2.relation and its application in computer

29/06/52 Rojanavasu P. 1

Relation and Its Application in Computer

305331-Discrete Mathematicsอ.พรเทพ โรจนวสุ

วิศวกรรมคอมพิวเตอรมหาวิทยาลัย นเรศวร พะเยา


นิยามของความสัมพันธ (Relation)

ความสัมพันธโดยทั่วไปแสดงความเชื่อมโยงระหวางกลุม(เซต)ของวัตถุตัวอยางเชน

A เปนเซตของนักฟุตบอล B เปนเซตของสโมสรเราสามารถกลาวไดวา สมาชิกของเซต A มีความสัมพันธกับ สมาชิกของเซต B ถา A เปนนักฟุตบอลในสงักัดของ BA = {Ronaldo, Walcott, Fabregus, Torres} B={Man utd, Arsenal , Liverpool}

Ronaldo เปนนักฟุตบอลในสังกัดของ Man utdFabregus เปนนักฟุตบอลในสังกัดของ Arsenal ….แทนโดย (Ronaldo, Man utd), (Fabregus, Arsenal), …


Relation คือ สับเซตของ Cartesian product ระหวางเซตแบงตามจํานวนของเซต

Binary Relation คือ สับเซตของ Cartesian product ของ A×A หรือ A×B แตมักเรียก A×A วา Relation on A

Apply to Graph Theory, Tree and Network, etc.n-ary Relation คือสับเซตของ Cartesian product ของเซตมากกวา 2 เซต

Apply to Relational Databases, etc.


Binary relationBinary relation คือ ความสัมพันธจากเซต A ไปเซต B และเปนสับเซตของ A×B ความสัมพันธนี้ความจริงแลวคือ subset of A×B => R⊆ A×B ถา (ai,bi)∈R เรากลาววา aRb ถา (ai,bi)∉R เรากลาววา aRb∴เซตของ ordered pair ถอืเปน binary relationนิยาม Domain & Range

Domain D(R) = {a|a∈A and there exists b∈B such that (a,b)∈R}Range or Image Im(R) = {b|b∈B and there exists a∈A such that (a,b)∈R}


รูปแบบการแทนความสัมพันธ

A={0,1,2} B={a,b}Roster => R={(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)}

2

1

0

b

a

Arrow diagram

xx0

x

b

2x1

a

เมทริกซความสัมพันธ ?


ตัวอยาง ความสัมพันธที่เปนเซตไมจํากัด

ถาให R เปนความสัมพันธบนเซตจํากัด A, R คือสับเซตของ A×AA={a,b,c,d}R={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(b,a),(b,d),(b,d),(c,d)}สามารถเขียนในรูปของ Directed graph ไดดังนี้


R={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(b,a),(b,d),(b,d),(c,d)}

a

c d

b

Digraph of relation R


Combine Relationsเนื่องจาก R⊆A×B ดังนั้น Relation 2 เซตใดๆ ที่เกิดจาก A ไป B จึงสามารถใชโอเปอรเรเตอรตางๆ เหมือนเซตปกติไดLet A = { 1 ,2 ,3 } and B = { 1, 2 ,3 ,4 } R1 = { (1,1 ),(2 ,2),(3 ,3)} R2 = { (1,1 ),(1,2),(1 ,3), (1,4)}

R ∪ R2 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) ,(2,2), (3,3 ) } R1 ∩ R2 = {(1,1)} R1 - R2 = {(2,2), (3,3)} R2 – R1 = {(1,2),(1,3),(1,4)}


ให R เปน Relation จาก A ไป B , (a,b)∈Rให S เปน Relation จาก B ไป C , (b,c)∈Sเราสามารถสราง Relation T ใหมจาก R,S คือ (a,c)∈T โดยที่ a∈A และc∈C ก็ตอเมื่อ (a,b)∈Rและ(b,c)∈Sเรียกวา T วาเปน composition ของ R และ S => SοRตัวอยางA={1,2,3,4}, B={p,q,r,s,t,w}, C={a,e,i,o,u}R=A×B={(1,p),(1,s),(2,s),(3,q),(4,t),(4,w)}S=B×C={(p,i),(r,o),(s,a),(t,e),(w,o)}SοR = ?


ใช arrow diagram ชวย

4

3

2

1

w

t

s

r

q

p

u

o

i

e

a

4

3

2

1

u

o

i

e

a


จงหา SοR ตอไปนี้


A = {a,b,c}, R={(a,c),(b,a),(b,b),(c,b)}R1=RRn=RοRn-1 =>recursive compositionR2={(a,b),(b,c),(b,a),(c,a),(c,b)}เรานํา composition ของ relation ไปใชงานบอยในระบบฐานขอมูล ในการ join ตาราง 2 ตาราง


n-ary Relationกําหนด sets D1, D2, …. Dn

a relation R is a subset of D1 x D2 x … x DnDi ในทางคณิตศาสตรจะมองเปนเซตที่มีการกําหนดสมาชิกไวกอนลวงหนาและไมไดกําหนดเงื่อนไขใด ๆ ไวในทาง Database จะมอง Di กวางขึ้น มองเปนโดเมนที่มีการกําหนดเงื่อนไขไวเชน D1 เปนโดเมนชื่อคนมีอักษรไมเกิน 15 ตัว D2 เปนโดเมนของรหัสนิสิตเลข 7 หลัก


Edgar Frank "Ted" Codd (August 23, 1923 – April 18, 2003) was a British computer scientist who, while workingfor IBM, invented the relational model for databasemanagement, the theoretical basis for relational databases.

ที่มา http://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_F._Codd


ดังนั้น relation ที่เกดิขึ้นคือ a set of n-tuples(a1, a2, …, an) โดยที่ ai ∈ Di , i=1,2,..,nX={Mark, Sara, Julia}, Y={A,B,C,D,F}Z={math, data com} ให R เปนความสัมพันธของนิสิตที่ไดเกรดในแตละวิชาR= {(Mark,math,D), (Mark,data com,F),

(Sara,math,B), (Sara,data com,C), (Julia,math,C), (Julia,data com,D)}


ดังนั้นใน Table ก็จะเก็บ Relation สับเซตของผลคูณคารทีเซียน (Unordered)

CMathJuliaDData comJulia

BMathSaraCData comSara

FData comMarkD

เกรดMath

วิชาMark

ชื่อ

Fields/Attributes/Columns

Records/Tuples/Rows

ตาราง Student


โดเมนจะถูกเรียกเปน Primary key ก็ตอเมื่อคาของโดเมนนั้นจะไมซ้ํากันเลยใน Relation หรือตารางนั้น

เราสามารถใชมากกวา 1 โดเมนเปนทําหนาที่เปน Primary key ได เรียกวา Composite key

ที่มา Discrete Mathematical and Its application by rosen


Operation on n-ary Relationsเราสามารถสราง relation ใหมไดจาก relation เดิมที่มีอยูโดยอาศัย operation ตาง ๆ ในระบบฐานขอมูล Operation ตางๆคือ query (คําถาม) ที่ผูใชตองการคําตอบตามเงื่อนไขที่ตองการSelection operator

Selection operator (Sc) จะทําการแมพขอมูลจาก Relation เดิมไปยัง Relation ใหมที่มี record สอดคลองกับเงื่อนไข CจากTable1ใช operator Sc โดยที่ C คือ Major=“Computer Science”จะได tuples (Ackermann, 231455, Computer Science, 3.88) and (Chou, 102147, Computer Science,3 .49)


Projection operator Pi1,i2,..im จะทําการแมพเรคอรดทั้งหมดบน Relation เดิมไปยัง Relation ใหมโดยเลือกเฉพาะโดเมนหรือฟลดที่กําหนดจากตาราง Table 1 P1,3 จะได



P1,2 สําหรับตาราง Enrollments จะได



Join operation ใชรวม 2 Relations ใหกลายเปน 1 Relation โดยที่ทั้งสอง Relation นั้นใชฟลดใดฟลดหนึ่งรวมกัน คลาย ๆJ2(T5,T6) Join 2 fields ทายของ T5 กับ 2 field แรกของ T6



ผลลัพธของ J2(T5,T6)



SQLSQL (Structured Query Language)

SQL is a database computer language designedfor the retrieval and management of data inrelational database management systems(RDBMS), database schema creation andmodification, and database object access controlmanagementIn 1974, Donald D. Chamberlin and Raymond F. Boyce of IBM subsequently created the Structured English Query Language (SEQUEL, and was changed to SQL later) to manipulate and manage data stored in System R.


SQLSQL (Structured Query Language) เปนภาษาที่ใชทํา Operator ตางๆ กับฐานขอมูล“SELECT Departure_time

FROM FlightsWHERE Destination=‘Detroit”



From table 5 and table 6 ในทางปฏิบัติ join เราสามารถกําหนดชือ่ไดเลยSELECT Teaching_assingments .professor,

Class_schedule.timeFROM Teaching_assingmentsINNER JOIN Class_scheduleON Teaching_assingments.Course_Number=

Class_schedule.Course_NumberWHERE Teaching_assingments.dartment = ‘Mathematics’What is the result?


SELECT Persons.LastName, Persons.FirstName, Orders.OrderNoFROM PersonsINNER JOIN OrdersON Persons.P_Id=Orders.P_Id


ขอพึงระวัง !!!ผลลัพธที่ไดจากคําสั่ง select ใน SQL เรียกวา SQL Table ซึ่งจะไมถือวาเปน Relationตางจากผลลัพธที่ไดจากการใชงาน Operation on n-ary relation จะเปน Relation จากตาราง Teaching_assigments ผลลัพธจากการ “SELECT professor FROM Teaching_assignments” จะไดดัง Query1 ถาเปน projection operation P1 จะไดแค {cruz, farber, grammer, rosen}


ถาจะใหไดผลลัพธเหมือน projection ตองใช “SELECT DISTINCT professor FROM Teaching_assignments”


Equivalence Relationให A เปนเซตและ R เปน relation บน A. R จะเรียกวามีคุณสมบัติดังตอไปนี้

Reflexive, if for all a∈A, aRa; Symmetric, if for all a,b∈A wherever aRb holds, bRa must also hold;Transitive, if for all a,b,c ∈A, wherever aRb and bRc hold, aRc must also hold;

R เปน equivalence relation ก็ตอเมื่อมีคุณสมบัติครบทั้ง reflexive, symmetric, transitive


R is not reflexive, if there exists an a∈A such that (a,a)∈RR is not symmetric, if there exists a,b∈A such that (a,b)∈R but (b,a)∈RR is not transitive, if there exists a,b,c∈A such that (a,b)∈R,(b,c)∈R but (a,c) ∈R

ExampleA={a,b,c,d} R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a)}

พิจารณาวา R เปน equivalence relation หรือไม?


A={a,b,c,d} , R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,a),(d,d)}

a

c d

b


A={1,2,3,4}R เปนความสัมพันธนิยามโดย (x,y)∈R ไดถา x ≤ yR เปน equivalence relation?A=ZR เปนความสัมพันธนิยามโดย (x,y)∈R ไดถา x = yR เปน equivalence relation?


A=ZR เปนความสัมพันธ (a,b)∈Z ไดถาThe congruent modulo m relation on the set of

integers i.e. {<a, b>| a ≡ b(mod m)},การหาความสัมพันธ a ≡ b(mod m) สามารถหาไดดังนี้ (a-b)=mk โดยที่ k∈Z และโดยที่กําหนด m คาคงที่และm∈ Z+

ให m=4Reflexive, ให a∈Z จะไดวา a-a = 0 = m0, k=0, k∈Zเชน (3,3),(7,7),…. 3-3 = 4(0) , k=0, k∈Z


Symmetric, ให a,b∈Z จะไดวา a-b=mk, b-a=m(-k), k∈Z เชน (3,7),(7,3),.. 3-7=-4=4(-1) , 7-3=4=4(1)Transitive, ให ให a,b,c∈Z จะไดวา a-b=pm, b-c=qmp,q∈Zเชน (3,7), (7,15), (3,15) จะได 3-7=-4=4(-1) , 7-15=-8=4(-2), 3-15=-12=4(-3) p=-1, q=-2, p,q∈Zดังนัน้จะได R เปน equivalence relation บน ZR เรียกวา congruence modulo m


Equivalence Classes and Partitionsให R เปน equivalence relation บนเซต S สําหรับ a∈Sให[a] แทนเซตของสมาชิกของ S ที่

[a]={x|(a,x)∈R} เรียก [a] วาเปน equivalence class ของ a บนเซต SS/R={[a]|a ∈S} เรียกวา quotient set S by R

S={a,b,c,d} R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}[a]={a,b}, [b]={a,b}, [c]={c,d}, [d]={c,d}


Theorem ให R เปน equivalence relation บน AFor all a∈A,[a]≠φIf b∈[a] then [a]=[b] where a,b ∈AFor all a,b ∈A , ถาไม [a]=[b] ก็จะ [a]∩[b]=φA สามารถหาไดจากการ union equivalence class ทั้งหมดของ R

UAa

aA∈

= ][



Application of Equivalence Classesin Rough Set

Let U denote a finite and non-empty set called the universe. Let R ⊆ U×U and R be an equivalence relation that partitions U.

that create approximation aprR=(U,R). Let the partition be denoted as U/R ={C1,C2, …,Cn},

where Cn is an equivalence class of R.

Given an arbitrary set X ⊆ U. It may be describe X precisely in the approximation space aprR(U,R) by a pair of lower and upper approximations as below.


Reference set: A ⊆ U Lower approximation:

aprR(A) = R(A) = {x∈U | [x]R ⊆ A}

Upper approximation:aprR(A) = R(A) = {x∈U | [x]R ∩ A ≠ ∅}

[x]R are equivalence classes


ที่มา Rough set and Information Retrieval by Padmini Das-Gupta


T1={t1, t2, t3} T2={t4, t5} T3={t6, t7, t8} T4={t9, t10} T5={t11}D1={t1, t2, t4, t5, t6}D2={t4, t5}D3={t1, t4, t5}D4={t1, t4, t6, t9, t11}D5={t3, t7, t10}D6={t3, t7}D7={t1, t2, t3}D8={t1, t2, t3, t5, t6 , t9, t11}D9={t2, t4, t5}D10={t2, t5, t9, t10, t11}D11={t5, t11}

D1 and D2 are rough bottom equal iff R(D1) = R(D2)D1 and D2 are rough top equal iff R(D1) = R(D2)D1 and D2 are equal iff R(D1) = R(D2) and R(D1) = R(D2)


R(D1) ={T2}, R(D2) =?.... R(D11) =?R(D1) ={T1, T2, T3}, R(D2) =?.... R(D11) =?

Di and Dj are rough bottom equal iff R(Di) = R(Dj)Di and Dj are rough top equal iff R(Di) = R(Dj)Di and Dj are equal iff R(Di) = R(Dj) and R(Di) = R(Dj)

Family subset FR(Di) : Dj belong to Di if R(Dj) ⊂ R(Di)Family subset FR(Di) : Dj belong to Di if R(Dj) ⊂ R(Di)Family subset FR(Di) : Dj belong to Di if R(Dj) ⊂ R(Di) and R(Dj) ⊂ R(Di)


Closures Relationsให relation R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,2)} บนเซต A = {1,2,3}

คําถามใหหา Relation ที่เล็กที่สุดที่มี R เปนสับเซตและมีคุณสมบัติ Reflexive ?

R= {(1,1),(1,2),(2,1),(3,2),(2,2),(3,3)}

Reflexive Closure the reflexive closure of a relation R on a set A is the smallest reflexive relation on A that contains R.The reflexive closure S of a relation R on a set X is given by S=R ∪{(x,x) | x∈A}


Symmetric closure The symmetric closure of a relation R on a set A is the smallest symmetric relation on A that contains R.The symmetric closure S of a relation R on a set A

is given by S=R∪{(x,y),(y,x) | x,y∈A}


Transitive closureThe transitive closure of a relation R on a set A is the smallest transitive relation on A that contains R.

For example, if X is a set of airports xRy means "there is a direct flight from airport x to airport y",then the transitive closure of R on X is the relation "it is possible to fly from x to y in one or more flights."


After the transitive closure is constructed, as depicted in the following figure, in an O(1) operation one may determine that node d is reachable from node a.

ที่มา http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_Closure


การหา Transitive closure ของ Relation ใด ๆ สามารถหาไดจากR∞=R∪R2∪R3∪….. = ตัวอยาง

A={1,2,3,4}, R ={(1,1),(3,3),(1,3),(2,3),(3,2),(4,2)}R2={(1,1),(3,3),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3)}R3={(1,1),(3,3),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}R4={(1,1),(3,3),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}R∞= R∪R2∪R3∪ R4

U∞

=1n

nR


Directed walkให R เปน Relation บนเซต A และ a,b ∈ ADirected walk from a to b in R คือ aRa1, a1Ra2,…., akRb, หรืออาจเขียนเปน (a,a1),(a1,a2),…(ak,b)เราเรียก a1, a2,.. ak internal verticesa initial vertex, b terminal vertexdirected walk from a to b เรยีกวา Path from a to b ถา vertices ทุกตัวใน path นั้น ไมซ้ํากัน (distinct)


Let A = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} และ R มี relation ดังกราฟdirected walk จาก a ไป g ?Walk1: aRb, bRc, cRd, dRe, eRf, fRc, cRgมี internal vertices – b,c,d,e,f,c,มี c ซ้ําจงึไมเรียกวา path

Walk2: aRb, bRc, cRgมี internal vertices – b,c

ab

c

d

e

f

g

hi

j


Representing Relation using MatricesA = {1,2,3} B={1,2} และ Relation R = {(2,1),(3,1),(3,2)}

MR=

A = {a,b,c} R คือ Relative on A มีความสัมพันธดังนี้

MR=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

110100

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

011010101


R1∪R2 = MR1∨ MR2 (∨ = or)R1∩R2 = MR1∧ MR2 (∧ = and)R1

-1 = RT (Transpose)SοR = MR • MS (Boolean Produce)Example of Boolean produceA= B=

A•B=

A•B=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡101100

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000110101

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧)01()10()11()01()10()01()01()00()11()01()10()10()01()10()00()01()00()10(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡101000


ถา A เปนเซตใด ๆ R เปน relation บน A จะได R2=RοRจะได MRοR=MR•MR

ดังนัน้ในการหา Transitive closure ของ R ใด ๆ สามารถหาไดจากMR^n.=MR•MR •…. • MR

การหา MR^n นั้นใชเวลาในการคํานวณมาก Stephen Warshall นาํเสนอ Warshall’s algorithm ในการหา Transitive closure

n times


transclosure( int adjmat[max][max], int path[max][max]){

for(i = 0; i < max; i++)for(j = 0; j < max; j++)

path[i][j] = adjmat[i][j];

for(i = 0;i <max; i++)for(j = 0;j < max; j++)

if(path[j][i] == 1)for(k = 0; k < max; k++)

if(path[i][k] == 1)path[j][k] = 1;

}ตัวอยาง http://www.cs.nmsu.edu/~ipivkina/TransClosure/index.html


Partially Ordered SetsA relation R on a set S is called Antisymmetric if for all a,b ∈S, aRb and bRa then a=b

A relation R on a set S is called Symmetric if for all a,b∈Awherever aRb holds, bRa must also hold;

Example ให A={1,2,3} R1={(1,2),(2,3),(1,1)}, R1 is antisymmetric.R2={(1,2),(2,1),(2,2)}, R2 is not antisymmetric.ขอพึงระวัง !!!!antisymmetric ไมไดมคีวามหมายเปน negative ของ symmetric แตสามารถเกิดรวมกับ symmetric ได เชน ให A={1,2} R เปน relation บน A, R={(1,1),(2,2)} จะเห็นไดวา R เปนทั้ง symmetric และ antisymmetric


A relation R on set A called a partial order on A if R is reflexive, antisymmetric and transitive

Reflexive, if for all a∈A, aRa; Antisymmetric, if for all a,b∈A if aRb and bRahold then a=bTransitive, if for all a,b,c ∈A, if aRb and bRc hold, then aRc must also hold;

A set A together with a partial order relation R is called a partial ordered set or poset or (A,R)


ตัวอยาง The relation "x is even, y is odd" between a pair (x, y) of integers is antisymmetric:

ที่มา http://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetric_relation


ความสัมพันธนอยกวาเทากับ ≤ บนเซตใด ๆ จะเปน posetLet (S, ≤) be a poset and a,b∈S.

if either a ≤b or b ≤a, then we say that a and b are comparable.The poset (S, ≤) is called a linearly ordered set, or a totally ordered set or a chain, if for all a,b ∈S either a ≤b or b ≤a.


Lexicographic orderให (A, ≤) และ (B, ≤) เปน poset ทั้งคูA×B เปน relation โดยที่ (a,b)R(c,d) ถา a ≤c and b ≤d for all (a,b), (c,d) ∈ A×B เรียกวา product partial orderถา a<c หรือ (a=c และ b ≤d) เรียกวา lexicographic orderเขียนแทนโดย (a,b) (c,d)

Exampleถามี A1, A2,… An, n ≥1 เปน poset (Ai, ≤) i = 1,2,..n กําหนด Relation บน A1x A2 x… x An-1 x An

p

p


ให (a1, a2,…, an), (b1, b2,…, bn) ∈ A1x A2 x… x An-1 x An

ดังนั้น (a1, a2,…, an) (b1, b2,…, bn) ก็ตอเมื่อa1<b1 ora1=b1 and a2<b2 ora1=b1 and a2=b2 and a3<b3or….

a1=b1 and a2=b2 and a3<b3 …. and an-1=bn-1 and an<bn ora1=b1 and a2=b2 and a3<b3 …. and an-1=bn-1 and an=bn

p


In dictionary, the word mango comes before moneybecause of the letters in the second position: a<o.

2.relation and its application in computer

Documents