2008.10.07 ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ СОФИЯ
DESCRIPTION
ÂTRANSCRIPT
- 1 -
ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ — СОФИЯ
Писмен конкурсен изпит по математика, 10 юли 2008 г.
ТЕМА 2
ПЪРВА ЧАСТ
Всяка от следващите 20 задачи има точно един верен отговор. В таблицата за отговори отбележете само буквата, до която според вас е записан верният отговор
1. За
всеки верен отговор получавате 2 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и посочени повече от един отговор на една задача, точки не се дават и не се отнемат.
1. Ако 1x и 2x са корени на уравнението 2 7 5 0x x− + = , то изразът 2 2
1 2 1 2
1 1 2
x x x x+ + е равен
на:
а ) 46
5; б )
49
25; в )
21
5; г) 5; д)
49
5− ;
2. Коренът на уравнението ( )2
2 8 9 0x x+ − = е:
а) -9; б ) 1 ; в) -3; г ) -1 ; д) 0.
3. Коренът на уравнението 10 2x x− = − − е:
а) -5; б) -10; в) -6; г) -4; д) 2
5.
4. Корените на уравнението ( )2
4 16log 1 2logx x− = са:
а ) 5 1
2
−; б )
5 1
2
− −; в )
5 1
2
−,
5 1
2
− −; г)
5 1
2
+,
5 1
2
− +;
д) 5 1, 5 1+ − .
5. За геометричната прогресия { }nb е известно, че 28
31
125
64
b
b= . Частното на прогресията е
равно на:
а ) 5
3; б ) 2 ,3 в )
3
5; г)
4
5; д)
5
4.
6. Най-малката стойност на функцията 2
2
1
xy
x=
+ в интервала [-3,1] е:
а ) - 1 ; б ) 3
5− ; в ) 1 ; г) 2; д) 3.
7. Дефиниционното множество на функцията ( )2
2log 16xy x−= − е:
а ) ( ), 2x∈ −∞ б ) ( )2,3x∈ в ) ( ) ( )2,3 3,4x∈ ∪ г) ( )3,x∈ +∞ ; д) ( )4,x∈ +∞ .
8. Ако 6
cos3
α = и 270° < а < 360°, то стойността на израза sin 2α е:
а ) 3
6; б )
2 2
3− ; в )
3
3; г)
2 2
3 3− ; д) -1;
9. Най-голямото цяло решение на неравенството 32
66
xx
< −+
е:
а) -7; б) -3; в) 1; г) 2; д) 3.
1 За верен се приема само отговорът, посочен в таблицата за отговори.
- 2 -
10. За аритметичната прогресия { }na е известно, че 170
2
15a
a= . Отношението 21
22
a
a е:
а ) 32
31; б )
30
11; в )
31
32; г)
31
22; д) 2.
11. Стойностите на реалния параметър m , за които квадратното уравнение
( )2 3 1 0x m x+ − + = има реални корени, са:
а ) ( ), 2−∞ б ) ( )1,5 в ) ( )1,∞ г) ( ),5−∞ д) ( ),1] [5,−∞ ∪ ∞ .
12. Стойността на 20
1 coslim
sinx
x
x→
− е:
а ) 1
2; б )
1
2− ; в ) 0 ; г)
2
3; д)
3
4.
13. Върху основата АВ на равнобедрения триъгълник АВС е избрана точката D така, че радиусът на окръжността, описана около триъгълника АDС, е равен на 7. Радиусът на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равен на: а) 7; б) 5; в) 8; г) 14; д) 6. 14. В правоъгълния триъгълник ( )ABC ACB=90°∢ дължината на катета ВС е равна на 4, а лицето му е равно на 14. Синусът на ъгъл ВАС е равен на:
а ) 2
65; б ) 0 ,5 ; в )
1
65; г)
4
65; д)
3
65;
15. Голямата основа на трапец е равна на 16 cm, а средната му отсечка е равна на
12 cm. Дължината на отсечката, съединяваща средите на диагоналите на трапеца, е
равна на: а) 2 cm; б) 3 cm; в) 4 cm; г) 5 cm; д) 1 cm. 16. В правоъгълен триъгълник единият катет е равен на 6, а радиусът на вписаната окръжност е равен на 2. Хипотенузата на триъгълника е равна на: а) 8; б) 7; в) 9; г) 10; д) 9,5. 17. В триъгълника АВС страната АВ е равна н а 16 cm, а височината ( )CH H AB∈ е равна на 8 cm. Отсечката ( )MN M AC, N BC∈ ∈ е успоредна на АВ. Окръжността с диаметър MN се допира до AB. Радиусът на окръжността е равен на: а) 3 cm; б) 4 cm; в) 5 cm; г) 6 cm; д) 7 cm. 18. Пресечната точка на диагоналите на една от стените на куб е съединена с върховете на срещуположната стена. Отношението на обема на получената пирамида към обема на куба е равно на: а) 1:2; б) 1:4; в) 1:3; г) 1:5; д) 2:3. 19. В правилна четириъгълна пирамида основният ръб е равен на а, а околните ръбове – на 2а. Косинусът на ъгъла между околна стена и основата е равен на:
а) 3
3; б).
15
15; в).
17
16; г).
2
3; д).
3
4.
20. Цилиндър е пресечен с равнина, успоредна на оста и минаваща на разстояние 6 cm от нея. Диагоналът на полученото сечение е два пъти по-голям от радиуса на основата на цилиндъра. Височината на цилиндъра е:
а) 12 cm; б) 13 cm; в) 20 3
3; г) 40 cm; д) 35 cm.
- 3 -
ВТОРА ЧАСТ
Следващите 5 задачи са без избираем отговор. В таблицата за отговори в празното поле на съответната задача запишете само получения от вас отговор. За всеки верен отговор получавате по 3 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и за посочени повече от един отговор, точки не се дават и не се отнемат.
21. Да се намери броят на целите числа, които удовлетворяват неравенството 2 14 10.x − ≤
22. Да се намери броят на решенията на уравнението 2cos sin 0x х+ = в интервала
( ),π π− . 23. Да се намерят корените на уравнението 2 23 17.3 - 2 0.x х+ + =
24. Страните на триъгълник са 2 cm, 8 cm и 5 3 cm. Да се намери дължината на вътреш-
ната ъглополовяща на най-големия ъгъл на триъгълника
25. Правилна триъгълна пирамида със страна на основата 1 има обем 1
8. Да се намери
тангенсът на ъгъла между околен ръб и основата н а пирамидата.
ТРЕТА ЧАСТ
Представете решенията на следващите три задачи с необходимите обосновки в писмен вид. Пълното решение на всяка задача се оценява с 15 точки.
26. Да се реши системата
2 2
2
4 5 -8 0
- 2 - 4 0.
х ху y
у х у
+ + =
=
27. В равнобедрения триъгълник ( )ABC АС = ВС > АВ са построени височината
( )АН Н ВС∈ и медианата ( )AM М ВС∈ . Да се намери cos BAC∢ , ако отношението на
лицето на триъгълника АМН и лицето на триъгълника АВС е равно на 4
9.
28. Да се намери обемът на прав кръгов конус с ъгъл при върха на осното сечение 120°, ако сечение през върха има максимално лице, равно на 18.
- 4 -
ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 1 ДО 20
Ако искате да се откажете от отговора, който вече сте отбелязали, например от отговор а), това може да направите така: ⊗
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 21 ДО 25
21
22
23
24
25
Времето за работа е 4 астрономически часа. Максималният брой точки от трите части е 100.