1

บทท 1 ตรรกศาสตรและการพสจน (Logic and Proofs) คณตศาสตรมบทบาทส าคญตอชวตของมนษยเปนอยางมาก มนษยเรมเรยนรแนวทาง

คณตศาสตรจากสภาพแวดลอมหรอธรรมชาตแลวน าไปสการสรปเปนกฎเกณฑตาง ๆ ซงสามารถน าไปใชประโยชนในการด ารงชวตได โดยทวไปคนทไมไดเกยวของกบคณตศาสตรโดยตรงจะเขาใจวาคณตศาสตรเปนเรองของตวเลขและการค านวณเทานน ซงทจรงแลวคณตศาสตรเปนเรองทหมายรวมไปถงการแกปญหาและการใหเหตผลดวย คณตศาสตรนบวาเปนเครองมอทส าคญในการศกษาคนควาเพอสรางองคความรในศาสตรอน ๆ และคดคนสงประดษฐตาง ๆ ดงนนในการศกษาวชาคณตศาสตรจงจ าเปนทจะตองรและเขาใจเกยวกบธรรมชาตของคณตศาสตรเพอประโยชนในการเลอกวธทจะศกษาใหเหมาะสมและสอดคลองกบธรรมชาตของคณตศาสตรตอไป

ธรรมชาตของคณตศาสตร

นกคณตศาสตรไดสรปประเดนธรรมชาตของคณตศาสตรทส าคญ ๆ ไวดงน

1. คณตศาสตรเปนวชาทเกยวกบความคดรวบยอด

ในวชาคณตศาสตรมการสรางความคดตาง ๆ ขนซงความคดเหลานไดมาจากการสรปความคดเหนทเหมอน ๆ กน ซงอาจจะไดจากประสบการณหรอปรากฏการณตาง ๆ ทเกดขน เรยกวา ความคดรวบยอด เชน ความคดรวบยอดเรองการเทากนของจ านวน รปสเหลยมจตรส การเทากนทกประการ เปนตน ซงในแตละเนอหาของวชาคณตศาสตรเมอผเรยนไดศกษาและจะตองเกดความคดรวบยอดขนในเนอหานน ๆ จงจะเกดประโยชน

2. คณตศาสตรเปนวชาทแสดงความเปนเหตเปนผล

คณตศาสตรเปนวชาทมการแสดงแนวคดอยางเปนระบบ เปนขนตอน การสรปในแตละขนตอนจะตองมการอางองเหตผลอยางสมเหตสมผล ทกขนตอนในแตละเนอหาจะเปนเหตเปนผลตอกน มนษยจงสามารถใชคณตศาสตรเปนเครองมอในการศกษาคนควาองคความรใหม ๆ และคดคนสงประดษฐตาง ๆ ได

3. คณตศาสตรมลกษณะเปนสากล

ในวชาคณตศาสตรจะมการก าหนดสญลกษณขนใชเพอสอความหมาย ซงท าใหสามารถเขยนขอความทางคณตศาสตรไดรดกม ชดเจน สอความหมายไดถกตอง เกดความเขาใจตรงกน จงนบไดวาคณตศาสตรมภาษาเฉพาะของตวเอง เปนภาษาททกคนทเรยนคณตศาสตรเขาใจตรงกน เชน sin2 x+cos2x =1 เปนตน

2

3. คณตศาสตรเปนศลปะอยางหนง

ในการศกษาวชาคณตศาสตรนน นกคณตศาสตรนอกจากจะเปนนกคดแลวจ าเปนตองเปนผมจตนาการ ชางสงเกต มความละเอยดรอบคอบ รจกเลอกค าอนยาม บทนยาม สจพจน และทฤษฎบทมาใชไดอยางถกตอง ตามล าดบกอนหลงพรอมทงการใหเหตผลอยางสมเหตสมผล รวมถงการถายทอดสงทพสจนไดแลวออกมาอยางมระบบระเบยบ เปนขนเปนตอนอยางชดเจน พอจะสรปไดวาความงามของคณตศาสตรอยทความมระเบยบ ความกลมกลนของแนวคดตลอดจนความละเอยดถถวนและรอบคอบ

4. คณตศาสตรเปนวชาทมโครงสราง

โครงสรางของคณตศาสตรทสมบรณนนมก าเนดมาจากธรรมชาต โดยมนษยไดเฝาสงเกตความเปนไปของธรรมชาต ซงอาจจะเปนทางชววทยา ฟสกส จตวทยา เศรษฐศาสตร ฯลฯ โดยพจารณาปญหาตาง ๆ ของเนอหาเหลานนแลวสรปในรปนามธรรม สรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรของเนอหานน ๆ ซงแบบจ าลองทางคณตศาสตรประกอบดวย ค าอนยาม ค านยาม และสจพจน ทฤษฎบท จากนนจงใชตรรกศาสตรสรปออกมาเปนกฎหรอทฤษฎบทใหม แลวน ากฎหรอทฤษฎบทเหลานไปประยกตใชในธรรมชาตตอไป ดวยวธการดงกลาวท าใหมนษยเขาใจความเปนไปของธรรมชาตไดดยงขนและในขณะทน ากฎหรอทฤษฎบทไปประยกตใชกบธรรมชาต อาจจะไดขอมลใหมกอใหเกดการปรบปรงแกไขแบบจ าลอง จนกระทงอาจจะท าใหไดกฎหรอทฤษฎบททดกวาเดม แลวน าไปประยกตใชกบธรรมชาตอกครงหนง ดงแผนภมตอไปน

ทฤษฎบท

ใชตรรกศาสตร

3

โครงสรางของคณตศาสตร

โครงสรางของคณตศาสตรประกอบดวย 4 สวน ดงน

1. พจนอนยาม

พจนอนยาม (undefined term) หมายถงค าทไมสามารถใหค าจ ากดความได แตสามารถเขาใจความหมายได โดยอาศยการรบรจากประสบการณ ความคนเคยกบคณสมบตของมน เชน จด เสน ระนาบ เปนตน

2. บทนยาม

ค านยาม (defined term) หมายถงค าทสามารถใหค าจ ากดความไดโดยอาศยพจนอนยามหรอบททนยามทก าหนดไวกอนหนานน เชน รปสามเหลยมหนาจว รปสเหลยมจตรส วงกลม เสนขนาน เปนตน

3. สจพจน

สจพจน (postulate) หมายถงขอความทยอมรบหรอตกลงวาเปนจรงโดยไมตองพสจน เชน เสนตรงสองเสนตดกนทจดเพยงจดเดยวเทานน ลากเสนตรงใหผานจดสองจดทแตกตางกนไดเพยงเสนเดยวเทานน เปนตน

4. ทฤษฎบท

ทฤษฎบท (theorem) หมายถงขอความทสามารถพสจนไดวาเปนจรง ซงในการพสจนอาจใชค าอนยาม ค านยาม สจพจน หรอทฤษฎบทอน ๆ ทไดพสจนมาแลว เชน มมภายในรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา เสนตรงสองเสนตดกนมมตรงขามยอมเทากน เปนตน

ระบบคณตศาสตร

ระบบคณตศาสตรมองคประกอบทส าคญ 2 สวน คอ โครงสรางของคณตศาสตร และ กระบวนการใหเหตผล ส าหรบโครงสรางของคณตศาสตรไดกลาวมาแลวในหวขอทผานมา ในหวตอไปเราจะกลาวถงเฉพาะกระบวนการใหเหตผล

กระบวนการใหเหตผล (reasoning) เปนเครองมอทมนษยใชแสวงหาความรใหม ๆ โดยการน าเอาความจรงอยางใดอยางหนงหรอหลายอยางในระบบ ซงเรยกวา เหตหรอขอตง (premise) มาวเคราะหแจกแจงแสดงความสมพนธ เพอใหเกดความจรงอนใหมขน ซงเรยกวา ผล หรอ ผลสรป หรอ ขอยต (conclusion)

4

กระบวนการใหเหตผลแบงออกเปน 2 ลกษณะดงน 1. การใหเหตผลเชงอปนย (inductive reasoning) เปนการสรปความรใหม หรอสรปผลการ

คนหาความจรง โดยอาศยขอสงเกตหรอผลการทดลองหลาย ๆ ตวอยาง จากกรณยอย ๆ แลวสรปเปนความรแบบทวไป ซงผลสรปทไดจากการใหเหตผลแบบนไมไดถกบงคบจากเหตทก าหนดให เนองจากเหตแตละเหตทก าหนดใหหรอน ามาอางองเปนอสระตอกน

ตวอยาง การใหเหตผลเชงอปนย จงหาพจนท n ของ 1, 3, 5, 7, 9, … พจารณาแตละพจนของล าดบตอไปน พจนท 1 คอ 1 พจนท 2 คอ 3 เขยนไดเปน 1 + 2

พจนท 3 คอ 5 เขยนไดเปน 1 + 2 + 2 พจนท 4 คอ 7 เขยนไดเปน 1 + 2 + 2 + 2 พจนท 5 คอ 9 เขยนไดเปน 1 + 2 + 2 + 2 + 2

จากการสงเกตจะเหนวา จ านวนของ 2 ทบวกกบ 1 นอยกวาจ านวนทแสดงล าดบทของพจนอย 1 ดงนนพจนท 100 คอ 1 บวกดวย 2 อก 99 ตว นนคอ พจนท 100 คอ 1 + (99 × 2) = 199

ดงนน พจนท n หรอรปทวไปของล าดบ จงหาไดจาก 1 + (n – 1)2 = 2n – 1 ดงนนล าดบ 1, 3, 5, 7, 9, … จงเขยนเปน 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n – 1 โดยทว ๆ ไป การใหเกตผลแบบอปนย นยมใชในการศกษาคนควาคณสมบตตาง ๆ ทางวทยาศาสตร เชน ขอสรปทวา “สารสกดทไดจาดสะเดาสามารถใชเปนยาก าจดศตรพชได” เปนขอสรปทไดจากการทดลองซ ากนหลาย ๆ ครง แลวไดผลการทดลองตรงกน หรอในทางคณตศาสตรจะใชในเรองการสรางสจพจน เชน เมอทดลองลากเสนตรงสองเสนใหตดกน จะพบวา เสนตรงสองเสนจะตดกนเพยงจดเดยวเทานน ไมวาจะทดลองลากกครงกตาม จงสรปไดวา เสนตรงสองเสนตดกนเพยงจดเดยวเทานน

2. การใหเหตผลเชงนรนย (deductive reasoning) เปนการสรปความรใหม หรอ ขอความจรงใหม ซงเรยกวาผลสรปทเปนผลมาจากการน าขอความทก าหนดใหซงยอมรบวาเปนจรง ซงเรยกวาเหต ถาเหตทก าหนดใหบงคบใหเกดผลสรป แสดงวา การใหเหตผลดงกลาว สมเหตสมผล (valid) แตถาเหตทก าหนดใหไมสามารถจะบงคบใหเกดผลสรปได แสดงวา การใหเหตผลดงกลาว ไมสมเหตสมผล (in valid)

5

ตวอยาง การใหเหตผลเชงนรนย 1. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. หมเปนสตวน า 2. สตวน าทกชนดออกลกเปนตว ผลสรป หมออกลกเปนตว การใหเหตผลดงกลาวเปนการใหเหตผลทสมเหตสมผล เนองจากเหตแตละเหตทน ามาอางองบงคบใหเกดผลสรป 2. พจารณาใหเหตผลตอไปน เหต 1. มนษยทกคนมสองขา 2.ผหญงทกคนมสองขา ผลสรป ผหญงทกคนเปนมนษย จากตวอยางนจะเหนวา ผลสรปเปนความจรง แตเปนการใหเหตผลทไมสมเหตสมผลเพราะเหตทน ามาอางไมสามารถบงคบใหเกดผลสรปดงกลาวได เหตแตละเหตมความเปนอสระไมสมพนธกนแตประการใด สรป คณตศาสตรเปนวชาทเกยวกบความคดรวบยอด มลกษณะเปนนามธรรม มการก าหนดสญลกษณขนใชซงมลกษณะเปนภาษาสากล มความเปนศลปะในตวเอง และมโครงสรางทชดเจนซงประกอบดวย ค าอนยาม ค านยาม สจพจน และทฤษฎบท ซงมนษยไดน าคณตศาสตรไปใชในชวตประจ าวน ตลอดถงการน าไปใชในการประกอบอาชพตางๆ ระบบคณตศาสตรประกอบดวย โครงสรางของคณตศาสตร และกระบวนการใหเหตผลซงเปนกระบวนการใหเหตผลเชงอปนย และนรนย

อางอง วรรณ ธรรมโชต, ผศ. โครงการต าราวชาการราชภฏเฉลมพระเกยรต เนองในวโรกาสพระบาทสมเดจพระเจาอยหวครองสรราชสมบตครบ 60 ป : หลกการคณตศาสตร. กรงเทพมหานคร : หจก.ภาพพมพ, 2550.

6

ตรรกศาสตร(Logic) ตรรกศาสตร เปนวชาทวาดวยกฎเกณฑและเหตผล การไดมาของผลภายใตกฎเกณฑทก าหนดถอเปนสาระส าคญ ขอความหรอการใหเหตผลในชวตประจ าวนสามารถสรางเปนรปแบบทชดเจนจนใชประโยชนในการสรปความ ความสมเหตสมผลเปนทยอมรบกนอยางกวางขวาง ตรรกศาสตรเปนแมบทของคณตศาสตรแขนงตาง ๆ และการประยกต ประพจน(Statement) คอประโยคบอกเลาทมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ ตวอยาง 1. งานพชสวนโลกจดทจงหวดเชยงราย(เทจ)

2. สนามบนสวรรณภมเปดใชในเดอนกนยายน 2549 (จรง) 3. ประเทศไทยเฉลมฉลอง 60 ปครองราช 12 มถนายน 2549 (จรง) 4. 9 = 3 (จรง)

*** จากประโยคบอกเลาทกลาวขางตนเปนประพจน ประโยคทมคาความจรงไมแนนอน หรอไมอาจละบไดวามคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจได ไมเปนประพจน 1. ค าอทาน เชน โธเอยเวรกรรม อยตาย คณพระชวย 2. ค าสง เชน อยาสงเสยงดง จงแสดงวธท า เดนหนา 2 กาว 3. ค าขอรอง เชน ชวยดวย โปรดฟงทางน เหนใจผมดวย 4. ค าถาม เชน ทานขาวแลวหรอยง เสอตวนราคาเทาไร ประพจนสามารถใชสญลกษณแทนได เพอเขาใจงาย และงายตอการเขยน หรอสะดวกตอการใช นยมใชอกษรในภาษาองกฤษแทนประพจน เชน p แทน 2x+1=9 ; p เปนประพจนเปนจรงเมอ x =4 q แทน 5+9 = 12 ; q เปนประพจนเปนเทจ r แทน จงหวดสโขทยเปนเมองหลวงเกา ; r เปนประพจนเปนจรง การเชอมประพจน ขอความทเราใชในชวตประจ าวน หรอใชในวชาคณตศาสตรจะมประโยคบางประโยคซงเปลยนแปลงไปจากเดมเมอประโยคนนๆถกเชอมดวยตวเชอม(Connective)ซงเปนค าทชวยในการสรางประโยคใหม ๆ ใหมความหมายกวางขวางขนกวาเดม เชน ถาเรามประโยค 2 ประโยคคอ p แทน วนนอากาศรอน q แทน วนนฝนตก เราสามารถสรางประโยคใหมดวยการเชอมประโยคเขาดวยกนไดดงน

1. วนนอากาศรอนและ วนนฝนตก 2. วนนอากาศรอนหรอวนนฝนตก 3.ถาวนนอากาศรอนแลววนนฝนตก

7

4. วนนอากาศรอนกตอเมอวนนฝนตก การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” ถา p และ q เปนประพจน จะเรยกประพจน “p และ q ” วาประพจนรวม(conjunction) ของ p กบ q เขยนแทนดวย “pq” คาความจรงของประพจน pq เขยนแทนดวยตาราง ดงน

p q pq T T F F

T F T F

T *** F F F

ตวอยาง 2+2 =4 และ 2*2 = 4 (T) 2*2=2 และ 2+2 = 4 (F) 2*0=0 และ ศนยเปนจ านวนเฉพาะ (F) 2*0 = 0 และ ศนยเปนจ านวนค (F) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ”

ถา p และ q เปนประพจน จะเรยกประพจน “p หรอ q ” วาประพจนเลอก(Disjunction) ของ p กบ q เขยนแทนดวย “pq” คาความจรงของประพจน pq เขยนแทนดวยตาราง ดงน

P q pq T T F F

T F T F

T T T

F *** ตวอยาง 2 เปนจ านวนค หรอ 0 เปนจ านวนค (T)

2 เปนจ านวนค หรอ 0 เปนจ านวนค (T) 0 เปนจ านวนเตมบวก หรอ 0 เปนจ านวนเตมค (T) 0 เปนจ านวนเตมค หรอ 0 เปนจ านวนเตมบวก (F)

8

การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา…….แลว” ถา p และ q เปนประพจน จะเรยกประพจน “p และ q ” วาประพจนมเงอนไข(Conditional)

ของ p กบ q เขยนแทนดวย “pq” คาความจรงของประพจน pq เขยนแทนดวยตาราง ดงน

P q pq T T F F

T F T F

T F ***

T T

ตวอยาง ถา 2 เปนจ านวนค แลว 4 เปนจ านวนค (T) ถา 2 เปนจ านวนค แลว 3 เปนจ านวนค (F) ถา 3 เปนจ านวนคแลว 2 เปนจ านวนค (T) ถา 3 เปนจ านวนคแลว 2 เปนจ านวนค (T)

การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ …….กตอเมอ…….” ถา p และ q เปนประพจน จะเรยกประพจน “p และ q ” วาประพจนแบบเงอนไขสองทาง

(Biconditional) ของ p กบ q เขยนแทนดวย “pq”ซงเปนประพจนทมความหมายเหมอนกนกบ (pq) (qp)= pq คาความจรงของประพจน pq เขยนแทนดวยตาราง ดงน

p q pq pq pq (pq) (qp) pq T T F F

T F T F

T F F F

T T T F

T F T T

T F F T

T F F T

ตวอยาง 4 เปนจ านวนค กตอเมอ 4 หาร 2 ลงตว (T) 3 เปนจ านวนค กตอเมอ 4 หาร 2 ลงตว (F) 3 เปนจ านวนกตอเมอ 3 หาร 2 ลงตว (F) 3 เปนจ านวนคกตอเมอ 3 หาร 2 ลงตว (T)

9

นเสธของประพจน

ถา p เปนประพจนนเสธ(Negation or Denial) ของประพจน p คอประพจนทมคาความจรงตรงกนขามกบประพจน p เขยนแทนดวย p คาความจรงของ p เขยนแทนดวยตารางดงน

p p T F

F T

ตวอยาง ให p แทนประพจน วนนอากาศรอน (T) p แทนประพจน วนนอากาศไมรอน (F)

คาความจรงของประพจน

การสรางตารางคาความจรง ตารางคาความจรงของประพจนใดประพจนหนงในกรณตาง ๆ ทเปนไปไดดงตอไปน ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของประพจน p(pq) วธท า

p q pq p( pq) T T F F

T F T F

T T T F

T T T T

จะเหนไดวาประพจน p(pq) เกดจากประพจน p เชอมกบประพจน q ซงแตละ ประพจนอาจจะมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ เมอสรางตารางคาความจรงของประพจนจะมกรณตาง ๆ ทอาจเปนไปได 4 กรณ

10

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของประพจน (pq) r วธท า

p q r pq (pq) r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T T T F T F

T T T T F F F F

T F T T T T T T

จะเหนไดวาประพจน (pq) r เกดจากประพจน p , q และ r ซงแตละประพจนอาจมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจ ซงเปนไปได 2 กรณ เมอสรางตารางคาความจรงของประพจนจะมกรณตาง ๆ ซงอาจเปนไปได 8 กรณ คอ ประพจน p,qและ r 3 ประพจน เกดได จาก 23 = 8 ให P และ Q เปนประพจน จะกลาววา P และ Q สมมลกน (equivalent) กตอเมอ ทงสองประพจนมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ เขยนแทนดวยสญลกษณ PQ ให P เปนประพจน จะกลาววา P เปนสจนรนดร (Tautology) ถา P มคาความจรงเปนจรงทกกรณ และจะกลาววา P เปนขอขดแยง (Contradiction) ถา P มคาความจรงเปนเทจทกกรณ ดงนน นเสธของขอขดแยงจะเปนสจนรนดร และในทางกลบกนนเสธของสจนรนดรจะเปนขอขดแยง ทฤษฎบท 1.1 ส าหรบประพจน p,q และ r จะไดวา 1. pq (pq)(qp) 2. (pq) (p)(q) 3. (pq) (p) (q) 4. pq (p)q 5. ( pq) p(q) 6. p(qr)(pq)(pr) 7. p (qr)(pq)(pr)

ประโยคเปด(Open Sentence) คอขอความทอยในรปประโยคบอกเลาหรอปฏเสธ ทมตวแปรและเมอแทนคาของตวแปรนน จะไดคาความจรงแนนอน หรอเปนประพจน

11

เรยกหม หรอเซตของสงของทน ามาแทนในประโยคเปดแลวมคาความจรงแนนอน หรอเปนประพจน วา เอกภพสมพทธ (universal) สญลกษณ นยมใช P(x), P(x , y),Q(x , y) แทนประโยคเปดทมตวแปรระบในวงเลบ ตวอยาง ขอความตอไปนเปนประโยคเปด เธอเปนนางสาวไทย x+3 5 3x + 2 = 5 เขาเปนนายกรฐมนตร ประโยคเปดเหลาน จะเปนประพจนทมคาความจรงแนนอนเมอแทนคาตวแปรแบบเฉพาะเจาะจงลงไป ประโยคเปดเปนประพจนไดเมอมตวบงปรมาณก ากบ ตวบงปรมาณ(Quantifier) คอค าบอกกลาวก าหนดขดจ ากดของปรมาณ หรอขอบเขตของตวแปรในประโยคเปด ตวบงปรมาณม 2 แบบคอ

1. ตวบงปรมาณส าหรบทกตว(Universal Quantifier) บอกในรปค ากลาว เชน ส าหรบทกๆคาของ x ……………

ส าหรบแตละคาของ x…………… เขยนแทนดวยสญลกษณ x อานวา for all x เชน ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนเตม จะไดวา x[x >3] ความหมายคอ สมาชกทกตวในจ านวนเตมมคามากกวา 3 ซงมคาความจรงเปนเทจ นนคอประพจน

2. ตวบงปรมาณส าหรบตวมจรง (Existential Quantifier) บอกในรปค ากลาว เชน มบางตวของ x ท……………….. มสมาชก x บางตวท…………………… มหนงตวซง……………………. เขยนแทนดวยสญลกษณ x อานวา for some x เชน ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจ านวนเตม จะไดวาx[x>3] ความหมายคอ มสมาชก x บางตวในจ านวนเตม มคามากกวา 3 ซงจะเปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง เรยกขอความทประกอบดวยมประโยคเปดและตวบงปรมาณวา ประพจนทมตวบงปรมาณ

12

บทนยาม ให P(x) เปนประโยคเปดท x เปนตวแปร ก าหนด ประโยค x[P(x)] อานวา ส าหรบทก x ซง P(x) ประโยค x[P(x)] อานวา ม x ซง P(x) ดงนนประโยค x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง ถาทก x ในเอกภพสมพทธเมอแทนใน P(x) แลวมคาความจรงเปนจรง และประโยคx[P(x)] มคาความจรงเปนจรงถาม a ในเอกภพสมพทธเมอแทนใน P(x) แลว P(a) มคาความจรงเปนจรง สรปคาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณ เมอ U แทนเอกภพสมพทธ

ประพจน เปนจรงกตอเมอ เปนเทจกตอเมอ x[P(x)] P(x) เปนจรง ส าหรบทก x ใน U

x[P(x)] ม a ใน U ทท าให P(a) เปนจรง

x[~P(x)]

x[~P(x)] ขอสงเกต 1. ~x[P(x)] x[~P(x)] 2. ~x[P(x)] x[~P(x)] ตวอยาง ใหเอกภพสมพทธคอ เซตของจ านวนจรงทงหมด 1. x[x10] เปนเทจ เนองจากมจ านวนจรง x มากมายทซง x10 ไมเปนจรง เชน 5<10 2. x[x+3x+1] เปนจรง เนองจาก 31 ดงนน x+3x+1 ส าหรบทกจ านวนจรง x 3. x[x-2] เปนจรง เนองจากมจ านวนจรง a=0 ซง 0-2 4. x[x2 <-2] เปนเทจ เนองจาก x2 0 > -2 ส าหรบทกจ านวนจรง x ประพจนทมตวบงปรมาณอาจมตวเชอมอย ในการแปลงประพจนทเปนขอความเปนสญลกษณตองระมดระวงในการใชตวเชอมเพอใหไดความหมายทตรงกน พจารณาประโยคตอไปน จ านวนเตมคทกจ านวนหารดวยสองลงตว จะเหนวาในประโยคดงกลาวมตวบงปรมาณส าหรบทกตวอย และถาเราให P(x) แทนประโยค x เปนจ านวนเตมค และให Q(x) แทนประโยค x หารดวยสองลงตว เราจะเขยนรปสญลกษณของประโยคขางตนไดเปน x[P(x)Q(x)] ** ประพจนทมตวบงปรมาณส าหรบทกตว โดยสวนใหญแลวจะใชตวเชอม

13

พจารณาประโยค มจ านวนเตมคบางตวหารดวยสลงตว จะเหนวาในประโยคนมตวบงปรมาณส าหรบตวมจรงอย และถาเราให P(x) แทนประโยค x เปนจ านวนเตมค และให Q(x) แทนประโยค x หารดวยสลงตว เราจะเขยนรปสญลกษณของประโยคขางตนไดเปน x[P(x) Q(x)] ** ประพจนทมตวบงปรมาณส าหรบตวมจรง โดยสวนใหญแลวจะใชตวเชอม บทนยาม ส าหรบประโยคเปด P(x) ประพจนในรปสญลกษณ ! x[P(x)] อานวา ม x เพยงตวเดยวเทานนท P(x) เปนจรง เรยกสญลกษณ ! วา ตวบงปรมาณส าหรบตวมจรงไดตวเดยว (unique existence quantifier) ดงนน ประพจน ! x[P(x)] เปนจรงเมอม a เพยงตวเดยวเทานนในเอกภพสมพทธทท าให P(a) เปนจรง จะเหนวา ! x[P(x)] เปนกรณเฉพาะของ x[P(x)] เนองจาก x[P(x)] เปนจรงเมอม a อยางนอยหนงตวทท าให P(a) เปนจรง ในขณะท ! x[P(x)] เปนจรงเมอม a เพยงตวเดยวเทานนทท าให P(a) เปนจรง ดงนนเราจงไดวา ! x[P(x)]

14

วธการพสจน 1. การพสจนประพจน qp การพสจนประพจน qp คอการแสดงวา qp เปนการอางเหตผลอยางสมเหตสมผล นนคอจะแสดงวา ขอตง หรอ เหต p มผลบงคบใหเกด ขอสรป หรอ ผล q ในทนเราจะกลาวถงวธการพสจนประพจน qp 2 วธ คอ

1.1 การพสจนตรง (directed proof) 1.2 การพสจนแยงสลบท (contrapositive proof)

1.1 การพสจน qp โดยวธพสจนตรง (Direct Proof) เนองจาก qp เปนเทจไดเพยงกรณเดยวคอ กรณท p เปนจรง และ q เปนเทจ ดงนนในการพสจนวา qp เปนจรง เราตองแสดงวาไมเกดกรณท p เปนจรง และ q เปนเทจ นนคอเราตองแสดงวา ถาเราให p เปนจรงแลว q ตองเปนจรง

การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน สมมต p

เพราะฉะนน q ดงนน qp บทนยาม ให m และ n เปนจ านวนเตม จะกลาววา

1. n เปนจ านวนค (even number) กตอเมอ มจ านวนเตม k ซง n=2k 2. n เปนจ านวนค (odd number) กตอเมอ มจ านวนเตม k ซง n=2k+1 3. m หาร n ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม k ซง n=km

เขยนแทนดวยสญลกษณ m|n ตวอยาง 1 ก าหนดให a เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค แลว 4a เปนจ านวนค

15

ตวอยาง 2 ก าหนดให a และ b เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนค และb เปนจ านวนค แลว ba เปนจ านวนค ตวอยาง 3 ก าหนดให ba, และ c เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา ba | และ cb | แลว ca |

1.2 การพสจน qp โดยใชการแยงสลบท (Contrapositive) เนองจาก pqqp ~~ ดงนน ในการพสจนวา qp เปนจรง เราจะพสจน q p เปนจรงแทน โดยใชวธพสจนตรง

การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน สมมต q~

เพราะฉะนน p~ ดงนน pq ~~ นนคอ qp

16

ตวอยาง 4 ก าหนดให a เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา 2a เปนจ านวนค แลว a เปนจ านวนค ตวอยาง 5 ก าหนดให a เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา 2|4 a แลว a เปนจ านวนค ตวอยาง 6 ก าหนดให a และ b เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา ab เปนจ านวนค แลว a หรอ b เปนจ านวนค

17

2. การพสจนประพจน p โดยขอขดแยง (Contradiction)

เนองจากประพจน p p (qq) ดงนนในการพสจนวาประพจน p เปนจรง เราจะพสจนประพจน p (qq) แทน ซงจะไดผลสรปเปนขอขดแยงกน

การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน สมมต p~

เพราะฉะนน r

เพราะฉะนน r~ ดงนน rr ~ เกดขอขดแยง นนคอ p บทนยาม จะเรยก x วา จ านวนตรรกยะ ถาจ านวนเตม m และ n≠0 ซง x=m/n จะเรยก x วา จ านวนอตรรกยะ ถา x ไมเปนจ านวนตรรกยะ ตวอยาง 7 จงพสจนวา 2 จ านวนอตรรกยะ พสจน สมมตวา 2 ไมเปนจ านวนอตรรกยะ ดงนน 2 เปนจ านวนตรรกยะ โดยนยามของจ านวนตรรกยะ และ 02 จะไดวา

y

x2 โดยท x และ y เปนจ านวนเตมบวกทม 1 เพยงตวเดยวเทานนทหาร x และ y ลงตว

ดงนน 2

2

2y

x จะไดวา 222 xy ดงนน 2x เปนจ านวนค จะไดวา x เปนจ านวนค

ให mx 2 โดยท m เปนจ านวนเตม จะไดวา 22 )2(2 my นนคอ 22 2my ดงนน 2y เปนจ านวนค จะไดวา y เปนจ านวนค นนคอ 2 หาร x และ y ลงตว เกดขอขดแยง ดงนน 2 จ านวนอตรรกยะ ตวอยาง 8 จงพสจนวา 2log จ านวนอตรรกยะ

18

3. การพสจนประพจน qp โดยขอขดแยง การพสจนประพจน qp โดยขอขดแยงพสจนไดท านองเดยวกบหวขอทผานมา โดยเราจะสมมตให ( )p q เปนจรงแลวหาขอขดแยง เนองจาก ( )p q p q ดงนนขนแรกเราจงสมมตให p q เปนจรง แลวจงหาขอขดแยง

การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน สมมต p และ q~

เพราะฉะนน r

เพราะฉะนน r~ ดงนน rr ~ เกดขอขดแยง นนคอ qp ตวอยาง 9 ก าหนดให m เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา 2m เปนจ านวนค แลว m เปนจ านวนค ตวอยาง 10 ก าหนดให x เปนจ านวนจรงใด ๆ จงพสจนวา ถา 32 xx แลว 3x

19

4. การพสจนประพจน qp (If and only if) เนองจาก ( ) ( )p q p q q p ดงนน

การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนประพจนดงน (i) qp (ii) pq

ดงนน qp หมายเหต การพสจน qp และ pq จะพสจนโดยการพสจนตรง หรอ โดยการแยงสลบท หรอ โดยขอขดแยง ตวอยาง 11 ก าหนดให a เปนจ านวนเตม จงพสจนวา a เปนจ านวนค กตอเมอ 1a เปนจ านวนค ตวอยาง 12 ก าหนดให m เปนจ านวนเตมใดๆ จงพสจนวา ถา 2m เปนจ านวนค กตอเมอ m เปนจ านวนค

20

5. การพสจนประพจน rqp เนองจาก )()( rqrprqp

ดงนน การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน (i) พสจน rp (ii) พสจน rq

ดงนน )()( rqrp นนคอ rqp หมายเหต การพสจนแบบนเรยกอกอยางหนงวา การพสจนโดยการแจงกรณ ท านองเดยวกนเราสามารถพสจนประพจน rppp n 21 ไดเชนกน โดยมเคาโครงการพสจนดงน

กรณท 1 พสจน rp 1 กรณท 2 พสจน rp 2

กรณท n พสจน rpn

ดงนน rppp n 21 ตวอยาง 13 จงพสจนวา ถา a เปนจ านวนเตม แลว 23 aa เปนจ านวนค

21

ตวอยางท 14 ส าหรบจ านวนจรง x ใด ๆ คาสมบรณของ x เขยนแทนดวย || x

นยามโดย

x

xx ||

0,

0,

x

x

จงพสจนวา |||| xx

6. การพสจนประพจน qp เนองจาก qpqp ~ การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน สมมต p~

เพราะฉะนน q ดงนน qp ~

นนคอ qp ตวอยางท 15 ก าหนดให x เปนจ านวนจรงใด ๆ จงพสจนวา

ถา 0342 xx แลว 1x หรอ 3x

22

ตวอยาง 16 ส าหรบจ านวนเตมบวก m และ n ใด ๆ จงพสจนวา ถา mnn 3 แลว n เปนจ านวนค หรอ 6m การพสจนประพจนทมตวบงปรมาณ 1. การพสจนประพจนในรป )]([ xpx โดยตรง การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน เลอก a ในเอกภพสมพทธ

)(ap เปนจรง ดงนน )]([ xpx ตวอยาง 1 จงพสจนวา มจ านวนเตม x ซง xxx 2 ตวอยาง 2 จงพสจนวา มจ านวนจรง x ซง 13 x

23

2. การพสจนประพจนในรป )]([ xpx โดยตรง การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน ให x เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ

ดงนน )(xp เปนจรง ดงนน )]([ xpx ตวอยาง 3 จงพสจนวา ส าหรบจ านวนเตม a ใด ๆ ถา a เปนจ านวนค แลว 2|4 a และ 2a เปนจ านวนค ตวอยาง 4 จงพสจนวา ส าหรบจ านวนเตม a ใด ๆ จะไดวา aa 2 เปนจ านวนค และ 32 aa เปนจ านวนค

24

3. การพสจนประพจนในรป )]([ xpx โดยขอขดแยง การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน

สมมตวาม t เปนสมาชกในเอกภพสมพทธ ซง )(~ tp

เพราะฉะนน QQ ~ เกดขอขดแยง ดงนน )]([ xpx ตวอยาง 5 จงพสจนวา ส าหรบจ านวนเตม a ใด ๆ ถา a เปนจ านวนค แลว 2a เปนจ านวนค ตวอยาง 6 จงพสจนวา ส าหรบจ านวนเตม a ใด ๆ ถา 2a เปนจ านวนค แลว a เปนจ านวนค 4. การพสจนประพจนในรป )]([ xpx วาเปนเทจ

การพสจน )]([ xpx วาเปนเทจ จะตองแสดงวาม t ทเปนสมาชกในเอกภพสมพทธ ซงท าให )(tp เปนเทจ ดงนนจะไดวา )]([ xpx เปนเทจ ตวอยาง 7 จงพสจนวา x [ ถา x เปนจ านวนจรง แลว xx 2 ] เปนเทจ ตวอยาง 8 จงพสจนวา x [ ถา x เปนจ านวนเฉพาะ แลว x เปนจ านวนค ] เปนเทจ

25

5. การพสจนประพจนในรป )]([! xpx การพสจน ประพจนในรป )]([! xpx คอการพสจนวา ม x เพยงตวเดยวเทานนใน

เอกภพสมพทธซง )(xp เปนจรง การพสจนวธนมเคาโครงการพสจนดงน

(i) พสจนวา )]([ xpx เปนจรง (ii) สมมตวาม 1t และ 2t ในเอกภพสมพทธซงท าให )( 1tp และ )( 2tp เปนจรง

เพราะฉะนน 21 tt ดงนน )]([! xpx ตวอยาง 9 จงพสจนวา มจ านวนนบ n เพยงจ านวนเดยวเทานนท 92 n ตวอยาง 10 ให x เปนจ านวนจรง จงพสจนวา มจ านวนเตม y เพยงตวเดยวเทานนทท าให 10 yx

26

6. การพสจนประพจนทมตวบงปรมาณมากวาหนงตว การพสจนประพจนทมตวบงปรมาณมากวาหนงตวนนใชหลกการเดยวกบ การพสจนประพจนทมตวบงปรมาณหนงตว โดยพสจนตามล าดบของตวบงปรมาณทปรากฏในขอความนน ตวอยาง 11 จงพสจนวา มจ านวนจรง 0 ซงส าหรบทก ๆ x ถา |2| x แลว 0001.0|63| x ตวอยาง 12 ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n จะมจ านวนเตมบวก m ซงท าให mn 2