkar eller motverkar varandra.

603 The reform of the Danish gymnasium and a new mathematics curriculum

In the summer of 2005 a new reform started in the Danish gymnasium. It is the greatest change in 100 years because of the many new principles for teaching, learning and organisation that has been announced. Mathematics is still a heavy subject, and the curriculum has been reformulated in terms of competences and with special emphasise on use of ICT. Nils Fruensgaard (nils.fruensgaard@skolekom.dk) is a mathematics teacher at Vestre Borgerdyd Gymnasium in Copenhagen, Denmark and in the period 2000-2005 the chairman of Matematiklærerforeningen. Föreläsning Gy Dokumentation In Denmark the first classes in the gymnasium started a new curriculum in the summer 2005. In the preceding four years there has been work going on to shape the new structure. Many different groups have tried to influence the process and final structure, but in the end a small group in the government has made the decisions. This has the disadvantage that already one half year old the law is subject to much pressure from both politicians and groups within the system. In recent years there has been a focus on the importance of mathematics teaching in the gymnasium. So the subject is in a strong position in the upper secondary school with many lessons and a relative big deal of written homework. The structure of the Danish educational system can be seen on the following http-pages: The Danish Ministry of Education (Danish text): http://www.uvm.dk/ The Danish Ministry of Education (English text): http://eng.uvm.dk/ Fact sheets for the Gymnasium: http://eng.uvm.dk/factsheets/secondary.htm?menuid=2515 Archive of problems for the national written examinations: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/?menuid=150560 Guidance for all the subjects in the new curriculum (Danish text): http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervisgym.htm?menuid=150565 The home-page of the Danish Mathematics Teachers Association (gymnasium): http://www.mat.dk

604 Små barns upplevelser av tal

Sortering och klassificering är en viktig grund för utveckling av olika begrepp i matematik. Barn strukturerar sin begreppsvärld genom att jämföra föremåls egenskaper, genom att jämföra, undersöka och benämna antal. De utvecklar känsla för tal genom att använda räkneramsan eller i en blink uppfatta antal. De undersöker hur grupper av föremål kan delas upp på olika sätt. - Sortering och gruppering - Se antal eller räkna? - Räkneramsan Margareta Forsbäck är lärarutbildare och handledare i Pilotprojektet vid Nationellt Centrum för Matematikutildning, NCM. Föreläsning Fö Dokumentation Föreläsningen ingår i en serie om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM.s redovisning av Pilotprojektet för förskolan (se referenser nedan) Sortering och klassificering är grunden för matematik. I Pilotprojektet användes ett kurstillfälle enbart till att arbeta med detta. Både vuxna och barn i alla åldrar sorterar ofta utan att bli uppmanande till det om det finns flera föremål som på något sätt kan kategoriseras. Denna lust att gruppera och kategorisera hjälper barnen att få struktur på sin vardag och de kan ha nytta av denna kunskap även senare i sin utveckling av matematikkunskaper. Under några kursträffar arbetade lärarna med taluppfattning på lika sätt, både med sin egen kunskap och med aktiviteter som de kunde göra med barnen. För att hjälpa lärarna att synliggöra barnens kunnande och tänkande i de grundläggande taluppfattningsaspekterna fick de vid ett tillfälle en sammanställning av uppgifter att göra med barnen (Doverborg och Sterner 2003) Här fanns flera olika uppgifter och meningen var att de skulle kunna göras vid olika tillfällen när barnen var motiverade och intresserade och när det fanns tid för lärarna att sitta i lugn och ro med ett barn i taget. Sådana tillfällen är inte så vanliga i de stora barngrupper som nu förekommer på förskolorna, så en del av lärarna har intervjuat barnen i grupp. Illustrera antal Här gör barnen på flera olika sätt. En del barn räknar antalet föremål som läraren tagit fram från vänster och andra från höger. Sedan ritar de så många föremål som de har fått ibland genom att rita runt ett i taget och sedan flytta det på pappret och ibland genom att räkna hur många det var och rita så många på en gång. Något barn ritar streck istället för föremål och något barn skriver antalet med siffror.

Räkneramsan Barnen kan räkna olika långt. Det är vanligt att de tappar bort sig vid 29 och fortsätter med tjugotio, men en del barn vill inte räkna längre än till tio. Frågorna om vilket tal som kommer

efter fem, tre osv är lite svårare men ganska många femåringar klarar det. Vilket tal som kommer före är ännu svårare och många barn svarar det tal som kommer efter här också.

Förståelse för uppräknandets princip De flesta barnen klarar av att räkna det antal föremål som läraren har lagt fram och att peka på ett i taget samtidigt som de säger räkneorden. Barnen börjar ibland från höger och ibland från vänster.

Kardinalpincipen De barn som inte har kommit så långt i sin taluppfattning räknar antalet föremål och svarar på frågan om hur många det var med att rabbla upp alla räkneorden en gång till. Men de flesta fyra och femåringarna svarar direkt med det antal de har räknat

Ordningstal Här är barnen mera ojämna i sina kunskaper. Många femåringar kan ordningstalen men den fjärde ställer ofta till med problem liksom den sjätte. En del barn kan inte alls ordningstalen. Barn som är vana att använda ordningstalen i sitt vardagliga språk, kan uttrycka sig tydligare med hjälp av dessa. Helhet – del - del Det är viktigt att inte ta för stort antal att dela upp. Femåringarna klarar för det mesta alla varianter av att dela upp fem, men sedan blir det för många. Det visar väl att barnen bör få förankra den kunskap de har förvärvat och bli trygga i den innan de går vidare. Fem förefaller vara ett ”magiskt” tal när det gäller att föreställa sig hur talet kan delas upp om man bara får se ena delen. Det är lättare om man gömmer ett eller två föremål och svårare om man gömmer flera. Att skynda långsamt är en bra utgångspunkt när man utökar antalet föremål som ska delas upp. Nio stycken kan vara svårt för åtta-nio-åringar och lämpar sig kanske bara som extra utmaning för de barn som redan har kommit långt i sin matematikutveckling.

De här uppgifterna har av lärarna upplevts som meningsfulla även för barnen. Det kan bero på att det är lättare att närma sig matematiken från det håll som är naturligt för vuxna, när det är vuxna som introducerar aktiviteten. Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red). 2006. Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg:NCM Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red). 2006. Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA). Under tryckning. Göteborg:NCM

605 Matematik med möjligheter

Utgångspunkten för föreläsningen är att ge exempel på situationsbundet lärande i matematik för elever i de tidigare skolåren är. Laborationerna som visas lyfter fram såväl innehåll som arbetssätt i begreppsbildningen där elevers tänkande stärks och deras uttryck i matematik hörs. Eva-Stina Källgården, gymnasielärare, lärarutbildare och läromedelsförfattare. Hon undervisar i matematik och matematikdidaktik dels inom grundutbildningens alla stadier och dels inom kompetensutveckling för lärare med arbete för åren F-12. Att utveckla innehåll och arbetssätt i klassrummet, så att nyfikenhet för matematik för fler lärare och fler elever ökar är ett mål. Föreläsning Fö Gt Dokumentation ”Den grundläggande undervisningen i räkning som barnet får under sitt första skolår, är av större betydelse för dess blivande räknefärdighet än den undervisning i detta ämne som det får i någon av de följande klasserna.” Citatet är hämtat från förordet till ”Lärobok i räkning för barndomsskolans 1:a årsklass”, utgiven av Erik Ehlin, som under första hälften av 1900talet verkade för en förståelseinriktad matematikundervisning i skolan. Många lärare vill i dagens skola arbeta så att barnets egna tankar i matematik får ligga till grund för dess fortsatta utveckling i ämnet. Förutsättningen för detta arbetssätt skall bära frukt är att läraren styr undervisningen så att elev och matematik möts. Från att arbeta i en konkret situation till att fånga ett abstrakt tänkande i ett begrepp är en lång väg, men via en laboration kan ett litet steg mot generalisering nås om eleven får ställa egna frågor och läraren lyssnar. Språket är ett hjälpmedel för att utveckla tanken och uttrycka den. Föreläsningen visar exempel på olika miljöer där matematiken är i fokus. Tala, lyssna, skriva och läsa ingår i arbetet där tänkandet och begreppsbilder i matematik växer fram. Från första dagen i skolan ingår alla fyra räknesätten naturligt i arbetet för att lära mycket om tal och räkning mot matematik. Att se talen, att räkna upp talen, skilja mellan antal och värde, räkna och känna igen ”10-kamraterna” för att bli snabb i huvudräkning ges exempel på genom bl.a. olika spel, lekar och mätningar.

En lärare, som själv tänker i matematik, är en god förebild för

eleven som lär sig tänka i matematik.

606 Tankeverkstad i år 3-5

Många föräldrar och andra vuxna talar om för barn redan i förskoleåldern att matematik är svårt och mest går ut på att räkna + och - . Därför har vi skapat ett ämne istället för matematik som vi kallar Tankeverkstad.

När vi arbetar med Tankeverkstad i år 3-5 består undervisningen till största delen av problemlösning i grupp där vi fokuserar på problemlösningsprocessen inte på produkten. Problemen är öppna, vardagsnära och ibland på riktigt. Vi använder inte matematikböcker utan bygger undervisningen på dialog mellan elever, meningsfullhet, reflektion och förståelse där kursplan och läroplan styr arbetet.

Maria Asplund arbetar med matematik i år 2 och 5 på Folkparksskolan i Norrköping och är också aktiv som föreläsare. Föreläsning Gt

Dokumentation Sedan några år tillbaka har vi på Folkparksskolan i Norrköping arbetat intensivt med att utveckla matematikundervisningen för eleverna i år F-5. Under de senaste åren har vi genomfört ett flertal grundläggande förändringar i undervisningen. Vi är fortfarande idag 2005 i en utvecklingsfas men tycker att vi kommit en bra bit på väg. Grundtankar i vår matematikundervisning Vår förändrade matematikundervisning vilar på följande grundtankar: Alla barn lär bäst i samspel med andra barn och i samspel med vuxna. Matematiken skall

därför bygga på kommunikation mellan barn istället för individuellt arbete. Eleverna skall inte uppleva att de lär sig för vår skull, utan för sin egen. Därför skall vi

försöka att skapa behov hos dem att vilja lära sig nya saker. Matematiken på Folkparksskolan skall vara meningsfull och inspirerande för eleverna. Vi

försöker att välja uppgifter som berör. Alla elever skall behålla lusten att lära matematik och behålla sin kreativitet. För att lyckas

med detta behovsgrupperar vi eleverna för att kunna inspirera dem utifrån deras egna behov.

Arbetet bedrivs utifrån öppna frågor där det finns flera vägar till en lösning. Det gör vi för att alla elever skall kunna lyckas. Vi skall fokusera på vägen till svaret (processen) istället för på svaret (produkten).

Genom att använda så vardagsnära problem som möjligt och integrera matematiken i andra ämnen skall vi visa eleverna var matematiken finns i vår vardag.

Eleverna skall få en matematisk förståelse istället för mekanisk kunskap genom att vi inte inför abstrakta symboler för tidigt i år 1 och 2 och att vi vidare fokuserar på problemlösning istället för enskild mekanisk räkning samt att vi medvetet arbetar med det matematiska språket på olika sätt redan i förskoleklassen.

Istället för läroböcker är det kursplan och läroplan som styr vårt arbete.

Problemlösning i grupp Vår matematikundervisning baseras på problemlösning. Vi har en särskild utvecklingsplan för problemlösningsarbetet som sträcker sig från förskoleklass till år 5. I förskoleklassen skall barnen våga prova olika sätt att hitta lösningar på problem. Arbetet sker individuellt, men alla barn skall redovisa för en vuxen hur de tänkt. I år 5 skall man kunna lösa ett problem i grupp om 3-4 elever, där varje elev har en egen uppgift såsom sekreterare, tidshållare, fokushållare och språkrör. Eleverna skall kunna argumentera för sin lösning i gruppen. Att vara språkrör innebär att man är den som för gruppens talan. Språkröret är också den som för information mellan gruppen och läraren. När man är språkrör måste man alltså kunna: Förstå vad det är gruppen inte förstår, gå och fråga läraren och sedan kunna förklara för gruppen vad läraren sa, ordentligt förstå gruppens lösning så att han/hon kan framföra den för helgrupp. När man är sekreterare är man den som för gruppens anteckningar Tidshållaren ser till att tiden man fått för en uppgift (kan variera mycket mellan minuter och veckor) hålls. Fokushållaren är den som ser till att man pratar om det man ska och för tillbaka gruppen till ämnet om man tappar tråden. Arbetsgrupperna är grunden för elevernas lärande i matematik. Det är därför mycket viktigt att de är sammansatta för att fungera bra. Vi lägger ned mycket tid på att hitta arbetsgrupper där eleverna fungerar tillsammans socialt och kunskapsmässigt och där de även känner sig trygga. Vi upplever att elever som befinner sig på ungefär samma kunskapsmässiga nivå lär sig bäst av varandra. När nivåskillnaden är för stor har vi erfarit att den ena eleven ofta tar över och styr arbetet medan den andra eleven passivt följer med. Det är också viktigt med trygghet i paret eller gruppen för att det skall bli ett bra arbete, så därför arbetar samma elever tillsammans under en längre tid.

Öppna frågor Vi vill att eleverna skall ta ansvar för sitt lärande och ha möjlighet att påverka förutsättningarna. Därför arbetar vi största delen av tiden med öppna frågor. Det är viktigt att alla elever skall kunna lyckas och få känna att de kan. Då vi arbetar med öppna frågor kan alla lyckas och de som behöver utmaningar kan även få detta. Det är ett sätt att individualisera. Att alla arbetar med samma problem är en förutsättning för att kunna få ett bra mattesamtal där alla är involverade. Vi arbetar med samma problem under minst en timme. De som har hittat en lösning och kan förklara hur de tänkt arbetar vidare med följdfrågor till problemet. Då har vi som lärare också möjlighet att ge olika typer av följdfrågor beroende på vilka elever det är. En del kan arbeta vidare med att hitta andra lösningar på grundproblemet, medan andra kan få utmaningar av varierande slag, men de är hela tiden kopplade till problemet. Efteråt får eleverna presentera sina lösningar och då är de andra eleverna intresserade eftersom de också är involverade i samma problem. Här är det lärarens uppgift att synliggöra olikheterna i lösningarna och få eleverna att reflektera över detta. Utifrån problemet kan vi sedan arbeta vidare med den matematik som eleverna fått behov av då de löste problemet.

Uppdrag och större problemområden Uppdrag är verkliga problem som eleverna får lösa och sedan också genomföra. När vi arbetar med uppdrag får eleverna upptäcka den matematik som finns i vår vardag. Förutom de matematiska begrepp som problemet är tänkt att öva och upptäcka får eleverna samtidigt arbeta med att resonera, jämföra, planera och komma överens i gruppen.

När eleverna fått problemet presenterat för sig får de sitta i mindre grupper och diskutera sig fram till vad de behöver veta för att kunna lösa problemet. Den vuxne tillhandahåller sedan den information gruppen ber om att få för att kunna lösa uppdraget. Eleverna ringer även själva till olika personer eller söker på internet för att få den information de behöver. Ett exempel kan vara att planera en utflyktsdag eller vår årliga löpartävling Folkparksloppet.

Vi arbetar också med större fiktiva problem som sträcker sig över en längre period ca. 2-3 veckor. Vi hinner med 2-3 problem av den här typen varje termin. Dessa problem är till skillnad från uppdragen inte sådant vi genomför på riktigt utan i fantasin. De skall vara så verklighetsnära som möjligt. Eleverna dokumenterar sedan sitt arbete enskilt och samlar det i en fin bok. Dokumentationen är till för elevernas egen reflektion över sitt lärande och för att synliggjöra för föräldrar och andra vad det är vi arbetar med. Några problem vi arbetat med:

• Hur mycket kostar det att hålla på med en fritidsaktivitet? • Ditt rum är tomt, du får välja möbler för 10000 kr. Vad väljer du? Får det plats i ditt

rum? • Mobiltelefonabonnemang, vad kostar det?

.Att utveckla olika strategier Det finns inget sätt att tänka på som är fel. Det är viktigt att eleverna får känna att det de gör duger och är bra. Men det är ju också så att det finns sätt som är mer eller mindre effektiva och sätt som inte fungerar i alla situationer. Därför måste eleverna få möjlighet att utveckla sina tankestrategier. Eleverna är mer intresserade av att förstå hur kompisarna tänker än att förstå ett sätt som läraren tycker att de skall förstå. Därför får de ofta berätta hur de tänkt då de löst olika uppgifter och vi skriver ner de olika sätten på tavlan. Sedan väljer vi ut en av elevernas strategier ,t.ex. Filips, och låter sedan de andra försöka lösa en annan uppgift på Filips sätt. Eleverna måste då försöka förstå hur han tänker. En del elever tycker att hans sätt är krångligt och förstår det inte ordentligt utan går tillbaka till sitt sätt att tänka, medan några upptäcker att Filips sätt är enklare och fortsättningsvis använder det sättet. När eleverna är lite äldre gör vi detta arbete i grupp. De får en uppgift att lösa först individuellt. Sedan får de i gruppen (3-4 barn) berätta hur de tänkt. Har de fått olika svar så blir det först en spännande uppgift att hitta var i tankegången som det blivit tokigt. Sedan får gruppen komma överens om ett sätt som de vill berätta för de andra om.

Avslutning Vårt utvecklingsarbete har lett till i en rad förändringar i undervisningen. Undervisningen har gått från att mest ha innehållit räkning till att nu baseras på problemlösning. Förut var undervisningen tyst, medan den nu är den byggd på kommunikation. Från att ha varit styrd med rätta svar och väldigt få valmöjligheter har den utvecklats till att innehålla många öppna frågor med valmöjligheter. Tidigare var undervisningen inte verklighetsanknuten, vilket den är nu. Tidigare lärde sig eleverna mycket utantill. Nu har de istället en förståelse. Förut var produkten viktig, medan vi nu koncentrerar oss på processen istället. Det är vår övertygelse att dessa förändringar kommer att leda till ett ökat intresse och en ökad förståelse för matematik hos eleverna, vilket gör dem bättre rustade för sin fortsatta utveckling inom matematiken.

608 A-kursen på de yrkesförberedande programmen Problem och möjligheter

Är det möjligt för oss lärare att utveckla matematikundervisningen på de yrkesförberedande programmen enligt styrdokuments ambitioner och - ta ett helhetsperspektiv på de delar som bildar elevens utbildning ( praktik, kärnämnes- och matematikundervisning) - lägga upp en kursöverskridande undervisning i samverkan med en strukturerad progression som utgår från den nivå där eleven är och som ur ett didaktiskt perspektiv stödja eleven att skaffa nödvändiga kunskaper - ge eleverna redskap som de känner trygghet med, som kan stödja dem att t.ex förstå olika samband och vara ett verktyg för att vidga sina kunskap i ett livslångt lärande? Leif Maerker är lärare på Bräckegymnasiet i Göteborg och har en bakgrund som lärare på skolan alla stadier, rektor och lärarutbildare. Han är Gudrun Malmer-stipendiat och har varit projektledare för KAM-projektet (Karaktärsämnets matematik, ett 5-årigt forskningsbaserat utvecklingsprojekt). Han har varit läromedelsförfattare, expert på Skolverket och är debattör, kompetensutvecklare som spridit sina tankar såväl nationellt som internationellt. Han är även engagerad i utvecklandet av kursplanearbetet i matematik på gymnasiet. Föreläsning Gy

609 Prov, bedömning och examination med Lisebergsanknytning

Inom lärarutbildningen i matematik vid Göteborgs universitet har studenterna under 2004 och 2005 som en del av examinationen fått arbeta med konstruktion av provuppgifter i anslutning till Liseberg. Studenterna har själva fått uppleva att konstruktion av provuppgifter och bedömningsmallar ofta kräver en fördjupad matematik. Vi analyserar tillsammans på några olika exempel på uppgifter och kunskapskvaliteter. En väl upplagd examination bidrar till lärande. Provuppgifter kan stimulera fantasin, visa matematik i nya sammanhang, utveckla elevers förmåga att använda matematik för att beskriva olika situationer och ge utrymme för kreativitet. Inom lärarutbildningen i matematik vid Göteborgs universitet har studenterna under 2004 och 2005 som en del av examinationen fått arbeta med konstruktion av provuppgifter i anslutning till Liseberg. Till sin hjälp har studenterna, förutom WWW-material kring Liseberg, haft tillgång till uppgifter och bedömningsmallar som använts i nationella prov. Studenterna har själva upplevt att konstruktion av provuppgifter och bedömningsmallar ofta kräver en fördjupad matematisk förståelse och att själva uppgiftsformuleringen ibland kan kräva användning av mer avancerad matematik. Analysen av deras uppgiftsförslag tydliggör många olika slag av kvalitéer i studenternas kunskap och förmågor. Lisbeth Lindberg, IPD, Göteborgs universitet, Box 300, 405 30 Göteborg, Lisbeth.Lindberg@ped.gu.se Ann-Marie Pendrill, Fysik, Göteborgs universitet, 412 96 Göteborg, Ann-Marie.Pendrill@fy.chalmers.se Föreläsning Gr Lärutb Dokumentation 1. Inledning Den rena matematiken behöver inga tillämpningar. Matematikens abstraktioner har styrkan att samma beskrivning kan användas i många olika sammanhang. För den som lär sig ett begrepp kan det ofta leda till en fördjupad förståelse att uppleva samma innehåll i många olika kontexter (Marton och Booth, 1997). Förmågan att använda en matematisk beskrivning på en realistisk situation följer dock inte automatiskt genom matematikkunskaper, utan behöver aktivt tränas. Även användningen av matematik är ett viktigt mål för skolans matematikundervisning. Styrdokumenten förutsätter t.ex. att eleven utvecklar förmågan att "använda matematik i olika situationer" (Skolverket, 1994). Examinationsuppgifterna inom matematikkurser är dock ofta helt kontextfria. Som ett inslag i lärarutbildningen med syfte att träna studenterna i att utveckla och bedöma dessa förmågor har vi under 2004 och 2005 utvecklat inslag i matematikkursen där studenterna fått i uppgift att konstruera matematikproblem med Lisebergsanknytning. Problemen har sedan diskuterats, dels med lärare på skolorna i samband med studenternas verksamhetsförlagda utbildning (VFU) i matematik, dels med universitetets lärare. Som stöd i uppgiftskonstruktionen har studenterna dels haft tillgång till några uppgifter och WWW-material kring Lisebergs attraktioner (Slagkraft, 2005), men också till uppgifter från nationella prov. Studenterna har också fått presentera lösningsförslag, utveckla bedömningsmallar och prova uppgifterna på elever i samband med sin VFU och i samband med detta arbete haft tillgång till exempel på bedömningsmallar som använts vid nationella prov.

2. Uppgiftskonstruktion Liseberg är fullt av matematikexempel av de flesta svårighetsgrader. Att konstruera uppgifter kräver en av analys kursplanemålen för olika skolår och en reflektion över om uppgifterna lämpar sig bäst för gruppdiskussioner eller enskild skriftlig lösning. Många studenter noterade att den autentiska karaktären hos de uppgifter de konstruerat utgjorde en extra stimulans för eleverna. Samtidigt fann vi att flera av studenterna använde data som var helt orimliga. En av studenterna angav avsiktligt en stolsbredd på 150 cm, för att se om någon i klassen skulle reagera, vilket bara en elev gjorde. En rimlig slutsats är att studenter, liksom elever och ofta lärare, är alltför vana vid problem där det enda intresset av resultatet är att jämföra med facit. Utanför klassrummet är förmågan att avgöra rimlighet hos resultat och information naturligtvis mycket väsentlig och ibland livsviktig. Många studenter upptäckte att problemformuleringen i sig själv ofta kräver mer arbete och kunskap än själva lösningen. Situationen man vill studera kan behöva läggas tillrätta och det givna problemet måste kunna lösas. I vissa fall avstod studenter från uppslag till uppgifter när problemformuleringen verkade resa oöverstigliga hinder. I många fall blev uppgifterna relativt triviala. Svårigheten i att konstruera problem illustreras också av att många studenter fick kommentarer från sina handledare, som berättade att de aldrig själva gör provuppgifter utan istället förlitar sig på läroboksförfattaren.

3. Matematikuppgifter med Lisebergsanknytning Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket, 1994)

Trianglar, kvadrater, cirklar, vinklar, vektorer, sannolikheter och derivator, parabler, kedjekurvor, splines och klothoider. Matematik finns i många former på ett nöjesfält. Vilken matematik har studenterna valt i sina exempel? Mer än 85% av uppgifterna kan hänföras till fem kategorier: Nästan en fjärdedel av uppgifterna behandlade medelhastighet eller tillryggalagd sträcka under en eller flera turer med en attraktion. Ungefär 20% var relaterade till förväntad kötid eller kapaciteten för någon attraktion - vilket naturligtvis är något besökaren ofta undrar över. Andra populära problemtyper avsåg jämförelser mellan olika typer av biljetter och årskort, geometriska frågor, såsom omkrets eller yta hos cirklar, trianglar eller kvadrater, och slutligen, sannolikheten att vinna på lyckohjul med olika strategier. Några av studenternas uppgifter visade betydande kreativitet. Ibland hade uppgifter de fått i samband med inledningen till projektet anpassats till lokala förhållanden, t.ex. hur många turer man behöver åka med Balder för att färdas lika långt som bussen kört från skolan för att komma till Liseberg, eller hur många varv Pariserhjulet skulle behöva rulla för att komma till skolan. En student formulerade ett öppet problem avsett för gruppdiskussioner kring hur många personer som kan förväntas bära runt toppvinster från t.ex. chokladhjulet och om det är rimligt i förhållande till hur många personer man möter. Den fråga som skulle besvaras var om det kunde finnas anledning att misstänka att parken skulle låta statister gå runt med vinster för att locka besökare till spel. En uppgift som undveks, men som kan innehålla mycket matematik är att studera en rörelse som åstadkoms genom två motriktade rörelser, som t.ex. i den klassiska turen "Kaffekoppen". Om studenterna undvek denna matematik eller om de anpassade uppgifterna till de årskurser som uppgifterna konstruerades för är intressant att ytterligare följa upp. Studenterna undvek i stor utsträckning uppgifter som innehöll frågor kring acceleration. Detta motiverades ibland med att de ville vara säkra på att uppgifterna var inom matematik och inte fysik. Beskrivningen av acceleration som andraderivatan av läget kan naturligtvis inbjuda till matematisk behandling och accelerometerdata kan användas som introduktion till numerisk

integration. Ett par studenter tog sig an utmaningen med att arbeta med denna typ av uppgifter tillsammans intresserade gymnasister.

4. Kvalitéer i studenters kunskap och lärande Även om utgångspunkten för matematiker och matematikdidaktiker är olika finns det en enighet på många punkter om önskvärda kvalitéer i studenters matematikkunskaper. Skillnader finns snarare i synen på hur man bäst skall nå fram till dem. Brister i nya studenters allmänna räknefärdigheter, inklusive förmåga att omvandla uttryck och förtrogenhet med t.ex. funktioner och geometriska begrepp är kända från många undersökningar. För blivande lärare blir också några andra typer av kvaliteer extra viktiga, t.ex.

Förmåga att identifiera relevant matematik i en viss situation och att kunna se hur ett visst matematikbegrepp kan användas i många olika situationer.

Bedömning av kvalitéer i elevers lösningar och en förmåga att se vilka svårigheter och färdigheter eleverna har.

I samband med studenternas konstruktion av provuppgifter blev det tydligt för dem att de inte riktigt visste vad elever i olika åldrar kan. Detta fungerade både som en uppmaning för dem att studera styrdokumenten och att närmare reflektera över och undersöka elevers kunskapsnivå i samband med VFU. I samband med detta arbete såg vi tydligare behovet av inslag som bidrar till utveckling av:

Kännedom om och förmåga att tolka skolans styrdokument. Kreativitet Tillräcklig förtrogenhet med universitetsmatematik för att kunna se kopplingar även

för (åtminstone delar av) denna Förmåga att kunna se relevansen för de kurser studenterna själva läser i

lärarutbildningen i anslutning till skolans kursplaner Förtrogenhet med elektroniska hjälpmedel

Många studenter upplevde att eleverna inspirerades av uppgifterna och i många, men inte alla, fall lyckades bättre än klassens ordinarie lärare förväntat sig. En av studenterna uttryckte erfarenheterna av detta projekt som att "Det är första gången under utbildningen som jag känner att jag närmar mig mitt framtida yrke som lärare."

5. Diskussion Bakom de nationella provuppgifterna ligger ett omfattande utvecklingsarbete. Detta arbete är ofta okänt bland högskolans lärare i matematik och naturvetenskap. En naturlig vidareutveckling av detta projekt är att även i anslutning till studenternas ämneskurser i matematik och naturvetenskap diskutera en variation av examinationsuppgifter, vilka olika kriterier som används vid bedömningen och vilka kunskapskvaliteer som testas. Detta arbete har fått stöd av Rådet för Högre Utbildning inom ramen för projektet "Lisebergsmatematik som VFU-inslag i lärarutbildningen".

Referenser Marton, F and Booth, S (1997) Learning and Awareness, Erlbaum Slagkraft (2005), Matematik och Naturvetenskap på Liseberg

http://fy.chalmers.se/LISEBERG/ Skolverket (1994), Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, Lpo94,

http://www.skolverket.se/pdf/lpo.pdf

610 Att lösa ekvationssystem på dator

Det finns en enkel algoritm för att lösa system av polynomekvationer i fler variabler. (Egentligen reducerar man problemet till att lösa polynomekvationer i en variabel.) Med utvecklingen av datorer har denna algoritm blivit praktiskt användbar, och den finns implementerad i t.ex. systemen Mathematica och Maple. Jag kommer med exempel visa hur algoritmen fungerar. Ralf Fröberg, professor i matematik vid Stockholms universitet. Föreläsning Gs Gy Vux Högsk Lärutb Dokumentation Ekvationssystemet x³+x²y-xy-y²=0 xy-x-y+1=0 x²-y²=0 är ett exempel på ett algebraiskt ekvationssystem, d.v.s. ekvationerna består av polynom i flera variabler. Det finns många tillämpningsområden som alstrar problem där man behöver lösa algebraiska ekvationssystem, t.ex. Inom kemi, fysik, farmakologi och robotics. Det är förstås i allmänhet hopplöst att lösa sådana system för hand. Det finns numeriska metoder, men de är ofta instabila, och det är inte lätt att avgöra om man hittat alla lösningar. Jag ska beskriva en algoritm som i princip är lätt att implementera på dator, och som hjälper till att lösa sådana ekvationssystem. Om systemet har ändligt många lösningar, vilket är det mest intressana för tillämpningar, får man alltid fram en ekvation i EN variabel. Alla sådana ekvationer kan förstås inte lösas exakt, men metoden ger även i besvärliga fall ett system som är lättare att hantera numeriskt. Den matematik som behövs är elementär, och metoden kunde säkert ha utvecklats för 80 år sedan, men den blev intressant först på 1960-talet, då datorerna blivit tillräckligt kraftfulla för att lösa realistiska problem. Algoritmen utvecklades av österrikaren Bruno Buchberger, och han kallade det resulterande ekvationssystemet en Gröbnerbas för att hedra sin handledare Wolfgang Gröbner, som föreslog problemet. Om algoritmen tillämpas på ett system av linjära ekvationer, ger den det vanliga sättet att lösa sådana system med Gausselimination. Om den tillämpas på system av ekvationer i en variabel, ger den Euklides algoritm för att beräkna största gemensamma delare av ett antal polynom. Algoritmen finns nu implementerad i t.ex. matematikprogrammen Mathematica och Maple, och i åtskilliga mer specialiserade system. Att lösa ekvationssystem är bara en av fler tillämpningar av metoden.

611 Matematik och dagstidningar

Med hjälp av redaktionellt material och annonser konkretiseras matematikundervisningen. Underlag för diskussioner kring lösningar och lösningsstrategier. Viktig bas för samverkan och ämnesintegration. Mats Hemberg, konsulent för Tidningen i Skolan i Göteborg. Arbetat som lärare i 18 år och som lärarutbildare i 6 år. Ronnie Ryding, redaktör för tidskriften Nämnaren, NCM. Föreläsning Gr Gy Lärutb Dokumentation Grundskolan har till uppgift att ge eleverna sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att tolka och använda det ökande flödet av information och för att följa och delta i beslutsprocesser i samhället. (SKOLFS 1994:3)

Matematik i vardagen Vi är dagligen kreativa med räkne- och problemlösningsstrategier för att tolka och värdera information och för att aktivt vara delaktiga i beslutsprocesser, både i privata frågor och offentliga ärenden. Ett kritiskt förhållningssätt förutsätter bl. a matematiska kunskaper.

När eleverna i skolan arbetar med aktuella händelser i tidningar kan de träna på:

• att förstå matematiska ord och begrepp • att tolka och kritiskt granska sifferuppgifter • att formulera intressanta och relevanta problem • att finna lämpliga beräknings- och skattningsmetoder • att pröva olika problemlösningsmetoder • att fundera över rimligheten i beräknade resultat och bedöma given information. • att analysera det ”matematiska” svaret mot artikelns/textens innehåll. Hur ska informationen värderas? Vilket beslut bör tas? Finns det andra faktorer att ta hänsyn till? Finns andra källor att kontrollera mot? Aktuella frågor bearbetas med matematiken som arbetsredskap. Beräkningarna kontrolleras genom att resultatet prövas mot vardagen.

Genom att låta eleverna fundera över följande frågor knyts skolmatematiken till verkligheten

• Vilken matematik ser du i tidningsbilden/artikeln? • Vilken matematik använder personerna på bilden/i artikeln? • Vilken matematik har journalisten använt för att kunna färdigställa artikeln? • Vilka matematiska kunskaper behöver medborgaren?

• Vilken matematik finns i samhället?

Nyhetsbevakning Massmedier utgör en huvudsaklig källa ur vilken vi hämtar den information som påverkar våra attityder och handlingar. Medborgarkunskap är förmågan att välja, värdera och förstå samt att kritiskt kunna hantera den störtflod av nyheter, rapporter, propaganda, värderingar och åsikter som sköljer över oss. De händelser som hamnar på nyhetsplats i tidningen är oftast de som fokuserar det oväntade och det avvikande.

Omvärlden problematiseras. Många frågor pockar på svar: Hur gick det till? När hände det? Varför har det skett? Vilka konsekvenser får det? Nyhetsbevakning i skolan innebär att kontinuerligt läsa tidningen och välja ut nyheter för bearbetning i klassen. För maximal motivation och förståelse bör eleverna stå för urvalet.

Vid redovisningen bör frågor om bakgrund, samband, orsaker och konsekvenser behandlas varigenom nyheten placeras i ett större sammanhang.

• Vad har hänt? Eleverna beskriver ett förlopp. • Varför har det hänt? Eleverna identifierar relevanta faktorer. • Vilka blir följderna? Eleverna skattar och beräknar konsekvenser. • Hur kan vi förhålla oss? Eleverna inventerar lösningsstrategier.

Att formulera och lösa problem

Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna hantera situationer och lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund i fortsatt utbildning.

Uppnåendemål efter nionde skolåret, Lpo94

Tidningsmaterial gynnar ett arbetssätt där eleverna i, för dem, meningsfulla sammanhang får diskutera, analysera samt formulera och lösa problem. Fakta och händelser som presenteras i tidningarna ger upphov till frågor. En viktig uppgift för läraren är att inspirera eleverna att formulera problem utifrån frågor som en artikel väckt och att uppmuntra dem att lösa dessa problem. När lösningarna presenteras blir diskussionerna ofta kreativa.

Analys och värdering av tidningstexter Journalisten använder sig av matematik i sitt arbete. En statistisk presentation kan t ex avslöja ett missförhållande som är värt en nyhetsartikel. Orimliga ekvationer väcker reporterns grävande instinkter. Som läsare måste jag vara med på noterna. Det är inte alltid som sifferunderlaget låter sig verbaliseras helt och hållet. Tänk om journalisten räknat fel eller blandat ihop begreppen? Räcker mina kunskaper till för att avslöja det? I undervisningen kan vi låta eleverna fundera över fakta som uppenbaras i spalterna.

T ex:

• Vem/vilka/vad ligger bakom? • Vad får det för följder? • Vem/vilka drabbas? • Vem/vilka drar fördel av händelsen? • Blir konsekvenserna långsiktiga eller kortsiktiga? • Kan man dra några paralleller till andra områden? • Kan man göra en prognos på händelseutvecklingen? • Kan man formulera någon alternativ utveckling? Att diskutera problemformulering och lösningsalternativ • Eleven får välja en artikel från tidningen och formulera och själva lösa problem. • Artikeln och problemet kopieras eller klistras upp på ett papper. • Eleverna får lösa varandras problem. • Eleven som formulerat problemet går igenom lösningsförslagen tillsammans med de kamrater som löst uppgiften. Poängen ligger i det samtal som uppstår mellan eleverna, där man diskuterar olikheter i synen på problemet och förslagen på lösningar. Med dagens kommunikationsmöjligheter kan man lätt byta information mellan klasser. Låt dina elever skicka sina problem till elever i en annan stad eller ett annat land.

612 Hur diskuterar du egentligen med dina elever? Polyas idéer i matematikundervisningen - högaktuella för dagens matematiklärare

Hur gör du när du diskuterar matematiska uppgifter med dina elever? George Polya är mest känd för sin bok How to solve it, som handlar om goda råd när man ska lösa matematiska problem. Grundstommen i hans råd beskrivs ofta i fyra punkter. Man kan också se dessa fyra punkter i ett annat perspektiv, som råd till matematikläraren när hon/han ska diskutera ett matematiskt problem med sina elever. Hur ser detta perspektiv ut? Varje punkt är viktig och man får inte hoppa över någon av dem. Rätt använda ger de en bättre kommunikation och förståelse och är en hjälp för lärarens självvärdering. Stefan Löfwall är universitetsadjunkt vid Karlstads universitet och undervisar i matematik och matematikdidaktik. Han har också tidigare erfarenhet av undervisning på gymnasieskola och grundskola. Föreläsning Gs Gy Vux Lärutb George Polya är mest känd för sin bok How to solve it (Polya 1990), som handlar om goda råd när man ska lösa matematiska problem. Grundstommen i hans råd beskrivs ofta i fyra punkter. Man kan också se dessa fyra punkter som råd till matematikläraren när hon/han ska diskutera ett matematiskt problem med sina elever. Varje punkt är viktig och man får inte hoppa över någon av dem. De fyra punkterna är: 1. Förstå problemet. Denna punkt kan tyckas självklar. Så är det långt ifrån om man ser det ur undervisningsperspektiv. Det är speciellt vanligt att ovana lärare diskuterar lösningen av problemet innan eleverna förstått problemet. Läraren har kanske förberett sig hemma och är själv mycket insatt i problemet, något som kan inverka på att det går för snabbt. Det leder till att elever samtidigt försöker sätta sig in i problemet och förstå lösningen som växer fram. Det är inte bra. 2. Hitta en lösningsmetod (göra upp en plan). Det här är också en mycket viktig punkt som riskerar att komma i skymundan vid diskussionen av lösningen. Återigen kan det inverka att läraren är väl förberedd där hon/han kanske i förväg prövat några olika vägar att lösa uppgiften, någon misslyckades kanske, en annan blev för omständlig, men slutligen bestämmer sig hon/han för den ”bästa”. - Men hur kom du på att det var så du skulle göra? Vad tog du lösningen på? Hur ser man det? Det här är några frågor som ibland kan ses som viktigare än att genomföra själva lösningen. Ett ”kladdpappersstadium” där olika förslag testas kan vara en bra inledning till den slutliga lösningen. Det är här man brottas med matematiken. Att omsorgsfullt sopa bort alla spår i sanden som skulle visa hur man kom fram till lösningen är ingen fördel. Det är naturligt att man prövar sig fram och brottas med problemet. Polya ger rådet att fokusera på det som frågas efter. Återigen något som kan verka nästan generande självklart när man hör det, men som många ”syndar mot”. Som ett exempel på

detta kan vi se på följande uppgift tagen ur Matematik 3000 för gymnasieskolan, kurs C och D, uppgift 2368: "En maträtt placeras i en ugn. Temperaturen y Co stiger enligt ekvationen:

kxey −⋅−= 200220 , där k är en konstant och x minuter den tid rätten stått i ugnen.

a) Efter 15 min är temperaturen 53 Co . Vad är temperaturen efter 25 min? b) Med vilken hastighet förändras temperaturen efter 15 min?”

Vi tänker oss nu att vi passerat Polyas punkt 1 om att förstå problemet och håller på med punkt 2, att hitta en lösningsmetod. Det vanliga bland mina lärarstuderande när de ska förbereda en genomgång av uppgiften – och också bland en del yrkesverksamma lärare jag diskuterat uppgiften med – är då följande frågor till eleverna: ”Hur ska vi göra för att få fram k:s värde? Är det något i uppgiften vi kan utnyttja för att få fram k?” Eleverna kan nu bli undrande. Varför frågar hon/han om k:et, det var ju temperaturen vi skulle räkna ut. Just det! Fokusera på det som frågas efter: Temperaturen! Vi ska räkna ut temperaturen då tiden är 25 minuter…sätta in t = 25 och räkna ut T… 25200220 ⋅−−= keT …här blev det stopp, vi kommer inte längre om vi inte vet vad k är…Det här blir en vettigare ordning! Nu förstår man varför k måste bestämmas. Mina lärarstuderande hade själva tänkt det första steget utan att nämna det – beräkna temperaturen genom att sätta in t = 25 – och upptäckt att det blev stopp på grund av k:et. Alltså måste man beräkna k först och då säger de också detta först. Den här omvända ordningen är ingen tillfällighet. Även i läroböcker ser man exempel på lösta exempel och bevis av satser som börjar i en för eleven obegriplig ände. Fokusera på problemet i stället!

3. Genomföra lösningen. Det är alltså hit som, kanske framför allt den ovane läraren, riskerar komma nästan direkt. 4. Är svaret rimligt? Många lärare reagerar för att eleverna lämnar orimliga svar utan att reagera. Det är värdefullt att tänka efter om svaret är rimligt. Att få detta till en vana kan vara svårt när det finns ett facit i boken. I samband med en diskussion av ett problem kan man ta denna punkt direkt efter punkt 1 i form av att eleverna får gissa eller uppskatta svaret. Då är det mer spännande och det lockar också fram andra tankeformer. När man gissar får man tänka fritt på ett annat sätt än när man ska lösa uppgiften på riktigt. Sedan är det intressant att se hur väl svaret stämmer överens med gissningen. Stämmer det inte alls överens bör man fundera över om svaret är rimligt.

Kommentar Det här är alltså en variant av Polyas punkter, där jag gör en delvis egen tolkning för att lärare ska kunna använda dem i undervisningssituationen och vid en självvärdering. Ska man använda Polyas punkter till det som de ursprungligen är tänkta för blir situationen lite annorlunda. T ex såg också Polya punkt 4 som ett sätt se tillbaka på det man gjort, vad är det vi kommit fram till, vilka steg tog vi, har vårt resultat blivit rimligt. Därmed får man också mer av ett metaperspektiv på det man gjort. Självklart är detta ett ytterligare steg som också passar bra i undervisningssituationen om man tycker man har tid. Elevernas förmåga att ta ansvar för sina studier är också kopplat till förmågan att ha ett metaperspektiv på det man studerar (Åkesson, 1997). I den holländska matematikundervisningen har jag upplevt att man arbetar mycket med tillbakablickar på det man gjort, helt i Polyas anda i punkt 4, för att eleverna ska få större förståelse för det man gjort, kunna lyfta blicken och därmed också kunna ta ett större ansvar för det man gör. Litteratur Björk, L-E & Brolin H (2000): Matematik 3000, kurs C och D. Stockholm. Natur och Kultur. Pólya, G (1990): How to solve it. London. Penguin Books in arrangement with Princeton University Press. *) Åkesson, J (1997): ANSVAR – Hur lär man sig det? C-uppsats. Kristianstad: Högskolan i Kristianstad *) Finns också i nätversion på svenska: http://www.kevius.com/polya/

613 "Hur gick det på matteprovet?" En tillbakablick på de svar vi fick

Förevisning och analys av provuppgifter, elevlösningar och resultat från de nationella kursproven i matematik våren 2005. Några frågor som kommer att behandlas är: Vilka lösningstsrategier har eleverna använt? Finns det några resultatskillnader med avseende på program? Vad tycker lärarna om proven? Carl-Magnus Häggström, provutvecklare vid Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar vid Umeå universitet. Arbetar inom gruppen för nationella prov med ansvar för Nationellt kursprov i matematik kurs B. Föreläsning Gy

614 Matematikkartor ritade och presenterade av Klass NV2, Ehrensvärdska gymnasiet

Elever vid Ehrensvärdska gymnasiet beskriver de matematikkartor de ritat under hösten, och aktiviteten kring dem, tillsammans med sin lärare Anna Svärd. Matematikern Håkan Lennerstad, som kläckte idén 2002 vid Malmö Högskola, deltar också. Fokus vid föredraget är vilka typer av matematikkunskaper eller -förmågor kartkonstruerandet utvecklar. En matematikkarta ser vid första anblicken ut som en vanlig karta. Men namn på berg, sjöar, floder, skogar, länder och städer är matematikord eller symboler. Kartans topografi är konstruerad för att motsvara matematiska begrepp och deras samband eller släktskap så bra som möjligt. Konstruktörerna bestämmer på vilket sätt detta sker. Matematikkartor har ritats av grupper av grundskolelever, gymnasielever och lärarutbildare. I reaktionerna har man beskrivit upplevelsen av frihet och utbyte av varandras synpunkter vid konstuerandet. Man skapar under konstruerandet en helhetsbild av de matematiska kunskaper man besitter. Ritandet sker i grupp, så utbyte av matematiska idéer är karaktäristiskt. Håkan Lennerstad, doc i tillämpad matematik , BTH Anna Svärd, adjunkt i matematik, Ehrensvärdska gymnasiet, Karlskrona Workshop Gs Gy Högsk Lärutb

615 En resa i matematikens fotspår - Egypten

Mål att sträva mot: ... "inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer.." Jag kommer att visa och berätta om egyptiernas symboler, hur de beräknade tid, räknade multiplikation och division, använde geometri samt skrev tal i bråkform. Jag knyter samman matematikens utveckling med hur man kan arbeta med eleverna: hur människorna började räkna, hur nollan "föddes" och om hur den här kunskapen kom till oss i Sverige. Genom att binda samman historia och matematik kommer elevernas förståelse och intresse öka markant. Doris Lindberg, mellan- och speciallärare vid Carlssons Skola i Stockholm, föreläsare och läromedelsförfattare. Föresläsning Gr Dokumentation Under föreläsningen kommer jag att ta med mina ”medresenärer ” på en resa i Egypten. Den kommer att börja med att vi tittar på de symboler som egyptierna använde för att skriva olika tal. Vi kommer då att se att symbolerna är hämtade från det dagliga livet. Vi kommer även att se att det här inte var ett räknesystem byggt på positionssystemet och av den anledningen hade det ingen egentlig betydelse i vilken ordning symbolerna skrevs. Varje symbol hade sitt givna värde beroende på dess utseende och inte på dess position. Vi kommer också att se att vad man skrev på och med hade stor betydelse för symbolernas utseende. Resan fortsätter sedan med att vi tittar på hur geometrin användes i det dagliga livet och även användandet av enheter. Egyptierna använde sig av kroppsmått, vilket till att börja med medförde svårigheter p.g.a. människors individuella mått. Med tiden bestämdes det att man skulle ha en viss längd på t.ex. alnen och foten. Speciella mätkäppar tillverkades vilket förenklade mätandet för människorna. För att kunna bestämma storleken av de årliga översvämningarna av floden Nilen tillverkade egyptierna s.k. nilometrar, som placerades i floden och det är nu dags för oss att se hur de kunde se ut. Så småningom man att vattnet stod som högst vid en återkommande tidpunkt. Egyptierna började räkna hur många dygn, som passerade mellan varje gång som vattnet stod som högst. Man kunde efter många år bestämma att det var 360 dygn, vilket blev längden av deras år. Allt eftersom åren gick skedde en förskjutning av tidpunkten på året i förhållande till årstiden. Genom att studera stjärnhimlen och följa stjärnornas vandring ( i själva verket var det ju vår jord som roterade) kunde egypterna nu bestämma årets längd till 365dygn. De fem extra dagarna lades in under året av prästerna och kunde därför finnas på olika punkter från år till år. Vi avslutar resan med att titta på hur egyptierna utförde multiplikationer och divisioner. Referenslitteratur: Butterworth B Den matematiska människan. Wahlström och Widstrand. Kuijl B och Lindberg DAbakus:Hur räknade man förr? A&W McLeish J Matematikens Kulturhistoria. Forum Lindberg D och Kuijl B Fakta om Hur man räknade förr. A&W Thomson J: Matematiken i historien . Studentlitteratur. Nämnaren :nr 1 2005: Kubinovd M och Stehlikovd N: Matematikprojekt i Tjeckien.

616 Vad ska vi ha miniräknaren till?

Miniräknaren måste in i skolan på allvar! Från skolår 1! Alltför många anser att den kan vänta tills eleverna blir äldre och att de först måste lära sig att räkna. Kruxet med miniräknaren i de lägre åldrarna är att eleverna inte räknar med den utan att den är ett ypperligt redskap för att utveckla känslan för tal så att eleverna slipper att räkna! Under workshopen får du ta del av många olika övningar som kan användas för att utveckla elevernas känsla för tal. Ulla Öberg har lång erfarenhet av lärarutbildning och kompetensutveckling i matematik. Hon har också lång erfarenhet av matematikundervisning i grundskolans alla årskurser. Workshop Gt Gs

617 De matematiska kompetensernas betydelse vid uppgiftskonstruktion

Vår analys visar att några matematiska kompetenser betonas i styrdokumenten. Dessa är problemlösnings-, algoritm-, begrepps-, modellerings-, resonemangs- och kommunikationskompetens. Med dessa som grund presenteras idéer och uppslag till konstruktion av olika typer av matematikuppgifter. Korta föredrag blandas med praktiska övningar. Timo Hellström och Gunnar Wästle är provutvecklare vid Institutionen för Beteendevetenskapliga Mätningar, Umeå Universitet och provansvariga för nationella kusrsprov i matematik. Workshop Gy Vux Lärutb Dokumentation Ett av syftena med de Nationella proven är att stödja lärarnas betygsättning. I ett mål och kunskapsrelaterat betygssystem så är det väldigt viktigt att proven speglar en kunskapssyn som kan uttolkas ur styrdokumenten läroplan och kursplan och att de ingående uppgifterna är tillräckligt varierade för att så stor del som möjligt av betygskriterierna kan appliceras på proven. Med utgångspunkt från läroplan, kursplan och programmål är vår bedömning att ett kunnande i ämnet matematik involverar flera aspekter av kunskap. I de kursoberoende avsnitten ”Ämnets syfte”, ”Mål att sträva mot” och ”Ämnets karaktär och struktur” kan man finna argument för att de nationella proven bör innehålla uppgifter som testar olika förmågor vi rubricerat som Resonemangs-, Problemlösnings-, Kommunikations-, Modellerings- och Begreppsförståelseförmåga. I förarbetena till den nya kursplanen i matematik för gymnasiet (GY-07) har de ovannämnda förmågorna ytterligare tydliggjorts. Nedan följer exempel på uppgifter som vi anser passar in i de ovanstående kategorierna. Ytterligare kategorier som vi använder oss utav är Algoritmförmåga, Perspektiv-, Öppna- och Verklighetsnära uppgifter.

RESONEMANGSFÖRMÅGA

Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förmåga att argumentera på allmänlogiska och matematiska grunder. Olika typer: Ställa upp och undersöka hypoteser, analysera och dra slutsatser, utvärdera, generalisera, koppla ihop, förklara, styrka/bevisa.

UPPGIFTSEXEMPEL Du fyller en termos med kaffe som har temperaturen 85 °C. För denna termos gäller att temperaturen sjunker med 12% under varje tvåtimmarsperiod. Det gäller under 8 timmar från det att termosen har fyllts med varm vätska. Pelle påstår att man kan beräkna förändringen per timme genom att dela 12% med 2. Har han rätt eller fel? Kom ihåg att motivera ditt svar. Kommentar: I denna uppgift ska eleven utvärdera ett påstående.

PROBLEMLÖSNINGSFÖRMÅGA

Uppgifter som ger eleven möjlighet att lösa det vi här kallar problem, dvs. uppgifter där den som löser uppgiften inte har någon färdig lösningsmetod tillgänglig. Olika typer: Ovanliga uppgifter. Uppgifter där informationen i uppgiften inte ges så som eleven är van vid. Komplexa uppgifter. UPPGIFTSEXEMPEL De två vanligaste bildformaten för en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen). För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur. En tum är ungefär 2,54 centimeter. Exempel: Ett vanligt format på en tv är 28” (28 tum).

En tv i standardformat har en bildskärm där bredden är

34 av höjden.

En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är 9

16 av höjden.

Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den andra i bredbildsformat. Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean. Kommentar: I denna uppgift har inte eleverna den information som de normalt har i liknande uppgifter. Uppgiften kräver uppsättande av relevanta matematiska samband för att

lösa problemet.

KOMMUNIKATIONSFÖRMÅGA Uppgifter som ger eleven möjlighet att muntligt eller skriftligt kommunicera matematiska idéer och tankegångar. Olika typer: Beskriva eller förklara begrepp, lagar och metoder. Uppgifter som ställer särskilda krav på redovisningen och matematiskt språk UPPGIFTSEXEMPEL En kompis till dig, som läser samma mattekurs som du, kommer fram till dig och säger ”jag fattar inte ett dugg av det här med derivata”. Hjälp din kompis genom att förklara vad derivata är. Förklara så utförligt du kan och på så många sätt du kan. Du ska inte härleda eller beskriva deriveringsreglerna. Kommentar: I denna uppgift ska eleverna förklara ett begrepp och får därigenom möjlighet att visa kunskaper i att kommunicera matematik. Uppgifter av den här typen, där eleverna ska förklara ett begrepp, faller naturligt även under rubriken begreppsförståelse.

MODELLERINGSFÖRMÅGA

M a te m a t is k m o d e l l M a te m a t is k a r e s u l ta t

V e r k l ig m o d e l l To lk a d e re s u lta t

M a te m a t ik u p p g if t

4 .U tv ä r d e r a

2 .A n v ä n d a

3 .To lk a

F ö r s tåV ä l ja u t

I n o m m a te -m a t is k v ä r ld

U to m m a te -m a t is k v ä r ld

1 b .U tv ä r d e r a1 a .S k a p a

Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förmåga att utifrån utommatematiska situationer på ett icke rutinmässigt sätt skapa och använda en matematisk modell, tolka de resultat som den matematiska modellen ger när den används samt utvärdera den matematiska modellen genom att klargöra dess begränsningar och förutsättningar. Olika typer: Pröva hela modelleringsprocessen Pröva (vissa) delar av modelleringsprocessen

UPPGIFTSEXEMPEL En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus där temperaturen ligger kring noll grader. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden.

Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme. a) Vilken var temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen? b) Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 °C. Hur lång tid efter att man hällt kaffet i termosen är det fortfarande drickbart? Kommentar: I stort sett hela modelleringsprocessen testas.

BEGREPPSFÖRSTÅELSEFÖRMÅGA Uppgifter som ger eleven möjlighet att visa sin förståelse av ett visst begrepp. Då krävs det att eleven har förtrogenhet med innebörden av begreppets definition. Olika typer: Förklara eller tolka ett begrepp eller ett samband Dra slutsatser utifrån given information Bakvända uppgifter och ovanliga uppgifter UPPGIFTSEXEMPEL Förklara, med ett exempel, begreppet bortfall i en statistisk undersökning. Kommentar: En korrekt lösning av denna uppgift indikerar att eleven har förtrogenhet med innebörden av begreppet bortfall. Om funktionen f vet man följande: • 3)7( =f och • för 97 ≤≤ x gäller att ( ) .2,18,0 ≤′≤ xf

Bestäm största möjliga värde för ).9(f Kommentar: En korrekt lösning av denna uppgift indikerar att eleven har god förtrogenhet med innebörden av begreppet derivata. Ange ett tal som ligger någonstans mellan 3105 −⋅ och .105 2−⋅ Kommentar: Denna uppgift är något ovanlig i sin formulering och en korrekt lösning av eleven indikerar troligen begreppsförmåga när det gäller talbegreppet.

618 Rosengård kan - aktiviteter F – 5

Barn på Rosengård bär på många erfarenheter och upplevelser, men har inte alltid förmågan att sätta ord på de associationer de får i olika situationer. Vi kan upptäcka många bra strategier som bör lyftas fram och bejakas. Om eleven ser att det finns många sätt att nå en lösning stärks lusten att försöka. Vi låter er prova sådana aktiviteter som vi utvecklat i våra klasser. Marie Nemhed, lärare F-5 Ulrika Nilsson, lärare F-5 Oriana Toussi, lärare F-5 Vi är tre pedagoger som arbetar på Rosengårdsskolan i Malmö. Vi har arbetat som klassrumsforskare inom ämnet matematik sedan 2002 då vi deltagit i ett matematikprojekt tillsammans med lärarhögskolan i Malmö. Under det sista året har vi också deltagit i ett skolverksinitierat projekt då vi dels spridit våra erfarenheter som klassrumsforskare och det vi samlat i vår rapport tillsammans med lärarhögskolan i stadsdelen samt deltagit till att utveckla vår matematiska pedagogiska helhetssyn på skolan på Rosenårdsskolan. Workshop Fö Gt

Dokumentation Inledningsvis beskriver vi vår pedagogiska grundsyn och lägger då tyngdpunkten på hur man kan arbeta utan läromedel i matematik. Vi kommer också att tala om vissa svårigheter som kan uppstå när man arbetar utan läromedel samt vikten av god litteratur såsom t.ex. en bra lärarhandledning som grund. Vi visar ett urval av det material som vi använder oss av i undervisningen och ger praktiska tips och råd på vägen, samtidigt som vi talar om syftet till varje uppgift. Deltagarna får möjlighet till praktiska övningar. Praktiska övningar:

1. Tärningar 2. De fyra räknesätten 3. Cuisenairestavar 4. Talmemory 5. Hjärngympa med kort 6. Sudoku 7. Äggkartongen 8. Snäckor 9. Bingo 10. Gruppuppgifter 11. Poängjakten 12. Tangram

Vi har för avsikt att tala om alla moment. Det kommer att finnas kopieringsunderlag till flera moment.

619 Matematik i slöjden

Vi vill lyfta fram all den matematik, som förekommer i elevernas arbete i slöjd. Syftet är att eleverna ska bli uppmärksamma på hur de kunskaper de har i matematik kommer till nytta i praktiska sammanhang, samt att de ska bli nyfikna på att lära mer avancerad matematik. I elevens arbete på slöjdlektionen identifierar elev och slöjdlärare problem, som behöver lösas med matematik. Elev och matematiklärare arbetar sedan med problemet i flera steg: Samtal, skriftlig formulering, figurer och bilder, lösning av problemet både informellt och med matematikens formella språk. Arbetssättet illustreras med exempel. Elsa Foisack är lärare vid Östervångsskolan i Lund, en specialskola för döva och hörselskadade grundskoleelever. Hon arbetar med forsknings- och utvecklingsarbeten i matematikdidaktik. Hon är fil. dr. och arbetar även vid Lärarutbildningen, Malmö Högskola. Föreläsning Gr Dokumentation Denna föreläsning tar sin utgångspunkt i ett utvecklingsprojekt i samverkan mellan ämnena matematik och slöjd. Jag vill lyfta fram de möjligheter för utveckling av matematiskt tänkande som erbjuds i slöjden. I föreläsningen refererar jag till min doktorsavhandling (Foisack, 2003), där jag resonerar kring såväl tal- som rumsuppfattning och problemlösningens betydelse för begreppsutveckling i matematik. Vidare refereras till Marléne Johanssons (2002) doktorsavhandling. Hon visar hur mentala och fysiska redskap integreras när eleverna arbetar med att omvandla olika material till slöjdföremål. Det var under arbetet med att söka ett lämpligt problemområde för att studera barns begreppsutveckling av rumsuppfattning, som jag på allvar kom att inse vilka stora möjligheter eleverna har att lära matematik i slöjden. Det var en av slöjdlärarna som gjorde mig uppmärksam på den mängd av stötestenar, som eleverna kan möta vid tillverkningen av föremål i slöjden. Det kunde handla om att mäta sträckor och att hantera linjaler. Det kunde handla om att uttrycka sig i matematiska storheter. Vi resonerade kring att eleverna många gånger inte ser sambandet mellan vad de lär i matematik i klassrummet och vad de lär under arbetet i slöjden. Vi använder t.ex. olika typer av linjal i slöjden och i matematiken. I klassrummet använder vi centimeter, som grundenhet och i slöjden använder man millimeter. Jag valde då att använda dessa skillnader för att studera elevernas förståelse för mätning och för standardiserade storheter. I den del av avhandlingen, som kom att kallas längdstudien, studerade jag elevernas utveckling av geometriska begrepp utifrån tillverkningen av vägghyllor i slöjden och de problem de då ställdes inför. Följande citat från kursplanerna för grundskolan (Skolverket, 2000) i respektive ämne visar på överensstämmelse mellan de båda ämnena matematik och slöjd.

Matematik Ämnets syfte och roll i utbildningen Utbildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande. … Den ska också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem. Slöjd Ämnets karaktär och uppbyggnad … Slöjdämnet bidrar till begreppsbildning och begreppsutveckling inom såväl slöjd som andra skolämnen. Det ger exempelvis genom matematiska tillämpningar en grund för storleksuppfattning och för förståelse för geometri. … Ett alternativt arbetssätt På den aktuella skolan finns två lärare i slöjd, en i trä och metall och en i textil, som arbetar i nära samverkan. Elevernas eget skapande står i fokus och eleverna får arbeta utifrån egna idéer till färdig produkt. Eleverna är vana vid att föra resonemang med lärarna om möjligheter och begränsningar när det gäller att realisera sina idéer. Det vi nu ville utveckla var att eleverna även skulle bli uppmärksamma på hur de kunskaper de hade i matematik kunde komma till nytta i praktisk-estetisk praktik, samt att få dem nyfikna på att lära mer avancerad matematik. En matematiklärare arbetade därför under en period tillsammans med de båda slöjdlärarna under slöjdlektionerna i några olika klasser i olika skolår i grundskolan. Resonemang fördes med eleverna om huruvida man kan lära matematik på slöjden. I några fall följdes arbetet upp på klassens matematiklektioner. Utgångspunkt togs alltid i elevernas arbete på slöjden. När problem uppstod, som behövde lösas matematiskt, konsulterades matematikläraren. Elev och matematiklärare arbetade sedan med problemet i flera steg. Först samtalade man om problemet, som behövde lösas. Man formulerade problemet skriftligt ungefär så som det skulle kunna skrivas i en lärobok i matematik. Den idéskiss eleven hade ritat innan arbetet påbörjades, studerades och man kunde hjälpas åt att göra en mer exakt ritning. Problemet löstes ofta först informellt om det var möjligt. Därefter formulerades problemet med matematikens formella språk, med matematiska symboler så att nödvändiga beräkningar kunde göras. Arbetet kunde handla om

- att göra eller att tolka en skiss, ett mönster och en ritning - att diskutera form och funktion - att mäta och att beräkna storlek - att beräkna materialåtgång - att beräkna kostnader

Arbetssättet illustreras med exempel. Utifrån kursplanen i matematik, att uppleva tillfredsställelse och glädje i att kunna förstå och lösa problem finns det flera illustrationer. En är när en elev med lärarens hjälp beräknade storleken på de cirkelformade sidostyckena till en plöskudde. Det finns flera exempel på hur eleverna arbetade utifrån estetiska värden i matematiska mönster och former som att sy korsstygnstavlor, att sticka en halsduk i olika färger och att sy en orm av lika stora tygstycken av tyg i olika mönster. Exempel som illustrerar citatet ovan från kursplanen i slöjd är möjligheten till begreppsutveckling i matematik. Två- och tredimensionella beskrivningar stöter eleverna t.ex. på i sina arbeten i slöjden långt innan de lärt sig att beräkna area och volym i matematikkursen.

Litteratur Foisack, E. (2003). Döva barns begreppsbildning i matematik. Malmö Studies in Educational Sciences, no. 7. Malmö: Lärarutbildningen, Malmö Högskola. Johansson, M. (2002). Slöjdpraktik i skolan – hand, tanke, kommunikation och andra medierande redskap. Göteborg: Acta Universitatis Gothuburgensis. Skolverket. (2000). Kursplaner och betygskriterier för grundskolan. Stockholm: Fritzes.

620 Praktiskt arbete med matematikdatorprogram

I matematik kan begreppsuppfattning och inlärning stärkas genom praktiskt arbete med verkliga data. Detta kan vara allt från arbete med digitalkamerabilder till analys av hur gifter sprids i ett ekosystem. Ett sådant undersökande och kreativt arbetssätt underlättas betydligt av dagens kraftfulla och användarvänliga matematikdatorprogram. Några av de mera kända programmen är MATLAB och MAPLE som båda används flitigt på landets högskolor och inom industrin. Ett problem är dock att dessa program kostar pengar och att de i allmänhet inte är fritt tillgängliga för våra gymnasieelever. Det finns dock fantastiskt bra gratis alternativ i form av GNU Octave, SciLab och MuPAD Light. Dessa program kan laddas ner gratis från http://www.octave.org/download , html, http://www.scilab.org och http://www.mupad.org/download . Under föreläsningen kommer vi att ge praktiska exempel på hur dessa program kan användas i undervisningen. Slutligen kommer vi att tipsa om böcker och studiematerial på svenska inom detta område. Per Jönsson är docent i fysik och lektor i tillämpad matematik vid Lärarutbildningen, Malmö högskola. Per har mångårig erfarenhet av datorbaserad matematikundervisning och har skrivit flera böcker om modellering och datorberäkningar. Föreläsning Gy Högsk Lärutb Dokumentation Datorn är numera en naturlig del av våra liv. Datorer finns överallt och med deras hjälp kan vi hämta information och lösa uppgifter på ett helt annat sätt än som var möjligt för bara 10 år sedan. De enorma möjligheterna utnyttjas redan flitigt i forskarvärlden men också inom industrin, där man nu bygger matematiska modeller och simulerar komplexa skeenden och processer. Detta sätt att jobba kommer på sikt att få stora konsekvenser för matematikundervisningen i skolan. Vad som kommer att efterfrågas är handlingskompetens; givet kraftfulla datorverktyg så skall eleverna kunna lösa problem av matematisk karaktär som läggs fram för dem. I dag görs väldigt mycket av det datorbaserade arbetet i användarvänliga utvecklingsmiljöer som innehåller ett programmeringsspråk, inbyggda rutiner för att lösa en mängd olika numeriska problem inom matematik och kommandon för 2D- och 3D-grafik. Den mest kända miljön är MATLAB, som används på alla universitet och högskolor men också inom industrin. Ett problem är att MATLAB kostar pengar. Pengar som ofta inte ryms inom skolornas snäva budgetramar. Som ett alternativ till MATLAB kan man dock använda GNU Octave. Octave brukar finnas med i standardinstallationer av Linux. Programpaketet finns även för Windows och kan laddas ner gratis från http://www.octave.org/download.html Octave har mycket stora likheter med MATLAB. Programmeringssyntaxen (hur man konstruerar och skriver if-satser, for- och while-loopar etc) är identisk. De inbyggda funktionerna för att lösa numeriska problem har till stor del samma namn som i MATLAB och anropas på samma sätt. Även kommandona för grafik är likartade. Denna likhet innebär att program utvecklade för Octave direkt, eller med mycket små justeringar, kan tas över och köras i MATLAB och vice versa.

Under föreläsningen kommer vi att ge exempel på hur man skulle kunna använda MATLAB eller Octave i undervisningen på gymnasiet. Vi kommer att använda Herons metod för att beräkna potenser. Vi kommer att prata om medelvärde och se hur detta kan tillämpas på digitalkamerabilder för att göra kantförstärkning. Slutligen kommer vi att titta lite på differentialekvationer inom ekologi. I mån av tid så kommer vi också att titta på något av de utmärka datoralgebraprogram (CAS) som kan laddas ner från nätet och som eleverna fritt kan installera på sina datorer därhemma. Informationsmaterial med nedladdningsinstruktioner för program samt tips om dokumentation och böcker kommer att delas ut under föreläsningen.

621 Ickestandardanalys - ett didaktiskt knep?

När Newton och Leibniz utvecklade analysen använde de sig av tal, infinitesimaler, som var mindre än alla reella tal, men ändå inte noll. Under 1900-talet formaliserades deras idéer genom utvecklandet av ickestandardanalysen. Många menar att dessa ickestandardmetoder är lättare för elever och studenter att förstå än de standardmetoder som används idag i skolor. Förläsningen kommer att ge en överblick över ickestandardanalysens utveckling, ett försök att göra dess enkla tankar formella och exempel på hur de kan användas på gymnasie- och högskolor. Fredrik Engström doktorerade 2004 på Chalmers i matematisk logik. Nu jobbar han som universitetslektor vid Mittuniversitetet i Sundsvall, där han bland annat undervisar på lärarprogrammet. Föreläsning Gy Vux Högsk Lärutb

622 Planning for action-research in our own classrooms

This workshop follows on from the lecture ‘Action-Research: a professional approach to more effective practice’. The intention of the workshop is to spend time planning action-research in our own situations. Attendance at the lecture is not a necessary prerequisite for this workshop and it is hoped that there will be several participants who have experience of action-research who will come to support the less experienced in their planning. Anyone who is willing to share from their own experience is invited to contact simon.goodchild@hia.no in advance. Simon Goodchild has worked as mathematics teacher in secondary schools in Africa and the UK, and in teacher education in the UK. Currently he has the position of Associate Professor at Agder University College as researcher within a developmental research project, Learning Communities in Mathematics. Workshop Alla Dokumentation Successful outcomes from this workshop would be:

• one or more small groups of teachers committed to develop a collaborative action research network as a means of developing teaching and learning in their classrooms;

• partnerships committed to support each other in individual action research projects;

• proposals for specific action research projects in participants’ own classrooms; • specific research issues or questions and proposals for action.

Jean McNiff offers the following summary description of ‘A basic action research process’:

We review our current practice, identify an aspect we want to improve, imagine a way forward, try it out, and take stock of what happens. We modify our plan in the light of what we have found out and continue with the ‘action’, evaluate the modified action, and so on until we are satisfied with that aspect of our work.

(McNiff, Lomax, & Whitehead, 1996 quoted by McNiff, 2002, p. 71)

Some further information about educational action research will be found in the introduction to my presentation Action-Research: a professional approach to more effective practice.

In this workshop we will consider the first stages of this process and through discussion and mutual support develop action plans that we can take back to our classes to try out and continue working through the process.

We will consider some of the following questions:

• What do I want to change that will improve the quality of teaching and learning in my classroom?

• Why do I want to change this? • Do I have the possibility of making changes in the issue that I have identified? • What do I want to achieve by this change? • Can I think or imagine what I might do differently so that change will occur? • Where can I find information or expertise about this issue? • What action can I take? • How can I gather data that illustrates the issue as it is in my practice now? • What data will I collect as I implement my action plan? • What data will I collect to illustrate any changes that occur? • What will I do with this data? • Who will act as my ‘critical friend’, who will accompany me on this journey of

discovery? • What ethical issues must I take into consideration? • Is the action I plan achievable in the time and with the resources I have available? • What obstacles might get in the way of the action that I plan? • How can I prepare to overcome these obstacles?

The workshop will not be providing answers to these questions! The intention is to create a supportive atmosphere that enables each participant to find their own answers.

References McNiff, J. (2002) Action Research: principles and practices. London, RoutledgeFalmer McNiff, J. Lomax, P. & Whitehead, J. (1996) You and your action research project. London,

Routledge.

623 Varierad undervisning gör matematiken levande

Arbetspasset presenterar ett pågående projekt på Olympiaskolan i Helsingborg. Projektet är ett försök till att öka lusten att lära sig matematik genom en varierad undervisning. Metoden vilar på tre grundpelare: 1) Samtal - i dialog men andra uppstår och utvecklas lärandet. 2) Matematikens historia – matematiken görs levande genom att presenteras i en samhällelig och historisk kontext. 3) Öppna uppgifter – eleverna kan träna sig i att se mönster som kan tillämpas på nya problemställningar. Andreia Balan är adjunkt i matematik och fysik på Olympiaskolan i Helsingborg samt verksam vid LTH, Campus Helsingborg. Föreläsning Gy Dokumentation Projektets syfte och förutsättningar Det här projektet är ett försök att skapa en förändring i min matematikundervisning. Målet med det är att erbjuda eleverna en annan upplevelse av matematiken än det traditionella sättet att undervisa på. Förhoppningen är att eleverna efter projektet får en förändrad syn på matematiken som ska resultera i växande motivation och därmed bättre resultat. Den utvalda klassen är av praktiska skäl en NV klass i åk2 som förutom sin ordinarie lärare också träffar mig en gång i veckan. Mitt pass ligger parallellt med deras vanliga matematiklektion. Under detta pass är halva klassen hos mig och den andra halvan hos sin ordinarie lärare. Allt jag gör koordineras och bestäms i samarbete med den ordinarie läraren. Eleverna läser Matematik C under höstterminen och fortsätter sedan till våren med Matematik D. Metod Förändringsarbetet vilar på tre grundpelare: 1) Samtal - I dialog med andra formulerar eleven sina tankar och utvecklar sitt eget lärande. Ett flöde av tankar, ord och bilder sätter igång en process som resulterar i ökat förståelse och insikt. 2) Matematikens idéer - ämnet görs levande i samhälleliga och historiska sammanhang. Jag visar att matematiken har utformats av människan i sin strävan efter att utforska världen och utveckla samhället. Därför speglar matematiken många sidor av den mänskliga naturen.

3) Öppna uppgifter - eleverna upptäcker och skapar mönster som kan tillämpas i nya problemställningar. Jag väljer ut uppgifter som inte är typiska ”läroboksuppgifter” då de är svåra att placeras under ett visst avsnitt. Genomförande Nedan följer en grov planering av projektet. På föreläsningen kommer jag att gå igenom alla moment i min planering och visa exempel på valda uppgifter. Dessutom kommer jag att ha en mer detaljerat genomgång av nutida och dåtida exempel på matematikens användning och framväxt. ___________________________________________________________________________ Planering för Matematik C

1. Introduktion Uppgift: Mat till svältandeområde (optimering, rätalinjen) Träning i att arbeta i små grupper och diskutera kring uppgiften.

2. Andragradsekvationer

Historik: Algebra och ekvationsräkning på 1600-talet. Viets samband. Jämförelse mellan grekernas sätt att räkna med hjälp av geometri och algebra. Uppgift: Rummets dimensioner Vad går på tok?

3. Förändringshastigheter och derivatan Historik: Infinitesimalkalkylen, Newton och Leibniz. Exempel av användning av derivatan i meteorologin, vågrörelse, ekonomin. Uppgift: Träna på att avbilda förändringshastigheter i s-t och v-t diagram. Formulera uppgifter och byta mellan grupperna. Formulera frågor om derivatan till läraren.

4. Maximi och minimiprblem. Uppgift: Broarna Victoriafallen och Tower Bridge beskrivs med andragradsfunktioner. Hitta den maximala volymen på lådan – från pappark till papplåda Maximera intäkten vid försäljning av aluminium. Hur många äppleträd ska planteras för att få maximal skörd?

5. Talföljder

Historik: Zenons paradoxer Användningsområde: medicin, ekonomi, biologi Uppgift: Skyskrapa i New York Inkomst och förbrukning Nedbrytning av medicin

6. Logaritmer och exponentialfunktioner Historik: Napier och Briggs, talet e Uppgift: Jordbävningar - Richterskalan Hjortpopulationen i Grand Canyon UV-strålning mot vattenytan. Exponentialtillväxt Exemplet med schackspelet och vetekorn. Bakterierna och coca-cola flaskan. Newtons avsvalningslag tillämpbar på lik. Det Deliska problemet ___________________________________________________________________________ Analys Projektet börjar och avslutas med en enkät vars resultat presenteras på föreläsningen. Avslutande ord Dagens samhällsstruktur och utformning ställer allt högre krav på medborgarna. Vi tvingas välja och ta ställning i demokratins namn. Den tekniska utvecklingen har lett till att information måste sorteras snabbt, omvärderas och att vi ständigt måste anpassa oss till nya förutsättningar. Matematiken är ett redskap som möjliggör att vi ser mönster i den komplexitet som omger oss dagligen. Den hjälper oss strukturera och analysera otydliga samband. Litteraturlista Cole K. C., Universum och tekoppen, Svenska förlaget 1999 Dahl Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer&Co. 1991

Fich Ole, Matelogik, Selund (Danmark) 2001 Gerholm Tor Ragnar & Magnusson Sigvard, Idé och samhälle, Skolöverstyrelsen 1966 Lindahl Bengt & Nils-Göran Mattsson Matematisk tanke CD, Ekelunds 2002 Mankiewicz Richard, Matematiken genom tiderna, Albert Bonniers Förlag 2001 Mouwits Lars, Bildning och matematik, Högskoleverket 2004 Olsson Stig, Matematiska nedslag i historien, Ekelunds 1999 Unenge Jan, Människorna bakom matematiken, Studentlitteratur 1997 Wallin Hans, Den osynliga matematiken, Liber 2005

624 Koder, tankeläsare, korttrick och stengetter!

I denna workshop genomför vi ett antal laborativa uppgifter, som kan användas för att träna eleverna i logiskt tänkande samtidigt som de skapar omväxling i matematikundervisningen. Flera av uppgifterna kan genomföras under de första skolåren, eftersom lösningarna inte kräver några speciella matematiska förkunskaper. Alf Gunnarsson har varit IT-pedagog och lärare i matematik och fysik på högstadiet. Workshop Gr Gy Vux Lärutb Dokumentation I några uppgifter kan man med ganska enkla medel ge en teoretisk förklaring. Ex. 1: Med hjälp av ett ekvationssystem kan man förklara hur ett av korttricken fungerar. Ex. 2: Tankeläsaren kan man använda utan att förstå den teoretiska bakgrunden. Samtidigt ger den ett utmärkt tillfälle att introducera det binära talsystemet. Uppgifterna är hämtade från min webbplats ”Klurigt” (www.eksjo.se/mathpuzzle). Där kommer det också i slutet av januari 2006 att finnas en utförligare dokumentation av denna workshop.

625 Gymnasieskolans mål och högskolans förväntningar – erfarenheter från reformerade inledande kurser vid KTH

I undersökningen "Gymnasieskolans mål och högskolans förväntningar" har vi kartlagt det stoffgap och den kulturklyfta som studenten måste tas sig över vid övergången från gymnasiets till högskolans matematikundervisning. (Resultat och slutsatser från undersökningen redovisas i föreläsningen "Den ena handen vet inte vad den andra gör", nr 410.) I denna workshop berättar vi om hur erfarenheterna från undersökningen har påverkat utformningen av den första terminens kurser på två av KTHs program. Hans Thunberg, lektor i matematik och programansvarig för Civilingenjör & Lärare samt Öppen Ingång vid KTH. thunberg@math.kth.se Lars Filipsson, lektor i matematik och studierektor vid KTH Matematik. lfn@math.kth.se Workshop Gs Gy Vux Högsk Lärutb Dokumentation Sammanfattning

Med jämna mellanrum rapporteras det om att nyantagna studenter vid tekniska och naturvetenskapliga utbildningar vid universitet och högskolor har allt större svårigheter med de inledande matematikkurserna, svårigheter som i många fall leder till försenade eller avbrutna studier. Detta har uppmärksammats i många tidigare undersökningar. Vi rapporterar här om en studie vid KTH som indikerar att dessa ''bristande förkunskaper'' har ett flertal strukturella orsaker.

• Mycket av det som av högskolan uppfattas som viktiga förkunskaper ingår inte i alls i gymnasiets kurser, annat behandlas med andra kunskapskrav än vad högskolan önskar och förväntar sig. På högskolan ges detta stoff i bästa fall en summarisk ”repetition”. Vi identifierar klart definierade områden som på detta sätt faller mellan stolarna.

• Det finns en påtaglig skillnad i kunskapssyn mellan gymnasiet och högskolan, bl a i synen på vikten av räknefärdighet och kunskap om identiteter för elementära funktioner (utan hjälpmedel). Vi syftar här inte på enskilda lärares inställning, utan på skillnader som kommer till uttryck i t ex högskolans tester och på de nationella proven i gymnasiet.

• De uttalade förkunskapskraven vid högskolan, i form av behörighetskrav, är lägre än de krav som undervisningen faktiskt ställer. Den särskilda behörigheten har sänkts flera gånger det senaste decenniet, antingen genom medvetna beslut eller som en konsekvens av andra beslut och skeenden, utan nämnvärd anpassning av högskolans inledande kurser. Dessutom har en betydande betygsinflation på gymnasiet urholkat behörighetskraven ytterligare.

Denna strukturella diskrepans mellan vad som faktiskt krävs för att tillgodogöra sig högskolans inledande matematikkurser och de ambitioner som uttrycks i behörighetskrav och gymnasieskolans agenda är så stort att talet om ”studenters försämrade förkunskaper” i det närmaste blir en tautologi. I ett antal delprojekt har vi försökt pejla vilket matematiskt kunnande det är som högskolan (KTH), implicit och explicit, förväntar sig hos de nyantagna studenterna, och hur dessa förväntningar förhåller sig till det faktiska kunnande som studenterna har med sig ifrån gymnasiet. I förkunskapstest och i utformningen av introducerande och studieförberedande kurser uttrycks vissa förkunskapskrav och förväntningar vid KTH tydligt. Det handlar om räkne-färdighet och begreppskännedom inom aritmetik, elementär algebra, elementära funktioner och ekvationslösning. Säkerligen finns också förväntningar på andra kompetenser, t ex problemlösningsförmåga, och på kunskaper inom andra stoffområden som t ex geometri, differential- och integralkalkyl och sannolikhetslära, men detta är inget som betonas i de introducerande kurserna. Vår utgångspunkt är att det material som högskolan väljer att behandla i sina frivilliga, introducerande kurser är just det som bedöms som mest kritiskt inför de kommande studierna. De kurser vi har tagit som referens är också utformade på ett sådant sätt att det är klart att de tänks utgöra repetition snarare än komplettering. Gymnasieskolans mål är svårare att komma åt; kursplanerna är för allmänt formulerade för att utgöra relevant jämförelsematerial i denna undersökning; vi baserar oss istället främst på studenters, KTH-lärares och gymnasielärares bedömning av hur det inledande studiematerialet i matematik vid KTH förhåller sig till de nyantagnas kunskaper; det är alltså snarare de reella än de formella kunskapskraven för gymnasiet som utgör jämförelseobjekt i dessa delprojekt. Gymnasiets nationella prov, som bl a har till uppgift att förtydliga kursplanerna, ger oss en möjlighet att göra jämförelser även med de formella målen. Eftersom den särskilda behörigheten i matematik för studier vid KTHs civilingenjörsprogram är betyg Godkänt (G) i gymnasiets Kurs D är detta den förkunskapsnivå vi utgår ifrån, om inget annat sägs. När vi nedan beskriver färdigheter (t ex ”förmåga att lösa andragrads-ekvationer”) menar vi färdighet utan hjälpmedel såsom räknare eller formelsamling; det är den typ av färdighet som högskolan efterfrågar. Stoffgapet och kulturklyftan

Vi sammanfattar här den diskrepans mellan gymnasiets mål och högskolans förväntningar i matematik som vi har observerat. 1 Det finns begrepp och färdigheter som högskolan förutsätter som förkunskaper men som

överhuvudtaget inte ingår i gymnasiets kurser A – D: i avståndsformeln i planet och cirkelns ekvation; ii kvadratkomplettering (detta förekommer visserligen vid härledning av

lösningsformeln för andragradsekvationer, men betonas inte som en färdighet i sig); iii absolutbeloppsfunktionen; iv förmåga att lösa enklare icke-linjära olikheter.

2 Inom ett flertal stoffområden förväntar sig högskolan ett större begreppsmässigt djup och

mer långtgående färdigheter än vad gymnasiets kurser syftar till:

i algebraisk förmåga såsom t ex faktorisering av polynom, förenkling av rationella uttryck, räkning med rötter och rationella potenser;

ii lösning av ekvationer och enklare linjära olikheter; iii logaritmer, såväl vad gäller grundläggande egenskaper som förmåga att omforma

uttryck med hjälp av logaritmlagarna; logaritmer i annan bas än 10, speciellt naturliga logaritmer, och basbyte i logaritmer;

iv de trigonometriska funktionernas definition på enhetscirkeln och förmåga att förenkla trigonometriska uttryck och lösa ekvationer med hjälp av de vanligaste trigono-metriska identiteterna;

v funktionsbegreppet, t ex begreppen sammansättning respektive inversfunktion;

Vad som kan sägas ingå i gymnasiets kurser beror i viss mening på vilken betygsnivå man har i åtanke. I ovanstående klassificering har vi i under punkt 1 placerat sådant som enlig vår bedömning inte ingår generellt på någon betygsnivå. Punkt 2 syftar på sådant som en merpart av de nyantagna studenterna vid KTH, varav de flesta har höga gymnasiebetyg i matematik, känner till ifrån gymnasiet men ändå skulle behöva studera från grunden i högskolans första kurser. 3 Vi kan också se en skillnad i syn på vad matematiskt kunnande innebär:

i Den beräkningsmässiga komplexiteten på inledande uppgifter på högskolan är ofta betydligt högre än på motsvarande uppgiftstyper i gymnasieskolan. Det observeras av högskolans lärare som en ”svårighet att lösa uppgifter som kräver flera steg” och ”matematisk oföretagsamhet”.

ii Som nämnts förväntar man sig vid högskolan färdigheter som är oberoende av hjälpmedel som formelsamlingar, tabeller och räknare. Med andra ord: att kunna ett område matematik innebär i högskolans kultur bl a att kunna utföra nödvändiga beräkningar för hand och att kunna en uppsättning standardformler, dessa färdigheter ses som en integrerad del av det matematiska kunnandet som korsbefruktar andra komponenter som begreppsförståelse och problemlösningsförmåga. Detta står i stark kontrast med den kunskapssyn som råder i gymnasieskolan: formelsamlingar är ett självklart hjälpmedel och grafritande räknare används i stor omfattning som hjälpmedel vid numeriska kalkyler, ekvationslösning och grafritande. Beräkningar och formler ses här snarare som hinder som står i vägen för begreppsförståelse och modellering, hinder som kan undanröjas med nämnda hjälpmedel.

iii I analyser av tentamenslösningar observerar vi hur studenter mitt i en lösning, implicit eller explicit, postulerar en falsk identitet. Ifrån gymnasiet är studenten van att vid behov kunna söka efter lämpliga former i sin formelsamling, nu skall man tydligen söka i sitt eget minne. Högskolans syn på saken är en annan: formler ingår i en konsistent helhet, de kan härledas ur varandra och de kan testas, falsifieras eller bevisas. På så vis utgör t ex de vanligaste trigonometriska formlerna enligt högskolekulturen en självklar del av det som konstituerar ”att kunna elementär trigonometri”.

iv Den skilda kunskapssynen leder ibland till direkta missförstånd mellan gymnasiet och högskolan. Ett exempel: logaritmer behandlas, främst i kurs C, på gymnasiet. Logaritmen används här främst för att lösa ekvationer (ofta hämtade från problem rörande exponentiell tillväxt) med den obekanta i exponenten, och beräkningarna görs oftast med hjälp av räknare. Så högskoleläraren som anser att ”logaritmer ingår i gymnasiet” har på sätt och vis rätt, men har förmodligen också en felaktig föreställning om att gymnasiematematiken har haft vidare ambitioner, t ex att ge studenterna förmåga att manipulera formler m h a logaritmlagarna (utan tillgång till

formelsamling) och kunskap om logaritmfunktionens egenskaper.

Vi diskuterar vidare hur gymnasiets mål som de uttrycks i de nationella proven (de offentliggjorda årgångarna 2002 och 2005) förhåller sig till den bild som framträder i våra övriga undersökningar. De tekniska högskolornas förkunskapstest visar på en klar successiv försämring av nyantagna studenters förkunskaper inom de områden som de mäter, där räknefärdighet (aritmetisk och algebraisk) och kunskap om elementära funktioner spelar en stor roll. Om vi tänker på de nationella proven som styrande för gymnasiets undervisningsagenda är det inte förvånande; på dessa betonas begreppsbildning, begreppsförståelse och modellerande/verklighetsnära uppgifter, ofta i en form som inte kräver någon beräkningsförmåga alls, och den räknemässiga komplexiteten är mycket låg (speciellt på de uppgifter där räknare ej är tillåten). Till proven finns också en formelsamling med nödvändiga standardformler inom algebra och funktionslära; inga krav finns på att kunna eller kunna härleda relevanta formler.

Kan man skjuta upp lärandet av grundläggande färdigheter? En mycket viktig fråga är hur lärandet av matematik påverkas av att färdighetsträning inom aritmetik och algebra skjuts allt högre upp i åldrarna. Det är välkänt att vissa typer av färdigheter (språk t ex) lärs ojämförligt bäst i yngre år. Det är inte otroligt att även vissa matematiska färdigheter följer samma mönster. Vi efterlyser studier på detta område. Studiebakgrund och behörighetskrav

De flesta studenter som antas till KTHs civilingenjörsutbildningar har läst mer matematik än vad den särskilda behörigheten kräver. Den minoritet som precis uppfyller kraven betyg G på Kurs D tycks få mycket stora problem med det första årets matematikstudier. Detta visar på en diskrepans mellan de formella behörighetskraven och de reella. Behörighetskraven har sänkts i flera avseenden under ett antal år. Vi tänker då på att 1. när gymnasieskolan gick från det relativa betygssystemet till dagens målrelaterade betyg ändrades den särskilda behörigheten i matematik för civilingenjörsprogram från betyg 3 till betyg G, där G ofta bedöms innefatta även betyg 2 i det relativa systemet; 2. KTH såväl som en rad andra högskolor har sänkt behörighetskravet i matematik från Kurs E till Kurs D, en anpassning till vad som i dag utgör obligatoriska matematikkurser på det naturvetenskapliga programmet; 3. en betydande betygsinflation på gymnasiet har förändrat innebörden av behörighetsvillkoren. Timplanerna i gymnasiet förändrades när Lgy 70 (Läroplan för gymnasiet 1970) ersattes av Lpf 94 (Läroplan för de frivilliga skolformerna 1994), som i sin tur modifierades år 2000. Förändringarna skulle kunna sammanfattas på följande sätt: För tio år sedan var det särskilda behörighetskravet i matematik betyg 3 från en kurs om ca 360 klocktimmar, idag är den motsvarande betyg 2 från kurser om totalt ca 300 klocktimmar schemalagd undervisning.

Referenser

En längre sammanfattande rapport såväl som rapporter från olika delprojekt inom studien finns att tillgå på projektets hemsida www.math.kth.se/gmhf . I dessa rapporter finns också referenser till tidigare studier inom detta område.