第 3 章 函数逼近与曲线拟合
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第 3 章 函数逼近与曲线拟合. 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂 函数的问题,这就是 函数逼近问题. 3.1 函数逼近的基本概念. 3.1.1 函数逼近与函数空间. : 1. 数值计算中经常要计算函数值,如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数;. 问题. 2. 当函数只在有限点集上给定函数值,要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式. 本章讨论的函数逼近,是指 “ 对函数类 中给定的函数. 要在另一类简单的便于计算的函数类. 记作 ,. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
第 3章 函数逼近与曲线拟合
2
3.1 函数逼近的基本概念
3.1.1 函数逼近与函数空间
: 1. 数值计算中经常要计算函数值,如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数;
2. 当函数只在有限点集上给定函数值,要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式 .
问题
这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题,这就是函数逼近问题 .
],[ ba
3
插值法就是函数逼近问题的一种 .
记作 ,Axf )(),(xf
本章讨论的函数逼近,是指“对函数类 中给定的函数A
中求函数 ,Bxp )(B 使 与 的误差在某种度量)(xp )(xf
要在另一类简单的便于计算的函数类
意义下最小” . 函数类 通常是区间 上的连续函数,记作 , A ],[ ba ],[ baC
称为连续函数空间 .
4
函数类 通常为 次多项式,有理函数或分段低次多项式等 .
B n
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构,并将这样的集合称为空间 .
与数的乘法构成实数域上的线性空间, 例如将所有实 维向量组成的集合,按向量加法及向量n
称为 维n记作 ,nR
向量空间 .
5
类似地 , 记 为具有 阶连续导数的函数空间 .],[ baC p p
记作 .],[ baC
所有定义在 上的连续函数集合,按函数加法和 ],[ ba
数与函数乘法构成数域 上的线性空间,R
按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间 .用 表示,nH上一个线性空间,R
对次数不超过 ( 为正整数 )的实系数多项式全体,n n
6
定义 1,,,1 Sxx n
设集合 是数域 上的线性空间,元素S P
如果存在不全为零的数 ,Pn ,,1
,011 nnxx ( 1.1)
则称 线性相关 .nxx ,,1
否则,若等式 (1.1) 只对 成立,021 n
则称 线性无关 .nxx ,,1
使得
7
},,,{ 1 nxxspanS
系数 称为 在基n ,,1 x并称空间 为 维空间,nS
若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的, S nnxx ,,1
即对 都有 Sx,11 nnxxx
则 称为空间 的一组基,nxx ,,1 S 记为
nxx ,,1 下的坐标, ).,,( 1 n 记作
如果 中有无限个线性无关元素 则称 ,,,,1 nxx SS
为无限维线性空间 .
8
,)( 10n
nxaxaaxp ( 1.2)
它由 个系数 惟一确定 . 1n ),,,( 10 naaa
考察次数不超过 次的多项式集合 ,n nH
它是 的一组基,nH 是线性无关的,nxx ,,,1
},,,,1{ nn xxspanH
且 是 的坐标向量, 是 维的 .),,,( 10 naaa )(xpnH 1n
nHxp )( 表示为其元素
故
9
使误差
对连续函数 ,它不能用有限个线性无关的],[)( baCxf
函数表示,故 是无限维的,但它的任一元素 ],[ baC )(xf
均可用有限维的 逼近,nHxp )(
)()(max xpxfbxa
( 为任给的小正数 ), 这就是著名的魏尔斯特拉斯定理 .
10
使 定理 1 总存在一设 ,],[)( baCxf 则对任何 ,0个代数多项式 ,)(xp
)()( xpxf
在 上一致成立 .],[ ba
伯恩斯坦 1912 年给出的证明是一种构造性证明 .
他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
,)()(),(0
n
kkn xP
n
kfxfB ( 1.3)
11
为二项式展开系数,并证明了!
)1()1(
k
knnn
k
n
)(),(lim xfxfBnn
在 上一致成立;]1,0[
若 在 上 阶导数连续,则)(xf ]1,0[ m
其中 ,)1()( knk
k xxk
nxP
).(),(lim )()( xfxfB mmn
n
这个结果不但证明了定理 1,而且由 (1.3) 给出了 的一个逼近多项式 .
)(xf
n
kkn xP
n
kfxfB
0
)()(),( ( 1.3)
12
与拉格朗日插值多项式
n
k
n
kkkkn xlxlxfxL
0 0
1)(),()()(
相似, 当 时也有关系式1)( xf
n
k
knkn
kk xx
k
nxP
00
.1)1()( ( 1.4)
这只要在恒等式
n
k
knkn yxk
nyx
0
)(
中令 就可得到 . xy 1
对 ,),( xfBn
13
但这里当 时 , ]1,0[x
1)()(00
n
kk
n
kk xPxP
是有界的,因而只要 对任意 成立,)(xf ]1,0[x
n
kk
xn xPxfxfB
010
)()(max),(
有界,故 是稳定的 .),( xfBn
,0)( xPk还有 于是
则
虽然多项式 有良好的逼近性质,但它收敛太慢,),( xfBn
比三次样条逼近效果差得多,所以实际中很少被使用 .
14
更一般地,可用一组在 上线性无关的函数集合 ],[ baC
来逼近 ,],[)( baCxf nii x 0)(
可表示为
],[)}(,),(),({)( 10 baCxxxspanx n
).()()()( 1100 xaxaxax nn ( 1.5)
此时元素
函数逼近问题就是对任何 ,],[)( baCxf
找一个元素 ,)(* x 使 在某种意义下最小 .)()( * xxf
在子空间Φ中
15
3.1.2 范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量,需要引进范数定义,它是 空间中向量长度概念的直接推广 . nR
16
定义 2
( 1) 当且仅当 时, (正定性) ,0x 0x ;0x
( 2) (齐次性 )R;, xx
( 3) ( 三角不等式 ) .,, Syxyxyx
则称‖·‖为线性空间 上的范数, 与‖·‖一起称为赋范线性空间,记为
S S
.X
设 为线性空间, ,S Sx
‖·‖,满足条件:若存在惟一实数
17
例如,在 上的向量 三种常用范数为
nR ,R),,( T1
nnxxx
称为 范数或最大范数, ,max1
inixx
称为 1- 范数, ,1
1
n
iixx
称为 2- 范数 . ,)(1
2
12
2
n
iixx
18
而满足‖·‖1 =1 的向量 则为对角线长
度为 1 的菱形 .
121 xx
实际上任何向量的实值函数,只要满足上述三个条件,就可以定义成一种向量范数 .
在 中,满足‖·‖2 =1 ,即 的向量
为单位圆 .
2R 12
2
2
1 xx
满足‖·‖∞ =1 ,即 的向量为单位正
方形 .
1},max{ 21 xx
19
所以说,范数是对向量长度的度量,度量方式不同,
结果也不一样,但不同范数之间是存在等价关系的 .
20
类似地,对连续函数空间 ,若 ,],[ baC ],[)( baCxf
称为 范数, ,)(max xffbxa
称为 1- 范数, ,)(1
dxxffb
a
称为 2- 范数 . ,))(( 2
12
2 b
adxxff
可以验证这样定义的范数均满足定义 2中的三个条件 .
可定义三种常用范数如下:
21
3.1.3 内积与内积空间
.),( 11 nn yxyxyx
在线性代数中, 中两个向量 及nR T1 ),,( nxxx
T1 ),,( nyyy 的内积定义为
若将它推广到一般的线性空间 ,则有下面的定义 . X
22
定义 3
;,,),(),((1) Xvuuvvu
;,,K),,(),((2) Xvuvuvu
;,,),,(),(),((3) Xwvuwvwuwvu
.0),( 0,0),((4) uuuuu 时,当且仅当
则称 为 X上 与 的内积 . ),( vu u v
,, Xvu
X 是数域 K(R 或 C) 上的线性空间,对有 K中一个数与之对应,记为 ,它满足),( vu
以下条件:
23
定义中( 1)的右端 称为 的共轭 .),( vu ),( vu
当 K为实数域 R时 . ),(),( uvvu
如果 ,则称 与 正交,这是向量相互垂直概念的推广 .
0),( vu u v
定义了内积的线性空间称为内积空间 .
24
定理 2 对 有,, Xvu
).,)(,(),(2
vvuuvu ( 1.6)
称为柯西 -施瓦茨 (Cauchy-Schwarz) 不等式 .
证明 当 时( 1.6)式显然成立 .0v
).,(),(2),(),(0 2 vvvuuuvuvu
现设 ,0v 则 ,0),( vv 且对任何数 有
取 ,),/(),( vvvu
设 X为一个内积空间,
代入上式右端,得
25
即得 时 , 0v
).,)(,(),(2
vvuuvu
,0),(
),(
),(
),(2),(
22
vv
vu
vv
vuuu
26
定理 3
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
22221
11211
nnnn
n
n
uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
G ( 1.7)
称为格拉姆 (Gram)矩阵,
则 非奇异的充分必要条件是 线性无关 .nuuu ,,, 21 G
,,,, 21 Xuuu n 设 X为一个内积空间,
矩阵
27
证明
n
jjkjk
n
jjj uuuu
11
),(),(
只有零解;
nn
n
jjj uuuu
22111
0),(01
n
jjj
n
jjj uu
.,,2,1 nk
( 1.9)
,0),(0
k
n
jjj uu
G非奇异等价于 ,其充要条件是齐次
0det G
方程组
,0 ( 1.8)nk ,,2,1
而
0
28
从以上等价关系知,
而后者等价于从( 1.9 )推出 ,021 n
即 线性无关 . nuuu ,,, 21
,021 n
在内积空间 X上,可以由内积导出一种范数,即对于
,Xu
.),( uuu ( 1.10)
0det G 等价于从( 1.8)推出
记
n
jjkjk
n
jjj uuuu
11
),(),( ( 1.8)nk ,,2,1 ,0
nn
n
jjj uuuu
22111
0
29
两端开方即得三角不等式
.vuvu ( 1.11)
利用222 2)( vvuuvu
),(),(2),( vvvuuu
,),(2
vuvuvu
30
例 1 与 的内积 .nR nC
设
,R, nyx ,),,( T1 nxx x ,),,( T
1 nyy y
,),(1
n
iii yxyx ( 1.12)
向量 2- 范数为
.)(),( 2
1
1
22
1
2
n
iixxxx
31
相应的范数为
,),(1
n
iiii yxyx ( 1.13)
若给定实数 ),,,2,1(0 nii 称 为权系数,}{ i
当 时,),,2,1(1 nii
.)( 2
1
1
2
2
n
iiixx
nR 上的加权内积为
( 1.13 )就是前面定义的内积 .
32
如果 ,nC, yx
,),(1
n
iiii yxyx ( 1.14)
这里 仍为正实数序列, 为 的共轭 . }{ i iyiy
在 上也可以类似定义带权内积 . ],[ baC
带权内积定义为
33
定义 4 设 是有限或无限区间,在 上的非负],[ ba ],[ ba
函数 满足条件:)(x
( 1) 存在且为有限值b
a
k xxx d)( );,1,0( k
( 2) 对 上的非负连续函数 ,如果],[ ba )(xg
b
axxxg ,0d)()(
则称 为 上的一个权函数 .)(x ],[ ba
.0)( xg则
34
例 2
设 ],,[)(),( baCxgxf )(x 是 上给定的权函数 ,],[ ba
b
axxgxfxxgxf .d)()()())(),(( ( 1.15)
由此内积导出的范数为
2
1
2))(),(()( xfxfxf
称( 1.15)和( 1.16)为带权 的内积和范数 . )(x
],[ baC 上的内积 .
则可定义内积
( 1.16).d)()(2
1
2
b
axxfx
35
常用的是 的情形,即 1)( x
b
axxgxfxgxf .d)()())(),((
.d)()(2
1
2
2
b
axxfxf
36
若 是 中的线性无关函数族,n ,,, 10 ],[ baC
},,,,{ 10 nspan
),,,( 10 n GG
.
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
10
11101
01000
nnnn
n
n
( 1.17)
根据定理 3可知 线性无关的充要条件是 n ,,, 10
.0),,,(det 10 n G
它的格拉姆矩阵为记
37
3.2 正交多项式
3.2.1 正交函数族与正交多项式
定义 5
b
axxgxfxxgxf ,0d)()()())(),(( ( 2.1)
则称 与 在 上带权 正交 . ],[ ba )(x)(xf )(xg
若 ],,[)(),( baCxgxf
上的权函数且满足
)(x ],[ ba为
38
若函数族 满足关系 ),(,),(),( 10 xxx n
b
a kjkj xxxx d)()()(),(
则称 是 上带权 的正交函数族 . )}({ xk ],[ ba )(x
若 ,则称之为标准正交函数族 . 1kA
( 2.2)
,,0
.,0
kjA
kj
k
39
三角函数族
,2sin,2cos,sin,cos,1 xxxx
就是在区间 上的正交函数族 . ]π,π[
定义 6 设 是 上首项系数 的 次多)(xn ],[ ba 0na n
项式, 为 上权函数,)(x ],[ ba
满足关系式 (2.2) ,则称多项式序列 为在 上0)}({ xn ],[ ba
带权 正交,称 为 上带权 的 次正交多项式 .
)(x )(xn ],[ ba )(x n
0)}({ xn如果多项式序列
b
a kjkj xxxx d)()()(),(
( 2.2)
.,0
.,0
kjA
kj
k
40
,1)(0 x
)())(),((
))(,()(
1
0
xxx
xxxx j
n
j jj
jn
nn
( 2.3)).,2,1( n
只要给定区间 及权函数 ,均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 :
],[ ba )(x
},,,,,1{ nxx
0)}({ xn
41
( 1) 是具有最高次项系数为 1的 次多项式 . )(xn n
得到的正交多项式序列有以下性质:
( 2) 任何 次多项式 均可表示为 nnn HxP )( ),(0 x
)(,),(1 xx n 的线性组合 .
,0))(),(( xx kj ( 3) 当 时,jk
与任一次数小于 的多项式正交 .k
)(xk且
42
其中
,1)(0 x ,0)(1 x
)),(),(/())(),(( xxxxx nnnnn
)),(),(/())(),(( 11 xxxx nnnnn
这里 .d)()())(),(( 2b
a nnn xxxxxxx
)()()()( 11 xxxx nnnnn
( 2.4)),,1,0( n
( 4) 成立递推关系
.,2,1 n
43
( 5) 设 是在 上带权 的正交多项式0)}({ xn ],[ ba )(x
序列,则 的 个根都是在区间 内的单重 )1)(( nxn n ),( ba
实根 .
44
3.2.2 勒让德多项式
罗德利克 (Rodrigul )给出了简单的表达式
,)( 1P0 x
( 2.5)),,2,1( n
}){(!
)( nn
n
nn xxn
x 1d
d
2
1P 2
当区间为 ,权函数 时,]1,1[ 1)( x
并用 表示 . ),(,),(),( xxx nPPP 10
正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre)多项式,
},,,,1{ nxx由
45
由于 是 次多项式,nx )1( 2 n2 所以对其求 阶导数后得n
,)())((!
)( 01
111222
1P axaxnnn
nx n
nn
nn
最高项系数为 1的勒让德多项式为
].)1[(d
d
)!2(
!)(
~ 2 nn
n
n xxn
nxP ( 2.6)
于是得首项 的系数nx .)!(2
)!2(2n
na
nn
46
勒让德多项式重要性质:
性质1
,
,)()(
12
20
dPP1
1
n
xxx mn
;nm
.nm ( 2.7)
证明 令 ,nxx )1()( 2
0)1()( k ).1,,1,0( nk
设 是在区间 上 阶连续可微的函数,由分部积分知
)(xQ n]1,1[
正交性
则
47
1
1
1
1d
2
1dP xxxQ
nxxQx n
nn )()(!
)()( )(
1
1
)1( d)()(!2
1xxxQ
nn
n
下面分两种情况讨论 :
.d)()(!2
)1( 1
1
)(
xxxQn
nn
n
( 1) 若 是次数小于 的多项式,)(xQ n ,0)()( xQ n则 故得
48
则
1
1
222
1
1
2 d12
21dP xx
n
nxx n
n
n )()!(
)!()()(
1
1
222
.d)1()!(2
)!2(xx
n
n nn
,!
)!()()( )()(
n
nxxQ
nn
nn
2
2P
( 2) 若 )()( xxQ nP
m.nxxx mn 当,)()( 0dPP1
1
)(!2
1 )( xn
nn
,)!(2
)!2(2
nn
xn
n
于是
49
由于
2π
0
121
0
2 dcosd)1( ttxx nn
故
.)(12
2dP
1
1
2
n
xxn
,)12(31
)2(42
n
n
50
性质 2
).()()( xx nn
n P1P ( 2.8)
由于 是偶次多项式,经过偶次求导仍为偶次多项式,经过奇次求导则为奇次多项式,故 为偶数时 为偶函数, 为奇数时 为奇函数,于是( 2.8)成立 .
nxx )1()( 2
)(xnP n )(xPn
n
奇偶性
51
性质 3
考虑 次多项式1n ),(xx nP
).()()()( xaxaxaxx nnn 111100 PPPP
两边乘 并从 -1 到 1积分,),(xPk
1
1
21
1dPdPP .)()()( xxaxxxx kkkn
递推关系
它可表示为
得
.0ka故得当 时,2nk 次数小于等于 ,)(xx kP 1n
为 0,
上式左端积分
52
当 时,nk
.0na
),()()( xaxaxx nnnnn 1111 PPP
其中
1
1 11 d)(P)(P2
12xxxx
na nnn
,1214
2
2
122
n
n
n
nn
1
1 11 d)(P)(P2
32xxxx
na nnn
,12
1
)32)(12(
)1(2
2
32
n
n
nn
nn
左端积分仍为 0,故
于是
)(xx n2P 为奇函数,
53
由 ,)(,)( xxx 10 P1P
,2/)13()(P 22 xx
从而得到以下的递推公式
)(P)(P)12()(P)1( 11 xnxxnxn nnn ( 2.9)),,2,1( n
利用上述递推公式就可推出
,2/)35()(P 33 xxx
,8/)33035()(P 244 xxx
,8/)157063()(P 355 xxxx
,16/)5105315231()(P 246
6 xxxx
54
图 3-1
图 3-1 给出了 的图形 . )(),(),(),( xxxx 3210 PPPP
55
在区间 内有 个不同的实零点 . )(xnP ]1,1[ n性质 4
56
3.2.3 切比雪夫多项式
当权函数 ,区间为 时,由序
列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫
(Chebyshev) 多项式 .
21
1)(
xx
]1,1[
},,,,1{ nxx
它可表示为
),arccoscos()( xnxTn .1x ( 2.10)
若令 ,cosx .π0,cos)( nxTn则
57
性质 5)()(2)( 11 xTxxTxT nnn ),,2,1( n
切比雪夫多项式有很多重要性质:
这只要在三角恒等式
)1cos(coscos2)1cos( nnn )1( n
中,令 即得 .cosx
,1)(0 xT
递推关系
( 2.11).)(1 xxT
58
由( 2.11 )可推出
,12)( 22 xxT
的函数图形见图 3-2. )(),(),(),( 3210 xTxTxTxT
,34)( 33 xxxT
,188)( 244 xxxT
,52016)( 355 xxxxT
,1184832)( 246
6 xxxxT
)()(2)( 11 xTxxTxT nnn
59
图 3-2
由递推关系( 2.11 )还可得到 的最高次项系数是)(xTn
).1(2 1 nn
)()(2)( 11 xTxxTxT nnn
60
性质 6
,π
,2
π,0
1
d)()(1
1 2x
xxTxT mn
;mn
;0mn
.0mn
( 2.12)
令 ,cosx 则 , dsind x
π
0
1
1 2dcoscos
1
d)()( mnx
xxTxT mn
切比雪夫多项式 在区间 上带权 )}({ xTk ]1,1[
21/1)( xx 正交,且
于是;mn
;0mn
.0mn
,π
,2
π,0
61
可以用 的线性组合表示 , )(,),(),( 10 xTxTxT n nx
,π2
12cos
n
kxk
.,,2,1 nk
性质 8 )(xTn 在区间 上有 个零点]1,1[ n
性质 7 只含 的偶次幂,)(2 xT k x )(12 xT k 只含 的奇次幂 .x
这个性质由递推关系可直接得到 .
其公式为
62
时的结果如下:6,,2,1 n
),(1 0 xT
.)(22
02
1
n
kkn
nn xTk
nx ( 2.13)
这里规定 .1)(0 xT
),(1 xTx
)),()((2
120
2 xTxTx
63
)),()(3(4
131
3 xTxTx
)),()(4)(3(8
1420
4 xTxTxTx
)),()(5)(10(16
1531
5 xTxTxTx
)).()(6)(15)(10(32
16420
6 xTxTxTxTx
64
3.2.4 其他常用的正交多项式
区间 及权函数 不同,则得到的正交多项式也不同 .
],[ ba )(x
除上述两种最重要的正交多项式外,下面是三种较常用的正交多项式 .
1. 第二类切比雪夫多项式
在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式 .
]1,1[ 21)( xx
65
表达式为
.1
]arccos)1sin[()(
2x
xnxU n
( 2.14)
令 ,cosx
1
1
π
0
2 d)1sin()1sin(d1)()( mnxxxUxU mn
,,2
π,,0
nm
nm
即 是 上带权 的正交多项式族 . )}({ xU n ]1,1[ 21)( xx
可得
66
递推关系
,2)(,1)( 10 xxUxU
).,2,1( n),()(2)( 11 xUxxUxU nnn
67
2. 拉盖尔多项式
在区间 上带权 的正交多项式称为拉盖尔 (Laguerre) 多项式 .
),0[ xx e)(
其表达式为
).e(d
de)(L xn
n
nx
n xx
x ( 2.15)
正交性质
,,)!(
,,0d)(L)(Le 20 nmn
nmxxx mn
x
68
递推关系
,1)(L,1)(L 10 xxx
).,2,1( n
),(L)(L)21()(L 12
1 xnxxnx nnn
69
表达式
),e(d
de)1()(H
22 xn
nxn
n xx ( 2.16)
正交关系
,,π!2
,,0d)(H)(He
2
nmn
nmxxx nmn
x
在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式 .
),( 2
e)( xx
3. 埃尔米特多项式
70
递推关系
,2)(H,1)(H 10 xxx
).,2,1( n
),(H2)(H2)(H 11 xnxxx nnn
71
3.3 最佳一致逼近多项式
3.3.1 基本概念及其理论
设 ],,[ baCf 在 中求多项式},,,1{ nn xxspanH
),(* xPn
)()(max ** xPxfPf nbxa
n
这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题 .
使其误差
.min nHP
Pfnn
72
显然 ,0),( nPf
记为 ,)},({ nPf
定义 7
nn PfPf ),(
为 与 在 上的偏差 . )(xf )(xPn ],[ ba
若记集合的下确界为
)},({inf nHP
n PfEnn
则称之为 在 上的最小偏差 . )(xf ],[ ba
],,[)(, baCxfHP nn 设 称
其下界为 0.
),( nPf 的全体组成一个集合,
( 3.1))()(max xPxf nbxa
( 3.2),)()(maxinf xPxf nbxaHP nn
73
定义 8
,),( *nn EPf ( 3.3)
则称 是 在 上的最佳一致逼近多项式nn HxP )(* )(xf ],[ ba
定理 4 则总存在 ,nn HxP )(*
.)()( *nn ExPxf
这个定理是最佳逼近多项式的存在性定理 .
],,[ baCf 假定 nn HxP )(*若存在 使得
简称最佳逼近多项式 .
],,[ baCf 若 使
或最小偏差逼近多项式,
74
定义 9 ,)( nHxP 若在 上有0xx
,)()(max)()( 00
xfxPxfxPbxa
就称 是 的偏差点 . 0x )(xP
若 ,)()( 00 xfxP 称 为“正”偏差点 .0x
若 ,)()( 00 xfxP 称 为“负”偏差点 .0x
,)()( 00 xfxP
所以说 的偏差点总是存在的 . )(xP
],,[ baCf 设
由于函数 在 上连续,)()( xfxP ],[ ba
在一个点 ],,[0 bax
因此,至少存使
75
要证明的是
,)()()1()()(
xfxPxfxP kkk
这样的点组称为切比雪夫交错点组 .
证明
假定在 上有 个点使( 3.4)成立,],[ ba 2n
定理 5
即有 个点 ,bxxxa n 221 2n“负”的偏差点,
在 上至少有 个轮流为“正”、)(xP ],[ ba 2n
是 的最佳逼近多项式nHxP )( ],[ baCf
的充分必要条件是
使
是 在 上的最佳逼近多项式 .)(xf ],[ ba)(xP
只证充分性 .
( 3.4),1
76
用反证法,若存在 ,)()(,)( xPxQHxQ n
,)()()()(
xPxfxQxf
由于 )]()([)]()([)()( xfxQxfxPxQxP
故 也在 个点上轮流取“ +”、“ -”号 .)()( xQxP 2n
使
由连续函数性质,它在 内有 个零点,但因 ],[ ba 1n
0)()( xQxP 是不超过 次的多项式,n
不能超过 .n所以它的零点个数
在点 上的符号与221 ,,, nxxx )2,,1)(()( nkxfxP kk
一致,
77
这说明假设不对, 故 就是所求最佳逼近多项式 . )(xP
必要性证明略 .
推论 1 若 ,],[ baCf
充分性得证 .
则在 中存在惟一的最佳逼近nH
多项式 .
78
证明
)(2
1)(
1xTx nnn
)(max2
1)(max
11111xTx n
xnnx
且点 是 的切比雪夫交错点组, ),,1,0(πcos nkn
kxk )(T xn
定理 6 在区间 上所有最高次项系数为 1的 次多]1,1[ n
项式中, )(T2
1)(
1xx nnn 与零的偏差最小, .
2
11n其偏差为
由于
),(*1 xPx n
n
,2
11
n
79
由定理 5可知,
即 是与零的偏差最小的多项式 .)(xn
区间 上 在 中最佳逼近多项式]1,1[ nx 1nH
),(*1 xPn为 定理得证 .
80
.min)()(max *2
11
xPxf
x
由定理 6可知,
)(2
1)()( 3
*2 xTxPxf
多项式 与零偏差最小,)()( *2 xPxf
解
由题意,所求最佳逼近多项式 应满足)(*2 xP
当
时,
xx2
32 3
故
例 3 求 在 上的最佳 2 次逼122)( 23 xxxxf ]1,1[
近多项式 .
81
)(2
1)()( 3
*2 xTxfxP
就是 在 上的最佳 2 次逼近多项式 . )(xf ]1,1[
12
72 xx
82
3.3.2 最佳一次逼近多项式
定理 5给出了 的特性,这里讨论具体求法 . )(xP
先讨论 的情形 .1n
假定 ],,[2 baCf 且 在 内不变号,)(xf ),( ba
根据定理 5可知 , 至少有 3个点 ,321 bxxxa
)()(max)1()()( 11 xfxPxfxPbxa
kkk
).3,2,1,1( k
求最佳一次逼近多项式 .xaaxP 101 )(
我们要
使
83
,0)()()( 2122 xfaxfxP
即 . 12 )( axf
由于 在 上不变号,)(xf ],[ ba 故 单调,
)(xf 1)( axf
在 内只有一个零点,记为 ,),( ba 2x
另外两个偏差点必是区间端点,即 且 ,, 21 bxax
)()()()( 11 bfbPafaP
由此得到
于是
满足
)].()([ 221 xfxP
84
解出
代入( 3.5)得
).()()(
);()(
210210
1010
xaaxfafaaa
bfbaaafaaa ( 3.5)
),()()(
21 xfab
afbfa
( 3.6)
这就得到最佳一次逼近多项式 ,其几何意义如图 3-3. )(1 xP
.2
)()(
2
)()( 220
xa
ab
afbfxfafa
( 3.7)
85
直线 与弦MN平行,且通过MQ的中点 D, )(1 xPy
).2
()]()([2
1 212
xaxaxfafy
图 3-3
其方程为
86
由( 3.6)可算出
例 4 求 在 上的最佳一次逼近多项式 .21)( xxf ]1,0[
解
,414.0121 a
又 ,1
)(2x
xxf
,4551.02
122
x
由( 3.7),得
,121 2
2
2 x
x故 解得
.0986.11)( 222 xxf
.2
)()(
2
)()( 220
xa
ab
afbfxfafa
( 3.7)
),()()(
21 xfab
afbfa
( 3.6)
87
,414.0955.0)(1 xxP
即
;10,414.0955.01 2 xxx ( 3.8)
误差限为
.045.0)(1max 12
10
xPx
x
于是得 的最佳一次逼近多项式为 21 x
,955.022
112
1
22
0
x
ax
a
88
在( 3.8)中若令 ,1a
bx
.414.0955.022 baba
则
.414.0955.012
a
b
a
b
从而可得一个求根式的公式;10,414.0955.01 2 xxx ( 3.8)
89
3.4 最佳平方逼近
90
3.4.1 最佳平方逼近及其计算
对 及 中的一个子集],[)( baCxf ],[ baC
)},(,),(),({ 10 xxxspan n
若存在 ,使)(* xS
2
2)(
2
2
* )()(min)()( xSxfxSxfxS
,d)]()()[(min 2
)(
b
axSxxSxfx
( 4.1)
则称 是 在子集 中的最佳平方逼近函数 .
)(* xS )(xf ],[ baC
91
由( 4.1 )可知该问题等价于求多元函数
b
a
n
jjjn xxfxaxaaaI d])()()[(),,,( 2
010 ( 4.2)
的最小值 .
是关于 的二次函数,),,,( 10 naaaI naaa ,,, 10
0
ka
I ),,,1,0( nk
即
b
a k
n
jjj
k
xxxfxaxa
Id)(])()()[(2
0
),,,1,0( nk
利用多元函数求极值的必要条件 2
2)(
2
2
* )()(min)()( xSxfxSxfxS
.d)]()()[(min 2
)(
b
axSxxSxfx
( 4.1)
92
于是有
))(),(())(),((0
xxfaxx k
n
jjjk
).,,1,0( nk ( 4.3)
这个关于 的线性方程组,称为法方程 . naaa ,,, 10
由于 线性无关,故)(,),(),( 10 xxx n
.0),,,(det 10 nG
于是方程组( 4.3 )有惟一解 ),,,1,0(* nkaa kk
).()()( *0
*0
* xaxaxS nn
从而得到
93
即对任何 ,)( xS 下面证明 满足( 4.1 ),)(* xS
.d)]()()[(d)]()()[( 22* b
a
b
axxSxfxxxSxfx
( 4.4)
为此只要考虑
b
a
b
axxSxfxxxSxfxD d)]()()[(d)]()()[( 2*2
b
adxxSxfx 2* )]()()[(
b
adxxSxfxSxSx .)]()()][()()[(2 **
有
2
2)(
2
2
* )()(min)()( xSxfxSxfxS
.d)]()()[(min 2
)(
b
axSxxSxfx
( 4.1)
94
由于 的系数 是方程( 4.3 )的解,)(* xS *ka
0d)()]()()[( * b
a k xxxSxfx ),,,1,0( nk
从而上式第二个积分为 0,
,0d)]()()[( 2* b
axxSxSxD
故( 4.4)成立 .
这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数 . )(* xS )(xf
故
于是 ))(),(())(),((0
xxfaxx k
n
jjjk
).,,1,0( nk ( 4.3)
b
a
b
axxSxfxxxSxfx d)]()()[(d)]()()[( 22*
( 4.4)
95
若令 ),()()( * xSxfx
))()(),()(()( **2
2xSxfxSxfx
))(),(())(),(( * xfxSxfxf
,)( **1
*0
* nnxaxaaxS
( 4.5).))(),(()(
0
*2
2
n
kkk xfxaxf
则平方误差为
若取 ],1,0[)(,1)(,)( Cxfxxx kk
中求 次最佳平方逼近多项式n
nH则要在
96
此时 ,
1
1d))(),((
1
0
jkxxxx jk
kj
若用 表示 对应的矩阵, H ),,,1( nn xxGG
)12/(1)2/(1)1/(1
)2/(13/12/1
)1/(12/11
nnn
n
n
H ( 4.6)
称为希尔伯特 (Hilbert) 矩阵 .
.d)())(),((1
0 kk
k dxxxfxxf
即
97
记 ,),,,(d),,,( T10
T10 nn dddaaa ,a
dHa ( 4.7)
的解 即为所求 . ),,1,0(* nkaa kk
则
98
例 5 设 ,1)( 2xxf
解
1
0
20 d1 xxd
1
0
21 d1 xxxd
得方程组
,609.0
147.1
3/12/1
2/11
1
0
a
a
求 上的一次最佳平方]1,0[
逼近多项式 .
利用( 4.7),得
,147.12
2)21ln(
2
1
3
122 ,609.0
1
0
2/32 )1(3
1x
dHa ( 4.7)
99
解之 ,426.0,934.0 10 aa
故 .426.0934.0)(*
1 xxS
平方误差
))(),(())(),(()( *1
2
2xfxSxfxfx
01
1
0
2 934.0426.0d)1( ddxx 最大误差
.066.0)(1max)( *1
2
10
xSxx
x
.0026.0
100
3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近
设 ],,[)( baCxf )},(,),(),({ 10 xxxspan n
若 是满足条件 (2.2) 的正交函数族, )(,),(),( 10 xxx n
.,0))(),(( jixx ji
而 ,0))(),(( xx jj
故法方程( 4.3 )的系数矩阵 ))(,),(),(( 10 xxx nn GG
则))(),(())(),((
0
xxfaxx k
n
jjjk
).,,1,0( nk ( 4.3)
b
a kjkj xxxx d)()()(),(
( 2.2)
.,0
.,0
kjA
kj
k
101
))(),(())(),((0
xxfaxx k
n
jjjk
).,,1,0( nk ( 4.3)
为非奇异对角矩阵 ,
))(),(/())(),((* xkxxfa kkkk
).,,1,0( nk
( 4.8)
于是 在 中的最佳平方逼近函数为 ],[)( baCxf
n
kk
k
k xx
xxfxS
02
2
* ).()(
))(),(()(
( 4.9)
且方程( 4.3 )的解为
102
由( 4.5)可得均方误差为
2
*
2)()()( xSxfx nn
.)(
))(),(()(
2
1
0
2
2
2
2
n
k k
k
x
xxfxf
( 4.10)
由此可得贝塞尔 (Bessel)不等式
.)())((2
21
2
2
* xfxan
kkk
( 4.11)
))()(),()(()( **2
2xSxfxSxfx
))(),(())(),(( * xfxSxfxf ( 4.5)
.))(),(()(0
*2
2
n
kkk xfxaxf
103
若 ,],[)( baCxf 按正交函数族 展开,)}({ xk
,)(0
*
kkk xa ( 4.12)
称这个级数为 的广义傅里叶 (Foureir)级数,)(xf
讨论特殊情况 . 设 是正交多项式, 可由 正交化得到,则有下面的收敛定理 .
)}(,),(),({ 10 xxx n
)},(,),(),({ 10 xxxspan n ),,1,0)(( nkxk
nxx ,,,1
得级数系数
),1,0(* kak 按( 4.8)计算,
*ka系数
称为广义傅里叶系数 .
它是傅里叶级数的直接推广 .))(),(/())(),((* xkxxfa kkkk
).,,1,0( nk
( 4.8)
104
定理 7 设 ],,[)( baCxf
.0)()(lim2
*
xSxf nn
考虑函数 ],1,1[)( Cxf
),(P)(P)(P)( *1
*10
*0
* xaxaxaxS nnn ( 4.13)
)(xf 的最佳平方逼近多项式,
)(* xS 是由( 4.9 )给出的},,1,0),({ nkxk 其中
是正交多项式族,则有
)}(P,),(P),(P{ 10 xxx n 展开,由 (4.8) , (4.9) 可得按勒让德多项式
n
kk
k
k xx
xxfxS
02
2
* ).()(
))(),(()(
( 4.9)
105
根据均方误差公式 (4.10) ,平方误差为
.12
2d)()(
0
2*1
1
22
2
n
kkk a
kxxfx ( 4.15)
由定理 7可得
.0)()(lim2
*
xSxf nn
其中
))(P),((
))(P),(()(*
xxP
xxfxa
kk
kk
( 4.14)
1
1.d)(P)(
2
12xxxf
kk
2
*
2)()()( xSxfx nn
.)(
))(),(()(
2
1
0
2
2
2
2
n
k k
k
x
xxfxf
( 4.10)
106
如果 满足光滑性条件 , 还有 一致收敛于 的结论 .
)(xf *nS )(xf
.)()( *
nxSxf n
公式 (2.6) 给出了首项系数为 1的勒让德多项式 ,nP~
定理 8则对任意 和]1,1[x ,0 当 充分大时有n
],1,1[)( 2 Cxf设 )(* xSn 由 (4.13) 给出,
它具有以下性质 .
),(P)(P)(P)( *1
*10
*0
* xaxaxaxS nnn ( 4.13)
].)1[(d
d
)!2(
!)(P
~ 2 nn
n
n xxn
nx ( 2.6)
107
1
0
),(P~
)(P~
)(n
kkknn xaxxQ
证明
定理 9
勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小 . )(P~
xn ]1,1[
在所有最高次项系数为 1的 次多项式中,n
设 是任意一个最高次项系数为 1的 次)(xQn n
多项式,它可表示为
108
于是
))(),(()(2
2xQxQxQ nnn
1
0
2 ))(P~
),(P~
())(P~
),(P~
(n
kkkknn xxaxx
当且仅当 时等号才成立,0110 naaa
))(P~
),(P~
( xx nn
2
2)(P
~xn
即当)(P
~)( xxQ nn 时平方误差最小 .
1
1
2 d)( xxQn
109
例 6 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式 .
xxf e)( ]1,1[
解
1
10 de))(P),(( xxxf x
1
11 de))(P),(( xxxxf x
1
1
22 de)
2
1
2
3())(P),(( xxxxf x
))(P~
),(( xxf k).3,2,1,0( k先计算
;3504.2e
1e
;7358.0e2 1
;1431.0e
7e
1
1
33 de)
2
3
2
5())(P),(( xxxxxf x .02013.0e5
e
137
110
由傅里叶系数计算公式 (4.14) 得
,1752.12/))(P),(( 0*0 xxfa
,1036.12/))(P),((3 1*1 xxfa
,3578.02/))(P),((5 2*2 xxfa
.07046.02/))(P),((7 3*3 xxfa
代入 (4.13) 得三次最佳平方逼近多项式
.1761.05367.09979.09963.0)( 32*3 xxxxS
))(P),(P(
))(P),(()(*
xx
xxfxa
kk
kk
( 4.14)
1
1.d)(P)(
2
12xxxf
kk
),(P)(P)(P)( *1
*10
*0
* xaxaxaxS nnn ( 4.13)
111
最大误差
.0112.0)(e)( *3
xSx x
n
如果 求 上的最佳平方逼近多项式, ],,[)( baCxf ],[ ba
22
abt
abx
),11( t
均方误差
2
*32
)(e)( xSx xn
.0084.0
1
1
3
0
2*2
12
2de
kk
x ak
x
做变换
112
于是
),22
()(ab
tab
ftF
在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 ]1,1[ ),(* tSn
从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 ],[ ba
)).2(1
(* baxab
Sn
113
nnxaxaaxS 10
* )(
直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的 .
nH
只是当 较大时法方程出现病态,计算误差较大,不能使用,而用勒让德展开不用解线性方程组,不存在病态问题,因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式 .
n
由于勒让德多项式 是在区间 上由
)}(P{ xk ]1,1[
},,,,1{ kxx 正交化得到的,因此利用函数的勒让德展
开部分和得到最佳平方逼近多项式与由
114
3.5 曲线拟合的最小二乘法
3.5.1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定,这就是科学实验中经常见到的实验数据 的曲线拟合 .
],,[)( baCxf )(xf
},,1,0,{ mixi
},,1,0),,{( miyx ii
115
记误差
,,,1,0,)(* miyxS iii
则 的各分量分别为 个数据点上的误差 .T10 ),,,( m δ m
问题为利用 求出一个函数,,,1,0),( mixfy ii
)(* xSy 与所给数据 拟合 .},,1,0),,{( miyx ii
116
设 是 上线性无关函数族,)(,),(),( 10 xxx n ],[ baC
在 中找一函数 ,)}(,),(),({ 10 xxxspan n )(* xS
使误差平方和
m
iii
m
ii yxS
0
2*
0
22
2])([δ
,])([min0
2
)(
m
iii
xSyxS
( 5.1)
这里 )()()()( 1100 xaxaxaxS nn ).( mn
( 5.2)
117
这个问题称为最小二乘逼近,几何上称为曲线拟合的最小二乘法 .
用最小二乘求拟合曲线时 ,首先要确定 的形式 .)(xS
确定 的形式问题不仅是数学问题 , 还与问题的实际背景有关 .
)(xS
通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图 ,确定 的形式 , 然后通过实际计算选出较好的结果 .)(xS
118
为了使问题的提法更有一般性,通常在最小二乘法中考虑加权平方和
)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn ( 5.2)
,])()[(0
22
2
m
iiii yxSx ( 5.3)
这里 是 上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同 .
0)( x ],[ ba ))(,( ii xfx
就是 次多项式 .)(xS n 若 是 次多项式,)(xk k
的一般表达式为( 5.2 )表示的线性形式 . )(xS
119
这样,最小二乘问题就转化为求多元函数
),,,( 10 naaaI
m
i
n
jiijji xfxax
0 0
2)]()()[( ( 5.4)
的极小点 问题 . ),,,( **1
*0 naaa
用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如 (5.2) 的 中求一函数 ,)(xS )(* xSy
由求多元函数极值的必要条件,有
m
i
n
jikiijji
k
xxfxaxa
I
0 0
0)()]()()[(2
).,,1,0( nk
使( 5.3 )取得最小 .
)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn ( 5.2)
.])()[(0
22
2
m
iiii yxSxδ ( 5.3)
120
若记
,)()()(),(0
m
iikijikj xxx ( 5.5)
k
m
iikiik dxxfxf
0
)()()(),(
).,,1,0( nk
上式可改写为
k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
这个方程称为法方程,可写成矩阵形式
121
其中 ,),,,(,),,,( T10
T10 nn dddaaa da
.
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
10
11101
01000
nnnn
n
n
G ( 5.7)
,dGa
要使法方程 (5.6) 有惟一解,就要求矩阵 非奇异,G
而 在 上线性无关不能推出)(,),(),( 10 xxx n ],[ ba
矩阵 非奇异,必须加上另外的条件 . G k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
122
显然 在任意 个点上满足哈尔条件 . nxx ,,,1 )( nmm
哈尔条件,则法方程 (5.6) 的系数矩阵 (5.7) 非奇异,
如果 在 上满足],[)(,),(),( 10 baxxx n mix 0}{
函数 的最小二乘解为)(xf
定义 10 设 的任意线],[)(,),(),( 10 baxxx n
性组合在点集 上至多只有 个)}(,,1,0,{ nmmixi n
不同的零点,则称 在点集
)(,),(),( 10 xxx n
},,1,0,{ mixi 上满足哈尔 (Haar)条件 .
.,,1,0,* nkaa kk 方程 (5.6) 存在惟一的解 从而得到
于是
k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
123
,)]()()[()]()()[(0
2
0
2*
m
iiii
m
iiii xfxSxxfxSx
这样得到的 ,)(* xS 对任何形如 (5.2) 的 ,)(xS
).()()()( *1
*10
*0
* xaxaxaxS nn
都有
故 确是所求最小二乘解 . )(* xS
)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn ( 5.2)
124
一般可取 ,但这样做当 时,},,,1{ nxxspan 3n
通常对 的简单情形都可通过求法方程( 5.6)得到 1n
).(* xS
给定 的离散数据 ,},,1,0),,{( miyx ii )(xf
例如, ,bxaxS e)(
,ln)(ln bxaxS
求解法方程( 5.6)将出现系数矩阵 为病态的问题,G
有时根据给定数据图形,其拟合函数 表面上)(xfy
不是( 5.2 )的形式,但通过变换仍可化为线性模型 . 若两边取对数得
k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
)()()()( 1100 xaxaxaxS nn )( mn ( 5.2)
125
例 7
11312
5.8865.44
54321
i
i
i
f
x
这样就变成了形如( 5.2 )的线性模型 .
此时,若令
则
,,ln),(ln)( bBaAxSxS
,)( BxAxS
已知一组实验数据如下,求它的拟合曲线 .
126
解
从图中看到各点在一条直线附近,故可选择线性函数作拟合曲线,
将所给数据在坐标纸上标出,见图 3-4.
图 3-4
127
令 ,)( 101 xaaxS
,8),(4
000
ii
,22),(),(4
00110
iiix
,74),(4
0
211
iiix
,47),(4
00
iii ff
.5.145),(4
01
iiii fxf
,1)(,1,4 0 xnm 这里故 ,)(1 xx
128
.5.1457422
,47228
10
10
aa
aa
解得 .13.1,77.2 10 aa
.13.177.2)(*1 xxS
由( 5.6)得方程组
于是所求拟合曲线为k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
129
关于多项式拟合, Matlab 中有现成的程序 ),,(polyfit myxa
其中输入参数 为要拟合的数据, 为拟合多项式的次数,yx, m
输出参数 为拟合多项式的系数 .a
利用下面的程序,可在 Matlab 中完成上例的多项式拟合 .
130
x=[1 1 2 3 3 3 4 5];
f=[4 4 4.5 6 6 6 8 8.5];
aa=poly(x,f,1);
y=polyval(aa,x);
plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)
xlabel(‘x’);
ylabel(‘y’);
gtext(‘y=s1(x)’ )
131
结果如下:
132
例 8 设数据 由表 3-1 给出,)4,3,2,1,0)(,( iyx ii
,ebxay 用最小二乘法确定 及 . a b
46.845.753.679.510.5
00.275.150.125.100.1
43210
i
i
y
x
i
13表
解
,ln ii yy 表中第 4行为 通过描点可以看出数学模型为
它不是线性形式 .
,ebxay用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边取对数得
133
若令 ,ln,ln aAyy
先将 转化为),( ii yx ),,( ii yx为确定 ,bA,
根据最小二乘法,取 ,1)(,)(,1)( 10 xxxx
.lnln bxay
}.,1{, xbxAy 则得数据表见表 3-1.
得,5),( 00
,5.7),(4
010
iix
,875.11),(4
0
211
iix
135.2008.2876.1756.1629.1
46.845.753.679.510.5
00.275.150.125.100.1
43210
i
i
i
y
y
x
i
13表
134
.422.14),(4
01
iii yxy
,404.9),(4
00
iiyy
故有法方程
.422.14875.1150.7
,404.950.75
bA
bA
解得 .071.3e,505.0,122.1 AabA
.e071.3 505.0 xy
于是得最小二乘拟合曲线为
135
利用下面的程序,可在 Matlab 中完成曲线拟合 .
x=[1.00 1.25 1.50 1.75 2.00]; y=[5.10 5.79 6.53 7.45 8.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1); b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;
136
结果如下:
137
3.5.2 用正交多项式做最小二乘拟合
如果 是关于点集)(,),(),( 10 xxx n
,0
,0)()()(),(
0 k
m
iikijikj Axxx
,kj
,kj ( 5.8)
用最小二乘法得到的法方程组( 5.6),其系数矩阵 是病态的 . G
带权 正交的),,1,0(}{ mixi ),,1,0()( mixi
函数族,即
k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
138
m
iiki
m
iikii
kk
kk
xx
xxfxf
a
0
2
0*
)()(
)()()(
),(
),(
).,,1,0( nk
( 5.9 )
则方程( 5.6)的解为
且平方误差为
.)(0
2*2
2
2
2
n
kkk aAf
k
n
jjjk da
0
),( ).,,1,0( nk ( 5.6)
139
接下来根据给定节点 及权函数 mxxx ,,, 10 ,0)( x
构造带权 正交的多项式 .)(x )}({ xPn
注意 ,用递推公式表示 ,即mn )(xPk
)()()()(
),()()(
,1)(
111
011
0
xPxPxxP
xPxxP
xP
kkkkk
).1,,2,1( nk
( 5.10)
这里 是首项系数为 1的 次多项式,)(xPk k 根据 的)(xPk
正交性,得
140
),(
),(
11 kk
kk
PP
PP
( 5.11 )
).1,,2,1( nk
m
iiki
m
iiki
k
xPx
xPx
0
21
0
2
)()(
)()(
m
iiki
m
iikii
k
xPx
xPxx
0
2
0
2
1
)()(
)()(
下面用归纳法证明这样给出的 是正交的 . )}({ xPk
))(),((
))(),((
xPxP
xPxxP
kk
kk
),(
),(
kk
kk
PP
PxP
141
),(),(),( 0010010 PPxPPPP
假定 对 及)(0),( slPP sl 1,,1,0 ls ,,,1,0 kl
要证 对 均成立 . 0),( 1 sk PP ks ,,1,0
由( 5.10)有 ),(),)((),( 111 skkskksk PPPPxPP
由( 5.10)第二式及( 5.11 )中 的表达式,有 1
),(),(
),(),( 00
00
0000 PP
PP
PxPxPP .0
nk 均成立,
( 5.12 )).,(),(),( 11 skkskksk PPPPPxP
)()()()(
),()()(
,1)(
111
011
0
xPxPxxP
xPxxP
xP
kkkkk
).1,,2,1( nk
( 5.10)
)()()()(
),()()(
,1)(
111
011
0
xPxPxxP
xPxxP
xP
kkkkk
).1,,2,1( nk
( 5.10)
142
而 ,11 ks
,0),(),( sksk xPPPxP
于是由( 5.12 ),当 时, 2ks .0),( 1 sk PP
另外, 是首项系数为 1的 次多项式,它可由)(xxPs 1s
由归纳法假定,当 时20 ks
,0),( sl PP .0),( 1 sk PP
110 ,,, sPPP 的线性组合表示 .由归纳法假定又有
),(),)((),( 111 skkskksk PPPPxPP ( 5.12 )).,(),(),( 11 skkskksk PPPPPxP
143
由假定有
),(),( 11 kkkk xPPPxP
再考虑
( 5.13 )
),,(),(),(),( 1111111 kkkkkkkkkk PPPPPxPPP
),(1
0
k
jjjkk PcPP ).,( kk PP
利用( 5.11 )中 表达式及以上结果,得 k
),(),(),( 11111 kkkkkkk PPPxPPP
.0),(),( kkkk PPPP ),(
),(
11
kk
kkk PP
PP
144
),(),(),(),( 111 kkkkkkkkkk PPPPPxPPP
至此已证明了由( 5.10)及( 5.11 )确定的多项式 )}({ xPk
组成一个关于点集 的正交系 .}{ ix
用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合,)}({ xPk
只要根据公式( 5.10)及( 5.11 )逐步求 的同时,)(xPk
相应计算出系数 *ka
.0),(),(
),(),( kk
kk
kkkk PP
PP
PxPPxP
最后,由 和 的表达式( 5.11 )有 kk
),(
),(
11
kk
kkk PP
PP
),(
),(1
kk
kkk PP
PxP
145
),(
),(*
kk
kk PP
Pfa ),,,1,0( nk
并逐步把 累加到 中去,最后就可得到所求的 )(* xPa kk )(xS
).()()()( *1
*10
*0 xPaxPaxPaxSy nn
用这种方法编程序不用解方程组,只用递推公式,并且当逼近次数增加一次时,只要把程序中循环数加 1,其余不用改变 .
这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定 . n
)()(
)()()(
2
0
0
ik
m
ii
m
iikii
xPx
xPxfx
拟合曲线
146
3.6 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换
当 是周期函数时,显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适,本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及快速傅里叶变换,简称 FFT 算法 .
)(xf )(xf
147
3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值
设 是以 为周期的平方可积函数,用三角多
项式
)(xf π2
nxbnxaxbxaaxS nnn sincossincos2
1)( 110
( 6.1 )作为最佳平方逼近函数 . 由于三角函数族
kx,kx,,x,x,, sincossincos1
在 上是正交函数族,于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是
]π2,0[ ]π2,0[)(xf
)(xSn
148
称为傅里叶系数 . kk ba ,
函数 按傅里叶系数展开得到的级数 )(xf
1
0 )sincos(2
1
kkk kxbkxaa ( 6.3 )
就称为傅里叶级数 .
π2
0dcos)(
π
1xkxxfak ),,,1,0( nk
( 6.2 )),,,1,0( nk
π2
0dsin)(
π
1xkxxfbk
149
只要 在 上分段连续,则级数( 6.3 )一致收敛到 .
)(xf ]π2,0[
)(xf
对于最佳平方逼近多项式( 6.1 )有
.)()()()(2
2
2
2
2
2xSxfxSxf nn
由此可以得到相应于( 4.11 )的贝塞尔不等式
.d)]([π
1)(
2
1 π2
0
2
1
2220
xxfbaan
kkk
因为右边不依赖于 ,左边单调有界,所以级数 n
1
0 )sincos(2
1
kkk kxbkxaa ( 6.3 )
nxbnxaxbxaaxS nnn sincossincos2
1)( 110
( 6.1 )
.)())((2
21
2
2
* xfxan
kkk
( 4.11 )
150
当 只在给定的离散点集 )(xf
1,,1,0,
π2Njj
Nx j
上已知时,则可类似得到离散点集正交性与相应的离散傅里叶系数 .
下面只给出奇数个点的情形 .
1
2220 )(
2
1
kkk baa
收敛,并有 .0limlim
kk
kk
ba
151
12
π2
m
jx j ),2,,1,0( mj
可以证明对任何 成立 mlk ,0
令
.,0,0sincos
;0,12
,02
12,,0
coscos
;0,2
12,0,,0
sinsin
2
0
2
0
2
0
mjkkxlx
klm
klm
kl
kxlx
klm
klklkxlx
m
jjj
m
jjj
m
jjj
152
这表明函数族 在点集}sincossincos1{ mxmx,,x,x,,
}12
π2{
m
jx j
上正交 .
若令 ),2,,1,0()( mjxff jj
,),sincos(2
1)(
10 mnkxbkxaaxS
n
kkkn
其中
则 的最小二)(xf
乘三角逼近为
),,,1,0(12
π2cos
12
2 2
0
mkm
jkf
ma
m
jjk
153
当 时 mn
,)2,,1,0()( mjfxS jjm
于是
( 6.4)).,,1(
12
π2sin
12
2 2
0
nkm
jkf
mb
m
jjk
m
kkkm kxbkxaaxS
10 )sincos(
2
1)(
就是三角插值多项式,系数仍由( 6.4)表示 .
154
由于
),1i,1,,1,0()sin(i)cos(ei Njjxjxjx
所以函数族 在区间 上是正交的 . }e,,e,1{ )1(ii xNx ]π2,0[
一般情形,假定 是以 为周期的复函数,给定 )(xf π2
在 个等分点 上的值)1,,1,0(π2
NjjN
x j ,π2
jN
ff jN
.)e,,e,1( T)1(
π2i
π2i
N
Nj
Nj
j φ
函数 在等距点集 上的值jxie )1,,1,0(π2
NkkN
xk
kjxie 组成的向量记作
155
1
0
2πi
2πi
l ee),(N
k
kN
skN
l
sφφ
当 时, 个复向量 具有如下正交性:
1,,1,0 Nj 110 ,,, Nφφφ N
1
0
2π)i(
eN
k
kN
sl
( 6.5)
.,
;,0
slN
sl
156
事实上,令 ,eπ2
)(iN
slr
,0)1(,10 sNNl
于是 ,1)1( NslN
即
;111
1
N
N
N
sl
N
N
若 ,0 sl
.1e π2)(i slNr
,1,0 Nsl若 则有
,1r则 从而
157
于是
1
0l ),(
N
k
ks rφφ
r
r N
1
1.0
若 ,sl
1
0
),(N
k
kss rφφ
这就证明了( 6.5)成立 . 即 是正交的 . 110 ,,, Nφφφ
,1r则 于是
.N
因此, 在 个点 上的最小二乘傅里叶逼近为
)(xf )}1,,1,0(π2
{ NjjN
x j N),( l sφφ ( 6.5)
.,
;,0
slN
sl
158
,,e)(1
0
i NncxSn
k
kxk
( 6.6)
其中
.1,,1,0,e1 1
0
π2i-
nkfN
cN
j
Nkj
jk ( 6.7)
在( 6.6)中,若 ,Nn 则 为 在点)(xS )(xf
)1,,1,0( Njx j 上的插值函数,
于是由( 6.6)得
),()( jj xfxS 即
.1,,1,0,e1
0
π2i
NjcfN
k
jN
k
kj ( 6.8)
159
而( 6.8)是由 求 的过程,称为反变换 .}{ kc }{ jf
( 6.7)是由 求 的过程,}{ jf }{ kc 称为 的离散)(xf
傅里叶变换 . 简称 DFT ,
.1,,1,0,e1 1
0
π2i-
nkfN
cN
j
Nkj
jk ( 6.7)
.1,,1,0,e1
0
π2i
NjcfN
k
jN
k
kj ( 6.8)
160
3.6.2 快速傅氏变换( FFT)
不论是按( 6.7)式由 求 ,}{ jf }{ kc
由 求 ,}{ kc }{ jf
,1,,1,0,1
0
NjwxcN
k
kjkj ( 6.9 )
其中 ( 正变换 ) )/π2iexp( Nw 或 (反变换 ) ,)/π2iexp( Nw
,, kk ba还是由( 6.4)计算傅里叶逼近系数都可归结为计算
)1,,1,0}({ Nkxk 是已知复数序列 .
或是按( 6.8)
m
jjk m
jkf
ma
2
0 12
π2cos
12
2
( 6.4)
m
jjk m
jkf
mb
2
0 12
π2sin
12
2
161
当 较大且处理数据很多时,就是用高速的电子计算机,很多实际问题仍然无法计算,
N
如直接用( 6.9 )计算 ,需要 次复数乘法和 次jc N N
复数加法,称为 个操作,计算全部 共要 个操作 . N jc 2N
直到 20 世纪 60年代中期产生了 FFT 算法,大大提高了运算速度,从而使傅氏变换得以广泛应用 .
FFT 算法的基本思想就是尽量减少乘法次数 .
,1,,1,0,1
0
NjwxcN
k
kjkj ( 6.9 )
162
用( 6.9 )计算全部 ,jc 表面看要做 个乘法,2N
实际上所有 中,1,,1,0,),/π2iexp( NkjNkj 只有 个不N
,,,, 110 Nwww 同的值 特别当 时,只有 个不同的值 .pN 2 2/N
因此可把同一个 对应的 相加后再乘 ,这就能大量减少乘法次数 .
rw kxrw
,1,,1,0,1
0
NjwxcN
k
kjkj ( 6.9 )
163
设正整数 除以 后得商 及余数 ,Nm q r 则 ,rqNm
称为 的 同余数,以 表示 . r m N rmN
由于 ,1),/π2iexp( π2i ewNw N
因此计算 时可用 的 同余数 代替 ,从而推出FFT 算法 .
mw w N r m
以 为例 . 说明 FFT 的计算方法 . 32N
由于 则( 6.9 )的和是 ,121,0 3 Njk
.7,,1,0,7
0
jwxck
kjkj ( 6.10)
.)( rrqNm wwww 故有
164
将 用二进制表示为 jk,
),(222 0120
01
12
2 kkkkkkk
其中 只能取 0或 1. )2,1,0(, rjk rr
例如 ).110(20226 022
根据 表示法,有jk,
).(),( 012012 kkkxxjjjcc kj
公式( 6.10)可表示为
);(222 0120
01
12
2 jjjjjjj
,7
0
k
kjkj wxc ( 6.10)
165
1
0
1
0
1
0
)222)((012012
0 1 2
00
11
22012)()(
k k k
jjjkkkwkkkxjjjc ( 6.11 )
.)( )00(1
0
)0(1
0
1
0
)(012
02
0
011
1 2
0120 kj
k
kkj
k k
kkkj wwwkkkx
若引入记号 ),()( 0120120 kkkxkkkA
,)()(1
0
)00(01020123
0
02
k
kjwjjkAjjjA
( 6.12 )
,)()(1
0
)(01200011
2
0120
k
kkkjwkkkAjkkA
,)()(1
0
)0(00110102
1
011
k
kkjwjkkAjjkA
166
则( 6.11 )变成 ).()( 0123012 jjjAjjjc
它说明利用 同余数可把计算 分为 步,用公式( 6.12 )计算 .
N jc p
每计算一个 只用 2次复数乘法,计算一个 用 qA jc p2
次复数乘法,计算全部 共用 次复数乘法 .jc pN2
若注意 公式( 6.12 )还可进一步简化为
,)1(2/2 01
0 jNjj wwp
167
1
0
)(01200011
2
0120)()(k
kkkjwkkkAjkkA
),1()0()0( 010010011 kkAkkAkkA
)0(2010
)0(010
0102
0010 )1()0( kkjjkkj wwkkAwkkA
,)]1()1()0([ )0(010010
0100 kkjj wkkAkkA
.)]1()0([)1( )0(010010011
01kkwkkAkkAkkA
将这表达式中二进制表示还原为十进制表示:
,22)0( 00
1101 kkkkk
168
),2()()2( 2001 kAkAkA
).3,2,1,0(
)]2()([)12( 2001
k
wkAkAkA k
( 6.13 )
同样( 6.12 )中的 也可简化为 2A
,)]1()1()0([)( )00(0010010102
011 kjj wjkAjkAjjkA
即 ),1()0()0( 001001002 jkAjkAjkA
即 得,3,2,1,0k
169
.)]1()0([)1( )00(000001002
0kwjkAjkAjkA
把二进制表示还原为十进制表示,得
),22()2()2( 211
22 jkAjkAjkA
).1,0;1,0(
)]22()2([)22( 2211
22
jk
wjkAjkAjkA k
( 6.14)
同理( 6.12 )中 可简化为 3A
),1()1()0()( 01201201232 jjAjjAjjjA j
即
170
),1()0()0( 012012013 jjAjjAjjA
表示为十进制,有
).1()0()1( 012012013 jjAjjAjjA
),2()()( 2223 jAjAjA ( 6.15)
).3,2,1,0(
)2()()2( 222
23
j
jAjAjA
171
根据公式 (6.13) , (6.14) , (6.15) ,由
7,,1,0 k,)()(0 kxkxkA
),7,,1,0()(3 jcjA j逐次计算到 见表 3-2(略) .
上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形 .
32N pN 2
根据公式 (6.13) , (6.14) , (6.15) ,一般情况的 FFT
计算公式如下:
172
( 6.16)
,)]22()2([ 1211111qkpqqqq wjkAjkA
),22()2()2( 11111 pqqqqqq jkAjkAjkA
其中 .12,,1,0;12,,1,0;,,1 1 qqp jkpq
从 出发, 由 到 算到 )1,,1,0)((0 NmmA q 1 p
一组 占用 个复数单元,计算时需给出两组单元,qA N
)22( 1 qqq jkA
qA 括号内的数代表它的位置,在计算机中代表存放数的地址 .
),1,,1,0()( NjcjA jp 即为所求 .
173
这个计算公式除了具有不倒地址的优点外,计算只有两重循环,
计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的 ,qA )( jAp
就是所求离散频谱的次序 .
外循环 由 计算到 ,内循环 由 计算到q 1 p k 0 ,12 qp
由 计算到j 0 ,12 1 q 更重要的是整个计算过程省计算量 .
由公式看到算一个 共做 次复数乘法,qA 2/22 1/ Nqqp
而最后一步计算 时,由于pA
kNk ww p )( 2/2 1 k)1( 1)1( 0
174
当 时比值是 它比一般 FFT 的计算量( 次乘法)也快一倍 .
102N ,1:2305.4:1024
pN
(注意 时 故 ),因此,总共要算pq ,012 qp 0k
次复数乘法,它比直接用( 6.9 )需 次乘法2/)1( Np 2N
.2/)1(: pN快得多,计算量比值是
我们称( 6.16)的计算公式为改进的 FFT算法 .
175
3.7 有 理 逼 近
3.7.1 有理逼近与连分式
有理函数逼近是指用形如
)(
)()(
xQ
xPxR
m
nnm
的函数逼近 ).(xf
与前面讨论一样,如果 最小就可得到最佳有理一致逼近 .
)()( xRxf nm
( 7.1 )
m
k
kk
n
k
kk
xb
xa
0
0
176
如果 最小则可得到最佳有理平方逼近函数 .
2)()( xRxf nm
本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法 .
对函数 用泰勒展开得 )1ln( x
].1,1[,)1()1ln(1
1
xk
xx
k
kk ( 7.2 )
取部分和
n
k
kkn
k
xxS
1
1)1()( ).1ln( x
177
另一方面 , 若对( 7.2 )式用辗转相除可得到 的)1ln( x
一种连分式展开
52
4
23
12
11
)1ln(
2
2
xx
xx
xx
( 7.3 )
.5
2
4
2
3
1
2
1
1
22
xxxxx
].1,1[,)1()1ln(1
1
xk
xx
k
kk ( 7.2 )
178
.6120540840420
25260630420)(
432
432
44xxxx
xxxxxR ( 7.4)
( 7.3 )右端为 的无穷连分式的前 5项,最后式子)1ln( x
若取( 7.3 )的前 2 , 4, 6, 8项,则可分别得到 的以下有理逼近 :
)1ln( x
是它的紧凑形式 .
,2
2)(11
x
xxR
,
66
36)(
2
2
22xx
xxxR
,3369060
116060)(
32
32
33xxx
xxxxR
179
若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近 )(2 xS n )1ln( x
并计算 处的值 及 ,计算结果见表 3-2.1x )1(2nS )1(nnR
00000076.069314642.0058.0634.04
000025.0693122.0076.0617.03
00084.069231.011.058.02
026.0667.019.050.01
)1()2ln()1()1()2ln()1(
2
22 nnRnnnsn RRSSn
3表
2ln ,69314718.0 的准确值为 从表 3-1 可以看出,
,69314642.0)1(44 R ,634.0)1(8 S
180
但它们的计算量是相当的,这说明用有理逼近比多项式逼近好得多 .
由此看出 的精度比 高出近 10 万倍,)1(44R )1(8S
例 9
,40915721
15111353381452)(
23
234
43
xxx
xxxxxR
用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式 .
解
给出有理函数
用辗转相除可逐步得到
181
40915721
28464432)(
23
2
43
xxx
xxxxR
本例中用连分式计算 的值只需 3 次除法, 1次乘法和 7次加法 .
)(43 xR
7116)9(6
5
432
2
xxx
xx
98
7
65
432
xx
xx
.9
8
7
6
5
432
xxxx
182
若直接用多项式计算的秦九韶算法则需 6次乘法和 1次除法及 7次加法 .
可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数 . )(xRnm
对一般的有理函数 ,( 7.1 )可转化为一个连分式
.)()(1
21
l
lnm dx
c
dx
cxPxR
它的乘除法运算只需 次 .),max( nm
而直接用有理函数( 7.1 )计算乘除法次数为 次 . mn
183
3.7.2 帕德逼近
利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近 . )(xf
设 在 的泰勒展开为 )(xf 0x
.)!1(
)()0(
!
1)( 1
)1(
0
)(
N
NN
k
kk xN
fxf
kxf
( 7.5)
它的部分和记作
N
k
kk xfk
xP0
)( )0(!
1)( ( 7.6).
0
N
k
kk xc
184
定义 11 设 ,),,()( 1 mnNaaCxf N
mm
nnnm
xbxb
xaxaaxR
1
10
1)(
其中 无公因式,且满足条件)(),( xQxP mn
),,,1,0()0()0( )()( NkfR kknm ( 7.8)
则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近,)(xRnm )(xf 0x ),( mn
记作 , 简称 的帕德逼近 .),( mnR ),( mnR
如果有理函数
( 7.7),)(
)(
xQ
xP
m
n
185
根据定义,若令 ),()()()( xPxQxPxh nm
则满足条件( 7.8)等价于
.,,1,0,0)0()( Nkh k
即
.,,1,0,0))()()(()0(0
)()( NkxPxQxPhx
knm
k
由于 应用莱布尼茨求导公式得 ,!)0()(k
kn akP
k
k
jjkjx
knm akbckxPxQxP !!))()()((
00
)(
,,,1,0 Nk
,0
),,,1,0()0()0( )()( NkfR kknm ( 7.8)
186
这里 是由( 7.6)得到的,)0(!
1 )( jj f
jc 上式两端除 ,!k
并由 可得 ),(0,10 时当 mjbb j
nkcbca k
k
jjkjk ,,1,0,
1
0
( 7.9 )
及
mnnkcbc k
k
jjkj
,,1,
1
0
( 7.10)
注意当 时mj ,0jb 故( 7.10)可写成
N
k
kk xfk
xP0
)( )0(!
1)( ( 7.6).
0
N
k
kk xc
187
,
,
,
1122
21122
11211
mnmnmnmn
nnnmmn
nnnmmn
cbcbcbc
cbcbcbc
cbcbcbc
( 7.11 )
其中 时 ,0j ,0jc 若记
,
12
12
11
mnmnn
nnmn
nnmn
ccc
ccc
ccc
H ( 7.12 )
,),,,( T11 bbb mm b .),,,( T
21 mnnn ccc c
188
则方程组( 7.11 )的矩阵形式为 .cbH
定理 10
( 7.7)的有理函数 是 的 阶帕德逼近的
)(xRnm )(xf ),( mn
充分必要条件是多项式 的系数 )(),( xQxP mn naaa ,,, 10
及 满足方程组( 7.9 )及( 7.11 ) . mbbb ,,, 10
,),,()( 1 mnNaaCxf N 设 则形如
189
)4,4()3,4()2,4()1,4()0,4(4
)4,3()3,3()2,3()1,3()0,3(3
)4,2()3,2()2,2()1,2()0,2(2
)4,1()3,1()2,1()1,1()0,1(1
)4,0()3,0()2,0()1,0()0,0(0
43210
3-3
n
m
表
根据定理 10, 求 的帕德逼近时,)(xf
首先要由( 7.11 )解出 的系数 ,)(xQm mbbb ,,, 10
再由( 7.9 )直接算出 的系数 .)(xPn naaa ,,, 10
的各阶帕德逼近可列成一张表,称为帕德表(见表3-3 ) .
)(xf
,
,
,
1122
21122
11211
mnmnmnmn
nnnmmn
nnnmmn
cbcbcbc
cbcbcbc
cbcbcbc
( 7.11 )
),,1,0(1
0
nkcbca k
k
jjkjk
( 7.9 )
190
例 10 求 的帕德逼近 及 . )1ln()( xxf )2,2(R )3,3(R
解 由 的泰勒展开)1ln( x
432
4
1
3
1
2
1)1ln( xxxxx
得 .,4
1,
3
1,
2
1,1,0 43210 ccccc
当 时,由( 7.11 )得 2mn
.4
1
3
1
2
1
,3
1
2
1
12
12
bb
bb
求得 ,6
1,1 21 bb 再由( 7.9 )得
191
,2
1,1,0 210 aaa
于是得
2
2
22
61
1
21
)(xx
xxxR
当 时,由( 7.11 )得 3mn
,6
1
5
1
4
1
3
1
,5
1
4
1
3
1
2
1
,4
1
3
1
2
1
123
123
123
bbb
bbb
bbb
.66
362
2
xx
xx
192
代入( 7.9 )得
.60
11,1,1,0 3210 aaaa
解得
.20
1,
5
3,
2
3321 bbb
于是得
32
32
33
201
53
23
1
6011
)(xxx
xxxxR
.
3369060
11606032
32
xxx
xxx
193
为了求帕德逼近 的误差估计,由 (7.9) 及 (7.11)求得的 系数 及 ,直接代入则得
)(xRnm
)(),( xQxP mn naaa ,,, 10 mbbb ,,, 10
,)()()()(0 0
11 l
l
m
kklmnk
mnnm xcbxxPxQxf
将 除上式两端,即得 )(xQm
可以看到这里得到的 及 与 的前面 )(22 xR )(33 xR )1ln( x
连分式展开得到的有理逼近( 7.4)结果一样 .
194
,)(
)()( 0
1
xQ
xrxxRxf
m
l
ll
mn
nm
( 7.13 )
其中 .0
1
m
kklmnkl cbr
当 时可得误差近似表达式 1x
.,)()(0
101
0
m
kkmnk
mnnm cbrxrxRxf