§3 函数的最佳逼近 /* optimal approximation *

§3 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation */

最佳平方逼近：即连续型 L-S 逼近，在意义下，使得最小。

),(|||| 2 fff

2|||| yP

最佳一致逼近 /* uniform approximation */

|)(|max||||],[

xffbax

在意义下，使得最小。也称为 minimax problem 。

|||| yP

偏差/* deviation*/

若，则称 x0 为偏差点。

||||)()( 00 yPxyxP

Didn’t you say it’s a very difficult problem?

Take it easy. It’s not so difficult if we consider

polynomials only.

§3 Optimal Approximation

v 1.0 最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform ap

proximating polynomial */ 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最小。

直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论：

OUAP 存在，且必同时有偏差点。证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。

设 nnbax

n ExyxPyP |)()(|max||||

],[

而对于所有的 x[a, b] 都有

nn ExyxP )()(

nnn ExyxPE )()(2/|)(]2/)([| nn ExyxP

是 n 阶多项式是误差更小的多项式


（ Chebyshev 定理） Pn 是 y 的 OUAP Pn 关于 y 在定义域上至少有 n+2 个交错的偏差点。

即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得

{ tk } 称为切比雪夫交错组 /* Chebyshev alternating sequence *

/

||||)1()()( yPtytP nk

kkn

若且 y 不是 n 次多项式，则 n 次 OUAP 唯一。

],[ baCy

证明：反证，设有 2 个 OUAP’s ，分别是 Pn 和 Qn 。则它们的平均函数也是一个 OUAP 。 2

)()()(

xQxPxR nn

n

对于 Rn 有 Chebyshev 交错组 { t1,…, tn+2 } 使得nkknkknkknn EtytQtytPtytRE |)()(|

2

1|)()(|

2

1|)()(|

nkknkkn EtytQtytP |)()(||)()(|

则至少在一个点上必须有 )()()()( knkkkn tQtytytP

0)()( kkn tytR 0nE


由 Chebyshev 定理可推出： Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号次，故至少有个根。

x

y

0

y y x ( )

y y x En ( )

y y x En ( )

y P xn ( )

n+1 n+1

可见 Pn(x) 是 y(x) 的某一个插值多项式

如何确定插值节点 {

x0, …, xn } 的位置，使得 Pn(x) 刚好是 y 的 OUAP ？即，使插值余项

v 2.0

达到极小？

n

ii

n

n xxn

yxR

0

)1(

)()!1(

)(|)(|


v 2.1 在 [ 1, 1] 上求 { x1, …, xn } 使得的 ||wn|| 最小。

n

iin xxxw

1

)()(

注意到，要使 ||wn|| 最小就意味着

)()( 1 xPxxw nn

n

v 3.0 在 [ 1, 1] 上求函数 xn 的 n1 阶 OUAP 。

由 Chebyshev 定理可推出： Pn1(x) 关于 xn 有 n+1个偏差点，即 wn(x) 在 n+1 个点上交错取极大、极小值。

v 3.1 在 [ 1, 1] 上求切比雪夫交错组 { t1, …, tn+1 } 。

切比雪夫多项式 /* Chebyshev polynomials */


考虑三角函数 cos(n ) 在 [ 0, ] 上的个极值点。

n + 1

当时， cos(n )

交错达到极大值 1 和极小值 1 ，且存在系数 a0, …, an

使得

),...,1,0( nkn

kk

n

k

kkan

0

)(cos)cos(

令 x = cos( ) ，则 x [ 1 , 1 ] 。)cos arccos()cos()( xn·nxTn 称为 Chebyshev 多项式

Tn 的重要性质：

当时，交错取到极大值 1 和极小值 1 ，即

),...,1,0(cos nkn

ktk

)( kn tT

||)(||)1()( xTtT nk

kn

1

当

时，即 {x1, …, xn } 为 Tn(x) 的 n

个零点。

),...,1(2

12cos nk

n

kxk

0)( kn xT


Tn(x) 满足递推关系： T0(x) = 1 ， T1(x) = x ， )()(2)( 11 xTxTxxT nnn

Tn(x) 为 n 次多项式，首项系数为。且 T2n

(x) 只含 x 的次幂， T2n+1(x) 只含 x 的次幂。

2n1

偶奇

{ T0(x), T1(x), … } 是 [ 1 , 1 ] 上关于权

正交的函数族。即在内积的意义下有

21

1)(

xx

1

1)()()(),( dxxTxTxTT lklk

02

0

0

),(

lk

lk

lk

TT lk

OKOK, I think it’s enough for us… What’s our target again?

v 3.1 在 [ 1, 1] 上求切比雪夫交错组 { t1, …, tn+1 } 。

v 3.0 在 [ 1, 1] 上求函数 xn 的 n1阶 OUAP 。

Tn(x) 的 n 个零点。


可见：若取，则 wn 在 [ 1 , 1 ]

上有 n+1 个极值点 { tk } ，也即 Pn1(x) = xn wn(x) 关于 x

n 在 [ 1 , 1 ] 上有 n+1 个交错偏差点 { tk } 。

12

)()(

nn

n

xTxw

v3.0 OK

v 2.1 在 [ 1, 1] 上求 { x1, …, xn } 使得的 ||wn|| 最小。

n

iin xxxw

1

)()(

取最小值 ||)(|| 1n

n xxP

)(2

1||||min

1xTw nnn

w nn12

1

n

n = { 首项系数为 1 的 n 阶多项式 /*monic polynomials of degree n */ }

{ x1, …, xn } 即为

如何确定插值节点 { x0, …, xn } 的位置，使

得 Pn(x) 刚好是 y 的 OUAP ？即，使插值余项达到极小？

v 2.0

n

ii

n

n xxn

yxR

0

)1(

)()!1(

)(|)(|

取 { x0, …, xn } 为 Tn+1(x) 的 n+1 个零点，做 y 的插值多项式 Pn(x) ，则插值余项的上界可达极小。)!1(2 n

Mn


注：上界最小不表示 | Rn(x)| 最小，故 Pn(x) 严格意义上只是

y(x) 的近似最佳逼近多项式；对于一般区间 x [a, b] ，可作变量替换

，则 t [ 1 , 1 ] ，这时t

abbax

22

))...(()()( 220222211 nabbaabbaabba

nn xtxttwxw

))...(( 0

1

2 n

nab tttt

)()( 12

)(12

11

2 12

1

tTtT nab

n

nabn

n

n

即以

为插值节点 (k=0,…, n) ，得 Pn(x) ，余项

有最小上界。

22

12cos

22 n

kabbaxk

)(2

)(

)!1(

)()( 112

1)1(

tTab

n

yxR nn

nn

n


例：求 f (x) = ex 在 [0, 1] 上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过 0.5104 。

解：根据误差上界确定 n :410

2

1

2

1

)!1(||

12

nn n

eR n = 4

计算 T5(t) 的根：

10

9cos,

10

7cos,

10

5cos,

10

3cos,

10cos 43210

ttttt

)1(2

1

22

tt

abbax

02.0)110

9(cos

2

1

21.0)110

7(cos

2

1,50.0)1

10

5(cos

2

1

79.0)110

3(cos

2

1,98.0)1

10(cos

2

1

4

32

10

x

xx

xx

以 x0, …, x4 为节点作 L4

(x)


Chebyshev 多项式的其它应用 —— 多项式降次 /* reduce the degree of poly

nomial with a minimal loss of accuracy */

设 f (x) Pn(x) 。在降低 Pn(x) 次数的同时 , 使因此增加的误差尽可能小 , 也叫 economiza-tion of power series 。

从 Pn 中去掉一个含有其最高次项的 , 结果降次为 , 则：

Pn

~Pn1

|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[

1]1,1[

xPxPxfxPxf nnn

~

因降次而增的误差设 Pn 的首项系数为 an ，则取可使精度尽可能少损失。

12

)()(

nn

nnxT

axP


例： f (x) = ex 在 [1, 1] 上的 4 阶 Taylor 展开为

24621

432

4

xxxxP ，此时误差 023.0||

!5|)(| 5

4 xe

xR

请将其降为 2 阶多项式。

解：取 )8

1(

24

1)(

2

1

24

1 24434 xxxTP 188 24

4 xxT（查表知）

)8

1(

24

1

621 2

32

44 xxx

xPP 32

6

1

24

13

192

191xxx

取 )4

3(

6

1)(

2

1

6

1 3323 xxxTP xxT 34 3

3 （查表知）

192

191

8

9

24

13~ 233 xxPP 057.0||)(

~|| 2 xPe x

若简单取，则误差 2

1)(2

2

xxxP 45.0

!3

e

另类解法可查 p.163 表 7-2 ，将 x3 和 x4 中的 T3 和 T4 删

除。

注：对一般区间 [a, b] ，先将 x 换为 t ，考虑 f (t) 在 [1,

1] 上的逼近 Pn(t) ，再将 t 换回 x ，最后得到 Pn(x) 。

HW: p.164

#3

§3 函数的最佳逼近 /* optimal approximation *

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