6. lingkaran
TRANSCRIPT
I. UNSUR-UNSUR LINGKARAN.(i). Unsur lingkaran yang berbentuk titik dan garis• Titik pusat : setiap lingkaran memiliki 1 titik pusat (titik P)• Keliling Lingkaran (lingkarannya)• Garis Tengah (Diameter) = d (misalnya Garis AB , Grs CD , dsb)• Jari-jari (Radius) = r (misalnya Garis AP , Garis EP , dsb)• Busur (misalnya Garis lengkung AD , dll)• Tali busur (misalnya Garis lurus AD , garis Lurus AC , dll)
A B
C
D
E
rP
rCatatan :1. Diameter selalu dua kali
panjang Jari-jari :
d = 2r2. PF saling tegak lurus dengan
tali busur AD, maka AG = GDF
G
(ii). Unsur Lingkaran yang berbentuk Daerah dan Sudut.• Juring Lingkaran (misalnya : daerah yang diarsir BPC , dll)• Tembereng (misalnya daerah yang dibatasi Busur AC dan Tali Busur AB , dll)• Sudut Pusat : misalnya Sudut BPE , dll• Sudut Keliling : misalnya Sudut ACP , dll
A B
D
C
Juring Lingkaran
Tembereng
P
E
Pendekatan nilai π (pi)Pi (π) adalah bilangan yang nilainya tertentu. Berapa nilainya? Kita akan bahas seperti berikut ini!Lingkaran dengan jari-jari 2 cm atau diameter = 4 cm ,digelindingkan satu kali berputar. Jarak yang ditempuhkurang lebih 12,57 cm , sebagai berikut ini :
±12,57 cmr = 2
Maka keliling lingkaran itu adalah sekitar 12,57 cmDengan demikian : Keliling lingkaran
diameternya12,57 cm
4 cm= = 3,1425
Keliling lingkaran dibagi diameternya = 3,1425
Nilai tersebut mendekati nilai sebenarnya , yaitu :
= 3,1415926535897932384626433832795 ….
Pada kehidupan sehari-hari nilai yang dipakai adalah
pembulatan sampai 2 desimal.
Jadi : = • Pada perhitungan yang kita akan gunakan nilai = 3,14 atau = 22
7
Keliling LingkaranDiameternya
II. KELILING DAN LUAS LINGKARANA. KELILING LINGKARANKita telah mengetahui bahwa : =
Maka Keliling Lingkaran = x diameternya.Dengan demikian rumus untuk menghitung Keliling lingkaran adalah :
K = d atau K = 2r
Keterangan : K = Keliling Lingkarand = diameter lingkaran tersebutr = Jari-jari lingkaran
= 3,14 atau =227
Keliling LingkaranDiameternya
Contoh 1 :Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari :a. 15 cm b. 28 cmJawab :a. K = 2 r
K = 2 x 3,14 x 15 cmK = 94,2 cm
Jadi Keliling = 94,2 cm
b. K = 2 rK = 2 x 22/7 x 28 cmK = 176 cm
Jadi Keliling = 176 cm
Contoh 2 :Diketahui taman berbentuk lingkaran dengan keliling = 282,6 m. Tentukanlah panjang diameternya!( = 3,14)
Penyelesaian :
Dik. : K = 282,6 m , = 3,14Dit. : d = …?
Jawab : K = d
282,6 m = 3,14d d = 282,6 m : 3,14 = 90 m
Maka Diameternya = 90 m
Contoh 3 :
Sebuah roda dengan diameter 65 cm digelindingkandilantai. Jika roda itu berputar sebanyak 8 kali , tentukan panjang lintasannya.
Penyelesaian :Dik. : Roda dengan d = 65 cm
banyak putaran = 8 kaliDit. : Panjang lintasan = …?
Jawab :Panjang lintasan = 8 x K
= 8 x d = 8 x 3,14 x 65 cm= 1632,8 cm
Maka Lintasan Roda itu = 1632,8 cm = 16,328 m
Contoh 4 :Perhatikan gambar di kanan ini!Panjang Radius = r = 63 cm ,∠AOB = 1200. Tentukan Panjang Busur pandek AB!
Penyelesaian :Dik. : r = 63 cm
Sudut Pusat = 1200
Dit. : Panjang busur pendek AB = … cm?Jawab :Panjang busur pendek AB =
= 1/3 x 2 r
= 1/3 x 2 x 22/7 x 63
= 132 cm
1200
OA
B
63 cm
Busur pendek AB
1200
3600 x KJadi Panjang Busur Pendek AB = 132 cm
Contoh 5 :Pada gambar di kanan ini ,diketahui diameter roda kecil (i) = 30 cm dan diameter roda besar (ii) = 50 cm.Jika Roda kecil berputar 20 kali , berapa kali putaran roda besar?
Penyelesaian :Dik. : r(i) = 30 cm , r(ii) = 50 cm dan Roda (i) berputar = 20 kaliDit. : Roda (ii) berputar = … kali ?
Jawab :Misalkan roda (ii) berputar = n kali , maka :
nK(ii) = 20K(i)
n x 157 = 20 x 94,2n x 157 = 1884n = 1884 : 157 = 12
K(i) = d = 3,14 x 30 = 94,2
K(ii) = 3,14 x 50 = 157
(i) (ii)
Jadi roda besar (roda (ii) berputar 12 kali
B. LUAS LINGKARAN• Luas Lingkaran dan Luas Persegi panjang.
Luas Lingkaran = Luas Persegi Panjang ABCD = Panjang x Lebar= 1/2K x r= r x r = r2
Panjang = ½K
Leba
r =
r
r
A B
CD
Untuk setiap lingkaran luasnya dapat dihitungdengan rumus :
L = r2 L = Luas Lingkaran
r = Jari-jari (radius) lingkaran = 1/2diameter = 3,14 atau = 22/7
Contoh 1 :
Hitunglah Luas lingkaran jika diameternya :
a. 20 cm
b. 42 dm
Penyelesaian Contoh 1 :
a. Dik. : d = 20 cm
↔ r = 10 cm
Dit. : L = …?
Jawab :
L = r2
L = 3,14 x (10 cm)2
= 3,14 x 100 cm2
= 314 cm2
b. Dik. : d = 42 dm
↔ r = 21 dm
Dit. : L = …?
Jawab :
L = r2
L = 22/7 x (21 dm)2
= 22/7 x 441 dm2
= 1386 cm2
Contoh 2 :Keliling suatu lingkaran = 62,8 cm. Hitunglah luas lingkaran tersebut!Penyelesaian :Dik. : K = 62,8 cmDit. : L = …?Jawab : L = r2
L = 3,14 x (10cm)2
L = 3,14 x 100 cm2
L = 314 cm2
Contoh 3 :Gambar dikanan ini adalah suatu daun pintu yang terbentuk dari setengah lingkaran dan persegi.Tentukan : a. Keliling daun pintu itu!
b. Luas daun pintu tersebut! 98 cmK L
N M
K = 2r62,8 = 2 x 3,14 x r62,8 = 6,28 x r
r = 62,8 : 6,28 = 10
Penyelesaian :
Dik. : Daun Pintu = setengah lingkaran + persegi KL = KN = NM = diameter = 98 cm
Dit. : a. K. daun pintu = …? b. L. daun pintu = …?
Jawab :a. K. Daun pintu = NK + KL + LM + busur MN = 3 KL + ½ K.lingkaran
= 3 x 98 + ½ x 22/7 x 98 = 294 + 154 = 448
b. L. Daun pintu = Luas KLMN + L. ½ lingkaran= 98 x 98 + ½ x 22/7 x 492
= 9604 + 3773 = 13377
98 cmK L
N M
Jadi Luas daun pintu = 13377 cm2
Jadi :Keliling daun pintu = 448 cm
r = 98/2 = 49
Contoh 4 :
Perhatikan gambar di kiri ini. Garis lengkung
AC adalah busur lingkaran yang berpusat di D
Hitunglah luas daerah yang diarsir!
Penyelesaian :Dik. : AD = AB = r = 20 cmDit. : Luas yang diarsir = …?Jawab :(dihalaman berikut)
20
cm
A B
CD
Jawab 4 :
LYang diarsir = LABCD – Llingkaran
LYg diarsir = s2 –
= (20 cm)2 – .3,14. (20 cm)2
= 400 cm2 – .3,14. 400 cm2
= 400 cm2 – 314 cm2
= 86 cm2
Jadi Luas yang diarsiradalah 86 cm2
20
cm
A B
CD 41
41
s
s
14 r2
14 r2
14
III. GARIS SINGGUNG
A. PENGERTIAN GARIS SINGGUNG LINGKARANPada setiap lingkaran ada banyak Garis Singgung, sbb. :
• Garis singgung ialah garis lurus yang memotong lingkaran pada satu titik.
• Titik potong garis singgungdengan lingkaran disebuttitik singgung.
• Setiap garis singgung saling tegak lurus dengan Jari-jari di titik singgung.
P
L
KTitik SinggungGaris Singgung
Contoh 1 :
Pada gambar diatas , garis LM
adalah garis singgung
lingkaran yang berpusat di P.
Bila ∆PKM adalah sama sisi ,
tentukanlah besar∠KLM.
Jawab :
Pada ∆PKM :
PK = PM = KM , maka
∠KPM = ∠PKM = ∠PMK = 600
∠KLM = 1800 – (∠KPM + ∠PML)
= 1800 – (600 + 900)
= 300
Catatan : ∠PML = sudut yang dibentuk jari-jari dan garis
singgung = 900.
KL
M
P
Contoh 2 :
Pada gambar dikanan ini
PA = 9 cm dan AB = 6 cm.
Tentukanlah panjang BC !
Jawab :
Pada segitiga BCP , siku-siku di C , maka :
BC2 = BP2 – PC2
= (15 cm)2 – (9 cm)2
= 225 cm2 – 81 cm2
= 144 cm2
↔BC = √144 cm2
= 12 cm
A B
C
P
PC = PA = r = 9 cm
PB = PA + AB = 9 cm + 6 cm= 15 cm
9cm
9cm
6cm
Contoh 3 :
Segi-4 PQRS adalah Layang-
layang garis singgung.
Jika PS = 15 cm dan
PR = 25 cm , hitunglah Luas
layang-layang tersebut!
Jawab :Pada ∆PRS :
SR2 = PR2 – PS2
= 252 – 152
= 625 – 225= 400
↔ SR = √400 = 20 cm
Maka :
L PQRS = 2 x L∆PRS
= 2 x ½ PS x SR= PS X SR= 15 cm x 20 cm= 300 cm2
Jadi Luas Layang-layang PQRS adalah 300 cm2
P
S
R
Q
B. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN
(i). Pengertian Garis Singgung Persekutuan
Sebuah garis disebut Garis Singgung Persekutuan dua lingkaran , jika garis tersebut merupakan garis singgung untuk kedua lingkaran tesebut.
Garis singgung persekutuan dua lingkaran terdiri dari dua jenis, yaitu :
1). Garis singgung persekutuan luar.Pada gbr : Garis AB dan Garis CB
2). Garis singgung persekutuan dalam. Pada gbr : garis KL dan garis MN
O P
AB
CDK
LM
N
Pada Kertas Buram :GAMBAR DUA LINGKARAN SEPERTI DIBAWAH INI!LALU GAMBARKAN SEMUA GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN KEDUA LINGKARAN TESEBUT !
Kerja Kelompok1. Gambar dua buah lingkaran sedemikian
rupa sehingga garis singgung persekutuannya hanya 3 buah.
2. Gambar dua lingkaran sehingga garis singgung persekutuannya hanya 2 buah
3. Gambar dua buah lingkaran dengan syarat garis singgung persekutuannya hanya 1 buah.
O P
B
(ii). Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL)
Jika OP = 17 cm , OA = 11 cm dan PB = 3 cm , a. Tentukanlah panjang AB!.b. Bagaimanakah
rumusnya?
Garis AB = Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL) padalingkaran O dan lingkaran P.Garis OP = jarak titik pusat kedualingkaran itu.
Garis OA = r1 = jari-jari lingkaran pertama.
Garis PB = r2 = jari-jari lingkaran kedua.
Pada ∆OPC , ∠C = 900 , OC = r1 – r2 dan CP = AB. Maka Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dapat ditentukan dengan rumus :
C
GSPL. AB = OP2 – (r1 – r2)2
A
Jawaban :a. CP2 = 172 - 82
= 289 -64= 225
Maka CP = √225 = 15 Jadi AB = CP = 15 cm a. Rumusnya , sbb :
Contoh 1 :
Diketahui lingkaran I berpusat di O dan jari-jari = r1 = 15 cm ,
lingkaran II berpusat di P dan jari-jarinya = r2 = 5 cm.Jika jarak titik pusat = OP = 26 cm , tentukanlah panjang garis singgung persekutuan luarnya (GSPL).
Pernyelesaian :
Dik. : r1 = 15 cm , r2 = 5 cm dan OP = 26 cm
Dit. : GSPL = …?
Jawab :
GSPL = OP2 – (r1 – r2)2
262 – (15 – 5)2=676 – 100=576 = = 24
Jadi Panjang Garis
Singgung Persekutuan
Luar = 24 cm
Contoh 2 :
Diketahui dua lingkaran dengan r1 = 2 cm dan r2 = 11 cm.
Jika panjang garis singgung persekutuan luar = 12 cm ,
tentukanlah jarak titik pusat kedua lingkaran itu!
Penyelesaian :
Misalkan Pusat lingkaran O dan P
Dik. : r1 = 2 cm , r2 = 11 cm
Gspl = 12 cm
Dit. : OP = …?
Jawab : Gspl = OP2 – (r1 – r2)2
(Gspl)2 = OP2 – (r1 – r2)2
(12)2 = OP2 – (2 – 11)2
144 = OP2 – (–9)2
OP2 =144 + 81 = 225 OP2 – 81 144 =
OP = 225 = 15
Jadi Jarak Titik Pusat OP = 15 cm
Contoh 3 :Pada sebuah mesin dijumpai
dua roda yang dihubungkan dengan
tali seperti gambar dikiri ini.
Sehingga Bila satu roda diputar yang
satu lagi ikut berputar.
Jika panjang jari-jari kedua roda itu
sama paanjang 5 cm dan jarak titik
pusatnya = 13 cm tentukanlah
panjang tali tersebut!
Penyelesaian :
Dik. : r1 = r2 = 5 cm
Jarak titik pusat = 13 cm
Dit. : Panjang Tali penghubung = PTp = …?
Jawab :
PTp = 2 x Panjang Gspl + 2 x ½ K
= 2 x Panjang Gspl + K
= 2 x 13 cm + 31,4 cm
= 26 cm + 31,4 cm
= 57,4 cm
Jadi Panjang tali itu = 57,4 cm
Gspl = OP2 – (r1 – r2)2
Gspl = 132 – (5 – 5)2
Gspl = 169 – 02
Gspl = 169 = 13
K = 2rK = 2 x 3,14 x 5 = 31,4
(iii). Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD).
Dengan memperhatikan proses gambar berikut ini , tentukanlah rumus untuk menentukan panjang Garis Singgung Persekutuan
Dalam (GSPD). Dengan catatan Jari-jari lingkaran besar = r1 dan
jari-jari lingkaran kecil = r2 dan GSPD-nya = KL
Pada ∆OPM , ∠M = 900 ,
KL = MP dan OM = r1 + r2
Maka rumus untuk
menentukan panjang GSPD
adalah :
K
L
M
PO
Gspd. KL = OP2 - (r1 + r2)2
Contoh 1 :
Diketahui dua lingkaran dengan r1 = 3 cm , r2 = 5 cm dan jarak titik pusatnya = OP = 17 cm. Tentukanlah panjang salah satu garis singgung persekutuan dalam (Gspd)! Penyelesaian :
Dik. : r1 = 3 cm , r2 = 5 cm dan KL = 17 cm
Dit. : Gspd = …?
Contoh 2 :Pada gambar dikanan ini KL adalahgaris singgung persekutuan dalam. Jika OK = PL = 4 cm dan AB = 18 cm, tentukanlah panjang KL
OP2 - (r1 + r2)2
= 172 - (3 + 5)2
= 289 - 64
=
Jawab :Gspd =
225 = 15 cm
Jadi Panjang Garis singgung kedua lingkaran itu = 15 cm
O PA B
L
K4
4
Penyelesaian :
Dik. : OK = r1 = 4 cm ,
PL = r2 = 4 cm , AB = 18 cm
Dit. : Panjang Gspd = KL = … ?
Jawab :
O PA B
L
K4
4
Gspd. KL = OP2 – (r1 + r2)2 OP = AB – AO – PB OP = AB – OK – PL OP = 18 – 4 – 4OP = 10
Gspd. KL = 102 – (4 + 4)2
Gspd. KL = 100 – 64
Gspd. KL = 36 = 6
Jadi panjang KL (garis singgung persekutuan dalam)adalah = 6 cm
Contoh 3 :Pada Gbr. dikanan ini OP = 39 cm ,OK = 9,5 cm dan PM = 5,5 cm.Jika pada ∆OPQ , ∠Q = 900 , tentukanlah :a. Panjang MQ !b. Luas ∆OPQ !
Penyelesaian :Dik. : OP = 39 cm
OK = r1 = 9,5 cmPM = r2 = 5,5 cm
Dit. : a. MQ = …?b. L ∆OPQ = ...?
Jawab : a. MQ = PQ – PM MQ = KL – r2
O P
Q
M
L
K
KL = OP2 – (r1 + r2)2
392 – (9,5 + 5,5)2KL =1521 – 225 KL =1296 = 36KL =
MQ = KL – r2
MQ = 36 – 5,5MQ = 30,5Jadi Panjang MQ = 30,5 cm
b. L ∆OPQ = OQ x PQ2
L ∆OPQ = 15 x 362
L ∆OPQ = 270 Jadi Luas ∆OPQ = 270 cm2
OQ = OK + KQ = 9,5 + 5,5 = 15
IV. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
A. BUSUR SEBAGAI SUDUT• Busur sebagai sudut adalah sama dengan sudut pusat
yang menghadap busur tersebut.
Sudut APB = 500
Maka :besar busur AB = Besar AB = 500
500500P
A
B
Catatan :Besar Busur : Dinyatakan dalam Sudut (derajat)Panjang Busur : Dinyatakan dalam Satuan Panjang.Besar Busur satu lingkaran = 3600
Contoh 1 :Jika Sudut POQ = 750 , tentukanlah besar :a. Busur PQb. Busur RS c. Busur PS
Jawab :
a. Busur PQ = ∠POQ= 750
b. Busur RS = ∠ROS = 750
c. Busur PS = ∠POS = 1800 – 750
= 1050
P
Q
R
S
O 750
P
Q
R
S
O 750
750
7501050
Satu PutaranPenuh = 3600
Jadi ∠ APB = 3600
PBA
• Satu Putaran Penuh = Perputaran dari awal sampai kembali keposisi semula , sbb. :
B. SUDUT SEBAGAI JARAK PUTAR
• Setengah Putaran Penuh (Sudut Lurus)
½ PutaranPenuh = ½ x 3600 = 1800 = Sudut Lurus
Jadi ∠ APB = 1800
(Garis AB = Garis lurus)
Jawab : 360 = 36/360 putaran penuh = 1/10 putaran penuh
360
PB A
P
B
A
Contoh 1 :Berapa putaran penuh sudut 360 ?
1800
Contoh 2 :
Hitunglah besar sudut :
a. ¾ putaran
b. ⅛ putaran
c. ⅔ putaran
d. ⅝ putaran
e. 0,4 putaran
Jawab :
a. ¾ putaran = ¾ x 3600 = 2700
b. ⅛ putaran = ⅛ x 3600 = 450
c. ⅔ putaran = ⅔ x 3600 = 2400
d. ⅝ putaran = ⅝ x 3600 = 2250
e. 0,4 putaran = 0,4 x 3600 = 1440
Contoh 3 :
Berapa putarankah sudut berikut ini ?
a. 800 b. 600 c. 150 d. 960
Jawab :
a. 800 = 800
3600 putaran = 29 putaran
b. 600 = 600
3600 putaran = 16 putaran
c. 150 = 150
3600 putaran = 124 putaran
d. 960 = 960
3600 putaran = 415 putaran
KESIMPULAN :• Satu putaran penuh adalah perputaran dari awal sampai
kembali keposisi semula.• Satu putaran penuh = 3600
• Setengah putaran penuh = ½ x 3600 = 1800 = Sudut Lurus.
• Sudut n0 =
PBA
ab putaran penuh =
3600 x ab
n0
3600putaran penuh
PB A.
C. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING(i). Pengertian Sudut Pusat dan Sudut Keliling.
Pada setiap Lingkaran :
• Sudut Pusat ialah Sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari.Titik sudutnya = Titik pusat lingkaran
• Sudut Keliling ialah Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur.
Titik sudut setiap sudut keliling terletak pada keliling lingkaran
p0 = ∠ pusat
O
p0
AB
k0
M
O
K
L
k0 = ∠ keliling
(ii). Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling
Soal pengantar.Pada masing-masing gambar berikut ini tentukanlah x0 !
Jawab :1. x0 = 600 + 550 = 1150
2. x0 = 630 + 630 = 1260
3. x0 = 410 + 410 = 820
600
550
x0
1. 2.630
x0 x0
3.
410
x0 = a0 + b0
a0
b0
x0
Kesimpulan :
P
Pada gbr dibawah ini :
∠APC = ∠Pusat∠ABC = ∠Keliling
Ditarik garis bantu BD.
1) Pada ∆PAB , AP = BP = Jari-jari= r ,
maka : ∠PAB = ∠PBA = m0
Sehingga ∠APD = m0 + m0 = 2m0… (1)
2) Pada ∆PBC , BP = CP = Jari-jari= r ,
maka : ∠PBC = ∠PCB = n0
Sehingga ∠CPD = n0 + n0 = 2n0 ….. (2)
∠APC = ∠APD + ∠CPD …(1) dan (2) = 2m + 2n
= 2(m0 + n0)
∠APC = 2 ∠ABC
A
B
C
rrm0 m
0
n0
n0
2m0
2n0
D∠ABC = m0 + n0
Jadi : ∠Pusat = 2∠Keliling
Kesimpulan :
Pada setiap lingkaran apabila Sudut Pusat dan Sudut Keliling menghadap busur yang Sama panjang maka :Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling.
Pada Gambar disamping ini :
Sudut Pusat = Sudut APC = p0 dan
Sudut Keliling = Sudut ABC = k0
Kedua sudut itu sama-sama
menghadap Busur AC.
Maka p0 = 2 x k0
CP
A
B
p0
k0
Contoh 1 :Pada masing-masing gambar berikut ini tentukanlah x0 dan y0 !
Jawab :
a. x0 = 2 . 670
= 1340
b. y0 = ½ .sudut siku-siku = ½ .900
= 450
c. x0 = ∠EDF = ½ . 480 = 240
y0 = 2 . 240
= 480
AB
C
O x0670a.
K
L
M
Oy0
b.
P
480
x0
y0D
E
F
G H
I
240c.
O
Contoh 2 :
Pada gambar di kanan ini , titik O adalahpusat lingkaran dan AB = diameter.Tentukanlah k0 !
Jawab :
∠AOB = Sudut Pusat = 1800
Maka : k0 = 1800 : 2 = 900
Sudut keliling yang menghadap busur setengah lingkaran atau yang menghadap diameter besarnya selalu 900 (Siku-siku)
Pada Gbr di kiri ini sudut C = 900
A
C C C
C
C
B
O
k0
A B
C
Contoh 3 :
Pada Gambar dikanan ini titik O adalahpusat lingkaran. Jika ∠ACB = 460 , tentukanlah besar busur AB!
Jawab :Besar Busur AB = 2 x 460
= 920
Contoh 4 :
Lihat gambar di kiri ini!Titik pusat Lingkaran adalah titik P.Jika besar busur DF = 370 , tentukanlah ∠DEF !Jawab :Besar busur ∠DEF = 370 : 2 = 18,50
460
A B
C
920
920
370
D
F
E
P
Contoh 4 :
Tentukanlah gambar disamping ini titik O pusat lingkaran dan BD garis tengah.a. Jika besar Busur AD = 620 ,
tentukanlah x0 !b. Bila ∆PBC adalah sama sisi ,
hitunglah y0 !
Jawab :
a. x0 = ½ busur AB = ½ (1800 – 620) = ½ x 1180 = 590
b. y0 = 900 – 600
= 300
B
x0
y0
O
AC
D620
(i). ∠BCD = 900 , sebab ∠DEF = sudutkeliling yang menghadap diameter.
600
(ii). ∠DCO = ∠DOC = ∠CDO = 600 , sebab ∆PBC sama sisi
Contoh 5 :
Pada gambar dibawah ini O titik pusat lingkaran KM = diameter ,sudut KJL = 1170 , dan sudut KML = 480.
Tentukanlah : a. Besar busur LM b. Besar ao
c. Besar b0 d. Besar busur KNJawab :a. Besar busur LM = 1800 – bs. KL
= 1800 – (2x48)= 1800 – 960
= 840
b. Besar ao = sudut KML = 480
c. Besar b0 = 1170 – 480 = 690
d. Besar busur KN = 1800 – (2x690)= 1800 – 1380
= 420
O
KN
L
M
48 o
117
o
J
bo
ao
VI. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSURA. PENGERTIAN.
Pada sebuah lingkaran , jika kita menggambar dua tali busuryang tidak sejajar , maka ada dua kemungkinan , yaitu :1). Mungkin berpotongan didalam lingkaran.2). Mungkin berpotongan diluar lingkaran.
Misalnya :(i). Gbr. kanan : Dua tali busur yang
berpotongan didalam lingkaran.
(ii).OA
B
CD
P
OA B
C
D
PGbr. Kiri : Dua tali busur yang Berpotongan diluar lingkaran
B. MENENTUKAN BESAR SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR
(i). Besar Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
Pada gbr. dikanan ini AC dan BD adalah tali busur yang berpotongan di P. Maka ada 4 buah sudut yang terbentuk , yaitu : ∠APD , ∠BPC , ∠APB dan
∠DPC.∠APD =∠BPC , dan ∠APB = ∠DPC.
Pertanyaan :Jika Bs. AB = 1180 , Bs. CD = 126 , maka :1). ∠ADP = …0 dan ∠BPC = …0
2). n0 = …0
O
A
B
C
D
P
1260
1140
n0
n0
Pada gambar dikanan ini salah satu Sudutantara tali busur adalah : ∠DPC = n0
Besar ∠DPC = ∠ADP + ∠DAP Besar ∠DPC = ½ bs.AB + ½ bs.CDBesar ∠DPC = ½ (bs.AB + bs.CD)Jadi n0 = ½ (114 + 126)
= 1200
Untuk dua tali busur yang berpotongan didalam lingkaran berlaku rumus sbb :
O
A
B
C
D
P
1260
1140
n0
O
D
B
C
A n0
x0P ∠APB =
Jlh 2 busur dihadapan ∠APB 2
Misalnya pada Gbr dikanan ini :
n0 = bs. AB + bs. DC2
dan x0 =bs. AD + bs. BC
2
Contoh 1 :Lihat gambar dikanan ini!Tentukanlah :a. m0 b. n0
Jawab :a. m0 = ½ (71 + 87)0 = 790
b. n0 = 1800 – 790 = 1010
Contoh 2 :
Pada gambar di kiri ini , SQ tali busur
yang melalui pusat lingkaran (jadi SQ
adalah diameter).
Jika besar bs. PQ = a0 , ∠QTR = 700 dan besar bs. QR = 790, tentukanlah a0 !
870
A
B
C
D
m0n0
710
P
Q
R
S700
T
790
a0
Jawab :
a0 = 1800 – bs. SP
a0 = 1800 – 690
a0 = 1110
Jadi a0 = 1110
Pada gambar dikiri ini AC = diameter. Jika bs.AD = x0 , bs.AB = 3x0 , bs.BC = y0
dan bs. CD = 2y , tentukanlah :a. Nilai x b. Nilai yc. n0
Tn0
3x0
y0
2y0
x0 A
B
C
D
P
Q
R
S700T
790
a0
bs.RQ + bs.SP= 1400
790 + bs. SP= 1400
bs. SP = 1400 – 790 = 690
½(bs.RQ + bs.SP) = 700
Contoh 3 :
690
Bs. SP + bs. PQ = 1800
(busur ½ lingkaran)
…
Jawab :a. Pada Gambar , didapat :
3x + y = 180 x + 2y = 180
b. x = 36↔ 3x + y = 180↔ 3.36 + y = 180↔ 108 + y = 180↔ y = 180 – 108 = 72
Jadi y0 = 720
Tn0
3x0
y0
2y0
x0 A
B
C
D
x 1x 2 6x + 2y = 360
1x + 2y = 1805x + 0 = 1805x = 180x = 180 : 5 = 36
Jadi x0 = 360
c. n = bs. AB + bs. DC2
n = 108 + 1442
Bs. AB = 3x = 3. 36= 108
Bs. DC = 2y = 2. 72= 144
n = 126
Maka : n0 = 1260
(ii). Besar Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran
Soal pengantar :1). Pada gbr. (1) dikanan ini , jika m0 = 630
dan n0 = 250 , tentukanlah p0!
2). Pada gbr. (2) nilai m0 dan n0 seperti gbr. (1) , tentukanlah :a. bs. AD b. bs. BC
Jawab :1). m0 = n0 + p0
630 = 250 + p0
p0 = 630 – 250
p0 = 380
A B
C
D
L
O
po
mo
no
no po
mo
Gbr. (1)
Gbr. (2)
2). a. bs. AD = 2 x m0
= 2 x 630
= 1260
b. bs. AD = 2 x n0
= 2 x 250
= 500
Dari pengalaman pada penyelesaian diatas :(i). AB dan CD adalah Tali busur , setelah diperpanjang berpotongan di L , diluar
lingkaran dengan sudut p0 = ∠BLC.
(ii). Sudut p0 adalah sudut antara dua tali busur.
(iii). Busur dihadapan p0 adalah Busur AD dan busur BC
Jadi : ∠BLC = p0 = m0 – n0
A B
C
D
L
O mo
no pono po
mo
Rumus untuk besar sudut antara 2 tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah sbb.:
∠BLC = Selisih dua busur dihadapan ∠BLC
2
∠BLC = p0 = Bs. AD – bs. BC
2 atau
p0 = ½ bs. AD – ½ bs. BC
Contoh 1 :Diketahui busur KM = 470 , busur
JN = 1350 (lihat gambar dikiri ini!)
Tentukanlah besar ∠KLM !
Jawab :
∠KLM =
1350
J
L
M
K
O
470
N
bs. JN – bs. KM2
153 – 47 2=
106 2=
= 530
Jadi besar ∠KLM = 530
530
Contoh 2 :Lihat gambar dibawah ini! Titik O pusat lingkaran , ∆OMN adalah sama sisi dan sudut JON = 360.Tentukanlah a0 !
Penyelesaian :
Dik. : ∆OMN = sama sisi (sudut besar)
∠JON = 360
Dit. : a0 = … ?JL
M
KO
360
N
ao
Jawab :
a0 = bs. KM – bs. JN2
840 – 362a0 =
a0 = 48 2 = 240
bs. JN = ∠JON = 360 bs. KM = ∠KOM
= 1800 – (∠MON + 360) = 1800 – (600 + 360) = 840
Contoh 3 :
Pada gambar dibawah ini , EH = diameter , bs. DH = 850.
Jika ∠P = 300 , tentukanlah besar bs. FG!
Penyelesaian :
Dik. : EH = diameter , bs. DH = 850 ,∠P = 300
Dit. : bs. FG = … ?
Jawab : ∠P = ½ (bs. DE – bs.FG)↔ 300 = ½ (1800 – 850 – bs. FG)↔ 600 = 950 – bs.FG↔ bs. FG = 950 – 600
↔ bs. FG = 350
Jadi besar bs. FG = 350
DE
GF
O
30o
H
850
P
VII. SEGI-n TALI BUSURA. SEGI EMPAT TALIBUSUR
Soal Pengantar :
Pada gambar di sebelah ini , KM dan LN adalah diameter!1). Hitunglah besar ∠KLM +
∠KNM!2). Hitunglah besar ∠LKN + ∠LMN!
Jawab :
1). ∠KLM + ∠KNM = 900 + 900 = 1800
2). ∠LKN + ∠LMN = 900 + 900 = 1800
Sebab : ∠KLM , ∠KNM , ∠LKN dan ∠LMN adalah ∠Keliling yang menghadap diameter
OK
L
M
N
Pada Soal pengantar : Garis KL , LM , MN dan KN adalahtalibusur , sehingga segi-empat KLMN disebut segi-4 tali busur.
Pada segi-4 KLMN :1). ∠KLM berhadapan dengan ∠KNM
dan jumlah kedua sudut itu = 1800
2). ∠LKN berhadapan dengan ∠LMNdan jumlah kedua sudut itu = 1800
Apakah pada setiap segi-4 tali busur , dua sudut berhadapan selalu berjumlah 1800?
Pada halaman berikut kita akan membahasnya!
OK
L
M
N
• Sifat-sifat segi-4 talibusur Pada gambar dikanan ini :ABCD adalah segi-4 talibusur.Sudut ABC = Sudut Keliling = k0 , dan p0
sudut pusatnya , maka : k0 = ½ p0
Sudut ADC = Sudut keliling = n0 , dan m0
sudut pusatnya , maka : n0 = ½ m0
Sehingga : k0 + n0 = ½ p0 + ½ m0
= ½(p0 + m0)= ½ x 3600
= 1800
Jadi : k0 + n0 = 1800 atau ∠ABC + ∠ADC = 1800
Dengan cara yang samadapat ditunjukkan bahwa : ∠BAD + ∠BCD = 1800
O
A
B
C
D
k0
p0n0
m0
Kesimpulan.
Pada setiap Segi-4 talibusur lingkaran , dua
sudut berhadapan selalu berjumlah 1800
Contoh 1 :
Perhatikan gambar di kanan ini!ABCD adalah segi-4 tali busur. Jika ∠ADC = 820 dan ∠BCD = 760 , tentukanlah : a. k0 b. t0
Jawab :
a. k0 + 820 = 1800
k0 = 1800 – 820
k0 = 980
O
A
B
C
D
k0
t0
820
760
b. t0 + 760 = 1800
t0 = 1800 – 760
t0 = 1040
Contoh 2 :
Pada gambar dikanan ini , ∠E = 540.Jika AE = BE , tentukanlah : a. s0 b. t0
Penyelesaian :
Dik. : ∠E = 540 dan AE = BEDit. : a. s0 = …?
b. t0 = …?
Jawab :a. Pada ∆ABE , AE = BE , maka s0 = ∠ABE
s0 +∠ABE = s0 + s0 = 2s0 = 1800 – 540 = 1260
⇔ s0 = 1260 : 2 = 630
b. s0 + t0 = 1800
630 + t0 = 1800 ⇔ t0 = 1800 – 630 = 1170
A
B
E
C
O
t0
D
540
s0
Contoh 3 :Lihat gambar di kanan ini! Tentukanlah :a. x0
b. y0
c. Besar masing-masing sudut segi-4 tali busur itu! Buat gambarnya
Jawab :
a. x0 + x0 = 1800
⇔ 2x0 = 1800
⇔ x0 = 1800 : 2 x0 = 900
b. 5y0 + 3y0 = 1800
⇔ 8y0 = 1800
⇔ y0 = 1800 : 8 y0 = 22,50
c. Sudut-sudutnya :
x0 = 900
3y0 = 3 . 22,50
= 67,50
5y0 = 5 . 22,50
= 112,50
O
3y0
x0
5y0
x0
O
67,50
900
112,50
900
Gambarnya :
B. SEGI-n BERATURANIngat bahwa :
1. Sudut satu putaran penuh = sudut pusat satu lingkaran = 3600 , seperti gambar di sebelah kiri ini. Pusat lingkaran = titik O
2. Sitiap segitiga jumlah besar ketiga sudutnya selalu 1800
3. Pada segitiga sama kaki selalu ada duasudut sama besar.Perhatikan gbr ∆ABC di kanan ini , sisinyaadalah AB , AC dan BC. Panjang AC = Panjang BC , maka :
∠BAC = ∠ABC atau ∠A = ∠B dan
3600O
A B
C
710 710
380
∠A + ∠B + ∠C = 1800
Contoh 1 :
Pada gambar di atas titik O adalah pusat lingkaran dan ABCDE = segi-5 beraturan.Tentukanlah :a. Besar sudut AOB b. Besar sudut OABc. Besar sudut ABC
Jawab :
a. Besar ∠AOB =
A B
C
D
EO
3600
5 = 720
b. Pada ∆ABC :
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 1800
c.
∠OAB = ∠OBA ,sebab AO = BO = Jari-jari lingkaran.
720 + ∠OAB + ∠OAB = 1800
∠OAB + ∠OAB = 1800 – 720
10802∠OAB = ∠OAB = 1080 : 2 = 540
Jadi ∠OAB = 540
∠ABC =∠OBA + ∠OAB∠AOB = ∠OAB = ∠OBA = 540
Jadi ∠OAB = 1080
= 540 + 540 = 1080
• Pada Segi-5 berturan ABCDE :
(i). ∠AOB = salah satu ∠ pusat
(ii). ∠BCD = salah satu ∠ keliling
• Pada setiap segi-n beraturan berlaku rumus :3600
n
3600
n
1). Besar sudut pusat =
2). Besar sudut keliling = 1800 –
A B
C
D
EO
Contoh 2 :Gambar dikanan ini adalah segi-8 beraturan dengan pusat titik P.Tentukanlah : a. x0 b. y0
Jawab :
a. ∠ pusat = x0 = 3600 : 8 = 450
b. ∠keliling = y0 = 1800 – 450 = 1350
Contoh 3 :Pada segi-24 beraturan , tentukanlah :a. Besar masing-masing sudut pusatnya!b. Besar masing-masing sudut kelilingnya!
Jawab :a. Besar masing-masing sudut pusat = 3600 : 24 = 150
b. Besar masing-masing sudut keliling = 1800 – 150 = 1450
P
y0
x0
VII. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA
A. PENGERTIAN
1). Lingkaran Dalam adalah Lingkaran yang dibuat didalam segitiga sedemikian sehingga sisi-sisi segitiga merupakan garis singgung padalingkaran (segitiga itu merupakan segitiga garis singgung)
2). Lingkaran Luar adalah Lingkaran yang dibuatdi luar segitiga sedemikian sehingga sisi-sisi seditiga itu merupakan tali busurpada lingkaran( segitiga itu merupakansegitiga tali busur)
(i). Cara melukis Lingkaran Dalam
A B
C
Kita akan melukis Lingkaran dalam ∆ABC , dengan cara menentukan titik pusat lingkaran terlebih dahulu , sbb. : (langsung diikuti siswa dengan alat Penggaris dan jangka)
K
L
M
N
P:A P:B
P: L
P:KP:M
P:N
Langkah-langkahnya : (1). Gambar segitiga ABC
(2). Gbr. Lingkaran Pusat A (P:A)(3). Tandai titik K dan L
T
U (4). Gbr. Lingkaran P: K(5). Gbr. Lingkaran P: L(6). Tandai titik T(7). Tarik garis ATx
xLakukan langkah (2) sd (7) , dari sudut B
Pusat lingkaran = titik potong garis bagi AT dan BU
(ii). Cara Melukis Lingkaran LuarLangkah-langkahnya :
(1). Gambar segitiga DEF(2). Gambar Lingkaran P:D
D E
F
P:D
(3). Gambar Lingkaran P:E
P:E
(4). Tandai Titik Potong P:D dan P:E , lalu hubungkan dengan garis lurus (garis itu merupakan sumbu sisi DE)
Dengan melakukan langkah 2 sd 4Gambarkan sumbu sisi DF
Titik perpotongan sumbu sisi DE dan sumbu sisi DF adalah pusat lingkaran luar tersebut
P:D
P:F
B. JARI-JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA
1). 2L.∆OAB = AB x r
2). 2L.∆OAC = AC x r
3). 2L.∆OBC = BC x r
2L.∆ABC = (ABxr) + (ACxr) + (BCxr)
= r (AB + AC + BC)
D
E
F
o
A B
C
t=r
t=r t=r
r =2L.∆ABC
AB + AC + BC
Untuk setiap segitiga dengan sisi I = S1 , Sisi II = S2 , Sisi III = S3 dan Luas = L , maka Jari-jari (r) Lingkaran Dalam dapat ditentukan dengan rumus :
r = 2LS1 + S2 + S3
Contoh :
Diketahui sebuah segitiga dengan panjang sisi : s1 = 13 cm ,
s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm. Tentukanlah panjang jari-jari lingkaran dalamnya!
Penyelesaian :Dik. : Segitiga : s1 = 13 cm , s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm. Dit. : Lingkaran dalam : r = …?Jawab :
r = 2L
s1 + s2 + s3K = s1 + s2 + s3
K = 13 + 14 + 15 = 42½ K = 21L = √ 21 ( 21 – 13 )( 21–14)( 21 – 15 )L = √ 21 . 8 . 7 . 6 L = 84
r = 2 . 8413 + 14 + 15
r = 16842 = 4
Jadi Jari-jari lingkaran dalam = 4 cm
C. JARI-JARI LINGKARAN LUAR SEGITIGAPada gambar dikanan ini , Lingkaran luar ∆ABCadalah berpusat di P. Dibuat diameter CD ,garis bantu DB dan tinggi CE.∠CAB = ∠CDB , sebab sama-sama menghadap busur BC dan ∠AEC = ∠DBC = 900 , maka ∆AECsebangun dengan ∆DBC , maka :AC : CD = CE : BC D
EA B
C
P
CE = AC x BCCD
… (1)
2 x Luas ∆ABC = AB x CE
2 x Luas ∆ABC AB
CE = … (2)
2 x Luas ∆ABC AB
AC x BCCD
… (1) (2)=
CD = AB x AC x BC 2 x Luas ∆ABC
2r = AB x AC x BC 2 x Luas ∆ABC
r = AB x AC x BC 4 x Luas ∆ABC
Jadi pada setiap segitiga dengan Sisi I = S1 , sisi II = S2 ,
sisi III = S3 dan Luasnya = L , maka Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga itu dapat ditentukan dengan Rumus :
Contoh 1 :Sebuah segitiga panjang sisinya adalah 6 cm , 8 cm dan 10 cm.Tentukanlah panjang jari-jari lingkaran luarnya!Jawab :
r = S1 x S2 x S3
4 x L
r =S1 x S2 x S3
4 x L
r =
L = 24 cm2
6 cm x 8 cm x 10 cm4 x 24 cm2 = 480 cm3
96 cm2 = 5 cm
Jadi Jari-jari lingkaran luar segitiga itu adalah = 5 cm
I. Unsur-unsur lingkaranII. Keliling dan Luas
Nilai piIII. Garis singgung : Persekutuan Luar/DalamIV. Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Sudut sebagai jarak putar : Busur sebagai SudutV. Sudut antara talibusurVI. Segi-4 Talibusur
Segi-n beraturanVII. Lingkaran Luar dan dalam segitiga
Berikut beberapa Konstanta yang dibulatkan sampai 4 desimal dan Rumus Luas Segi-n Beraturan dengan panjang sisi = S
Segi-n Konstanta Rumus Luas
Segi-n beraturan
3 0,4330 L = 0,4330 S2
4 1,0000 L = 1,0000 S2
5 1,7205 L = 1,7205 S2
6 2,5981 L = 2,5981 S2
7 3,6339 L = 3,6339 S2
8 4,8284 L = 4,8284 S2
9 6,1818 L = 6,1818 S2
10 7,6942 L = 7,6942 S2
11 9,3656 L = 9,3656 S2
12 11,1962 L = 11,1962 S2
13 13,1858 L = 13,1858 S2
Segi-n Konstanta Rumus Luas
Segi-n beraturan
14 15,3345 L = 15,3345 S2
15 17,6424 L = 17,6424 S2
16 20,1094 L = 20,1094 S2
17 22,7355 L = 22,7355 S2
18 25,5208 L = 25,5208 S2
19 28,4652 L = 28,4652 S2
20 31,5688 L = 31,5688 S2
21 34,8315 L = 34,8315 S2
22 38,2533 L = 38,2533 S2
23 41,8344 L = 41,8344 S2
24 45,5745 L = 45,5745 S2