第一章 复变函数与解析函数
DESCRIPTION
第一章 复变函数与解析函数. 第二节 复数函数及其极限与连续. 2.1 复平面上的区域. 2.2 复变函数的概念. 2.3 复变函数的极限与连续性. 2.1 复平面上的区域. 邻域. 内点. 开集. 全体内点构成的集合. 区域. 连通的开集. 边界点. 边界. 边界. 闭区域. 边界点. 区域. 邻域. 有界区域和无界区域. 边界点. 边界. 例 1 判断下列区域是否有界 ?. (1) 圆环域 :. (2) 上半平面 :. (3) 角形域 :. (4) 带形域 :. 连续曲线. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第一章 复变函数与解析函数第一章 复变函数与解析函数
第二节 复数函数及其极限与连续
2.2 复变函数的概念
2.1 复平面上的区域
2.3 复变函数的极限与连续性
2.1 复平面上的区域邻域 0 0,U z z C z z 0 0, 0
U z z C z z
内点0z G C 0 ,U z G
区域
开集
连通的开集
全体内点构成的集合
边界点 边界 D闭区域 D D D 有界区域和无界区域
0 00, ,M z D z M 1z
2z
区域
0z邻域
边界点
边界
P
Q1C
2C 边界
边界点
, ,U M z C z M
0 ,z D 0 , U z D
(1) 圆环域 : ;201 rzzr 0z
2r
1r例 1 判断下列区域是否有界 ?
(2) 上半平面 : ;0Im z
(3) 角形域 : ;arg 21 z
(4) 带形域 : .Im bza x
y
o
如果 x=x(t), y=y(t) (t) 为连续函数时 , 则称
:
x x tC t
y y t
( ) ( ) ( ) ( ).z z t x t iy t t
连续曲线
光滑曲线
,x t y t 均连续,且 2 2,[ ] [ ] 0t x t y t
则称曲线是光滑的 . 分段光滑曲线
为连续曲线 .
如果
例 2 指出下列不等式所确定的点集 , 是否有界 ? 是否区域 ? 如果是区域 , 单连通的还是多连通的 ?
2 1(1) Re( ) 1; (2) arg ; (3) 3;
3z z
z
(4) 1 1 4z z
2.2 复变函数的概念
设 G 是复平面上的点集 , 若对任何 zG, 都存在惟一确定的复数 w 和 z 对应 , 称在 G 上确定了一个单值复变函数,用 w=f (z) 表示 .
当 zG 所对应的 w 不止一个时 , 称在 G 上确定了一个多值复变函数 .
G 称为函数的定义域,对应于 z 的所有 w 的全体 称为函数的值域 .
定义 1.1 (复变函数)
*G
复变函数与自变量之间的关系
( ) ,w f z u iv
相当于两个关系式 , , ,u u x y v v x y
例如 , , 2zw 函数
,, ivuwiyxz 令
映射
由于一个复变函数反映了两对变量 u,v 和 x,y 之间的对应关系, 因而无法用同一平面内的几何图形来表示,必须
看成是两个复平面上的点集之间的对应关系 .
x
y z
G
Z
u
v w
*Gw
oo
两个特殊的映射
1 w z 关于实轴的对称映射,而且对应图形是全同的 .
x
y
o u
v
o
iz 321
iw 321 iz 212
iw 212 A B
C
A B
C
,11 wz ,22 wz .CBAABC
22 w z
将一个幅角为 的角形域映射为幅角为 的角形域。 2
x
y
o u
v
o 2
,2 21 2, 2x y c xy c 将 z 平面上的两族双曲线 映射为
平面上的两族平行直线 .
x
y
ox
y
o
反函数(一一对应)
例 3 映射 , 求圆周的 像 .1w z
z 2z
,, ivuwiyxz 令
zzw
1 映射 ,22 yx
iyxiyxivu
解
, 22 yxx
xu
于是 ,22 yxy
yv
2z 5 3
,4 4
u x v y 4 4
,5 3
x u y y
.1
23
25
2
2
2
2
vu
2.3 复平函数的极限与连续性
设复变函数 w=f(z) 在 z0 的某个去心邻域内 有定义 ,
复变函数的极限
0 0
0 ,
U z
( )f z A
成立 , 则称当 z 趋于 z0 时 , f(z) 以 A 为极限,并记作
0
lim ( )z z
f z A
或 0( ) ( ).f z A z z
注意 : 定义中 zz0 的方式是任意的 .
A 是复常数 . 若对任意给定的 , 存在
使得当00 z z 时,总有
定理 1.1 (极限计算定理)
0 0 0 0 0, ( , ), ,f z u x y iv x y A u iv z x iy 设函数
0 0 0
0 0
0 0lim lim , , lim ,z z x x x x
y y y y
f z A u x y u v x y v
证明
0
lim ( ) 0, 0,z z
f z A
, )()(0 00 时当 iyxiyx ,)()( 00 ivuivu
,)()( 00 vviuu , , 00 vvuu
.),(lim,),(lim 00
0
0
0
0
vyxvuyxuyyxx
yyxx
故
必要性
充分性 . ,),(lim,),(lim 00
0
0
0
0
vyxvuyxuyyxx
yyxx
若
, )()(0 20
20 时那么当 yyxx
,2
,2
00
vvuu有
)()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu
, 0 0 时故当 zz ,)( Azf
.)(lim 0
Azfzz
所以
复变函数极限的性质
( 1 )唯一性 ( 2 )有界性 ( 3 )有理运算法则
例 3 当 z0 时 , 函数 Re( )
zf z
z 极限不存在 .
方法 1. 沿 y kx
方法 2. 沿不同射线 arg z
注意:因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数的极限问题,复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多,要求也苛刻的多。
复变函数的连续性设 f (z) 在 z0 的邻域内有定义 , 且
00lim ( ) ( )
z zf z f z
则称 f(z) 在 z0 处连续 . 若 f(z) 在区域 D 内的每一点都连续,则称 f(z) 在区域 D 上连续 .
定理 1.2 设 ( ) ( , ) ( , ),f z u x y iv x y 则 f (x)
在 0 0 0z x iy 处连续的充分必要条件是 ( , ),u x y
( , )v x y 都在 0 0( , )x y 点连续 .
连续函数的性质:
( 1 )连续函数的和、差、积、商(分母不为 0 )的连续性 ;
( 2 )复合函数的连续性 .
复数
定义表示法
三角表示法
几何意义
复数表示法
指数表示法
复数的运算
共轭运算
代数运算
乘幂与方根
本章内容总结 ( 一 )
复变函数
映射
连续
本章内容总结( 二 )
邻域区域
极限