1

4 Penos toplote u neustaljenim uslovima – jednodimenzionalni

problemi

Neustaljeni prenos toplote u vezi je s neustaljenim temperaturnim poljima. Diferencijalna jednačina

neustaljenog polja za opšti treodimenzionalni problem već je ranije formulisana i, podseća se, ima oblik

2 2 2

2 2 2a

x y z

∂θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ= + + ∂τ ∂ ∂ ∂ , (u Dekart-ovom sistemu koordinata). (1)

Analiza neustaljenih temperaturnih polja je svakako daleko teža u odnosu na analizu ustaljenih, te će se ovde

problem ograničiti na jednodimenzionalna polja, tako da će važiti parcijalna diferencijalna jednačina

2

2a

x

∂θ ∂ θ=∂τ ∂

. (2)

Svrha razmatranja svih problema biće da se objasni fizičko značenje veličina koje se moraju, prema

Pravilniku, proveriti za izvesne građevinske elementa. To su, pre svega (prema Pravilniku):

...

� фактор пригушења амплитуде осцилације температуре, ν [-]; � кашњење осцилације температуре, η [h]. ... Obe veličine zavise, kako će se videti, od "poremećaja" temperature u odnosu na neki ustaljeni režim, kao i od

veličine (debljine) i svojstava građevinskog elementa. Uobičajeno je da se "poremećaj" temperaturnog polja u

odnosu na ustaljeni režim pripisuju ili temperaturi okruženja, ili temperaturi na nekoj od površina građ.

elementa, i to u obliku:

( )( ) cose et A t∞ ∞θ = θ = θ + ω , (31)

( )0 0( ) coss s t A tθ = θ = θ + ω . (32)

Pri tome su ovde

Ae - tzv. amplituda oscilacija temperature ambijenta oko stalne vrednosti, οC,

2 fω = π - ugaona (kružna) frekvencija oscilacija, radijana/sekundi,

f - frekvencija, 1/s (=Hz).

Frekvencija f je, zapravo, obrnuto proporcionalna vremenu (u sekundama) potrebnom da se obavi jedna

potpuno oscilacija (od vrednosti na početku pa do vrednosti jednake vrednosti na početku), kaže se "puni krug,

ciklus" od 2π radijana.

4.1 Polu-beskonačni čvrst sloj sa periodičnom temperaturom ambijenta

Razmatra se polubeskonačni čvrst sloj sa jednodimenzionim temperaturnim poljem (slika 1), čija je leva

strana izložena konvekciji prema ambijentu, a temperatura ambijenta se periodično menja po zakonu (31)

θoo(t)

θs(t) θ(x,t)

x

λ, ρ, c

θe

Ae

Ae

Slika 1. levo) bez prugušivanja amplitude, desno) sa prigušivanjem amplitude

Diferencijalna jednačina neustaljenog jednodimenzionalnog temperaturnog polja je

2

2, 0 , 0a x t

t x

∂θ ∂ θ= ≤ ≤ ∞ ≥∂ ∂

. (4)

Početni uslov je

2

( , ) , 0 , 0ex t x tθ = θ ≤ ≤ ∞ = . (5)

Jedan granični uslov je

( , ) , , 0ex t x tθ = θ → ∞ > (6)

Drugi granicni uslov moze da se zada na razlicite nacine. U konkretnom slučaju, pak, zbog postojanja

konvektivne razmene između ambijenta i površine koristi se tzv. granični uslov 3. vrste:

( )( , ) 0, 0h x t x tx

∞∂θθ − θ = −λ = >∂

, (7)

pri čemu je

( )cos , 0e eA t t∞θ = θ + ω > . (8)

Jednačina (7) prosto znači jednakost specifičnog fluksa ostvarenog konvekcijom (h je koeficijent prelaza

toplote konvekcijom, W/m2K) sa specifičnim fluksom provođenjem u materijalu na mestu x=0.

Rešenje problema (4)-(8) je

( )( )

1/

21 / 22

Bi 1( , ) cos / ,

2Bi 2Bi+2

x l

e ex t A e t x l f x t− θ − θ = ω − − β + +

, (9)

gde je skraćeno zapisano

/l a≡ ω , (10)

2 / / /Bi 2 / 2 2

1 / 1 /

h a h a la

h h

ω λ λ= = ω = =λ ω λ

, (11)

1arctan

1 Biβ ≡

+. (12)

Funkcija ( , ) 0t

f x t→∞→ u jednačini (9) ima složenu strukturu, ali ima svojstvo da postaje nula kada je veme

tarajanja veliko (teorijski t → ∞ ), dakle:

( , ) 0t

f x t→∞→ , za svako 0x ≥ . (13)

kvaziustaljeni periodični režim

Razmatraće se samo kvaziustaljeno periodično temperaturno polje, koje odgovara situaciji da t → ∞ . Prelazni

režimi su isključeni.

( )0

1/

21 / 2

2

( )

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e e

A

A x

x t A e t x l− θ − θ = ω − − β +

�����������

�������������

, (14)

ili skraćeno, saglasno naznačenim identifikacijama u jednačini (14),

1( , ) ( )cos /

2ex t A x t x l

θ − θ = ω − − β . (15)

Parcijalni izvod po koordinati x je sada

( , ) ( ) 1 1 1 1cos / ( ) sin /

2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) cos / ( ) sin /

2 2 2 2

1 1 1 1( ) cos / sin /

2 2 2

1

x t A xt x l A x t x l

x x l

A x t x l A x t x ll l

A x t x l t x ll

l

∂θ ∂ = ω − − β − − ω − − β ∂ ∂ = − ω − − β − − ω − − β

= − ω − − β − ω − − β

= − 1( )cos / / 4

2A x t x l

ω − − β + π

. ()

tako da toplotni fluks u pravcu x-ose može, za svako x i svako t, da se odredi prema Fourije-ovom zakonu

3

1/

20

( )

( , ) 1 1( , ) cos / / 4

2

x l

x

A x

x tq x t A e t x l

x l

−∂θ = −λ = λ ω − − β + π ∂ �����

, (16)

ili

1( , ) ( )cos / / 4

2xq x t B x t x l

= ω − − β + π , (17)

gde su skraćenice

1 1/ /

2 20 0

1 1( ) ( )

x l x l

B x A x A e B el l

− −= λ = λ = , (18)

( )0 0 0 1 / 22

1 Bi

Bi 2Bi+2e

a aB A c A c A

l l l= λ = ρ = ρ

+ . (19)

Mada će se analize fizičkog značenja različitih članova u rešenjima (15) i (17) odnositi na slučajeve sa

proizvoljnim vrednostima svojstava materija, i drugih konstanti, radi ilustracije karaktera rešenja odmah se

daju primeri koji se odnose na na slučajeve sa sledećim termofizičkim svojstvima:

ρ = 1800 kg/m3 , λ = 0.76 W/mK, c = 920 J/kgK, ( / 0.76 /1800920a c= λ ρ = = 4.509371981 x 10-7 m2/s).

Amplituda oscilacija temperature okruženja oko vrednosti eθ biće

eA = 10 oC .

Razdoblje evolucije poremećaja (pini krug - 2π radijana) biće 24 h, pa je frekvencija f, Hz, jednaka

1 / 24 1 / 1 /(24 3600) 1 /f h s= = × = 1.157407407 x 10-5 1/s = 1.157407407 x 10-5 Hz.

Koeficijent prelaza toplote konvekcijom biće:

h = 25 W/m2K.

Ponavljamo, konkretne vrednosti izabrane su samo radi ilustracije za jedan, konkretan, slučaj. Jasno je da se

umesto uzetih vrednosti može operisati i sa drugim podacima uz odgovarajuću softversku podršku (za

simulaciju i analizu sličnih rezultata).

Temperaturna polja u materijalu ilustrovana su na slici 2, a na slici 3 je prikazan toplotni fluks.

00.2

0.40.6

0.81

05

1015

20

t

-10

-5

0

5

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

10 20 30 40 tx

∆θ=θ(x,t)-θe ∆θ=0

0.1

0.5

1

2

3

-0.1 -0.1

0

x, m

t, h

oC

Slika 2. Temperaturna razlika ( , ) ex t∆θ = θ − θ : levo) prostorni prikaz, desno) izo-linije, ( , ) ex t∆θ = θ − θ =const.

t

x

tx

qx(x,t), W /m2

qx= 0

1

10

30

-1

00x, m

t, h

00.2

0.40.6

0.81

05

1015

20

-60

-40

-20

0

20

40

60

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

10 20 30 40

Slika 3. Toplotni fluks xq : (levo) prostorni prikaz, desno) izo-linije, sa xq =const.

4

kvaziustaljeni periodični režim – faktor prigušivanja amlitude talasa po dubini u materijalu

Prema rešenju (15) odnosno (14) za kvaziustaljeni periodični režim

( )0

1/

21 / 2

2

( )

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e e

A

A x

x t A e t x l− θ − θ = ω − − β +

�����������

�������������

, (14)

jasno je da je amplituda oscilacija temperature materijala na površini, A0, manja od amplitude oscilacije

temperature ambijenta, Ae, zavisno od Bi broja:

( )0 1 / 22

Bi/

Bi 2Bi+2eA A =

+, (20)

i takva zavisnost je prikazana na slici 4 (levo).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18x0

2

4

6

8

10

12

14

16

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

A0/Aeν

Bi x, m

Slika 4. Odnos ammplituda 0 / eA A u funkciji Bi (levo), i Faktor prigušenja amplitude u materijalu ( )xν

(desno)

Isto tako, amplituda oscilacija u dubini materijala manja je od amlitude na površini:

1/

20( ) /

x l

A x A e−

= . ()

Faktor prigušenja amplituda oscilacija je definisan kao recipročna vrednost prethodnog odnosa amplituda:

1/

0 2( )( )

x lAx e

A xν = = . (21)

Očigledno je da faktor ( )xν raste sa dubinom x, i zavisnost je prikazana na slici 4 (desno).

Perodična dubina prodiranja, ex , definisana je kao dubina kojoj odgovara faktor prigušenja oscilacija tačno

e=2.718 (osnova prirodnog logaritma). Iz uslova da je

1/

10 2( )( )

ex l

ee

Ax e e

A xν = = = , ()

dobija se da je

2 2 /ex l a= = ω . (22)

kvaziustaljeni periodični režim – kašnjenje temperaturnih oscilacija u materijalu

Temperature na svim lokacijama materijala osciluju istom frekvencijom kao i temperatura ambijenta, ali su

fazno pomerene: kasne u odnosu na oscilacije temperature ambijenta. Kašnjenje oscilacija je najmanje za

oscilacije temperature površine, i raste sa porastom dubine materijala. Ilustracija ovog kašnjenja prikazana je

na Slici 5 (prema jednoj interpretaciji prikaza na slici 2).

5

-1

-0.5

0

0.5

1

5 10 15 20t

-10

-5

0

5

10

5 10 15 20t

∆θe

∆θ(x=0.2 m)x=0 m

x=0.2 m

t, h

oC

η0-0.2

η0.2

η0

t, h

∆θ(x=0.0 m)

η0-0.2

η0.2

η0

η0-0.2= 6.799904 h

η0.2 = 7.6010398 h

η0 = 0.801494 h

Slika 5. Fazno pomeranje (kašnjenje) temperaturnih polja: levo) funkcija 1

cos arctan2 1 Bi

t xa

ωω − − + ,

desno) temperaturne razlike ( ) ( )e e et t∆θ = θ − θ i ( , ) ( , ) ex t x t∆θ = θ − θ

Ako se pođe od identiteta

1 1cos / cos / /

2 2t x l t x l

ω − − β = ω − ω − β ω , (23)

lako mogu da se identifikuje vremena kašnjenja oscilacija polja u materijalu u odnosu na oscilacije

temperature ambijenta. Tako, vreme kašnjenja nule (maksimuma, minimuma) temperature na površini (x=0)

u odnosu na nulu (maksimum, minimum) temeprature ambijenta je

0

1/ arctan /

1 Biη = β ω = ω

+. (24)

a kašnjenje nule (maksimuma, minimuma) na nekom mestu 0x> u materijalu u odnosu na nulu (maksimum,

ili minimum) temperature ambijenta je

1 1/ / / arctan /

2 1 Bi2x x l x

a

ωη = ω + β ω = ω + ω+

. (25)

Kašnjenje pak temperature u materijalu na svakom x u odnosu na temperaturu površine je manje i iznosi

0

1/ /

22x x l x

a−

ωη = ω = ω . (26)

kvaziustaljeni periodični režim – dužina toplotnog talasa u materijalu

Za neki proizvoljni trenutak vremena, raspodela po dubini materijala je po cosinusnom zakonu (slika 6, levo),

sa eksponencijalno opadajućom amplitudom (Slika 6, desno).

-1

-0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

-1

-0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

∆θt=0 h

x, m

oC

δ = 0.70589 m

x, mt=0 h

amplituda oscilacije A(x)

δ = 0.70589 m

Slika 6. U vezi dužine toplotnog talasa: levo) funkcija 1

cos /2

t x l ω − − β

, desno) temperaturna razlika

( , ) ( , ) ex t x t∆θ = θ − θ (δ= 0.70589 m)

Dužina toplotnog talasa je rastojanje između tačaka koje se nalaze u istoj fazi, tj. razlikuju se fazno za 2π.

Tako, iz uslova

6

1 1cos / cos ( ) /

2 2t x l t x l

ω − − β = ω − + δ − β , (27)

za svako

1/ ( 1)

2t x l kω − − β = − π , (28)

mora da važi

( )1/ ( 1) 2

2t x l kω − + δ − β = − π − π , k=1,2,... (29)

gde je δ – dužina toplotnog talasa po dubini materijala. Kombinovanjem (28) i (29) dobija se dužina talasa

2 2 8 8 /l l aδ = π = π = π ω . (30)

Dužina toplotnog talasa nije, očigledno, zavisna od vremena. Dužina talasa raste sa:

� porastom a (porastom λ, i/ili opadanjem kapacitivnosti ρ c materijala), i/ili

� opadanjem kružne frekvencije ω (odnosno frekvencije f).

Između dužine toplotng talasa i tzv. dubine prodiranja (22) važi relacija

12 ...

2ex l= = = δ

π. (31)

kvaziustaljeni periodični režim – brzina prostiranja toplotnog talasa oscilacija u materijalu

Brzina prostiranja temperaturnog talasa, u, definisana je kao količnik dužine toplotnog talasa δ i trajanja P

jedne kompletne promene (evolucije –2π radijana) što iznosi 1/f. Dakle,

.... 8 2 2 21/

δ δ π= = = = π = = π = ωωa a

u f f f a aP f f

. (32)

Bolje razumevanja značenja brzine prostiranja talasa trebalo bi da se razjasni analizom prikaza na slici 8. Na

primer, ako bi se tačka A na talasu smatrala materijalnom tačkom, tada bi se ona nakon izvesnog vremena

našla u poziciji B, a nakon razdoblja P u tački C u sistemu (x,t). Tangens ugla nagiba linije po kojoj se tačka A

"kreće" u sistemu (x,t) je zapravo brzina prostiranja talasa. Konkretna ilustracija odnosi se na P=24 h, i ostale

konstante asocirane sa prikazom na slici 2.

0 5 10 15 20 25 30 35

1

-1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 -10

0 5 10 15 20 25 30 35t

00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

x=0.4 mx=0.6 m

0 5 10 15 20 25 30 35

1

-1

-8-6-4-202468

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t= 8.4013 h

t= 0 h

∆θ, oC

∆θ, oC

∆θ(x,t) = θ(x,t) - θe , oC

δ

P

A

B

C C

A

B

Slika 7. U vezi tumačenja značenja brzine prostiranja talasa u materijalu (brzina prostiranja talasa je

u=0.029412178 m/h =2.9412178 cm/h)

7

Prema relaciji (32) se vidi da je kvadrat brzine prostiranja talasa direktno proporcionalan temperaturnoj

difuzivnosti a i frekvenciji oscilacija f.

Za podatke koje odgovraju slikama, brzina prostiranja talasa je jednaka

/ ...= δ = =u P 0.029412178 m/h =2.9412178 cm/h.

za radoble oscilacije 24 h (ω = π/12, 1/h), brzina prostiranja talasa u je okvirno jednaka:

0.80 cm/h - zid laboratorijske kalorimetarske posude,

2.86 cm/h - zid kalorimetrijske posude od mramora,

11.3 cm/h - polubeskonačni sloj mirnog vazduhana oko 20oC.

Kvaziustaljeni periodični režim – toplotni fluks i razmena toplote za

poluperiod oscilacija

Toplotni fluks u materijalu dat je izrazom (17) uz definicione relacije (18) i (19). Fluks ima amplitudu koja

opada po dubini materijala, i fazno se brže menja u odnosu na promenu temperature materijala za π/4.

Prema podacima sa slika 2. i 3., upravo spomenuto je ilustrovano je na slici 9. Vremensko kašnjenje faze

temperature u odnosu na fazu toplotnog fluksa je

/ 4q−θη = π ω . (33)

x=0 m

x=0.2 m

-60

-40

-20

0

20

40

60

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-60

-40

-20

0

20

40

60

5 10 15 20 25 30 t, h

x, m

t = 0

t = 10

oscilacije temperatureoscilacije fluksa qx, W/m2K

amplituda fluksa

ηq - θ = 3.0 h

ηq - θ = 3.0 h

Slika 8. Promena toplotnog fluksa ( , )xq x t : levo) vreme kašnjenja lokalnog temperaturnog polja u odnosu na

lokalni fluks, desno) promena fluksa po dubini materijala

Ukupno "razmenjena" toplota po jedinici površine u ravni x=0, tokom razdoblja 2 1 0t t− > je:

( )2

1

0,

t

t

q q t dt′′ = ∫ . (34)

Saglasno izrazu (17), biće (0, )xq t jednako

( )0(0, ) cos / 4xq t B t= ω − β + π , (35)

pa je, prema (34):

( ) ( )2 2

1 1

00, cos / 4

t t

t t

q q t dt B t dt′′ = = ω − β + π∫ ∫ . (36)

Razdoblje 2 1 0t t− > neka, sada, odgovara razdoblju dovođenja toplote preko čela sloja (vidi sliku 8, levo), tj.

vremenu integracije za koje važi

( )cos / 4 0tω − β + π ≥ , (37)

što implicira nejednačinu

3 / 4 52 2

tπ π≤ ω − β + π ≤ , (38)

odakle se ustanovljava početak i kraj integracije u (36):

8

1 25 / , 9 /4 4

t tπ π = + β ω = + β ω

, ( 2 11 1 1 1

1/2 2 2 4

t t t P ff

∆ = − = = = ). (39)

Konačno, razmenjena toplota po jedinici površine za tzv. "poluperiod evolucije" poremećaja biće, prema (36) i

(3):

( )9 /

4

0 0

5 /4

2cos / 4q B t dt B

π +β ω

π +β ω

′′ = ω − β + π =ω∫ , gde je 0 0 0

1 aB A c A

l l= λ = ρ , (40)

odnosno

� �

2

0 0 0 0

2 1 1 12 2 2

a l

aq B A c A c A cl

c l l

λ ′′ = = ρ = ρ = ρ ω ρ ω ω . (41)

Izraz (41), ima zanimljivo fizičko tumčenje. Naime, desna strana u (41) može da se zapiše kao:

( )� �

0

0 02 1 (2 )

V

m

c A l l c A

∆θ

ρ = ρ ×

�����

. (42)

Desna strana u (42) može da se iskaže na sledeći način:

to je promena unutrašnje energije čvrstog materijala mase m, u zapremini V=1 m2

x l m, od stanja sa (homogenom – svuda jednakom) temperaturom 0e Aθ = θ − do

stanja sa temperaturom jednakom 0e Aθ = θ − (dakle, zagrevanje sa porastom

temperatue od 02A∆θ = ).

Saglasno tome, q" je, dakle, toplota koju bi dobio sloj zida jedinične površine, i debljine /l a= ω , pri

ravnomernom zagrevanju tog sloja za temperaturnu razliku 0∆θ = 2A0. Prema tome, /l a= ω karakteriše

uslovnu debljinu ravnomernog progrevanja homogenog polubeskonačnog tela u stacionarnom periodičnom

režimu.

Sa praktičnog stanovišta prethodno rečeno znači sledeće: razmatranje toplotne akumulativnosti

ovde polubeskonačnog sloja ekvivalenta je razmatranju akumulativnosti uslovnog sloja konačne

debljine l, tokom razdobla P/2 u opsegu temperature 02A∆θ = .

Uslovna debljina sloja /l a= ω (negde poznata pod nazivom "koeficijent apsorbovanja toplote" od strane zida

homogene temperature i debljine l ) je, okvirno, oko 11% dužine temperaturnog talasa δ. Naime iz (30),

8 8a

lδ = π = πω

, lako se dobija i

/ 8 0.11253954 0.11l = δ π = × δ ≈ × δ . (43)

Na primer, za period oscilacije 24 h (ω = π/12, 1/h), uslovna debljina l (koeficijent apsorbovanja) je jednaka:

0.039 m - zid laboratorijske kalorimetarske posude,

0.137 m - zid kalorimetrijske posude od mramora,

0.543 m - polubeskonačno gasoviti sloj na oko 20oC.

Dalje, uslovna debljina l sloja, saglasno sa (43) i (22) iznosi oko 70% dubine prodiranja:

/ / 2 0.707106e el a x x= ω = = . (44)

Konačno, koeficijent prigušivanja amplitude temperaturnog polja, ν, za uslovnu dubinu, x=l, iznosi

1

0 2( )( )

Al e

A xν = = = 2.028114982 ~ 2. (45)

9

4.2 Polubeskonačni čvrst sloj sa periodičnom temperaturom čela

Matematička formalizacija problema donekle odgovara problemu u tački 4.2. Kao i ranije mogu da se napišu

jednačina, pošetni i jedan granični uslov ovako:

2

2, 0 , 0a x t

t x

∂θ ∂ θ= ≤ ≤ ∞ ≥∂ ∂

, (4)

( , ) , 0 , 0ex t x tθ = θ ≤ ≤ ∞ = , (5)

( , ) , , 0ex t x tθ = θ → ∞ > . (6)

Drugi granični uslov sada, međutim, ima drugačiji oblik:

( )0( , ) ( ) coss ex t t A tθ = θ = θ + ω , 0, 0x t= ≥ . (46)

Kvaziustaljeno periodično rešenje problema (4)-(6) i (46) glasi

( )/ 20( , ) cos / 2x a

ex t A e t x a− ωθ = θ + ω − ω , (471)

ili preko već definisanih skraćenica

1/

20

1( , ) cos /

2

x l

ex t A e t x l− θ − θ = ω −

. (472)

Analiza rešenja dovodi do tri važna saznanja: Prvo, temperature na svim lokacijama osciluju sa istom

frekvenciju kao i toplotni poremećaj na površini. Drugo, amplituda oscilacije opada eksponencijalno sa x. Ovo

čini rešenje primenljivim i kod ravnog zida konačne debljine. Treće, amplituda oscilacija opada eksponecijalno

sa kvadratnim korenom od frekvencije ω. Tako, visoko-frekventni poremećaji guše se jače neko oni sa manjim

frekvencijama (to objašnjava zašto dnevne oscilacije temperature na povržini npr. zemple ne prodiru tako

duboko kao godišnje i stogodišnje oscilacije temperature na površini).

Varijacije toplotnog fluksa na površini slede neposredno iz (47) i Furije-ovog zakona:

( )0

(0, )(0, ) / cos / 4

tq t A a t

x

∂θ′′ = −λ = λ ω ω + π∂

, (48)

i to pokazuje da faza oscilacije (0, )q t′′ je ispred faze oscilacije (0, )tθ sa / 4π radijana.

Komentar i paralela

Zanimljivo je da se zapazi da su upravo prikazana rešenja samo jedan specijalni slučaj rešenja razmatranih u

tački 4.1 (kada je uključeno i prisustvo konvekcije). Podseća se ona glase

( )1

/2

1 / 22

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e ex t A e t x l− θ − θ = ω − − β +

, (9)

( )( )

1 / 22

1 Bi(0, ) cos / 4

Bi 2Bi+2x eq t A t

l= λ ω − β + π

+,

/Bi 2

1 /

l

h

λ= , ( )arctan 1 /1 Biβ = + , (16)

Ako je reč o vrlo intenzivnoj konvktivnoj razmeni, tj. kada h → ∞ , dobija se da je

Bi → ∞ ,

0β → ,

i rešenja (9) i (16) postaju ...

1/

2 1( , ) cos /

2

x l

e ex t A e t x l− θ − θ = ω −

, ()

( )1(0, ) cos / 4x eq t A t

l= λ ω + π . ()

Ova rešenja postaju jednaka rešenjima (472) i (48) ako se smatra da je e 0A A= .

10

Vidi se da prisustvo faktora Bi u (9) i (16) pokazuje da konvekcija pojačava efekat prigušivanja poremećaja, uz

istovremeno povećanje fazne razlike za vrednost ( )arctan 1 /1 Biβ = + .

4.3 Polubeskonačni čvrst sloj sa periodičnom promenom fluksa na

površini sloja

Matematička formalizacija problema donekle odgovara problemu u tački 4.2. Kao i ranije mogu da se napišu

jednačina, pošetni i jedan granični uslov ovako:

2

2, 0 , 0a x t

t x

∂θ ∂ θ= ≤ ≤ ∞ ≥∂ ∂

, (4)

( , ) , 0 , 0ex t x tθ = θ ≤ ≤ ∞ = , (5)

( , ) , , 0ex t x tθ = θ → ∞ > . (6)

U ovom slučaju, pak, drugi granični uslov se propisuje kao:

( )0

( , )( , ) ( ) cosx

x tq x t q t q t

x

∂θ ′′ ′′= −λ = = ω∂

, 0, 0x t= > . (49)

Kvaziustaljeno periodično rešenje problema (4)-(6) i (49) ima oblik

( )/ 20( , ) cos / 2 / 4x ae

q ax t e t x a− ω′′

θ = θ + ω − ω − πλ ω

, (50)

a toplotni fluks na mestu x=0 je veće propisan (vidi jdn. 49):

( )0( ) cosq t q t′′ ′′= ω . (51)

Zapaziti da fazni ugao raste sa porastom x sa najmanjim faznim uglom od π/4 na površini (x=0). Praktična

situacija kada jedn. (50) postaje korisna u problemima građevinske fizike jeste kod predviđanja ustaljene

varijacije temperature površine, indukovane varijacijom fluksa dozračivanja (ili odzračivanja) toplote ka

površini u uslovima intenzivne ali promenljive osunčanosti ravni x=0.

4.4 Ravan čvrst sloj konačne debljine, sa periodičnom temperaturom na

površini sloja

Na slici 6 je ilustovan jednodimenzionalni ravan zid debljine d sa izolovanom površi na x=0 i površi na x=d sa

periodičnom promenom temperature u obliku

( )0( ) coss et A tθ = θ + ω , (52)

gde je eθ početna temperatura zida, a uslovi izolacije na x=0 (ili simetrije u odnosu na ravan x=0) su:

( , ) 0xq x t = . (53)

θs(t)

θ(x,t)

x

λ, ρ, c

d

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

izolacija

θe

A0

A0

Slika 9. levo) bez prugušivanja amplitude, desno) sa prigušivanjem amplitude

Diferencijalna jednačina temperaturnog polja je

11

2

2, 0 , 0a x d t

t x

∂θ ∂ θ= ≤ ≤ ≥∂ ∂

. (54)

Početni uslov je

( , ) , 0 , 0ex t x d tθ = θ ≤ ≤ = . (55)

Granični uslov na levoj površini zida je

( , )0

x t

x

∂θ =∂

, 0, 0x t= > (dobija se iz uslova (47): (0, )

0 (0, )x

tq t

x

∂θ= = −λ∂

), (56)

na desnoj površini je

( , ) ( ), , 0sx t t x d tθ = θ = > , (57)

a ( )s tθ je dato formulom (52).

Kvaziustaljeno periodično temperaturno polje u materijalu za konkretne uslove je:

0 1 2( , ) , cos ,2 2

e

x xx t A d t d

d a d a

ω ωθ = θ + φ ω + φ ; (58)

Ovde je 1φ funkcija gušenja amplitude, čije su brojčane vrednosti date u tablici 4.1, a funkcija kašnjenja

oscilacija, 2φ , je

2 arctan a d b c

a b c d

φ φ − φ φφ =

φ φ − φ φ, (59)

gde su

cos cosh2 2

a d da a

ω ωφ = , cos cosh

2 2b x x

a a

ω ωφ = , (60)

sin sinh2 2

c d da a

ω ωφ = , sin sinh

2 2d x x

a a

ω ωφ = . (61)

Tablica 4.1 Vrednosti funkcije 1φ prigušenja amplitude, u funkciji /x d i / 2adσ = ω

σ /x d = 0 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000

0.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.5 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.99 1.00

1.0 0.77 0.77 0.77 0.78 0.79 0.81 0.85 0.91 1.00

1.5 0.47 0.47 0.47 0.48 0.52 0.58 0.68 0.83 1.00

2.0 0.27 0.27 0.28 0.30 0.36 0.45 0.58 0.77 1.00

4.0 0.04 0.04 0.05 0.08 0.13 0.22 0.37 0.64 1.00

8.0 0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.05 0.14 0.36 1.00

∞ 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Funkcija gušenja amplitude oscilacija 1φ nema, nažalost, oblik koji može da se zapiše preko elementarnih

funkcija, te je detaljnija analiza otežana i ovde se izostavlja.

12

Izvodi iz Pravilnika – u vezi toplotne akumulativnosti ...

3.2 Топлотна акумулативност

Прорачун топлотне акумулативности нетранспарентних спољних грађевинских елемената зграда (спољни зидови, кровови) за летњи период врши се у складу са стандардом SRPS U.J5.530, коришћењем следећих величина: � фактор пригушења амплитуде осцилације температуре, ν [-]; � кашњење осцилације температуре, η [h]. Ове величине ограничене су најмањим дозвољеним вредностима, датим у табели 3.2.1 и табели 3.2.2. Табела 3.2.1 – Најмање дозвољене вредности фактора пригушења амплитуде осцилације темп., νmin [-]

Грађевински елемент νmin [-] Равни кровови 25 Сви спољни зидови, осим оних који су на северној страни 15 Спољни зидови на северној страни 10

Табела 3.2.2 – Најмање дозвољене вредности кашњења осцилације температуре, ηmin [h]

Грађевински елемент ηmin [h] Равни кровови хладњача 14 Равни кровови, осим равних кровова хладњача 10 Спољни зидови и коси кровови ка западној и југозападној страни 8 Спољни зидови и коси кровови ка јужној и југоисточној страни 7 Спољни зидови и коси кровови на источној, североисточној и северозападној страни 6

Уколико је за кровове ν > 45, не постављају се захтеви за вредност η [h]. Уколико је за зидове ν > 35, не постављају се захтеви за вредност η [h]. За спољне нетранспарентне вентилисане грађевинске елементе (осим за слабо вентилисане) не

постављају се захтеви за вредност ν [-] уколико је површинска маса елемента без облоге већа (или једнака) 100 kg/m2. Уколико је површинска маса елемента без облоге мања од 100 kg/m

2, коефицијент пролаза

топлоте елемента мора да буде мањи од 0,35 W/(m2⋅K).

Све транспарентне (и полутранспарентне) површине у боравишним просторијама, осим оне које су на северу, североистоку и северозападу (при азимуту: 0 - 45о

и 315 - 360о), морају да имају нетранспарентну

заштиту од директног Сунчевог зрачења у летњем периоду. Оријентација, j (азимут и нагиб), застакљене

површине се, поједностављено, одређује према табели 7.10. Детаљни поступци за прорачун топлотне акумулативности грађевинских елемената садржани су у стандарду SRPS EN ISO 13786. Прорачуни физичких величина и параметара којима се проверава топлотна акумулативност грађевинског елемента саставни су део Елабората ЕЕ, који представља део пројектне документације и израђује се у складу са важећим стандардима и прописима.