289.введение в динамику одномерных отображений учебное...

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ÔåäåðàöèèÔåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ

ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèì. Ï.Ã. Äåìèäîâà

Â.Ø. Áóðä

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÄÈÍÀÌÈÊÓÎÄÍÎÌÅÐÍÛÕ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÉ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

ÐåêîìåíäîâàíîÍàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòàäëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé Ìàòåìàòèêàè Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà

ßðîñëàâëü 2006

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ÓÄÊ 517.925ÁÁÊ Â16ÿ73

Á 91

ÐåêîìåíäîâàíîÐåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà

â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî èçäàíèÿ. Ïëàí 2006 ãîäà.Ðåöåíçåíòû:

ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ô. Áóòóçîâ;êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà

ßðîñëàâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà

Áóðä, Â.Ø. Ââåäåíèå â äèíàìèêó îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé:ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ø. Áóðä; ßðîñë. ãîñ. óí-ò. ßðîñëàâëü:

Á 91 ßðÃÓ, 2006. 104 ñ.ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6)

Êíèãà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè îäíîìåðíûõ äèñ-êðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì îäíîìó èç ñàìûõ ýôôåêòèâíûõìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ. Ââîäÿòñÿ îñíîâ-íûå ïîíÿòèÿ è äîêàçûâàþòñÿ îñíîâíûå òåîðåìû. Ðàññìàòðèâà-þòñÿ âîïðîñû áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò,èõ ñîñóùåñòâîâàíèÿ. Ïîäðîáíî èññëåäîâàíû íàèáîëåå ïðîñòûåíåëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ èíòåðâàëà.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå ½Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâ-íåíèÿ“ (áëîê ÎÏÄ) ïðåäíàçíà÷åíî ñòóäåíòàì ñïåöèàëüíîñòåé010100 Ìàòåìàòèêà è 010200 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîð-ìàòèêà î÷íîé ôîðìû îáó÷åíèÿ.Ðèñ. 14. Áèáëèîãð.: 32 íàçâ.

ÓÄÊ 517.925ÁÁÊ Â16ÿ73

ISBN 5-8397-0491-1 c© ßðîñëàâñêèé(978-5-8397-0491-6) ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà, 2006c© Áóðä Â.Ø., 2006


Îãëàâëåíèå

Ïðåäèñëîâèå 5

1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû 71.1. Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà . . . . . . . . . . . . 81.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîïðÿæåííîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Ãðóáûå îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5. Ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà

è ïðèòÿãèâàþùèå öèêëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèé 452.1. Êàñêàä áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. Öèêë ïåðèîäà 3

è ÷èñëî íåóñòîé÷èâûõ öèêëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1− x) . . . . . . . . . . . . . . 582.4. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x, r) = rx(1− x)

ïðè r > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.1. Ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç äâóõ ñèìâîëîâ . . . 732.4.2. Îòîáðàæåíèå ñäâèãà â Σ2 è îòîáðàæåíèå f(x, r)

ïðè r > 2 +√

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ïðèëîæåíèÿ 79

Ïðèëîæåíèå 1. Àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé . . . . . . . . 79Ïðèëîæåíèå 2. Ñîâåðøåííûå íèãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâàíà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Ïðèëîæåíèå 3. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ìíîæåñòâàè îòîáðàæåíèå f(x, r) = rx(1− x) ïðè r > 4 . . . . . . . . . . . . 88

3


4 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ïðèëîæåíèå 4. Îäíî êóñî÷íî-ëèíåéíîå ðàçðûâíîå îòîáðàæåíèå . 93Ïðèëîæåíèå 5. Öèêë ïåðèîäà 3 è õàîñ . . . . . . . . . . . . . . . 95Ïðèëîæåíèå 6. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ . . . . . . . . 95Ïðèëîæåíèå 7. Ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Ëèòåðàòóðà 102


ÏðåäèñëîâèåÂ îñíîâó íàñòîÿùåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåí ñïåöèàëüíûé êóðñ, êîòîðûé

÷èòàåòñÿ àâòîðîì ñòóäåíòàì ñïåöèàëüíîñòè “Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà“. Öåëüïîñîáèÿ äàòü äîñòóïíîå ñòóäåíòàì 3 4 êóðñîâ ââåäåíèå â êðóã âîïðîñîâ, ñâÿ-çàííûõ ñ ïîâåäåíèåì íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îïðåäåëÿ-åìûõ îäíîìåðíûìè îòîáðàæåíèÿìè. Ýòà òåìàòèêà â ïîñëåäíèå 25 ëåò âûçûâàåòîãðîìíûé èíòåðåñ, òàê êàê åå ìåòîäû è ðåçóëüòàòû ïðèìåíèìû ê áîëüøîìó÷èñëó âàæíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ îò ôèçèêè è õèìèè äî ýêîëîãèè è ýêîíîìèêè.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòîèò èç 2 ãëàâ, âêëþ÷àþùèõ 9 ïàðàãðàôîâ, è ñåìè ïðè-ëîæåíèé.

Â ïåðâîé ãëàâå èçëàãàþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà, ââîäÿòñÿîñíîâíûå ïîíÿòèÿ íåïîäâèæíûå òî÷êè, öèêëû. Îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû óñòîé-÷èâîñòè öèêëîâ, òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè îòîáðàæåíèé, ãðóáîñòè îòîáðà-æåíèé. Â òðåòüåì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâàîòîáðàæåíèé. Îïèñûâàþòñÿ ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè, âîçíèêàþùèå ïðè ïðîõî-æäåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà öèêëà ÷åðåç çíà÷åíèÿ ±1. Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñó-ùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà òèï ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñî-ñóùåñòâîâàòü. Â ÷åòâåðòîì ïàðàãðàôå îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû ñîñóùåñòâîâàíèÿïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ðàçíûõ ïåðèîäîâ. Ðàçâèâàåòñÿ îáùàÿ òåõíèêà, êîòîðàÿïîçâîëÿåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà k âûâåñòè ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâíåêîòîðûõ äðóãèõ ïåðèîäîâ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ ñîîòâåòñòâó-þùåãî íàïðàâëåííîãî ãðàôà. Â ïÿòîì ïàðàãðàôå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà Ñèí-ãåðà î ñâÿçè ìåæäó óñòîé÷èâîñòüþ öèêëîâ è êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè,ïîðîæäàþùåé äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà èçëîæåííîé òåîðèè âî âòîðîé ãëàâå äåòàëüíî èññëåäóåò-ñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé f(x, r) = rx(1 − x)ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà r îò 0 äî çíà÷åíèé r > 4. Ïîïóòíî îáñóæäàåòñÿ êàñêàäáèôóðêàöèé óäâîåíèÿ, ââîäÿòñÿ ïîñòîÿííûå Ôåéãåíáàóìà, èçëàãàþòñÿ ìåòîäûïîäñ÷åòà ÷èñëà íåóñòîé÷èâûõ öèêëîâ. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1−x) äàåòñÿäîñòàòî÷íî ïîëíîå îïèñàíèå äèíàìèêè. Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ îäíî èç âîçìîæ-íûõ îïðåäåëåíèé õàîòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âûøåóêàçàí-íîå îòîáðàæåíèå õàîòè÷íî. Èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x) = rx(1−x)ïðè r > 4. Ââîäèòñÿ è èçó÷àåòñÿ îòîáðàæåíèå ñäâèãà íà ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäî-âàòåëüíîñòåé èç äâóõ ñèìâîëîâ. Äàíî ïîëíîå îïèñàíèå äèíàìèêè îòîáðàæåíèÿf(x) = rx(1− x) ïðè r > 2 +

√5.

Â ñåìè ïðèëîæåíèÿõ îïèñûâàþòñÿ àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé, ïî-ñòðîåíèå íèãäå íå ïëîòíûõ ñîâåðøåííûõ ìíîæåñòâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé,îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîæåñòâ è ïðèìåíåíèå ýòèõ ïîíÿ-òèé ê èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè îòîáðàæåíèÿ f(x) = rx(1−x) ïðè 4 < r < 2+

√5,


6

äèíàìèêà îäíîãî êóñî÷íî-ëèíåéíîãî ðàçðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïîíÿòèå õàîñà ïîËè - Éîðêó, ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, ïî-êàçàòåëü Ëÿïóíîâà.

Â òåêñòå ïîñîáèÿ ñîäåðæèòñÿ ñâûøå ñîðîêà óïðàæíåíèé.Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòà-

òîâ ñíàáæåíî ñòðîãèìè äîêàçàòåëüñòâàìè. Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà ôèêñè-ðóåòñÿ çíàêîì ¤. Ññûëêè íà ëèòåðàòóðó îãðàíè÷èâàþòñÿ òîëüêî òåìè ìîíî-ãðàôèÿìè è ñòàòüÿìè, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ (ïîîäíîìåðíîé äèíàìèêå íàïèñàíû ñîòíè ðàáîò) .

Â çàêëþ÷åíèå âûðàæàþ áëàãîäàðíîñòü À.Þ. Óõàëîâó çà ïîìîùü â îôîðì-ëåíèè ðóêîïèñè ïîñîáèÿ.


Ãëàâà 1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû1.1. Ââåäåíèå

Îäíîìåðíàÿ äèñêðåòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòüþ

xn+1 = f(xn), n = 0, 1, . . . ,

ãäå f(x) ñêàëÿðíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâåòî÷åê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R. Äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ∈ R, ïðèíàäëåæàùåéîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f(x), íàçîâåì òðàåêòîðèåé èëè îðáèòîé O(x0)ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x0, f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))), . . . (1.1)

Â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, îïðåäåëÿåìóþôóíêöèåé f(x) = kx(k > 0). Äëÿ x0 ∈ R îðáèòà èìååò âèä

x0, kx0, k2x0, . . . , k

nx0, . . .

Åñëè k < 1, òî îðáèòà ëþáîé òî÷êè x0 6= 1 ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Åñëèk > 1, òî îðáèòà ñõîäèòñÿ ê ∞. Åñëè n = 1, òî îðáèòà O(x0) ñîñòîèò èç îäíîéòî÷êè x0:

x0, x0, . . .

Îñíîâíîé âîïðîñ, êîòîðûì ìû áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáûóçíàòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ îðáèòîé O(x0) ïðè n →∞, ò.å. ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþèòåðàöèé (1.1) äëÿ ðàçëè÷íûõ òî÷åê x0. Íàïðèìåð, åñëè f(x) = sin x, òî ëþáàÿîðáèòà ñîîòâåòñòâóþùåé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (èòåðàöèè ñèíóñà) ñõîäèòñÿ ê0 ïðè n →∞.

7


8 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû

1.1.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçàÏðèâåäåì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà. Áóäåì ðàñ-

ñìàòðèâàòü íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé x, îïðåäåëåííûå íà âåùå-ñòâåííîé ïðÿìîé R èëè â íåêîòîðîì çàìêíóòîì (îòêðûòîì) èíòåðâàëå I ýòîéïðÿìîé. Ôóíêöèþ f(x) áóäåì íàçûâàòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîé, åñëè f(x) 6= f(y),êàêîâû áû íè áûëè x 6= y. Åñëè ôóíêöèÿ f : I → J âçàèìíî îäíîçíà÷íà, òîñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1(y)(y = f(x), x = f−1(y)). Íàïðèìåð, åñëèf(x) = x3, òî f−1(x) = 3

√x. Îáå ôóíêöèè äåéñòâóþò èç R â R. Åñëè f(x) = tg x,

òî f−1(x) = arctg x. Çäåñü f(x) : (−π/2, π/2) → R, f−1(x) : R → (−π/2, π/2).Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì, åñëè îíà âçàèìíî îäíîçíà÷íà è îá-ðàòíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Íàïðèìåð, f(x) = tg x åñòü ãîìåîìîðôèçì èç(−π/2, π/2) â R. Åñëè f(x) ãîìåîìîðôèçì è f(x) äèôôåðåíöèðóåìà âìå-ñòå ñ îáðàòíîé ôóíêöèåé, òî f(x) íàçûâàåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì. Íàïðèìåð,f(x) = tg x ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, à f(x) = x3 ãîìåîìîðôèçìîì, íîíå äèôôåîìîðôèçìîì, òàê êàê îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1(x) = 3

√x íå èìååò ïðî-

èçâîäíîé â òî÷êå x = 0. Cóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé f(x) è g(x) îáîçíà÷èì ÷åðåçf(g(x)) = f(x) g(x), n êîìïîçèöèþ f(x) ñ ñîáîé îáîçíà÷èì

f (n)(x) = f(x) f(x) · · · f(x)︸︷︷︸nðàç

.

Åñëè ñóùåñòâóåò f−1(x), òî

f (−n)(x) = f−1(x) f−1(x) · · · f−1(x)︸︷︷︸nðàç

.

Ìû áóäåì â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü öåïíîå ïðàâèëî (äèôôåðåíöèðîâàíèåñëîæíîé ôóíêöèè):

[f(g(x))]′ = [f g]′ = f ′(g(x))g′(x).

Îòñþäà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, åñëè g(x) = f (n−1)(x), òî

[f (n)(x)]′ = f ′(f (n−1)(x))f ′(f (n−2)(x)) . . . f ′(f(x))f ′(x).

Íàïîìíèì åùå äâå ýëåìåíòàðíûå òåîðåìû èç àíàëèçà.

Òåîðåìà Ëàãðàíæà î ñðåäíåì çíà÷åíèè. Åñëè f(x) : [a, b] → R íåïðå-ðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c ∈ [a, b], ÷òî

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).


Ââåäåíèå 9

Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b],òî

|f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|, x, y ∈ [a, b].

Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ f ′(x) îãðàíè÷åíà íà [a, b] : |f ′(x)| ≤ K.

Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. Ïóñòü f : [a, b] → R íåïðåðûâíà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f(a) = u, f(b) = v. Òîãäà äëÿ ëþáîãî u < z < v ñóùåñòâóåòòî÷êà c, a ≤ c ≤ b òàêàÿ, ÷òî f(c) = z.

Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü I = [a, b] è ïóñòü f : I → I íåïðåðûâíàÿ ôóíê-öèÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà a ≤ c ≤ b òàêàÿ, ÷òîf(c) = c. (Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ôóíêöèè f(x) èëèíåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f(x).)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(x) = f(x) − x. Ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíà íà I.Ïóñòü f(a) > a, f(b) < b (èíà÷å a èëè b áóäåò íåïîäâèæíîé òî÷êîé äëÿ f(x)).Òîãäà g(a) > 0, g(b) < 0. Â ñèëó òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè ñóùåñòâóåòòî÷êà c, äëÿ êîòîðîé g(c) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, f(c) = c.

Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êèÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ïóñòü I = [a, b],f : I → I. Íàçîâåì ôóíêöèþ f(x) ñæèìàþùåé èëè ñæàòèåì íà I, åñëè

|f(x)− f(y)| ≤ q|x− y|, x, y ∈ I,

ãäå q < 1. Èç ñëåäñòâèÿ è îïðåäåëåíèÿ ñæèìàþùåé ôóíêöèè íåïîñðåäñòâåí-íî âûòåêàåò, ÷òî ñæèìàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò íà I åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþòî÷êó, ò.å. ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà (ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé). Ïóñòü f : I → I èf(x) ñæèìàþùàÿ íà I. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êàäëÿ f(x) íà I.

Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, íå èñïîëüçóþùåå îäíîìåð-íîñòü îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè) f(x).

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 è ïîñòðîèì ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü

x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . . , xn = f(xn−1), . . . (1.2)

Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó x∗ ∈ I.Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî

|x2 − x1| = |f(x1)− f(x0)| ≤ q|x1 − x0| = q|f(x0)− x0|,



|x3 − x2| = |f(x2)− f(x1)| ≤ q|x2 − x1| ≤ q2|f(x0)− x0|,· · · · · · · · · · · ·

|xn+1 − xn| = |f(xn)− f(xn−1)| ≤ qn|f(x0)− x0|.Äàëåå,

|xn+p − xn| ≤ |xn+p − xn+p−1|+ |xn+p−1 − xn+p−2|+ · · ·+ |xn+2 − xn+1|++|xn+1 − xn| ≤ (qn+p + · · ·+ qn)|f(x0)− x0| =

=qn − qn+p−1

1− q|f(x0)− x0|.

Òàê êàê q < 1, òî|xn+p − xn| < qn

1− q|f(x0)− x0|,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |xn+p − xn| → 0 ïðè n →∞ è â ñèëó ïðèíöèïà ñõîäèìîñòèÊîøè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x∗ ∈ I. Ïîêàæåì,÷òî f(x∗) = x∗. Â ñàìîì äåëå,

|x∗ − f(x∗)| ≤ |xn − x∗|+ |xn − f(x∗)| = |xn − x∗|+ |f(xn−1)− f(x∗)| ≤≤ |xn − x∗|+ q|xn−1 − x∗|.

Ïðè ëþáîì çàäàííîì ε > 0 è äîñòàòî÷íî áîëüøîì n

|xn − x∗| < ε

2, |xn−1 − x∗| < ε

2.

Ñëåäîâàòåëüíî,|x∗ − f(x∗)| < ε.

Òàê êàê ε > 0 ïðîèçâîëüíî, òî

|x∗ − f(x∗)| = 0 → x∗ = f(x∗).

Îñòàëîñü ïîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ïóñòü ñóùåñòâóþò òà-êèå äâå òî÷êè x∗, y∗, ÷òî f(x∗) = x∗, f(y∗) = y∗. Òîãäà

|x∗ − y∗| = |f(x∗)− f(y∗)| ≤ q|x∗ − y∗|.Íî q < 1. Ïîýòîìó |x∗ − y∗| = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x∗ = y∗. ¤

Ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.2) ê íåïîäâèæíîéòî÷êå. Â ñàìîì äåëå,

|x1 − x∗| = |f(x0)− f(x∗)| ≤ q|x0 − x∗|, |x2 − x∗| ≤ q2|x0 − x∗|.


Ââåäåíèå 11

Ïðîäîëæàÿ, ïîëó÷èì|xn − x∗| ≤ qn|x0 − x∗|.

Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê x∗ co cêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷å-ñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q.

Î÷åâèäíî, óñëîâèÿ ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé âûïîëíåíû, åñëè ïðî-èçâîäíàÿ f ′(x) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |f ′(x)| ≤ q < 1 ïðè x ∈ I.

Ïóñòü òåïåðü x∗ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f(x).

Òåîðåìà (îá îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè). Ïóñòü ñóùå-ñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f(x) â íåïîäâèæíîé òî÷êå x∗ è óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâó

|f ′(x∗)| = q < 1.

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = f(xn−1) (n = 0, 1, . . . ) cõîäèòñÿ ê òî÷êå x∗,åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 äîñòàòî÷íî áëèçêà ê x∗. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|xn − x∗| ≤ (q + ε)n|x0 − x∗|, (1.3)

ãäå ε ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (q + ε < 1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Èç ñâîéñòâ ïðî-èçâîäíîé âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî δ > 0, ÷òî èç |x0 − x∗| < δ ñëåäóåòíåðàâåíñòâî

|f(x0)− f(x∗)− f ′(x∗)(x0 − x∗)| ≤ ε|x0 − x∗|.Ïîýòîìó èç |x0 − x∗| < δ âûòåêàåò íåðàâåíñòâî

|f(x0)− x∗| ≤ |f(x0)− f(x∗)− f ′(x∗)(x0 − x∗)|++ |f ′(x∗)(x0 − x∗)| ≤ (q + ε)|x0 − x∗|. (1.4)

Òàê êàê q + ε < 1, òî òî÷êà x1 = f(x0) ëåæèò ê x∗ áëèæå, ÷åì x0 è |x1 − x∗| < δ.Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (1.4) ïîñëåäîâàòåëüíî ê x1, x2, . . . , xn, ïîëó÷èì íåðàâåí-ñòâî (1.3). ¤

Çàìå÷àíèå. Èç íåðàâåíñòâà (1.3) âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2)ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x∗ áûñòðåå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûìçíàìåíàòåëåì, åñëè f ′(x∗) = 0.

Â äàëüíåéøåì íàì ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõF (x, z), ãäå z áóäåò èãðàòü ðîëü ïàðàìåòðà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿF (x, z) îïðåäåëåíà ïðè |x− x0| ≤ β, |z − z0| ≤ α. Ôóíêöèþ F (x, z), çàâèñÿùóþîò ïàðàìåòðà z, íàçîâåì ðàâíîìåðíî ñæèìàþùåé (èëè ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì),åñëè ïðè âñåõ z èç |z − z0| ≤ α ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|F (x, z)− F (y, z)| ≤ q|x− y|, |x− x0| ≤ β, |y − x0| ≤ β,



ãäå q < 1 è q íå çàâèñèò îò z. Ïóñòü ôóíêöèÿ F (x, z) ïðè êàæäîì z ïðåîáðàçóåòèíòåðâàë |x− x0| ≤ β â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì. Òîãäà èç ïðèí-öèïà ñæàòûõ îòîáðàæåíèé âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî íà îòðåçêå|x− x0| ≤ β ðåøåíèÿ x = x(z) óðàâíåíèÿ

x = F (x, z).

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f(x, z), îïðåäåëåííóþ ïðè |x − x0| ≤ b, |z − z0| ≤ a.Ïóñòü

f(x0, z0) = 0,

ò.å. x0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿf(x, z) = 0 (1.5)

ïðè z = z0. Åñëè ïðè âñåõ z, áëèçêèõ ê z0, ñóùåñòâóþò áëèçêèå ê x0 ðåøåíèÿ x(z)óðàâíåíèÿ (1.4), òî ãîâîðÿò,÷òî óðàâíåíèå (1.4) îïðåäåëÿåò íåÿâíóþ ôóíêöèþx(z).

Îäíèì èç ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè íåÿâíîé ôóíê-öèè ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïðèíöèïå ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.

Òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè.Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, z) óäîâëåòâîðÿåò ñëå-äóþùèì óñëîâèÿì:

1) f(x, z) íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ x, z ïðè |x − x0| ≤ b,|z − z0| ≤ a è f(x0, z0) = 0,

2) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ fx(x, z), íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðå-ìåííûõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, z0),

3) fx(x0, z0) 6= 0.Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà α, β > 0, ÷òî äëÿ êàæäîãî z èç èíòåðâàëà

|z − z0| ≤ α óðàâíåíèå (1.5) èìååò â èíòåðâàëå |x − x0| ≤ β åäèíñòâåííîåðåøåíèå x∗(z). Ôóíêöèÿ x∗(z) íåïðåðûâíà â ïðîìåæóòêå |z − z0| ≤ α.

Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå

x = x− [fx(x0, z0)]−1f(x, z)

ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (1.5). Ïîêàæåì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïå-ðåìåííûõ ôóíêöèÿ

F (x, z) = x− [fx(x0, z0)]−1f(x, z)

ïðè íåêîòîðûõ α, β > 0 ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì èíòåðâàëà |x− x0| ≤ βïðè |z−z0| ≤ α. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå íåÿâíîé ôóíêöèè x∗(z).Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ

Fx(x, z) = 1− [fx(x0, z0)]−1fx(x, z)


Ââåäåíèå 13

íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ. Òàê êàê Fx(x0, z0) = 0, òî ìîæíîóêàçàòü òàêîå β > 0, ÷òî ïðè |x− x0| ≤ β, |z − z0| ≤ β âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

|Fx(x, z)| ≤ q < 1.

Òàê êàê F (x0, z0) = x0, òî ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå α ≤ β, ÷òî ïðè|z − z0| ≤ α

|F (x0, z)− x0| ≤ (1− q)β.

Òîãäà|F (x, z)− x0| ≤ |F (x, z)− F (x0, z)|+ |F (x0, z)− x0| ≤

≤ q|x− x0|+ (1− q)β ≤ qβ + (1− q)β = β.

Ñëåäîâàòåëüíî, F (x, z) ïðåîáðàçóåò èíòåðâàë |x−x0| ≤ β â ñåáÿ ïðè |z−z0| ≤ α.Äëÿ òåõ æå çíà÷åíèé z

|F (x, z)− F (y, z)| ≤ q|x− y| (|x− x0| ≤ β, |y − x0| ≤ β).

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ôóíêöèè x∗(z) äîêàçàíû. Ïîêàæåì íåïðåðûâ-íîñòü x∗(z) â òî÷êå z1 ∈ |z − z0| ≤ α. Äåéñòâèòåëüíî,

|x∗(z1)− x∗(z)| = |F (x∗(z1), z1)− F (x∗(z), z)| ≤

≤ |F (x∗(z1), z1)− F (x∗(z1), z)|+ |F (x∗(z1), z)− F (x∗(z), z)| ≤≤ |F (x∗(z1), z1)− F (x∗(z1), z)|+ q|x∗(z1)− x∗(z)|,

îòêóäà|x∗(z1)− x∗(z)| ≤ 1

1− q|F (x∗(z1), z1)− F (x∗(z1), z)|.

Èç íåïðåðûâíîñòè F (x, z) âûòåêàåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. ¤Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû. Ïóñòü f(x, z) = x2 + z2 − 1. Óðàâ-

íåíèåf(x, z) = x2 + z2 − 1 = 0

îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò íàïëîñêîñòè x, z. Åñëè f(x0, z0) = 0 è z0 > 0 (òî÷êà (x0, z0) ëåæèò íà âåðõíåéïîëóîêðóæíîñòè ), òî fz(x0, z0) = 2z0 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò íåÿâíàÿôóíêöèÿ z(x) òàêàÿ, ÷òî

f(x, z(x)) = 0

äëÿ âñåõ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê x0. Â äàííîì ñëó÷àå z(x) ìîæíî çàïèñàòü âÿâíîì âèäå z =

√1− x2. Ïóñòü òåïåðü f(x, y) = x5y4−xy5− yx2 +1. Î÷åâèäíî,

f(1, 1) = 0, fy(1, 1) = −2 6= 0. Â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò



ôóíêöèÿ y = p(x) òàêàÿ, ÷òî f(x, p(x)) = 0, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîì èíòåð-âàëå ñ öåíòðîì â òî÷êå 1. Âûðàçèòü ÿâíî ôóíêöèþ y = p(x) íå óäàåòñÿ.

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü íåÿâíîé ôóíêöèè. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåî-ðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíîé ôóíêöèè è èìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ ïðîèçâîäíàÿfz(x, z) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, z0), òî íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ x∗(z) äèô-ôåðåíöèðóåìà, à åå ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

dx∗(z)

dz= −fz(x, z)

fx(x, z). (1.6)

Åñëè áû ìîæíî áûëî äèôôåðåíöèðîâàòü òîæäåñòâî f(x∗(z), z) ≡ 0, òî ïî öåï-íîìó ïðàâèëó ñðàçó áû ïîëó÷èëè ôîðìóëó (1.6). Îäíàêî äèôôåðåíöèðóåìîñòüx∗(z) òðåáóåòñÿ åùå äîêàçàòü. Òàê êàê ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðî-èçâîäíûå fz(x, z) è fx(x, z), òî f(x, z) äèôôåðåíöèðóåìà è

f(x + h, z + k) = f(x, z) + hfx(x, z) + kfz(x, z) + ε1h + ε2k, (1.7)

ïðè÷åì ε1 è ε2 ñòðåìÿòñÿ ê 0 âìåñòå ñ h è k. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèåïàðû òî÷åê (x, z), (x+h, z+k), êîòîðûå ëåæàò â îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíîéôóíêöèè, ïðè÷åì x = x∗(z), x + h = x∗(z + k). Äëÿ òàêèõ òî÷åê f(x, z) = 0,f(x + h, z + k) = 0 è ðàâåíñòâî (1.7) ïðèìåò âèä

0 = hfx(x, z) + kfz(x, z) + ε1h + ε2k. (1.8)

Òàê êàê ôóíêöèÿ x∗(z) íåïðåðûâíà, òî ïðè k → 0 áóäåò è h → 0 è âìåñòå ñíèìè è ε1 → 0 è ε2 → 0. Ðàçäåëèâ (1.8) íà kfx(x, z) 6= 0, ïîëó÷èì

(1 +

ε1

fx

)h

k+

fz

fx+

ε2

fx= 0.

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè k → 0, ïîëó÷èì

limk→0

h

k+

fz

fx= 0.

Ýòî ðàâåíñòâî è äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà

limk→0

h

k= lim

k→0

x∗(z + k)− x∗(z)

k=

dx∗(z)

dz.

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü x∗(z) è ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äîêàçàíû.


1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ 15

1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿÌû óæå ââåëè ïîíÿòèå íåïîäâèæíîé òî÷êè.Îïðåäåëåíèå 1.1. Òî÷êà x è îðáèòà O(x) íàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ïå-

ðèîäà l, åñëèf (l)(x) = x, íî f (j)(x) 6= x äëÿ 0 < j < l.

Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 2 ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê x0, x1 = f(x0)(f (2)(x0) = x0, f (2)(x1) = x1). Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 3 ñîñòîèò èç òðåõòî÷åê x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f (2)(x0). Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà lñîñòîèò èç l òî÷åê.

Ïðèâåäåì ïðèìåðû. Ôóíêöèÿ f(x) = x3 èìååò íåïîäâèæíûå òî÷êè 0, 1 è −1è íå èìååò äðóãèõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2 − 1 èìååìíåïîäâèæíûå òî÷êè 1±√5

2 , à òî÷êè 0,−1 òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà2.

Îïðåäåëåíèå 1.2. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ïðåäïåðèîäè÷åñêîé, åñëè f (i)(x) äëÿíåêîòîðîãî i ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé äëÿ f(x).

Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2 òî÷êà x = 1 ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé, àòî÷êà x = −1 ïðåäíåïîäâèæíîé, òàê êàê f(−1) = 1. Äëÿ ôóíêöèè f(x) == x2 − 1 òî÷êà 1 áóäåò ïðåäïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé, òàê êàê f(1) = 0, çà îäíóèòåðàöèþ (îäèí øàã) ìû ïîïàäàåì â ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ ïðè-òÿãèâàþùåé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U ýòîé òî÷êè, ÷òî fU ⊂ U èlimn→∞

f (n)(x) = x0 äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ U .Îïðåäåëåíèå 1.4. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ îòòàë-

êèâàþùåé, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ýòîé òî÷êè, êîòîðóþ êàæäàÿ òî÷êàèç ìíîæåñòâà U \x0 ïîêèäàåò çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ò.å. äëÿ êàæäîãî x ∈ U \x0íàéäåòñÿ òàêîå n = n(x), ÷òî f (n)(x) /∈ U .

Òåîðåìà 1.1. Åñëè òî÷êà x0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f(x) è|f ′(x0)| < 1, òî òî÷êà x0 ïðèòÿãèâàþùàÿ. Åñëè æå |f ′(x0)| > 1, òî òî÷êàx0 îòòàëêèâàþùàÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè |f ′(x0)| < 1, òî ñóùåñòâóåò ε > 0, ÷òî |f ′(x)| ≤ q < 1ïðè x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]. Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì çíà÷åíèè

|f(x)− x0| = |f(x)− f(x0)| ≤ q|x− x0|.

Ñëåäîâàòåëüíî, f(x) ∈ [x0 − ε, x0 + ε] è òî÷êà f(x) áëèæå ê x0, ÷åì òî÷êà x.Ïðîäîëæàÿ îöåíêè, ïîëó÷èì

|f (n)(x)− x0| ≤ qn|x− x0|.



Ïîýòîìó f (n)(x) → x0 ïðè n →∞. Òî÷êà x0 ïðèòÿãèâàþùàÿ. Åñëè |f ′(x0)| > 1,òî ñóùåñòâóåò ε > 0, ÷òî |f ′(x)| ≥ q > 1 ïðè x ∈ [x0−ε, x0 +ε]. Òîãäà ïî òåîðåìåî ñðåäíåì çíà÷åíèè

|f(x)− x0| = |f(x)− f(x0)| ≥ q|x− x0| > |x− x0|.Åñëè f(x) åùå ëåæèò â [x0 − ε, x0 + ε], òî, ïðîäîëæàÿ îöåíêè, ïîëó÷èì

|f (n)(x)− x0| ≥ qn|x− x0|.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå n, ïðè êîòîðîì f (n)(x) /∈ [x0 − ε, x0 + ε]. ¤

Ïðèìåðû. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x3 èìååì f ′(x) = 3x2. Îòñþäà ÿñíî, ÷òîíåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 = 0 ôóíêöèè f(x) ïðèòÿãèâàþùàÿ, à íåïîäâèæíûåòî÷êè −1, 1 îòòàëêèâàþùèå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2−1

íåïîäâèæíûå òî÷êè x0,1 = 1±√52 îòòàëêèâàþùèå.

Îòìåòèì, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ìîæåò áûòü ïðèòÿãèâàþùåé â ñëó÷àå, êî-ãäà |f ′(x)| = 1. Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f(x) = x−a(x−β)3 íåïîäâèæíàÿ òî÷êàx = β ïðè a > 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, õîòÿ f ′(β) = 1.

Îïðåäåëåíèå 1.5. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà x0 ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèè f(x)íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè x0 êàê íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f (l)(x)ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé. Ýòà ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ îòòàëêèâàþùåé,åñëè x0 êàê íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ f (l)(x) ÿâëÿåòñÿ îòòàëêèâàþùåé.

Èç òåîðåìû 1.1 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 1.2. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà x0 ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèè f(x) áóäåòïðèòÿãèâàþùåé, åñëè ∣∣∣∣

d

dxf (l)(x0)

∣∣∣∣ < 1,

è îòòàëêèâàþùåé, åñëè ∣∣∣∣d

dxf (l)(x0)

∣∣∣∣ > 1.

×èñëî λ = ddxf (l)(x0) íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòîðîì ïåðèîäè÷åñêîé îðáè-

òû (öèêëà). Èç öåïíîãî ïðàâèëà ñëåäóåò, ÷òî

d

dxf (l)(x0) = f ′(f (l−1)(x0))f

′(f (l−2)(x0)) · · · f ′(x0).

Ïîýòîìó ìóëüòèïëèêàòîð îäèíàêîâ äëÿ âñåõ òî÷åê öèêëà x0, x1 = f(x0), . . . ,xl = f (l−1)(x0). Â äàëüíåéøåì áóäåì ãîâîðèòü î ïðèòÿãèâàþùåì èëè îòòàë-êèâàþùåì öèêëå, åñëè âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé òåîðåìû 1.2, òàê êàê âñå


Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ 17

òî÷êè öèêëà îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþùèìè.Öèêë íàçûâàåòñÿ ñóïåðóñòîé÷èâûì, åñëè ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà ðàâåí íóëþ.Â ýòîì ñëó÷àå èç òåîðåìû îá îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè ñëåäóåò,÷òî ïðèòÿãèâàåìàÿ ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé òðàåêòîðèÿ ñõîäèòñÿ ê íåé áûñòðååãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çíàìåíàòåëåì.

Ïðèìåð. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2 − 1 öèêë 0,−1 ñóïåðóñòîé÷èâûé, òàê êàê

d

dxf (2)(0) = f ′(0)f ′(−1) = 0.

Áóäåì ãîâîðèòü îá èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè íåïîäâèæíûõ òî÷åê è öèêëîâäëÿ ôóíêöèè f(x), åñëè èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î òîì, êîãäà ýòè íåïîäâèæíûå òî÷êèè öèêëû ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþùèìè.

Óïðàæíåíèÿ1. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèéà) f(x) = 2x− x2,á) f(x) = 2x− 2x2,â) f(x) = 2, 44x− x3,ã) f(x) = arctan x,

ä) f(x) =ax2 + bx(1− x)

ax2 + 2bx(1− x) + c(1− x)2 , 0 ≤ x ≤ 1, b > a, b > c.

e) f(x) = 1 +√

3 + x, x + 3 ≥ 0.2. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèè

f(x) =2x

1 + x3 .

Ñóùåñòâóþò ëè öèêëû ïåðèîäà 2?3. Äîêàçàòü, ÷òî ãîìåîìîðôèçì âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R íå èìååò ïåðèîäè÷å-

ñêèõ òî÷åê ñ íàèìåíüøèì ïåðèîäîì áîëüøå 2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ãîìåîìîðôèçìà,êîòîðûé èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2.

4. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è öèêëû ïåðèîäà 2 è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷è-âîñòü äëÿ ôóíêöèé

à) f(x) = 3, 2x− 3, 2x2,á) f(x) = 2, 2x3 + 1, 2x.â)

f(x) =

2x, 0 ≤ x ≤ 1/2,2− 2x, 1/2 ≤ x ≤ 1.



ã) F (x) = x + ∆tf(x), ãäå ∆t > 0, à

f(x) =

√−x, ïðè x ≤ 0,−√x, ïðè x > 0.

ä) f(x) = (c− 1/2)x2 + (1/2− 2c)x + c, ãäå 0 < c ≤ 1.5. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è öèêëû ïåðèîäîâ 2 è 3 è èññëåäîâàòü èõ óñòîé-

÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèè f(x) = 1− 2|x|.6. Ðàññìîòðèì êóñî÷íî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå

f(x) =

13x + 2

3 + 13p , 0 ≤ x ≤ 1− 1

p ,

p− px, 1− 1p ≤ x ≤ 1,

ãäå p > 1. Íàéòè óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè öèêëîâ ïåðèîäà 2 è 3.

1.2.1. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîïðÿæåííîñòüÏóñòü çàäàíà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà

xn+1 = f(xn), n = 0, 1, . . . , (1.9)

ãäå f(x) : A → A íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïóñòü h(x) ãîìåîìîðôèçì, äåé-ñòâóþùèé èç B â A. Ñäåëàåì â (1.9) çàìåíó:

xn = h(yn).

Òîãäà ïîëó÷èìh(yn+1) = f(h(yn)),

èëèyn+1 = h−1(f(h(yn))) = g(yn), n = 0, 1, . . . (1.10)

Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ g = h−1 f h íåïðåðûâíà è äåéñòâóåò èç B â B. Êàæäîéîðáèòå

x0, f(x0), f (2)(x0), . . .

äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (1.9) ñîîòâåòñòâóåò îðáèòà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (1.10):

y0 = h−1(x0), y1 = h−1(f(h(x0))), . . . .

Åñëè x0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f(x), òî y0 = h−1(x0) íåïîäâèæíàÿòî÷êà äëÿ ôóíêöèè g(x). Åñëè x0 ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèèf(x)(f (l)(x0) = x0), òî

(h−1f(h(y0))(l) = h−1f (l)(h(y0)) = y0,



ò.å. y0 ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà l äëÿ g(y). Îáðàòíî, åñëè y0 íåïîäâèæíàÿèëè ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè g(y), òî x0 = h−1(y0) íåïîäâèæíàÿ èëèïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f(x).

Îïðåäåëåíèå 1.6. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû (1.9) è (1.10) íàçûâàþòñÿ òîïî-ëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè, èëè ôóíêöèè f(x) è g(y) = h−1(f(h(y)) íàçûâàþòñÿòîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè.

Èíà÷å ãîâîðÿ, äâå ôóíêöèè f : A → A è g : B → B òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿ-æåíû, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì h : A → B òàêîé, ÷òî h g = f h. Óòîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé îäèíàêîâîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõ è ïåðè-îäè÷åñêèõ òî÷åê. Åñëè x0 íåïîäâèæíàÿ èëè ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà y0 äëÿ g(y) òàêæå áóäåòïðèòÿãèâàþùåé. Åñëè h(y) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî èç ðàâåíñòâà

h g(l) = f (l) h

ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ öåïíîãî ïðàâèëà, ÷òî ìóëüòèïëèêàòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê äëÿ ôóíêöèé f(x) è g(y) ñîâïàäàþò. Åñëè òî÷êà x0 òàêîâà,÷òî f ′(x0) = 0 (òàêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f(x)),òî òî÷êà y0 ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(y).

Ïðèìåðû. Ïóñòü f(x) = x2−1 è x = h(y) = y+c (c > 0). Òîãäà y = h−1(x) == x− c è g(y) = h−1[(y + c)2 − 1] = y2 + 2cy + c2 − c− 1 òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿ-æåíà f(x). Åñëè x = h(y) = y3, òî ôóíêöèÿ g(y) = (y6 − 1)1/3 òîïîëîãè÷åñêèñîïðÿæåíà f(x) = x2 − 1.

Óïðàæíåíèÿ1. Áóäåì ïèñàòü f ∼ g, åñëè ôóíêöèè f(x) è g(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæå-

íû. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè åñòü îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å.

à) f ∼ f ,á) f ∼ g òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g ∼ f ,â) åñëè f1 ∼ f2, f2 ∼ f3, òî f1 ∼ f3.

2. Ïóñòü f(x) = x2, g(x) = x2 +ax+ b(x ∈ R). Îïèøèòå ìíîæåñòâî òåõ ïàð(a, b), äëÿ êîòîðûõ f ∼ g.

3. Äëÿ êàêèõ a ∈ R ìîæíî óêàçàòü òàêîå b ∈ R, ÷òî ôóíêöèè f(x) = 1− ax2

è g(x) = bx(1− x)(x ∈ R) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíû? Îïèøèòå ìíîæåñòâî âñåõâîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì ÷èñåë.



1.2.2. Ãðóáûå îòîáðàæåíèÿÒàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûå îòîáðàæåíèÿ

îáëàäàþò îäèíàêîâîé äèíàìèêîé. Ñ ïîíÿòèåì òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòèòåñíî ñâÿçàíà êîíöåïöèÿ ãðóáîñòè (ñòðóêòóðíîé óñòîé÷èâîñòè) äèíàìè÷åñêîéñèñòåìû, êîòîðàÿ âàæíà â ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îáñóæäå-íèå ïîíÿòèÿ ãðóáîñòè íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ áëèçîñòè äâóõ îòîáðàæåíèé (ôóíê-öèé).

Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü f(x) è g(x) äâå ãëàäêèå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûåíà R = (−∞, +∞). C0-ðàññòîÿíèå ìåæäó f(x) è g(x) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

d0(f, g) = supx∈R

|f(x)− g(x)|.

Cr-ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

dr(f, g) = supx∈R

|f(x)− g(x)|, |f ′(x)− g′(x)|, . . . , | dr

dxrf(x)− dr

dxrg(x)|.

Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå ðàññòîÿíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè f(x) è g(x) íà èí-òåðâàëå J = [a, b]. Îòìåòèì, ÷òî Cr-ðàññòîÿíèå èñïîëüçóåòñÿ êàê ìåðà áëèçîñòèäâóõ ôóíêöèé, à íå êàê ãëîáàëüíàÿ ìåòðèêà äëÿ âñåõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð, C0-ðàññòîÿíèå äëÿ ôóíêöèé f1(x) = 2x è g2(x) = (2 + ε)x ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè, àôóíêöèè f2(x) = 2x è g2(x) = 2x + ε ÿâëÿþòñÿ Cr-ε áëèçêèìè äëÿ âñåõ r. Íàïðîìåæóòêå J = [0, 5] C0-ðàññòîÿíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè f1(x) è g1(x) ðàâíî 5|ε|.

Îïðåäåëåíèå 1.8. Ïóñòü f : J → J . Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå f(x) ÿâëÿ-åòñÿ Cr-ãðóáûì (Cr-ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì) íà èíòåðâàëå J , åñëè ñóùåñòâóåòòàêîå ε > 0, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå g(x), äåéñòâóþùåå íà èíòåðâàëå J , äëÿêîòîðîãî dr(f, g) < ε, òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíî îòîáðàæåíèþ f(x).

Îïèñàíèå êëàññà ãðóáûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé çàäà÷åé.Ïðèâåäåì ïðèìåð äîêàçàòåëüñòâà ãðóáîñòè êîíêðåòíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ýòî äîêà-çàòåëüñòâî íàìåòèì òîëüêî â îáùèõ ÷åðòàõ. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f(x) = 1

2x.Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ C1-ãðóáûì íà R. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåð-æäåíèÿ íàì íóæíî ïîêàçàòü ñëåäóþùåå. Ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0, ÷òî, åñëèd1(f, g) < ε, òîãäà f(x) è g(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíû. Ïîêàæåì, ÷òî ãîäèòñÿëþáîå ε < 1/2. Åñëè d1(f, g) < 1/2, òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 0 < g′(x) < 1äëÿ âñåõ x ∈ R. Â ÷àñòíîñòè, g(x) âîçðàñòàåò. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî g(x) èìååòåäèíñòâåííóþ ïðèòÿãèâàþùóþ òî÷êó p ∈ R è èòåðàöèè ëþáîé òî÷êè x ∈ Rñòðåìÿòñÿ ê p ïðè èòåðàöèÿõ. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî |g′(x)| < 1 è,ñëåäîâàòåëüíî, g(x) ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíî ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì.



Òåïåðü íåîáõîäèìî ñêîíñòðóèðîâàòü ñîïðÿãàþùóþ ôóíêöèþ h(x). Ââåäåìâ äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè îòîáðà-æåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïàðó èíòåðâàëîâ 5 < |x| ≤ 10. Îðáèòà ëþáîé òî÷êè äëÿîòîáðàæåíèÿ f(x) (èñêëþ÷àÿ òî÷êó 0) ìîæåò ïîïàñòü â êàæäûé èç ýòèõ èíòåð-âàëîâ òîëüêî îäèí ðàç. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x) òàêæå ìîæíî íàéòè ïîäîáíóþôóíäàìåíòàëüíóþ îáëàñòü. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èíòåðâàëû g(10) < x ≤ 10è −10 ≤ x < g(−10) îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x),ò.å. îðáèòà ëþáîé òî÷êè, êðîìå íåïîäâèæíîé, äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x) ìîæåò ïî-ïàñòü â êàæäûé èç ýòèõ èíòåðâàëîâ òîëüêî îäèí ðàç. Îïðåäåëèì h(x) íà èí-òåðâàëàõ [5, 10] è [−10,−5] êàê ëèíåéíóþ ôóíêöèþ h : [5, 10] → [g(10), 10], h :[−10,−5] → [−10, g(−10)]. Òðåáóåì, ÷òîáû h(x) áûëà âîçðàñòàþùåé, òàê ÷òîh(±10) = ±10. Ðàñïðîñòðàíèì îïðåäåëåíèå h(x) íà âñå äðóãèå òî÷êè ñëåäó-þùèì îáðàçîì. Ïóñòü x 6= 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå n, ÷òî f (n)(x) ïðè-íàäëåæèò ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè äëÿ f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ hg(x)êîððåêòíî îïðåäåëåíà. Òåïåðü ïîëîæèì h(x) = g(−n)hf (n)(x). Ñëåäîâàòåëüíî,ïîëó÷èì g(n) h(x) = h f (n)(x). Ïðèìåíÿÿ òó æå êîíñòðóêöèþ ê f(x), ïîëó÷èìg h(x) = hf(x). Íàêîíåö, ïîëîæèì h(0) = p. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïðåäåëåííîåòàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèå h(x) ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.

Âîçìîæíî, áîëåå âàæíûì, ÷åì âîïðîñ î ãðóáîñòè îòîáðàæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ âî-ïðîñ î òîì, êîãäà îòîáðàæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ãðóáûì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèéïðèìåð. Ïóñòü f0(x) = x−x2. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî ïðèòÿãè-âàþùåé äëÿ òî÷åê x0 ∈ (0, 1), íî f ′(0) = 1. Âîçüìåì ôóíêöèþ fδ(x) = x−x2 +δ.Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ fδ(x) ÿâëÿåòñÿ Cr − δ-áëèçêîé ê ôóíêöèè f0(x). Ôóíêöèÿfδ(x) èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè, êîãäà δ > 0, è íè îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷-êè, êîãäà δ < 0. Òàêèì îáðàçîì, fδ(x) íå ìîæåò èìåòü òàêóþ æå äèíàìèêó êàêf0(x). Îòîáðàæåíèå f0(x) íå ÿâëÿåòñÿ ãðóáûì.

Ïåðå÷èñëèì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ãðóáîñòè îòîáðàæåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.9. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà p ïåðèîäà k îòîáðàæåíèÿ f(x) íà-çûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé, åñëè0 6=

∣∣∣∣d

dxf (n)(p)

∣∣∣∣ 6= 1.

Åñëè îòîáðàæåíèå f(x) ÿâëÿåòñÿ Cr-ãðóáûì, òî êàæäàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îð-áèòà îòîáðàæåíèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé (è, â ÷àñòíîñòè, f(x) èìååòòîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê êàæäîãî ïåðèîäà). Åñëè îòîáðàæå-íèå f(x) ÿâëÿåòñÿ C1-ãðóáûì, òî f(x) íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Åñëè îòîá-ðàæåíèå f(x) ÿâëÿåòñÿ Cr-ãðóáûì (r ≥ 2), òî âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè f(x) áóäóòíåâûðîæäåííûìè (êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x0 äëÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé,åñëè f ′′(x0) 6= 0). Äîêàçàòåëüñòâî âûøåïåðå÷èñëåííûõ óòâåðæäåíèé âûõîäèò çàðàìêè íàñòîÿùåé êíèãè.



Ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ C1-ãðóáîé ëîêàëüíî. Ïîä ýòèì ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòüíåïîäâèæíîé òî÷êè è ÷èñëî ε > 0 òàêèå, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå g(x) ÿâëÿåòñÿC1 − ε-áëèçêèì ê f(x) íà ýòîé îêðåñòíîñòè, òî f(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíîg(x) íà ýòîé îêðåñòíîñòè. Â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðàÿïðèíàäëåæèò Ãðîáìàíó è Õàðòìàíó.

Òåîðåìà. Ïóñòü p ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ îòîáðàæå-íèÿ f(x). Òîãäà ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòè U òî÷êè p è V òî÷êè 0 è ãîìåî-ìîðôèçì h : U → R, êîòîðûé ñîïðÿãàåò f(x) íà U è ëèíåéíîå îòîáðàæåíèål(x) = f ′(p)x íà V .

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû, êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå,ìû òàêæå íå ïðèâîäèì.

1.3. Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèèÅñëè îäíîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ, òî èõ èç-

ìåíåíèå ìîæåò ïðèâîäèòü ê ðàçëè÷íûì êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì â ïîâåäåíèèñèñòåìû. Íàèáîëåå ïðîñòûå áèôóðêàöèè öèêëîâ, èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ñâî-äèòñÿ ê ëîêàëüíîìó èçó÷åíèþ îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè) â îêðåñòíîñòè îäíîé èëèíåñêîëüêèõ òî÷åê, îáðàçóþùèõ öèêë.

Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c), çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà c, èçìåíÿþ-ùåãîñÿ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c = c0íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè ôóíêöèÿ f(x, c) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíà ôóíê-öèè f(x, c0) äëÿ c äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê c0. Åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c íå ðå-ãóëÿðíî, òî îíî íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííûì çíà÷åíèåì. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâîðåãóëÿðíûõ òî÷åê îòêðûòî. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé êàêäîïîëíèòåëüíîå ê ìíîæåñòâó ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, ò.å.ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ öèêëàìè ôóíê-öèè f(x, c). Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, c) ïðè çíà÷åíèè c = c0 èìååò ïåðèîäè÷åñêóþòî÷êó ïåðèîäà k, ò.å. f (k)(p, c0) = p. Åñëè λ(p) ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà, òî ïðè|λ(p)| < 1 öèêë ïðèòÿãèâàþùèé, à ïðè |λ(p)| > 1 öèêë îòòàëêèâàþùèé. Åñëèλ(p) 6= 1, òî â îêðåñòíîñòè c0 ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî öèêëîâ p(c)(p(c0) = p) ïåðè-îäà k äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé f(x, c), ãëàäêî çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà c. Äîêàçà-òåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñëåäóåò èç ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ê óðàâ-íåíèþ φ(x, c) = f (k)(x, c)−x = 0, òàê êàê φ(p, c0) = 0, dφ(x,c)

dx

∣∣∣(p,c0)

= λ(p)−1 6= 0.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî öèêëû ïåðèîäà k îáðàçóþò ãëàäêóþ âåòâü.


Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè 23

Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ñ íàèìåíüøèì ïå-ðèîäîì k ìîæåò èçìåíèòüñÿ òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ c, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåòòàêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà p ïåðèîäà k, ÷òî λ(p) = 1. Óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷å-ñêîé òî÷êè èçìåíÿåòñÿ ïðè |λ(p)| = 1. Ëîêàëüíàÿ òåîðèÿ áèôóðêàöèé îïèñûâàåòêà÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî â ñëó÷àÿõ, êîãäà ìóëüòèïëè-êàòîð öèêëà ïðîõîäèò ÷åðåç çíà÷åíèÿ ±1. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿf (k)(x, c) èìååò òðåòüè íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî x è c.

Ïðåäëîæåíèå 1.1. Ïóñòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c) óäîâëåòâîðÿåò óñëî-âèÿì

1) f (k)(x0, c0) = x0,

2) ∂f (k)

∂x(x0, c0) = λ(x0) = 1,

3) ∂2f (k)

∂x2 (x0, c0) = λ′(x0) > 0,

4) ∂f (k)

∂c(x0, c0) > 0.

Òîãäà ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, c0) è (c0, c2) è ε > 0 òàêèå, ÷òî åñëèc ∈ (c1, c0), òî f (k)(x, c) èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè â (x0 − ε, x0 + ε), îäíàèç íèõ ïðèòÿãèâàþùàÿ, à äðóãàÿ îòòàëêèâàþùàÿ. Åñëè æå c ∈ (c0, c2), òîf (k)(x, c) íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê â (x0 − ε, x0 + ε).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì g(x, c) = f (k)(x, c)− x. Òàê êàêg(x0, c0) = 0, ∂g

∂x(x0, c0) = 0, ∂g∂c(x0, c0) > 0, òî â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè

ñóùåñòâóåò ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ c = h(x) òàêàÿ, ÷òî c0 = h(x0) è

g(x, h(x)) ≡ 0 (1.11)

â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, c0). Äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî (1.11), ïî-ëó÷àåì

gx(x, h(x)) + gc(x, h(x))dh

dx= 0. (1.12)

Îòñþäàdh

dx(x0) = 0,

òàê êàê gx(x0, c0) = 0. Äèôôåðåíöèðóÿ (1.12), ïîëó÷èì

gxx(x, h(x)) + 2gxc(x, h(x))dh

dx+ gcc(x, h(x))

(dh

dx

)2

+ gc(x, h(x))d2h

dx2 = 0.

Â òî÷êå x = x0

gxx(x0, c0) + gc(x0, c0)d2h

dx2 (x0) = 0.



Îòñþäàd2h

dx2 (x0) = −gxx(x0, c0)

gc(x0, c0)< 0.

Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà x0 ýòî òî÷êà ìàêñèìóìà êðè-âîé c = h(x), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êðèâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê ôóíêöèè f (k)(x, c) :f (k)(x, h(x)) = x. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè c > c0, òî íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåò, à ïðèc < c0 ïîÿâëÿþòñÿ äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè (äâå ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäàk). Âîïðîñ î òîì, êîãäà ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþ-ùèìè, ðåøàåòñÿ ñðàçó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ∂

∂xf (k)(x, h(x)) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿx â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, c0), òàê êàê fxx(x0, c0) 6= 0. ¤

Íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå (ðèñ. 1.1) íèæíÿÿ âåòâü ñîñòîèò èç ïðèòÿãèâàþùèõïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê (èçîáðàæåíà ñïëîøíîé ëèíèåé), à âåðõíÿÿ âåòâü (èçîáðà-æåíà ïóíêòèðîì) èç îòòàëêèâàþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê.

Ðèñ. 1.1. Áèôóðêàöèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê

Çàìå÷àíèå. Åñëè èçìåíèòü çíàê îäíîãî èç íåðàâåíñòâ 3) èëè 4), òî ìåíÿåòñÿðîëü èíòåðâàëîâ (c1, c0) è (c0, c2).

Òàêèì îáðàçîì, â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0, ãäå ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà λ(x0) = 1,ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà c ïðîèñõîäèò ðîæäåíèå äâóõ öèêëîâ ïåðèîäà k ëèáîèñ÷åçíîâåíèå öèêëîâ ïåðèîäà k. Åñëè ïðè c < c0 áûëî äâà öèêëà ïåðèîäà k, òîïðè c = c0 îíè ñëèâàþòñÿ â îäèí è ïðè c > c0 èñ÷åçàþò. Åñëè æå ïðè c < c0 íåáûëî öèêëîâ ïåðèîäà k, à ïðè c = c0 ïîÿâëÿåòñÿ öèêë ïåðèîäà k ñ ìóëüòèïëè-êàòîðîì, ðàâíûì 1, òî ïðè c > c0 èç íåãî ðîæäàåòñÿ äâà öèêëà ïåðèîäà k, îäèíèç êîòîðûõ ïðèòÿãèâàþùèé, à äðóãîé îòòàëêèâàþùèé.

Ïðåäëîæåíèå 1.2 (áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà). Ïóñòü äëÿ ñåìåé-ñòâà ôóíêöèé f(x, c) âûïîëíåíû óñëîâèÿ

1) f (k)(x0, c0) = x0,

2) ∂f (k)

∂x(x0, c0) = λ(x0) = −1.

Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ãëàäêàÿ âåòâü ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê x(c)ïåðèîäà k äëÿ c áëèçêèõ ê c0 è x(c0) = x0.



Åñëè ìóëüòèïëèêàòîð λ(c) =∂f (k)

∂x(x(c), c) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

3) dλ

dc(c0) > 0

è, êðîìå òîãî,

4) ∂3f (2k)

∂x3 (x0, c0) < 0,òî ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, c0) è (c0, c2) è ε > 0 òàêèå, ÷òîi) åñëè c ∈ (c1, c0), òî f (k)(x, c) èìååò îäíó îòòàëêèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ

òî÷êó, à f (2k)(x, c) îäíó ïðèòÿãèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó â (x0−ε, x0+ε);ii) åñëè c ∈ (c0, c2), òî f (2k)(x, c) èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó

â (x0− ε, x0 + ε), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êîé äëÿf (k)(x, c).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîé âåòâè íåïîäâèæíûõ òî÷åê äëÿf (k)(x, c) áûëî äîêàçàíî ðàíåå ïðèìåíåíèåì òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè êg(x, c) = f (k)(x, c)− x, à èç óñëîâèÿ 3) ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî íåïîäâèæ-íàÿ òî÷êà äëÿ f (k)(x, c) îòòàëêèâàþùàÿ â èíòåðâàëå (c1, c0) è ïðèòÿãèâàþùàÿ âèíòåðâàëå (c0, c2). ×òîáû íàéòè ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2k, ââåäåì ôóíê-öèþ

h(x, c) = f (2k)(x, c)− x.

Òîãäà h(x0, c0) = f (2k)(x0, c0) − x0 = 0. Äàëåå, èç óñëîâèÿ 2) è öåïíîãî ïðàâèëàíàõîäèì

hx(x0, c0) =∂

∂x(f (k)(f (k)(x, c), c))

∣∣∣∣x=x0,c=c0

− 1 =

= f (k)x (f (k)(x0, c0), c0)f

(k)x (x0, c0)− 1 = [f (k)

x (x0, c0)]2 − 1 = 0,

hxx(x0, c0) =∂2

∂x2 (f(k)(f (k)(x, c), c))

∣∣∣∣x=x0,c=c0

=

= f (k)xx (f (k)(x0, c0), c0)(f

(k)(x0, c0))2 + f (k)

x (f (k)(x0, c0), c0)f(k)xx (x0, c0) =

= f (k)xx (x0, c0)[f

(k)x (x0, c0)]

2 + f (k)x (x0, c0)f

(k)xx (x0, c0) = 0

Â ñèëó óñëîâèÿ 4) äîêàçûâàåìîãî ïðåäëîæåíèÿ

hxxx(x0, c0) =∂3

∂x3f(2k)(x0, c0) < 0.



Òàê êàê ãëàäêàÿ âåòâü íåïîäâèæíûõ òî÷åê x(c) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿh(x, c) = 0, òî ôóíêöèþ h(x, c) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

h(x, c) = (x− x(c))g(x, c).

Òîãäà èç ðàâåíñòâà

hx(x, c) = g(x, c) + (x− x(c))gx(x, c)

ïîëó÷àåìg(x0, c0) = 0.

Äàëåå, èç ðàâåíñòâ

hxx(x, c) = 2gx(x, c) + (x− x(c))gxx(x, c),

hxxx(x, c) = 3gxx(x, c) + (x− x(c))gxxx(x, c)

è ïðîâåäåííûõ íàìè âûøå âû÷èñëåíèé çíà÷åíèé ôóíêöèé hxx(x, c),hxxx(x, c) â òî÷êå (x0, c0) ñëåäóåò, ÷òî

gx(x0, c0) = 0, gxx(x0, c0) < 0.

Âû÷èñëèì òåïåðü gc(x0, c0). Èìååì

hxc(x, c) = gc(x, c)− dx

dcgx(x, c) + (x− x(c))gxc(x, c).

Ïîýòîìóhxc(x0, c0) = gc(x0, c0).

Âû÷èñëèì hxc(x, c). Òàê êàê

hx(x, c) = f (k)x (f (k)(x, c), c)f (k)

x (x, c)− 1,

òî

hxc(x, c) = f (k)xx (f (k)(x, c), c)f (k)

c (x, c)f (k)x (x, c) + f (k)

xc (f (k)(x, c), c)f (k)x (x, c)+

+f (k)x (f (k)(x, c), c)f (k)

xc (x, c).

Òåïåðü ïîëó÷àåì

hxc(x0, c0) = f (k)xx (x0, c0)f

(k)c (x0, c0)f

(k)x (x0, c0) + f (k)

xc (x0, c0)f(k)x (x0, c0)+

+f (k)x (x0, c0)f

(k)xc (x0, c0) = −f (k)

xx (x0, c0)f(k)c (x0, c0)− 2f (k)

xc (x0, c0).



Èç òîæäåñòâàf (k)(x(c), c) ≡ x(c)

ñëåäóåò, ÷òîf (k)

c (x(c), c) + f (k)x (x(c), c)

dx

dc=

dx

dc. (1.13)

Èç (1.13) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

f (k)c (x0, c0) = 2x′(c0).

Äàëåå, óñëîâèå 3) ïðåäëîæåíèÿ âëå÷åò íåðàâåíñòâî

d

dc(f (k)

x (x(c), c))

∣∣∣∣c=c0

= f (k)xx (x0, c0)x

′(c0) + f (k)xc (x0, c0) > 0.

Ïîýòîìó

gc(x0, c0) = hxc(x0, c0) = −f (k)xx (x0, c0)f

(k)c (x0, c0)− 2f (k)

xc (x0, c0) =

= −2f (k)xx (x0, c0)x

′(c0)− 2f (k)xc (x0, c0) < 0.

Èòàê,

g(x0, c0) = 0, gx(x0, c0) = 0, gxx(x0, c0) < 0, gc(x0, c0) < 0. (1.14)

Â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ïðè x áëèçêèõ ê x0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíê-öèÿ c(x), ÷òî c(x0) = c0 è

g(x, c(x)) ≡ 0.

Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå òîæäåñòâî, ïîëó÷èì

gx(x, c(x)) + gc(x, c(x))dc

dx= 0. (1.15)

Èç (1.14) è (1.15) íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî

c′(x0) = 0.

Äèôôåðåíöèðóÿ (1.15), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

gxx(x, c(x)) + 2gcx(x, c(x))dc

dx+ gc(x, c(x))

d2c

dx2 + gcc(x, c(x))

(dc

dx

)2

= 0.

Îòñþäàc′′(x0) = −gxx(x0, c0)

gc(x0, c0)< 0.



Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ c(x) èìååò â òî÷êå x = x0 ìàêñèìóì. Ñëåäîâàòåëü-íî, ïðè c < c0 åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà 2k, à ïðè c > c0 òàêèõ òî-÷åê íåò. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî öèêë ïåðèîäà 2k ïðèòÿãèâàþùèé. Òàê êàê∂2f (2k)(x0,c0)

∂x2 = 0 è âûïîëíåíî óñëîâèå 4), òî df (2k)(x,c(x))dx èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå

x = x0. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà df (2k)(x,c(x))dx

∣∣∣x=x0

= 1 ïðè c < c0 ñëåäóåò, ÷òî öèêëïåðèîäà 2k ïðèòÿãèâàþùèé . ¤

Íà ðèñ. 1.2 c(x) âåòâü òî÷åê ïåðèîäà 2k, à x(c) âåòâü òî÷åêïåðèîäà k.

Ðèñ. 1.2. Áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà

Çàìå÷àíèå. Èçìåíåíèå çíàêà â íåðàâåíñòâå 3) ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ìåíÿåò ìå-ñòàìè èíòåðâàëû, â êîòîðûõ öèêë ïåðèîäà k ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùèì èëè îò-òàëêèâàþùèì, â òî âðåìÿ êàê èçìåíåíèå çíàêà íåðàâåíñòâà 4) ïðåäëîæåíèÿ 1.2ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî öèêë ïåðèîäà 2k ñòàíîâèòñÿ îòòàëêèâàþùèì. Èçìåíåíèåçíàêà ëèáî â íåðàâåíñòâå 3), ëèáî â íåðàâåíñòâå 4) ìåíÿåò ìåñòàìè èíòåðâàëû,â êîòîðûõ ëåæèò öèêë ïåðèîäà 2k.

Ïðîèçâîäíîé Øâàðöà ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå

Sf(x) =f ′′′(x)

f ′(x)− 3

2

(f ′′(x)

f ′(x)

)2

.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíàê ïðîèçâîäíîé Øâàðöà îïðåäåëÿåò òèï áèôóðêàöèè óäâî-åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,

∂3f (2k)(x, c)

∂x3 =∂3f (k)(f (k)(x, c), c)

∂x3 = f (k)xxx(f

(k)(x, c), c)[f (k)(x, c)]3+

+3f (k)xx (f (k)(x, c), c)f (k)

xx (x, c)f (k)x (x, c) + f (k)

xxx(x, c)f (k)x (f (k)(x, c), c).

Ïîýòîìó ïðè f (k)(x0, c0) = x0, f(k)x (x0, c0) = −1 ïîëó÷àåì

∂3f (2k)

∂x3 (x0, c0) = −2f (k)xxx(x0, c0)− 3[f (k)

xx (x0, c0)]2,



è, ñëåäîâàòåëüíî,∂3f (2k)

∂x3 (x0, c0) = 2Sf (k)(x0, c0),

ò.å. çíàê ïðîèçâîäíîé Øâàðöà îïðåäåëÿåò çíàê íåðàâåíñòâà â óñëîâèè 4) ïðåä-ëîæåíèÿ 1.2.

Äëÿ ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿØâàðöà îòðèöàòåëüíà, âîçìîæåí òîëü-êî îäèí òèï áèôóðêàöèé, ñâÿçàííûõ ñ óäâîåíèåì ïåðèîäà: ïðèòÿãèâàþùèé öèêëïåðèîäà k → áèôóðêàöèÿ→ îòòàëêèâàþùèé öèêë ïåðèîäà k → ïðèòÿãèâàþùèéöèêë ïåðèîäà 2k. Ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ (ðèñ. 1.3) íå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ.

Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñå-ìåéñòâ ôóíêöèé ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì è äðóãèåëîêàëüíûå áèôóðêàöèè ìîãóò âñòðåòèòüñÿ. Ìû ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà òàêèõ ñè-òóàöèé, íî îïóñòèì äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ, òàê êàê îíèàíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâàì ïðåäëîæåíèé 1.1 è 1.2. ×àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóà-öèÿ, ïðè êîòîðîé òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñåìåéñòâà ïðè âñåõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà.

Ðèñ. 1.3. Ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà

Ïðåäëîæåíèå 1.3. Ïóñòü f(x, c) îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-öèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì

1) f(0, c) = 0,

2) ∂f

∂x(0, c) = λ(c), λ(0) = 1 è dλ

dc(0) > 0,

3) ∂2f

∂x2 (0, 0) > 0.Òîãäà f(x, c) èìååò åäèíñòâåííóþ áèôóðöèðóþùóþ âåòâü íåïîäâèæíûõ

òî÷åê x(c) äëÿ c áëèçêèõ ê 0, ïðè÷åì x(0) = 0 è x(c) 6= 0, åñëè c 6= 0. Òî÷êàx = 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, åñëè c < 0, è îòòàëêèâàþùàÿ, åñëè c > 0, â òî âðåìÿêàê íåïîäâèæíûå òî÷êè èç áèôóðöèðóþùåé âåòâè îòòàëêèâàþùèå ïðè c < 0è ïðèòÿãèâàþùèå ïðè c > 0.



Åñëè f(−x, c) = −f(x, c), ò.å. f(x, c) íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ x, òî íåîáõîäèìîf(0, c) = 0, íî ïðåäûäóùåå ïðåäïîæåíèå íåïðèìåíèìî, òàê êàê ∂2f

∂x2 (0, 0) = 0. Âýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Ïðåäëîæåíèå 1.4. Ïóñòü f(x, c) îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-öèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì

1) f(−x, c) = −f(x, c),

2) ∂f

∂x(0, c) = λ(c), λ(0) = 1 è dλ

dc (0) > 0,

3) ∂3f

∂x3 (0, 0) < 0.Òîãäà ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, 0) è (0, c2) è ε > 0 òàêèå, ÷òîi) åñëè c ∈ (c1, 0), òî x = 0 åäèíñòâåííàÿ ïðèòÿãèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ

òî÷êà äëÿ f(x, c) â (−ε, ε);ii) åñëè c ∈ (0, c2), òî f(x, c) èìååò òðè íåïîäâèæíûå òî÷êè â (−ε, ε).

Òî÷êà x = 0 îòòàëêèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, â òî âðåìÿ êàê äâå äðóãèåíåïîäâèæíûå òî÷êè ïðèòÿãèâàþùèå.

Ïðèìåðû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïðåäëîæåíèé 1.1 - 1.4. Ðàññìîò-ðèì ñíà÷àëà ñëåäóþùåå ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c) = c − x2. Èç óðàâíåíèÿf(x, c) = c − x2 = x íàõîäèì, ÷òî ýòî ñåìåéñòâî èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êèx1,2 = −1±√1+4c

2 ïðè c > −1/4. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c = −1/4 ÿâëÿåòñÿ áèôóðêà-öèîííûì. Ïðè c = −1/4 ó ñåìåéñòâà òîëüêî îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x = −1/2.Ìóëüòèïëèêàòîð ýòîé òî÷êè ðàâåí 1. Óñëîâèå 4) ïðåäëîæåíèÿ 1.1 âûïîëíåíî,à óñëîâèå 3) èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê. Äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè ïîÿâëÿ-þòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà îò çíà÷åíèé c < 1/4 ê çíà÷åíèÿì c > 1/4.Ìóëüòèïëèêàòîðû äëÿ òî÷åê x1,2 èìåþò âèä λ1,2 = −2x = 1 ∓ √1 + 4c. Îòñþ-äà ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà x1 = −1+

√1+4c

2 ïðèòÿãèâàþùàÿ, åå îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿîïðåäåëÿåòñÿ èç íåðàâåíñòâà

−1 < 1−√1 + 4c < 1.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî −1/4 < c < 3/4. Ïðè c = 3/4 ìóëüòèïëè-êàòîð ðàâåí −1. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé ïðåäëîæåíèÿ 1.2. Âûïîëíåíèåóñëîâèé 1) è 2) óæå ïðîâåðåíî. Òàê êàê λ(c) = 1−√1 + 4c, òî

dλ

dc

∣∣∣∣c=3/4

= −(

2√1 + 4c

)∣∣∣∣c=3/4

= −1 < 0.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà ôóíêöèè f(x, c) = c−x2 îòðèöàòåëüíà.Ïîýòîìó óñëîâèå 4) âûïîëíåíî. Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè c > 3/4 ðîæäàåòñÿ ïðèòÿãè-


1.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè 31

âàþùèé öèêë ïåðèîäà 2. Åãî òî÷êè ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ

f (2)(x, c) = c− c2 + 2cx2 − x4 − x = 0,

ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí c−x2−x.Ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, r) = rx(1 − x), êîòîðîå ìû â äàëüíåéøåì ïîäðîá-

íî èçó÷èì, äàåò âîçìîæíîñòü ïðîèëëþñòðèðîâàòü ïðåäëîæåíèå 1.3. Äåéñòâè-òåëüíî, f(0, r) = 0 è ïðè r = 1 âûïîëíåíû îñòàëüíûå óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ1.3 (fx(0, r) = r, λ(1) = 1, λ′(1) = 1 è ∂2f

∂x2 (0, 1) = −2 < 0). Ïîýòîìó ïðèr > 1 ñóùåñòâóåò âåòâü ïðèòÿãèâàþùèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê x(r) = r−1

r . Äëÿèññëåäîâàíèÿ ñåìåéñòâà f(x, c) = cx−x3 ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì1.4. Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî áèôóðêàöèÿ ïðîèñõîäèò ïðè ïðîõîæäåíèè ïàðàìåò-ðîì c çíà÷åíèÿ 1. Ïðè c < 1 òî÷êà x = 0 åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà èîíà ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé. Ïðè c > 1 ñóùåñòâóåò òðè íåïîäâèæíûå òî÷êèx = 0, x1,2 = ±√c− 1. Òî÷êà x = 0 îòòàëêèâàþùàÿ, à òî÷êè x1,2 ïðèòÿãèâàþ-ùèå.

Óïðàæíåíèÿ1. Èäåíòèôèöèðîâàòü áèôóðêàöèè, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñëåäóþùèõ ñå-

ìåéñòâàõ ôóíêöèé ïðè óêàçàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:1) f(x, r) = rx(1− x), r = 3,2) f(x, c) = cex, c = e−1, c = −e,3) f(x, r) = xer(1−x), r = 2,4) f(x, c) = cx− x3, c = −1.2. Äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé F (x) = x + ∆tf(x), ãäå

f(x) =

(−x)1/3, ïðè x ≤ 0,−(x)1/2, ïðè x > 0,

çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà ∆t > 0, íàéòè öèêë ïåðèîäà 2 è èññëåäîâàòü åãî áè-ôóðêàöèè ïðè ∆t → 0 è ∆t →∞.

1.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèèÂ ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñî ñëåäóþùèì îáñòîÿ-

òåëüñòâîì. Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà òèï ïåðè-îäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü. Ïðèñóòñòâèå îðáèòû íåêîòîðî-ãî ïåðèîäà àâòîìàòè÷åñêè ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå îðáèò ðàçëè÷íûõ äðóãèõïåðèîäîâ. Ïåðâûì ðåçóëüòàòîì òàêîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 1.1. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) èìååò öèêë ïåðèîäàk > 1, òî îíà èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó (öèêë ïåðèîäà 1).



Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà k äëÿ f(x)(f (k)(a) = a). Ïóñòü f(a) > a. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

a, f(a), f (2)(a), . . . , f (k−1)(a), f (k)(a) = a. (1.16)

Äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ òî÷êà b = f (i)(a), (i < k) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(1.16), ÷òî f(b) < b. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.16) ïîñòîÿííîáû âîçðàñòàëà è íå ìîãëà áû âåðíóòüñÿ ê òî÷êå a. Èç òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîìçíà÷åíèè, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè φ(x) = f(x) − x, ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåòòàêàÿ òî÷êà c (a < c < b), äëÿ êîòîðîé f(c) = c. Àíàëîãè÷íûå àðãóìåíòûðàáîòàþò è â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà f(a) < a. ¤

Äàëüíåéøåå ðàññìîòðåíèå îïèðàåòñÿ íà äâå ëåììû èç àíàëèçà, ðîëü êîòîðûõâ èññëåäîâàíèè ãëîáàëüíûõ áèôóðêàöèé áûëà âûÿâëåíà Éîðêîì è Ëè.

Ëåììà 1.2. Ïóñòü f(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà âåùå-ñòâåííîì èíòåðâàëå J . Ïóñòü I ⊂ J êîìïàêòíûé (îãðàíè÷åííûé è çàìêíó-òûé) èíòåðâàë. Ïóñòü I ⊂ f(I). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà p ∈ I, ÷òîf(p) = p, ò.å. p íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f(x).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I = [β0, β1]. Âûáåðåì òî÷êè αi, i = 0, 1 â I òàê, ÷òîf(αi) = βi. Äëÿ ôóíêöèè φ(x) = f(x)−x èìååì φ(α0) = f(α0)−α0 = β0−α0 < 0,φ(α1) = f(α1) − α1 = β1 − α1 > 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà p ∈ I, ÷òîφ(p) = 0, ò.å. f(p) = p. ¤

Ëåììà 1.3. Ïóñòü f : I → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå I. Äëÿëþáîãî êîìïàêòíîãî èíòåðâàëà I1 ⊂ f(I) ñóùåñòâóåò òàêîé êîìïàêòíûéèíòåðâàë Q1 ⊂ I, ÷òî f(Q1) = I1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I1 = [f(p), f(q)], ãäå p, q ∈ I. Åñëè p < q, òî ÷åðåçr îáîçíà÷èì íàèáîëüøóþ òî÷êó â I, â êîòîðîé f(r) = f(p). Ïóñòü s ïåðâàÿòî÷êà ïîñëå r â I, â êîòîðîé f(s) = f(q). Òîãäà f([r, s]) = I1, ò.å. Q1 = [r, s].Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé p > q. ¤.

Ïóñòü f : R → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ è x1, x2, . . . , xk òî÷êè öèêëà ïå-ðèîäà k ýòîé ôóíêöèè. Ïóñòü a íàèìåíüøåå ÷èñëî ñðåäè òî÷åê xi(i = 1, . . . , k).Èòåðàöèè òî÷êè a, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ïî âåëè÷èíå, ðàçáè-âàþò âåùåñòâåííóþ îñü íà äâà ïîëóáåñêîíå÷íûõ èíòåðâàëà è k − 1 êîíå÷íûõèíòåðâàëîâ. Ýòè êîíå÷íûå èíòåðâàëû çàíóìåðóåì êàê I1, I2, . . . , Ik−1 ñëåâà íà-ïðàâî. Íàïðèìåð, åñëè f(x) èìååò öèêë ïåðèîäà 5 è

a < f (3)(a) < f(a) < f (2)(a) < f (4)(a),

òî I1 = [a, f (3)(a)], I2 = [f (3)(a), f(a)], I3 = [f(a), f (2)(a)], I4 = [f (2)(a), f (4)(a)].Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî f(I1). Â íàøåì ïðèìåðå èíòåðâàë I1 èìååò êîí-öû a è f (3)(a), êîòîðûå ôóíêöèåé f(x) îòîáðàæàþòñÿ â òî÷êè f(a) è f (4)(a)


Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè 33

ñîîòâåòñòâåííî. Ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè ìíîæåñòâî f(I1) äîëæ-íî âêëþ÷àòü â ñåáÿ âñå òî÷êè, ëåæàùèå ìåæäó f(a) è f (4)(a). Èíà÷å ãîâîðÿ,f(I1) ⊃ I3 ∪ I4. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì f(I2) ⊃ I4, f(I3) ⊃ I2 ∪ I3 è f(I4) ⊃ I1.Óäîáíî îðãàíèçîâàòü ýòó èíôîðìàöèþ â âèäå íàïðàâëåííîãî ãðàôà, êîòîðûéäëÿ ïðîñòîòû áóäåì íàçûâàòü äèãðàôîì (directed graph). Íóìåðóåì âåðøèíûäèãðàôà êàê I1, I2, . . . , Ik−1. Ïóñòü si è ti êîíöû èíòåðâàëà Ii. Åñëè èíòåðâàëIj ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè f(si) è f(sj) (f(Ii) ⊃ Ij), òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñóùå-ñòâóåò íàïðàâëåíèå èç Ij â Ij, è ðèñóåì íàïðàâëåííóþ äóãó èç Ii â Ij. Â íàøåìïðèìåðå ìû ïîëó÷àåì ôèãóðó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1.4.

Ðèñ. 1.4. Äèãðàô öèêëà ïåðèîäà 5

Äèãðàô, âîçíèêàþùèé èç òî÷åê öèêëà ïåðèîäà k, íàçîâåì k ïåðèîäè÷åñêèìäèãðàôîì. Öèêëîì èíòåðâàëîâ â ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå áóäåì íàçûâàòü ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü èíòåðâàëîâ âèäà IkIl . . . ImIk, â êîòîðîé f(Ik)⊃ Il, . . . , f(Im)⊃ Ik.Öèêë â ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå íàçûâàåòñÿ íåïîâòîðÿþùèìñÿ, åñëè îí íå ñîñòî-èò öåëèêîì èç öèêëà ìåíüøåé äëèíû, ïðîõîäèìîãî íåñêîëüêî ðàç. Íàïðèìåð,öèêë I1I3I2I4I1I3I2I4I1 íà ðèñ. 1.4 ÿâëÿåòñÿ ïîâòîðÿþùèìñÿ öèêëîì äëèíû 8, âòî âðåìÿ êàê öèêë I1I3I3I3I3I3I2I4I1 íåïîâòîðÿþùèéñÿ öèêë äëèíû 8.

Ïóñòü â k ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå (k > 2) ñóùåñòâóåò íåïîâòîðÿþùèéñÿöèêë ïåðèîäà 2: I1I2I1. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó

I1f→ f(I1)

∪I2

.

Èç ëåììû 1.3 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåðâàë Q1, êîòîðûé äåëàåò ïðåäûäó-ùóþ äèàãðàììó ïîëíîé

I1f→ f(I1)

∪ ∪Q1

f→ I2

.



Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1.3 ïîâòîðíî è ó÷èòûâàÿ, ÷òî f(I2) ⊃ I1, ïîëó÷àåì äèàãðàììó

I1f→ f(I1)

∪ ∪

Q1f→ I2

∪Q2

f (2)

→ I1f→ f(I1) .

Ñëåäîâàòåëüíî, f (2)(Q2) = I1 ⊃ Q2 è èç ëåììû 1.1 âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f(x)èìååò â èíòåðâàëå Q2 ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó x ∈ Q2 ïåðèîäà 2: f (2)(x) = x. Åñëèáû òî÷êà x áûëà íåïîäâèæíîé òî÷êîé ôóíêöèè f(x), òî f(x) = x ∈ I2. Ïîýòîìóx ∈ I1∩I2 (ïåðåñå÷åíèþ èíòåðâàëîâ I1 è I2) è òî÷êà x áûëà áû òî÷êîé èñõîäíîãîöèêëà ïåðèîäà k > 2, ÷òî íåâîçìîæíî.

Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ îáùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 1.3. Åñëè k ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàô, ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíê-öèè f(x), èìååò íåïîâòîðÿþùèéñÿ öèêë äëèíû l, òîãäà ôóíêöèÿ f(x) äîëæíàèìåòü ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà l.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I0I1 . . . Il = I0 íåïîâòîðÿþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëü-

Ðèñ. 1.5. Äèàãðàììà ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.3

íîñòü èíòåðâàëîâ, äëÿ êîòîðîé f(Ii) ⊃ Ii+1(i = 0, 1, . . . , l − 1). Ïîêàæåì, ÷òîf(x) èìååò òî÷êó ïåðèîäà l. Èñïîëüçóÿ ëåììó 1.2 ïîñëåäîâàòåëüíî íåñêîëüêîðàç, ñêîíñòðóèðóåì äèàãðàììó (ðèñ. 1.5). Ëåâûé ñòîëáåö äèàãðàììû ñîñòîèò èçïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ I0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ · · · ⊃ Ql−1 ⊃ Ql, à ïîñëåäíÿÿ



ñòðîêà èìååò âèäQl

f (l)

→ Il = I0.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ql ⊂ I0 = f (l)(Ql). Èç ëåììû 1.2 âûòåêàåò, ÷òî f (l)(x) èìååòíåïîäâèæíóþ òî÷êó x â èíòåðâàëå Ql. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðâàëîâíåïîâòîðÿþùàÿñÿ, òî x íå ìîæåò áûòü òî÷êîé ïåðèîäà k < l äëÿ f(x). ¤

Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) èìååò òî÷êó ïåðèîäà 3, òî îíà èìååòïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè âñåõ ïåðèîäîâ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê öèêëàïåðèîäà 3:

a < f(a) < f (2)(a), èëè a < f (2)(a) < f(a).

Â ïåðâîì ñëó÷àå I1 = [a, f(a)], I2 = [f(a), f (2)(a)]. Ñëåäîâàòåëüíî, f(I1) = I2,f(I2) ⊂ I1 ∪ I2. Âî âòîðîì ñëó÷àå I1 = [a, f (2)(a)], I2 = [f (2)(a), f(a)], f(I1) ⊂⊂ I1∪I2, f(I2) = I1. Îáîèì ðàñïîëîæåíèÿì òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 3 ñîîòâåòñòâóåòîäèí è òîò æå äèãðàô (ðèñ. 1.6). Ïî ýòîìó äèãðàôó ìîæíî ïîñòðîèòü íåïîâòî-ðÿþùèéñÿ öèêë ëþáîé äëèíû. Íàïðèìåð, öèêë ïåðèîäà 7 ýòî I1I2I2I2I2I2I2I1.¤

Åñëè ìû îáðàòèìñÿ ê äèãðàôó öèêëà ïåðèîäà 5 (ðèñ. 1.4), òî ïîëó÷èì, ÷òîâ ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò öèêëû âñåõ ïåðèîäîâ, êðîìå öèêëà ïåðèîäà 3.

Ðèñ. 1.6. Äèãðàôû öèêëà ïåðèîäà 3

Ðàññìîòðèì åùå ïîäðîáíî ñëó÷àé ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà 4. Ïîëó÷àåìøåñòü âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 4:

a < f(a) < f (2)(a) < f (3)(a), (1.17)

a < f(a) < f (3)(a) < f (2)(a), (1.18)

a < f (2)(a) < f (3)(a) < f(a), (1.19)

a < f (2)(a) < f(a) < f (3)(a), (1.20)

a < f (3)(a) < f (2)(a) < f(a), (1.21)

a < f (3)(a) < f(a) < f (2)(a). (1.22)



Ïðè ðàñïîëîæåíèè òî÷åê (1.17) ïîëó÷àåì

I1 = [a, f(a)], I2 = [f(a), f (2)(a)], I3 = [f (2)(a), f (3)(a)]

è, î÷åâèäíî,f(I1) ⊂ I2, f(I2) ⊂ I3, f(I3) ⊂ I1 ∪ I2 ∪ I3.

Ïîýòîìó äèãðàô öèêëà ñîäåðæèò ïåòëþ â âåðøèíå I3 è ñóùåñòâóåò íåïîâòîðÿ-þùèéñÿ öèêë I2I3I3I2 äëèíû 3. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëàïåðèîäà 4 ñ ðàñïîëîæåíèåì òî÷åê (1.17) âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ âñåõ ïå-ðèîäîâ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿâ ñëó÷àå ðàñïîëîæåíèé (1.18), (1.21), (1.22) òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 4, à â ñëó÷àÿõ(1.18), (1.19) èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà 4 ñëåäóåò òîëüêî ñóùåñòâîâàíèåöèêëà ïåðèîäà 2.

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðóþ ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü.

Òåîðåìà 1.4. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f : R → R èìååò ïåðèîäè÷åñêóþòî÷êó íå÷åòíîãî ïåðèîäà k > 1, òî îíà äîëæíà èìåòü ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êèâñåõ ïåðèîäîâ, áîëüøèõ èëè ðàâíûõ k − 1.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâûâàåòñÿ íà èäåå, êîòîðóþ ñôîðìóëèðóåìñëåäóþùèì îáðàçîì.

Ëåììà 1.4. k-ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàô íåïðåðûâíîé ôóíêöèè âñåãäà ñîäåð-æèò öèêë äëèíû k, â êîòîðîì íåêîòîðàÿ âåðøèíà ïîâòîðÿåòñÿ òî÷íî äâà-æäû.

Öèêë äëèíû k, î êîòîðîì ãîâîðèòñÿ â ëåììå 1.4, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòüïîâòîðÿþùèìñÿ öèêëîì. Îäíàêî òàê êàê öèêë ñîäåðæèò íåêîòîðóþ âåðøèíóòî÷íî äâàæäû, òî îí ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà äâà ìåíüøèõ öèêëà, êîòîðûåñîäåðæàò ýòó âåðøèíó òî÷íî îäèí ðàç, è ýòè öèêëû íåïîâòîðÿþùèåñÿ.

Ëåììà 1.5. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) èìååò öèêë ëþáîãî ïåðèîäàk > 1, òî îíà èìååò öèêë ïåðèîäà 2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû òðèâèàëüíî äëÿ k = 2. Ïðåäïîëî-æèì òåïåðü, ÷òî k ≥ 3. Ïî ëåììå 1.4 ñîîòâåòñòâóþùèé k-ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàôôóíêöèè f(x) ñîäåðæèò öèêë äëèíû k, êîòîðûé ðàçëàãàåòñÿ â äâà íåïîâòîðÿþ-ùèõñÿ ïîäöèêëà. Ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí èç ýòèõ ïîäöèêëîâ èìååò äëèíó, áîëü-øóþ 1. Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû ïîëó÷àåòñÿ ïî èíäóêöèè.

Ïðåäûäóùèå ðàññìîòðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷å-íèÿ íà òèï ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü. Ïðèñóòñòâèå



îðáèòû îäíîãî ïåðèîäà àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå îðáèò ðàçëè÷íûõäðóãèõ ïåðèîäîâ. À.Í. Øàðêîâñêîìó ïðèíàäëåæèò âàæíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûéïðèìåíèì êî âñåì íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèÿì (ôóíêöèÿì) íà âåùåñòâåííîéïðÿìîé. Åãî äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâå ðàçâèòèÿ ñîîáðàæåíèé,èñïîëüçîâàííûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèé ýòîãî ïàðàãðàôà.

Òåîðåìà 1.5. Ïóñòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîðÿäî÷åíû ñëåäóþùèì îáðà-çîì:

3 C 5 C 7 C · · ·C 2 · 3 C 2 · 5 C 2 · 7 C · · ·C 2n · 3 C 2n · 5 C 2n · 7 C . . .

C2n C · · ·C 23 C 22 C 2 C 1.

Åñëè f : R → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ èìååò îðáèòó ïåðèîäà n,òîãäà f(x) èìååò îðáèòó ïåðèîäà m äëÿ êàæäîãî m ∈ N , äëÿ êîòîðîãî nCm.

Ëåììà 1.1 è ñëåäñòâèå 1.1, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåîðåìû1.5.

Ðàññìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé fλ(x),îïðåäåëåííîå íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå I. Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ[n] íàèìåíüøåå çíà-÷åíèå ïàðàìåòðà λ, ïðè êîòîðîì ó îòîáðàæåíèÿ fλ(x) åñòü öèêë ïåðèîäà n. Èçòåîðåìû 1.5 âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 1.6. Ñïðàâåäëèâà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ

λ[1] ≤ λ[2] ≤ λ[4] ≤ · · · ≤ λ[5 · 2] ≤ λ[3 · 2] ≤ . . . λ[5] ≤ λ[3].

Óïðàæíåíèÿ1. Ðàññìîòðåòü âñå 5-ïåðèîäè÷åñêèå äèãðàôû.2. Ïðèâåñòè ïðèìåð öèêëà ïåðèîäà 8, èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîòîðîãî ñëåäóåò

ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ âñåõ ïåðèîäîâ.



1.5. Ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöàè ïðèòÿãèâàþùèå öèêëû

Ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà î ñîñóùåñòâîâàíèè öèêëîâ ðàçëè÷íûõïåðèîäîâ íå äàþò îòâåòà íà âîïðîñ î ÷èñëå óñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò.Ïðè èññëåäîâàíèè áèôóðêàöèé ìû âèäåëè, ÷òî çíàê ïðîèçâîäíîé Øâàðöà îïðå-äåëÿåò òèï áèôóðêàöèé ïðè ïåðåõîäå ìóëüòèïëèêàòîðà öèêëà ÷åðåç −1. Îêà-çûâàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà ÿâëÿåòñÿ âàæíûì èíñòðóìåíòîì â òåîðèèîäíîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, êàê ïðîèç-âîäíóþ Øâàðöà ìîæíî èñïîëüçîâàòü, ÷òîáû óñòàíîâèòü âåðõíþþ ãðàíèöó äëÿ÷èñëà ïðèòÿãèâàþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîæåò èìåòü îäíîìåðíîåîòîáðàæåíèå.

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Øâàðöà. Äëÿ òðèæäû äèôôåðåíöèðó-åìîé ôóíêöèè f(x) ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà â òî÷êå x îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

Sf(x) =f ′′′(x)

f ′(x)− 3

2

(f ′′(x)

f ′(x)

)2

.

Äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f(x) = ax2 + bx + c, òàê êàê f ′′′(x) ≡ 0, ïîëó÷àåìSf(x) < 0 ïðè âñåõ x (Sf(x) = −∞ ïðè x = − b

2a). Êðîìå êâàäðàòè÷íîé ôóíê-öèè, ìíîãèå äðóãèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè èìåþò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþØâàðöà. Íàïðèìåð, S(ex) = −1/2, S(sin x) = −1− 3

2(tan x)2. Êàê ïîêàçûâàåòñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ìíîãèå ïîëèíîìû èìåþò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþØâàðöà.

Òåîðåìà 1.7. Ïóñòü f(x) ïîëèíîì. Åñëè âñå êîðíè ïîëèíîìà f ′(x) âåùå-ñòâåííû è ðàçëè÷íû, òî Sf(x) < 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ðàäè ïðîñòîòû, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíòïîëèíîìà f ′(x) ðàâåí 1. Ïóñòü

f ′(x) =N∏

k=1

(x− ak),

ãäå ÷èñëà ak âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû. Òîãäà ïîëó÷èì

f ′′(x) =N∑

j=1

f ′(x)

x− aj=

N∑

j=1

∏Nk=1(x− ak)

x− aj,

f ′′′(x) =N∑

j=1

N∑

k=1,k 6=j

∏Ni=1(x− ai)

(x− aj)(x− ak).


Ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà è ïðèòÿãèâàþùèå öèêëû 39

Ñëåäîâàòåëüíî,

Sf(x) =∑

j 6=k

1

(x− aj)(x− ak)− 3

2

(N∑

j=1

1

(x− aj)

)2

=

= −1

2

(N∑

j=1

1

(x− aj)

)2

−N∑

j=1

(1

(x− aj)

)2

< 0.

¤

Óïðàæíåíèÿ

1. Âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå Øâàðöà ñëåäóþùèõ ôóíêöèé:à) f(x) = x3 + 1,á) f(x) = x3 + 10x,â) f(x) = ln x.2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîëèíîìà ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ó êîòîðîãî

ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà íå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé.3. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà ôóíêöèè f(x) ðàâíà íóëþ òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà f(x) =ax + b

cx + d, ãäå a, b, c, d ïîñòîÿííûå.

4. Åñëè h(x) =ax + b

cx + d, ãäå a, b, c, d ïîñòîÿííûå è ñóïåðïîçèöèÿ g = h f

îïðåäåëåíà, òî Sg(x) = Sf(x).

Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ Øâàðöà ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé.

Òåîðåìà 1.8. Åñëè Sg(x) < 0 è Sf(x) < 0, òî S(f g) < 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì â ñèëó öåïíîãî ïðàâèëà

(f g)′(x) = f ′(g(x))g′(x),

(f g)′′(x) = f ′′(g(x))g′2(x) + f ′(g(x))g′′(x),

(f g)′′′(x) = f ′′′(g(x))g′3(x) + 3f ′′(g(x))g′(x)g′′(x) + f ′(g(x))g′′′(x).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

S(f g)(x) = Sf(g(x))g′2(x) + Sg(x).

Òàêèì îáðàçîì, S(f g)(x) < 0. ¤Âàæíûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 1.8 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.



Ñëåäñòâèå 1.2. Åñëè Sf(x) < 0, òî Sf (n)(x) < 0 äëÿ âñåõ n > 1.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà ôóíêöèè îòðèöàòåëüíà, òî îíà íå

ìåíÿåò çíàêà ïðè èòåðàöèÿõ. Ïðåäïîëîæåíèå îá îòðèöàòåëüíîñòè ïðîèçâîäíîéØâàðöà îäíîìåðíîé ôóíêöèè îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïîâåäåíèåîðáèò ñîîòâåòñòâóþùåé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Îäèí èç âàæíûõ ðåçóëüòàòîâòàêîãî òèïà ìû ñåé÷àñ èçëîæèì.

Îïðåäåëåíèå 1.9. Òî÷êà x0 äëÿ ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé,åñëè f ′(x0) = 0.

Òåîðåìà 1.9. Ïðåäïîëîæèì Sf(x) < 0 (Sf(x) = −∞ äîïóñòèìî). Ïóñòüôóíêöèÿ f(x) èìååò n êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Òîãäà f(x) èìååò íå áîëåå n + 2ïðèòÿãèâàþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.9 íàì íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü íåñêîëüêî ëåìì.

Ëåììà 1.6. Åñëè Sf(x) < 0, òî ôóíêöèÿ f ′(x) íå ìîæåò èìåòü íè ïîëî-æèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, íè îòðèöàòåëüíîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìó-ìà.

Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x0 êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ′(x),ò.å. f ′′(x0) = 0. Òàê êàê Sf(x0) < 0, òî ïîëó÷àåì

f ′′′(x0)

f ′(x0)< 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, f ′′′(x0) è f ′(x0) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè. Îòñþäà ñëåäóåòóòâåðæäåíèå ëåììû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëü-íûìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè f ′(x) ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè äîëæåí ïå-ðåñåêàòü îñü x. Â ÷àñòíîñòè, ìåæäó äâóìÿ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè f ′(x) äîëæíàíàõîäèòüñÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà f(x). ¤

Ëåììà 1.7. Åñëè f(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, òî f (m)(x)(m > 1) òàêæå èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî c ìíîæåñòâî f−1(c) êîíå÷íî. Äåéñòâèòåëüíî,åñëè f(x1) = c è f(x2) = c, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà p, ÷òî x1 < p < x2è f ′(p) = 0. Ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè f (2)(x) ñîãëàñíî öåïíîìóïðàâèëó îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà

[f (2)(x)]′ = f ′(f(x))f ′(x) = 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè f (2)(x) ñîñòîÿò èç êðèòè÷åñêèõ òî-÷åê xc ôóíêöèè f(x) è ïðîîáðàçîâ f−1(xc) ýòèõ òî÷åê. Òàê êàê ïî äîêàçàí-íîìó âûøå ìíîæåñòâà f−1(xc) ñîñòîÿò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, òî ôóíêöèÿ



f (2)(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ èíäóê-öèåé. Åñëè ôóíêöèÿ g(x) = f (m−1)(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê,òî ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå ïðîâåäåíû â ïðåäûäóùåì àáçàöåäîêàçàòåëüñòâà, ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèÿ f (m)(x) òàêæå èìååò êîíå÷íîå ÷èñëîêðèòè÷åñêèõ òî÷åê. ¤

Ëåììà 1.8. Åñëè Sf(x) < 0 è ôóíêöèÿ f(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðè-òè÷åñêèõ òî÷åê, òî f(x) èìååò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åêïåðèîäà m äëÿ ëþáîãî m.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(x) = f (m)(x). Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.2 Sg(x) < 0.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g(x) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê, ò.å.óðàâíåíèå g(x) = x èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Òîãäà â ñèëó òåî-ðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè ó óðàâíåíèÿ g′(x) = 1 òàêæå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâîðåøåíèé. Åñëè g′(x) = 1 ïðè âñåõ x, òî Sg(x) = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëî-âèþ Sg(x) < 0. Ïóñòü x1 < x2 < x3 òðè ïîñëåäîâàòåëüíûå òî÷êè, â êîòîðûõg′(x) = 1. Ôóíêöèÿ g′(x) íå ìîæåò îäíîâðåìåííî íà ïðîìåæóòêàõ (x1, x2) è(x2, x3) óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó g′(x) > 1, òàê êàê òîãäà â òî÷êå x2 îíà èìå-ëà áû ïîëîæèòåëüíûé ëîêàëüíûé ìèíèìóì, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óòâåðæäåíèþëåììû 1.6. Ñëåäîâàòåëüíî, íà èíòåðâàëå (x1, x3) ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 òàêàÿ, ÷òîg′(x0) < 1. Òàê êàê g′(x) íå èìååò ïîëîæèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, òîñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé g′(x) = 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g(x) èìååò áåñêî-íå÷íîå ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèÿì ëåììû. ¤

Ïåðåéäåì òåïåðü íåïîñðåäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.9.Ïóñòü p ïðèòÿãèâàþùàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà m äëÿ f(x). Ïóñòü W (p) ìàêñèìàëüíûé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó p, âñå òî÷êè êîòîðîãî àñèìïòî-òè÷åñêè ñòðåìÿòñÿ ê p ïîä äåéñòâèåì f (m)(x), ò.å. W (p) ýòî ÷àñòü (ñâÿçíàÿêîìïîíåíòà) ìíîæåñòâà x|f (mj)(x) → p ïðè j →∞, êîòîðàÿ ñîäåðæèò p. ßñ-íî, ÷òî W (p) îòêðûòûé èíòåðâàë è f (m)(W (p)) ⊂ W (p). Ïóñòü W (p) = (r, s).Ïðåäïîëîæèì íà ìîìåíò, ÷òî p íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. Òàê êàê f(W (p)) ⊂ W (p)è (r, s) ìàêñèìàëüíûé èíòåðâàë, òî ëèáî f(x) ñîõðàíÿåò êîíöû èíòåðâàëà(r, s), ëèáî îäèí êîíåö èëè îáà êîíöà r è s áåñêîíå÷íû. Â ñëó÷àå, êîãäà îáàêîíöà êîíå÷íû, ñóùåñòâóþò òðè âîçìîæíîñòè:

1. f(r) = r è f(s) = s.2. f(r) = s è f(s) = r.3. f(r) = f(s).Ïóñòü ðåàëèçóåòñÿ ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü. Î÷åâèäíî, r < p < s. Èç ðàâåíñòâ

f(r) = r, f(p) = p è òåîðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿòî÷êà u(r < u < p), äëÿ êîòîðîé f ′(u) = 1. Àíàëîãè÷íî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êàv(p < v < s), äëÿ êîòîðîé f ′(v) = 1. Òàê êàê f ′(p) < 1 è f ′(x) íå ìîæåò èìåòü



ïîëîæèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, òî ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà f(x) âèíòåðâàëå (r, s). Âòîðîé ñëó÷àé èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî, åñëè çàìåíèòü f(x) íàf (2)(x). Â òðåòüåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ f(x) äîëæíà èìåòü ýêñòðåìóì íà èíòåðâàëå(r, s), òàê ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà íà èíòåðâàëå (r, s).Â ñëó÷àå åñëè r èëè s áåñêîíå÷íî, ïðîâåäåííîå ðàññóæäåíèå íå ïðîõîäèò. Îäíàêîýòè ñëó÷àè ìîãóò äîáàâèòü íå áîëåå äâóõ óñòîé÷èâûõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê.

Åñëè p ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà, òî ïðîâåäåííîå ðàññóæäåíèå äîêàçûâàåò ñó-ùåñòâîâàíèå êðèòè÷åñêîé òî÷êè íà èíòåðâàëå W (p) äëÿ ôóíêöèè g(x) = f (m)(x).Â ñèëó öåïíîãî ïðàâèëà îäíà òî÷êà íà îðáèòå ýòîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè äîëæíàáûòü êðèòè÷åñêîé òî÷êîé äëÿ f(x). ¤

Çàìå÷àíèå 1. Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êèñ îãðàíè÷åííûìè ïðèòÿãèâàþùèìè ìíîæåñòâàìè äîëæíû ïðèòÿãèâàòü êðèòè-÷åñêóþ òî÷êó. Åñëè ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî, òî ýòî, âîîáùåãîâîðÿ, íå òàê, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü f(x) = λ arctan x èλ > 1. Òîãäà Sf(x) = −2/(1 + x2)2 < 0. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) ïîêàçûâàåò, ÷òîñóùåñòâóþò äâå ïðèòÿãèâàþùèå íåïîäâèæíûå òî÷êè ó ýòîé ôóíêöèè ñ íåîãðà-íè÷åííûìè ïðèòÿãèâàþùèìè ìíîæåñòâàìè, íî ôóíêöèÿ f(x) = λ arctan x íåèìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.

Ðèñ. 1.7. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) = λ arctan x, λ > 1

Çàìå÷àíèå 2. Òåîðåìà 1.9 ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíà íà ñëó÷àé, êîãäàìóëüòèïëèêàòîð ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êè ðàâåí ±1. Áîëåå òî÷íî èìååò ìåñòî ñëå-äóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åêè Sf(x) < 0. Ïóñòü f(x) èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó c è f ′(c) = 1 èëè f ′(c) =−1.Òîãäà c äîëæíà ïðèòÿãèâàòü òî÷êè õîòÿ áû ñ îäíîé ñòîðîíû è ñóùåñòâóåò êðè-òè÷åñêàÿ òî÷êà â W (c).

×òîáû äîêàçàòü ýòî, ïðåäïîëîæèì f ′(c) = 1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçüìåìôóíêöèþ f (2)(x)). Â ñèëó ëåììû 1.8 f(x) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõòî÷åê. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò èíòåðâàë, â êîòîðîì f(x) íå èìååò äðóãèõ



íåïîäâèæíûõ òî÷åê, êðîìå c. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî c îòòàëêèâàþùàÿ íåïîäâèæ-íàÿ òî÷êà, ò.å. äëÿ x < c è äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê c âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîf(x) < x, à äëÿ y > c è äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê c èìååì f(y) > y. Â ýòîì ñëó÷àåf ′(x) èìååò ëîêàëüíîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå 1. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 1.6 èïîêàçûâàåò, ÷òî ëèáî f(x) > x äëÿ a < x < c, ëèáî f(x) < x äëÿ c < x < b. Îò-ñþäà ñëåäóåò, ÷òî c ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà, ïî êðàéíåé ìåðå, ñ îäíîé ñòîðîíû.Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî W (c) îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ïîëó÷àåì òî÷íî òàê æå, êàêïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.9, ÷òî W (c) ñîäåðæèò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó.

Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ëþáîãîïåðèîäà m > 1. Â ïðåäûäóùåì ðàññóæäåíèè íóæíî òîëüêî ïîëîæèòü g(x) == f (m)(x).

Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå îá îãðàíè÷åííîcòè W (c)cóùåñòâåííî. Ïóñòü f(x) = ex−1. Ôóíêöèÿ f(x) èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæ-íóþ òî÷êó x = 1. Ýòà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñëàáî ïðèòÿãèâàåò âñå òî÷êè ñëåâà îòíåå è îòòàëêèâàåò âñå òî÷êè ñïðàâà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) = ex−1 íåèìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.

Çàìå÷àíèå 3. Äî ñèõ ïîð ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) îïðåäåëåíàïðè âñåõ x ∈ R. Ïóñòü òåïåðü f : I → I, ãäå I = [a, b] çàìêíóòûé èíòåðâàë.Ëåììó 1.6 óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü â ñëåäóþùåé ôîðìå.

Ëåììà 1.9 (Ïðèíöèï ìèíèìóìà). Ïóñòü I = [a, b] è ôóíêöèÿ f(x)èìååò òðåòüþ íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ íà I. Åñëè Sf(x) < 0 íà (a, b), òî|f ′(x)| > min|f ′(a)|, |f ′(b)| äëÿ âñåõ x ∈ (a, b).

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê |f ′(x)| íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîì èíòåðâàëå I,îíà äîëæíà èìåòü ìèíèìóì â íåêîòîðîé òî÷êå x0 ∈ I. Åñëè x0 ∈ (a, b), òîf ′(x0) 6= 0, òàê êàê Sf(x) < 0 íà (a, b). Åñëè f ′(x0) > 0, òîãäà f ′(x) èìååòïîëîæèòåëüíûé ëîêàëüíûé ìèíèìóì íà (a, b), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 1.6. Åñëèæå f ′(x0) < 0, òîãäà f ′(x) èìååò îòðèöàòåëüíûé ëîêàëüíûé ìàêñèìóì íà (a, b),÷òî òàêæå ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 1.6. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x0 = a èëè x0 = b. ¤

Ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ìèíèìóìà íåòðóäíî äîêàçàòü àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëü-ñòâó òåîðåìû 1.9 ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Òåîðåìà 1.10. Åñëè f : I → I òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-ìîå îòîáðàæåíèå è Sf(x) < 0, òî ìíîæåñòâî W (p) (ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòàïðèòÿãèâàþùåãî ìíîæåñòâà ïðèòÿãèâàþùåé ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êè p) ëþáîéïðèòÿãèâàþùåé ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ñîäåðæèò ëèáî êðèòè÷åñêóþ òî÷êóîòîáðàæåíèÿ f(x), ëèáî ãðàíè÷íóþ òî÷êó èíòåðâàëà I.

Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèé êëàññ îòîáðàæåíèé.



Îïðåäåëåíèå 1.10.Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f(x), äåéñòâóþùåå èç I= [0, 1]â I, íàçûâàåòñÿ óíèìîäàëüíûì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. f(0) = f(1) = 0.2. Ôóíêöèÿ f(x) íà I èìååò åäèíñòâåííóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó c, êîòîðàÿ ëå-æèò ñòðîãî âíóòðè ïðîìåæóòêà I. Â ýòîé òî÷êå f(x) ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèå.

Î÷åâèäíî, óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóò-êå [0, c] è ìîíîòîííî óáûâàåò íà [c, 1]. Ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèéf(x, r) = rx(1 − x) ïðè 0 < r ≤ 4 ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì óíèìîäàëüíûõ îòîáðà-æåíèé. Äðóãîé ïðèìåð äîñòàâëÿåò ñåìåéñòâî êóñî÷íî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé

g(x, p) =

px, 0 ≤ x ≤ 1

2 ,p− px, 1

2 ≤ x ≤ 1,

çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà p, ïðè÷åì 0 < p ≤ 2. Â êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðàïðèâåäåì äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êóñî÷íî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé

h(x, l, p) =

lx, 0 ≤ x ≤ 1

p ,l

p−1 − lp−1x, 1

p ≤ x ≤ 1,

ãäå l/p ≤ 1, p > 1.Äëÿ óíèìîäàëüíûõ îòîáðàæåíèé èç òåîðåìû 1.10 ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðå-

çóëüòàò.

Ñëåäñòâèå 1.3. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f : I → I ÿâëÿåòñÿ óíèìîäàëüíûì,òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì, è Sf(x) < 0 íà ìíîæåñòâå I \ c.Ïóñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x = 0 íà ãðàíèöå èíòåðâàëà I ÿâëÿåòñÿ îòòàë-êèâàþùåé. Òîãäà f(x) èìååò íå áîëåå îäíîé ïðèòÿãèâàþùåé îðáèòû.


Ãëàâà 2.

Ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõîòîáðàæåíèé2.1. Êàñêàä áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ

Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé

xn+1 = rxn(1− xn), (2.1)

çàâèñÿùåå îò ïîëîæèòåëüíîãî ïàðàìåòðà r, è áîëåå îáùåå óðàâíåíèå

xn+1 = fxn − µx2n. (2.2)

Óðàâíåíèå (2.2) ìîæíî ïðèâåñòè ê óðàâíåíèþ (2.1), åñëè ñäåëàòü çàìåíó

xn =f

µzn.

Âûïîëíÿÿ â (2.2) ýòó çàìåíó, ïîëó÷èì

zn+1 = fzn(1− zn).

Ëåãêî âûïèñàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ f(x, r) = rx(1 − x) ïåðåâîäèòïðîìåæóòîê [0, 1] â ñåáÿ:

0 ≤ rx(1− x) ≤ 1 (2.3)

(ïðè 0 ≤ x ≤ 1). Äåéñòâèòåëüíî, ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (2.3) âûïîëíÿåòñÿàâòîìàòè÷åñêè ïðè r > 0, ïðàâàÿ æå ÷àñòü ñïðàâåäëèâà, åñëè r2 − 4r ≤ 0. Ïðèýòîì óñëîâèè

rx2n − rxn + 1 ≥ 0, x ∈ [0, 1].

45


46 Ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèé

Òàêèì îáðàçîì, ïðè 0 < r ≤ 4 îòîáðàæåíèå f(x, r) ïðåîáðàçóåò îòðåçîê [0, 1]â ñåáÿ. Àíàëîãè÷íî ìîæíî âûïèñàòü íåðàâåíñòâà, îáåñïå÷èâàþùèå èíâàðèàíò-íîñòü îòðåçêà [0, 1] äëÿ îòîáðàæåíèÿ Hx = fx− µx2, à èìåííî

0 <f

µ< 1, 0 < f ≤ 4.

Ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ f(x, r) ïðèâåäåí íà ðèñ. 2.1.

Ðèñ. 2.1. Ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ f(x, r) ïðè 0 < r ≤ 4

Ôóíêöèÿ f(x, r) èìååò îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x = 1/2. Ïîêàæåì, ÷òîf(x, r) äëÿ êàæäîãî r ìîæåò èìåòü íå áîëåå îäíîé ïðèòÿãèâàþùåé ïåðèîäè-÷åñêîé îðáèòû.

Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü r > 1. Åñëè x < 0, òî f (n)(x, r) → −∞ ïðè n → ∞.Àíàëîãè÷íî, åñëè x > 1, òî f (n)(x, r) → −∞ ïðè n →∞.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè x < 0, òî f(x, r) = rx(1 − x) < x. Ñëåäîâàòåëüíî,f (n)(x, r) óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåìîæåò ñõîäèòüñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå p. Èíà÷å ìû áû òîãäà èìåëè f (n+1)(x, r) →f(p, r) < p, â òî âðåìÿ êàê f (n)(x, r) → p. Òàêèì îáðàçîì, f (n)(x, r) → −∞.Åñëè x > 1, òî f(x, r) < 0, òàê ÷òî f (n)(x, r) → −∞ òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåìñëó÷àå. ¤

Òåîðåìà 2.2. Äëÿ ôóíêöèè f(x, r) ñóùåñòâóåò ñàìîå áîëüøåå îäíà ïðèòÿ-ãèâàþùàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû çíàåì, ÷òî Sf(x, r) < 0 è ÷òî åñëè |x| äîñòàòî÷íîâåëèê, òî |f (n)(x, r)| → ∞ ïðè n → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, íå ñóùåñòâóåò ïåðèî-äè÷åñêèõ òî÷åê ñ íåîãðàíè÷åííûìè ïðèòÿãèâàþùèìè ìíîæåñòâàìè. Îñòàåòñÿïðèìåíèòü òåîðåìó 1.9. ¤


Êàñêàä áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ 47

Ôóíêöèÿ f(x, r) èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó x0= 0. Ââèäó òîãî, ÷òî fx(0, r)= r,ýòà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ïðèòÿãèâàþùàÿ ïðè 0 < r < 1. Äàëåå, fx(0, 1) = 1.Ïðè r > 1 òî÷êà x0 òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü è ïîÿâëÿåòñÿ âòîðàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êàx1 = 1− 1/r. Òàê êàê λ(r) = fx(1− 1/r, r) = −r + 2, òî òî÷êà x1 óñòîé÷èâà ïðè

−1 < −r + 2 < 1,

ò.å. ïðè1 < r < 3. (2.4)

Íåðàâåíñòâî (2.4) áóäåì íàçûâàòü îêíîì óñòîé÷èâîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè x1.Ïðè 1 < r < 2 îðáèòà O(x0), x0 ∈ (0, 1) ïðèáëèæàåòñÿ ê x1 ìîíîòîííî, òàê êàêìóëüòèïëèêàòîð λ(r) > 0. Ïðè 2 < r < 3 ìóëüòèïëèêàòîð îòðèöàòåëåí è îðáèòàO(x0), ïðèáëèæàÿñü ê x1, êîëåáëåòñÿ îòíîñèòåëüíî x1, ïîî÷åðåäíî ïðèíèìàÿçíà÷åíèÿ áîëüøå è ìåíüøå x1. Ïðè r = 3 èìååì fx(1 − 1/3, 3) = −1. Ïðèr > 3 òî÷êà x1 òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü è ðîæäàåòñÿ öèêë ïåðèîäà 2, ÷òî ñëåäóåòèç ïðåäëîæåíèÿ 1.2. Ýòîò öèêë ëåãêî íàéòè è íåïîñðåäñòâåííî. Â ñàìîì äåëå,

f (2)(x, r) = −r3x4 + 2r3x3 − r2(1 + r)x2 + r2x.

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå f (2)(x, r) = x:

−r3x4 + 2r3x3 − r2(1 + r)x2 + r2x = x. (2.5)

Óðàâíåíèå (2.5) èìååò äâà êîðíÿ: x0 è x1. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (2.5) ìîæíî çàïè-ñàòü â âèäå

x

(x− r − 1

r

)(r3x2 − r2(1 + r)x + r(1 + r)) = 0,

èëèr3x

(x− r − 1

r

) (x− 1 + r +

√(r + 1)(r − 3)

2r

)×

×(

x− 1 + r −√

(r + 1)(r − 3)

2r

)= 0.

Èòàê, ïîëó÷àåì äâå òî÷êè ïåðèîäà 2:

xε =1 + r + ε

√(r + 1)(r − 3)

2r,

ãäå ε = ±1. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè x+, x− îáðàçóþò öèêë ïåðèîäà 2 äëÿ f(x, r).×òîáû èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü öèêëà, âû÷èñëèì åãî ìóëüòèïëèêàòîð

λ = fx(x+, r) · fx(x−, r) = −r2 + 2r + 4 = f2(r).



Öèêë óñòîé÷èâ, åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

−1 < f2(r) < 1.

Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî îêíî óñòîé÷èâîñòè öèêëà ïåðèîäà 2 âûãëÿäèò ñëåäóþùèìîáðàçîì:

3 < r < 1 +√

6.

Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ r öèêë x+, x− ïðèòÿãèâàþùèé. Êàêîâà áû íè áûëà òî÷-êà x0 ∈ (0, 1) \ f (−n)(x1)(n = 0, 1, . . . ), îðáèòà O(x0) ïðèòÿãèâàåòñÿ öèêëîì(x+, x−), òàê ÷òî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê f (2n)(x0), (n = 0, 1, . . . ) ñõîäèòñÿê îäíîé òî÷êå öèêëà, à ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (2n+1)(x0), (n = 0, 1, . . . ) ê äðó-ãîé. Òàêèì îáðàçîì, âñå òî÷êè èíòåðâàëà (0, 1), çà èñêëþ÷åíèåì ñ÷åòíîãî ÷èñëàòî÷åê, “ïðèêëåèâàþùèõñÿ“ (ò.å. ïåðåõîäÿùèõ â òî÷êó x1 çà êîíå÷íîå ÷èñëî øà-ãîâ), ñõîäÿòñÿ ê öèêëó. Ïðè r = 1+

√6 ìóëüòèïëèêàòîð ðàâåí −1. Îòìåòèì åùå

çíà÷åíèå r, ïðè êîòîðîì îäíà èç òî÷åê öèêëà ñîâïàäàåò ñ êðèòè÷åñêîé òî÷êîéx = 1/2 ôóíêöèè f(x, r). Ïðè ýòîì çíà÷åíèè r öèêë ñóïåðóñòîé÷èâ. Ëåãêî âè-äåòü, ÷òî ïðè r = 1+

√5 ïîëó÷àåì x− = 1/2. Â òåðìèíàõ ìóëüòèïëèêàòîðà f2(r)

ðåçþìèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû: f2(3) = 1 ïðè r = 3 (ðîæäàåòñÿ öèêë ïåðè-îäà 2), f2(1 +

√5) = 0 öèêë ïåðèîäà 2 ñóïåðóñòîé÷èâ, f2(1 +

√6) = −1 öèêë

ïåðèîäà 2 òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü è ðîæäàåòñÿ öèêë ïåðèîäà 4 â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ1.2.

Îòìåòèì åùå, ÷òî äëÿ îòîáðàæåíèÿ H(x) = fx − µx2 òî÷êè öèêëà ïåðèîäà2 îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

xε(n,2) =f + 1 + ε(n, 2)

√(f + 1)(f − 3)

2µ, (2.6)

ãäå ε(n, 2) = cos(n − 1)π, n = 1, 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè öèêë ïåðèîäà 4îòîáðàæåíèÿ f(x, r), îáðàòèìñÿ ê îòîáðàæåíèþ H(x). Î÷åâèäíî, xε(n,2) íåïî-äâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ H(2)(x):

H(2)(xε(n,2)) = xε(n,2).

Òî÷êè ïåðèîäà 2 äëÿ îòîáðàæåíèÿ H(2)(x) áóäóò òî÷êàìè ïåðèîäà 4 äëÿ îòîá-ðàæåíèÿ H(x). Ïîëîæèì x = xε(n,2) + y, ãäå òî÷êà x åñòü òî÷êà ïåðèîäà 4 äëÿH(x). Èìååì

H(2)(x) = H(2)(xε(n,2) + y) = H(2)(xε(n,2)) + H(2)x (xε(n,2))y+

+1

2H(2)

xx (xε(n,2))y2 + O(y3).



Òàê êàê

H(2)x (x) = Hx(H(x))Hx(x), H(2)

xx (x) = Hxx(H(x))(Hx(x))2 + Hx(H(x))Hxx(x),

òîH(2)

x (xε(n,2)) = Hx(xε(1,2)) ·Hx(xε(2,2))

èH(2)

xx (xε(n,2)) = (Hx(H(xε(n,2))))x ·Hx(xε(n,2)) = Hxx(H(xε(n,2)))××[Hx(xε(n,2))]

2 + Hx(H(xε(n,2))) ·Hxx((xε(n,2))).

Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå xε(n,2) èç ôîðìóëû (2.6), ïîëó÷àåì

H(2)(xε(n,2) + y) = xε(n,2) + fy − µy2 + O(y3),

ãäåf = −f 2 + 2f + 4,

µ = µ[(f + 1)(f − 3) + 3ε(n, 2)√

(f + 1)(f − 3)].

Êîýôôèöèåíò f îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, â òî âðåìÿ êàê µ èìååò äâà çíà÷åíèÿ,êîòîðûå çàâèñÿò îò âûáîðà ε(n, 2) (+1 èëè −1). Îòîáðàæåíèå

H(2)

(y) = fy − µy2 (2.7)

èìååò òó æå ñòðóêòóðó, ÷òî è îòîáðàæåíèå H(x). Ïîýòîìó ìû ïîëó÷àåì òå æåôîðìóëû äëÿ öèêëà ïåðèîäà 2 îòîáðàæåíèÿ H

(2)(y):

yε =f + 1 + ε

√(f + 1)(f − 3)

2µ, ε = ±1. (2.8)

Òåïåðü íàõîäèì òî÷êè öèêëà ïåðèîäà 4 äëÿ îòîáðàæåíèÿ H(x) (ñ òî÷íîñòüþ äî÷ëåíîâ ïîðÿäêà O(y3))

xε,ε = xε + yε,

ò.å. ïîëó÷àåì ÷åòûðå òî÷êè x1,1, x1,−1, x−1,1, x−1,−1. Ïîëàãàÿ f = µ = r, ò.å. ïåðå-õîäÿ ê îòîáðàæåíèþ f(x, r), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå òî÷åê öèêëàïåðèîäà 4 äëÿ f(x, r):

a(4)n =

r + 1 + ε(n, 2)√

(r + 1)(r − 3)

2r+

+f2(r) + 1 + ε(n, 4)

√(f2 + 1)(f2 − 3)

2µ(n, 2), n = 1, 2, 3, 4,



ãäå

f2 = −r2 + 2r + 4, µ(n, 2) = r[(r + 1)(r − 3) + 3ε(n, 2)

√(r + 1)(r − 3)

],

ε(n, 2) = cos(n− 1)π, n = 1, 2, 3, 4

ε(n, 4) =

+1, n = 1, 2,−1, n = 3, 4.

Ýòà ïðîöåäóðà ìîæåò áûòü ïîâòîðåíà, ÷òîáû ïîðîäèòü öèêë ïåðèîäà 8. Ïîëàãà-åì y = y + y′ â (2.7) è çàìå÷àåì, ÷òî y = H(4)(y). Äàëåå, âû÷èñëÿåì H(4)(y + y′)ñ òî÷íîñòüþ äî êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ ïî y′. Çàòåì ïðèìåíÿåì òó æå ïðîöåäó-ðó, êîòîðàÿ ïðèâåëà ê (2.8). Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîåïðåäñòàâëåíèå òî÷åê öèêëà ïåðèîäà p = 2k:

a(p)n =

k∑ν=1

(fm + 1) + [(fm + 1)(fm − 3)]1/2ε(n, 2m)

2µ(n,m)(2.9)

[m = 2ν−1, p = 2k

],

ãäå fm è µ(n,m) îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî êàê ïîëèíîìû ïî r,

f2m = −f 2m + 2fm + 4 (f1 = r), (2.10)

µ(n, 2m) = µ(n,m)

(fm + 1)(fm − 3) + 3[(fm + 1)(fm − 3)]1/2ε(n, 2m)

(2.11)

(µ(n, 1) = r),

ε(n, 2m) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ +1,−1 â ñîãëàñèè ñ íåêîòîðûì ïðàâèëîì, êîòîðîåíå áóäåì çäåñü îïèñûâàòü. Ôîðìóëû (2.9) - (2.11) äàþò ïðèáëèæåííîå àíàëèòè-÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå öèêëà ïåðèîäà p â åãî îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ.

Îáëàñòü rp < r < r2p ýòî îêíî óñòîé÷èâîñòè öèêëà ïåðèîäà p. Ôîðìàëüíîóäâîåíèå ïåðèîäà îò p/2 ê p îòðàæàåòñÿ ïîñëåäíèì èç p = 2k ÷ëåíîâ â ñóììå(2.9):

a(p)n = a(p/2)

n +(fp/2 + 1) + [(fp/2 + 1)(fp/2 − 3)]1/2ε(n, p)

2µ(n, p/2).

Ýòîò ïîñëåäíèé ÷ëåí ðàâåí íóëþ ïðè 0 < r < rp è ñòàíîâèòñÿ íåíóëåâûì ïðèr = rp, ïðè÷åì fp/2(rp) = −1. Ïîëàãàÿ m = p/2 â ðåêóððåíòíîì óðàâíåíèè äëÿfm, ïîëó÷àåì fp(rp) = 1. Âíóòðè îáëàñòè rp < r < r2p ñóùåñòâóåò çíà÷åíèår = r∗p, ïðè êîòîðîì p öèêë ñóïåðóñòîé÷èâ. Â ýòîì ñëó÷àå ëèíåéíûé ÷ëåí ïî yäîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ, ÷òîáû îäíà èç òî÷åê öèêëà ïîïàëà â òî÷êó ýêñòðåìóìàêâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, åñëè fp(r

∗p) = 0. Ðåçþìèðóÿ,

ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ òàáëèöó:



fp/2(rp) = −1, p/2 öèêë ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì,fp(rp) = 1, p öèêë ðîæäàåòñÿ,fp(r

∗p) = 0, p öèêë ñóïåðóñòîé÷èâ,

fp(r2p) = −1, p öèêë ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì,f2p(r2p) = 1, 2p öèêë ðîæäàåòñÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

fp(rp) = f2p(r2p) = 1,

ñâÿçûâàþùåå ðîæäåíèå äâóõ ñìåæíûõ öèêëîâ. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿñïåöèàëüíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî ïðèíöèïà òðàíñëÿöèîííîé ñèììåòðèè: âñåãäàñóùåñòâóåò ïàðà r çíà÷åíèé sp è s2p òàêèõ, ÷òî fp(sp) â p -îêíå óñòîé÷èâîñòèè f2p(s2p) â 2p îêíå óñòîé÷èâîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

fp(sp) = f2p(s2p) = λ (íàïðèìåð), p = 2, 4, . . .

Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè rp è r2p. Èç ðà-âåíñòâà f2(r2) = 1 ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî f1 = r2, è ôîðìóëû (2.10) ïîëó÷àåì r2 = 3.Äàëåå,

f4(r4) = −f 22 (r4) + 2f2(r4) + 4 = f2(r2) = −r2

2 + 2r2 + 4 = 1.

Îòñþäàf 2

2 (r4)− 2f2(r4) + 2r2 − r22 = 0

èf2(r4) = −r2

4 + 2r4 + 4 = 2− r2.

Ïîëó÷èìr4 = 1 +

√3 + r2.

Àíàëîãè÷íî

−1 = f4(r8) = −f 22 (r8) + 2f2(r8) + 4 = f2(r4) = −r2

4 + 2r4 + 4,

f 22 (r8)− 2f2(r8) + 2r4 − r2

4 = 0.

Íàõîäèì

f2(r8) = 1 +√

1− 2r4 + r24 = 2− r4, −r2

8 + 2r8 + 4 = 2− r4.

È, íàêîíåö,r8 = 1 +

√3 + r4.



Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïðèõîäèì ê ôîðìóëå

f2(r2p) = −r22p + 2r2p + 4 = 2− rp.

Îòêóäà ïîëó÷àåìr2p = 1 +

√3 + rp. (2.12)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî r2 = 3, èìååì r4 = 1 +√

6 ≈ 3.4495. Ýòî òî÷íîå çíà÷åíèå r4.Ñëåäóþùèå ïðèâåäåííûå çíà÷åíèÿ óæå ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè:

r8 = 1 +√

4 +√

6 ≈ 3.5396, r16 = 1 +

√4 +

√4 +

√6 ≈ 3.5573,

r32 = 1 +

√4 +

√4 +

√4 +

√6 ≈ 3.5607.

Âû÷èñëåíèÿ íà êîìïüþòåðå ñ ïîëíûì óðàâíåíèåì (áåç îòáðàñûâàíèÿ ÷ëåíîâáîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì êâàäðàòè÷íûå ïî y) äàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:

r8 = 3.5441, r16 = 3.5644, r32 = 3.5688.

Òàêèì îáðàçîì, öèêë ïåðèîäà 2 óñòîé÷èâ íà èíòåðâàëå 3 < r < 3.4495, öèêëïåðèîäà 4 íà èíòåðâàëå 3.4495 < r < 3.5396, öèêë ïåðèîäà 8 íà èíòåðâàëå3.5396 < r < 3.5573, öèêë ïåðèîäà 16 íà èíòåðâàëå 3.5573 < r < 3.5607.Îêíà óñòîé÷èâîñòè öèêëîâ óáûâàþò. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ ôîð-ìóëîé (2.12), ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòàïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë. Óñòðåìëÿÿ p →∞ â (2.12), íàõîäèì

r∞ = 1 +√

3 + r∞,

îòêóäà

r∞ =3 +

√17

2≈ 3.5615.

Âû÷èñëåíèÿ ñ ïîëíûì óðàâíåíèåì íà êîìïüþòåðå äàþò çíà÷åíèå r∞ = 3.569.Ïðè r > r∞ èñõîäíîå óðàíåíèå èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî öèêëîâ. Âû÷èñëèìïðåäåë

limp→∞

r2p − rp

r4p − r2p= lim

p→∞r2p − rp

1 +√

3 + r2p − r2p

= limp→∞

r2p − rp√3 + r2p −

√3 + rp

=

= limp→∞

(r2p − rp)(√

3 + r2p +√

3 + rp)

r2p − rp= lim

p→∞(√

3 + r2p +√

3 + rp) =

= 2√

3 + r∞ = 2(r∞ − 1) = 2

(3 +

√17

2− 1

)= 1 +

√17 ≈ 5.1231.


Öèêë ïåðèîäà 3 53

Áîëåå òî÷íûå âû÷èñëåíèÿ, ïðîâåäåííûå Ôåéãåíáàóìîì íà êîìïüþòåðå, äàþòçíà÷åíèå δ = 4.6692. Âåëè÷èíà δ íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé êîíñòàíòîé Ôåéãåí-áàóìà. Ôóíêöèÿ f(x) = 1+

√3+x, îïðåäåëÿþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü r2p = f(rp),

èìååò ïðèòÿãèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó r∞, òàê êàê f ′(r∞) =1

2√

3 + r∞=

1

δ.

Èç òåîðåìû 1 ïðèëîæåíèÿ 1 íåìåäëåííî ñëåäóåò àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî

|r2np − r∞| ∼ C

δn, n →∞,

ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Óíèâåðñàëüíîñòü êîíñòàíòû δ ñîñòîèò â òîì, ÷òîýòà êîíñòàíòà îäíà è òà æå äëÿ ìíîãèõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîá-ðàæåíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç êàñêàä áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ, è íå çàâèñèò íè îòâûáîðà ñåìåéñòâà, íè îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì äåéñòâóåò îòîá-ðàæåíèå. Äðóãàÿ óíèâåðñàëüíàÿ êîíñòàíòà Ôåéãåíáàóìà α ñâÿçàíà ñ êàñêàäîìáèôóðêàöèé óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ ñóïåðóñòîé÷èâûõ öèêëîâ. Â îêíå óñòîé÷èâîñòèpöèêëà ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå r = r∗p(rp < r∗p < r2p), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåòñóïåðóñòîé÷èâîìó öèêëó ïåðèîäà p. Êàæäûé ñóïåðóñòîé÷èâûé öèêë ñîäåðæèòòî÷êó a∗ = 1/2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a∗∗p òî÷êó ñóïåðóñòîé÷èâîãî pöèêëà, áëèæàé-øóþ ê a∗. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë r∗p ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

r∗2p = 1 +√

3 + r∗p (r∗1 = 2),

èç êîòîðîé ïîëó÷àåì òî÷íîå çíà÷åíè r∗2 = 1 +√

5 = 3.23606 . . . . Ïîñòîÿííàÿ αîïðåäåëÿåòñÿ èç ïðåäåëüíîãî ðàâåíñòâà

α = limp→∞

−[

a∗∗p − a∗

a∗∗2p − a∗

]= −(r + 1)(r − 3)− 3

√(r + 1)(r − 3)

∣∣∣∣r∞

=

= 2.2399 . . . (2.50290 . . . ),

ãäå â ñêîáêàõ óêàçàí ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò Ôåéãåíáàóìà äëÿ ïîëíîãî óðàâíåíèÿ.

2.2. Öèêë ïåðèîäà 3è ÷èñëî íåóñòîé÷èâûõ öèêëîâ

Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìàxn+1 = rxn(1− xn)

ïðè r < r∞ óñòðîåíà ïðîñòî. Êàæäàÿ îðáèòà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïåðèîäè-÷åñêîé. Êàêîâî áû íè áûëî r < r∞, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðèòÿãèâàþùèé



öèêë ïåðèîäà 2m ( m çàâèñèò îò r). Ýòîò öèêë ïðèòÿãèâàåò âñå òî÷êè èíòåð-âàëà (0, 1), êðîìå ñ÷åòíîãî ÷èñëà òî÷åê, “ïðèêëåèâàþùèõñÿ“ ê îòòàëêèâàþùèìöèêëàì ïåðèîäîâ 2i, i = 0, 1, . . . , m− 1.

Ïðè r > r∞ ðàññìàòðèâàåìàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà óñòðîåíà çíà÷èòåëüíîñëîæíåå. Ïðè r = 3.57 ñóùåñòâóþò îðáèòû, íå ïðèòÿãèâàþùèåñÿ ê öèêëàì. Îêà-çûâàåòñÿ, ÷òî åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 ∈ (0, 1) îðáèòû íå ïðèíàäëåæèò öèêëó èíå “ïðèêëåèâàåòñÿ“ ê öèêëó, òî åå èòåðàöèè ïðèòÿãèâàþòñÿ ê íåêîòîðîìó ìíî-æåñòâó Ω îäíîìó è òîìó æå äëÿ ðàçëè÷íûõ x0. Ýòî ìíîæåñòâî çàìêíóòî, íåñîäåðæèò èçîëèðîâàííûõ òî÷åê è íèãäå íå ïëîòíî íà [0, 1] (ìíîæåñòâî A íèãäåíå ïëîòíî íà [0, 1], åñëè êàæäûé èíòåðâàë (α, β) ⊂ [0, 1] ñîäåðæèò ïîäûíòåðâàë,êîòîðûé ñâîáîäåí îò òî÷åê ìíîæåñòâà A). Áîëåå òîãî, îíî ïîëó÷àåòñÿ óäàëåíè-åì èç [0, 1] ñ÷åòíîé ñèñòåìû èíòåðâàëîâ òàê, êàê ýòî äåëàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèèêàíòîðîâà òðèõîòîìè÷åñêîãî ìíîæåñòâà (ñì. ïðèëîæåíèå 2). Ãðàíèöàìè óäàëÿ-åìûõ èíòåðâàëîâ ÿâëÿþòñÿ ïðè ýòîì èòåðàöèè òî÷êè x0 = 1/2 êðèòè÷åñêîéòî÷êè îòîáðàæåíèÿ f(x, r).

Ðèñ. 2.2. Îòîáðàæåíèå f(x, r) ïðè r = 3.832

Ïóñòü òåïåðü r = 3.832. Ïðè ýòîì çíà÷åíèè r ñóùåñòâóåò öèêë ïåðèîäà 3 è,ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò öèêëû âñåõ ïåðèîäîâ, ïðè÷åì îäíà èç òî÷åê öèêëà ýòî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà 1/2. Â ñàìîì äåëå,

f (3)(x, r) = r3x(1− x)[−r4x3(1− x)3 + 2r3x2(1− x)2 − r(1 + r)x(1− x) + 1].

Îòêóäà ïðè x = 1/2 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

f (3)(1/2, r) =r3

256(4− r)(r3 − 4r2 + 16) =

1

2,

êîòîðîå èìååò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå r = r∗ = 3.832. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ýòîìçíà÷åíèè r öèêë ïåðèîäà 3 cóïåðóñòîé÷èâ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî öèêë ïðèòÿãè-âàåò “ïî÷òè“ âñå òî÷êè èíòåðâàëà (0, 1). Òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà3 ýòî òî÷êè x = 0.15, y = 0.5, z = 0.95. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå èíòåðâàëû



[0, x] = α, [x, y] = β, [y, z] = γ, [z, 1] = δ. Èç ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ f(x, r∗)(ðèñ. 2.2) íàõîäèì

f(α, r∗) = α + β,f(β, r∗) = γ,f(γ, r∗) = γ + β,f(δ, r∗) = α .

Èíòåðâàëû α, β, γ, δ íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìû. Ñõåìà ïåðåõîäà èçñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.3.

Ðèñ. 2.3. Äèàãðàììà ìàðêîâñêîãî ðàçáèåíèÿ

Ýòà ñîâîêóïíîñòü èíòåðâàëîâ, ïîäðàçäåëÿþùèõ îáëàñòü äåéñòâèÿ îòîáðàæå-íèÿ f(x, r∗), íàçûâàåòñÿ “ìàðêîâñêèì ðàçáèåíèåì“. Ìû ïðåäñòàâèì äåéñòâèåf(x, r∗) íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé α, β, γ, δ â âèäå òàáëèöû ïåðåõîäà

α β γ δα 1 1 0 0β 0 0 1 0γ 0 1 1 0δ 1 0 0 0

ñ ìàòðèöåé

T =

1 1 0 00 0 1 00 1 1 01 0 0 0

,

ãäåtij =

1, åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè i è j,0, åñëè òàêîãî ïóòè íåò.

Ìàðêîâñêîå ðàçáèåíèå äàåò âîçìîæíîñòü ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî íåóñòîé÷èâûõ ïå-ðèîäè÷åñêèõ îðáèò äàííîãî ïåðèîäà k. Äëÿ ýòîãî ìû çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâîβ + γ ÿâëÿåòñÿ “ïîãëîùàþùèì“, ò.å. òî÷êè, ïîïàäàþùèå â îäèí èç èíòåðâàëîâβ, γ, îñòàþòñÿ â ìíîæåñòâå β + γ. Îòìåòèì, ÷òî íåíóëåâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êàx1 = 1− 1/r∗ ëåæèò â èíòåðâàëå γ è f(x, r∗) > x ïðè x < x1. Âñå íåóñòîé÷èâûåïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ëåæàò â ìíîæåñòâå β+γ, êðîìå íåïîäâèæíîé òî÷êè x = 0.



Â ñàìîì äåëå, åñëè x ∈ α, òî â ñèëó íåðàâåíñòâà f(x, r∗) > x ïîñëåäîâàòåëüíîñòüf (n)(x, r∗) ëèáî ñõîäèòñÿ ê óñòîé÷èâîìó öèêëó ïåðèîäà 3, ëèáî ïðè íåêîòîðîìn ïîïàäàåò â èíòåðâàë β. Â ïåðâîì ñëó÷àå òî÷êà x íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé,âî âòîðîì ñëó÷àå íåêîòîðàÿ èòåðàöèÿ òî÷êè x ïîïàäàåò â ïîãëîùàþùåå ìíî-æåñòâî β + γ è, ñëåäîâàòåëüíî, îñòàåòñÿ â íåì. Â èíòåðâàëå δ òàêæå íå ìîæåòáûòü ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê, òàê êàê âñå òî÷êè èç δ ïîä äåéñòâèåì f(x, r∗) ïåðå-õîäÿò â α. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îòûñêàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò íàì íåîáõîäèìîðàññìîòðåòü òîëüêî ïîäòàáëèöó èñõîäíîé òàáëèöû

β γβ 0 1γ 1 1

ñ ìàòðèöåé

A =

(0 11 1

).

Ìàòðèöà A îòâå÷àåò íà âîïðîñ, ñêîëüêî ðàç èíòåðâàëû β è γ ïåðåõîäÿò äðóã âäðóãà ïîä äåéñòâèåì f(x, r∗). Íàïðèìåð,

A2 =

(1 11 2

),

òàê ÷òî f (2)(β, r∗) ïîêðûâàåò β è γ îäèí ðàç, â òî âðåìÿ êàê f (2)(γ, r∗) ïîêðûâàåòβ îäèí ðàç, à γ äâàæäû. Ââèäó òîãî, ÷òî β ⊂ f (2)(β, r∗), ïîëó÷àåì, ÷òî â èíòåðâà-ëå β îòîáðàæåíèå f (2)(x, r∗) èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîéïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà 2. Ýòî îòîáðàæåíèå â γ èìååò äâå íåïîäâèæíûåòî÷êè x1 è òî÷êó ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà 2. Îòîáðàæåíèå f (2)(x, r∗)ìîíîòîííî íà β è γ è, ñëåäîâàòåëüíî, íå èìååò äðóãèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê.Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê f (2)(x, r∗) â ìíîæåñòâå β + γðàâíî 3 ñóììå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A2 (íàïîìíèì, ÷òî ñóììàäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ñëåäîì ýòîé ìàòðèöû). Îòìåòèìåùå, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû A2 îïðåäåëÿþò ÷èñëî ïóòåé äëèíû 2, ñâÿçûâàþùèõñîñòîÿíèÿ β è γ. Ìàòðèöà A3 èìååò âèä

A3 =

(1 22 3

).

Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò äâà ïóòè äëèíû 3, íà÷èíàþùèõñÿ â β è îêàí÷èâàþùèõñÿ âγ:

β → γ → β → γ, β → γ → γ → γ



è òðè ïóòè äëèíû 3, íà÷èíàþùèõñÿ è îêàí÷èâàþùèõñÿ â γ:γ → β → γ → γ, γ → γ → β → γ, γ → γ → γ → γ.

Ñëåä ìàòðèöû A3 ðàâåí 4. Â ýòî ÷èñëî âõîäÿò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x1 è îòòàë-êèâàþùàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 3. Ïðè ïîäñ÷åòå íåïîäâèæíûõ òî÷åêîòîáðàæåíèÿ f (k)(x, r∗) ðàçëè÷íûå òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà k ñ÷è-òàþòñÿ îòäåëüíî è òî÷êè îðáèòû ïåðèîäà, äåëÿùåãî k, òàêæå ñ÷èòàþòñÿ. Ñëåäìàòðèöû A4 ðàâåí 7. Â ýòî ÷èñëî âõîäèò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x1, îòòàëêèâàþ-ùàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 2 è îòòàëêèâàþùàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòàïåðèîäà 4. Åñëè ÷åðåç Nk îáîçíà÷èòü ÷èñëî íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿf (k)(x, r∗), òî

Nk = tr (Ak) (2.13)

(tr (A) ñëåä ìàòðèöû A). ×òîáû íàéòè ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò íàèìåíü-øåãî ïåðèîäà k, íóæíî âû÷åñòü èç Nk ÷èñëî òî÷åê ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ïåðè-îäîâ, äåëÿùèõ k, è ïîëó÷åííîå ÷èñëî ðàçäåëèòü íà k. Íàïðèìåð, tr (A6) = 18.Ñóùåñòâóåò îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, äâå òî÷êè ïåðèîäà 2 (îäíà îðáèòà) è òðèòî÷êè ïåðèîäà 3 (îäíà îðáèòà). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò äâå îðáèòû ïåðèîäà6. Èòàê, äëÿ k-îé èòåðàöèè îòîáðàæåíèÿ f(x, r∗) êàæäûé ðàç, êîãäà îòîáðàæå-íèå ïîêðûâàåò èíòåðâàë, ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ýòîé èòåðàöèè âíóòðèèíòåðâàëà. Îòîáðàæåíèå äåëàåò ýòî ìîíîòîííî è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òîëüêîîäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ïðè êàæäîì ïîêðûòèè èíòåðâàëà. Òîãäà ÷èñëî íåïî-äâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ f (k)(x, r∗) ýòî ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïåðâîåñëàãàåìîå ýòî ÷èñëî ðàç, êîòîðîå β ïîêðûâàåò ñàì ñåáÿ, âòîðîå ýòî ÷èñëîðàç, êîòîðîå γ ïîêðûâàåò ñàì ñåáÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (2.13).×òîáû íàéòè ñëåä ìàòðèöû Ak, âû÷èñëèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A:

det |A− λE| = −λ(1− λ)− 1 = 0, λ1,2 =1±√5

2.

Ïîýòîìó

Nk = tr (Ak) =

(1 +

√5

2

)k

+

(1−√5

2

)k

.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â èíòåðâàëå α ñîäåðæèòñÿ íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êàîòîáðàæåíèÿ f(x, r∗), à èìåííî òî÷êà 0, ïîëó÷àåì ôîðìóëó

Nk + 1 = 1 +

(1 +

√5

2

)k

+

(1−√5

2

)k

= 1 + Fk+1 + Fk−1,

ãäå èçâåñòíûå ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è Fk îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìèF0 = 0, F1 = 1, Fk = Fk−1 + Fk−2, k = 2, 3, . . .



ÔîðìóëàNk + 1 = 1 + Fk+1 + Fk−1

ñëåäóåò èç ôîðìóëû Áèíå äëÿ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è

Fk =1√5

(1 +

√5

2

)k

−(

1−√5

2

)k

è ñîîòíîøåíèé (1 +

√5

2

)k

= Fk1 +

√5

2+ Fk−1,

(1−√5

2

)k

= Fk1−√5

2+ Fk−1.

Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó ïðè k = 5, ïîëó÷àåì N5 + 1 = 12, ò.å., êðîìåäâóõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê, ó ðàññìàòðèâàåìîãî îòîáðàæåíèÿ ñóùåñòâóþò äâå ïå-ðèîäè÷åñêèå îðáèòû ïåðèîäà 5. Ïðè k = 8 íàõîäèì N8 = F9 + F7 = 47. Â ýòî÷èñëî âõîäèò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, îäíà ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 2, îäíàïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 4 è ïÿòü ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ïåðèîäà 8.

Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû, ëåæàùèå â β+γñ ïîìîùüþ äâóõ ñèìâîëîâ β, γ, à òàêæå íåïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû. Íàïðèìåð,íåïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïåðèîäè÷åñêîé,çàäàåòñÿ òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ:

βγβγγβγγγβγγγγβ . . . .

2.3. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f (x) = 4x(1− x)

Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

xn+1 = 4xn(1− xn), (2.14)

ò.å. ïîëîæèì r = 4. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(2.14). Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

xn+1 = rxn(1− xn) (2.15)

ïðè r = 2. Ïîëîæèìxn =

1

2(1− yn).


Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1− x) 59

Òîãäà (2.15) ïðèíèìàåò âèä

yn+1 = y2n

(yn+1 =

r

2y2

n + 1− r

2

).

Ïîýòîìóyn = y2n

0 .

Îòñþäàxn =

1

2[1− (1− 2x0)

2n

].

Äëÿ r = 4 ïîëîæèìyn = cos πzn

â óðàâíåíèèyn+1 =

r

2y2

n + 1− r

2(r = 4 : yn+1 = 2y2

n − 1).

Òîãäàcos πzn+1 = 2 cos2 πzn − 1 = cos 2πzn = 2 cos2 2πzn−1 − 1 =

= cos 22πzn−1.

Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó, ïîëó÷àåì

cos πzn = cos 2nπz0.

Òåïåðü íàëîæèì íà zn îãðàíè÷åíèå: 0 ≤ zn ≤ 1. Òîãäà èç ðàâåíñòâà

cos πzn+1 = cos 2πzn

è èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ cos u = cos v

u = ±v + 2kπ (2.16)

ïîëó÷àåìzn+1 =

2zn, 0 ≤ zn ≤ 1

2 ,2(1− zn),

12 ≤ zn ≤ 1

(2.17)

Òàê êàêz0 =

1

πarccos y0,

ãäå 0 ≤ arccos y ≤ π ãëàâíîå çíà÷åíèå arccos y, òî ïîëó÷àåì òî÷íîå ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.14):

xn =1

2(1− cos πzn) =

1

2(1− cos 2nπz0) =

1

2[1− cos2n arccos(1− 2x0)],



êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

xn = sin2(2n arcsin√

x0).

Òî÷íîå ðåøåíèå (2.17) åñòü

zn =1

πarccos cos(2nπz0).

Îòîáðàæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè (2.14) è (2.17), òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿ-æåíû. Åñëè

f(x) = 4x(1− x),

àg(x) =

2x, 0 ≤ x ≤ 1

2 ,2(1− x), 1

2 < x ≤ 1,

òîh−1(g(h(x))) = f(x),

ãäåh(x) =

2

πarcsin

√x.

Â ñàìîì äåëå, ïðè 0 ≤ x ≤ 12

0 ≤ h−1(x) ≤ 1

2

èh−1(g(h(x))) = sin2(2 arcsin

√x) = (2

√x√

(1− x))2 = f(x).

Åñëè 12 ≤ x ≤ 1, òî

1

2≤ h−1(x) ≤ 1

èh−1(g(h(x))) = sin2

[2(π

2− arcsin

√x)]

= sin2(2 arcsin√

x) = f(x).

Ïîýòîìó ìîæíî èçó÷àòü óðàâíåíèå (2.17) âìåñòî óðàâíåíèÿ (2.14).Òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.14) ïîçâîëÿåò ïðîàíàëèçèðîâàòü

ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1 − x), êîòîðûå âñå ÿâëÿþòñÿíåóñòîé÷èâûìè. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íåóñòîé÷èâû âñå ïåðèîäè÷åñêèå îðáè-òû îòîáðàæåíèÿ g(x) (|g′(x)| = 2 ïðè x 6= 1/2). Î÷åâèäíî, ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êèïåðèîäà p îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ

cos(2pπzp) = cos πzp.



Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáîãî q < p äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

cos(2qπzp) 6= cos πzp.

Ñëåäîâàòåëüíî, èç ôîðìóëû (2.16) íàõîäèì

zp =2k

2p ± 1, (2.18)

ãäåk = 0, 1, 2, . . . , 2p−1 − 1

2± 1

2,

ïðè÷åìzp 6= 2k′

2q ± 1,

ãäåk′ = 0, 1, 2, . . . , 2q−1 − 1

2± 1

2äëÿ êàæäîãî öåëîãî q < p.

Íàéäåì ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè äëÿ íåáîëüøèõ p. Ñóùåñòâóþò äâå íåïîäâèæ-íûå òî÷êè (p = 1)

z1 = 0 è 2

3.

Äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.14) èì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü íåïîäâèæíûå òî÷êè x0 = 0 èx1 = 3/4. Ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäà 2:

z2 =2

5è 4

5.

Èì ñîîòâåòñòâóþò ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäà 2 îòîáðàæåíèÿ (2.14):

x2 =(5−√5)

8è (5 +

√5)

8.

Ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäà 3 îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

z3 =2k

8± 1, k = 1, 2, 3, 4− 1

2± 1

2,

îòêóäà ïîëó÷èì äâà ìíîæåñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïåðèîäà 3:

z3 =2

7,4

7,6

7è z3 =

2

9,4

9,8

9.



Äëÿ p = 4 ïîëó÷àåì

z4 =2

15,

4

15,

8

15,14

15; z4 =

2

17,

4

17,

8

17,16

17; z4 =

6

17,12

17,10

17,14

17.

Äàëåå, ìîæíî ïîëó÷èòü øåñòü ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ïåðèîäà 5 è ò.ä. Íàêîíåö,çàìåòèì, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ïåðèîäà p, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìó-ëå (2.18) ñî çíàêîì ïëþñ â çíàìåíàòåëå, ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â òî æåâûðàæåíèå ñî çíàêîì ìèíóñ â çíàìåíàòåëå è óäâîåííûì ïåðèîäîì. Îáîçíà÷èìíåïîäâèæíóþ òî÷êó ïåðèîäà p â ôîðìóëå (2.18) ñî çíàêîì ïëþñ (ìèíóñ) ÷åðåçz(p)+(z(p)−). Òîãäà z(p)+ ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê

z(p)+ =2k

2p + 1=

2k′′

22p − 1,

ãäåk′′ = k(2p − 1).

Ñëåäîâàòåëüíî, z(p)+ ïðåäñòàâëåíî â âèäå z(2p)−, ò.å. âñå íåïîäâèæíûå òî÷êèìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå z(p)−.

Òåïåðü èññëåäóåì âîïðîñ î òîì, êàêèì áóäåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.17), åñ-ëè íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ðàöèîíàëüíîå èëè èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Åñëè ìûðàññìîòðèì âûðàæåíèå

cos(2jπz0) = cos(πzp), (2.19)

êîòîðîå âûäåëÿåò íà÷àëüíîå çíà÷åíèå z0, ïîïàäàþùåå ïîñëå j èòåðàöèé â ïåðè-îäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà p, òî ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå (2.19) íå ìîæåò áûòüñïðàâåäëèâî äëÿ èððàöèîíàëüíûõ z0, òàê êàê èç (2.18) ñëåäóåò, ÷òî zp ðàöèî-íàëüíîå ÷èñëî äëÿ ëþáîãî p. Èòàê, ðåøåíèå ñ èððàöèîíàëüíûì íà÷àëüíûì çíà-÷åíèåì íå ìîæåò áûòü íè ïåðèîäè÷åñêèì, íè àñèìïòîòè÷åñêè ïåðèîäè÷åñêèì.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíîå çíà÷åíèå z0 ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êî-òîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç l/m, ãäå l < m è öåëûå ÷èñëà l,m íå èìåþò îáùèõäåëèòåëåé. Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ìîæåò áûòü ïðåä-ñòàâëåíî â ôîðìå

z0 =2k

2p − 1,

ãäåk = 0, 1, 2, . . . , 2p−1 − 1.

Ñëó÷àé 1: l ÷åòíîå/m íå÷åòíîå.Çäåñü ìû íàïîìíèì ñíà÷àëà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Ýéëåðà èç òåîðèè ÷èñåë.

Ïóñòü r è m âçàèìíî ïðîñòûå öåëûå ÷èñëà. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñðàâíåíèå

rΦ(m) = 1 (mod m), (rΦ(m) − 1 äåëèòñÿ íà m),



ãäå Φ(m) ôóíêöèÿ Ýéëåðà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëî öåëûõ ñðåäè ÷èñåë1, 2, . . . , m−1, êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ m (åñëè m ïðîñòîå ÷èñëî, òî Φ(m) == m− 1 è Φ(1) = 1). Â ñëó÷àå 1 íà÷àëüíîå çíà÷åíèå z0 ìîæåò áûòü çàïèñàíî ââèäå z0 = 2l′/m. Òàê êàê m íå÷åòíî, òî â òåîðåìå Ýéëåðà ìîæíî âçÿòü r = 2.Òîãäà èç òåîðåìû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî 2Φ(m)−1

m öåëîå ÷èñëî. Ñëåäîâàòåëüíî, z0ìîæíî çàïèñàòü êàê

z0 =2k

2φ(m) − 1,

ò.å. ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ñëó÷àÿ 1 ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé ïåðèîäàΦ(m) (è, âîçìîæíî, ïåðèîäà q < Φ(m), äåëÿùåãî Φ(m)) äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.17).

Ñëó÷àé 2: l íå÷åòíîå/m íå÷åòíîå.Òî÷êà z1, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå îäíîé èòåðàöèè, ñòàíîâèòñÿ ëèáî ðàâíîé

2z0 = 2l/m äëÿ l/m ≤ 1/2, ëèáî 2(1 − z0) = 2l′/m ≤ 1, ãäå l′ = m − l äëÿ1/2 ≤ l/m ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå 2 íà÷àëüíàÿ òî÷êà çà îäíó èòåðàöèþïåðåõîäèò â ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó.

Ñëó÷àé 3: l íå÷åòíîå/m ÷åòíîå.Ïîëîæèì m = 2sm′, ãäå s öåëîå ÷èñëî, à m′ íå÷åòíîå ÷èñëî. Çàòåì

îïðåäåëèì l′ ñîîòíîøåíèåì

arccos cos(2sπz0) =l′

m′π (0 ≤ l′

m′ ≤ 1).

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå s èòåðàöèé ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ñëó÷àÿ 3 ïåðåõîäèò â ðà-öèîíàëüíîå ÷èñëî ëèáî ñëó÷àÿ 1, ëèáî ñëó÷àÿ 2. Òàêèì îáðàçîì, ðàöèîíàëüíîå÷èñëî ñëó÷àÿ 3 çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïîïàäàåò â ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó.

Èç ïðîâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåëñîñòîèò èç ïåðèîäè÷åñêèõ è ïðåäïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (2.17). Ñëå-äîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ è ïðåäïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ(2.17) ïëîòíî íà èíòåðâàëå [0, 1] (ìíîæåñòâî ïëîòíî íà [0, 1], åñëè åãî çàìûêàíèå,ò.å. ïðèñîåäèíåíèå ê ìíîæåñòâó âñåõ åãî ïðåäåëüíûõ òî÷åê, ñîâïàäàåò ñ [0, 1]).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî è ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïëîòíî íà èíòåðâàëå [0, 1],òàê êàê îíî ñîñòîèò èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âèäà l/m, ãäå l ÷åòíîå ÷èñëî, àm íå÷åòíîå ÷èñëî. Î÷åâèäíî, ýòîò ðåçóëüòàò èìååò ìåñòî è äëÿ îòîáðàæåíèÿ(2.14). Ñôîðìóëèðóåì åãî â âèäå òåîðåìû.

Òåîðåìà 2.3.Ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (2.14) ïëîò-íî íà èíòåðâàëå [0, 1].

Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè èíòåðâàëà [0,1] åñòü ïå-ðèîäè÷åñêèå òî÷êè.



Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå îòîáðàæåíèÿ (2.17). Ïðåäñòàâèì ÷èñëî z ∈ [0, 1] â âèäåðàçëîæåíèÿ â äâîè÷íóþ äðîáü:

z =a1

2+

a2

22 + · · ·+ ak

2k+ · · · = .a1a2 . . . ak . . . ,

ãäå êàæäîå ak ðàâíî ëèáî 0, ëèáî 1. Åñëè z < 1/2, òîãäà g(z) äðîáíàÿ ÷àñòü÷èñëà 2z, ò.å.

g(z) = g(.a1a2 . . . ) = .a2a3 . . . .

Íî åñëè z > 1/2, òî g(z) áóäåò ðàâíî 1 ìèíóñ äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà 2z â ñîîòâåò-ñòâèè ñ ôîðìóëîé

g(z) = g(.a1a1 . . . ) = .a′2a′3 . . . ,

ãäå a′k = 1 − ak äëÿ êàæäîãî èíäåêñà k. Ýòè îïðåäåëåíèÿ g(z) ìîæíî çàïèñàòüîäíîé ôîðìóëîé:

g(.a1a2 . . . ) =

.a2a3 . . . ïðè a1 = 0,.a′2a

′3 . . . ïðè a1 = 1,

ò.å. îòîáðàæåíèå g(z) îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íóëåé è åäèíèö a1a2a3 . . . îòáðà-ñûâàåò ïåðâóþ öèôðó, à îñòàëüíûå îñòàâëÿåò áåç èçìåíåíèé (êîãäà a1 = 0) èëèçàìåíÿåò íà ÷èñëà 1 − ai (êîãäà a1 = 1). Ýòè äâà îïðåäåëåíèÿ ñîãëàñóþòñÿ è âòåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàçëîæåíèå â äâîè÷íóþ äðîáü íåîäíîçíà÷íî:

g(.0111 . . . ) = .111 . . . , g(.111 . . . ) = .000 . . . .

Íåïîäâèæíûå òî÷êè èìåþò äâîè÷íûå ðàçëîæåíèÿ:

z0 = .000 . . . , z1 =2

3= .101010 . . . .

Òî÷êà z = 1/3 = .010101 . . . çà îäíó èòåðàöèþ ïîïàäàåò â íåïîäâèæíóþ òî÷êóz1 = 2/3. Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî èòåðàöèè g(n)(z) òî÷êè zçà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïîïàäàþò â íåïîäâèæíóþ òî÷êó z1 = 2/3, ñîñòî-èò â òîì, ÷òî õâîñò äâîè÷íîãî ðàçëîæåíèÿ z = .a1a2 . . . ðàâåí 010101 . . . .Àíàëîãè÷íî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ èòåðàöèé g(n)(z) òî÷êè zçà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïåðåéòè â íóëåâóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó ñîñòîèò âòîì, ÷òî õâîñò äâîè÷íîãî ðàçëîæåíèÿ z åñòü 000 . . . , ò.å. z èìååò êîíå÷íîåäâîè÷íîå ðàçëîæåíèå.

Êàê äðóãîé ïðèìåð âîçüìåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè z = .100100 . . .è âû÷èñëèì g(z) = .110110 . . . , g(2)(z) = .010010 . . . , g(3)(z) = .100100 . . . .Èòåðàöèè òàêîãî z, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî



íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ èòåðàöèé g(n)(z) ÷èñëà z áûòü ïðåä-ïåðèîäè÷åñêèìè ñîñòîèò â òîì, ÷òî äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå z èìååò ïåðèîäè-÷åñêèé õâîñò ñ ïåðèîäîì p.

Ìû óæå ðàññìîòðåëè ñëó÷àè p ≤ 2, êîãäà èòåðàöèè ïîïàäàëè â íåïîäâèæ-íûå òî÷êè z = 0, 2/3. Ïðèìåð z = .011011 . . . ïîêàçûâàåò, ÷òî îðáèòà O(z) íåîáÿçàòåëüíî âêëþ÷àåò z â åå ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Èìååì

g(z) = .110110 . . . , g(2)(z) = .01001001 . . . , g(3)(z) = .1001001 . . . ,g(4)(z) = .110110 · · · = g(z).

Êðîìå òîãî, ïåðèîä g(n)(z) êàê ôóíêöèè n íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîìäâîè÷íîãî ðàçëîæåíèÿ. Ýòî ïîêàçûâàåò ïðèìåð

z = .11001100 . . . , g(z) = .01100110 . . . , g(2)(z) = .11001100 · · · = z.

Ìû ïîêàæåì, ÷òî ïåðèîä g(n)(z) êàê ôóíêöèè n íå ïðåâûøàåò ïåðèîä äâîè÷íîãîðàçëîæåíèÿ. Â ñàìîì äåëå, äåéñòâèå îòîáðàæåíèÿ g(z) ñîñòîèò â îòáðàñûâàíèèïåðâîé öèôðû (ñäâèã) è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïåðåâîðîòå âñåõ îñòàëüíûõ öèôð(äîïîëíåíèå èõ äî åäèíèöû). Ïåðåâîðîòû áóäóò âñòðå÷àòüñÿ ïðè ïåðâîì ïîÿâ-ëåíèè 1 â äâîè÷íîì ðàçëîæåíèè è ïîñëå êàæäîé òàêîé öèôðû ak, ÷òî ak−1 6= ak.Åñëè p åñòü ïåðèîä äâîè÷íîãî ðàçëîæåíèÿ, òî ìû èìååì ak+p = ak äëÿ âñåõäîñòàòî÷íî áîëüøèõ èíäåêñîâ k. Åñëè ïåðåâîðîò âñòðå÷àåòñÿ ïðè ak, òî äðóãîéïåðåâîðîò äîëæåí âñòðåòèòüñÿ ïðè ak+p, åñëè òîëüêî ak íå ïåðâàÿ 1 äâîè÷íîãîðàçëîæåíèÿ. Åñëè ak ïåðâàÿ 1 â äâîè÷íîì ðàçëîæåíèè, òî äðóãîé ïåðåâîðîòíå îáÿçàòåëüíî ïðîèçîéäåò â ak+p. Ýòî ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ îðáèòà:

O(.101101 . . . ) = .100100 . . . , .110110 . . . , .010010 . . . .Î÷åâèäíî, ÷åòíîå ÷èñëî ñäâèãîâ è ïåðåâîðîòîâ ýêâèâàëåíòíî ÷åòíîìó ÷èñëóñäâèãîâ áåç ïåðåâîðîòîâ. Åñëè èìåëîñü ÷åòíîå ÷èñëî ïåðåâîðîòîâ âíóòðè ïîëíî-ãî ïåðèîäà p äâîè÷íîãî ðàçëîæåíèÿ, òî çíà÷åíèÿ g(n)(z) ïîâòîðÿëèñü áû ñ òåìæå ïåðèîäîì p. Êðîìå òîãî, åñëè ïåðåâîðîò âñòðå÷àåòñÿ ïðè a1 è ïðè ak+p, òîöèôðû ìåæäó íèìè äîëæíû èçìåíÿòüñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí ðàç, èíà÷å ïåðè-îä ðàçëîæåíèÿ áûë áû ðàâåí 1. Òàê êàê ak = ak+p, òî äîëæíî áûòü ÷åòíîå ÷èñëîèçìåíåíèé öèôð ìåæäó ak è ak+p, ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòíîå ÷èñëî ïåðåâîðîòîâ. Òà-êèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùåå äåéñòâèå îò ak ê ak+p ýòî ðàñøèðåííûé ñäâèãè g(n)(z) áóäåò ïðåäïåðèîäè÷åñêîé (ò.å. çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïåðåéäåò â ïå-ðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîòü) ñ ïåðèîäîì p. Î÷åâèäíî, íàèìåíüøèé ïåðèîäg(n)(z) êàê ôóíêöèè n äîëæåí áûòü äåëèòåëåì p. Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ îáðàùåíèåýòîãî ðåçóëüòàòà. Èìåííî åñëè g(n)(z) ïðåäïåðèîäè÷åñêàÿ, òî äâîè÷íîå ðàçëîæå-íèå z äîëæíî áûòü ïðåäïåðèîäè÷åñêèì. Ñôîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàòâ âèäå òåîðåìû.



Òåîðåìà 2.4. Åñëè äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå z ÿâëÿåòñÿ ïðåäïåðèîäè÷åñêèìñ ïåðèîäîì p, òîãäà g(n)(z) áóäåò ïðåäïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé n è åå ïåðèîäáóäåò äåëèòåëåì p. Îáðàòíî, åñëè g(n)(z) ïðåäïåðèîäè÷åñêàÿ, òîãäà äâîè÷íîåðàçëîæåíèå z òàêæå áóäåò ïðåäïåðèîäè÷åñêèì.

Ìû òåïåðü ñîñðåäîòî÷èì âíèìàíèå íà îðáèòàõ O(z), êîòîðûå ñîñòîÿò èç òî-÷åê, äâîè÷íûå ðàçëîæåíèÿ êîòîðûõ íå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè. Íàçîâåì òà-êèå îðáèòû áåñêîíå÷íûìè. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îðáèòó O(z), ãäåz = .1010010001 . . . . Î÷åâèäíî, O(z) áåñêîíå÷íà è åå ïðåäåëüíûå òî÷êè ýòî÷èñëà 1, 1/2, . . . , 1/2n, . . . , 0. Òàêèì îáðàçîì, îðáèòà O(z) íèãäå íå ïëîòíà â èí-òåðâàëå [0, 1].

Òåîðåìà 2.5. Äëÿ ëþáîé äàííîé òî÷êè z∗ â èíòåðâàëå [0, 1] ìîæíî íàéòèòàêóþ ïðîèçâîëüíî áëèçêóþ ê òî÷êå z∗ òî÷êó z, ÷òî îðáèòà O(z) ïëîòíà â[0, 1].

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ÷èñëî s0 èìååò êîíå÷íîå äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå, êî-òîðîå ñîâïàäàåò ñ äîñòàòî÷íûì ÷èñëîì íà÷àëüíûõ öèôð z∗ òàê, ÷òî s0 áóäåòëåæàòü òàê áëèçêî ê z∗, êàê ýòî æåëàòåëüíî. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sêîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ðàçëîæåíèé ñëåäóþùèì îáðàçîì:

s1 = .0, s2 = .1, s3 = .00, s4 = .01, s5 = .10, s6 = .11, . . . ,

äàëåå âñå äâîè÷íûå ðàçëîæåíèÿ äëèíû n − 1 ïîÿâÿòñÿ, êîãäà ìû äîñòèãíåìs2n−2. Òåïåðü îïðåäåëèì äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå z èíäóêòèâíî. Â êà÷åñòâå íà-÷àëüíîãî ñåãìåíòà z âîçüìåì s0. Ïîñëåäóþùèå ñåãìåíòû z áóäóò ëèáî ÷ëåíûsn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S â èõ ñîáñòâåííîì ïîðÿäêå, ëèáî èõ ïåðåâîðîòû s′n âñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèì ïðàâèëîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû óæå îïðåäåëèëèïåðâûå n ñåãìåíòîâ, êîòîðûå îáðàçóþò ïåðâûå L öèôð ÷èñëà z. Îïðåäåëèì òî-ãäà ñëåäóþùèé ñåãìåíò ÷èñëà z êàê sn, åñëè áûëî ÷åòíîå ÷èñëî ïåðåâîðîòîâ âïåðâûõ L öèôðàõ. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îïðåäåëèì ñëåäóþùèé ñåãìåíò z êàês′n, ãäå øòðèõ îáîçíà÷àåò, êàê îáû÷íî, ðåçóëüòàò ïåðåâîðîòà (äîïîëíåíèÿ äî 1)âñåõ äâîè÷íûõ öèôð sn. Áåñêîíå÷íîå äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå, êîòîðîå îáðàçîâàíîèíäóêòèâíî, îáîçíà÷èì ÷åðåç z. Ïî ïîñòðîåíèþ z ëåæèò òàê áëèçêî ê z0, êàêýòî æåëàòåëüíî. Êðîìå òîãî, åñëè z0 ëþáàÿ òî÷êà â èíòåðâàëå [0, 1] è ε ëþ-áîå ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ìîæíî íàéòè ÷ëåí sN ïîñëåäîâàòåëüíîñòèS äëèíû M òàêîé, ÷òî 1/2M < ε/2 è |sN − z0| < ε/2. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òîíåêîòîðûé ÷ëåí s îðáèòû O(z) áóäåò èìåòü sN â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ñåãìåíòà.Òàêèì îáðàçîì,

|s− z0| ≤ |s− sN |+ |sN − z0| < ε

2+

ε

2= ε.



Ñëåäîâàòåëüíî, z0 äîëæíî áûòü ïðåäåëüíîé òî÷êîé îðáèòû O(z) è îðáèòà O(z)ïëîòíà â [0, 1]. ¤

Èç ìåòîäà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.5 ÿñíî, ÷òî ìîæíî âêëþ÷èòü ïðîèç-âîëüíûé íà÷àëüíûé ñåãìåíò â äâîè÷íîå ðàçëîæåíèå òåõ òî÷åê z, êîòîðûå ìûêîíñòðóèðóåì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå z ñî ñâîéñòâîì ïðåäïåðèîäè÷íîñòèñîîòâåòñòâóþùåé îðáèòû O(z). Îòìåòèì åùå, ÷òî èç âûøåîïèñàííûõ óòâåðæäå-íèé ñëåäóåò ïëîòíîñòü íà [0, 1] ìíîæåñòâà òî÷åê, ïîïàäàþùèõ â íåïîäâèæíûåòî÷êè 0 è 2/3. Ñóììèðóåì ýòè ðåçóëüòàòû â âèäå òåîðåìû.

Òåîðåìà 2.6. Ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà òî÷åê ïëîòíû â èíòåðâàëå [0, 1]:1) âñå òî÷êè z òàêèå, ÷òî g(n)(z) ïîïàäàåò â òî÷êó 0 èëè òî÷êó 2/3;2) âñå òî÷êè z òàêèå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü g(n)(z) ïðåäïåðèîäè÷åñêàÿ

ñ ïåðèîäîì p;3) âñå òî÷êè z òàêèå, ÷òî O(z) ïëîòíà â [0, 1].

Î÷åâèäíî, òåîðåìà 2.6 ñïðàâåäëèâà è äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) (â ýòîì ñëó÷àåíåïîäâèæíûå òî÷êè 0 è 3/4).

Îòîáðàæåíèå (2.17) ÿâëÿåòñÿ ðàñòÿãèâàþùèì, ò.å îíî ðàçäâèãàåò áëèçêèåòî÷êè, ïîñêîëüêó åãî ïðîèçâîäíàÿ âñþäó áîëüøå åäèíèöû.

Îïðåäåëåíèå 2.1. Îòîáðàæåíèå f : J → J ðàñòÿãèâàþùåå, åñëè ñó-ùåñòâóåò ν > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ J íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî|f (n)(x)− f (n)(y) > ν.

Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî â [0, 1] èíòåðâàëà J ⊂ [0, 1]ñóùåñòâóåò n > 0, ïðè êîòîðîì g(n)(J) = [0, 1]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè 1/2 /∈ J , òîl(g(J)) = 2l(J), ãäå l(·) äëèíà èíòåðâàëà; åñëè 1/2 ∈ J , òî ñóùåñòâóåò ε > 0òàêîå, ÷òî [0, ε] ⊂ g(2)(J), òàê êàê 1 ∈ g(J). Ïîýòîìó g(m+2)([0, ε]) = [0, ε · 2m]ïðè ε · 2m < 1 è g(m+2)([0, ε]) = [0, 1] ïðè ε · 2m > 1.

Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî îòîáðàæåíèÿ,òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííîãî îòîáðàæåíèþ (2.17). Â ÷àñòíîñòè, îíî èìååò ìåñòîè äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.14).

Òåîðåìà 2.7. Äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî â [0, 1] èíòåðâàëà J ⊂ [0, 1] ñóùå-ñòâóåò m òàêîå, ÷òî f (m)(J) = [0, 1].

Îòîáðàæåíèÿ (2.14) è (2.17), êàê èíîãäà ãîâîðÿò, îáëàäàþò íà [0, 1] ÷óâñòâè-òåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.

Îïðåäåëåíèå 2.2. Îòîáðàæåíèå f : J → J îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîéçàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ, åñëè ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ



ëþáîãî x ∈ J è ëþáîé îêðåñòíîñòè N òî÷êè x ñóùåñòâóþò y ∈ N è n ≥ 0òàêèå, ÷òî |f (n)(x)− f (n)(y)| > δ.

Îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ,åñëè ñóùåñòâóþò òî÷êè ïðîèçâîëüíî áëèçêèå ê x, êîòîðûå îòõîäÿò îò x, ïî êðàé-íåé ìåðå, íà ðàññòîÿíèå δ ïðè èòåðàöèè f . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íå âñå òî÷êè, êîòî-ðûå áëèçêè ê x, îòõîäÿò îò x ïðè èòåðàöèÿõ. Äîëæíà áûòü, ïî êðàéíåé ìåðå,îäíà òàêàÿ òî÷êà â êàæäîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x. Íàëè÷èå ÷óâñòâèòåëüíîé çàâè-ñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ îòîáðàæåíèÿ çàòðóäíÿåò ÷èñëåííûå âû÷èñëåíèÿ.Ìàëûå îøèáêè â âû÷èñëåíèè, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ ïðè îêðóãëåíèè, ñòàíîâÿò-ñÿ çíà÷èòåëüíûìè ïðè èòåðàöèÿõ. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé îðáèòûìîãóò î÷åíü ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò ðåàëüíîé îðáèòû.

Ñâîéñòâî ðàñòÿãèâàåìîñòè îòîáðàæåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò ÷óâñòâèòåëüíîé çà-âèñèìîñòè òåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âñå áëèçêèå òî÷êè îòõîäÿò îò òî÷êè x ïðèèòåðàöèÿõ. Èç ñâîéñòâà ðàñòÿãèâàåìîñòè îòîáðàæåíèÿ (2.17) ñëåäóåò, ÷òî äëÿíåãî â êà÷åñòâå δ â îïðåäåëåíèè ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòè ìîæíî âçÿòü ÷èñ-ëî 1/2.

Îïðåäåëåíèå 2.3. Îòîáðàæåíèå f : J → J òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíî,åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû îòêðûòûõ ìíîæåñòâ U, V ⊂ J ñóùåñòâóåò òàêîå k > 0,÷òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ f (k)(U) è V íåïóñòî.

Î÷åâèäíî, åñëè îòîáðàæåíèå îáëàäàåò ïëîòíîé îðáèòîé, òî îíî òîïîëîãè÷å-ñêè òðàíçèòèâíî.

Ñóùåñòâóåò ìíîãî îïðåäåëåíèé õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ìû âûáåðåìñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå, ïîòîìó ÷òî îíî ïðèìåíèìî ê áîëüøîìó ÷èñëó âàæíûõïðèìåðîâ è âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îíî ëåãêî ïðîâåðÿåìî.

Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïóñòü V íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Îòîáðàæåíèå f :V → V íàçûâàþò õàîòè÷åñêèì íà V , åñëè :

1) f îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ,2) f òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíî,3) ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè f ïëîòíû íà V .

Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà îòîáðàæåíèé (2.14) è (2.17), ìû íåìåäëåííî ïîëó÷àåìòåîðåìó.

Òåîðåìà 2.8. Îòîáðàæåíèÿ (2.14) è (2.17) õàîòè÷íû íà [0, 1].

Õàîòè÷åñêèå ñèñòåìû îáëàäàþò ñâîéñòâîì íåïðåäñêàçóåìîñòè. Äëÿ òàêèõ ñè-ñòåì äàæå ïîñòàíîâêà âîïðîñà î ïîñòðîåíèè îðáèòû òðåáóåò êîððåêòèðîâêè.Ìîæíî ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ âû÷èñëèòü ïÿòü èëè äåñÿòü òî÷åê îðáèòû O(x0), îäíàêî


Îòîáðàæåíèå f(x, r) = rx(1− x) ïðè r > 4 69

òî÷íîå âû÷èñëåíèå äîñòàòî÷íî áîëüøîãî îòðåçêà îðáèòû, íàïðèìåð äî n = 100,ïðè îáû÷íîé òî÷íîñòè ÝÂÌ íåâîçìîæíî, è ñàì âîïðîñ î ïîñòðîåíèè áîëüøîãîîòðåçêà îðáèòû íåêîððåêòåí. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.17) èíòåðâàë äëèíû ε ÷åðåçm ≈ log ε−1

log 2 øàãîâ ïîêðûâàåò [0, 1]. Åñëè ÝÂÌ ìîæåò ðàçëè÷àòü ε = 10−20, òîâîïðîñ, â êàêîé òî÷êå èç [0, 1] íàõîäèòñÿ îðáèòà ïðè m > 20 log2 10(≈ 70), òåðÿ-åò ñìûñë. Îòîáðàæåíèÿ (2.14) è (2.17) áûñòðî “çàáûâàþò“ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ(x0), è äëÿ áîëüøèõ n ñëåäóåò ïåðåõîäèòü íà âåðîÿòíîñòíûé ÿçûê è ñòàâèòüâîïðîñ òàêèì îáðàçîì: êàêîâà âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ îðáèòû â êàêîì-ëèáîìíîæåñòâå J ⊂ [0, 1]? Íàïðèìåð, åñëè J = (α, β), òî äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.17) ýòàâåðîÿòíîñòü ðàâíà β − α, à äëÿ îòîáðàæåíèÿ (2.14) îíà ðàâíà

1

π

∫ β

α

dx√x(1− x)

=2

π(arcsin

√β − arcsin

√α) = h(β)− h(α),

ãäå h(x) ôóíêöèÿ, ñîïðÿãàþùàÿ f(x) è g(x).

2.4. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f (x, r) = rx(1− x)ïðè r > 4

Òåïåðü ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f(x, r) = rx(1− x) ïðè r > 4. Ãðàôèê îòîáðà-æåíèÿ èçîáðàæåí íà ðèñ. 2.4.

Ðèñ. 2.4. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x, r) ïðè r > 4

Ââèäó òîãî ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè f(x,r) ðàâåí r/4, òî÷êà x = 1/2 ïîä äåé-ñòâèåì îòîáðàæåíèÿ f(x, r) ïîêèäàåò èíòåðâàë I = [0, 1].

Î÷åâèäíî, òî÷êè, äîñòàòî÷íî áëèçêèå ê x = 1/2 òàêæå ïîêèäàþò èíòåðâàëI çà îäíó èòåðàöèþ. Íàïðèìåð, åñëè r = 4.002, òî òî÷êè èíòåðâàëà [0.49,0.51]çà îäíó èòåðàöèþ ïîêèäàþò èíòåðâàë I. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A0 ìíîæåñòâî òî÷åêèíòåðâàëà I, êîòîðûå ïîêèäàþò èíòåðâàë çà îäíó èòåðàöèþ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî



A0 îòêðûòûé èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå x = 1/2. Åñëè x ∈ A0, òî f(x, r) > 1è f (2)(x, r) < 0. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (n)(x, r) ñòðåìèòñÿ ê −∞ ïðè n →∞. Âñåòî÷êè èíòåðâàëà I, íå âõîäÿùèå â A0, îñòàþòñÿ â I ïîñëå äåéñòâèÿ îòîáðàæåíèÿf(x, r).

Ïóñòü A1 = x ∈ I : f(x, r) ∈ A0. Åñëè x ∈ A1, òîãäà f (2)(x, r) > 1,f (3)(x, r) < 0 è, òàêèì îáðàçîì, êàê è ðàíåå, f (n)(x, r) → −∞ ïðè n →∞. Îïðå-äåëÿåì ïî èíäóêöèè ìíîæåñòâî An = x ∈ An : f (n)(x, r) ∈ A0. Òàêèì îáðàçîì,An = x ∈ I : f (i)(x, r) ∈ I äëÿ i ≤ n, íî f (n+1)(x, r) /∈ I. Ñëåäîâàòåëüíî,An ñîäåðæèò âñå òî÷êè, êîòîðûå ïîêèäàþò I ïîñëå (n+1)-îé èòåðàöèè. Åñëè xëåæèò â èíòåðâàëå An, òî îðáèòà O(x) ñòðåìèòñÿ ê −∞. Ïîëó÷àåì, ÷òî íàìèçâåñòíà ñóäüáà ëþáîé òî÷êè, êîòîðàÿ ëåæèò â An. Îñòàåòñÿ òîëüêî ïðîàíàëè-çèðîâàòü ïîâåäåíèå òåõ òî÷åê èç I, êîòîðûå íèêîãäà íå ïîêèäàþò ýòîò èíòåðâàë.Îáîçíà÷èì ýòî ìíîæåñòâî ÷åðåç Λr. Î÷åâèäíî,

Λr = I \( ∞⋃

n=0

An

)=

∞⋂n=1

f (−n)(x, r).

Íàøà çàäà÷à âûÿñíèòü, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê. Äëÿýòîãî îïèøåì áîëåå òùàòåëüíî êîíñòðóêöèþ ìíîæåñòâà Λr.

Òàê êàê A0 îòêðûòûé èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå 1/2, òî I1 = I \ A0ñîñòîèò èç äâóõ èíòåðâàëîâ: B0 = [0, q0] è B1 = [q1, 1], ïðè÷åì q0 < q1 èf(q0, r) = f(q1, r) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, f (2)(q0, r) = f (2)(q1, r) = 0. Èç ãðàôè-êà âèäíî, ÷òî f(x, r) îòîáðàæàåò èíòåðâàëû B1 è B2 ìîíîòîííî íà I. Ôóíêöèÿf(x, r) âîçðàñòàåò íà B1 è óáûâàåò íà B2. Òàê êàê f(B0, r) = f(B1, r) = I, òîñóùåñòâóåò òàêàÿ ïàðà îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ (îäèí èç íèõ ëåæèò â B0, à äðóãîéâ B1), êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì f(x, r) ïåðåõîäÿò â A0. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ïàðàèíòåðâàëîâ ñîñòàâëÿåò ìíîæåñòâî A1. Êîíöû ýòèõ èíòåðâàëîâ ïîä äåéñòâèåìf (2)(x, r) ïåðåõîäÿò â òî÷êó x = 1.

Ðèñ. 2.5. Ãðàôèê ôóíêöèè f (2)(x, r) ïðè r > 4



Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî I2 = I \ (A0 ∪ A1). Ýòî ìíîæåñòâî ñîñòî-èò èç ÷åòûðåõ çàìêíóòûõ èíòåðâàëîâ [0, q00], [q01, q0], [q1, q10], [q11, 1], è f(x, r)îòîáðàæàåò êàæäûé èç íèõ ìîíîòîííî ëèáî íà B1, ëèáî íà B2. Ñëåäîâàòåëü-íî, f (2)(x, r) îòîáðàæàåò êàæäûé èç ýòèõ èíòåðâàëîâ íà I. Íàõîäèì òàêæå, ÷òîI2 = I \ (A0 ∪ A1) ñîäåðæèò îòêðûòûå ïîäûíòåðâàëû, êîòîðûå îòîáðàæàþòñÿôóíêöèåé f (2)(x, r) íà A0. Òî÷êè èç ýòèõ ÷åòûðåõ èíòåðâàëîâ ïîêèäàþò èíòåð-âàë I ïîñëå òðåòüåé èòåðàöèè. Ïîëó÷àåì ìíîæåñòâî, êîòîðîå îáîçíà÷àåì ÷åðåçA2. Çàìå÷àåì, ÷òî f (2)(x, r) ïîïåðåìåííî âîçðàñòàåò è óáûâàåò íà ýòèõ ÷åòûðåõèíòåðâàëàõ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãðàôèê f (2)(x, r) äîëæåí èìåòü äâà ãîðáà.

Ïðîäîëæàÿ ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâ An, îòìåòèì äâà ôàêòà. Âî-ïåðâûõ, An

ñîñòîèò èç 2n íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, In+1 == I \ (A0 ∪ · · · ∪ An) ñîñòîèò èç 2n+1 çàìêíóòûõ èíòåðâàëîâ, òàê êàê

1 + 2 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1.

Âî-âòîðûõ, f (n+1)(x, r) îòîáðàæàåò êàæäûé èç ýòèõ çàìêíóòûõ èíòåðâàëîâ ìî-íîòîííî íà I. Ãðàôèê f (n+1)(x, r) ïîïåðåìåííî âîçðàñòàåò è óáûâàåò íà ýòèõèíòåðâàëàõ. Ïîýòîìó ãðàôèê f (n+1)(x, r) èìååò òî÷íî 2n ãîðáîâ íà I.

Çàìåòèì, ÷òî In = f (−1)(In−1, r) = f (−n)(I, r) è In ∈ In−1 è ìíîæåñòâî Λr

ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé

Λr =∞⋂

n=0

In (I0 = I). (2.20)

Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííûì, åñëè êàæäàÿ åãî òî÷êà ÿâëÿåò-ñÿ ïðåäåëüíîé, ò.å. ýòî ìíîæåñòâî íå ñîäåðæèò èçîëèðîâàííûõ òî÷åê.

Ëåììà 2.1. Ìíîæåñòâî Λr çàìêíóòîå ñîâåðøåííîå ìíîæåñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî.Ìíîæåñòâî Λr çàìêíóòî â ñèëó ôîðìóëû (2.20) (êàê ïåðå-ñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ). Äîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ñîâåðøåííîå. Ñíà-÷àëà çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî n âñå êîíöû èíòåðâàëîâ In (îäíîâðåìåííî îíèÿâëÿþòñÿ êîíöàìè èíòåðâàëîâ An) ñîäåðæàòñÿ â Λr. Îðáèòû ýòèõ òî÷åê, â êîíöåêîíöîâ, ïîïàäàþò â òî÷êó 0. Ïîýòîìó îíè îñòàþòñÿ â I ïðè èòåðàöèÿõ îòîáðà-æåíèÿ f(x, r). Ïóñòü x ∈ Λr è ïóñòü In,jx

äëÿ êàæäîãî n îáîçíà÷àåò êîìïîíåíòóIn, êîòîðàÿ ñîäåðæèò x. Äëÿ èíòåðâàëà A îáîçíà÷èì ÷åðåç |A| äëèíó ýòîãî èí-òåðâàëà. Åñëè |In,jx

| → 0, êîãäà n → ∞, òî êîíöû In,jxïðîèçâîëüíî áëèçêè

ê x ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n è, òàêèì îáðàçîì, x ïðèíàäëåæèò çàìûêàíèþìíîæåñòâà Λr \ x. Åñëè æå |In,jx

| íå ñòðåìèòñÿ ê 0 ïðè n →∞, òîãäà∞⋂

n=0In,jx

çàìêíóòûé èíòåðâàë è x ∈∞⋂

n=0In,jx

⊂ Λr. Òàêèì îáðàçîì, x ñíîâà ïðèíàäëåæèòçàìûêàíèþ Λr \ x. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî ìíîæåñòâî Λr ñîâåðøåííîå. ¤



Êîíöû èíòåðâàëîâ B1 è B2 ýòî òî÷êè q0 = r−√r2−4r2r , q1 = r+

√r2−4r2r ñîîòâåò-

ñòâåííî. Ïîýòîìó f ′(q0, r) =√

r2 − 4r. Ïðè r > 2+√

5 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîf ′(q0, r) > 1. Àíàëîãè÷íî ïðè r > 2+

√5 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f ′(q1, r) < −1.

Òàê êàê f ′(x, r) ìîíîòîííî óáûâàåò (f ′′(x, r) < 0), òî |f ′(x, r)| > 1 ïðè x ∈ I1.Ñëåäîâàòåëüíî, |f ′(x, r)| > 1 ïðè x ∈ Λr, êîãäà r > 2 +

√5.

Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿôóíêöèÿ. Ïóñòü Λ êîìïàêòíîå (îãðàíè÷åííîå è çàìêíóòîå) èíâàðèàíòíîåìíîæåñòâî äëÿ f (ò.å. f(Λ) = Λ). Òîãäà Λ ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî äëÿf , åñëè ñóùåñòâóåò öåëîå n0 ≥ 1 òàêîå, ÷òî |(f (n0))′(x)| > 1 äëÿ âñåõ x ∈ Λ.

Èç èçëîæåííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî Λr ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî äëÿ îòîá-ðàæåíèÿ f(x, r) ïðè r > 2 +

√5 è n0 = 1.

Ìíîæåñòâî íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ íèãäå íå ïëîòíûì, åñëè îíîíå ñîäåðæèò íèêàêîãî èíòåðâàëà, ò.å. â ëþáîé îêðåñòíîñòè êàæäîé åãî òî÷-êè åñòü òî÷êè, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò ýòîìó ìíîæåñòâó. Ñîâåðøåííûå íè-ãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ êàíòîðîâñêèìè. Ìû óæå äîêàçàëè, ÷òîìíîæåñòâî Λr ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì. Èç ãèïåðáîëè÷íîñòè ìíîæåñòâà Λr ïðèr > 2 +

√5 âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Ëåììà 2.2. Ìíîæåñòâî Λr ïðè r > 2 +√

5 ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâñêèì.

Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Λr ñîäåðæèò èíòåðâàë. Ïóñòü [a, b]⊂Λr.Äëÿ n ≥ 1 âîçüìåì ôóíêöèþ f (n)(x, r). Â ñèëó òåîðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè,ïðèìåíåííîé ê èíòåðâàëó [a, b], ïîëó÷àåì

f (n)(b, r)− f (n)(a, r) = f ′(n)(cn, r)(b− a),

ãäå cn íåêîòîðàÿ òî÷êà èíòåðâàëà [a, b]. Ïîëîæèì f ′(q0, r) =√

r2 − 4r = λ.Òàêèì îáðàçîì, |f ′(x, r)| > λ äëÿ âñåõ x ∈ I1. Ââèäó òîãî ÷òî r > 2 +

√5,

ïîëó÷àåì λ > 1. Òàê êàê cn ∈ [a, b] ⊂ Λr, òî f (i)(cn, r) ∈ Λr ⊂ I1 äëÿ âñåõ0 ≤ i ≤ n− 1. Ïîýòîìó |f ′(n)(cn, r)| ≥ λn ïî öåïíîìó ïðàâèëó è

|f (n)(b, r)− f (n)(a, r)| = |f ′(n)(cn, r)||b− a| ≥ λn|b− a|.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî|f (n)(b, r) − f (n)(a, r)| > 1, òàê êàê λ > 1. Íî ìíîæåñòâî Λr èíâàðèàíòíî è,ñëåäîâàòåëüíî, f (n)(a, r), |f (n)(b, r) ⊂ Λr ⊂ [0, 1] äëÿ âñåõ n. Ìû ïðèøëè êïðîòèâîðå÷èþ. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî Λr íå ñîäåðæèò èíòåðâàëîâ. Ñëåäîâàòåëüíî,îíî ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâñêèì. ¤



2.4.1. Ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç äâóõ ñèìâîëîâÒåïåðü ìû ïåðåéäåì ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ îòîáðàæåíèÿ f(x, r) íà èí-

âàðèàíòíîì ìíîæåñòâå Λr. Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå íàì óäàëîñü èçó÷èòü äè-íàìèêó îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1 − x) áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî f(x) îêàçàëîñü òî-ïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíî ñ êóñî÷íî-ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì (2.17). Ñåé÷àñ áó-äåò ïîñòðîåíî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíî ñ îòîáðàæåíèåìf(x, r) íà Λr.

Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõèç 0 è 1.

Îïðåäåëåíèå 2.6. Σ2 = s = (s0s1s2 . . . )|sj = 0 èëè 1.

Σ2 íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì èç äâóõ ñèìâîëîâ 0 è 1. Ìû ìîæåì ïðåâðà-òèòü Σ2 â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëèì ðàññòî-ÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè s = (s0s1s2 . . . ) è t = (t0t1t2 . . . ) ñïîìîùüþ ôîðìóëû

d[s, t] =∞∑t=0

|si − ti|2i

.

Òàê êàê |si − ti| ≤ 1, òî d[s, t] ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì∞∑i=0

12i = 2, ò.å.

d[s, t] êîíå÷íî. Íàïðèìåð, åñëè s = (111 . . . ), t = (1010 . . . ), òî

d[s, t] =∞∑i=1

1

22i−1 =2

3.

Ïðåäëîæåíèå 2. d[s, t] ìåòðèêà íà Σ2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, d[s, t] ≥ 0, d[s, t] = d[t, s] è d[s, t] ðàâíî íóëþòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà si = ti äëÿ âñåõ i. Èç íåðàâåíñòâà |ri− ti| ≤ |ri−si|++|si − ti| ñëåäóåò, ÷òî d[r, t] ≤ d[r, s] + d[s, t]. ¤

Ìåòðèêà ïîçâîëÿåò âûÿñíèòü, êàêèå ìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Σ2 îòêðûòû, àêàêèå çàìêíóòû, è îïðåäåëèòü, êàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áëèçêè äðóã ê äðóãó.Â ñàìîì äåëå, åñëè s, t ∈ Σ2 è si = ti äëÿ i = 0, 1, . . . , n, òî

d[s, t] =n∑

i=0

|si − ti|2i

+∞∑

i=n+1

|si − ti|2i

≤∞∑

i=n+1

1

2i=

1

2n.



Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè d[s, t] < 1/2n, òî si = ti äëÿ i ≤ n, òàê êàê èç íåðàâåíñòâàsj 6= tj äëÿ íåêîòîðîãî j ≤ n ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

d[s, t] ≥ 1

2j≥ 1

2n.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî áûñòðî ðåøèòü âîïðîñ î áëèçîñòè äâóõ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòåé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áëèçêè â Σ2, åñëè ðàâíû ìåæäó ñîáîé íåñêîëüêîïåðâûõ ÷ëåíîâ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íàì óäîáíî ñôîðìóëèðîâàòü ïîëó-÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå ñëåäóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ.

Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü s, t ∈ Σ2 è si = ti äëÿ i = 0, 1, . . . , n. Òîãäàd[s, t]≤ 1/2n. Îáðàòíî, åñëè d[s, t] ≤ 1/2n, òî si = ti äëÿ i ≤ n.

Îïðåäåëèì òåïåðü îòîáðàæåíèå ñäâèãà íà Σ2.

Îïðåäåëåíèå 2.7. Îòîáðàæåíèå ñäâèãà σ îïðåäåëÿåòñÿ íà Σ2 ôîðìóëîé

σ(s0s1s2 . . . ) = (s1s2s3 . . . ).

Ïðè îòîáðàæåíèè ñäâèãà èñ÷åçàåò ïåðâûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è âñåäðóãèå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñäâèãàþòñÿ íà îäíî ìåñòî âëåâî. ßñíî, ÷òîîòîáðàæåíèå σ äâóì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îäíó è òó æåïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òàê êàê s0 ðàâíî 0 èëè 1. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ïîñòðîåííîììåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå îòîáðàæåíèå σ íåïðåðûâíî.

Ïðåäëîæåíèå 3. Îòîáðàæåíèå σ : Σ2 → Σ2 íåïðåðûâíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε > 0 è s = (s0, s1s2 . . . ) ∈ Σ2. Âûáåðåì n òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû 1/2n < ε. Ïóñòü δ = 1/2n+1. Åñëè t = (t0t1t2 . . . ) ∈ Σ2 òàêàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî d[s, t] < δ, òî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2 âûïîëíÿþòñÿ ðà-âåíñòâà si = ti äëÿ i ≤ n + 1. Ñëåäîâàòåëüíî, d[σ(s), σ(t)] ≤ 1/2n < ε. ¤

Òåïåðü èññëåäóåì äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ σ. Äèíàìèêà ýòîãî îòîáðàæåíèÿïîõîæà íà äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ (1.17) èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà. Íî ñèòóà-öèÿ çäåñü ïðîùå. Ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç äâóõ ñèìâîëîâ ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêîîòîáðàæåíèå ñäâèãà.

Îòîáðàæåíèå σ èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(0, 0, 0 . . . ) è (1, 1, 1, . . . ). Ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäà 2 ýòî ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè, â êîòîðûõ ïîâòîðÿþòñÿ äâà ñèìâîëà, íàïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(010101 . . . ). Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà n ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà



(s0s1 . . . sn−1s0s1 . . . sn−1 . . . ). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò 2n ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïå-ðèîäà n. Êàæäàÿ èç ýòèõ òî÷åê ïîðîæäàåòñÿ îäíîé èç 2n êîíå÷íûõ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòåé èç ñèìâîëîâ 0 è 1 äëèíû n. Ïðåäïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ýòî ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè, ó êîòîðûõ ïîñëå íåêîòîðîãî íàáîðà ñèìâîëîâ 0 è 1 ïîâòîðÿåòñÿêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ñèìâîëîâ 0 è 1.

Î÷åâèäíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïëîòíû â Σ2. Äëÿ ëþ-áîé çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s = (s0s1s2 . . . ) íåòðóäíî ïîñòðîèòü òàêóþïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü t, ÷òî d[s, t] ≤ 1/2n.

Äàëåå, ñóùåñòâóåò ïëîòíàÿ â Σ2 îðáèòà, ò.å. îðáèòà, òî÷êè êîòîðîé îáðàçóþòïëîòíîå ìíîæåñòâî â Σ2. Îïðåäåëèì ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëåäóþùèì îáðà-çîì. Âîçüìåì ñíà÷àëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü s êîíå÷íûõ äâîè÷íûõ ðàçëîæåíèé:

s0 = 0, s1 = 1, s2 = 00, s3 = 01, s4 = 10, s5 = 11, . . . ,

äàëåå âñå íàáîðû ñèìâîëîâ 0 è 1 äëèíû 3 ïîÿâÿòñÿ, çàòåì íàáîðû äëèíû 4 èò.ä. ßñíî, ÷òî èòåðàöèè îòîáðàæåíèÿ σ, ïðèìåíåííûå ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s,äàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âäîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå íà÷àëüíûõ çíàêîâ. Îòìåòèì, ÷òî íåòðóäíî ïîñòðî-èòü ïëîòíóþ îðáèòó, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè t èç Σ2. Äëÿ ýòîãî íóæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî áëîêàïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà÷àëüíûé îòðåçîê äîñòàòî÷íî áîëüøîé äëèíû ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè t. Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 2.9. Îòîáðàæåíèå σ èìååò 2n ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïåðèîäà n.Ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïëîòíî â Σ2. Ñóùåñòâóþò ïëîòíûå â Σ2îðáèòû äëÿ îòîáðàæåíèÿ σ.

Óïðàæíåíèÿ1. Ïóñòü s = (001001001 . . . ), t = (010101 . . . ), r = (101010 . . . ). Âû÷èñëèòü

d[s, t], d[t, r], d[s, r].2. Îïèñàòü âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â Σ2, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè

òî÷êàìè ïåðèîäà 3 è 4 äëÿ îòîáðàæåíèÿ σ.3. Ïóñòü Σ′

2 ñîñòîèò èç âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â Σ2, êîòîðûå óäîâëåòâî-ðÿþò óñëîâèþ: åñëè sj = 0, òî sj+1 = 1, ò.å. Σ′

2 ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé,êîòîðûå íå ñîäåðæàò äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íóëåé. Ïîêàçàòü, ÷òî

a) σ îñòàâëÿåò Σ′2 èíâàðèàíòíûì è Σ′

2 çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî â Σ2;b) ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ σ ïëîòíû â Σ′

2;c) ñóùåñòâóåò ïëîòíàÿ â Σ′

2 îðáèòà.

4. Ïóñòü s ∈ Σ2. Îïðåäåëèì óñòîé÷èâîå ìíîæåñòâî W s(s) äëÿ s ñëåäóþùèìîáðàçîì: W s(s) ñîñòîèò èç òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé t, ÷òî d[σi(s), σi(t)] → 0,êîãäà i →∞. Îïèñàòü âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âõîäÿùèå â W s(s).



2.4.2. Îòîáðàæåíèå ñäâèãà â Σ2 è îòîáðàæåíèå f (x, r)

ïðè r > 2 +√

5

Öåëü ýòîãî ïóíêòà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ñâÿçåé ìåæäó îòîáðàæåíèåì σ èêâàäðàòè÷íûì îòîáðàæåíèåì f(x, r), êîòîðîå ðàññìàòðèâàåòñÿ íèæå.

Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî Λr ëåæèò â îáúåäèíåíèè èíòåðâàëîâ B0 = [0, q0],q0 < 1/2 è B1 = [q1, 1], q1 > 1/2. Ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñâåäåíèÿ î ïîâåäåíèèîðáèòû òî÷êè x ∈ Λr, çàìå÷àÿ, â êàêîé èç ýòèõ èíòåðâàëîâ ïîïàäàþò èòåðàöèèòî÷êè x.

Îïðåäåëåíèå 2.8. Ìàðøðóòîì òî÷êè x íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüS(x) = s0s1s2 . . . , ãäå sj = 0, åñëè f (j)(x, r) ∈ B0; sj = 1, åñëè f (j)(x, r) ∈ B1.

Ñëåäîâàòåëüíî, ìàðøðóò òî÷êè x ∈ Λr áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçñèìâîëîâ 0 è 1. Ïîýòîìó S(x) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îòîáðàæåíèå èç Λr âΣ2.

Òåîðåìà 2.10. S(x) ãîìåîìîðôèçì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî îòîáðàæåíèå S(x) âçàèìíîîäíî-çíà÷íî. Ïóñòü a, b ∈ Λr è a 6= b. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S(a) = S(b). Òîãäà äëÿêàæäîãî n òî÷êè f (n)(a, r) è f (n)(b, r) ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò òî÷êè 1/2. Îò-ñþäà ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå f(x, r) ìîíîòîííî íà èíòåðâàëå ìåæäó òî÷êàìèf (n)(a, r) è f (n)(b, r). Ïîýòîìó âåñü ýòîò èíòåðâàë ëåæèò â îáúåäèíåíèè ìíî-æåñòâ B1 è B2 ïðè ëþáîì n. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ìíîæåñòâî Λr íèãäåíå ïëîòíî.

Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî S(x) îòîáðàæàåò Λr íà Σ2. Ïóñòü s = s0s1s2 . . . . Íàéäåìx ∈ Λr, äëÿ êîòîðîãî S(x) = s. Îòìåòèì ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Åñëè J ⊂ I,ãäå J çàìêíóòûé èíòåðâàë, òî f−1(J, r) = x ∈ I : f(x, r) ∈ J ñîñòîèò èçäâóõ ïîäûíòåðâàëîâ, îäèí èç êîòîðûõ ëåæèò â B0, à äðóãîé â B1. Îïðåäåëèìèíòåðâàë Bs0s1...sn

ôîðìóëîé

Bs0s1...sn= x ∈ I : x ∈ Bs0

, f(x, r) ∈ Bs1, . . . , f (n)(x, r) ∈ Bsn

=

= Bs0∩ f−1(Bs1

, r) ∩ · · · ∩ f (−n)(Bsn, r).

Ïîêàæåì, ÷òî èíòåðâàëû Bs0s1...snîáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïóñòûõ âëî-

æåííûõ çàìêíóòûõ èíòåðâàëîâ ïðè n →∞. Çàìåòèì, ÷òî

Bs0s1...sn= Bs0

∩ f−1(Bs1...sn).

Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Bs1...sn íåïóñòîé ïîäûíòåðâàë. Ñëåäî-

âàòåëüíî, f−1(Bs1...sn) ñîñòîèò èç äâóõ çàìêíóòûõ èíòåðâàëîâ, îäèí èç êîòîðûõ



ëåæèò â B0, à äðóãîé â B1. Ïîýòîìó Bs0∩ f−1(Bs1...sn

) îäèí çàìêíóòûé èíòåð-âàë. Ðàññìàòðèâàåìûå èíòåðâàëû âëîæåííûå, ïîòîìó ÷òî

Bs0s1...sn= Bs0...sn−1

∩ f (n)(Bsn, r) ⊂ Bs0...sn−1

.

Ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî ⋂n≥0

Bs0s1...sn

íåïóñòî. Åñëè x ∈ ⋂n≥0

Bs0s1...sn, òî x ∈ Bs0

, f(x, r) ∈ Bs1è ò.ä. Ñëåäîâàòåëüíî,

S(x) = (s0s1 . . . ). Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî S(x) îòîáðàæàåò Λr íà Σ2.Çàìåòèì, ÷òî

⋂n≥0

Bs0s1...snñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ýòî ñëåäóåò èç âçàèìíî-

îäíîçíà÷íîñòè S(x). Â ÷àñòíîñòè, íàõîäèì, ÷òî diam Bs0s1...sn→ 0 ïðè n →∞.

Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå S(x) íåïðåðûâíî. Âûáåðåì x ∈ Λr èïðåäïîëîæèì, ÷òî S(x) = s0s1s2 . . . . Âîçüìåì ε > 0 è âûáåðåì n òàêèì îáðàçîì,÷òî 1/2n < ε. Ðàññìîòðèì çàìêíóòûå èíòåðâàëû Bt0t1...tn, êîòîðûå îïðåäåëåíûâûøå, äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ íàáîðîâ t0t1 . . . tn. Ýòè èíòåðâàëû íå ïåðåñåêàþòñÿ,è â èõ îáúåäèíåíèè ñîäåðæèòñÿ ìíîæåñòâî Λr. Âñåãî ñóùåñòâóåò 2n+1 òàêèõèíòåðâàëîâ. Ïîýòîìó ìû ìîæåì âûáðàòü δ < 1/2n+1 òàê, ÷òî |x − y| < δ èy ∈ Λr âëå÷åò y ∈ Bs0s1...sn

. Cëåäîâàòåëüíî, ó S(x) è S(y) ñîâïàäàþò ïåðâûå n+1÷ëåíîâ. Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2

d[S(x), S(y)] <1

2n< ε.

Ýòî äîêàçûâàåò íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ S(x). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî S−1(s)òàêæå íåïðåðûâíî. ¤

Òåîðåìà 2.11. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî S f(x, r) = σ S.Äîêàçàòåëüñòâî. Òî÷êà x ∈ Λr ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî ïîñëå-

äîâàòåëüíîñòüþ çàìêíóòûõ âëîæåííûõ èíòåðâàëîâ∞⋂

n=0Bs0s1...sn

, êîòîðàÿ îïðå-äåëÿåòñÿ ìàðøðóòîì S(x). Íàïîìíèì, ÷òî

Bs0s1...sn= Bs0

∩ f (−1)(Bs1, r) ∩ · · · ∩ f (−n)(Bsn

, r).

Ïîýòîìó f(Bs0s1...sn, r) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

Bs1∩ f (−1)(Bs2

, r) ∩ · · · ∩ f (−n+1)(Bsn, r) = Bs1...sn

,

òàê êàê f(Bs0, r) = I. Ñëåäîâàòåëüíî,

Sf(x, r) = Sf( ∞⋂

n=0

Bs0s1...sn, r

)= S

( ∞⋂n=1

Bs1...sn

)= s1s2 · · · = σS(x). ¤



Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà σ íà ïðîñòðàíñòâå Σ2 è îòîáðàæåíèåf(x, r) ïðè r > 2 +

√5 íà Λr òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíû è îáëàäàþò âî ìíîãîì

îäèíàêîâûìè ñâîéñòâàìè. Íàïîìíèì, ÷òî ðàíåå áûëè óñòàíîâëåíû ñëåäóþùèåñâîéñòâà îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà σ. Äëÿ êàæäîãî n ñóùåñòâóåò 2n ïåðèîäè÷åñêèõòî÷åê, ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïëîòíû â Σ2, ñóùåñòâóåò ïëîòíàÿ â Σ2 îðáèòà. Äà-ëåå, èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 2.12. Îòîáðàæåíèå f(x, r) ïðè r > 2 +√

5 îáëàäàåò ÷óâñòâè-òåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå f îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîéçàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé íà ìíîæåñòâå B, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîåδ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ B è ëþáîé îêðåñòíîñòè U(x) òî÷êè x ñóùåñòâó-þò y ∈ U(x) è n ≥ 0 òàêèå, ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |f (n)(x)− f (n)(y)| > δ.×òîáû äîêàçàòü òåîðåìó, âûáåðåì δ ìåíüøå äèàìåòðà ìíîæåñòâà A0, ò.å. èíòåð-âàëà â ñåðåäèíå [0,1], òî÷êè êîòîðîãî ïîêèäàþò I ïðè îäíîé èòåðàöèè. Ïóñòüx, y ∈ Λr. Åñëè x 6= y, òî S(x) 6= S(y). Ïîýòîìó ìàðøðóòû òî÷åê x è yäîëæíû îòëè÷àòüñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, â îäíîì çíàêå, íàïðèìåð â n-îì. Òî-ãäà òî÷êè f (n)(x, r) è f (n)(y, r) ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò A0. Ñëåäîâàòåëüíî,|f (n)(x, r)− f (n)(y, r)| > δ. ¤

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îòîáðàæåíèå f(x, r) ïðè r > 2 +√

5 íàìíîæåñòâå Λr îáëàäàåò ñëåäóþùèìè òðåìÿ ñâîéñòâàìè:

1) ìíîæåñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ïëîòíî â Λr;2) ñóùåñòâóåò ïëîòíàÿ â Λr îðáèòà;3) îòîáðàæåíèå f(x, r) îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëü-

íûõ óñëîâèé.Èç îïðåäåëåíèÿ 1.4 ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Òåîðåìà 2.13. Îòîáðàæåíèå f(x, r) = rx(1− x) ïðè r > 2 +√

5 õàîòè÷íîíà Λr.


ÏðèëîæåíèÿÏðèëîæåíèå 1. Àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõèòåðàöèé

Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (0, X) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-ñòâó 0 < f(x) < x è íåïðåðûâíà. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èòåðàöèé xn+1 =f(xn) (n = 0, 1, 2, . . . , x0 ∈ (0, X)) îïðåäåëåíà, óáûâàåò è ëåæèò íà (0, X). Ïî-ýòîìó îíà ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ξ ∈ (0, X). Î÷åâèäíî, ξ = 0, òàê êàê èíà÷å ξ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f(x), ÷òî èñêëþ÷åíî óñëîâèåì, íàëîæåííûìíà ôóíêöèþ f(x). Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èòåðàöèé xn ñõîäèòñÿ ê íóëþ. Êà-êîâà àñèìïòîòèêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè n → ∞? Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îòâåòñîäåðæèòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.

Òåîðåìà 1 [5]. Ïóñòü f(x) = λx + O(ϕ(x)), ãäå 0 < λ < 1, à ôóíêöèÿϕ(x) > 0, x−1ϕ(x) íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ è

∫

0

x−2ϕ(x)dx < ∞.

Òîãäàxn ∼ Cλn (n →∞),

ãäå C ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (çàâèñÿùàÿ îò x0).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì ω(x) = f(x)−λx. Òîãäà ω(x) = O(ϕ(x)). Ðåøàÿðàçíîñòíîå óðàâíåíèå xn+1 = f(xn), ïîëó÷àåì

xn = λnx0

n−1∏

k=0

(1 +

1

λ

ω(xk)

xk

).

Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ∞∏

k=0

(1 +

1

λ

ω(xk)

xk

).

79


80 Ïðèëîæåíèÿ

Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [9]), äëÿ ñõîäèìîñòè ýòîãî áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâå-äåíèÿ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñõîäèëñÿ ðÿä

∞∑

k=0

ϕ(xk)

xk.

Èç óñëîâèé, íàëîæåííûõ íà ôóíêöèþ ϕ(x), ñëåäóåò, ÷òî x−1ϕ(x) → 0 ïðè x → 0.Ïîýòîìó

limk→∞

xk

xk−1= lim

k→∞λxk−1 + O(ϕ(xk−1))

xk−1= λ.

Èç ïîñëåäíåãî ïðåäåëüíîãî ðàâåíñòâà è èç òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ x−1ϕ(x) íå óáû-âàåò, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî

xk−1∫

xk

x−2ϕ(x)dx ≥ x−1k ϕ(xk) ln

xk−1

xk≥ cx−1

k ϕ(xk),

ãäå c ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òåïåðü ïîëó÷àåì, ÷òî∞∑

k=0

ϕ(xk)

xk≤ 1

c

x0∫

0

x−2ϕ(x)dx < ∞. ¤

Óñëîâèÿì òåîðåìû óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ f(x) = rx− rx1+α, ãäå 0 < r < 1,α > 0 íà ïðîìåæóòêå (0, 1]. Ïîýòîìó äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn = f(xn−1)íàõîäèì àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó xn ∼ Crn (n →∞).

Ñëîæíåå ñèòóàöèÿ â ñëó÷àå, êîãäà λ = 1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêèïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn = f(xn−1) ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(x) = x− f(x). Òîãäàðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä

xn − xn−1 = −ϕ(xn−1).

Ñ÷èòàÿ, ÷òî xn ýòî çíà÷åíèå â òî÷êå n íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèè θ(x), îïðå-äåëåííîé íà [1, +∞), ïîëó÷àåì

θ(n)− θ(n− 1) = −ϕ(θ(n− 1)).

Åñëè ïðèáëèæåííî çàìåíèòü ðàçíîñòü θ(n)− θ(n−1) íà ïðîèçâîäíóþ θ′(n−1), òîôóíêöèÿ θ(x) óäîâëåòâîðÿåò“äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ“ θ′(x)≈−ϕ(θ(x)).Ðåøàÿ ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íàõîäèì

θ(1)∫

θ(n)

dt

ϕ(t)≈ n,


Àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé 81

ò.å. xn = θ(n) ≈ Φ−1(n), ãäå

Φ(y) =

θ(1)∫

y

dt

ϕ(t).

Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ýòèõ ýâðèñòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íàäî èçó÷èòü ðàçíîñòèΦ(xn) − Φ(xn−1) è, èñïîëüçóÿ äàííîå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, óáåäèòüñÿ âòîì, ÷òî îíè ñòðåìÿòñÿ ê åäèíèöå. Òîãäà, ñëîæèâ ðàâåíñòâà Φ(xk)− Φ(xk−1) == 1 + o(1) ïðè k = 1, . . . , n, ïîëó÷èì Φ(xn) = n + o(n). Òàêèì îáðàçîì, xn == Φ−1(n+o(n)). Èíîãäà äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê âìåñòî ôóíêöèè Φ(y) óäîáíååðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ Φ(y), åé ýêâèâàëåíòíóþ. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà âîçüìåìïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = xn−1 − x2

n−1. Ïîëó÷èì

Φ(y) =

x1∫

y

dt

t2∼ 1

y= Φ(y).

Äëÿ ðàçíîñòè Φ(xn)− Φ(xn−1) ïîëó÷àåì

Φ(xn)− Φ(xn−1) =1

xn− 1

xn−1=

xn−1 − xn

xnxn−1→ 1

ïðè n → ∞. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Φ(xn) = 1xn∼ n. Òàêèì îáðàçîì, xn ∼ 1

n ïðèn →∞.

Òåïåðü ïðèâåäåì òåîðåìó, êîòîðàÿ ôîðìàëèçóåò ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ.

Òåîðåìà 2 [5]. Ïóñòü xn+1 = f(xn), n = 0, 1, . . . , ãäå f(x) = x−ϕ(x) + ζ(x)(0 < x ≤ X). Ôóíêöèÿ ϕ(x) > 0, äèôôåðåíöèðóåìà è ϕ′(x) ≤ 0. Âûïîëíåíûïðåäåëüíûå ðàâåíñòâà:

limx→0

ϕ(x) = 0, limx→0

ϕ′(x) = 0, limx→0

ζ(x)

ϕ(x)= 0.

Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ(t) (0 ≤ t < ∞), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ôóíêöèè

t(x) =

X∫

x

dξ

ϕ(ξ)(0 < x ≤ X),

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþlimt→∞

tψ′(t)ψ(t)

> −∞.



Òîãäàxn ∼ ψ(n) (n →∞).

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ϕ(x) ñëåäóåò, ÷òîxk−1∫

xk

dξ

ϕ(ξ)≥ xk−1 − xk

ϕ(xk−1= 1− ζ(xk−1)

ϕ(xk−1).

Ñóììèðóÿ íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì

t(xk) ≥ k −k−1∑

i=0

ζ(xi)

ϕ(xi)+

X∫

x0

dξ

ϕ(ξ).

Òàê êàêlimi→∞

ζ(xi)

ϕ(xi)= 0,

òîlimk→∞

t(xk)

k≥ 1.

ÏîëîæèìPk =

ϕ(xk−1)

ϕ(xk), Qk =

ζ(xk−1)

ϕ(xk).

Ïî ôîðìóëå êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé

Pk = 1 +ϕ′(ξk)(xk−1 − xk)

ϕ(xk,

ãäå xk < ξk < xk−1. Ñëåäîâàòåëüíî,

Pk = 1 + ϕ′(ξk)

(1− ζ(xk−1)

ϕ(xk−1)

)Pk.

Îòñþäàlimk→∞

Pk = 1,

òàê êàê Pk îãðàíè÷åíî è ϕ′(ξk) → 0 ïðè k →∞. Äàëåå,

limk→∞

Qk = limk→∞

Pkζ(xk−1)

ϕ(xk−1)= 0.


Àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé 83

Íîxk−1∫

xk

dξ

ϕ(ξ)≤ xk−1 − xk

ϕ(xk)= Pk −Qk,

îòêóäà

t(xk) ≤ k +k−1∑i=0

(Pi − 1−Qi) +

X∫

x0

dξ

ϕ(ξ)

è, ñëåäîâàòåëüíî,limk→∞

t(xk)

k≤ 1.

Òàêèì îáðàçîì,limk→∞

t(xk)

k= 1.

Èòàê,X∫

xk

dξ

ϕ(ξ)∼ k k →∞.

Îñòàåòñÿ îáðàòèòü ýòó àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó.Ôóíêöèÿ

λ(t) =tψ′(t)ψ(t)

(t > 0)

ïî óñëîâèþ îãðàíè÷åíà ñíèçó, ò.å. λ(t) > −c > −∞ è λ(t) < 0, òàê êàêψ′(t) = −ϕ(ψ(t)) < 0. Ïîñêîëüêó ψ(0) = X, òî

ψ(t) = X exp

( t∫

0

λ(τ)

τdτ

).

Îòñþäàψ(t + h)

ψ(t)= exp

( t+h∫

t

λ(τ)

τdτ

)

è ïðè h > 0 (t

t + h

)c

<ψ(t + h)

ψ(t)< 1,

à ïðè h < 0

1 <ψ(t + h)

ψ(t)<

(t

t + h

)c

.



Ñëåäîâàòåëüíî,ψ(t + h)

ψ(t)→ 1 (t →∞, h = o(t)).

Â ÷àñòíîñòè,limk→∞

ψ(t(xk))

ψ(k)= 1.

Òàêèì îáðàçîì, xk ∼ ψ(k) ïðè k →∞. ¤

Óïðàæíåíèÿ1. Íàéäèòå àñèìïòîòèêó ðåêóððåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé xn = f(xn−1),

x0 > 0 â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:

à) f(x) =x

1 +√

x; á) f(x) =

x

1 + x3 ;

â) f(x) = sin x, x0 < π; ã) f(x) = arctan x.

Ïðèëîæåíèå 2. Ñîâåðøåííûå íèãäå íå ïëîòíûåìíîæåñòâà íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé

Ñîâåðøåííûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, êàæäàÿ òî÷êàêîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ýòîãî ìíîæåñòâà, ò.å. ìíîæåñòâî íå ñî-äåðæèò èçîëèðîâàííûõ òî÷åê. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ íèãäå íå ïëîòíûì íàïðîìåæóòêå [a, b], åñëè êàæäûé èíòåðâàë (α, β) ⊂ [a, b] ñîäåðæèò ïîäûíòåð-âàë (α1, β1) ⊂ (α, β), â êîòîðîì íåò òî÷åê ìíîæåñòâà A. Ïðèìåð ñîâåðøåííîãîíèãäå íå ïëîòíîãî ìíîæåñòâà íà èíòåðâàëå [0, 1] áûë ïîñòðîåí Ã. Êàíòîðîì èíîñèò íàçâàíèå êàíòîðîâà ìíîæåñòâà èëè êàíòîðîâà òðèõîòîìè÷åñêîãî ìíîæå-ñòâà. Îïèøåì ïîñòðîåíèå êàíòîðîâà ìíîæåñòâà C. Âîçüìåì ñåãìåíò ∆ = [0, 1].Óäàëèì èç [0, 1] âñå òî÷êè èíòåðâàëà δ = (1/3, 2/3). Îñòàíóòñÿ äâà ñåãìåíòà:∆0 = [0, 1/3], ∆1 = [2/3, 1]. Çàòåì ñ êàæäûì ñåãìåíòîì ∆0 è ∆1 ïîñòóïèìòàê æå, êàê è ñ ñåãìåíòîì ∆. Óäàëèì ñðåäíèå èíòåðâàëû δ0 = (1/9, 2/9) èδ1 = (7/9, 8/9). Îñòàíóòñÿ äâà ñåãìåíòà ∆00 = [0, 1/9], ∆01 = [2/9, 1/3] íà ∆0è äâà ñåãìåíòà ∆10 = [2/3, 7/9], ∆11 = [8/9, 1] íà ∆1. Ó êàæäîãî èç ÷åòûðåõñåãìåíòîâ óäàëèì ñðåäíþþ òðåòü, ò.å. óäàëèì ÷åòûðå èíòåðâàëà

δ00 =

(1

27,

2

27

), δ01 =

(7

27,

8

27

), δ10 =

(19

27,20

27

), δ11 =

(25

27,26

27

).

Ýòî ïîñòðîåíèå ïðîäîëæèì áåçãðàíè÷íî. Òîãäà èç ∆ = [0, 1] ìû óäàëèì ìíîæå-ñòâî, ñîñòîÿùåå èç îáúåäèíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ

δ, δ0, δ1, δ00, δ01, δ10, δ11, . . . ,


Ñîâåðøåííûå íèãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâà 85

ò.å. óäàëèì îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Îñòàâøååñÿ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî è åñòü êàí-òîðîâî ìíîæåñòâî C.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Πn ñîâîêóïíîñòü 2n ñåãìåíòîâ ∆i1...in (êàæäûé èç èíäåêñîâi1, . . . , in ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1), êîòîðàÿ ïîëó÷åíà ïîñëå n øàãîâ ïðîöåññàïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà C. Äëèíà êàæäîãî èç ñåãìåíòîâ ∆i1...in ðàâíà 1

3n , è îíèíàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè ≥ 1

3n äðóã îò äðóãà. Ìíîæåñòâî

Π =∞⋂

n=1

Πn,

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ ìíîæåñòâ Πn (Π ýòî ñîâîêóïíîñòü òî÷åê,ïðèíàäëåæàùèõ âñåì Πn), ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì C. Êàæäàÿ òî÷êà x ∈ Cïðèíàäëåæèò åäèíñòâåííîìó ñåãìåíòó ∆i1, åäèíñòâåííîìó (ëåæàùåìó íà ∆i1)ñåãìåíòó ∆i1i2, è, âîîáùå, åäèíñòâåííîìó ñåãìåíòó ∆i1...in. Ïîýòîìó êàæäîé òî÷êåx ∈ C ñîîòâåòñòâóåò îäíîçíà÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ

∆i1 ⊃ ∆i1i2 ⊃ ∆i1i2i3 ⊃ · · · ⊃ ∆i1i1...in ⊃ . . . ,

à çíà÷èò, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ i1, i2, . . . , in, . . . , êàæäûé èç êîòîðûõðàâåí 0 èëè 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî C ñîâåðøåííîå, òàê êàê êàæäàÿòî÷êà x ∈ C ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíöîâ ñåãìåíòîâ ∆i1...in,êîòîðûå, î÷åâèäíî, ïðèíàäëåæàò C. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ òî÷êà x ∈ C ýòî ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà C. Äàëåå, ìíîæåñòâî C íàõîäèòñÿ âî âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé i1, i2, . . . , in, . . . ,ãäå in = 0 èëè 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñìíîæåñòâîì âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èç [0, 1], òàê êàê êàæäîå âåùåñòâåííîå÷èñëî èç [0, 1] ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äâîè÷íîé äðîáè. Âíóòðè[0, 1] íå ñóùåñòâóåò îòêðûòîãî èíòåðâàëà, êîòîðûé íå èìåë áû îáùèõ òî÷åê,ïî êðàéíåé ìåðå ñ îäíèì èç âûáðàñûâàåìûõ èíòåðâàëîâ δi1...in, ïðè ïîñòðîåíèèêàíòîðîâà ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî C íèãäå íå ïëîòíî. Ýòî óòâåðæäå-íèå òàêæå ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ñîâîêóïíîñòü âûáðîøåííûõ èíòåðâàëîâîáðàçóåò ìíîæåñòâî G âñþäó ïëîòíîå íà [0, 1], ò.å. â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êèx ∈ [0, 1] íàéäåòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà òî÷êà y ∈ G.

Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî C ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè òðîè÷íîé (ñ îñíî-âàíèåì 3) ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, òî÷íåå, ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà òðîè÷íûõ äðîáåé.Â ïåðâûé óäàëåííûé èíòåðâàë δ = (1/3, 2/3) ïîïàäàþò òî÷êè, ïðè ðàçëîæåíèèêîòîðûõ â òðîè÷íóþ äðîáü

x = 0.a1a2a3 . . . (ak = 0, 1, 2)

íåîáõîäèìî a1 = 1. Êîíöû æå ýòîãî èíòåðâàëà äîïóñêàþò êàæäûé ïî äâà ïðåä-



ñòàâëåíèÿ1

3=

0.1000 . . .0.0222 . . .

,2

3=

0.1222 . . .0.2000 . . .

Äëÿ íàñ âàæíî çàìåòèòü, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ òî÷åê èìååò ðàçëîæåíèå, â êî-òîðîì ó÷àñòâóþò òîëüêî öèôðû 0 è 2. Âñå îñòàëüíûå òî÷êè ñåãìåíòà [0, 1] ïðèðàçëîæåíèè â òðîè÷íóþ äðîáü íå ìîãóò èìåòü íà ïåðâîì ìåñòå ïîñëå çàïÿòîéåäèíèöó. Èòàê, íà ïåðâîì øàãå ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà óäà-ëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå òî÷êè, ïåðâûé òðîè÷íûé çíàê êîòîðûõ íåîáõîäèìî åñòü1. Àíàëîãè÷íî ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî íà âòîðîì øàãå ïðîöåññà óäàëÿþòñÿ òå èòîëüêî òå òî÷êè, âòîðîé òðîè÷íûé çíàê êîòîðûõ íåîáõîäèìî ðàâåí 1, è ò.ä. Ïî-ýòîìó êàíòîðîâî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç òî÷åê, êîòîðûå ìîãóò áûòü èçîáðàæåíûòðîè÷íîé äðîáüþ

0.a1a2a3 . . . ,

â êîòîðîé íè îäíî èç ak íå ðàâíî åäèíèöå. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåòîõàðàêòåðèçîâàòü òî÷êè ìíîæåñòâà C, íå ÿâëÿþùèåñÿ êîíöàìè âûáðàñûâàåìûõèíòåðâàëîâ. Ýòè òî÷êè ïðåäñòàâëÿþòñÿ òðîè÷íîé äðîáüþ âèäà

0.a1a1a3 . . . ,

íå ñîäåðæàùåé 0 èëè 2 â ïåðèîäå. Ìåðà (äëèíà) ìíîæåñòâà âûáðàñûâàåìûõèíòåðâàëîâ, î÷åâèäíî, ðàâíà èõ ñóììå

1

3+

2

9+ · · · = 1.

Ïîýòîìó ìåðà ìíîæåñòâà C êàê ðàçíîñòü ìåæäó ìåðîé (äëèíîé) èíòåðâàëà [0, 1]è ìíîæåñòâà G ðàâíà 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî Êàíòîðà C èìååò ìåðó íóëü,õîòÿ åãî ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ ìíîæåñòâîìâñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñåãìåíòà [0, 1].

Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà Êàíòîðà ìîæíî îáîáùèòü. Âîçüìåì ïîëîæè-òåëüíûå ÷èñëà r1, r2, ñóììà êîòîðûõ ìåíüøå åäèíèöû. Ââåäåì ìíîæåñòâà

Π0 = [0, 1], Π1 = [0, r1]⋃

[1− r2, 1],

Π2 = [0, r21]

⋃[r1(1− r2), r1]

⋃[1− r2, 1− r2(1− r2)]

⋃[1− r1r2, 1]

è ò.ä. Òîãäà ìíîæåñòâî

C =∞⋂

k=1

Πk

ñîâåðøåííîå íèãäå íå ïëîòíîå íà ñåãìåíòå [0, 1] ìíîæåñòâî ìåðû íóëü. Ïðèr1 = r2 = 1/3 ïîëó÷àåì êàíòîðîâî ìíîæåñòâî.


Ñîâåðøåííûå íèãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâà 87

Ìåòîä, ïðèìåíåííûé äëÿ ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà, ìîæíî îáîá-ùèòü, ÷òîáû ïîñòðîèòü ñîâåðøåííîå íèãäå íå ïëîòíîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëü-íîé ìåðû. Ïóñòü α ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è α < 1. Ñíà÷àëà óäàëèì èç [0, 1]âñå òî÷êè îòêðûòîãî èíòåðâàëà (1

2 − 14α, 1

2 + 14α) äëèíû 1

2α. Èç äâóõ îñòàâøèõñÿñåãìåíòîâ [0, 1

2 − 14α] è [12 + 1

4α, 1] óäàëèì ñðåäíèå èíòåðâàëû (14 − 3

16α, 14 + 1

16α)

è (34 − 1

16α, 34 + 3

16α), äëèíà êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà 18α. Çàòåì èç îñòàâøèõ-

ñÿ ÷åòûðåõ ñåãìåíòîâ äëèí 14(1 − 1

2α − 14α) óäàëÿåì ñðåäíèå èíòåðâàëû äëèíû

132α. Ïîñëå n øàãîâ äëèíà óäàëåííûõ èíòåðâàëîâ ðàâíà α(1

2 + 14 + · · · + 1

2n ) è,ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ ñóììà äëèí óäàëåííûõ èíòåðâà-ëîâ áóäåò ðàâíà α. Ïîýòîìó ìåðà îñòàâøåãîñÿ ñîâåðøåííîãî íèãäå íå ïëîòíîãîìíîæåñòâà áóäåò ðàâíà 1−α. Ïîëó÷åííîå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êàí-òîðîâûì ìíîæåñòâîì ïîëîæèòåëüíîé ìåðû.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ñîâåðøåííûõ íèãäå íå ïëîòíûõ ìíî-æåñòâ A è B íà [0, 1] cóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x), èìåþùàÿ íåïðå-ðûâíóþ îáðàòíóþ ôóíêöèþ è ïðåîáðàçóþùàÿ A â B, ò.å. ìíîæåñòâà A è Bãîìåîìîðôíû.

Âîçüìåì íà ïðîìåæóòêå [0, 1] êàíòîðîâñêîå òðèõîòîìè÷åñêîå ìíîæåñòâî C.Ïîñòðîèì íà [0, 1] ôóíêöèþ τ(x) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà èíòåðâàëå δ=(1/3, 2/3)ïîëîæèì τ(x)=1/2. Íà èíòåðâàëå δ0 ïîëîæèì τ(x)=1/22, à íà δ1 τ(x)=3/22.Äàëåå, τ(x) = 1/23 íà δ00, τ(x) = 3/23 íà δ01, τ(x) = 5/23 íà δ10, τ(x) = 7/23

íà δ11, . . . , τ(x) = 1/2k−1 íà ñàìîì ëåâîì èíòåðâàëå èç ñîâîêóïíîñòè èíòåðâà-ëîâ âèäà δi1...ik , ãäå ñèìâîëû i1, . . . , ik ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 0 è 1, τ(x) = 3/2k−1

íà âòîðîì èíòåðâàëå,. . . , τ(x) = (2k−1 − 1)/2k−1. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ τ(x)îïðåäåëèòñÿ íà âñåì äîïîëíåíèè C ′ ìíîæåñòâà C. Îíà ìîíîòîííà íà ìíîæå-ñòâå C ′, è ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé âñþäó ïëîòíî íà [0, 1], òàê êàê çíà÷åíèÿìèôóíêöèè τ(x) íà C ′ ÿâëÿþòñÿ âñå äâîè÷íî-ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ìåæäó 0 è 1.

Òåïåðü äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ τ(x) íà C. Ïîëîæèì

τ(x) = supζ<x,ζ∈C ′

τ(ζ)

äëÿ x ∈ C. Òàêèì îáðàçîì, â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ â òî÷êå x ∈ C ïðèíèìàåìâåðõíþþ ãðàíü çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè íà òîé ÷àñòè ìíîæåñòâà C ′, êîòîðîå ëå-æèò ñëåâà îò x. Ïîëàãàÿ, êðîìå òîãî, τ(0) = 0, ìû îïðåäåëèì ôóíêöèþ τ(x)íà âñåì ïðîìåæóòêå [0, 1]. Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êàíòîðà. Ôóíê-öèÿ τ(x) ìîíîòîííà â ñèëó ñàìîãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè. Äîêàæåì, ÷òîτ(x) íåïðåðûâíà íà [0, 1]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ýòà ôóíêöèÿ áûëà ðàçðûâíàâ íåêîòîðîé òî÷êå x0 ∈ [0, 1], òî ââèäó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè õîòÿ áû îäèí èçèíòåðâàëîâ (τ(x0−0), τ(x0)), (τ(x0), τ(x0+0)) íà îòðåçêå 0 ≤ y ≤ 1 íå ñîäåðæàëáû íè îäíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè. Îäíàêî ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê çíà÷åíèÿìèôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ, â ÷àñòíîñòè, âñå äâîè÷íî-ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, à îíè ðàñ-



ïîëîæåíû âñþäó ïëîòíî íà 0 ≤ y ≤ 1. Èòàê, ôóíêöèÿ τ(x) íå èìååò íè îäíîéòî÷êè ðàçðûâà; çíà÷èò, îíà íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ïðìåæóòêà [0, 1]. Ãðà-ôèê ôóíêöèè τ(x) íàçûâàåòñÿ ÷åðòîâîé ëåñòíèöåé (êàíòîðîâîé ëåñòíèöåé). Ýòàëåñòíèöà ïî÷òè âñþäó ãîðèçîíòàëüíà.

Ïðèëîæåíèå 3. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ìíîæåñòâàè îòîáðàæåíèå f (x, r) = rx(1− x) ïðè r > 4

Â ïóíêòå 4 ãëàâû 2 áûëî èññëåäîâàíî îòîáðàæåíèå f(x, r) = rx(1 − x) ïðèr > 2 +

√5. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê Λr, êîòîðîå íå ïîêèäàåò

ïðîìåæóòîê I = [0, 1] ïðè äåéñòâèè îòîáðàæåíèÿ f(x, r), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñîâåðøåííîå íèãäå íå ïëîòíîå ìíîæåñòâî íà I. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòàîïèðàëîñü íà ñëåäóþùåå ñâîéñòâî îòîáðàæåíèÿ f(x, r). Ïðè r > 2 +

√5 ñïðà-

âåäëèâî íåðàâåíñòâî |f ′(x, r)| > 1 äëÿ âñåõ òî÷åê ìíîæåñòâà I1 = [0, q0] ∪ [q1, 1],ãäå f(q0) = f(q1) = 1, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ ìíîæåñòâî Λr. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîìíîæåñòâî Λr ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì äëÿ f(x, r). Ïðè r ∈ (4, 2+

√5) ñèòóà-

öèÿ ñëîæíåå. Òåïåðü â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà I1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî|f ′(x, r)| ≤ 1. Òåì íå ìåíåå áóäåò äîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî Λr ÿâëÿåòñÿ ãèïåð-áîëè÷åñêèì äëÿ f(x, r).

Ñëåäóþùàÿ ëåììà äàåò âîçìîæíîñòü óïðîñòèòü äîêàçàòåëüñòâî ãèïåðáîëè÷-íîñòè êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ.

Ëåììà 1. Ïóñòü f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.Ïóñòü Λ êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x). Òî-ãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû :

(I) Ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå C > 0 è λ > 1, ÷òî |(f (n))′(x)| ≥ Cλn

äëÿ âñåõ x ∈ Λ è âñåõ n ≥ 1.(II) Ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå N ≥ 1, ÷òî |(f (n))′(x)| > 1 äëÿ âñåõ x ∈ Λ è

âñåõ n ≥ N .(III) Ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå n0 ≥ 1, ÷òî |(f (n0))′(x)| > 1 äëÿ âñåõ x ∈ Λ.(IV) Äëÿ êàæäîãî x ∈ Λ ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå nx ≥ 1, êîòîðîå ìîæåò

çàâèñåòü îò x, ÷òî |(f (nx))′(x)| > 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî (IV)⇒(III). Â ñèëó óñëîâèé ëåììû äëÿ ëþ-áîãî x ∈ Λ íàéäåòñÿ òàêîå nx, ÷òî | d

dxf (nx)(x)| > 1 è ddxf (nx)(x) íåïðåðûâíà. Ïî-

ýòîìó ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Ux òî÷êè x è òàêîå λx > 1, ÷òî äëÿ âñåõ y ∈ Ux

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ddxf (nx)(y)| > λx. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà Ux|x ∈ Λ

ïîêðûâàþò êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Λ. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæ-íî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîêðûòèå Uik

i=1. Âñå ÷èñëà λiki=1 ñòðîãî áîëüøå 1 è


Ãèïåðáîëè÷åñêèå ìíîæåñòâà 89

öåëûå niki=1 òàêèå, ÷òî | d

dxf (ni)(y)| > λi äëÿ âñåõ y ∈ Ui. Ïóñòü

ν = maxn1, . . . , nk, λ0 = minλ1, . . . , λk, m = minx∈Λ

|f ′(x)|.

Òàê êàê Λ êîìïàêò, òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå |f ′(x)| ïðèíèìàåò â íåêîòîðîéòî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà. Ñëåäîâàòåëüíî, m>0. Âûáåðåì öåëîå k òàê, ÷òîáû âû-ïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî λk

0mν > 1, è ïîëîæèì n0 = kν + ν. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè

òàêîì âûáîðå n0 äëÿ âñåõ x ∈ Λ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî | ddxf (n0)(x)| > 1. Âûáå-

ðåì x ∈ Λ è îðãàíèçóåì ïðîöåññ âûáîðà n0, êîòîðûé çàâèñèò îò x è îêàí÷èâàåòñÿçà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Âûáåðåì ν1 òàê, ÷òî x ∈ Uν1

. Ïîëîæèì η = nν1è âû-

áåðåì ν2 òàê, ÷òî f (η)(x) ∈ Uν2. Åñëè η + nν2

> kν, òî ïðîöåññ âûáîðà çàêîí÷åí.Åñëè ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ, òî íàõîäèì ν3. Ïóñòü îïðåäåëåíû÷èñëà ν1, . . . , νj. Ïîëîæèì η =

j∑i=1

nνi. Âûáåðåì νj+1 òàê, ÷òî f (η)(x) ∈ Uνj+1

.Ïóñòü η + nνj+1

> kν. Ïðîöåññ âûáîðà çàêîí÷åí ïîñëå j øàãîâ. Òàêèì îáðàçîì,

kν <j∑

i=1nνi

< kν+ν. Îïðåäåëÿåì n0 = nν1+nν2

+· · ·+nνj+ix, ãäå 0 ≤ ix ≤ ν. Òàê

êàê êàæäîå nνi≤ ν, òî j ≥ k. Îöåíèì | d

dxf (n0)(x)|, èñïîëüçóÿ öåïíîå ïðàâèëî.Ïîëó÷àåì

∣∣∣ d

dxf (n0)(x)

∣∣∣ =∣∣∣ d

dx(f (ix)(f (nνj

)(f (nνj−1)(. . . f (nν1

))))(x)∣∣∣ ≥ mixλνj

λνj−1. . . λν1

â ñèëó ñâîéñòâ êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ Uiki=1. Òàê êàê m ≤ 1 è ix ≤ ν, òî

mixλνjλνj−1

. . . λν1≥ mνλνj

λνj−1. . . λν1

≥ mνλj0 ≥ mνλk

0 > 1.

Â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ó÷òåíî, ÷òî j ≥ k è λ0 > 1. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõx ∈ Λ, | d

dxf (n0)(x)| > 1. Ýòî äîêàçûâàåò (III).(III)⇒(II). Åñëè n0 = 1 â (III), òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì,

÷òî n0 > 1. Ïóñòü

λ = min∣∣∣ d

dxf (n0)(x)

∣∣∣

, m = minx∈Λ

|f ′(x)|,

òàê ÷òî â ñèëó êîìïàêòíîñòè Λ âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà λ > 1, m > 0. Ââèäóòîãî ÷òî n0 > 1, äîëæíî áûòü m ≤ 1. Âûáåðåì k òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîë-íÿëîñü íåðàâåíñòâî mn0−1λk > 1. Ïóñòü N = n0k + (n0 − 1). Åñëè n > N , òîïðåäñòàâèì åãî â âèäå n = n0(k + ν) + i, ãäå ν > 0 è 0 ≤ i ≤ n0 − 1. Òîãäà äëÿëþáîãî x ∈ Λ ïîëó÷àåì



∣∣∣ d

dxf (n)(x)

∣∣∣ =∣∣∣ d

dxf (n0(k+ν)(f (i)(x))

∣∣∣ ·∣∣∣ d

dxf (i)(x)

∣∣∣ ≥ λk+νmi ≥

≥ λνλkmn0−1 > λν > 1.

(II)⇒(I). Åñëè N = 1 â (II), òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü N > 1. Ïîëîæèì

m1 = minx∈Λ

∣∣∣ d

dxf (N)(x)

∣∣∣

, m = minx∈Λ

|f ′(x)|.

Ñëåäîâàòåëüíî, m1 > 1. Äàëåå, m ≤ 1, òàê êàê N > 1. Ïóñòü

λ = m1/N1 , C = (m/λ)N−1.

Î÷åâèäíî, λ > 1 è C > 0. Ëþáîå n > 0 ïðåäñòàâèì â âèäå n = kN + i, ãäå k ≥ 0è 0 ≤ i ≤ N − 1. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ Λ èìååì

∣∣∣ d

dxf (n)(x)

∣∣∣ =∣∣∣ d

dxf (kN)(f (i)(x))

∣∣∣ ·∣∣∣ d

dxf (i)(x)

∣∣∣ ≥ mk1m

i = λkNmi =

= λkNλi(m/λ)i ≥ λkN+i(m/λ)(N−1) = Cλn.

(I)⇒(IV). Âûáåðåì n äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâîCλn > 1. Òîãäà ïîëó÷èì

∣∣∣ d

dxf (n)(x)

∣∣∣ ≥ Cλn > 1.

Òåïåðü ïîëîæèì nx = n äëÿ êàæäîãî x ∈ Λ. ¤

Êîãäà íóæíî óñòàíîâèòü, ÷òî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷å-ñêèì, óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëàáåéøåå îïðåäåëåíèå (IV). Åñëè æå íåîáõîäèìîèññëåäîâàòü ñâîéñòâà ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîæåñòâ, òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòüñèëüíåéøóþ âåðñèþ îïðåäåëåíèÿ ãèïåðáîëè÷íîñòè (I).

Òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà Λr äëÿ îòîáðà-æåíèÿ f(x, r) ïðè r > 4. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâñêèì,ò.å. ñîâåðøåííûì íèãäå íå ïëîòíûì ìíîæåñòâîì. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíî-âèòü, ÷òî ìíîæåñòâî Λr ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x, r).

Äëÿ ëþáîãî r > 0 îòîáðàæåíèå f(x, r) èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó p1 = 1−1/rè f ′(p1, r) = 2−r. Ïîýòîìó |f ′(p1, r)| > 1, êîãäà r > 3. Ïîëîæèì p0 = 1/r. Òî÷êèp0 è p1 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî òî÷êè 1/2.


Ãèïåðáîëè÷åñêèå ìíîæåñòâà 91

Ðèñ. 1.

Çàìåòèì, ÷òî f(p0, r) = p1 (êîãäà r > 1). Äàëåå,

f([p0, q0], r) = f([q1, p1], r) = [p1, 1].

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà x, ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæåñòâó J = (p0, q0) ∪∪(q1, p1), ïîêèäàåò J ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ f(x, r), ò.å. f(x, r) /∈ J . Îäíàêîñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ëåììà î âîçâðàùåíèè.

Ëåììà 2. Åñëè r > 4 è åcëè x ∈ J , òî ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå n ≥ 2,÷òî f (n)(x, r) ∈ [p0, p1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì x ∈ J . Òîãäà f(x, r) ∈ (p1, 1) è f (2)(x, r) ∈ (0, p1).Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî n ≥ 1 òî÷êà f (2+n)(x, r) ëåæèò â [p0, p1). Åñ-ëè f (2)(x, r) ∈ [p0, p1), òî âñå äîêàçàíî. Ïóñòü f (2)(x, r) ∈ (0, p0). Ïîêàæåì,÷òî äëÿ íåêîòîðîãî n ≥ 1 òî÷êà f (2+n)(x, r) ëåæèò â [p0, p1). Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå. Òàê êàê f(z, r) > z äëÿ âñåõ z ∈ (0, p0), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüf (n+2)(z, r) âîçðàñòàþùàÿ è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ÷èñëîì p0. Ïîýòîìó ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü f (n+2)(z, r) ïðè n → ∞ ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z0 ≤ p0. Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî z0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ f(x, r). Íî 0 < z0 < p1. Ìû ïðèøëèê ïðîòèâîðå÷èþ, òàê êàê p1 åäèíñòâåííàÿ íåíóëåâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿf(x, r). ¤

Ëåììà 3. Åñëè r > 4, òî q0 − p0 < p0. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðâàëû (p0, q0)è (q1, p1) êîðî÷å, ÷åì èíòåðâàëû (0, p0) è (p1, 1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Íàì íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè r > 4 âûïîëíåíî íåðà-âåíñòâî 2p0 > q0. Íàïîìíèì, ÷òî p0 = 1/r è

q0 =1

2−

√1

4− 1

r.



Î÷åâèäíî, 0 < 1 − 4/r < 1. Ïîýòîìó√

1− 4/r > 1 − 4/r. Ïîñëå óìíîæåíèÿîáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà 1/2 ïîëó÷àåì

√1

4− 1

r>

1

2− 2

r,

èëè21

r>

1

2−

√1

4− 1

r. ¤

Òåïåðü ó íàñ åñòü âñå íåîáõîäèìûå óòâåðæäåíèÿ, ÷òîáû äîêàçàòü ãèïåðáî-ëè÷íîñòü ìíîæåñòâà Λr.

Òåîðåìà. Åñëè r > 4, òî Λr ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî äëÿ f(x.r).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x∈Λr. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x>1/2. Ñëó÷àé x<1/2áóäåò ñëåäîâàòü èç ñèììåòðèè f(x, r) îòíîñèòåëüíî x = 1/2. Íàì íåîáõîäèìîíàéòè òàêîå öåëîå n (êîòîðîå ìîæåò çàâèñåòü îò x), ÷òî |(f (n))′(x)| > 1. Òîãäàãèïåðáîëè÷íîñòü ìíîæåñòâà Λr áóäåò ñëåäîâàòü èç ëåììû 1.

Åñëè x ≥ p1, òî ìîæíî ïîëîæèòü n = 1, òàê êàê f ′(x, r) ≤ f ′(x, p1) == −r + 2 < −1. Åñëè x = q1, òî f (n)(q1, r) = 0 äëÿ n ≥ 2 è

| d

dxf (n)(q1, r)| = |f ′(q1, r)| · |f ′(1, r)| · |f ′(0, r)|n−2 =

= rn−1√

r2 − 4r = rn√

1− (4/r),

÷òî ñòðîãî áîëüøå, ÷åì 1 äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n.Òåïåðü ðàññìîòðèì çíà÷åíèÿ x, ëåæàùèå ìåæäó q1 è p1. Ëåììà 2 î âîçâðà-

ùåíèè ãàðàíòèðóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå n, ÷òî f (n)(x, r) ∈ [p0, p1). Ïóñòü In,j

êîìïîíåíòà In, êîòîðàÿ ñîäåðæèò x (íàïîìíèì, ÷òî In ñîâîêóïíîñòü èíòåð-âàëîâ, ñîñòîÿùèõ èç òî÷åê, êîòîðûå îñòàþòñÿ â [0, 1] ïîä äåéñòâèåì f (n)(x, r)).Èíòåðâàë In,j ëèáî ñîäåðæèòñÿ â [q1, p1), ëèáî íåò.

Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî In,j ⊂ [q1, p1). Òàê êàê f (n)(x, r) îòîáðàæàåò In,j

ìîíîòîííî íà [0, 1] (ñì. ïàðàãðàô 2.4), ìû ìîæåì ðàçáèòü In,j íà òðè ïîäûíòåð-âàëà:

In,j = Ln,j ∪Kn,j ∪Rn,j,

ãäå f (n)(Ln,j, r) = [0, p0], f (n)(Kn,j, r) = (p0, p1), f (n)(Rn,j, r) = [p1, 1]. Òàê êàêLn,j ⊂ In,j ⊂ [q1, p1) è Rn,j ⊂ In,j ⊂ [q1, p1), òî èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî|f (n)(Ln,j, r)| > |Ln,j| è |f (n)(Rn,j, r)| > |Rn,j| (íàïîìíèì, ÷òî |A| äëèíà îòðåçêàA). Ýòî çíà÷èò, ÷òî îòîáðàæåíèå f (n)(x, r) ÿâëÿåòñÿ ðàñòÿãèâàþùèì âáëèçè êîí-öîâ îòðåçêà In,j. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè ê ôóíêöèè f (n)(x, r), ïî-ëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå òî÷êè y ∈ Ln,j è z ∈ Rn,j, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíå-íû íåðàâåíñòâà | d

dxf (n)(y, r)| > 1 è | ddxf (n)(z, r)| > 1. Òàê êàê f (n)(x, r) ∈ [p0, p1),


Êóñî÷íî-ëèíåéíîå ðàçðûâíîå îòîáðàæåíèå 93

òî x ïðèíàäëåæèò çàìûêàíèþ Kn,j. Ñëåäîâàòåëüíî, y ≤ x < z. Òàê êàê f (n)(x, r)íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â [y, z], òî ïðèíöèï ìèíèìóìà (ëåììà 1.9) ãàðàíòè-ðóåò, ÷òî | d

dxf (n)(x, r)| > 1.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî In,j íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì èíòåðâàëà [q1, p1).

Ñíîâà ðàçîáüåì In,j íà òðè ïîäûíòåðâàëà:

In,j = Ln,j ∪Kn,j ∪Rn,j,

ãäå f (n)(Ln,j, r) = [0, p0], f (n)(Kn,j, r) = (p0, p1), f (n)(Rn,j, r) = [p1, 1]. Êàê è ðà-íåå, x ïðèíàäëåæèò çàìûêàíèþ èíòåðâàëà Kn,j, ïîòîìó ÷òî f (n)(x, r) ∈ [p0, p1).Òàê êàê x ∈ (q1, p1), îäèí èç äâóõ èíòåðâàëîâ Ln,j èëè Rn,j ñîäåðæèòñÿ â [q1, p1).Äðóãîé íå ñîäåðæèòñÿ â [q1, p1) ââèäó òîãî, ÷òî In,j íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîìýòîãî èíòåðâàëà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ln,j ñîäåðæèòñÿ â [q1, p1), à Rn,j íå ñîäåð-æèòñÿ. Äðóãîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Òàê êàê In,j ⊂ [q1, 1] èIn,j∩ [q1, p1) 6= Ø, òî p1 ∈ In,j. Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, |f (n)(Ln,j, r)| > |Ln,j|.Â ñèëó òåîðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà y ∈ Ln,j, ÷òî| ddxf (n)(y, r)| > 1. Äàëåå, | d

dxf (n)(p1, r)| > 1, òàê êàê p1 îòòàëêèâàþùàÿ ãè-ïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ [y, p1] è f (n)(x, r) íåèìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â [y, p1]. Èç ïðèíöèïà ìèíèìóìà ñíîâà ñëåäóåò, ÷òî| ddxf (n)(x, r)| > 1. ¤

Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà. Åñëè r > 4, òî Λr ñîâåðøåííîå íèãäå íå ïëîòíîå ìíîæåñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû òåïåðü ïðîõîäèò òàê æå, êàê è â ñëó÷àå r > 2+√

5.

Ïðèëîæåíèå 4. Îäíî êóñî÷íî-ëèíåéíîåðàçðûâíîå îòîáðàæåíèå

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ñåãìåíòà [0, 1] â [0, 1], îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé

f(x) =

3x, 0 ≤ x ≤ 1/3,1, 1/3 ≤ x < 1/2,1/2, x = 1/2,0, 1/2 < x ≤ 2/3,3x− 2, 2/3 ≤ x ≤ 1.

Ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ èçîáðàæåí íà ðèñ. 2.



Ðèñ. 2. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x)

Åñëè ïðåäñòàâèòü x â âèäå òðîè÷íîé äðîáè, òî îòîáðàæåíèå f(x) ìîæíîîïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè x = .0abc . . . , òî f(x) = .abc . . . . Åñëèx = .1abc . . . , òî

f(x) =

1, åñëè ïåðâàÿ, îòëè÷íàÿ îò 1, öèôðà åñòü 0,1/2, åñëè âcå öèôðû ðàâíû 1,0, åñëè ïåðâàÿ, îòëè÷íàÿ îò 1, öèôðà åñòü 2.

Åñëè x = .2abc . . . , òî f(x) = .abc . . . . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ïåðâàÿ öèôðà ÷èñëàx ðàâíà 1, òî òî÷êà ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ f(x) ïåðåõîäèò â íåïîäâèæíóþòî÷êó îòîáðàæåíèÿ f(x) (x = 0, 1/2, 1). Ëþáàÿ òî÷êà, ðàçëîæåíèå êîòîðîé âòðîè÷íóþ äðîáü ñîäåðæèò íà êàêîì-íèáóäü ìåñòå 1 (èëè õâîñò äðîáè 000 . . . ,èëè 222 . . . ), ïåðåõîäèò â íåïîäâèæíóþ òî÷êó çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé.

Îñòàíåòñÿ òî÷íî êàíòîðîâî ìíîæåñòâî êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðîå ìîæíîïðåäñòàâèòü òðîè÷íûìè äðîáÿìè, ñîäåðæàùèìè òîëüêî öèôðû 0 è 2. Êàíòîðîâîìíîæåñòâî ñîñòîèò èç òî÷åê äâóõ òèïîâ. Ïåðâûé òèï ýòî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà1/3, 2/3, 1/9, 2/9, . . . , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîíöàìè âûáðàñûâàåìûõ èíòåðâàëîâ, àòî÷êè âòîðîãî òèïà èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðåäñòàâèìû íåïåðèîäè-÷åñêèìè òðîè÷íûìè äðîáÿìè, ñîäåðæàùèìè òîëüêî öèôðû 0 è 2. Äëÿ òî÷åê ïåð-âîãî òèïà x0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (n)(x0) ñòàíîâèòñÿ, â êîíöå êîíöîâ, ïåðèîäè-÷åñêîé ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì äëèíå ïîâòîðÿþùåãîñÿ áëîêà öèôð â òðîè÷íîì ðàç-ëîæåíèè. Íàïðèìåð, x0 = .200220220 . . . , x1 = .00220220 . . . , x2 = .022022 . . . ,x3 = .22022022 . . . , x4 = .2022022 . . . , x5 = x2, x6 = x3 è ò.ä. Òî÷êè âòîðîãî òèïàêàíòîðîâà ìíîæåñòâà ïîðîæäàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå íå ñõîäÿòñÿ íèê íåïîäâèæíûì, íè ê ïåðèîäè÷åñêèì òî÷êàì. Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a, b, c, . . . ñóùåñòâóåò x0 òàêîå, ÷òî òî÷êè ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè x0, x1 = f(x0), x2 = f (2)(x0), . . . ëåæàò â èíòåðâàëå (0, 1/3) äëÿa èòåðàöèé, â èíòåðâàëå (2/3, 1) äëÿ b èòåðàöèé, çàòåì â (0, 1/3) äëÿ ñëåäóþ-ùèõ c èòåðàöèé è ò.ä. Íàïðèìåð, åñëè a, b, c, · · · = 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , òî ïîëîæèìx0 = .020022000222 . . . (òðîè÷íîå ðàçëîæåíèå).


Öèêë ïåðèîäà 3 è õàîñ 95

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî ïîëíîå îïèñàíèå âñåé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, â÷àñòíîñòè, ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî íåïåðèîäè÷åñêèõ è íåàñèìïòîòè÷åñêè ïå-ðèîäè÷åñêèõ îðáèò ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ïðè-íàäëåæàùèõ êàíòîðîâó ìíîæåñòâó. Ïîëíîå îïèñàíèå óäàëîñü ïîëó÷èòü, ïîòîìó÷òî êàæäóþ îðáèòó ìû ñìîãëè ïîìåòèòü ñ ïîìîùüþ òðîè÷íûõ äðîáåé. Ýòîòìåòîä èññëåäîâàíèÿ îðáèò íàçûâàåòñÿ ñèìâîëè÷åñêîé äèíàìèêîé.

Ïðèëîæåíèå 5. Öèêë ïåðèîäà 3 è õàîñÏóñòü J èíòåðâàë íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé è f : J → J íåïðåðûâíàÿ

ôóíêöèÿ. Ëè è Éîðê óñòàíîâèëè, ÷òî íàëè÷èå öèêëà ïåðèîäà 3 äëÿ ôóíêöèèf(x) âëå÷åò íå òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ âñåõ ïåðèîäîâ, íî è ñóùåñòâîâà-íèå íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà S ⊂ J (íå ñîäåðæàùåãî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê), äëÿêîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

1) äëÿ êàæäûõ p, q ∈ S (p 6= q) âûïîëíÿþòñÿ ïðåäåëüíûå ðàâåíñòâà

limn→∞

sup |f (n)(p)− f (n)(q)| > 0,

limn→∞

inf |f (n)(p)− f (n)(q)| = 0,

2) äëÿ êàæäîé òî÷êè p ∈ S è ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êè q ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîåðàâåíñòâî

limn→∞

sup |f (n)(p)− f (n)(q)| > 0.

Îòîáðàæåíèå f(x) íàçûâàåòñÿ õàîòè÷åñêèì (â ñìûñëå Ëè - Éîðêà) íà èí-òåðâàëå J , åñëè ñóùåñòâóåò íåñ÷åòíîå ìíîæåñòâî S ⊂ J c óêàçàííûìè âûøåñâîéñòâàìè. Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå, èìåþùåå öèêë ïåðèîäà 3, ÿâëÿåòñÿõàîòè÷åñêèì. Îòìåòèì åùå, ÷òî ñâîéñòâî 2) â îïðåäåëåíèè õàîòè÷íîñòè ñëåäóåò(êàê óñòàíîâèë Ñìèòàë) èç ñâîéñòâà 1).

Ïðèëîæåíèå 6. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòüìíîæåñòâ

Ìû õîðîøî ïðåäñòàâëÿåì ñåáå, ÷òî òî÷êà èìååò ðàçìåðíîñòü 0, îòðåçîê èîêðóæíîñòü ðàçìåðíîñòü 1, êðóã è ñôåðà ðàçìåðíîñòü 2. Ñ îäíîìåðíûìè îáú-åêòàìè ìû ñâÿçûâàåì ïîíÿòèå äëèíû, ñ äâóìåðíûìè ïîíÿòèå ïëîùàäè è ò.ä.Íî êàê ìîæíî ñåáå ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâî ñ ðàçìåðíîñòüþ 3/2? Ïî-âèäèìîìó,äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ íå÷òî ïðîìåæóòî÷íîå ìåæäó äëèíîé è ïëîùàäüþ. Åñëèäëèíó óñëîâíî íàçâàòü 1-ìåðîé, à ïëîùàäü 2-ìåðîé, òî òðåáóåòñÿ (3/2)-ìåðà.



Ô. Õàóñäîðô îïðåäåëèë òàêóþ α-ìåðó äëÿ ëþáîãî α ≥ 0 è íà ýòîé îñíîâåêàæäîìó ìíîæåñòâó â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñîïîñòàâèë ÷èñëî, íàçâàííîåèì ìåòðè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ. Ýòó ðàçìåðíîñòü íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ Õàó-ñäîðôà èëè ðàçìåðíîñòüþ Õàóñäîðôà - Áåçèêîâè÷à ( èäåè Ô. Õàóñäîðôà áûëèðàçâèòû À.Ñ. Áåçèêîâè÷åì).

Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå õàóñäîðôîâîé ðàçìåðíîñòè äîâîëüíî ãðîìîçäêî, è åãîíåïðîñòî ïðèìåíÿòü äëÿ âû÷èñëåíèé. Ôèçèêè ïðåäïî÷èòàþò âû÷èñëÿòü ðàçìåð-íîñòü ïî íåêîòîðûì áîëåå íàãëÿäíûì ôîðìóëàì. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èìåí-íî òàêèìè ôîðìóëàìè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýòè ôîðìóëû â íåêîòîðûõ ñëó-÷àÿõ ìîãóò äàòü ÷èñëî, ïðåâûøàþùåå “èñòèííóþ“ õàóñäîðôîâó ðàçìåðíîñòü.Òàêèå ñëó÷àè ìû îáñóæäàòü íå áóäåì. Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ðàññìîòðåíèåì ìíî-æåñòâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé.

Ïóñòü X ìíîæåñòâî íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Ïóñòü N(ε) íàèìåíüøåå÷èñëî èíòåðâàëîâ, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû ε, íåîáõîäèìîå äëÿ ïîêðûòèÿ ìíîæå-ñòâà X. Ñêàæåì, ÷òîìíîæåñòâî X èìååò ðàçìåðíîñòü d = dim X, 0 ≤ d ≤ 1,åñëè ïðè ε → 0 ÷èñëî èíòåðâàëîâ N(ε) ðàñòåò êàê C/εd, ãäå C íåêîòîðàÿ ïî-ëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, íàçûâàåìàÿ d-ìåðîé ìíîæåñòâà X, ò.å.

C = limε→0

εdN(ε).

Ðàçìåðíîñòü d ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå

d = dim X = limε→0

ln N(ε)

ln ε−1 , (1)

ïîñêîëüêó

limε→0

ln N(ε)

ln ε−1 = limε→0

ln Cε−d

ln ε−1 = limε→0

d ln ε−1 + ln C

ln ε−1 = d.

Ôîðìóëà (1) óäîáíà òåì, ÷òî íå ñîäåðæèò âåëè÷èíû d-ìåðû. Ïîëó÷åííîå ÷èñëîd íàçûâàþò ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ ìíîæåñòâà X èëè åìêîñòüþ.

Åñëè ìíîæåñòâî X ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, òî N(ε) = 1. Ïîýòîìó ôðàêòàëü-íàÿ ðàçìåðíîñòü îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 0. Åñëè ìíîæåñòâî X ýòîñåãìåíò äëèíû L, òî N(ε) = L/ε. Ïîýòîìó d = 1. Íàéäåì òåïåðü ðàçìåðíîñòüêàíòîðîâà ìíîæåñòâà C. Ïðè ε = 1/3 ÷èñëî ýëåìåíòîâ N(ε), íåîáõîäèìûõ äëÿïîêðûòèÿ C, ðàâíî N(1/3) = 2. Ïðè ε = 1/9, î÷åâèäíî, N(1/9) = 4 è â îáùåìñëó÷àå ïðè ε = 1/3m ïîëó÷èì N(1/3m) = 2m. Ïîýòîìó ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåð-íîñòü ìíîæåñòâà C ðàâíà

d = limm→∞

ln 2m

ln 3m=

ln 2

ln 3= 0.630929 . . . .


Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ 97

ò.å. ìíîæåñòâî C èìååò äðîáíóþ ðàçìåðíîñòü.Â ïðèëîæåíèè 2 áûë óêàçàí áîëåå îáùèé ïóòü ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ òèïà

ìíîæåñòâà Êàíòîðà. Åñëè âçÿòü r1 = r2 = r, òî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôðàêòàëüíàÿðàçìåðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâà ðàâíà

d =ln 2

ln r−1 .

Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ñóùåñòâóþò ìíî-æåñòâà ñ íàïåðåä çàäàííîé ðàçìåðíîñòüþ d ∈ (0, 1).

Ïîêàæèòå â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ, ÷òî ïðè r1 6= r2 ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòüñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ

rd1 + rd

2 = 1,

ëåæàùèì â èíòåðâàëå (0, 1). Íàêîíåö, áûëî ïîñòðîåíî êàíòîðîâî ìíîæåñòâîïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî N(α/2k) = 2k. Ïîýòîìó

d = limk→∞

ln 2k

ln 2k

α

= 1.

Îïèøåì òåïåðü îïðåäåëåíèå ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà. Ïóñòü X áóäåò ïîä-ìíîæåñòâîì èíòåðâàëà [0, 1]. Îáîçíà÷èì ÷åðåç |l| äëèíó èíòåðâàëà l. Íàçîâåìε-ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà X ñ÷åòíîå ïîêðûòèå ýòîãî ìíîæåñòâà çàìêíóòûìè èí-òåðâàëàìè li, äëèíà êîòîðûõ ìåíüøå ε. Ïîëîæèì

Lα(X, ε) = inf∑

i

|li|α, (2)

ãäå íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì ε-ïîêðûòèÿì ìíîæåñòâà X. Ïðè óáûâàíèè εíèæíÿÿ ãðàíü â (2) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ìåíüøèé êëàññ ïîêðûòèé è, ñëå-äîâàòåëüíî, Lα(X, ε) âîçðàñòàåò èëè, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íå óáûâàåò. Ïîýòîìóïðåäåë (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé)

Lα(X) = limε→0

Lα(X, ε)

ñóùåñòâóåò.Î÷åâèäíî, åñëè X ⊂ X ′, òî Lα(X) ≤ Lα(X ′). Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ìíîæåñòâ Xn. Âûáåðåì äëÿ íåå òàêèå ε-ïîêðûòèÿ lni, ÷òî∑

i

|lni|α < Lα(Xn, ε) +δ

2n≤ Lα(Xn) +

δ

2n.



Âñå èíòåðâàëû âìåñòå îáðàçóþò ε-ïîêðûòèå ìíîæåñòâà ∪nXn, ïðè÷åì∑in

|lni|α <∑

n

Lα(Xn) + δ.

Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Lα(·) ïîëóàääèòèâíà:

Lα

( ⋃n

Xn

)≤

∑n

Lα(Xn).

Õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà X îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì Lα(X) íåêàê ôóíêöèè îò X, à êàê ôóíêöèè îò α. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè Lα(X) êîíå÷íî, òîLα′(X) = 0 äëÿ ëþáîãî α′ > α. Åñëè li íåêîòîðîå ε-ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X,äëÿ êîòîðîãî

∑i

|li|α ≤ Lα(X, ε) + 1 ≤ Lα(X) + 1 = K < ∞,

òîLα′(X, ε) ≤

∑

i

|li|α′ ≤ εα−α′∑

i

|li|α < εα−α′K.

Òàê êàê α′ > α, òî, ïîëàãàÿ ε → 0, ïîëó÷àåì Lα′(X) = 0. Åñëè Lα(X) êîíå÷íàäëÿ íåêîòîðîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ α, òî îíà ðàâíà íóëþ äëÿ âñåõ áîëüøèõçíà÷åíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò “òî÷êà ïåðåõîäà“ òàêàÿ òî÷êà α0, ÷òîLα(X) = ∞ äëÿ α < α0 è Lα(X) = 0 äëÿ α > α0. Ôóíêöèÿ Lα(X) â òî÷êå α0ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, ïðèíèìàòü êîíå÷íîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå èëè ∞.

Îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåìîå ÷èñëî α0 è åñòü õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü ìíîæå-ñòâà X. Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç dimX. Ñëåäîâàòåëüíî,

dimX = supα : Lα(X) = ∞ = infα : Lα(X) = 0.

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ÷åòûðå ôàêòà:

1) Lα(X) > 0 → dimX ≥ α; 2) dimX ≥ α → Lα(X) = ∞;

3) Lα(X) < ∞→ dimX ≤ α; 4) dimX < α → Lα(X) = 0.

Âîò äâà îñíîâíûõ ñâîéñòâà õàóñäîðôîâîé ðàçìåðíîñòè. Íåðàâåíñòâîdim X ≤ dim X ′ ñëåäóåò èç âêëþ÷åíèÿ X ⊂ X ′. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

dim⋃n

Xn = supn

dimXn.


Ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà 99

Õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü èçìåðÿåò âåëè÷èíó ìíîæåñòâà íà åäèíè÷íîì èíòåð-âàëå òàêèì îáðàçîì, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü âîïðîñ î òîì, êàêîå èç äâóõìíîæåñòâ ìåðû íóëü “áîëüøå“.

Ïðåäñòàâèì ÷èñëà íà åäèíè÷íîì èíòåðâàëå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â äâîè÷íóþäðîáü. Ïóñòü X(p) ìíîæåñòâî ÷èñåë íà åäèíè÷íîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùèõ 1â ñâîåì äâîè÷íîì ðàçëîæåíèè â ïðîïîðöèè p, ò.å. ÷èñëî x = 0, ω1ω2 . . . ëåæèò âX(p), åñëè

limn→∞

1

n

n∑

k=1

ωk = p.

Áîðåëü äîêàçàë, ÷òî ìíîæåñòâî X(1/2) èìååò ëåáåãîâó ìåðó 1. Çíà÷èò, åñëèp 6= 1/2, òî X(p) èìååò ìåðó 0. Ýããëñòîí äîêàçàë (ñì. [2]), ÷òî

dimX(p) = − 1

ln 2[p ln p + (1− p) ln(1− p)].

Áîëåå îáùèì îáðàçîì ôèêñèðóåì îñíîâàíèå r, è ïóñòü xn(ω) n-é çíàê â ðàç-ëîæåíèè ω ïî îñíîâàíèþ r. Ñëåäîâàòåëüíî, x =

∞∑n=1

xn(ω)/rn. Ïóñòü ÷èñëîNi(ω, n) óêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç i âñòðå÷àåòñÿ ñðåäè çíàêîâ x1(ω), . . . , xn(ω).Ïóñòü X(p0, p1, . . . , pr−1) ìíîæåñòâî òåõ ÷èñåë x, äëÿ êîòîðûõ

limn→∞

Ni(ω, n)

n= pi, i = 0, 1, . . . , r − 1.

Ýããëñòîí ïîêàçàë, ÷òî

dimX(p0, . . . , pr−1) = − 1

ln r

r−1∑i=0

pi ln pi.

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî õàóñäîðôîâà ðàçìåðíîñòü êàíòîðîâà òðèõîòîìè-÷åñêîãî ìíîæåñòâà ðàâíà ln 2/ ln 3, ò.å. ñîâïàäàåò ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ.

Ïðèëîæåíèå 7. Ïîêàçàòåëü ËÿïóíîâàÏîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà äàåò âîçìîæíîñòü èçìåðèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó îðáè-

òàìè. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

xn+1 = f(xn).

Åñëè f(x) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó îðáèòàìè â ïåð-âîì ïðèáëèæåíèè èçìåðÿåòñÿ âåëè÷èíîé |df/dx|. Åñëè x0 è x0 + ε íà÷àëüíûå



òî÷êè îðáèò O(x0) è O(x0 + ε) , òî

f(x0 + ε)− f(x0) = εf ′(x0) + o(ε).

Äëÿ òî÷åê ýòèõ îðáèò, ñòîÿùèõ íà (n + 1)-ì ìåñòå, ïîëó÷àåì

f (n)(x0 + ε)− f (n)(x0) = εd

dxf (n)(x)

∣∣∣∣x=x0

+ o(ε) = ε

n−1∏

i=0

f ′(f (i))(x0) + o(ε).

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç öåïíîãî ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîéôóíêöèè.

Ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

Λ = limn→∞

1

nln

∣∣∣ d

dxf (n)(x0)

∣∣∣ = limn→∞

ln

(n−1∏i=0

|f ′(f (i))(x0)|)1/n

=

= limn→∞

1

n

n−1∑

k=0

ln |f ′(xk)|,

ãäå xk = f (k)(x0), åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò. Åñëè ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò,òî â ïðåäûäóùèõ ðàâåíñòâàõ âû÷èñëÿåòñÿ âåðõíèé ïðåäåë. Â êà÷åñòâå ïåðâîãîïðèìåðà âîçüìåì ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

xn+1 = axn.

Òîãäà xn = an è ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà Λ = ln |a|. Åñëè ln |a|>0,òî îðáèòû ðàñõîäÿòñÿ. Åñëè æå ln |a| < 0, òî îðáèòû ñáëèæàþòñÿ. Âîçüìåìòåïåðü êóñî÷íî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå (p > 0)

g(x) =

px, ïðè x < 1/2,p− px, ïðè x ≥ 1/2.

Òàê êàê g′(x) = p ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, òî

Λ = ln p.

Ñëåäîâàòåëüíî, Λ > 0 ïðè p > 1 è îðáèòû ðàñõîäÿòñÿ. Åñëè p < 1, òî ïîêàçàòåëüËÿïóíîâà Λ < 0. Îðáèòû ñáëèæàþòñÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âñåòî÷êè ïðîìåæóòêà (0, 1) ïðèòÿãèâàþòñÿ ê òî÷êå x = 0.

Ïðè p = 2 ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå, òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííîå îòîáðàæåíèþf(x) = 4x(1−x). Íàïîìíèì, ÷òî èç òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè îòîáðàæåíèé


Ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà 101

f(x) è g(x) ñëåäóåò ðàâåíñòâî h g(n) = f (n) h, ãäå h(x) ôóíêöèÿ, ñîïðÿãàþ-ùàÿ ýòè îòîáðàæåíèÿ. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íåòðóäíî âûâåñòè óòâåðæäåíèå,÷òî ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ îòîáðàæåíèé ñîâïàäàþò.Ïîýòîìó äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1−x) ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà ðàâåí Λ = ln 2.Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü èç ôîðìóëû

xn = sin2(2n arcsin√

x0),

îïðåäåëÿþùåé ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

xn+1 = 4xn(1− xn).

Îòìåòèì åùå, ÷òî Áåíåäèêñ è Êàðëåñîí äîêàçàëè (ñì. [24]), ÷òî ìíîæå-ñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, äëÿ êîòîðûõ ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèéf(x, r) = rx(1 − x), 0 < r ≤ 4, èìååò ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà,ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ïîëîæèòåëüíîé ëåáåãîâîé ìåðû.


Ëèòåðàòóðà1. Àëåêñàíäðîâ, Ï.Ñ. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîæåñòâ è îáùóþ òîïîëîãèþ /

Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâ. Ì.: Íàóêà, 1977. 368 ñ.2. Áèëëèíãñëåé, Ï. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è èíôîðìàöèÿ / Ï. Áèëëèíãñëåé.

Ì.: Ìèð, 1969. 239 ñ.3. Âîðîáüåâ, Í.Í. ×èñëà Ôèáîíà÷÷è / Í.Í. Âîðîáüåâ. Ì.: Íàóêà, 1978.

142 ñ.4. Ëþáè÷, Þ.È. Èòåðàöèè êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèé / Þ.È. Ëþáè÷ //

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà è ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì: Íàóêà, 1974. Ñ. 109 138.

5. Ëþáè÷, Þ.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ñòðóêòóðû â ïîïóëÿöèîííîé ãåíåòèêå /Þ.È. Ëþáè÷. Êèåâ: Íàóêîâà Äóìêà, 1983. 296 ñ.

6. Ìàéñòðåíêî, Â.Ë. Àòòðàêòîðû êóñî÷íî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ïðÿìîé èïëîñêîñòè / Â.Ë. Ìàéñòðåíêî, Þ.Ë. Ìàéñòðåíêî, È.Ì. Ñóøêî: ïðåïðèíò 92.33 /Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÀÍ Óêðàèíû, 1992. 55 ñ.

7. Èçáðàííûå çàäà÷è ïî âåùåñòâåííîìó àíàëèçó / Á.Ì. Ìàêàðîâ [è äð.]. Ì.: Íàóêà, 1992. 431 ñ.

8. Òóðáèí, À.Ô. Ôðàêòàëüíûå ìíîæåñòâà, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / À.Ô. Òóð-áèí, Í.Â. Ïðàöåâèòûé. Êèåâ: Íàóêîâà Äóìêà, 1992. 208 ñ.

9. Ôèõòåíãîëüö, Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.Â 3 ò. Ò.2. / Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö. Ì.: Íàóêà, 1969. 800 ñ.

10. Øàðêîâñêèé, À.Í. Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ / À.Í. Øàð-êîâñêèé, Þ.Ë. Ìàéñòðåíêî, Å.Í. Ðîìàíåíêî. Êèåâ: Íàóêîâà Äóìêà, 1986. 280 ñ.

11. Äèíàìèêà îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé / À.Í Øàðêîâñêèé [è äð.]. Êèåâ:Íàóêîâà Äóìêà, 1989. 216 ñ.

12. Øóñòåð, Ã. Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ. Ââåäåíèå / Ã. Øóñòåð. Ì.: Ìèð,1988. 240 ñ.

13. Arterborn, D.R. A Cantor set of nonconvergence / D.R. Arterborn, W.D.Stone // Amer. Math. Mon. 1989. V. 96, 7. P. 604 608.

14. Coppel, W.A. An interesting Cantor set / W.A. Coppel // Amer. Math. Mon. 1983. V. 90, 7. P. 456 460.

15. Devaney, R.L. An introduction to chaotic dynamical systems / R.L. Devaney. Menlo Park, California, Reading, 1986. 321 p.

102


103

16. Guckenheimer, J. On the bifurcation of maps on the interval / J. Guckenheimer// Invent. Math. 1977. V. 39, 2. P. 165 178.

17. Guckenheimer, J. The dynamics of density dependent population models / J.Guckenheimer, G.R. Oster, A. Ipaktchi // J. Math. Biology. 1977. V. 4, 2. P. 101 147.

18. Ho, C.W. A graph theoretic proof of Sharkovsky's theorem on the periodicpoints of continuous functions / C.W. Ho, C. Morris // Pacic J. Math. 1981. V. 96, 2. P. 361 370.

19. Kraft, R.L. Chaos, Cantor sets, and hyperbolicity for the logistic maps /R.L. Kraft // Amer. Math. Mon. 1999. V. 106, 5. P. 400 408.

20. Li, T.Y. Period three implies chaos / T.Y. Li, J.A. Yorke // Amer. Math.Mon. 1975. V. 82, 10. P. 985 992.

21. Maeda, Y. Discretization of non-lipschitz continuous o.d.e. and chaos / Y. Maeda,M. Yamaguti // Proc. Japan Acad., Ser. A. 1996. V. 72, 2. P. 43 45.

22. May, R.M. Biological populations obeying dierence equations: stable points,stable cicles and chaos / R.M. May // J. Theor. Biology. 1975. V. 51, 3. P. 511 526.

23. May, R.M. Bifurcation and dynamic complexity in simple ecological models/ R.M. May, G.F. Oster // Amer. Natur. 1976. V. 110, 974. P. 573 599.

24. de Melo, W. One-dimensional dynamics. Ergebnisse der Mathematik undihrer Grenzgebiete (3) / W. de Melo, S. van Strien. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 605 p.

25. Phillipson, P.G. Analytics of period doubling / P.G. Phillipson // Commun.Math. Phys. 1987. V. 111, 1. P. 137 149.

26. Rogers, T.D. Chaos in the cubic mapping / T.D. Rogers, D.C. Whitley //Math. Modelling. 1983. V. 4. P. 9 25.

27. Saito, N. Exact solutions of simple nonlinear dierence equation systems thatshow chaotic behavior / N. Saito, A. Szabo, T. Tsuchiya // Z. Naturforsch. 1983. V. 38a, 9. P. 1035 1039.

28. Singer, D. Stable orbits and bifurcation of maps of the interval / D. Singer//SIAM J. Appl. Math. 1978. V. 35, 2. P. 260 267.

29. Smale, S. The qualitative analysis of a dierence equation of populationgrowth / S. Smale, R.F. Williams// J. Math. Biology. 1976. V. 3, 1. P. 1 4.

30. Stran, F.D.Jr. Periodic points of continuous functions / F.D.Jr. Stran //Math. Mag. 1978. V. 51, 2. P. 99 105.

31. Whitley, D.C. Discrete dynamical systems in dimensions one and two /D.C. Whitley // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15, 3. P. 177 217.

32. Whittaker, J.V. An analytical description of some simple cases of chaoticbehavior / J. V. Whittaker // Amer. Math. Mon. 1991. V. 98, 6. P. 489 504.


Ó÷åáíîå èçäàíèå

Áóðä Âëàäèìèð Øåïñåëåâè÷

Ââåäåíèå â äèíàìèêóîäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåäàêòîð, êîððåêòîð Ë.Í. ÑåëèâàíîâàÊîìïüþòåðíûé íàáîð, âåðñòêà Ñ.Ä. Ãëûçèí

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 2.10.06. Ôîðìàò 60×84/16. Áóìàãà Data Copy.Óñë. ïå÷. ë. 6,1. Ó÷.-èçä. ë. 5,9. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç

Îðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí â ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîì îòäåëåßðîñëàâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.

Îòïå÷àòàíî â òèïîãðàôèè ÎÎÎ ½Ðåìäåð“.ã. ßðîñëàâëü, ïð. Îêòÿáðÿ, 94, îô. 37.

Òåë. (0852) 73-35-03


289.введение в динамику одномерных отображений учебное...

Documents