5-latopologiabasicadelacan-jeannegranon-lafont

8/3/2019 5-LaTopologiaBasicaDeLacan-JeanneGranon-Lafont

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PRO(OGO



En 1679, Leibniz define una nueva rama de las matemati-cas con el termino latina de "analysis situs". La traducci6nfrancesa literal, "etude de la place", en castellano "estudiodellugar", situa esta nueva disciplina en el origen de la to-pologia. , '

Sin embargo, s610toma cuerpo realmente con el pri-mer teorema establecido por Euler en 1750. Euler determi-na una relaci6n constante entre los vertices, caras y aristas 'de un s6lido convexo, por ejemplo, los solidos plat6nicos ylos volumenes de nuestraexperiencia cotidiana, como 1apiramide, el cubo, el paraleleplpedo ... : propane asl unanueva soluci6n para viejisimos problemas de la geometrla,

Este teorema, el primero en su genero, suscit6 divers ascontroversias, y fueron muchos los matematicos que se pro-pusieron definir sus limites. ,

En el marco de estos estudios, Moebius descubre, en1861, la figura que habria de pasar ala posteridad con sunombre: banda de Moebius. Se crean asi las superficiesunilateras, que 'en cierto modo absorberan ramas enterasde las matematicas y las someteran a sus leyes. En 1874,Felix Klein y Schlafi imponen la siguiente idea: el espaciode la geometria proyectiva esmoebiano.: Desde ahora,cuando se hable de funciones, sera por remisi6n ala topo-logia ...

Es as}como, en 1948, cuando Bourbaki reformula ba-jo la noci6n de estructura el conjunto de los descubrimien-tos matematicos, enumera tres, 0, para ser m a s precisos,

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dos, a las que se anade un tercer grupo: la estructura de or-den, la estructura de grupo y las estructuras topol6gicas,respecto de las cuales sefiala, enunanota, "que ellas salende los lfrnites del disefio". 1

-E l trabajo q~e aqui proponemos se sittia en este "limi-te del disefio" matematico. Se trata de estudiar, partiendodel psicoanalisis y de los avances de Jacques Lacan en esteterreno, las principales estructuras topol6gicas.

Notas

1Bourbaki, nota 3 de "Architecture des mathematiques", articulo de

Les grands courants de 'la pensee mathematique, presentados par F. Le

Lionnais (nueva edici6n, Albert Blanchard, Paris, 1962).

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Torsion completa de la cucharilla



Capitulo 1

ELESPACIO,. LA ESTRUCTURA .



"En el principio fue el espacio".Esta parafrasis de Sari Juan y de Goethe aspira a po-

ner de relieve la importancia de la nocion de espaeio; par10 que nos atafie, la colocamos como exergo de nuestro es-tudio sabre la topologia lacaniana.

Una pequefia experiencia nos ayudara a abordarla.Tomen ustedesuna cucharilla y suspendanla de unacintafijada a su parte superior. Esta cinta materializa ellazo de

la cuchara, nuestro objeto de experiencia, con el espacio.Si hacemos daf a la cuchara una vuelta completa sabresf misma alrededor de un eje vertical, recobra su posici6ninicial, pero la cinta, inicialmente plana, acusa ahora unatorsi6n helicoidal que revela la operacion efectuada.

Despues de dos vueltas, y luego tres, la cinta presentauna torsi6n primero doble, despues triple ...

. De este modo, echando un vistazo a la cinta inicial-mente plana, podemos conocer el numero exacto de revo-luciones completas efectuadas par la cuchara.

Si ahara se hace dar a lacuchara una vuelta sobre sfmisma, por ejemplo en el sentido de las agujas del reloj, ysi, manteniendola rigurosamente paralela a sf misma, se lahace pasar por encima de la parte vertical de la cinta y se la

devuelve a su posici6n primera, al pie de la cinta, secomprueba que esta ya no ofrece vestigios de torsi6n nin-guna. Aunque la cuchara no haya cambiado de orienta-cion en ningun momento, su mero desplazamiento ha anu-lado exactamente la revoluci6n inicial. (Cf. las fotograftasdel comienzo del capitulo.)

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· Esta experiencia nos aporta varias informaciones: enprimer lugar, permite un enfoque eficaz de la noci6n de es~pacio. La relaci6n entre lacucharilla y la cinta es la mismaque guarda un objeto en su espacio. Si taman ustedesunlibra y le imprimen los mismos movimientos, no veran apa-

reeer el. espacio, que en la manipulaci6n corriente de losobjetos permanece desconocido. 'La cuchara: es un objetoinvariante sumergido en el espacio. Las relaciones entre losmovimientos de revoluci6n (las vueltas) y los movimientosde traslaci6n estructuran este espacio Y 1 0 definen.

La topologia general es el estudio, la ciencia de estosespacios y de sus propiedades,

No se trata, como en la geometria euclidiana clasica °incluso en la de Lobatchevsky a de Riemmann, de produ-cir un sistema de calculos y notaciones que permitan situarun objeto y sus desplazamientos enel espacio. Se trata dedescribir, habida cuenta de la invariancia del objeto, al es-pacio mismo. Para abordar la topologia, y en particular laque utiliza Lacan, es imprescindible tomar conciencia de

este cambio de perspectiva. Lacan dijo, por ejemplo, en"R.S.L": "todo espacio es 'plano, hay matematicos queescribieron esto con todas las letras" (Seminario del 14 deenero de 1975). toDe que manera debemos entender estaafirmaci6n?

En si mismo, el espacio no incluye la dimensi6n de pro-fundidad, la famosa tercera dimensi6n. 5610para aquel queesta sumergido en el espacio, segun sus movimientos desple-gados en el tiempo, hay un antes y un despues y, par consi-·guiente, un delante y un detras. Los topologos, para mani-pular esta percepci6n y sus efeetos ilusorios, recurrieron cla-sicamente ala metafora de la hormiga.s .

Imaginemos una hormiga a la que prestamos el mismosistema de percepci6n de un homhre reducido a su tama-fio, Este aninial se pasea por una cinta de Moebius, super-ficie plana de ' dos dimensiones, que de este modo se defineen relaci6n con su entorno inmediato ~En cambia, el hori-zonte, el punta donde la banda se vuelve, donde inicia sutorsi6n, siempre en relaci6n con su entorno inmediato, espercibido como pro£undida? Ahora bien, esta profundi-

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dad tiene como medida el tiemp~ que pondra la hormigaen aleanzar el punto de torsion, punto que no alcanzaranunea toda vez que, cuando llegue a el, otro horizonte sepresentara siempre como tercera dimensi6n, como profun-didad.

Lo "plano" se define como la superficie de un cuadroencerrado en un borde, y el espacio es definido por la per-cepci6n de la profundidad. Se trata del horizonte, del quesabemos que no es un limite sino, topoI6gicamente, eltiempo que necesitariamos para llegar a el.3 Clinicamente,esta realidad de nuestro espacio es fundamental para consi-.derar el estado del mundo del psicotico, del que se dice queno tiene limite, es decir, que no tiene dimensi6n temporal.El tiempo, desde un punta de vista topol6gico, es la dimen-si6n del espacio considerado como plano, como superficie.Por ejemplo, en nuestra experiencia de la cucharilla, las re-laciones entre movimientos de revoluci6n y de traslaci6nestructuran ese espacio que es el nuestro, y 1 0 definen.

Existe ademas una propiedad de nuestro espacio corrienteas! presentado que conduce a las diferencias de espacio, deestructuras. Para demostrarlo, tendremos que dar un ro-deo obligado. Intentaremos demostrar alga que, a nuestrojuicio, es un error de Jean-Marc Levy-Leblond, a q~ienpertenece la experiencia de la cucharilla que hemosdescripto.s Citemos de inicio un fragmento de su exposi-

ci6n: "1 0 sorprendente es el papel completamente particu-.lar cumplido por la revoluci6n de doble vuelta", Hechanuevamente la experiencia, despues de una revoluci6n ini-cial de una sola vuelta completa, encontramos que la cintapresent a una torsion de una vuelta en la direcci6n inversa ala primera. Sin revoluci6n suplementaria y por simplesdesplazamientos paralelos de la cuchara, es posible modifi-

car de dos en dos el numero de vueltas completas exhibidaspor la torsi6n de la cinta. .

"Hay una diferencia de naturaleza esencial entre lasrotaciones que comprenden un numero par de revolucionesy aquella que comprende un numero impart Asi, pues, po-demos decir que no es suficiente dar a un objeto una vueltacompleta sobre sf mismo 0 tres 0 cinco... para devolverlo

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exactamente a las mismas condiciones de relaciones con suentorno espacial. Para lograrlo, hay que efectuar dos (0cuatro) vueltas completas y la unidad de base resulta ser ladoble vuelta." _" ·

. Jean-Marc Levy-Leblond continua: "Tenemos aqui,

pues, una propiedad fundamental, a la vez extraordina-riamente simple y perfectamente enigmatica, -del espacioen que vivimos. A nuestra escala, esta propiedad no tiene,por 10 que se, otras manifestaciones que la de permitir cier-tos pases a los ilusionistas profesionales. En cambio, tieneuna considerable importancia en la Iisica microscopica, Lateoria cuantica basa en esta propiedad la existencia de dosclases distintas de particulas fundament a les : los 'bosones',descriptos por seres matematicos que una revoluci6nsimple deja sin cambiar, y los 'fermiones', que exigen, porel contrario, una doble revolucion para recuperar sudescripci6n inicial. Si ahora sabemos que los 'fermiones'obedecen al principio de exclusi6n de 'Pauli' que, aplica-do a los electrones, explica 10 esencial de las propiedades dela materia ordinaria, vemos que no Be trata aqui de unasimple curiosidad academica, En verdad, fueron precis a-mente el descubrimiento experimental, y luego lacomprension te6rica de los 'fermiones' en el nivel alta- .mente esoterico de la Hsica cuantica fundamental, los quepermitieron alcanzar la fuente de sus extrafias caracterfsti-cas, finalmente halladas en la inesperada diferencia de na-turaleza entre vuelta simple y doble."

Lo que esta experiencia pone en juego no es poca cosay, tal como se la presenta, tiene para nosotros un defecto.EI error se situa a nivel de_la denominaci6n de la particula-ridad de nuestro espacio corriente y, a su respecto, la cintade Moebius aqui resulta err6neamente desconocida.

Si volvemos a la demostraci6n, hemos de apuntar ladiferencia entre torsion y semitorsion, J . M. Levy-Leblondhabla de revoluci6n de doble vuelta, mientras que se tratade una media vuelta. Una vuelta de la cucharilla da una.torsi6n de cinta, a saber, dos semitorsiones. La traslaci6nen el espacio, par encima del punta de enganche de la cin- .ta, modifica siempre la cinta de dos en dos semitorsiones.

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Semitorsi6n de la cucharilla



La cucharilla puede dar tres vueltas completas. estoda tres torsiones de cinta, seis semitorslones visibles, y trestraslaciones para volver a la primera posici6n de la cinta.

En cambio, si hacemos dar a la cuchara una media

vuelta sobre sf misma, al trasladarla en el espacio, la cintaacusa una torsi6n completa, Presenta, pues, al final' de laoperaci6n, una semitorsi6n de sentido inverso al de la crea-da por la media vuelta de partida. Para laovuelta de lacucharilla, la unidad de base es un medio, como para l a o

cinta, pero para la traslaci6n la unidad es I, En el espacioordinario es imposible provocar, par traslaci6n, una semi-

torsi6n. 8610 aqui es donde encontramos ladiferencia radi-cal entre par e impar. Tres medias vueltas son fundamental-mente diferentes, para la cinta y para la materializaci6n delespacio que ella opera,' que dos 0 cuatro medias vueltas.

Esta experiencia hace aparecer en hueco el espaciomoebiano 0, m a s precisamente, el espacio del plano pro-yectivo. Si el espacio en el eual esta sumergida 'I a cinta

fuera moebiano, una traslaci6n haria desaparecer una me-dia vuelta. Tambien para la traslaei6n, la unidad de baseserfa la media vuelta, Se 10 puede demostrar haclendo re-correr a la cucharilla una cinta de Moebius.

Vemos asf de que manera estas relaciones estructuranel espacio, 1 0 haeen materializable, mientras que easisiempre el espacio escapa a . nuestra percepei6n. E I objeto es-

pecifico de los top61ogos es esta noci6n del espacio y de lasrelaciones que 10 estructuran,_ .

Aqui es donde la topologfa eoncierne al psicoanalisis,En efecto, el psicoanalisis es un estudio de la estructura de-sembarazada de un objeto psiquico unico sustantivizado.La tendencia general del pensamiento es dar cuerpo, sub-jetividad, a uno de los conceptos de nuestra disciplina, par

ejemplo el sujeto 0 10 inconseiente. E I sujeto no es el objetodel psicoanalisis, del mismo modo que la hormiga y laeucharilla no son el objeto de estudio de los topologos, Es-tos se interesan s610 en sus apariciones, sus trayectos y enlas posibilidades que permite describir un espacio particu-lar. Asf sucede con el alma, noci6n que propone una repre-sentaci6n ejemplar de esa tendencia a la subjetivizacion: el

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estudio de>sus profundidades no pone en juego para un to-'pologo mas que cuestiones de recorrido en un espacio.

Por otra parte, los topologos han estableoido una noci6ndel espacio que es identic a a la estructura utilizada por lasciencias humanas . La topologia revela ser el estudio de la

estructura que esta en juego en esas ciencias, como 1 0 de-.muestran, apres-coup, los descubrimientos de Jacques Lacan.

Esto se puede probar precisamente tomando apoyo enlos estudios etnograficos de Levi-Strauss, del que conocemossu importancia en la .introducci6n del estructuralismo enciencias humanas.

Tal es el caso del estudio llevado a cabo par Levi-Strauss sobre el sistema matrimonial de los "kasiera"(lquien tiene el derecho de casarse can quienj')

Levi-Strauss define la estructura de este sistema a par-tir de una divisi6n del conjunto de las clases matrimoniales .en dos mitades patrilineales, divisi6n que es "perpendicu-

lar, dice, a la divisi6n en dos mitades matrilineales".

Aqut la palabra "perpendicular" no remite en absolu-to a una definici6n matematica precisa, sino mas bien auna visi6n intuitiva de un espacio, a un esquema que'represent aria a aquella estructura sobre dos perpendicula-res. Ademas, sin entrar en detalles, Philippe Courreges hamostrado que el verdadero concepto matematico que seriaaqui pertinente, seria 'el de "producto".»

Tambien cabe citar el trabajo de Henri Pradellessobre el sistema de parentesco de los trobriandeses (clasicoobjeto de estudio.de Malinowski). Pradelles demuestra que·el concepto de "dualidad de los cortes" constituye la mejor

aproximaci6n a esta particular estructura etnologica.s Sinrecurrir a una analogia forzada, estos ejemplos pruebanque, desde su origen, el trabajo de los estructuralistas

expresa la necesidad conceptual de acudir a la topologia.En ultima instancia, tan pronto como un "esquema" poseeun valor explicativo y hasta didactico, la topologia inter-viene como fundamento epistemologico de los conocimien-tos aportados por dicho esquema. A Lacan l~ cabe el meri-to de haber procurado establecer esta especificidad de la

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topologia, y de haber indicado que usa podian hacer de ellalas ciencias humanas.

Por 10 que se refiere a Levi-Strauss, este no aspir6 a laexactitud en ese terreno, pues era bien consciente de la dis-tancia que mediaba entre su trabajo y las formalizaciones

matematicas, En el prefacio a Lo crudo y 1 0 cocido, diceexpresamente: "Tenemosmas conciencia que nadie de laamplitud de acepci6n can que tratamos terminos como si-.metrfa, inversi6n, equivalencia, homologia, isomorfia ...Los utilizamos para designar gruesos paquetes de rela-ciones de las que percibimos confusamente que tienen algoen cormin." Es apropiada la alusi6n a' una percepci6n

"confusa": en efecto, consider amos no s610 que la topolo-gia esta confusamente presente en toda la obra de Levi-Strauss, sino ademas que ella es una puesta en practica deesa percepci6n confusa de las estructuras, Nada tiene deimpertinente decir que Levi-Strauss hace topologia sin sa-berlo, si consideramos, respecto de temas comunes como elcomplejo de Edipo, todo el trabajo de Lacan que consisti6

en esclarecer esa confusi6n desde una determinada 6ptica.Asf, pues, el prop6sito de nuestro trabajo no es saber

c6mo llegaron los matematicos a interesarse en ese estudiodel espacio y de los espacios, aunque renombrados top6-logos como Poincare hablen can respeto de Ia "intuiciongeometrica" que permite percibir confusamente esos-"gruesos paqlletes de relaciones" ... Par e1contrario, se tra-

ta de situar, a partir de 10 que el psicoanalisis pone enjuego, la topologia de los espacios. Para ello, habremos deapoyarnos no en las exigencias del discurso matematico, si-no en las necesidades internas del discurso analitico, La to-pologia aclara las nociones sabre las que descansa la curapsicoanalitica. Recurriendo a las estructuras topologicas;le es posible a un psicoanalista localizar todo aquello que e1

sufrimiento psiquico pone en juego.Ahora, pues, debemos abordar esta topologia direct a-

mente. .AI tratar la noci6n de espacio, la topologia no se inte-

resa ni en la metrica ni en las proporciones. Ella hace quela igualdad se defina como el trayecto posible de una pre-

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sentaci6n a otra presentaci6n. Se dice que dos figuras sonidenticas si es posible, por una deformacion continua, pa-sar de la una a la otra.

Segun esta perspeetiva, estos .objetos son los mismos

(ya se puede advertir la importancia del dibujo).

Una superficie como el disco puede variar conti-

nuamente sin modificar su estructura.Sin embargo, en determinado momento hay una rup-

tura y se opera un pasaje de una estructura a otra diferente.Esta transformaci6n s610fue posible por la lenta pre-paraci6n continua de la superficie.

Asf, pues, en el caso del disco, una parte de su superfi-cie puede pasar por debajo del propio disco y es posible hacerreaparecer el pedazo que se habia deslizado por debajo. Deeste modo se ha creado una linea de ~ecorte [recoupement]

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Esta linea de recorte -marea el transite de una estructura de

superHcie sumergida a .una estructura inmersa. Cam-biamos radicalmente de terreno, pasando de las sumer-siones a las inmersiones.

A continuaci6n, el agujero que designamos en el pun-to A puede reducirse a un punto: esto equivale a t i n - fen6-meno de torsi6n. Esta superficie puede ser vista como undisco que se habria retorcido sobre si mismo. (La torsi6n

'posee un estatuto completamente aparte que sera objeto deun capitulo entero.)

Por este fenomeno de recorte y de desaparici6n delagujero, hay una evidente transformaci6n de la estructura.

Es intuitivamente perceptible que secambia de,~spa-cio (aqui estamos ya en el espacio del plano proyectivo). Acontinuaci6n, puede llevarse la linea interior .hasta esepunto A. Se obtiene entonces el disco inmerso, construidosobre el ocho interior.

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· El ejercicio muestra a las claras porque motive se ha

Ilamado a la topologfa "geometria de cambio", 'El ejemplo hace Facilmente perceptible el juego de

transformaciones en topologfa. Existe toda una dialecticaentre la preparaci6n de una superficie por transformaci6ncontinua de su dibujo y la aparici6n brusca de un .aconteci-miento, de un acto, de una operaci6n, de un cambio deestructura de esa superficie 0 de su espacio de sumersi6n.

Esta dialectics entre el continuo de 10 identico a 10 identicoy una ruptura estructural es fundamental para nuestro en-foque de la topologia. Permite comprender que es 1 0 quecondiciona la relaci6n absolutamente particular con el tiem-po y con la escansi6n que conocemos en la cura. A menudo,una interpretaci6n no tiene efecto sino despues de una largaserie de sesiones que s610habian hecho evolucionar ·la pre-

sentaci6n del sintoma, sin modificar su estructura.Planteados ya estos elementos preliminares, podemos

emprender el estudio de los'espacios topo16gicos.Posterior-mente, veremos de que modo el nuda borromeo viene aformalizar el recurso a las superficies. Y s610al final, en unsuplemento que adoptara la forma de Indice, propondre-mas las definiciones matematicas (sefialadas en el texto parun asterisco) aplicables a la elaboraci6n de esta presenta-ci6n de la topologia propia de Jacques Lacan.

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Notas

1Jacques Lacan, Serninario del 14 de enero de 1975,publicado en Orni-car? n? 3.

2 Hormiga que encontramos diab6licamente representada en imagenesque sirven de cubierta a las apariciones de Quarto (revista de la causafreudiana, en Belgica).3 Jean Claude Terrasson public6 en la revista Littoral, n? 5, junio de1981, un texto que esclarece ampliamente esta cuesti6n.4 En "L'Empire des lumieres", Traverses, septiembre de 1978.5 Philippe Courreges, Anthropologie et Calcul, U.G.E., Col. 10/18, Pa-ris, 1971.6 Cf. e1 articulo de Charles-Henri Pradelles de Latour, Littoral, n? 11-:-12, febrero de 1984, Paris, "La parents trobiandaise reconsideree".

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Corte de la banda de Moebius



Capitulo 2

LA BANDA DE MOEBIUS



Se trata de un objeto Hsico muy Iacil de construir. Basta to-mar u!1a tira [bande] de papel y volverla a pegar sobre S I

misma imprimiendole un movimiento de torsi6n. Se ob-tiene asi, a partir de la superficie de un rectangulo corrien-te, una superficie que presenta muchos fen6menos parad6-jicos. Este objeto que se sostiene facilmente con la mano, se

opone no obstante de divers as maneras a nuestra experien-cia habitual de los objetos ffsicos.Racer dar a la tira original una media vuelta sobre S 1

misma, antes de pegar una punta ala otra, es un juego ma-labar muy sencillo y que, insistimos en esto, subvierte,estrictamente hablando, nuestro espacio cotidiano de larepresentaci6n.

Esta operaci6n saca a la luz diferentes paradoj as:Despues del juego malabar cuyo procedimiento aca-.bamos de describir, el derecho y el reyes de la tira de papelaparecen en continuidad. El uso corriente de "cara 0 cruz"se subvierte. El derecho y el reyes se continuan el uno en elotro. Un hombrecito 0 una hormiga que marcharan sobre 'uno de los lados de esta superficie reaparecerian en el re-

ves, del otro lado, sin siquiera percatarse de esta in-congruencia. EI dedo que sigue la superficie de la banda seencuentra, despues de una vuelta completa y sin haber sidolevantado, sin haber cruzado el borde, en el reves de supunto de partida. 5610 despues de una segunda vueltacompleta reencuentra su punta de partida en el derecho.

, S61 0 un acontecimiento temporal diferencia el reves y

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e l derecho, que estan separados por el tiempo de dar up-avuelta suplementaria. La dicotomia entre las .dos nociones,reves y derecho, no reaparece sino a 1 precio de la interven-ci6n de una nueva dimension: la del tiempo, El tiempo, co-mo continuo, realiza la diferencia entre las dos caras. Si ya

no hay dos medidas para la superficie, sino un solo borde,el tiempo se impone para dar cuenta de la banda.

La existencia de un borde unico es fundamental, todavez que una de las definiciones topologioas de la banda deMoebius se basa en esta paradoja.

Esta banda no tiene mas que un solo borde *: hemosempalmado las dos extremidades de la banda de origen, i 1 1 : -

virtiendo su 'orientacion. .

A r-----__;_..-- C

B~----JD

La linea AC de la banda original se continua en BD.Ahora hay unicamente un solo borde. Este borde traza unafigura que se parece a un ocho replegado sobre sf mismo.Lacan 1 0 llama "ocho interior". El trazado puede descri-birse tambien como el de un rizo que se cierra sobre sf mis-mo. Lacan 1 0 llama tambien "doble rizo".

Sin embargo, para ver aparecer este trazado, hay quepasar por una operaci6n que los top61ogos denominan "unaplanamiento". Deldibujo de la primera Figura que aunevoca un objeto representado en el espacio ordinaria de

tres dimensiones (largo, ancho y espesor), con una ilusi6nde profundidad, pasamos a un dibujo en dos dimensiones,escrito sobre una hoja de papel, aplanado. La profundidadse indica entonces por un cruce de la linea sobre s f misma,o sea una "superposicion". La discontinuidad de la linea

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/' .

''1III, 11j//~

~ La superposici6n

evoca no su interrupci6n, sino el. paso par debajo de ella,

·en cierto momento de su trayecto, Esta superposicion es

necesaria para hacer desaparecer la ilusi6n de profundi-

dad ..Como unica huella de la profundidad en el dibujo de

aplanamiento, s610queda esta superposici6n.Otra vez se hace necesario escribir un momento tem-

poral. Esta marcado sobre el trayecto de la linea. De este

modo, convenciones del dibujo confieren el aplanamiento

un estatuto de escritura.

Por ejemplo, las lineas de puntas evocan la conti-

nuidad de una linea, oculta sin embargo a la mirada del

lector par una superficie: . .

.Existe una dificultad: para dibujar esta banda de Moe-

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Es una superficie de una sola cara. Este borde unico. ,

que describe un doble rizo, encierra una superficie de unasola cara,

Hepresentemos esta paradoja diBujando { i n lapiz qhe

atraviesa la banda: de Moebius.n

El lapiz atraviesa 1a banda de Moebius como si esta

fuera una superficie cualquiera, y sin embargo la banda

tiene una sola cara. Localmente, en lugar del lapiz, haydos caras, pero e1conjunto de la banda, por continuidad,

tiene una sola. La articulaci6n entre "parte" y "todo" es

enteramente nueva. La banda de Moebius permite una

subversi6n, con respecto al espacio conceptual habitual, de

la relaci6n entre las partes y el todo. El todo, manifiesta-

mente, no es siempre igual a la suma de las partes... El

analisis por partes pone al descubierto otra dimensi6n queno abarca al todo. El lapiz permite redefinir, en un lugar

determinado de la banda, las dos caras de una superficie or-

dinaria que sin embargo la banda de Moebius no conoce.

Entre los puntos.de vista estatico y dinamico existe ne-

cesariamente un elemento que desaparece. Semejante no-.

ci6n tiene su importancia para determinar, en el desarrollo

de los significantes, la repetici6n y la escansi6n.\

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Mostraremos ahara otra paradoja esencial: el corte de," la banda de Moebius, en el sentido del largo, produce unefecto sorprendente que Ie sirvio tam bien a Moebius para

una definicion topo16gicade lacelebre banda. Dicho corte

no separa dos pedazos independiente el uno del otro;describe el trazado del ocho interior de una sola vuelta ydestruye la estructura de la banda:

Queda un solo pedazo, dos veces m a s largo y que

incluye cuatro semitorsiones, pero que, esta vez, tiene unreves y un derecho. Se trata, par 10 tanto, de una superficiebilatera de dos bordes, semejante a una banda ordinaria.Las caracteristicas esenciales de Ia banda de Moebius handesaparecido.

Esta desaparici6n de la estructura moebiana par elcorte, sin destruir por ella el objeto ffsico en su unidad,

permite reducir la banda de Moebius a su corte. Ademas,como con el par de tijeras no se da m a s que una sola vuelta,el corte define un trazado que es el del ocho interior (en H-nea de puntas sabre el dibujo), y as! se desplaza en eiertomodo a este mismo tajo todas las caracteristicas de la ban-da de Moebius. Sabre el dibujo, si la atenei6n se centra enel trazado en discontinuo que bordea el espacio del corte,podemos ver de nuevo, en ese vacio nacido del corte, unasuperficie moebiana. Lacan haee una demostraci6n deesto en "L'Etourdit". Se trata aqui tan solo de una "mos-traci6n", de un esfuerzo par evocar el soporte espacial dela banda de Moebius. Antes de terminar, apuntemosque sobre esta paradoja Lacan asentara una de las nociones

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centrales de la cura analftica: la- de interpretaci6n. Elaxioma "la interpretaci6n es el corte" permite determinarde que modo este tipo de intervenci6n del analista des-cubre el deseo del an alizante , enmascarado en su propiodecir. -

El hecho de que el corte de una banda de Moebius ha-ga aparecer una banda de cuatro semitorsiones, que estavez no esmoebiana, introduce una ultima caracterfstica dela banda de Moebius. Para crear URabanda de Moebius, elnumero -de semitorsiones debe ser impar. En las notas ori-ginales de Moebius, la primera banda dibujada esuna ban-da de tres semitorsi6nes. Y Lacan, en el curso de su elabo-raci6n te6rica, se sirve cada vez mas de la -banda de Moe-bius de tres semitorsiones. Esta pregnancia de la banda deMoebius de tres semitorsiones tiene su explicaci6n, aunqueresulte sorprendente.

En efecto, en el memento del aplanamiento, en el di-bujo que efectuamos con lineas rectas se revela que, dehecho, la banda de una sola semitorsi6n se dibuja comouna banda de tres semitorsiones de las que una esta ala fz-quierda y dos ala derecha, 0viceversa. Asi, pues, e1tres yaesta presente; se prefiere entonces dibujar una banda detres semitorsiones izquierdas 0derechas, pero en cualquiercaso identicas, '

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La presentaci6n de ese objeto material, fisico, que esla banda de Moebius, puede parecer poco ordenada: es quelos fen6menos presentados no han hallado su sitio en unateorfa forrnalizada y completa. No es imposible que los

problemas planteados sigan sin soluci6n. EI caracter desubversion del espacio cotidiano que opera Ia superficiemoebiana 'no puede, en efecto, en absoluto ser reducido,por 10 mismo que se trata de un real que justamente no haencontrado todavfa su sentido.

Sabre estas multiples paradojas, Lacan apoya no-ciones diferentes, ya sea que quiera reunificar dos concep-tos separados, ya sea que quiera representar cierto tipo derelaci6n entre dos nociones. A menudo, por ejemplo, unconcepto se asienta sobre una definici6n de la banda deMoebius, y despues, "sirviendose de otra, trastorna nuestracomprensi6n de este concepto. .De estemodo, hace dar alas nociones un salta logico identico al salta topol6gico queconsiste en ver en un dibujo el trazado de un ocho interior,el aplanamiento de una superficie moebiana 0 una ilusi6n

de perspectiva.De este modo Lacan se ve inducido a considerar el di-

bujo mismo de la banda de Moebius como una escrituraque cerca un real, que escribe un materna. Un dibujo esun materna en el senti do de que se transrnite tal cual, masalla de los diferentes efectos de senti do que puede produ-cir. Esta noci6n de una escritura da nacimiento a. un uso

que Lacan expresa en terminos crudos, a proposito del nudoborromeo, en su seminario RSI: "hay que usarla tontamen-te" ,2 es decir, en cierto modo, no plantearse demasiado elproblema epistemo16gico del estatuto de la topologfa.

Examinaremos aqui diferentes usos. Saussure habiaasentado la dicotomfa entre significante y significado y lafuerza de sus relaciones -si bien arbitrarias- sabre la

imagen de las dos caras de una hoj a de papel. Lacan re-curri6 a la rnisma metafora cuando en el Seminario sabrela Identificaci6n apoya dos leyes del significante sobre labanda de Moebius: "Uri significante no podrfa significarse" a S 1 mismo'ty otro aspecto de esta ley: HUn significante

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/

IJ



representa a un sujeto para otro significante".» Se trata deejemplos sintomaticos de la practica topologica lacaniana.En efecto, la banda de Moebius subvierte ~la oposicionsignificante-significado inscripta sobre las dos caras de una

hoja, toda vez que el derecho y el reves se continuan e1unoen e1 otro. La vuelta temporal, la vuelta de mas que hayque dar en el reves para volver al punto de partida en el de-recho, permite redefinir entre significantey significado re-laciones que, si bien arbitrarias, todavia estan marcadassin embargo por esta paradoja. Haremos primero e1 co~mentario siguiente: 1ocalmente, en cada instante del re-

corrido sobre la banda, hay dos caras observab1es. En estamedida, el significante y e1significado se oponen, pero dehecho su diferencia no se apoya sino sobre, un factor tempo-ral. Un significante significa algo en un momento dado, endeterminado contexto de.,discurso, pero no se podrta dar aun significante su significado en el mismo instante. El sig-nificado no acaba de deslizarse por e1reves y, al final, una

vez que se efectuo una vuelta completa, es otro significan-te, sabre el derecho ahora, el que viene a definir al prime-roo Un significante nunc a remite mas que a otro significan-te, representa a un sujeto, para otro significante.

A contrario, un significante no podria significarse a S I

mismo. Esta ley es intuitivamente perceptible en la repeti-ci6n de un significante, que nunca es anodina ni esta

desprovista de sentido. Asi, -en la Frase "un hombre es unhombre", es ostensible que entre las dos palabras"hombre" no hay reparto de un significado identico. Losdos significantes no tienen el mismo significado. Hay unasigni£icaci6n de la Frase que se impone, ya sea que se tratede una tautologia, ya sea que se trate de diferenciar, canrespecto al termino "hombre", el concepto general y el indi-

viduo aislado. EI primer "hombre" no es el mismo que elsegundo. Entre los dos se inscribe necesariamente una dife-rencia, un espacio. Lacan apoya esta diferencia sobre eltrazado del ocho interior, La palabra se repite, el rizo secierra sabre S 1 mismo, pero cualquiera que sea la pequefiezdel espacio dejado, siempre hay entre los dos circulos el es-pacio de una banda de Moebius, y por este hecho hallamos,

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en el centro de estos dos cfrculos, un vacio, Mientras que elocho interior esvistoen el espacio, el interior de los ofrculosesta vacio, En ese lugar, no hay superficie,

. No s610no hay pegadura [collage] entre significante y

significado, como en una relaci6n de equivalencia mate-matica 0 logica "A = B", sino que su relacion se construyealrededor de un vacio, que es el de la referencia. No es ne-cesariamente sino para otro significante que un primer sig-nificante puede querer decir algo, y la significaci6nsiempre esta marcada por el vB;cIOque ella encierra. '

Enesta parte de la ensefianza lacaniana, el estatuto de

la banda de Moebius 5e define "como modelo de esteticatrascendental"; posteriormente Lacan dice, mas simple-mente, que la 'banda de Moebius es "un soporte intuitivo e.im-agin-ative". 4 La usa de esta manera para ilustrar el tra-yecto de la repeticion., En el seminario sobre "La ..16gica del fantasm a" , la"topologia del retorno de la repeticion'" es inscripta porLacan sobre el trazado del ocho interior. Este paralelo seapoya en muchos rasgos que Lacan va iluminando sucesi-

vamente. .El redoblamiento del circulo, que viene a rizarse

sobre sf mismo en la segunda vuelta, deja una traza [tra-ce]: la de un-cruce, una superposici6n. Ella es tambien 1 0

que permite existir al sujeto. Asi, en la repetici6n de un ac-co,' de una conducta 0de un sintoma, hay un trazo[trait):

" 1 0 que es repetido en 1 0 repitiente se encuentra en elori-gen; ese trazo, por este hecho, desde ese momento, marca a1 0 repetido como tal"," Este trazo es semej ante a la trazaque deja la linea en su retorno sobre sf misma., Ese rizo es tambien el dibujo de aplanamiento de una

banda de Moebius; entre los dos circulos se extiende enton-ces la superficie moebiana. Sin embargo, la retroacci6n de

un rizo sobre el otro delimita una diferencia del uno alotro, un espacio. Sobre esta diferencia, Lacan apeya el

. efecto progresivo de la repetici6n. Aunque se repita, el ele-·'mento no es el mismo; esto permite advertir el efectoprogresivo de 1 0 que se llama la regresi6n. Sin embargo, lar .gresion, por ser una repetici6n, justamente no es la mis-

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rna cosa que 10 que ella repite. Entre 10 repetido y 10 repi-tiente esta el espacio moebiano en tanto revela un elemen-to no mensurable, no contable pero presente estructural-mente como apoyo fundamental, aunque permanezca ig-norado. El encamina ese "uno en mas, uno de mas" (unoen demasia) que olvidamos contar porque no se define sinoa partir del vacio y del tiempo. Se trata de 1 0 que Lacandescribe COID;O "ese elemento no mensurable que se llama eluno en mas, el uno de mas, el deseo". 7 Este trazado ilustraasi el material sobre el cual va a operar el analisis: la repeti-ci6n, manifestaci6n en la cura de un deseo. A 1 0 que apunta-Iel el acto del analista es a tornar sensible este espacio.

Hagamos notar que a partir de ese dibujo del ocho in-

terior, hay una nocion que a la vez resulta descompuestaen divers as acepciones (regresi6n y progresi6n) y unificadacomo concepto. La multiplicidad de lecturas de un con-cepto recupera su verdadera riqueza; no es que un concep-to tenga varios sentidos, sino que es representante unico deun material complejo y analizable en muchos efectos,

En este trazado del ocho interior, se lee repetici6n ydiferencia de 10 repetido a 10 repitiente. Una vez que he-mos recordado su aspecto de "aplanamiento", podemosevocar el punto de autocruce como trazo de reconocimien-to.' Finalmente, este dibujo revela el espacio ignorado de lasuperficie de la banda, que es referido al deseo. Esta mane-ra de traer a la luz un "ignorado", que sin embargo estaba

. ahi desde siempre en sus efectos, es paralela al modo deexistencia de 16inconsciente. Hay repetici6n como aplana-rniento, gracias a la cura y a su dispositive. AI analista Ietoea leer en ella, gracias a una cierta sumersi6n, el deseoinconsciente, hasta entonces ignorado como espacio ... Larelacion que de esta manera se expone entre la topologla yel psicoanalisis, -des aun metaf6rica, 0 bien se trata dean

"soporte intuitivo"? ,A partir de este grado de acercarniento, .algode la for-

.malizacion se desequilibra. En realidad, 1 0 que. quedacaestionado es el estatuto de la topologia como soporte in-t,Uivo. Plantear como metafora, aun didactica, esta utili-zacion de la banda de Moebius, me pareceinadmisible,

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Lacan tiende a reducir la metafora; no es necesario plantear-la porque hay una equivalencia de 1 0 uno y 1 0 otro. Entre

la topologia y la experiencia analitica se establecen rela-ciones que los terminos "soporte intuitive" no definen o ~mejor dicho, la intuici6n remite al modo de abordaje deesa geometria que es la topologta. Henri Poincare, el grantopologo de comienzos del siglo veinte, la definia asf

."Para nosotros, el interes de este analysis situs(nombre dado ala topologia en los comienzos de su existen-cia) radica en que es ahi donde interviene verdaderamentela intuici6n geometric a". 8 Mas adelante, Poincare aiiadeque esa intuici6n es de otra indole. que la "intuici6n al-

gebraica" .La intuici6n, bajo la pluma de Lacan, remite a las

cualidades propias de la topologia en tanto aprehensi6nglobal del espacio. El psicoanalisis, como revelaci6n de laestructura del parletre, pone en escena el espacio mismoen el cualla topologia encadena sus fen6menos.

Dentro de este contexto, Lacan apoya una de las no-

ciones absolutamente fundamentales de la practica analiti-ca sobre otra paradoja mas de la banda de Moebius. Comoya habiamos anunciado, Lacan funda ese acto analiticopar excelencia que es la interpretaci6n sobre el corte de la

banda de Moebius.En el centro de la banda, en el sentido del largo, can

un solo corte de tijeras podemos trazar un ocho interior que

la divide sin par ella separarla en dos pedazos. La estructu-ra de la superficie cambia sin que par ella su materia, suconsistencia ffsica, se modifiquen. Este corte es e1acto.

Simultaneamente, en elmomento de la utilizaci6n delpar de tijeras, en el hecho de que su recorrido describe uncirculo, se puede decir que el significante es igual a sf mis-mo. De este modo, el acto es equivalente a su sentido. Estaigualdad se puede ejemplificar can esta frase: "el hecho deque camino significa que camino".» Una condensaci6n taldefine e1 acto verdadero. En ese momenta del corte, en elhecho de que el corte persiste en trazar undoble rizo, e1su-jeto de este acto queda dividido. Lacan comenta en la for-ma siguiente la.frase ya citada: "Para que el hecho de que

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camino devenga un.acto, es preciso que el hecho de que ca-mino signifique que camino en cuanto tal a que yo 10 diga.como tal". EI acto es, en sf mismo, el doble rizo del signifi-cante, "Podriamos decir, continua Lacan, y ella seria en-gafiarse, que en su acto el significante se significa a sf mis-rna; sabemos que esto es imposible, pero de todos modos noes menos verdadero que esta 10 mas cerca posible de esaoperacion'l.w En el acto, si bien el sujeto es equivalente a susignificante, igual queda dividido por el, La banda de Moe-bius, en su corte, ilustra esta serie de relaciones parad6ji-cas; permite evocar estas diferentes paradojas del acto.

En la medida en que es analftico, el acto debe ser si-tuado en el lenguaje. El acto encuentra su eficacia por elsesgo del equfvoco significante. Gracias a este, un solo pro-ferimiento [projeration] de significante puede hacer mani-fiestas dos vueltas, dos veces la oposici6n significante/ sig-nificado. Vemos de qtie modo esta operaci6n despega alsignificante del significado, para hacer aparecer la cadenasignificante en tanto encierra un vacfo, un espacio, el del

deseo como innombrable. El trayecto del par de tijeras creaun vacio que, 10 hemos visto, es nuevamente una banda deMoebius. La interpretaci6n es la operaci6n del corte, ellapuntua el deseo. Se situa en el "campo del deseo" ,ll en elespacio que dejan entre sf los dos circulos del doble rizo.Sin embargo, este corte ha cambiado la estructura topolo-gica de la banda. Despues del corte, tenemos una banda de,

dos caras: si el acto es repetici6n como ocho interior, no esmenos cierto que produce efectos de estructura. Race apa-recer el espacio del deseo del sujeto, al tiempo que destruyeese espacio en el mismo momento. El corte en el tiempo enque es efectuado muestra la superficie de la banda. Se tratade ese tiempo del que Lacan dice que antes de la operaci6nes ignorado e incontable como tal. Sin embargo, la opera-

ci6n ha hecho desaparecer la estructura de ese espacio:efecto de fading, abertura y cierre de 10 inconsciente, en-cuentro fallido, afanisis, siempre hay can el sujeto efectosde este orden. El espacio se muestra desapareciendo.

Lacari asento la situaci6ri analitica sobre el ocho inte-rior, unas veces como perfmetro que se enrolla sobre sf mis-

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·rno, otras como superficie de una cara, otras como trampade la duraci6n, otras como lugar de un corte parad6jico.En el mismo orden de ideas, el usa que Lacan hace delcross-cap» tambien se qasa en las paradojas que la banda

de Moebius despliega.En efeeto, la banda de Moebius conserva, en nuestro

espacio, el estatuto de representante de 10irrepresentable.Esta funei6n paradoja constituye una necesidad, a causade la debilidad denuestrapercepcion y de nuestra imagi-naci6n intuitiva del espacio.

Antes de referirnos a otros objetos topo16gicos, con-

viene recordar 10 siguiente: s610la banda de Moebiuses real-mente, como objeto unilatero, * construible y manipulable.Asi, pues, este objeto permite representar la abstracci6nanudada a un real. Permite adquirir un seguro sabre eleual Lacan se apoyara ulteriormente cuando introduzca elnudo borromeo.

Notas

1 Ornicar?, n? 17-18, primavera de 1979, "Moebius, la premierebande", texto introductorio de J.-A. Miller. . .2 Seminario de Jacques Lacaridel 17 de diciembre de 1974, "RSI",

publicado en Ornicar? n? 2.3 Seminario del 9 de mayo de 1962, "Identification", no publicado.4 Seminario del 15 de febrero de 1967, "La Iogique du phantasme", nopublicado.5,6,7 Idem.

8 Poincare, Demieres pensees, Bibliotheque scientifique, Ernest Flam-marion, Paris, 1913.9, 10 Sen:inario del 15 de Iebrero de 1967, "La logique du phantasms",no pubhcado.11 Seminario de Jacques Lacan, "Los cuatro conceptos", Le Seuil.12 Cf. Capitulo 4.

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Los dos toros enlazados



Capitulo 3

ELTORO



En el. texto del relato de Roma de 1953, "Funcion ycampo del habla [parole] y del lenguaje" , hallamos bajo lapluma de Jacques Lacan una referencia a la topologia del·toro. .j .

Para referirse a la naturaleza del Sujeto propio de 10inconsciente, Lacan se situa como sigue:

"Cuando queremos a1canzar en el sujeto 10que habiaantes de los juegos seriales del habla, y 10que es primordialpara el nacimiento de los simbolos, 1 0 encontramos en lamuerte, de donde su existencia toma todo el sentido quetiene. Es como deseo de muerte, en efecto, como se afirmapara los otros; si se identifica can el otro, es coagulandoloen la metamorfosis de su imagen esencial, y ningun ser es

evocado nunca por el sino entre las sombras de la muerte."Decir que este sentido mortal revela en el habla. uncentro exterior allenguaje es mas que una metafora y ma-nifiesta una estructura. Esa estructura es diferente de la es-pacializacion de la circunferencia 0 de la esfera en la quealgunos se complacen en esquematizar los lfmites del vivientey de su medio: responde mas bien a ese grupo relacional

que la logic a simbolica designa topologicamente como unanillo. ."De querer dar una representaci6n intuitiva suya, pa-

rece que mas que a la superficialidad de una zona es a laforma tridimensional de un toro a 10 que habria que re-currir, en virtud de que su exterioridad periferica y su exte-rioridad central no constituyen sino una unica region."

51



Esta cita esta acompafiada por una nota de 1966 quedestaca, aqui, un uso de la topologia.

Nuestra atenci6n ha de dirigirse a varios terminos queencierran nociones esenciales de la cura 'psicoanalitica. Setrata, en "1 0 que es primordial al nacimiento de los simbo-

los", de 1 0 que Freud denomina identificaci6n con el padrede la horda primitiva, el padre arcaico, el padre muerto.En los albores del nacimiento del sujeto, hay identifica-ci6n. Esta es la gran cuesti6n que el toro y su topologia per-miten plantear en terminos claros. -

Entre ese afio del relato de Roma, 1953, y su seminariode 1976, Lacan afina la formalizaci6n de esta cuesti6n. Alcomienzo, habla de "representaci6n intuitiva"; despues, elmodelo cobra tanta fuerza y tanta convicci6n que una vezm a s se impone la f6rm ula de "la topologfa es la estructura" .No se trata de articular relaciones entre laidentificacion y layuelta sobre sf mismo [retournement I del taro: 1 0 uno es el

equivalente de 1 0 otro. Pero nos estamos anticipando.El taro ofrece una buena representacion de ese grupo

relacional euyo centro y euyo exteriorson un s6lo y mismoespacio. La superfieie del toro envuelve un espacio interiory.lo separa del exterior, al precio de un centro que siguesiendo exterior. Un toro se define como una superfieie sinborde, y en este sentido es equivalente a la esfera, pero sucentro esta vacio. La mejor aproximaei6n ffsica es el flota-dor 0 el neumatico. Tambien puede figurarlo un anillo,siempre que se tenga en euenta la materia, 1 0 mismo queuna taza can su asa.

Los trazos dibujados en el '

'momento de esta representaci6n

son lineas de pliegue de Ia

superficie.

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Sepuede obtener un toro componiendo un cfrculo con

un circulo (producto cartesiano de S x S).

Uno se denomina alma del toro, es decir, el interior 0,

para ser m a s precisos, el vacio interior del taro. El otro es

un cfrculo pequefio 0 circulo meridiana.

Se puede construir un taro partiendo de un cilindro:

basta empezar por transform arlo en asa curvando los

pliegues, y empalmarlo despues eonsigo mismo.

,,-- . . . .

El toro se puede construir tambien partiendode dos

coronas: basta can pegarlas par sus hordes. .

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· Podemos representar esta operaci6n a partir de unrectangulo cuyas flechas indican el sentido del pegado: pri-mero se obtiene un cilindro, y despues, pegandolo segunsus bordes, se obtiene el toro:

I

I

Estos ultimos dibujos permiten llegar a la definici6ndel toro como una superficie sin borde a la que dos cortesno haeen desaparecer ni dividen (se trata de dos cortesduales * que se encuentran en un solo pun to).

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. En ultima instancia, Lacan define el taro como unaorganizaciondel agujero.! Se expresa asf "Estes dos aguje- .ros aislados en la superficie de la esfera son los que, reuni-dos U1J.ocon el otro y muy prolongados y despues conjuga-

dos, nos han dado el toro". Alrededor del aguj ero interior"hundido en la superficie", y el agujero axial, el que Lacanllama "agujero corriente-de-aire", se organiza una superfi-ole. Es un interior agujereado que marra el centro.

EI toro, superficie sin borde, delimita un interior y unexterior con la particularidad de tener un centro "exterior" .

.Este centro esta agujereado, permite el anudado.

Esta estructura de superficie es utilizada por Lacanpara reflexionar sobre la gran cuesti6n de la identificacion.En 1976, se expresa del siguiente modo: "dQue relaci6nhay entre esto, que debemos admitir que tenemos un inte-rior, al que llamamos como' podemos, psiquismo porejemplo, incluso vemos a Freud escribir endopsiquismo, yno es tan sencillo que la psique sea endo, que haya que en-

dosar este endo, que relaci6n hay entre este interior y 1 0. que llamamos corrientemente la identificacion?"

La identificaci6n es la respuesta a una pregunta: ddeque-modo algo exterior deviene interior, exterior y sin em-bargo central?

Recordemos que para Freud hay tres identificaciones:- La identificaci6n primordial, Hamada "con el

padre muerto"; resulta del arnor consagrado al padre, y esresponsable de la introducci6n de . 1 0 simb6lico.

- La identificaci6n con el trazo unario, donde no se -

ria en absoluto cuesti6n de amor; es la que Freud situ a enel fundamento de la constitueion de las multitudes. Lacantoma el ejemplo del bigote del Fuhrer para ilustrarla.

- La identificaci6n que implica .una participacion;

se Ie endilg6 el termino de histerica, de identificaci6n conel deseo del Otro.

dDe que manera da cuenta el toro de la identifica-ci6n? Este objeto ofrece un soporte que permite percibir lasimplicaciones de este termino, tan corriente ahara, peroque no por ella es mas explfcito. Primeramente Lacan seapoya en un fen6meno muy particular de transformaci6n

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del toro, la "vuelta sobre s f mismo". Pero, antes de abocar-nos a esta noci6n, debemos precisar ciertos terminos utili-zados por Lacan a prop6sito de esta superficie, que permi-te establecer la relacion que une el deseo con la demanda.

Designemos can letras el deseo (d) y la demanda (D).En la superficie del taro existe un trayecto que sigue un cfr-

culo meridiana. Se cierra en un rizo. En cambio, si estetrayecto alrededor del toro marra su punto de llegada, en-tonces, para cerrarse sinrecortarse, los rizos se multiplicany el trayecto cumple asi una vuelta de longitud. Tambienda la vuelta al alma del taro.

Este trayecto rodea de una manera que podriamos ca-lificar de puntillista el agujero central del taro. Al hacerlo,describe una vuelta suplementaria alrededor del agujero.Adernas, esta vuelta en mas se olvida y, .por afiadidura,dc6mo contarla?

Las vueltas se suceden y se cuentan, son identicas, sinque haya posibilidad de contar la vuelta de mas recorridaalrededor del agujero central. Aqui quedan ilustradas la de-manda y su repetici6n fundamental, repetici6n que se efec-tua en el desconocimiento de que ella expresa un deseo des-conocido y sin embargo esencial. Se ha definido as! "el uno-de-mas" (0 en demasia). Este circulo de longitud, olvidado,es, estrictamente hablando, 1 0 que Lacan llama el deseo.

Este recorrido hace manifiesto un aspecto fundamen-tal del desconocimiento del deseo que resume la importan-cia del agujero central: la demanda se repite y dibuja al ob-

jeto como faltante. EI objeto asi descripto siempre es56



marrado, e~ un fracaso sin embargo estructural, ligado alrecorrido de la demanda y necesario a su repetici6n. Esteagujero central esta tambien en comunicaci6n con el exte-rior, y Lacan utiliza estas propiedades para definir dos po-siciones distintas del deseo en relaci6n con la demanda.

Por un lado, esta "mas alla" de la demanda, "la tras-ciende, va mas lejos, y en este aspecto es eterno", La de-manda, el articular el deseo can condiciones de lenguaje,se expresa a traves de significantes que traicionan su verda-dero alcance. De esta forma, el fracaso es fundamental en lademanda, la figura del objeto a se perfil a en el vacio central.Posteriormente, Lacan describe este objeto situado entre los

tres redondeles del nudo borromeo RSI. Recordemos que es-tos tres redondeles son toros, tienen la consistencia de lacuerda, "son mas bien toros-tripas" [boyaux}. .

Por otro lado, el deseo esta "mas aca"; el vacio centralse comunica con el exterior. La demanda viene a recordar"la falta en ser" radical que subtiende al deseo. "El deseo sehunde mas aca, por el hecho de que, demanda incondi-

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-' J " . 1



cional del ausentido [absense] 0 del presentido [presen-se], evoca la falta en ser radical bajo las tres figuras del na-da [du rienJ que constituye el fondo de la demanda de

amor, del odio que va a negar el ser del otro y de 10 inde-

cible que se ignora por su requerimiento." En esta frase ve-mos aparecer las tres pasiones que Lacan situ a en el nivel

del ser y no en el del objeto, Se trata del odio, del amor y dela ignorancia.

La demanda que viene a odear, a"bordear la "Ialta

en ser", el nada del universo, crea, por su misma repeti-ci6n, una superficie que separa un interior de un exterior ..

Esta estructura da cuenta del nacimiento de un sujeto de 10inconsciente. EI mas aca de la demanda nos introduce ade-mas en el anudamiento mismo de la demanda con el otro.El arnor, elodio y la ignorancia interesan al otro en su ser.Recordernos que el sujeto que entra en analisis se coloca enIa posici6n de "aquel que ignora" 1 0 que dice.

Sobre el anudamiento de dos toros Lacan apoya la

dialectica neur6tica del sujeto con el Otro: En este anuda-miento, el deseo de uno es isomorfo ala demanda del otro,y el vacio central sirve tan solo para el anudamiento de losde toros. (Cf. fotograffa.) .

Se trata de una articulaci6n esencial para entrar en laproblematica de la identificaci6n. Un objeto demandado

6 0



por el otro, la madre. Otro primordial, se encuentra en po-sici6n de objeto del deseo para el sujeto. Esta articulaci6npermite una nueva visi6n de las relaciones madre-hijo, queson' sin'duda de dependencia, pero que no responden a unaconfusion simbiotica 0 a una comunicaci6n infraverbal.

, Los significantes que devienen inconscientes estan li-gados a los significantes testigos del momento del acceso allenguaje. Aqui se fija la estructura del fantasma, mas acade la demanda que es el modo de aparici6n del Otro. Elfantasm a fundamental delimita el momenta de separaci6nde la experiencia real, ligada a la demanda presente delotro, y de su reviviscencia alucinatoria. Consuma la sepa-

raci6n entre el objeto que colma y el signo que viene a ins-cribir ala vez el objeto y su ausentido. Se trata de la insta-laci6n de las condiciones del habla, cuya estructura da susentido al aforismo: " 1 0 inconsciente es el deseo del otro".

Gracias ala nocion de vuelta sobre sf mismo-del toro,Lacan precisa mas aun su pensamiento. Dar vuelta el taroconsiste en hacer pasar al exterior la cara que estaba en el

interior. Esta operaci6n puede efectuarse gracias a un cor-te, a un agujero. Se observa entonces un fen6menosorprendente: hay inversi6n de los circulos de la demanday del deseo. Lo que-era circulo meridiana deviene un circu-1 0 alrededor del alma del toro. Sin embargo, el agujerocentral sigue siendo el mismo.

En el plano ffsico, la experiencia es simple, pero su

escritura 0 incluso su dibujo son muy diffciles, porque lasIineas de pliegue convencionales desaparecen. Es una ope-raci6n que pone en evidencia el lado puramente conven-cional de los dibujos.

Al final del proceso, el taro sigue siendo el mismo, pe-ro sin embargo su escritura es diferente.

Las fotograffas exponen el conjunto de la operaci6n,

pero nosotros vamos a estudiar con todo detalle estas difi-cultades de escritura.

La vuelta sobre sf mismo pone en evidencia hasta quepunto el dibujo deja de mantener la ilusi6n de una repre-sentaci6n de 10 real que escapa a la escritura, '

Debemos partir del dibujo clasico del toro, donde las

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lfneas represent an pliegues de la superficie: sabre este di-bujo practicamos un corte. .

Para mayor simplicidad, bastara con un agujero.

Un agujero en la superflcie, una ruptura, esto tieneotra naturaleza que el agujero central del taro 0el agujerointerior .

.Despues, comenzamos a hacer salir la superficie poreste agujero.

Damos vuelta al toro como un guante, 0, mejor aun,como un poncho y su fOIfO.

Al final del proceso, el forro queda a1 exterior.Vemos que el espacio del agujero central pasara a ser

el espacio interno.Se trata de un darse vuelta que sigue estando en el

campo de las sumersiones. En general, los .matematicos

dan vuelta el toro al precio de un recorte de superficie ycan ella penetran en el campo de las inmersiones. * El tra-yecto pasa entonces par una "botella de Klein", que es unasuperficie ..continua, unilatera, y que par 1 0 tanto pone encomunicaci6n interior y exterior .. El corte aqui es muchom a s econ6mico para operar la misma supresi6n de frontera.

Adem a s , en el campo del psicoanalisis la dimensi6n

operatoria del corte es distinta del recorte, toda vez que re-mite ala interpretaci6n en la cura y, mas generalmente, alacto del habla,

Tambien podemos efectuar la mostraci6n siguiente:E I agujero sigue atin abierto para mostrar 1 0 que ad-

viene del espacio. Podemos materializar 5 U destine anu-

62



dando al taro inicial una cuerda, como muestran las fo-

tografias. .Obtenemos entonces otra escritura del taro:

Este dibujo es uri taro rep resent ado como una esferacan un tunel, 'con dos aberturas, pero entonces las lineas

que las representan no son pliegues. Lacan llama a estapresentaci6n "tore-garrote". Si el observador efectua unarotaci6n de un cuarto de vuelta, se recae en el dibujo clasi-co del taro. EI taro es el mismo que el del comienzo, peroahora su cara intern a esta al exterior.

En est as representaciones.reencontramos la importan-cia de la torsi6n. EI sujeto de la percepci6n da un cuarto de

vuelta, y en los dibujos aparece simbolizado por un ojo.{ A . - ,,

6 3



Vemos asi de que modo la torsi6n es una caracterfsticaextrinseca de la superficie, que no aparece sino ante unamirada exterior. (Cuesti6n que dara lugar a un capituloentero de este estudio.) .

Notemos solamente que se trata de un cuarto de vuel-

ta, de la mitad de una semitorsi6n. Hemos visto c6mo la se-mitorsi6n es la unidad de cuenta en nuestro espacio (cf. lacucharilla) .

Un hilo delgado que ahora tenemos representado en

los dibujos siguientes materializa la transformaci6n, sobrela superficie, de un cfrculo meridiano en circulo del alma.Un circulo de la demanda deviene un circulo del deseo.

Este proceso da cuenta .de la identificaci6n, de la trans-

formaci6n de un objeto de arnor en trazo del Yo, trazo conel cual el Yo se identifica, 0m a s bien identifica su deseo.

Los dibujos ofrecen asimismo una aproximaci6n al ca-mino de Ia vuelta sobre sf mismos de dos toros enlazados.Basta con dar al hilo la consistencia de una cuerda. 0 de untubo; vemos c6mo por un agujeroes posible dar vuelta untaro y reencontrar el toro enlazado en el interior.

Viceversa, el toro interior, a partir del momenta enque damos vuelta el toro que 10 encierra, estara anudado alprimero, como lugar de la dialectica neur6tica de la rela-ci6n can el Otro. (Cf. supra.) .

Ahora vemos mejor par que este mecanisme es irnpor-tante para dar cuenta del proceso de desarrollo de las rela-

64



clones madre-hijo, y como la identificaci6n es un destinede ~se apego ..Recordamos, por ejemplo, la forma en queMelanie Klein, en sus observaoiones clfnicas, localiz6 elduelo necesario ala separaci6n respecto del objeto primor-dial, y el papel estructurante que ella adjudica a la "posi-

ci6n depresiva", ..Ahora nos es posible volver a las tres identificaciones

freudian as , y considerarlas a partir de la vuelta sobre sfmismos de los toros enlazados segun tres escenarios:

'- un solo corte, una sola vuelta sobre. sf mismo;- un corte en el toro de llegada de los dibujos prece-

dentes y una vuelta sobre sf mismo;

- un corte en cada toro, y dos vueltas sobre sfmismo.:

Partiendo de estas esquematizaciones, Lacan intentadar apoyo a las divers as identificaciones freudianas. Propo-ne, entonces, la cuesti6n siguiente." "dC6mo designar demanera homologa las tres identificaciones distinguidas por

. ,Freud, la identificaci6n histerica, la identificaci6n amoro-sa Hamada con el padre, y la identificaci6n qu~ denomina-

re neutra, esa que no es ni la una ni la otra, la identifica-.ci6n con un trazo particular, con un trazo que yo digo cual-quiera, con un trazo que sea solamente el mismo? dYc6morepartir estas tres inversiones de taros, homogeneos en supractica y que, ademas, mantiene la simetria de un toro aotro?" . .

En el seminario siguiente, Lacan no retoma este

problema en los mismos terminos: se dedica a anudar estasidentificaciones con la funci6n de 10 inconsciente.Es conveniente,. en efecto, situar a 10 inconsciente y

sus efectos de habla en esta problematica, "EI toro es capaz .de ser recortado segun una banda de Moebius doble, yestoes 10 que nos da la imagen del nexo de 1 0 consciente con 1 0inconsciente" . '

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En otra parte Lacan declara igualmenter "lo cons-ciente y 1 0 inconsciente son soportados y se comunican porun mundo torico". .

Elespacio t6rico tiene muchas relaciones con la bandade Moebius, pero esto no es perceptible de entrada.

. Mediante el revestimiento en doble hoj a de una bandade Moebius de cuatro semitorsiones a 1 0 largo de su anillo,encontramos, en efeeto, una banda de Moebius de una se-mitorsi6n unilatera * y la mas capaz de fundar 10 que suce-de con el agujero. EI agujero es moebiano, en el sentido deque, si una superficie tiene un reves y un dereoho, tiene dosagujeros, el del reves y el del derecho. La banda de Moe-bius, puesto que junta el reves y el derecho, es un agujero.

Esta disposici6n es primordial para el funcionamientode 1 0 inconsciente, pues permite situar su caracterfsticaprincipal. Se trata de un agujero, pero de naturaleza dife-rente al agujero axial del toro, aunque mantenga con el re-laciones particulares I

lDe que manera puede recortarse sobre el taro unabanda de Moebius unilatera, de una semitorsi6n?

El toroes una superficie sin borde, continua, bilateray orientable. No se puede pasar del interior al exterior sinatravesar un borde, una frontera, sin crear un fen6menode ruptura, Asi, pues, es matematicamente imposible ins-cribir sobre su superficie una banda de Moebius unilatera y

no '·orientable. * Para' inscribirla, es menester un procesoparticular can sus aconteeimientos especfficos; que volve-remos a trazar: operamos primero un corte en doble rizo,en ocho interior, del que ademas hemos visto que equivalealborde de la banda de Moebius." Merced a este procedi-miento, rodeamos dos veces el agujero axial.

Obtenemos as! una banda con cuatro semitorsiones,numero par, y por tanto una bandabilatera condos bordes(materializados aqui por una escritura diferente de los dosbordes).

AI precio de una ligera transformaci6n del corte, po-demos observar una semitorsi6n, a menudo olvidada. Esuna torsion, al borde del pliegue, que da cuenta del aguje-ro axial del toro.

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En el primer tlibujo, esta semitorsi6n esta reducida,en efecto, a un punta. Esta reducci6n se debe a nuestra di-ficultad de representaci6n mental del toro rnismo, Sinesta se-mitorsi6n, ya nada distingue al taro de la esfera. La semi-torsi6n es aqui la expresi6n de la estructura del toro. Sin

embargo, el pegado de estas dos semitorsiones, una sobre laotra, permite crear la banda de Moebius. Precisamente por€'.,tasdos semitorsiones, el toro "recortado as!" revela ser "elrevestimiento de dos hojas" de la banda de Moebius. Los di-bujos siguientes ilustran este proceso etapa por etapa.

Retomemos el desarrollo a partir del corte:

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Por flexibilidad, despues podemos reducir la superfi-cie del toro al espacio que bordea al corte.

Quedan dos trozos de pliegues.La superficie se recruza ella misma.

Podemos reducir entonces los pliegues a la semitorsi6nque ellos representan, y despues poner los dos rizos en "es-pejo' y acercarlos. Finalmente, vemos c6mo un pegado deestos dos rizos,a 10 largo de su superficie, crea una bandade Moebius unilatera de una semitorsi6n.

Es 1 0 que se denomina revestimiento de dos hoj as de labanda de Moebius.

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Ade:fulls, este trayecto es loinverso del corte de una.banda de Moebius. En efecto, ese corte crea una banda bi-latera de cuatro semitorsiones. Se trata de la banda que esrecortable sobre el toro.

. EI revestimiento de dob1e hoja es 1a operacion que da

cuenta de la manera en que inconsciente y consciente "secomunican por un mundo t6rico". Es 10 que sucede, porejemplo, en 1 0 que Freud llama la "doble inscripcion": elmismo recuerdo se inscribe en una cadena inconsciente yen una consciente. La banda de Moebius da la estructurade la cadena significante y de los efectos de corte de ciertaspalabras, como la interpretaci6n.

Esta re1aci6n de la banda de Moebius con la estructu-ra del toro entrafia una serie de cuestiones en ~l momento:de las primeras identificaciones y del aprendizaje de la len-gua. A contrario, la psicosis y su tratamiento psicoanaliticoposible .encuentran tal. vez una nueva via gracias a est.asformalizaciones. En efecto, dque es la interpretaci6n en laestructura psic6tica? dNo se trata, mas bien; de una cons-

trucci6n?Cabe preguntarse si se trata de un corte 0 delpegado

de un revestimiento de dos hojas. Lo que aqui esta sobre eltapete es la estructura de la lengua, y los objetos topologi-cos proporcionan el medio para formalizarla.

Notas

1Seminario sobre "L'Identification", 23 de mayo de 1962.Z Seminario del 16 de noviembre de 1976, OrnicarP, n? 12-13, Le Seuil.:3 Cf. capitulo 2.

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5-latopologiabasicadelacan-jeannegranon-lafont

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