Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica

Wydział Matematyki Stosowanej

Rozprawa doktorska

STABILNOŚĆ IZOMETRIIW P-JEDNORODNYCH F-PRZESTRZENIACH

Marek Żołdak

Promotor rozprawy: prof. dr hab. Józef Tabor

K R A K Ó W 2007

Spis treści

1 Wstęp 3

2 Stabilność izometrii w przestrzeniach z p-jednorodnymi F-normami 9

3 Uogólnienie twierdzenia Ulama-Mazura 14

4 Przestrzenie z 2-p-jednorodnymi F-normami 25

5 Stabilność izometrii w przestrzeniach z 2-p-jednorodnymi F-normami 31

A Pomocnicze nierówności i lematy 52

Prace cytowane 57

2

Rozdział 1

Wstęp

Niech (X, dX), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi, δ 0. Funkcję f : X → Y

nazywamy δ-izometrią przestrzeni (X, dX), (Y, dY ), jeżeli spełnia warunek

|dY (f(x1), f(x2))− dX(x1, x2)| ¬ δ

dla dowolnych x1, x2 ∈ X.

0-izometrię nazywamy izometrią. W 1944 r. S. M. Ulam postawił następujący problem

(przedstawiany jako stabilność izometrii):

(U1) Czy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdej surjektywnej δ-izometrii

f : X → Y istnieje izometria U : X → Y taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε ?

Jeżeli (Y,+) jest grupą abelową, a dY jest metryką w Y niezmienniczą na przesunięcia,

problem Ulama można równoważnie sformułować w postaci:

(U2) Czy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdej surjektywnej δ-izometrii

f : X → Y spełniającej warunek f(0) = 0 istnieje izometria U : X → Y spełniająca

warunek U(0) = 0 taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε ?

Dla dowodu (U1) ⇒ (U2) ustalmy ε > 0 i do ε2 dobierzmy δ > 0 tak, jak w warun-

ku (U1). Dla dowolnej surjektywnej δ-izometrii f : X → Y takiej, że f(0) = 0 istnieje,

z (U1), izometria U : X → Y taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε2 , w szczególności

dY (0, U(0)) ¬ ε2 . Przyjmując U′ := U−U(0) mamy, że U ′ jest izometrią, U ′(0) = 0 oraz

supx∈X dY (f(x), U′(x)) ¬ supx∈X dY (f(x), U(x)) + supx∈X dY (U(x), U(x) − U(0)) ¬

ε2 + dY (0,−U(0)) =

ε2 + dY (U(0), 0) ¬

ε2 +

ε2 = ε.

Dla dowodu (U2)⇒ (U1) ustalmy ε > 0, δ > 0 jak w (U2). Dla dowolnej surjektywnej

δ-izometrii f : X → Y istnieje, z uwagi na to, że f−f(0) jest surjektywną δ-izometrią,

która w zerze się zeruje, izometria U : X → Y taka, że

3

supx∈XdY (f(x)− f(0), U(x)) ¬ ε. Wówczas U ′ := U + f(0) jest izometrią, dla której

supx∈XdY (f(x), U ′(x)) = supx∈XdY (f(x)− f(0), U(x)) ¬ ε.

Założenie surjektywności f w warunkach (U1), (U2) jest istotne. S. M. Ulam oraz

D. Hyers pokazali w [8], że problem może mieć negatywne rozwiązanie, jeśli opuścimy

surjektywność funkcji, nawet gdy X i Y są skończenie wymiarowymi rzeczywistymi

przestrzeniami Hilberta. Podali oni następujący przykład: X = l21, Y = l22, f : X → Y

jest funkcją określoną wzorem f(x) = (x, g(x)) dla x ∈ R, gdzie g(x) = log x dla x 1

oraz g(x) = 0 dla x < 1. Wtedy g jest δ-izometrią dla pewnego δ > 0 a nie istnieje,

wobec ścisłej wypukłości Y , izometria U : X → Y taka, że supx∈X‖f(x)−U(x)‖ 0. Jeżeli funkcja f : X → Y jest surjektywną δ-izometrią spełniającą warunek

f(0) = 0, to istnieje dokładnie jedna surjektywna izometria liniowa U : X → Y

taka, że ‖f(x) − U(x)‖ ¬ 2δ dla każdego x ∈ X. Funkcja U jest określona wzorem

U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.

4

Przykład poniższy pokazuje, że liczby 2δ w powyższym twierdzeniu, w ogólnym

przypadku, nie można zastąpić mniejszą ([20]).

Przykład 1.2. Niech f : R → R, f(x) = −x dla x ∈ [0, δ], oraz f(x) = x − δ dla

x ∈ R \ [0, δ]. Wtedy f jest surjektywną δ-izometrią, spełniającą warunek f(0) = 0

taką, że supx∈R‖f(x)− U(x)‖ = 2δ, gdzie U(x) = limn→∞ f(2nx)2n = x dla x ∈ R.

Z cytowanego wcześniej twierdzenia Grubera, twierdzenia Ulama-Mazura, lematu

5.1 oraz twierdzenia 1.1 wynika, że przy założeniach twierdzenia 1.1 istnieje dokładnie

jedna izometria U : X → Y spełniająca warunek U(0) = 0 taka, że supx∈X‖f(x) −

U(x)‖ 0, pomię-

dzy dwiema przestrzeniami Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą surjektywnej

izometrii i funkcji ograniczonej.

5

Z twierdzenia 1.1 wynika również, że dwie rzeczywiste przestrzenie Banacha są izo-

metrycznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje δ > 0 oraz surjektywna

δ-izometria f przeprowadzająca jedną z tych przestrzeni na drugą.

Niech η > 0. Funkcję f : X → Y nazywamy η-surjektywną, jeżeli dla każdego y ∈ Y

istnieje x ∈ X takie, że ‖f(x)− y‖ < η. Stosunkowo niedawno Šemrl i J. Väisälä po-

kazali, że założenie o surjektywności f w twierdzeniu 1.1 można zastąpić słabszym:

wystarczy założyć, że f jest η-surjektywna, przy pewnym η > 0. Teza pozostaje ta

sama ([21]).

Twierdzenie Šemrla- Väisäli w pewnym sensie charakteryzuje wszystkie w przybliże-

niu surjektywne przybliżone izometrie pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha. Z

twierdzenia tego wynika bezpośrednio, że funkcja f : X → Y jest η-surjektywną δ-

izometrią, przy pewnych η > 0, δ > 0, wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą surjektywnej

izometrii i funkcji ograniczonej.

Wynika z niego także, że każda η-surjektywna izometria V : X → Y pomiędzy dwiema

przestrzeniami Banacha X, Y jest surjektywna. Istotnie, dla każdego δ > 0, funkcja

V −V (0) jest η-surjektywną δ-izometrią, stąd oraz twierdzenia Šemrla-Väisäli istnieje

surjektywna izometria V ′ : X → Y , niezależna od δ (bo określona wzorem V ′(x) =

limn→∞V (2nx)−V (0)

2n dla x ∈ X), spełniająca warunek supx∈X‖V (x)− V (0)− V′(x)‖ ¬

2δ. Przechodząc do granicy δ → 0+ otrzymujemy, że V = V (0) + V ′ jest surjektywna.

Pojawia się pytanie dotyczące stabilności izometrii dla innych klas przestrzeni.

Przedmiotem niniejszej pracy jest problem stabilności izometrii dla przestrzeni linio-

wych zbliżonych do przestrzeni unormowanych, w których „norma” spełnia warunki:

‖x‖ = 0⇔ x = 0, nierówność trójkąta ‖x+y‖ ¬ ‖x‖+‖y‖; nie zakładamy natomiast,

że ‖ · ‖ jest bezwzględnie jednorodna, tzn. ‖λx‖ = |λ|‖x‖ dla dowolnego skalara λ i

dowolnego wektora x. Warunek ten zastępujemy słabszym np., że istnieje p ∈ (0, 1]

takie, że dla dowolnego skalara λ i dowolnego wektora x zachodzi ‖λx‖ = |λ|p‖x‖,

bądź jeszcze słabszym, że istnieje p ∈ (0, 1] takie, że dla dowolnego wektora x za-

chodzi: ‖ − x‖ = ‖x‖ i ‖2x‖ = 2p‖x‖. Przestrzenie takie nazywamy przestrzeniami z

odpowiednio p-jednorodną- i 2-p-jednorodną F-normą. Pokażemy później, że w takich

przestrzeniach, przy założeniu zupełności przestrzeni w dziedzinie i w przeciwdziedzi-

nie, dla dowolnej surjektywnej δ-izometrii f i dla dowolnego x ∈ X również istnie-

je granica U(x) := limn→∞f(2nx)2n , jest ona addytywną, chociaż niekoniecznie liniową

6

(por. przykład 3.11), surjektywną izometrią, ale nierówność

supx∈X‖f(x)− U(x)‖ 0 i niech (X, dX), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wte-

dy funkcje (dX)r, (dY )r są „quasi-metrykami”, tzn. spełniają dwa pierwsze aksjo-

maty metryki oraz „nierówność trójkąta” z pewną stałą K 1 (por. lemat A.1).

δ -izometrie (w szczególności, gdy δ = 0, izometrie) przestrzeni „quasi-metrycznych”

(X, (dX)r), (Y, (dY )r) oraz problem Ulama dla (X, (dX)r), (Y, (dY )r) można zdefiniować

formalnie tak samo jak dla przestrzeni metrycznych. Oczywiście funkcja jest izometrią

przestrzeni (X, (dX)r), (Y, (dY )r), wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią przestrzeni

(X, dX), (Y, dY ). Funkcję f : X → Y nazywamy (r, δ)-izometrią przestrzeni (X, dX),

(Y, dY ), jeżeli jest δ-izometrią przestrzeni (X, (dX)r), (Y, (dY )r), tzn.

|(dY (f(x1), f(x2))

)r−(dX(x1, x2)

)r| ¬ δ

dla dowolnych x1, x2 ∈ X.

W tym rozdziale dowodzimy, przy pewnych dodatkowych założeniach, twierdzeń do-

tyczących stabilności bądź braku stabilności izometrii w przestrzeniach (X, (dX)r),

(Y, (dY )r), gdzie (X, ‖·‖X), (Y, ‖·‖Y ) są przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi, zupełnymi

F-normami, r > 0, dX(x1, x2) = ‖x1−x2‖X dla x1, x2 ∈ X, zaś dY (y1, y2) = ‖y1−y2‖Ydla y1, y2 ∈ Y , w zależności od wartości iloczynu p · r.

Pomocnicze nierówności i lematy wykorzystywane w pracy, a nie związane bezpo-

średnio z tematem pracy, zostały zamieszczone w Aneksie. Dla wygody Czytelnika w

7

obrębie każdego rozdziału zastosowano jednolitą numerację dla definicji, twierdzeń,

lematów, wniosków, stwierdzeń, przykładów i uwag.

W pracy stosujemy standardowe oznaczenia: N, N0, Z, Q, R oznaczają odpowiednio

zbiór liczb naturalnych, całkowitych nieujemnych, całkowitych, wymiernych oraz rze-

czywistych. Rozpatrywane przestrzenie liniowe są przestrzeniami rzeczywistymi. Sym-

bolem btc, gdzie t ∈ R, oznaczamy całkowitą część liczby t.

Pragnę w tym miejscu złożyć serdeczne podziękowanie mojemu promotorowi, pro-

fesorowi doktorowi habilitowanemu Józefowi Taborowi, za cenne wskazówki i uwagi

udzielane mi w trakcie pisania tej pracy.

8

Rozdział 2

Stabilność izometrii w

przestrzeniach z p-jednorodnymi

F-normami

W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie przestrzeni z p-jednorodną F-normą oraz po-

dajemy bez dowodów najważniejsze wyniki dotyczące braku stabilności izometrii w

takich przestrzeniach pochodzące z [22].

Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową.

Definicja 2.1. Funkcję ‖·‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych x, y ∈ X warunki:

(i) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;

(ii) ‖ − x‖ = ‖x‖;

(iii) ‖x+ y‖ ¬ ‖x‖+ ‖y‖

nazywamy F-normą.

Definicja 2.2. Niech p ∈ (0, 1]. Funkcję ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych

x, y ∈ X warunki (i), (iii) oraz dla dowolnych λ ∈ R, x ∈ X warunek

(ii’) ‖λx‖ = |λ|p‖x‖,

nazywamy p-jednorodną F-normą.

Definicja 2.3. Niech p ∈ (0, 1]. Funkcję ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych

x, y ∈ X, λ ∈ R warunki (ii’), (iii) nazywamy semi-p-jednorodną F-normą.

Oczywiście każda p-jednorodna F-norma jest semi-p-jednorodną F-normą oraz jest

F-normą, ale nie na odwrót.

9

Jeżeli ‖ · ‖ jest F-normą na niezerowej przestrzeni liniowej X spełniającą (ii’), przy

pewnym p > 0, to p ¬ 1. Dla x 6= 0, x ∈ X, na podstawie (ii’) i (iii), mamy bowiem

2p‖x‖ = ‖x+ x‖ ¬ 2‖x‖. Stąd otrzymujemy, że 2p ¬ 2, a więc p ¬ 1.

Parę (X, ‖·‖), gdzie X jest przestrzenią liniową, a ‖·‖ jest F-normą [p-jednorodną F-

normą], nazywamy przestrzenią z F-normą [odpowiednio przestrzenią z p-jednorodną

F-normą]. Przestrzeń z F-normą jest przestrzenią metryczną, z metryką d(x, y) =

‖x − y‖ dla x, y ∈ X. Metryka d jest niezmiennicza na przesunięcia tzn. d(x + z, y +

z) = d(x, y) dla x, y, z ∈ X. Z nierówności |‖x‖ − ‖y‖| ¬ ‖x − y‖ dla x, y ∈ X,

wynika że funkcja ‖ · ‖ : X → [0,∞) jest ciągła na tej przestrzeni. Również funkcja

+ : X × X → X, +(x, y) := x + y dla x, y ∈ X, jest ciągła, gdyż dla dowolnych

(xn), (yn) ⊂ X, x, y ∈ X takich, że xn → x, yn → y mamy ‖xn + yn − x − y‖ ¬

‖xn − x‖ + ‖yn − y‖ → 0 przy n → ∞. Przestrzeń z F-normą nie musi być jednak

przestrzenią liniowo-metryczną, gdyż funkcja · : R×X → X, ·(λ, x) := λ ·x dla λ ∈ R,

x ∈ X, nie musi być ciągła. Niech X będzie niezerową przestrzenią liniową i niech

‖x‖ := 1, gdy x 6= 0 oraz ‖0‖ := 0. Wtedy ‖·‖ jest F-normą wX, a metryka pochodząca

od F-normy jest metryką 0-1. Zatem topologia w X jest topologią dyskretną. Gdyby

funkcja · była ciągła, to X byłaby przestrzenią liniowo-topologiczną, a każde otoczenie

zera byłoby zbiorem pochłaniającym, w szczególności {0}, co daje sprzeczność.

Przestrzeń z p-jednorodną F-normą jest przestrzenią liniowo-metryczną.

Ciągłość mnożenia wektorów przez skalary wynika stąd, że dla dowolnych (λn) ⊂

R, (xn) ⊂ X,λ ∈ R, x ∈ X takich, że λn → λ, xn → x zachodzi

‖λnxn − λx‖ ¬ ‖λnxn − λnx‖+ ‖λnx− λx‖ ¬ |λn|p‖xn − x‖+ |λn − λ|p‖x‖ → 0

przy n→∞.

Przykłady przestrzeni z p-jednorodnymi F-normami.

Przykład 2.4. Niech lpn, gdzie p ∈ (0, 1], n ∈ N, będzie przestrzenią liniową nad R

wszystkich ciągów n-wyrazowych, o wyrazach z R, oraz niech ‖(t1, ..., tn)‖ =∑nk=1 |tk|p

dla (t1, ..., tn) ∈ lpn. Wtedy ‖ · ‖ jest p-jednorodną F-normą w lpn.

Przykład 2.5. Niech lp, gdzie p ∈ (0, 1], będzie przestrzenią liniową nad R wszystkich

ciągów o wyrazach z R sumowalnych z p-tą potęgą oraz niech ‖(tk)‖ =∑∞k=1 |tk|p dla

(tk) ∈ lp. Wtedy ‖ · ‖ jest p-jednorodną F-normą w lp.

10

Przykład 2.6. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech Lp(µ), gdzie p ∈

(0, 1], będzie przestrzenią liniową nad R wszystkich funkcji f : X → R całkowalnych

z p-tą potęgą. Mamy wówczas, że funkcja ‖f‖0 :=∫X |f |pdµ jest semi-p-jednorodną

F-normą w Lp(µ). Niech N := {f ∈ Lp(µ) : ‖f‖0 = 0}. Wtedy N jest podprzestrzenią

liniową przestrzeni Lp(µ). W przestrzeni ilorazowej Lp(µ) := Lp(µ)/N , dla f̃ ∈ Lp(µ)

oraz f ∈ f̃ kładziemy ‖f̃‖ :=∫X |f |pdµ. Wtedy ‖ · ‖ jest jest p-jednorodną F-normą

w Lp(µ).

Przykład 2.7. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową, a ‖ · ‖0 normą w X.

Wtedy funkcja ‖x‖ := ‖x‖p0 dla x ∈ X, gdzie p ∈ (0, 1], jest p-jednorodną F-normą

w X.

Uwaga 2.8. Jeżeli X = {1, ..., n}, S = 2X , a µ jest miarą daną wzorem µ(A) = cardA

dla A ⊂ {1, ..., n}, to Lp(µ) = Lp(µ) = lpn, bo w tym przypadku dowolny ciąg f =

(t1, ..., tn) o wyrazach z R jest funkcją mierzalną i całkowalną oraz∫X fdµ =

∑nk=1 tk.

Podobnie, jeśli X = N, S = 2N, a µ(A) = card(A), gdy zbiór A jest skończony, A ⊂ N,

oraz µ(A) =∞, gdy card(A) = ℵ0, A ⊂ N, to Lp(µ) = Lp(µ) = lp. W tym przypadku

bowiem dowolny ciąg f = (tk)∞k=1 o wyrazach z R jest funkcją mierzalną; ciąg ten

jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, gdy∑∞k=1 |tk| < ∞. Zachodzi wówczas równość∫

X fdµ =∑∞k=1 tk ([17], rozdz. 7, §9, s. 316-317). Przestrzenie z przykładów 2.4 i 2.5

są więc szczególnymi przypadkami przestrzeni z przykładu 2.6.

Przestrzenie lpn, lp, Lp(µ) z przykładów 2.4, 2.5, 2.6 są zupełnymi przestrzeniami

metrycznymi ([14], rozdz. 1, tw. 5.1). Przestrzeń z przykładu 2.7 jest zupełna wtedy i

tylko wtedy, gdy przestrzeń unormowana (X, ‖ · ‖0) jest zupełna.

Gdy X i Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, problem Ulama ma

w ogólnym przypadku negatywne rozwiązanie, gdyż zachodzi następujące twierdzenie

([22], przykład 2.1).

Twierdzenie 2.9. Niech X będzie przestrzenią Banacha, p ∈ (0, 1), δ > 0 i niech

funkcja f : X → X będzie określona wzorem

f(x) = x+δ

‖x‖p· x dla x 6= 0

oraz f(0) = 0. Wtedy f jest surjektywną 8δ-izometrią przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na siebie

oraz dla każdej izometrii U : X → X przestrzeni (X, ‖ · ‖p) w siebie zachodzi równość

supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.

11

Inny przykład tego typu dla rzeczywistej przestrzeni Lp(µ), gdzie p ∈ (0, 1), a µ

jest niezerową miarą σ-skończoną, zostanie podany w rozdziale 5 (tw. 5.3).

Uwaga 2.10. Funkcja f z twierdzenia 2.9 jest homeomorfizmem przestrzeni (X, ‖ · ‖)

na (X, ‖ · ‖) (jak również przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na (X, ‖ · ‖p)).

Niech φ(t) := t+δt1−p dla t ∈ [0,∞). Wówczas z lematu A.5, φ jest bijekcją z [0,∞)

na [0,∞) oraz f(x) = φ(‖x‖) x‖x‖ dla x 6= 0, x ∈ X.

Niech g : X → X, g(y) = φ−1(‖y‖) y‖y‖ dla y 6= 0, y ∈ Y oraz g(0) = 0.

Ponieważ, dla x 6= 0, x ∈ X, mamy

(g ◦ f)(x) = φ−1(φ(‖x‖))φ(‖x‖) x‖x‖φ(‖x‖)

= ‖x‖ x‖x‖= x,

(g ◦ f)(0) = 0

oraz analogicznie

(f ◦ g)(y) = y dla y 6= 0, y ∈ Y, (f ◦ g)(0) = 0,

to f jest bijekcją oraz f−1 = g.

Ponieważ f , g są ciągłe na X \ {0}, limx→0 f(x) = limx→0 φ(‖x‖) x‖x‖ = 0 = f(0) i

analogicznie limx→0 g(x) = 0 = g(0), zatem f , f−1 są ciągłe.

W przestrzeniach z p-jednorodnymi zupełnymi F-normami zachodzi następujące

twierdzenie ([22], tw. 4.2), które jest słabsze w porównaniu z twierdzeniem 1.1.

Twierdzenie 2.11. Niech X, Y będą przestrzeniami z p-jednorodnymi zupełnymi F-

normami, p ∈ (0, 1), δ > 0. Jeżeli f : X → Y jest surjektywną δ-izometrią spełniającą

warunek f(0) = 0, to istnieją surjektywna izometria liniowa U : X → Y i stała Lp > 0,

zależna od p, takie że

‖f(x)− U(x)‖ ¬ Lp(δp‖x‖1−p + δ)

dla x ∈ X.

Jeśli X nie jest przestrzenią zerową, to wynika stąd, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞.

Twierdzenie to zostanie uogólnione w rozdziale 5 (tw. 5.14).

Izometrie między przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami charakteryzuje nastę-

pujące twierdzenie, będące uogólnieniem klasycznego twierdzenia Ulama-Mazura dla

przestrzeni unormowanych (szczególny przypadek tw. 3.1, z rozdz. 9, z [14]).

12

Twierdzenie 2.12. Niech X, Y będą przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami.

Wtedy każda surjektywna izometria U : X → Y taka, że U(0) = 0 jest przekształceniem

liniowym.

Wniosek 2.13. Jeżeli (X, ‖ · ‖), (Y, ‖ · ‖) są przestrzeniami z odpowiednio p1, p2-

jednorodnymi F-normami, gdzie p1, p2 ∈ (0, 1] i p1 6= p2, X 6= {0}, to nie istnieje

surjektywna izometria U przekształcająca X na Y .

Dowód. Przypuśćmy, że istnieje surjektywna izometria U : X → Y . Niech V :=

U − U(0). Wtedy, z twierdzenia 2.12, V jest liniowa. Stąd

‖V (x)‖ = ‖V (x)− V (0)‖ = ‖x− 0‖ = ‖x‖

dla x ∈ X.

Podstawiając 2x w miejsce x, otrzymujemy

2p2‖x‖ = 2p2‖V (x)‖ = ‖2V (x)‖ = ‖V (2x)‖ = ‖2x‖ = 2p1‖x‖

dla x ∈ X.

Stąd 2p2 = 2p1 , a więc p1 = p2, co jest sprzeczne z założeniem. 2

Problemem otwartym jest istnienie surjektywnych δ-izometrii pomiędzy dwiema

przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, z różnymi p.

13

Rozdział 3

Uogólnienie twierdzenia

Ulama-Mazura

W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie (r, δ)-izometrii oraz podajemy elementarne

własności takich funkcji. Następnie dowodzimy kluczowego lematu 3.3, z którego otrzy-

mujemy uogólnione twierdzenie Ulama-Mazura (wniosek 3.6). Lemat 3.3 zostanie wy-

korzystany także później do dowodu twierdzeń dotyczących stabilności izometrii (twier-

dzenia 5.5 i 5.6).

Niech 0 < p ¬ 1, r > 0, δ > 0 i niech (X, ‖ · ‖), (Y, ‖ · ‖) będą przestrzeniami z

F-normami.

Definicja 3.1. Funkcję f : X → Y nazywamy (r, δ)-izometrią, jeśli

| ‖f(x)− f(y)‖r − ‖x− y‖r | ¬ δ dla x, y ∈ X. (3.1)

Oczywiście (1, δ)-izometria jest tym samym co δ-izometria. Ogólniej, jeśli r ∈ (0, 1],

to (r, δ) izometria przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖) jest tym samym, co δ-izometria

przestrzeni (X, ‖ · ‖r) w (Y, ‖ · ‖r).

Lemat 3.2. Jeżeli X, Y, Z są przestrzeniami z F-normami, f : X → Y jest (r, δ1)-

izometrią i g : Y → Z jest (r, δ2)-izometrią, to g ◦ f jest (r, δ1 + δ2)-izometrią.

Jeżeli ponadto f jest bijekcją, to f−1 jest (r, δ1)-izometrią.

Dowód. Dla x, y ∈ X mamy

‖f ◦ g(x)− f ◦ g(y)‖r ¬ ‖g(x)− g(y)‖r + δ1 ¬ ‖x− y‖r + δ1 + δ2

oraz

‖f ◦ g(x)− f ◦ g(y)‖r ‖g(x)− g(y)‖r − δ1 ‖x− y‖r − δ1 − δ2.

14

Zatem f ◦ g jest (r, δ1 + δ2)-izometrią.

Załóżmy dodatkowo, że f jest bijekcją. Rozważmy dowolne u, v ∈ Y . Istnieją wtedy

x, y ∈ X takie, że u = f(x), v = f(y). Mamy wówczas

|‖f−1(u)− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r| = |‖x− y‖r − ‖f(x)− f(y)‖r| ¬ δ1.

Zatem f−1 jest (r, δ1)-izometrią. 2

Lemat 3.3. Niech r > 0, δ > 0 i niech X, Y będą przestrzeniami z F-normami, przy

czym F-norma w Y spełnia warunek:

istnieje p ∈ (0, 1], p 6= 1rtakie, że dla każdego y ∈ Y 2p‖y‖ ¬ ‖2y‖. (3.2)

Jeżeli funkcja f : X → Y jest bijektywną (r, δ) -izometrią spełniającą warunek f(0) =

0, to istnieją stałe dodatnie C1 (zależna od r), C2, C3, C4, C5 (zależne od p, r, δ) takie,

że

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖ ¬

C1‖x− y‖2pn

+C22pn+ C3 · 2n(

1r−p) + C4 · 2n(

1r−p)(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C5 (3.3)

dla x, y ∈ X, n 3, n ∈ N.

Co więcej, można założyć, że dla i = 2, 3, 4, 5, Ci jest postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r .

Dowód. Idea dowodu jest wzorowana na dowodzie lematu 15.3 [2].

W dowodzie wykorzystamy fakt, że ‖ z2‖ ¬12p‖z‖ dla z ∈ Y , który wynika z 3.2, gdyż

‖z‖ = ‖2 z2‖ 2p‖ z2‖.

Niech x, y ∈ X i niech

p := x+y2 , q :=f(x)+f(y)2 , d := ‖

f(x)−f(y)2 ‖.

Określamy ciąg odwzorowań (gn)n∈N0 , gn : Y → Y w następujący sposób:

g0(u) := f(2p− f−1(u)) dla u ∈ Y,

g1(u) := 2q − u dla u ∈ Y.

Oczywiście g0, g1 są bijekcjami. Ustalmy n ∈ N i załóżmy, że określiliśmy już bijekcje

g0, g1, ..., gn. Niech

gn+1 := gn−1 ◦ gn ◦ g−1n−1.

15

Wtedy gn+1 również jest bijekcją, jako złożenie trzech bijekcji.

Określamy ciąg punktów (qn)n∈N ⊂ Y następująco:

q1 = q,

qn+1 := gn−1(qn) dla n ∈ N.

Pokażemy, że dla każdego n ∈ N0, gn jest (r, 2n+1δ)-izometrią. Z definicji 3.1 oraz

lematu 3.2 dla dowolnych u, v ∈ Y mamy

| ‖f(2p− f−1(u))− f(2p− f−1(v)‖r − ‖f−1(u)− f−1(v)‖r | ¬ δ

oraz

| ‖f−1(u)− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r | ¬ δ.

Stąd

| ‖g0(u)− g0(v)‖r − ‖u− v‖r | =

| ‖f(2p− f−1(u))− f(2p− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r | ¬ 2δ.

Z tego wynika, że g0 jest (r, 2δ) -izometrią.

Oczywiście g1 jest izometrią, a więc także (r, 22δ) izometrią. Ustalmy n ∈ N i załóżmy,

dla dowodu indukcyjnego, że gk jest (r, 2k+1δ) -izometrią dla wszystkich k ¬ n, k ∈ N0.

Wtedy, z lematu 3.2 oraz założenia indukcyjnego, gn+1 jest (r, 2nδ + 2n+1δ + 2nδ)-

izometrią, czyli (r, 2n+2δ)-izometrią.

Pokażemy, że

gn(f(x)) = f(y), gn(f(y)) = f(x) dla n ∈ N0. (3.4)

Ponieważ g0(f(x)) = f(2p − x) = f(y), g1(f(x)) = 2q − f(x) = f(y) i analogicznie

g0(f(y)) = f(x), g1(f(y)) = f(x), to równości (3.4) są prawdziwe dla n = 0 i n = 1.

Ustalmy n ∈ N i załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że równości (3.4) są prawdziwe

dla wszystkich k ¬ n, k ∈ N0. Wtedy, na mocy założenia indukcyjnego, gn+1(f(x)) =

(gn−1 ◦ gn)(f(y)) = gn−1(f(x)) = f(y); podobnie gn+1(f(y)) = f(x).

Pokażemy, że

‖qn − f(x)‖r ¬ dr + 2nδ, ‖qn − f(y)‖r ¬ dr + 2nδ (3.5)

dla n ∈ N.

Ponieważ

‖q1 − f(x)‖r = ‖f(x) + f(y)2

− f(x)‖r = ‖f(y)− f(x)2

‖r = dr < dr + 2δ

16

i analogicznie

‖q1 − f(y)‖r ¬ dr + 2δ,

to nierówności (3.5) są prawdziwe dla n = 1. Załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że

warunek (3.5) jest prawdziwy dla ustalonego n ∈ N. Wtedy korzystając z (3.4), z faktu

że gn−1 jest 2nδ-izometrią oraz z założenia indukcyjnego otrzymujemy

‖qn+1 − f(x)‖r = ‖gn−1(qn)− gn−1(f(y))‖r ¬ ‖qn − f(y)‖r + 2nδ ¬

dr + 2nδ + 2nδ = dr + 2n+1δ.

Podobnie sprawdzamy, że ‖qn+1 − f(y)‖r ¬ dr + 2n+1δ.

Pokażemy, że

‖qn − qn−1‖r ¬ Dr(dr + 2nδ) dla n 2, n ∈ N (3.6)

gdzie Dr := 2 dla r ∈ (0, 1] oraz Dr := 2r dla r > 1.

Załóżmy, że 0 < r ¬ 1. Ze względu na (3.5) oraz (A.1) mamy, że dla n 2

‖qn − qn−1‖r ¬ (‖qn − f(x)‖+ ‖f(x)− qn−1‖)r ¬

‖qn − f(x)‖r + ‖f(x)− qn−1‖r ¬ 2(dr + 2nδ).

Załóżmy, że r 1. Korzystając z (3.5) oraz z (A.2), otrzymujemy, że dla n 2

‖qn − qn−1‖ ¬ (‖qn − f(x)‖+ ‖f(x)− qn−1‖)r ¬

2r−1(‖qn − f(x)‖r + ‖f(x)− qn−1‖r) ¬ 2r(dr + 2nδ).

Wykażemy, że

‖gn(u)− u‖r 2pr‖qn − u‖r − 2pr+1 · 2nδ (3.7)

dla u ∈ Y, n ∈ N.

Ponieważ

‖g1(u)− u‖r = ‖2q − u− u‖r 2pr‖q − u‖r 2pr‖q − u‖r − 2pr+1 · 2δ,

to warunek (3.7) jest prawdziwy dla n = 1 i dowolnego u ∈ Y . Ustalmy n ∈ N i za-

łóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że nierówność (3.7) zachodzi dla każdego u ∈ Y .

Korzystając z faktu, że gn−1 i g−1n−1 są (r, 2nδ)-izometriami oraz z założenia indukcyj-

nego, otrzymujemy dla dowolnego u ∈ Y

‖gn+1(u)− u‖r = ‖gn−1gng−1n−1(u)− gn−1g−1n−1(u)‖r

17

‖gng−1n−1(u)− g−1n−1(u)‖r − 2nδ

2pr‖qn − g−1n−1(u)‖r − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ =

2pr‖g−1n−1gn−1(qn)− g−1n−1(u)‖r − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ

2pr(‖gn−1(qn)− u‖r − 2nδ)− 2pr+1 · 2nδ − 2nδ =

2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr · 2nδ − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ

2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr · 2nδ − 2pr+1 · 2nδ − 2pr · 2nδ =

2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr+1 · 2n+1δ.

Podstawiając w (3.7) u = qn+1, otrzymujemy

‖qn+2 − qn+1‖r 2pr‖qn+1 − qn‖r − 2pr+1 · 2nδ (3.8)

dla n ∈ N.

Pokażemy, że

‖qn − qn−1‖r (2pr)n−2‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ · 2n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)(3.9)

dla n 3, n ∈ N.

Z (3.8) mamy ‖q3 − q2‖r 2pr‖q2 − q1‖r − 2pr+1 · 2δ. Oznacza to, że nierówność (3.9)

jest spełniona dla n = 3. Załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że nierówność (3.9) jest

spełniona dla ustalonego n 3, n ∈ N. Wtedy, korzystając kolejno z (3.8) i (3.9),

otrzymujemy

‖qn+1 − qn‖r 2pr‖qn − qn−1‖r − 2pr+12n−1δ

2pr(2pr)n−2‖q2 − q1‖r − 2pr2pr+1δ2n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)− 2pr+12n−1δ =

(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ[2pr2n−2

(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2n−1

]=

(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1[2pr−1

(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 1

]=

(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1(2pr−1 − (2pr−1)n−1 + 1− 2pr−1

1− 2pr−1)=

(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1(1− (2pr−1)n−11− 2pr−1

).

Z nierówności (3.9) dla n 3, n ∈ N mamy

‖q2 − q1‖r ¬‖qn − qn−1‖r

(2pr)n−2+2pr+1δ · 2n−2

(2pr)n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

).

18

Stąd oraz z (3.6) otrzymujemy

‖q2 − q1‖r ¬(2pr)2Drdr

(2pr)n+(2pr)2Dr2nδ(2pr)n

+2pr+1 · δ · 2n−2 · (2pr)2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)(3.10)

dla n 3, n ∈ N.

Z drugiej strony

‖q2 − q1‖r = ‖f(2p− f−1(q))− ff−1(q)‖r

‖2p− 2f−1(q)‖r − δ 2pr‖f−1f(p)− f−1(q)‖r − δ

2pr(‖f(p)− q‖r − δ)− δ = 2pr‖f(p)− q‖r − 2prδ − δ

2pr‖f(p)− q‖r − 2 · 2prδ.

Stąd oraz z (3.10) dostajemy, że

2pr‖f(p)− q‖r ¬ ‖q2 − q1‖r + 2 · 2prδ ¬

(2pr)2Drdr

(2pr)n+(2pr)2Dr2nδ(2pr)n

+2pr+1 · (2pr)2 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2 · 2prδ

dla n 3, n ∈ N.

Zatem

‖f(p)− q‖r ¬ (2pr)Drdr

(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+2pr+1 · 2pr · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ

dla n 3, n ∈ N.

Z ostatniej nierówności oraz z nierówności ‖ z2‖ ¬12p‖z‖ dla z ∈ Y , otrzymujemy

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖r ¬

2prDr‖f(x)−f(y)2 ‖r

(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+22pr+1 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ ¬

Dr‖f(x)− f(y)‖r

(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+22pr+1 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ ¬

Dr(‖x− y‖r + δ)(2pr)n

+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+22pr+1 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ =

Dr‖x− y‖r

(2pr)n+Drδ

(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+22pr+1 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ

dla n 3, n ∈ N.

Jeśli r 1, to wynika stąd, że dla n 3, n ∈ N

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖ ¬

19

D1rr ‖x− y‖2pn

+D1rr δ

1r

2pn+ 2pD

1rr δ

1r · 2

nr

2pn+22pr+1r · δ 1r · 2n−2r2pn

·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

) 1r + 2

1r δ1r ,

a jeśli 0 < r ¬ 1, to dla n 3, n ∈ N

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖ ¬

(Dr‖x− y‖r

(2pr)n+Drδ

(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n

+22pr+1 · δ · 2n−2

(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+ 2δ

) 1r

¬

21r−1(Dr‖x− y‖r

2prn+Drδ

2prn

) 1r

+21r−1(2prDr2nδ2prn

+22pr+1 · δ · 2n−2

2prn·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

)+2δ

) 1r

¬

(21r−1)2 · D

1rr ‖x− y‖2pn

+ (21r−1)2 · D

1rr δ

1r

2pn+ (2

1r−1)3 · 2

pD1rr 2

nr δ1r

2pn+

(21r−1)3 · 2

2pr+1r · δ 1r · 2n−2r2pn

·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1

) 1r + (2

1r−1)22

1r δ1r .

W obu przypadkach otrzymujemy (3.3), z C1 = (21r−1)2D

1rr , C2 = (2

1r−1)2D

1rr δ

1r , C3 =

(21r−1)32pD

1rr δ

1r , C4 = (2

1r−1)32

2pr−1r δ

1r , C5 = (2

1r−1)22

1r δ1r , gdy r ∈ (0, 1), oraz C1 =

D1rr , C2 = D

1rr δ

1r , C3 = 2pD

1rr δ

1r , C4 = 2

2pr−1r δ

1r , C5 = 2

1r δ1r , gdy r 1. 2

Uwaga 3.4. Dla dowolnego r > 0, warunek (3.2) jest równoważny warunkowi:

istnieje c > 1 takie, że dla każdego y ∈ Y c‖y‖ ¬ ‖2y‖. (3.11)

Oczywiście z (3.2) wynika (3.11). Jeśli zachodzi (3.11) i Y jest niezerowa, to dla

y 6= 0, y ∈ Y mamy c‖y‖ ¬ ‖2y‖ ¬ 2‖y‖, stąd c ¬ 2. Zatem istnieje p′ ∈ (0, 1] takie, ze

c = 2p′. Przyjmując p = p′ gdy p′ 6= 1

roraz p ∈ (0, 1

r) gdy p′ = 1

rotrzymujemy 2p‖y‖ ¬

2p′‖y‖ = c‖y‖ ¬ ‖2y‖. Zatem zachodzi (3.2). Warunek ten zachodzi oczywiście, gdy

przestrzeń Y jest przestrzenią zerową.

Przykład 3.5. Niech X będzie przestrzenią liniową, ‖ ·‖1, ‖ ·‖2 będą odpowiednio p1-

i p2-jednorodnymi F-normami w X, gdzie p1, p2 ∈ (0, 1], i niech s 1. Wtedy funkcje

||| · |||s := (‖ · ‖s1 + ‖ · ‖s2 )1s oraz ||| · |||max := max{‖ · ‖1, ‖ · ‖2} są F-normami w X

spełniającymi warunek (3.11), z c = 2min{p1,p2}.

20

Wniosek 3.6. Niech X1, X2 będą przestrzeniami z F-normami, przy czym F-norma

w X2 spełnia (3.11). Jeżeli funkcja f : X1 → X2 jest surjektywną izometrią taką, że

f(0) = 0, to f jest addytywna.

Jeżeli ponadto, dla i ∈ {1, 2}, F-norma w Xi spełnia warunek:

dla każdego xi ∈ Xi funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona na pewnym zbiorze

T ⊂ R (zależnym od xi) takim, że dla pewnego n ∈ N zbiór T + · · ·+ T︸ ︷︷ ︸n

ma dodatnią

miarę wewnętrzną Lebesgue’a lub jest zbiorem drugiej kategorii o własności Baire’a,

(3.12)

to f jest liniowa.

Zauważmy, że dla dowolnego xi ∈ Xi, jeśli funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest

mierzalna w sensie Lebesgue’a [w sensie Baire’a], to jest ograniczona na pewnym,

zależnym od xi, zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a o mierze dodatniej [zbiorze

drugiej kategorii o własności Baire’a]. Istotnie, niech An := {α ∈ R : n ¬ ‖αxi‖ <

n+1} dla n ∈ N0. Ponieważ zbiory An są mierzalne w sensie Lebesgue’a [mają własność

Baire’a], są parami rozłączne i⋃∞n=0An = R, to istnieje zbiór An0 o dodatniej mierze

Lebesgue’a [drugiej kategorii]. Oczywiście funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona

na An0 .

Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 wynika, że dla dowolnego xi ∈ Xi funkcja

R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona na każdym ograniczonym podzbiorze w R.

Dowód. f jest (1, δ)-izometrią dla każdego δ > 0. Przechodząc w (3.3) do granicy

przy δ → 0+, dostajemy

‖f(x1 + y12)− f(x1) + f(y1)

2‖ ¬ C1

‖x1 − y1‖2pn

dla x1, y1 ∈ X1, n 3, n ∈ N.

Przechodząc w otrzymanej nierówności do granicy przy n→∞, otrzymujemy

‖f(x1 + y12)− f(x1) + f(y1)

2‖ ¬ 0.

Zatem

f(x1 + y12) =f(x1) + f(y1)

2(3.13)

dla x1, y1 ∈ X1.

Podstawiając w (3.13) y1 = 0 dostajemy, że dla dowolnego x1 ∈ X1

f(x12) =f(x1)2.

21

Zastępując w ostatniej równości x1 przez x1 + y1, otrzymujemy

f(x1 + y12) =f(x1 + y1)2

(3.14)

dla x1, y1 ∈ X1.

Z (3.13) i (3.14) wynika addytywność f .

Przechodzimy do dowodu drugiej części wniosku. Dla dowolnego x1 ∈ X1 mamy

‖2x1‖ = ‖f(2x1)‖ = ‖2f(x1)‖ c‖f(x1)‖ = c‖x1‖.

Oznacza to, że F-norma w X1 również spełnia (3.11).

Niech α ∈ R i niech αn := b2nαc2n dla n ∈ N. Oczywiście (αn) ⊂ Q oraz αn → α.

Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 dla dowolnego x1 ∈ X1 istnieje K1(x1) > 0 takie,

że ‖αx1‖ ¬ K1(x1) dla każdego α ∈ [0, 1). Mamy wówczas

‖αnx1 − αx1‖ = ‖(b2nαc2n− α)x1‖ = ‖

b2nαc − 2nα2n

x1‖ ¬

1cn‖(b2nαc − 2nα)x1‖ ¬

1cnK1(x1)

n→∞→ 0.

Stąd

limn→∞(αnx1) = αx1 dla każdego x1 ∈ X1. (3.15)

Analogicznie

limn→∞(αnx2) = αx2 dla każdego x2 ∈ X2. (3.16)

Pokażemy jednorodność f . Z własności funkcji addytywnych wynika, że f jest Q-

jednorodna, tzn. f(αx1) = αf(x1) dla α ∈ Q, x1 ∈ X1 (np. ([18], rozdz. 12, tw. 4.1).

Niech α ∈ R, x1 ∈ X1. Wtedy z (3.15), ciągłości f , Q-jednorodności f oraz z (3.16)

otrzymujemy

f(αx1) = f( limn→∞(αnx1)) = lim

n→∞f(αnx1) =

limn→∞(αnf(x1)) = αf(x1).

2

Założenie, że f jest surjekcją we wniosku 3.6 jest istotne, nawet gdy X1, X2 są prze-

strzeniami unormowanymi. Funkcja f : R → R2 określona wzorem f(x) = (x, sinx)

dla x ∈ R, jest izometrią przestrzeni euklidesowej R w przestrzeń R2, z normą „mak-

simum”, ale f nie jest liniowa.

22

Uwaga 3.7. Jeżeli F-norma ‖ · ‖ w przestrzeni liniowej X spełnia warunek:

dla dowolnego x ∈ X, dowolnego ciągu (αn) ⊂ R

jeśli αn → 0, to αnx→ 0, (3.17)

to spełnia również warunek (3.12).

Dla ustalonego x ∈ X funkcja R 3 α 7→ αx ∈ X jest bowiem homomorfizmem

grupy topologicznej (R,+) w grupę topologiczną (X,+) (z topologią wyznaczoną przez

‖ · ‖), który wobec (3.17), jest ciągły w 0, a więc jest ciągły w R. Z ciągłości F-

normy otrzymujemy ciągłość, a stąd także mierzalność w sensie Lebesgue’a, funkcji

R 3 α 7→ ‖αx‖ ∈ R.

Uwaga 3.8. F-norma ‖·‖ w przestrzeni liniowejX spełniająca (3.12), nie musi spełniać

warunku (3.17).

Istotnie, niech X będzie niezerową przestrzenią liniową, ‖·‖1 p-jednorodną F-normą

w X, zaś ‖x‖2 = 1 gdy x 6= 0 , ‖0‖2 = 0. Wtedy ‖ · ‖ := ‖ · ‖1 + ‖ · ‖2 jest F-normą

spełniającą (3.12), która nie spełnia (3.17).

Uwaga 3.9. Jeżeli F-norma ‖ · ‖ w przestrzeni liniowej X spełnia warunki (3.12) i

(3.11), to spełnia także warunek (3.17).

Niech (αn) ⊂ R, αn → 0, x ∈ X. Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 wynika,

że istnieje K(x) > 0 takie, że ‖αx‖ ¬ K(x) dla każdego α ∈ (−1, 1). Na podstawie

lematu A.10 istnieje ciąg (ln) ⊂ N taki, że ln → ∞ oraz 2lnαn → 0. Zatem dla

dostatecznie dużych n (n większych od pewnego n0 ∈ N) |2lnαn| < 1. Korzystając z

(3.11), otrzymujemy

cln‖αnx‖ ¬ ‖αn2lnx‖ ¬ K(x) dla n n0.

Stąd ‖αnx‖ ¬ K(x)cln → 0 przy n→∞.

Założenie, że c > 1 w warunku (3.11), jest dla wniosku 3.6 założeniem istotnym.

Przykład 3.10. Niech c1, c2 > 0, c1 ¬ 2c2. Niech ‖x‖ = c1 dla x ∈ Q \ {0}, ‖x‖ = c2dla x ∈ R\Q, ‖0‖ = 0. Wtedy ‖ · ‖ jest F-normą w R, spełniającą (3.12) oraz (3.11), z

c = 1 (dokładniej ‖2x‖ = ‖x‖ dla x ∈ R). Dla dowolnej bijekcji g1 : Q\{0} → Q\{0},

funkcja U : R→ R, U(x) = g1(x) dla x ∈ Q \ {0}, U(x) = x dla R \Q, U(0) = 0, jest

surjektywną izometrią przestrzeni (R, ‖ · ‖) na siebie, która nie musi być addytywna.

23

Spełnianie przez F-normy w X1 i X2 warunku (3.12) jest istotne dla liniowości

izometrii f we wniosku 3.6.

Przykład 3.11. Niech f : R → R będzie funkcją addytywną, nieciągłą i bijektywną

(istnienie takich funkcji wynika z lematu A.8), p ∈ (0, 1] i niech ‖x‖1 = |f(x)|p,

‖x‖2 = |x|p dla x ∈ R. Wówczas ‖·‖1, ‖·‖2 są F-normami w R, spełniającymi warunek

(3.11), z c = 2p. Ponieważ ‖f(x)− f(y)‖2 = ‖f(x− y)‖2 = ‖x− y‖1 dla x, y ∈ R, to f

jest (surjektywną, addytywną) izometrią przestrzeni (R, ‖ ·‖1) na przestrzeń (R, ‖ ·‖2).

Oczywiście f spełnia warunek f(0) = 0. Jednak f nie jest liniowa.

Zauważmy, że ‖ · ‖2, z przykładu 3.11, spełnia warunek (3.12), natomiast ‖ · ‖1tego warunku nie spełnia. Istotnie, gdyby ‖ · ‖1 spełniała (3.12), to ustalając x =

1, otrzymalibyśmy, że f jest ograniczona na pewnym zbiorze T ⊂ R takim, że dla

pewnego n ∈ N zbiór T + · · ·+ T︸ ︷︷ ︸n

ma dodatnią miarę wewnętrzną Lebesgue’a lub

jest zbiorem drugiej kategorii o własności Baire’a. Z własności funkcji addytywnych

wynikałoby więc, że f jest funkcją ciągłą ([10], rozdz. 9, §3, tw. 3), co jest sprzeczne z

założeniem. Zauważmy również, że dla funkcji f z przykładu 3.11, f−1 jest surjektywną

izometrią z (R, ‖ · ‖2) na (R, ‖ · ‖1) taką, że f−1(0) = 0, F-norma w dziedzinie funkcji

f−1 spełnia (3.12), natomiast F-norma w przeciwdziedzinie tego warunku nie spełnia.

Jednak f−1 nie jest liniowa. Oznacza to, że we wniosku 3.6 nie wystarczy założyć

warunku (3.12) tylko dla jednej przestrzeni.

24

Rozdział 4

Przestrzenie z 2-p-jednorodnymi

F-normami

W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie 2-p-jednorodnej F-normy na przestrzeni li-

niowej oraz podajemy pewne przykłady takich funkcji. Podamy również przykłady

zupełnych 2-p-jednorodnych F-norm, które nie są p-jednorodnymi F-normami.

Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową.

Definicja 4.1. Niech p ∈ (0, 1]. F-normę ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnego

x ∈ X warunek ‖2x‖ = 2p‖x‖, nazywamy 2-p-jednorodną F-normą.

Parę (X, ‖ · ‖) nazywamy wówczas przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą.

Oczywiście każda p-jednorodna F-norma jest 2-p-jednorodną F-normą. Jednak nie

każda 2-p-jednorodna F-norma jest p-jednorodną F-normą (zob. przykład 4.3 i wniosek

4.8). Zauważmy, że dowolna 2-p-jednorodna F-norma spełnia warunek (3.11) (oraz, dla

dowolnego r > 0, równoważny warunek (3.2)). Zauważmy również, że jeżeli (X, ‖ · ‖)

jest przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą oraz r ∈ (0, 1], to (X, ‖·‖r) jest przestrzenią

z 2-pr-jednorodną F-normą.

Jeśli F-norma ‖·‖ spełnia warunek: istnieje c > 1 takie, że dla każdego x ∈ X zachodzi

‖2x‖ = c‖x‖, to c ¬ 2 oraz ‖ · ‖ jest p-jednorodna, z p = log2 c (por. uwagę 3.4 lub

uwagę po definicji 2.3).

Oczywiście zachodzi następujący

25

Lemat 4.2. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą. Wtedy dla

dowolnych x ∈ X oraz n ∈ Z mamy

‖2nx‖ = 2np‖x‖. (4.1)

Przykład 4.3. Niech a : R→ R będzie funkcją addytywną, nieciągłą, p ∈ (0, 1] i niech

‖x‖a := |a(x)|p dla x ∈ R. Jeżeli a jest różnowartościowa, to ‖ · ‖a jest 2-p-jednorodną

F-normą w R, która jest zupełna, gdy a jest bijekcją.

Oczywiście ‖ · ‖a jest F-normą. Ponadto spełnia warunek ‖λx‖a = |λ|p‖x‖a dla

λ ∈ Q, x ∈ R. W szczególności jest 2-p-jednorodna. Jeżeli a jest bijekcją, to przestrzeń

metryczna (R, ‖ · ‖a) jest izometryczna z zupełną przestrzenią metryczną (R, | · |p)

(funkcja a : R → R jest izometrią przestrzeni (R, ‖ · ‖a) na (R, | · |p)), a więc jest

zupełna.

Lemat 4.4. Niech p ∈ (0, 1) i niech f : [1, 2] → [0,∞) będzie funkcją spełniającą

warunki:

1. f(1) > 0,

2. f(2) = 2pf(1),

3. f jest rosnąca,

4. funkcja [1, 2] 3 x 7→ f(x)x∈ [0,∞) jest malejąca.

Wtedy funkcja g : [0,∞)→ [0,∞) określona wzorem

g(x) =

2npf( x2n ) dla x ∈ [2

n, 2n+1], n ∈ Z,

0 dla x = 0

jest rosnąca, ciągła i g|[1,2] = f .

Ponadto, dla x, y ∈ [0,∞), mamy

g(x) = 0⇔ x = 0, (4.2)

g(2x) = 2pg(x), (4.3)

g(x+ y) ¬ g(x) + g(y). (4.4)

Dowód. Bez straty ogólności można założyć, że f(1) = 1. Istotnie, jeśli c := f(1),

to funkcja 1cf spełnia warunki 1.-4. oraz dla x = 1 przyjmuje wartość 1.

26

Oczywiście dla każdego x ∈ (0,∞) istnieje n ∈ Z takie, że x ∈ [2n, 2n+1], a jeśli x nie

jest postaci 2k, gdzie k ∈ Z, takie n jest dokładnie jedno. Jeśli x = 2n, gdzie n ∈ Z,

to x ∈ [2n, 2n+1] oraz x ∈ [2n−1, 2n]. Ponieważ jednak 2npf(2n2n ) = 2npf(1) = 2np oraz

2(n−1)pf( 2n

2n−1 ) = 2(n−1)p2p = 2np, to g(2n) jest jednoznacznie określona. Oczywiście

g(x) > 0 dla x ∈ (0,∞) oraz g(x) = f(x) dla x ∈ [1, 2].

Z warunku 3. wynika, że g jest rosnąca na każdym przedziale postaci [2n, 2n+1], gdzie

n ∈ Z, stąd jest rosnąca na (0,∞), a ponieważ g(0) = 0, to również na [0,∞).

Pokażemy, że funkcja g(x)xjest malejąca na (0,∞).

Dla dowolnego n ∈ Z i dowolnych x1, x2 ∈ [2n, 2n+1] takich, że x1 < x2 mamy, żex12n ,x22n ∈ [1, 2] i

x12n <

x22n . Z warunku 4. otrzymujemy więc, że

f( x22n )x22n¬ f(

x12n )x12n. Stąd

g(x2)x2=2npf(x22n )x2

=2np

2nf(x22n )x22n¬ 2

np

2nf(x12n )x12n=2npf(x12n )x1

=g(x1)x1.

Zatem funkcja g(x)xjest malejąca na każdym przedziale postaci [2n, 2n+1], jest więc

malejąca na przedziale (0,∞).

Z własności funkcji rosnących, dla x0 > 0 mamy

limx→x−0g(x) ¬ g(x0) ¬ lim

x→x+0g(x).

Z własności funkcji malejących, dla x0 > 0 mamy

1x0limx→x−0g(x) = lim

x→x−0

g(x)x g(x0)x0 limx→x+0

g(x)x=1x0limx→x+0g(x).

Stąd

limx→x−0g(x) g(x0) lim

x→x+0g(x).

Zatem limx→x−0 g(x) = g(x0) = limx→x+0 g(x). Z tego wynika, że g jest ciągła na

(0,∞). Oczywiście dla każdego n ∈ Z zachodzi równość g(2−n) = 2−np, gdyż 2−n ∈

[2−n, 2−n+1]. Ponieważ 0 ¬ limx→0+ g(x) = infx>0 g(x) ¬ g(2−n) = 2−np → 0 przy

n→∞, to g jest ciągła na [0,∞).

Pokażemy, że g spełnia warunki (4.2), (4.3), (4.4).

Ponieważ g(x) > 0 dla x ∈ (0,∞) i g(0) = 0, to jest spełniony warunek (4.2).

Jeśli x = 0, to (4.3) zachodzi. Jeśli x ∈ [2n, 2n+1], gdzie n ∈ Z, to 2x ∈ [2n+1, 2n+2].

Stąd

g(2x) = 2(n+1)pf(2x2n+1) = 2p2npf(

x

2n) = 2pg(x).

27

Nierówność (4.4) jest oczywista gdy x = 0 lub y = 0. Dla x, y > 0 mamy

g(x+ y) = xg(x+ y)x+ y

+ yg(x+ y)x+ y

¬ xg(x)x+ yg(y)y= g(x) + g(y).

2

Przykłady funkcji spełniających założenia lematu 4.4.

Przykład 4.5. Niech f(x) = xp dla x ∈ [1, 2], gdzie p ∈ (0, 1]. Wtedy g(x) = xp dla

x ∈ [0,∞).

Przykład 4.6. Niech f(x) = (2p − 1)x+ (2− 2p) dla x ∈ [1, 2], gdzie p ∈ (0, 1].

Wykresem f jest odcinek prostej łączący punkty (1, 1), (2, 2p) wykresu funkcji potę-

gowej [0,∞) 3 x 7→ xp ∈ R. Wtedy

g(x) = 2np((2p − 1) x

2n+ (2− 2p)

)=2(n+1)p − 2np

2nx+ 2np+1 − 2(n+1)p

dla x ∈ [2n, 2n+1] oraz g(0) = 0.

Wykresem g jest krzywa będąca sumą punktu (0, 0) oraz odcinków łączących kolejne

punkty (2n, 2np), (2(n+1), 2(n+1)p), n ∈ Z, wykresu funkcji [0,∞) 3 x 7→ xp ∈ R.

Twierdzenie 4.7. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią unormowaną oraz p ∈ (0, 1].

Załóżmy, że g : [0,∞)→ [0,∞) jest funkcją rosnącą spełniającą warunki (4.2), (4.3),

(4.4). Wtedy funkcja |||x||| := g(‖x‖) dla x ∈ X jest 2-p-jednorodną F-normą w X.

Ponadto, jeżeli g jest ciągła, to metryka wyznaczona przez 2-p-jednorodną F-normę

||| · ||| jest równoważna metryce wyznaczonej przez normę ‖ · ‖ i w konsekwencji prze-

strzeń (X, ||| · |||) jest przestrzenią liniowo-metryczną. Przestrzeń ta jest zupełna wtedy

i tylko wtedy, gdy (X, ‖ · ‖) jest przestrzenią Banacha.

Funkcję g spełniającą założenia twierdzenia 4.7 można otrzymać w sposób opisany

w lemacie 4.4.

Dowód. Pokażemy, że ||| · ||| jest 2-p-jednorodną F-normą.

Z (4.2) mamy

|||x||| = 0⇔ g(‖x‖) = 0⇔ ‖x‖ = 0⇔ x = 0.

Oczywiście ||| − x||| = g(‖ − x‖) = g(‖x‖) = |||x|||.

Z monotoniczności g oraz (4.4) mamy

|||x+ y||| = g(‖x+ y‖) ¬ g(‖x‖+ ‖y‖) ¬ g(‖x‖) + g(‖y‖) = |||x|||+ |||y|||.

28

Z (4.3) wynika, że |||2x||| = g(‖2x‖) = g(2‖x‖) = 2pg(‖x‖) = 2p|||x||| dla x ∈ X.

Zatem ||| · ||| jest 2-p-jednorodną F-normą.

Załóżmy dodatkowo, że g jest ciągła. Pokażemy, że metryka d(x, y) = ‖x − y‖ jest

równoważna metryce %(x, y) = |||x− y|||.

Niech (xn) ⊂ X, x ∈ X.

Załóżmy, że ‖xn − x‖ → 0. Wtedy z ciągłości g otrzymujemy:

limn→∞|||xn − x||| = g( lim

n→∞‖xn − x‖) = g(0) = 0.

Załóżmy, że |||xn − x||| → 0. Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje n0 ∈ N takie, że

g(‖xn − x‖) < g(ε) dla n > n0. Stąd oraz z monotoniczności g otrzymujemy, że

‖xn − x‖ < ε dla n > n0. Zatem ‖xn − x‖ → 0.

Ostatnia część twierdzenia wynika z następującego faktu ([16], s. 32):

Jeżeli d1, d2 są metrykami na przestrzeni liniowej X, które są równoważne i niezmien-

nicze na przesunięcia, to d1 jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy d2 jest zupełna. 2

Wniosek 4.8. Niech (X, ‖ · ‖) będzie niezerową przestrzenią unormowaną, p ∈ (0, 1)

i niech g(x) = 2(n+1)p−2np2n x + 2

np+1 − 2(n+1)p dla x ∈ [2n, 2n+1] oraz g(0) = 0. Wtedy

funkcja |||x||| = g(‖x‖) dla x ∈ X jest 2-p-jednorodną F-normą (zupełną wtedy i tylko

wtedy, gdy ‖ · ‖ jest zupełna) i nie jest p-jednorodną F-normą.

Dokładniej: λ ∈ R spełnia warunek:

|||λx||| = |λ|p|||x||| dla każdego x ∈ X (4.5)

wtedy i tylko wtedy, gdy λ = 0 lub jest postaci λ = α2k, gdzie k ∈ Z, |α| = 1, α ∈ R.

Dowód. g jest funkcją z przykładu 4.6. Zatem spełnia ona założenia twierdzenia 4.7.

Jest więc 2-p-jednorodną F-normą. Przechodzimy do dowodu drugiej części wniosku.

Oczywiście λ = 0 spełnia warunek (4.5). Z (4.3) wynika, że dla każdego x ∈ X, k ∈ Z,

|α| = 1, α ∈ R mamy

|||α2kx||| = g(‖α2kx‖) = g(‖2kx‖) = |||2kx||| = 2kp|||x||| = |α2k|p|||x|||.

Niech λ 6= 0, λ 6= α2k dla k ∈ Z, |α| = 1, α ∈ R i niech ‖x0‖ = 1, x0 ∈ X. Wtedy

istnieje m ∈ Z takie, że |λ| ∈ (2m, 2m+1). Ponieważ funkcja potęgowa (0,∞) 3 t 7→

tp ∈ R jest ściśle wklęsła, to2(m+1)p − 2mp

2mt+ 2mp+1 − 2(m+1)p < tp dla t ∈ (2m, 2m+1),

29

gdyż lewa strona powyższej nierówności jest równaniem siecznej łączącej punkty (2m, 2mp),

(2(m+1), 2(m+1)p) wykresu funkcji (0,∞) 3 t 7→ tp ∈ R. W szczególności g(|λ|) < |λ|p.

Stąd

|||λx0||| = g(|λ|‖x0‖) = g(|λ|) < |λ|p = |λ|p|||x0|||.

Zatem nie jest spełniony warunek (4.5). 2

Z wniosku 4.8 oraz faktu, że na każdej przestrzeni liniowej X nad R można określić

normę wynika, że jeśli X 6= {0}, to dla dowolnego p ∈ (0, 1) istnieje 2-p-jednorodna

F-norma na X, która nie jest p-jednorodną F-normą. Dokładniej, istnieje taka 2-p-

jednorodna F-norma ||| · ||| na X, która spełnia warunek (4.5) wtedy i tylko wtedy,

gdy λ = 0 lub λ = ±2k, gdzie k ∈ Z (por. lemat 4.2).

30

Rozdział 5

Stabilność izometrii w

przestrzeniach z 2-p-jednorodnymi

F-normami

W rozdziale tym opisujemy asymtotyczne zachowanie (r, δ)-izometrii w przestrzeniach

z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Dowodzimy (tw. 5.5, tw. 5.6), że dla każdej

bijektywnej (r, δ)-izometrii f : X → Y takiej, że f(0) = 0 funkcja U : X → Y ,

U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X, jest surjektywną, addytywną izometrią i istnieje

stała L > 0, zależna od p, r, taka że ‖f(x) − U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ 1r ) dla x ∈ X,

gdy pr < 1, oraz ‖f(x) − U(x)‖ ¬ Lδ 1r dla x ∈ X, gdy pr > 1. W obu przypadkach,

o ile X 6= {0}, otrzymujemy, że ‖f(x) − U(x)‖ = o(‖x‖) przy ‖x‖ → ∞ oraz U jest

jedyną addytywną izometrią z X w Y spełniającą ten warunek. W przypadku, gdy

pr < 1 znajdziemy przestrzenie z p-jednorodnymi F-normami X, Y oraz bijektywną

(r, δ)-izometrię f : X → Y taką, że równość supx∈X ‖f(x)− V (x)‖ =∞ zachodzi dla

każdej izometrii V : X → Y .

W rozdziale tym podajemy także uogólnienie twierdzenia 2.11 na przypadek, gdy X, Y

są równolicznymi przestrzeniami z zupełnymi, 2-p-jednorodnymi F-normami.

Lemat 5.1. Niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi F-normami,

V : X → Y addytywną izometrią, a f : X → Y funkcją taką, że ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy

‖x‖ → ∞. Wtedy dla każdego x ∈ X istnieje granica limn→∞ f(2nx)2n oraz limn→∞

f(2nx)2n =

V (x).

31

Dowód. Ustalmy x0 ∈ X \ {0}. Dla n ∈ N mamy

‖f(2nx0)2n

− V (x0)‖ =‖f(2nx0)− V (2nx0)‖

2np=‖f(2nx0)− V (2nx0)‖

‖2nx0‖· ‖2

nx0‖2np

=

‖f(2nx0)− V (2nx0)‖‖2nx0‖

‖x0‖ → 0

przy n→∞, gdyż ‖2nx0‖ = 2np‖x0‖ → ∞ przy n→∞.

Dla x0 = 0, ze względu na addytywność V , mamy

‖f(2nx0)2n

− V (x0)‖ = ‖f(0)2n‖ = ‖f(0)‖

2np→ 0

przy n→∞. 2

Gdy X i Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, problem Ulama dla izo-

metrii pomiędzy przestrzeniami (X, ‖·‖r), (Y, ‖·‖r), może mieć negatywne rozwiązanie

w przypadku, gdy pr < 1.

Stwierdzenie 5.2. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi,

że pr < 1, X = Y = R, ‖x‖ := |x|p dla x ∈ R. Wtedy funkcja f : R → R określona

wzorem f(x) = x + δ|x|1−pr dla x ∈ R jest surjektywną (r, 2δ)-izometrią z (X, ‖ · ‖)

na (Y, ‖ · ‖) taką, że dla każdej izometrii U : R → R przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖)

zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.

Dowód. Pokażemy najpierw, że f jest (r, 2δ)-izometrią. Rozważmy dowolne x, y ∈ X

i oznaczmy

A := |‖f(x)− f(y)‖r − ‖x− y‖r|.

Rozpatrzymy dwa przypadki:

10 |x| 6= |y|,

20 |x| = |y|.

Przypadek 1.

Ze względu na symetrię A wystarczy rozważyć sytuację, gdy |x| > |y|.

Dla x, y 6= 0, korzystając z lematu A.2, mamy

A = |‖x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr‖r − ‖x− y‖r| =

| |x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr|pr − |x− y|pr| ¬

2 · | |x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr| − |x− y| |

|x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr|1−pr + |x− y|1−pr¬

32

2δ · | |x|1−pr − |y|1−pr ||x− y|1−pr

¬ 2δ · | |x|1−pr − |y|1−pr |(|x| − |y|)1−pr

¬

2δ( |x||y|)

1−pr − 1

( |x||y| − 1)1−pr.

Stąd oraz z lematu A.3 otrzymujemy, że A ¬ 2δ.

Gdy y = 0, x 6= 0, korzystając z lematu A.2, mamy:

A = | ‖f(x)‖r − ‖x‖r| = ||x+ δ|x|1−pr|pr − |x|pr| ¬

2 · | |x+ δ|x|1−pr| − |x| |

|x+ δ|x|1−pr|1−pr + |x|1−pr¬ 2 · δ|x|

1−pr

|x|1−pr¬ 2δ.

Przypadek 2.

Dla x = y mamy A = 0. Gdy x = −y, y 6= 0, mamy

A = | ‖ − y + δ|y|1−pr − y − δ|y|1−pr‖r − ‖ − 2y‖r| = 0.

W ten sposób udowodniliśmy, że f jest (r, 2δ)-izometrią.

Na podstawie lematu A.5 f jest surjektywna. Niech U : R → R będzie izometrią

przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖). Wtedy U jest również izometrią przestrzeni (R, | · |) w

(R, | · |). Z lematu A.11 wynika więc, że istnieją stałe a, b ∈ R takie, że U(x) = ax+ b

dla x ∈ R. Ponieważ ‖U(x)−U(y)‖ = ‖x− y‖ dla x, y ∈ R, to |a|p · |x− y|p = |x− y|p

dla x, y ∈ R. Stąd a = 1 lub a = −1. Zatem U jest postaci U(x) = x + b dla x ∈ R

lub U(x) = −x+ b dla x ∈ R, gdzie b ∈ R. W pierwszym przypadku ‖f(x)−U(x)‖ =

|δ|x|1−pr− b|p →∞ przy x→∞. W drugim ‖f(x)−U(x)‖ = |2x+ δ|x|1−pr− b|p →∞

przy x→∞. Zatem supx∈R‖f(x)− U(x)‖ =∞ dla każdej izometrii U : X → Y . 2

Następne twierdzenie jest modyfikacją przykładu 2.2 z [22]. Pokazuje ono, że w

obszernej klasie przestrzeni z zupełnymi p-jednorodnymi F-normami, jakimi są prze-

strzenie Lp(µ), gdzie µ jest miarą σ-skończoną, nie ma stabilności, jeśli dodatkowo

założymy, że aproksymująca izometria ma być afiniczna.

33

Twierdzenie 5.3. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z niezerową miarą σ-skończoną,

p ∈ (0, 1), δ > 0. Załóżmy ponadto, że gdy µ(X) = ∞, (Xn)∞n=1 jest ustalonym

ciągiem zbiorów mierzalnych, parami rozłącznych, których sumą jest X takich, że

0 < µ(Xn) < ∞ (zob. lemat A.9), a h : X → (0,∞) jest funkcją określoną wzo-

rami h(t) = 1n2

1µ(Xn)

dla t ∈ Xn, n ∈ N.

Niech

Φ(f) := f +δ

µ(X)|f |1−p dla f ∈ Lp(µ),

w przypadku, gdy µ jest miarą skończoną, oraz

Φ(f) := f +δ∫

X hdµh|f |1−p dla f ∈ Lp(µ),

gdy µ(X) =∞.

Wtedy Φ jest surjektywną 2δ-izometrią rzeczywistej przestrzeni Lp(µ) na Lp(µ) oraz

supf∈Lp(µ)‖Φ(f) − U(f)‖ = ∞ dla każdej afinicznej (w szczególności, wobec tw. 2.12,

dla każdej surjektywnej) izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).

Dowód. Załóżmy najpierw, że µ(X) 1}

|f1|p|f1|−p2dµ ¬

∫X|f1|pdµ+

δp

µ(X)p

∫Xdµ+

δp

µ(X)p

∫X|f1|pdµ

Zatem Φ jest dobrze określoną funkcją na Lp(µ) o wartościach w Lp(µ).

Na podstawie stwierdzenia 5.2, funkcja R 3 t 7→ t+ δµ(X) |t|

1−p ∈ R jest 2 δµ(X) -izometrią

przestrzeni (R, | · |p) na siebie, stąd∣∣∣|a+ δ

µ(X)|a|1−p − b− δ

µ(X)|b|1−p|p − |a− b|p

∣∣∣ ¬ 2 δµ(X)

dla a, b ∈ R.

Korzystając z tej nierówności (z f(t), g(t) w miejsce a, b) otrzymujemy

|‖Φ(f)− Φ(g)‖ − ‖f − g‖| =∣∣∣ ∫X|f(t)− g(t) + δ

µ(X)|f(t)|1−p − δ

µ(X)|g(t)|1−p|pdµ−

∫X|f(t)− g(t)|pdµ

∣∣∣ ¬∫X

∣∣∣|f(t)− g(t) + δµ(X)

|f(t)|1−p − δµ(X)

|g(t)|1−p|p − |f(t)− g(t)|p∣∣∣dµ ¬

∫X2δ

µ(X)dµ = 2δ dla f, g ∈ Lp(µ).

Zatem Φ jest 2δ-izometrią.

Oznaczmy przez φ, φ̂ funkcje przekształcające R w R określone wzorami: φ(x) =

x+ δµ(X) |x|

1−p dla x ∈ R oraz (zob. lemat A.5)

φ̂(y) =

(φ|[0,∞))−1(y) dla y ∈ [0,∞);

(φ|(−∞,− δ

1p

µ(X)1p))−1(y) dla y ∈ (−∞, 0).

Na podstawie lematu A.5 i znanych własności ciągłych funkcji monotonicznych ([5],

rozdz. II, ust. 83, s. 146), φ̂ jest ciągła na przedziałach (−∞, 0), [0,∞), a więc jest bo-

relowska. Ponadto φ̂ jest ściśle rosnąca na tych przedziałach, φ̂(0) = 0, limx→0− φ̂(x) =

− δ1p

µ(X)1p, jest zatem ściśle rosnąca na R. Ponieważ

(φ ◦ φ̂)(y) =

(φ|[0,∞) ◦ (φ|[0,∞))−1

)(y) = y dla y ∈ [0,∞);(

φ|(−∞,− δ

1p

µ(X)1p)◦ (φ|

(−∞,− δ1p

µ(X)1p))−1

)(y) = y dla y ∈ (−∞, 0),

to

φ ◦ φ̂ = idR . (5.1)

Pokażemy, że dla dowolnej funkcji g1 ∈ Lp(µ) funkcja f1 := φ̂ ◦ g1 należy do Lp(µ).

Oczywiście f1 jest mierzalna, jako złożenie funkcji borelowskiej φ̂ z funkcją mierzalną

g1. Aby wykazać całkowalność |f1|p, rozważymy najpierw trzy przypadki szczególne

dotyczące g1.

35

I. g1(x) 0 dla każdego x ∈ X.

Wtedy f1 0. Z równości φ◦f1 = g1 otrzymujemy, że f1(x) ¬ f1(x)+ δµ(X) |f1(x)|1−p =

g1(x) dla x ∈ X. Ponieważ∫X |g1|pdµ

Przypuśćmy, że istnieje afiniczna izometria U : Lp(µ)→ Lp(µ) taka, że

supf∈Lp(µ)‖Φ(f)− U(f)‖ =: K

δµ̃(X) |f̃ |

1−p dla f̃ ∈ Lp(µ̃), jest surjektywną 2δ-izometrią z Lp(µ̃) na Lp(µ̃). Stąd i z

lematu 3.2 wynika, że funkcja Ψ ◦ Φ̃ ◦ Ψ−1 jest surjektywną 2δ-izometrią z Lp(µ) na

Lp(µ). Ponieważ dla dowolnego f ∈ Lp(µ)

(Ψ◦Φ̃◦Ψ−1)(f) = (Ψ◦Φ̃)(h−1pf) = Ψ(h−

1pf+

δ

µ̃(X)h−(1−p)p |f |1−p) = f+ δ∫

X hdµh|f |1−p = Φ(f),

to Φ jest surjektywną 2δ-izometrią.

Niech U : Lp(µ) → Lp(µ) będzie afiniczną izometrią. Wówczas Ũ := Ψ−1 ◦ U ◦ Ψ

jest afiniczną izometrią z Lp(µ̃) w Lp(µ̃). Stąd, na podstawie pierwszej części dowodu,

supf∈Lp(µ)‖Φ(f)−U(f)‖ = supf̃∈Lp(µ̃)‖Φ̃(f̃)− (Ψ−1 ◦U ◦Ψ)(f̃)‖ = supf̃∈Lp(µ̃)‖Φ̃(f̃)−

Ũ(f̃‖ =∞. 2

Przyjmując w twierdzeniu 5.3, że X = N, S = 2N, µ jest „miarą liczącą” , Xn = {n}

dla n ∈ N, dostaniemy, że h = ( 1n2)∞n=1 oraz

∫X hdµ =

∑∞n=1

1n2= π

2

6 . W konsekwencji

funkcja Φ jest określona wzorem Φ((an)) = (an+ 6δπn2 |an|1−p) dla (an) ∈ lp i przekształca

lp na lp.

Przyjmując zaś X = {1}, S = 2X , µ(∅) = 0, µ({1}) = 1 oraz podstawiając pr w

miejsce p, otrzymujemy, że Φ jest określona wzorem Φ(x) = x + δ|x|1−pr dla x ∈ R i

przekształca R na R (por. stw. 5.2).

Poniższy lemat 5.4 będzie wykorzystywany do dowodu surjektywności funkcji U w

twierdzeniach 5.5 i 5.6.

Lemat 5.4. Niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi F-normami i

niech X będzie zupełna. Jeżeli f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą

warunek f(0) = 0, a U : X → Y addytywną izometrią taką, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy

‖x‖ → ∞, to U jest surjekcją.

Dowód. Oczywiście U(0) = 0. Niech w ∈ Y , w 6= 0. Z surjektywności f istnieje

ciąg (xn) ⊂ X taki, że f(xn) = 2nw dla n ∈ N. Z (3.1) otrzymujemy

‖xn‖r − δ ¬ ‖f(xn)‖r ¬ ‖xn‖r + δ,

a następnie‖xn‖r

2npr− δ2npr¬ ‖w‖r ¬ ‖xn‖

r

2npr+δ

2npr

dla n ∈ N.

Stąd

lim supn→∞

(‖xn‖r2npr

− δ2npr

)¬ ‖w‖r ¬ lim inf

n→∞

(‖xn‖r2npr

+δ

2npr).

38

Zatem istnieje granica limn→∞‖xn‖r2npr oraz limn→∞

‖xn‖r2npr = ‖w‖

r. Z tego wynika, że

limn→∞‖xn‖2np = ‖w‖ oraz limn→∞ ‖xn‖ = limn→∞(

‖xn‖2np 2

np) =∞. Ponieważ

‖w−U(xn2n)‖ = ‖f(xn)

2n− 12nU(xn)‖ =

‖f(xn)− U(xn)‖2np

=‖f(xn)− U(xn)‖

‖xn‖·‖xn‖2np

n→∞→ 0,

to w ∈ cl(U(X)). U jest izometrią, X jest przestrzenią zupełną, więc z lematu A.7

otrzymujemy, że cl(U(X)) = U(X). Zatem w ∈ U(X)). 2

Twierdzenie 5.5. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, pr < 1, δ > 0 i niech X, Y będą prze-

strzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest

bijektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna

addytywna izometria U : X → Y oraz stała L > 0, zależna od p, r, takie że

‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) (5.4)

dla x ∈ X.

Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.

Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,

że X jest niezerowa. Ustalmy x, y ∈ X. Niech I := ‖f(x+y2 )−f(x)+f(y)2 ‖. Z lematu 3.3

wynika, że

I ¬ C1‖x− y‖2pn

+C22pn+ C3 · 2n(

1r−p) + C4 · 2n(

1r−p)(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C5

dla n 3, n ∈ N,

gdzie C1 > 0 zależy od r, zaś C2, C3, C4, C5 są postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r dla i = 2, 3, 4, 5

oraz C ′i(p, r) > 0.

Zatem

I ¬ C1‖x− y‖2pn

+ 2n(1r−p)δ

1r

[C ′22

−nr + C ′3 + C

′4

(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C ′52−n( 1

r−p)]

dla n 3, n ∈ N.

Ponieważ ciągi 2−nr ,2−n(

1r−p), (2pr−1)n−2 są zbieżne, to istnieje stała C ′6 > 0, zależna

od p, r taka, że

I ¬ C1‖x− y‖2pn

+ C ′6δ1r 2n(

1r−p) = C ′6δ

1r

(C1‖x− y‖C ′6δ

1r

· 12pn+ 2n(

1r−p))

dla n 3, n ∈ N..

Stąd oraz z lematu A.6 otrzymujemy

I ¬ C ′6δ1r infn3

(C1‖x− y‖C ′6δ

1r

· 12pn+ 2n(

1r−p))¬

39

C ′6δ1r

[23(

1r−p)

pr+(21r−p+1 + 2p+1

)( C1C ′6δ

1r

)1−pr‖x− y‖1−pr

]=

C ′6(C1C ′6

)1−pr(21r−p+1 + 2p+1

)δ−1r(1−pr)δ

1r ‖x− y‖1−pr + C ′6δ

1r23(

1r−p)

pr=

δpK1‖x− y‖1−pr + δ1rK2,

gdzie K1, K2 są pewnymi stałymi zależnymi od p, r.

Zatem

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖ ¬ K(δp‖x− y‖1−pr + δ

1r ) (5.5)

dla x, y ∈ X, gdzie K := max{K1, K2}.

Podstawiając w (5.5) x = 2nz, y = 0, dostajemy

‖f(2n−1z)− f(2nz)2‖ ¬ K(δp2np(1−pr)‖z‖1−pr + δ

1r )

dla n ∈ N, z ∈ X.

Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, otrzymujemy

‖f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n‖ ¬ K

(δp2p2−np

2r‖z‖1−pr + δ1r

2(n−1)p)

(5.6)

dla n ∈ N, z ∈ X.

Wobec zupełności Y wynika stąd, że dla dowolnego z ∈ X szereg∑∞n=1(f(2n−1z)2n−1 − f(2nz)2n )jest zbieżny do f(z) − limn→∞ f(2

nz)2n . Niech U(z) := limn→∞

f(2nz)2n dla z ∈ X. Korzy-

stając z (5.6), otrzymujemy

‖f(z)− U(z)‖ = ‖∞∑n=1

(f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n

)‖ ¬

∞∑n=1

‖f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n‖ ¬ K

(δp2p‖z‖1−pr

∞∑n=1

2−np2r + δ

1r

∞∑n=1

12(n−1)p

)dla z ∈ X.

Istnieje zatem stała L > 0 (zależna od p, r) taka że

‖f(z)− U(z)‖ ¬ L(δp‖z‖1−pr + δ1r ) (5.7)

dla z ∈ X.

Podstawiając w (5.5) 2nx w miejsce x, oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy

‖f(2n−1(x+ y))− f(2nx) + f(2ny))2

‖ ¬ K(δp2np(1−pr)‖x− y‖1−pr + δ1r )

40

dla n ∈ N, x, y ∈ X.

Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy

‖f(2n−1(x+ y))2n−1

− f(2nx)2n− f(2

ny))2n‖ ¬ K

(δp2p2−np

2r‖x− y‖1−pr + δ1r

2(n−1)p)

dla n ∈ N, x, y ∈ X.

Przechodząc w powyższej nierówności do granicy przy n→∞, dostajemy

U(x+ y) = U(x) + U(y) dla x, y ∈ X.

Podstawiając w (3.1) 2nx w miejsce x oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy

|‖f(2nx)− f(2ny)‖r − ‖2nx− 2ny‖r| ¬ δ dla n ∈ N, x, y ∈ X.

W konsekwencji mamy

|‖f(2nx)2n− f(2

ny)2n‖r − ‖x− y‖r| ¬ δ

2nprdla n ∈ N, x, y ∈ X.

Przechodząc w tej nierówności do granicy przy n → ∞ i korzystając z ciągłości F-

normy w Y otrzymujemy, że dla dowolnych x, y ∈ X

|‖U(x)− U(y)‖r − ‖x− y‖r| = 0,

czyli ‖U(x) − U(y)‖ = ‖x − y‖. Zatem U jest izometrią. Z (5.7) wynika, że wówczas‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.4 otrzymujemy, więc że U jest surjekcją.

Dla dowodu jednoznaczności, załóżmy, że V : X → Y jest addytywną izometrią speł-

niającą (5.4) (z V zamiast U). Wtedy ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Stąd oraz lematu

5.1 otrzymujemy, że V (x) = limn→∞f(2nx)2n = U(x) dla x ∈ X. 2

Twierdzenie 5.6. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, pr > 1, δ > 0 i niech X, Y będą prze-

strzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest

bijektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna

addytywna izometria U : X → Y oraz stała L > 0, zależna od p, r, takie że

‖f(x)− U(x)‖ ¬ Lδ1r (5.8)

dla x ∈ X.

Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.

Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,

że X jest niezerowa. Ustalmy x, y ∈ X. Niech I := ‖f(x+y2 )−f(x)+f(y)2 ‖. Z lematu 3.3

41

mamy:

I ¬ C1‖x− y‖2pn

+C22pn+ C3 · 2n(

1r−p) + C4 · 2n(

1r−p)(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C5

dla n 3, n ∈ N,

gdzie C1 > 0 zależy od r, zaś C2, C3, C4, C5 są postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r dla i = 2, 3, 4, 5

oraz C ′i(p, r) > 0.

Zatem

I ¬ C1‖x− y‖2pn

+(C ′22pn+ C ′3 · 2n(

1r−p) + C ′4 · 2n(

1r−p)(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C ′5

)δ1r

dla n 3, n ∈ N.

Przechodząc w tej nierówności do granicy przy n→∞, dostajemy

I ¬(C ′4 limn→∞

(2n(

1r−p)(1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r)+ C ′5

)δ1r =

(C ′4 limn→∞

(2n(1−pr)

1− (2pr−1)n−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C ′5

)δ1r =

(C ′4 limn→∞

(2n(1−pr) − (2pr−1)−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C ′5

)δ1r =

(C ′4

(−(2pr−1)−2

1− 2pr−1

) 1r

+ C ′5

)δ1r =

(C ′4

(1

(2pr−1 − 1)22(pr−1)

) 1r

+ C ′5

)δ1r .

Istnieje zatem K > 0, zależne od p, r, takie że

‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)

2‖ ¬ Kδ

1r (5.9)

dla x, y ∈ X.

Podstawiając w (5.9) x = 2nz, y = 0, otrzymujemy

‖f(2(n−1)z)− f(2nz)2‖ ¬ Kδ

1r

dla n ∈ N, z ∈ X.

Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy

‖f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n‖ ¬ Kδ

1r

2(n−1)p(5.10)

dla n ∈ N, z ∈ X.

Z zupełności Y oraz (5.10) wynika, że dla dowolnego z ∈ X szereg∑∞n=1(f(2(n−1)z)2n−1 − f(2nz)2n )

42

jest zbieżny do f(z)− limn→∞ f(2nz)2n . Niech U(z) := limn→∞

f(2nz)2n dla z ∈ X.

Korzystając z (5.10) dostajemy, że

‖f(z)− U(z)‖ = ‖∞∑n=1

(f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n

)‖ ¬

∞∑n=1

‖f(2n−1z)2n−1

− f(2nz)2n‖ ¬ Kδ

1r

∞∑n=1

12(n−1)p

dla z ∈ X.

Oznaczając L := K∑∞n=1

12(n−1)p , otrzymujemy

‖f(z)− U(z)‖ ¬ Lδ1r (5.11)

dla z ∈ X.

Podstawiając w (5.9) 2nx w miejsce x oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy

‖f(2n−1(x+ y))− f(2nx) + f(2ny))2

‖ ¬ Kδ1r

dla n ∈ N, x, y ∈ X.

Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy

‖f(2n−1(x+ y))2n−1

− f(2nx)2n− f(2

ny))2n‖ ¬ K δ

1r

2(n−1)p

dla n ∈ N, x, y ∈ X.

Przechodząc w otrzymanej nierówności do granicy przy n → ∞, otrzymujemy ad-

dytywność U . Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 5.5 stwierdzamy, że U jest

izometrią. Z (5.11) wynika, że wówczas ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.4

otrzymujemy więc, że U jest surjekcją.

Dla dowodu jednoznaczności załóżmy, że V : X → Y jest addytywną izometrią speł-

niającą (5.8) (z V zamiast U). Wtedy ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Stąd oraz lematu

5.1 otrzymujemy, że V (x) = limn→∞f(2nx)2n = U(x) dla x ∈ X. 2

Poniższy lemat ustala związek pomiędzy (r, δ)-izometriami przy różnych r.

Lemat 5.7. Niech (X, ‖ ·‖), (Y, ‖ ·‖) będą przestrzeniami z F-normami. Jeżeli funkcja

f : X → Y jest (r, δ)-izometrią oraz 0 < r0 ¬ r, to f jest również (r0, δr0r )-izometrią.

Dowód. Dla x, y ∈ X, z (3.1), (A.1) mamy

‖f(x)− f(y)‖r0 = ‖f(x)− f(y)‖rr0r ¬ (‖x− y‖r + δ)

r0r ¬ ‖x− y‖r0 + δ

r0r

43

oraz

‖f(x)− f(y)‖r0 (‖x− y‖r − δ)r0r ‖x− y‖r0 − δ

r0r ,

gdy ‖x−y‖r δ. Nierówność ‖f(x)−f(y)‖r0 ‖x−y‖r0− δr0r zachodzi również, gdy

‖x− y‖r < δ, gdyż wtedy ‖x− y‖r0 − δr0r < 0. Zatem | ‖f(x)− f(y)‖r0 −‖x− y‖r0| ¬

δr0r . 2

Jako wniosek z twierdzenia 5.5 otrzymujemy

Wniosek 5.8. Niech p ∈ (0, 1], δ > 0 i niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z

zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest bijektywną

(1p, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieje dokładnie jedna addytywna

izometria U : X → Y taka, że

‖f(x)− U(x)‖‖x‖

→ 0 przy ‖x‖ → ∞.

Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.

Dowód. Z lematu 5.7 wynika, że f jest (12 , δp2 )-izometrią. Z twierdzenia 5.5 otrzy-

mujemy, że funkcja U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X jest addytywną izometrią z X na

Y taką, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.1 dostajemy, że izometria taka

jest jedyna. Surjektywność U wynika z twierdzenia 5.5. 2

Poniższy fakt będzie potrzebny w dowodzie następnego lematu.

Lemat 5.9. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą. Wtedy

wszystkie kule K(x0, r) := {x ∈ X : ‖x−x0‖ < r}, gdzie x0 ∈ X, r > 0, są równoliczne

i każda z nich ma tę samą moc co X.

Dowód. Lemat jest oczywisty, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc, że X

jest niezerowa. Dla dowolnych n ∈ Z, r > 0, x0 ∈ X mamy:

K(x0, r) = x0 +K(0, r) oraz K(0, 2npr) = 2nK(0, r).

Pierwsza równość jest oczywista, druga wynika z następujących zależności, które za-

chodzą dla dowolnego x ∈ X:

x ∈ K(0, 2npr)⇔ ‖x‖ < 2pnr ⇔ ‖ x2n‖ = 12pn‖x‖ < r ⇔ x ∈ 2nK(0, r).

Pokażemy, żeX =⋃∞n=1K(0, 2

np). Rozważmy dowolne x ∈ X. Mamy wówczas ‖ 12nx‖ =12np‖x‖

n→∞→ 0. Istnieje zatem n0 ∈ N takie, że 12n0 x ∈ K(0, 1). Stąd x ∈ K(0, 2n0p).

44

Dla dowolnego r > 0 istnieje n ∈ Z takie, że 2np ¬ r ¬ 2(n+1)p. Stąd 2nK(0, 1) =

K(0, 2np) ⊂ K(0, r) ⊂ K(0, 2(n+1)p) = 2n+1K(0, 1). Ponieważ, dla λ 6= 0, funkcja

X 3 x 7→ λx ∈ X jest bijekcją i przeprowadza K(0, 1) na λK(0, 1), to z twierdzenia

Cantora -Bernsteina otrzymujemy, że card(K(0, r)) = card(K(0, 1)). Zauważmy, że

card(K(0, 1)) ℵ0. Istotnie dla x 6= 0, x ∈ X mamy, że ‖ 12nx‖ =12np‖x‖ → 0 przy

n → ∞. Stąd istnieje n0 ∈ N takie, że { 12nx : n n0} ⊂ K(0, 1). Ponieważ zbiór

{ 12nx : n n0} jest przeliczalny, to card(K(0, 1)) ℵ0.

Zatem

card(K(0, 1)) ¬ card(X) ¬ ℵ0 · card(K(0, 1)) = card(K(0, 1)).

Stąd card(K(0, 1)) = card(X). Ponieważ dla dowolnego x0 ∈ X funkcja X 3 x 7→

x0+ x ∈ X jest bijekcją, która przeprowadza K(0, r) na K(x0, r), to card(K(x0, r)) =

card(K(0, r)). W konsekwencji card(K(x0, r)) = card(X) dla dowolnych x0 ∈ X,

r > 0. 2

Poniższy lemat pokazuje, że przy odpowiednich założeniach o X i Y , dowolną sur-

jekcję f : X → Y można jednostajnie aproksymować bijekcjami.

Lemat 5.10. Niech X będzie niepustym zbiorem, o ∈ X ustalonym elementem tego

zbioru, a Y przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą taką, że card(X) = card(Y ). Jeżeli

f : X → Y jest surjekcją taką, że f(o) = 0, to dla każdego δ > 0 istnieje bijekcja

g : X → Y taka, że g(o) = 0 oraz ‖f(x)− g(x)‖ ¬ δ dla x ∈ X.

Dowód. Niech δ > 0 i niech Rδ będzie rodziną wszystkich zbiorów B ⊂ Y ta-

kich, że 0 ∈ B oraz ‖x − y‖ δ dla dowolnych x, y ∈ B takich, że x 6= y. Wte-

dy Rδ 6= ∅ (gdyż {0} ∈ Rδ), oraz (Rδ,⊂) jest zbiorem częściowo-uporządkowanym.

Niech L będzie dowolnym łańcuchem w Rδ. Wtedy⋃C∈LC ∈ Rδ i jest ograni-

czeniem górnym łańcucha L. Na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna w Rδ ist-

nieje element maksymalny. Niech A będzie elementem maksymalnym w R δ2i niech

K(z, r) := {y ∈ Y : ‖z − y‖ < r} dla z ∈ Y , r > 0.

Pokażemy, że istnieje rodzina {Yu}u∈A podzbiorów Y o tej własności, że zbiory Yu są

niepuste, parami rozłączne,⋃u∈A Yu = Y , 0 ∈ Y0, card(Yu) = card(Y ), sup{‖x − y‖ :

x, y ∈ Yu} ¬ δ. Jeżeli⋃u∈AK(u,

δ4) = Y , to wystarczy przyjąć Yu = K(0,

δ4) dla

u ∈ A. Załóżmy, że ⋃u∈AK(u, δ4) 6= Y . Dla dowolnego y ∈ Y istnieje wtedy z ∈ Atakie, że ‖y− z‖ < δ2 . Istotnie gdyby istniał y ∈ Y taki, że dla każdego z ∈ A zachodzi

‖y − z‖ δ2 mielibyśmy, że A ∪ {y} ∈ R δ2 , wbrew maksymalności A.

45

Zatem istnieje funkcja

φ : Y \⋃z∈AK(z,

δ

4)→ A

taka, że

‖y − φ(y)‖ < δ2

dla y ∈ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4).Niech

Yu := K(u,δ

4) ∪ φ−1({u})

dla u ∈ A.

Oczywiście u ∈ Yu, stąd każdy ze zbiorów Yu, gdzie u ∈ A, jest niepusty.

Dla dowolnego x ∈ Yu mamy ‖x− u‖ < δ4 lub φ(x) = u. Jeśli φ(x) = u, to ‖x− u‖ =

‖x − φ(x)‖ < δ2 . Zatem ‖x − u‖ <δ2 dla x ∈ Yu. Stąd dla dowolnych x, y ∈ Yu

otrzymujemy

‖x− y‖ ¬ ‖x− u‖+ ‖y − u‖ < δ.

Zatem

sup{‖x− y‖ : x, y ∈ Yu} ¬ δ.

Dla y ∈ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4) mamy φ(y) ∈ A. Stąd y ∈ Yφ(y). Zatem ⋃u∈A Yu = Y .Niech y ∈ Yu ∩ Yv, gdzie u, v ∈ A. Jeżeli przy tym y ∈ K(u, δ4) i y ∈ K(v,

δ4), to

‖u−v‖ ¬ ‖u−y‖+‖y−v‖ < δ2 . Stąd i z określenia A mamy u = v. Jeśli y ∈ φ−1({u})

i y ∈ φ−1({v}), to u = v. Przypadki y ∈ K(u, δ4), y ∈ φ−1({v}) oraz y ∈ K(v, δ4),

y ∈ φ−1({u}) nie zach—dzą, gdyż φ−1({u}), φ−1({v}) ⊂ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4). Zatemzbiory Yu są parami rozłączne.

Ponieważ 0 ∈ K(0, δ4) ⊂ Y0, to 0 ∈ Y0.

Z lematu 5.9 wynika, że

card(Y ) = card(K(u,δ

4)) ¬ card(Yu) ¬ card(Y ).

Zatem card(Y ) = card(Yu) dla u ∈ A.

Niech Xu := f−1(Yu) dla u ∈ A. Wtedy z surjektywności f dostajemy f(Xu) =

ff−1(Yu) = Yu dla u ∈ A. Stąd card(Yu) ¬ card(Xu) dla u ∈ A. Z drugiej strony

X = f−1(Y ) = f−1(⋃u∈A Yu) =

⋃u∈A f

−1(Yu) =⋃u∈AXu. Gdyby istniało u0 ∈ A

takie, że card(Yu0) < card(Xu0), to ponieważ card(Yu0) = card(Y ) otrzymalibyśmy,

że card(X) = card(⋃u∈AXu) card(Xu0) > card(Yu0) = card(Y ), co jest sprzeczne z

46

założeniem, że card(X) = card(Y ). Zatem card(Xu) = card(Yu) dla u ∈ A.

Stąd otrzymujemy, że dla każdego u ∈ A istnieje bijekcja gu : Xu → Yu. Ponadto, z

uwagi na to, że 0 ∈ Y0 i o ∈ X0 (bo f(o) = 0), można założyć, że g0(o) = 0. Kładziemy

g(x) = gu(x) dla x ∈ Xu. Ponieważ zbioryXu są niepuste (bo Yu były niepuste), parami

rozłączne i ich sumą jest X (bo Yu były parami rozłączne i ich suma było Y ), to g

jest dobrze określoną funkcją na X o wartościach w Y . Ponieważ gu były surjekcjami,

to g będzie surjekcją. Funkcja g jest również różnowartościowa. Ponadto, mamy, że

g(o) = g0(o) = 0. Dla x ∈ X mamy, że x ∈ Xu dla pewnego u ∈ A. Z tego wynika, że

f(x) ∈ Yu oraz g(x) ∈ Yu. Stąd ‖f(x)− g(x)‖ ¬ sup{‖y1 − y2‖ : y1, y2 ∈ Yu} ¬ δ. 2

Stwierdzenie 5.11. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z niezerową miarą σ-skończoną,

p ∈ (0, 1), δ > 0. Wtedy na przestrzeni Lp(µ) istnieje bijektywna 4δ-izometria

Φ : Lp(µ) → Lp(µ) taka, że supf∈Lp(µ)‖¶|i(f) − U(f)‖ = ∞ dla każdej afinicznej

(w szczególności dla każdej surjektywnej) izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).

Dowód. W twierdzeniu 5.3 określiliśmy surjektywną 2δ-izometrię Φ0 : Lp(µ) →

Lp(µ) taką, że supf∈Lp(µ) ‖Φ0(f)−U(f)‖ =∞ dla każdej afinicznej izometrii U : Lp(µ)→

Lp(µ). Na podstawie lematu 5.10 istnieje bijekcja Φ : Lp(µ)→ Lp(µ) taka, że ‖Φ0(f)−

Φ(f)‖ ¬ δ dla każdego f ∈ Lp(µ). Ponieważ, dla dowolnych f, g ∈ Lp(µ) mamy

‖Φ(f)−Φ(g)‖ ¬ ‖Φ(f)−Φ0(f)‖+ ‖Φ0(f)−Φ0(g)‖+ ‖Φ0(g)−Φ(g)‖ ¬ ‖f − g‖+4δ

oraz

‖Φ(f)− Φ(g)‖ ‖Φ0(f)− Φ0(g)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f) + Φ(g)− Φ0(g)‖

‖Φ0(f)− Φ0(g)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f)‖ − ‖Φ(g)− Φ0(g)‖ ‖f − g‖ − 4δ,

to Φ jest 4δ-izometrią. Dla dowolnej afinicznej izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ) i dowolnego

f ∈ Lp(µ) zachodzi:

‖Φ(f)− U(f)‖ ‖Φ0(f)− U(f)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f)‖ ‖Φ0(f)− U(f)‖ − δ.

Stąd supf∈Lp(µ)‖Φ(f)− U(f)‖ =∞. 2

Problemem otwartym jest czy dla funkcji Φ ze stwierdzenia 5.11 równość supf∈Lp(µ)‖Φ(f)−

U(f)‖ =∞ zachodzi dla każdej izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).

47

Poniżej pokazujemy, że w przypadku gdy X, Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi,

zupełnymi F-normami, a f : X → Y bijektywną (r, δ)-izometrią, gdzie p ∈ (0, 1], r > 0

i pr < 1, może nie istnieć izometria U : X → Y spełniająca warunek supx∈X‖f(x) −

U(x)‖ 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi, że

pr < 1, X = Y = R, ‖x‖ := |x|p dla x ∈ R. Wtedy istnieje bijektywna (r, 4δ)-izometria

Φ : R → R przestrzeni (X, ‖ · ‖) na (Y, ‖ · ‖) taka, że supx∈X‖Φ(x)− U(x)‖ = ∞ dla

każdej izometrii U : R→ R przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖).

Dowód. Korzystamy ze stwierdzenia 5.11 oraz uwagi 2.8. Kładąc X = {1}, S = 2X ,

µ(∅) = 0, µ(X) = 1, oraz pr w miejsce p, gdzie p ∈ (0, 1], r > 0, pr < 1, otrzymujemy,

że Lpr(µ) = (R, |·|pr) oraz, że istnieje bijektywna 4δ-izometria Φ : (R, |·|pr)→ (R, |·|pr)

taka, że supx∈R‖Φ(x) − U(x)‖ = ∞ dla każdej afinicznej izometrii U : (R, | · |pr) →

(R, | · |pr). Z nierówności

|(|Φ(x)− Φ(y)|p)r − (|x− y|p)r| ¬ 4δ dla x, y ∈ R,

wynika, że Φ jest (bijektywną) (r, 4δ)-izometrią przestrzeni (R, | · |p) na (R, | · |p).

Ponieważ jednak funkcja U : R → R jest izometrią przestrzeni (R, | · |pr) w (R, | · |pr)

wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią przestrzeni (R, |·|p) w (R, |·|p), to supx∈R‖Φ(x)−

U(x)‖ = ∞ dla każdej afinicznej izometrii. Ta sama równość zachodzi dla każdej

izometrii U : (R, | · |p)→ (R, | · |p), gdyż U jako izometria przestrzeni (R, | · |) w siebie,

jest na podstawie lematu A.11 afiniczna. 2

Stwierdzenie 5.13. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi, że

pr < 1, (X, ‖·‖) będzie przestrzenią Banacha, a f : X → X funkcją określoną wzorami

f(x) = x+ δ‖x‖pr ·x dla x 6= 0 oraz f(0) = 0. Wówczas f jest bijektywną (r, 8δ)-izometrią

przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na siebie taką, że dla każdej izometrii U : X → X przestrzeni

(X, ‖ · ‖p) w siebie zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.

Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.9 i uwagi 2.10 f jest bijektywną 8δ-izometrią

przestrzeni (X, ‖·‖pr) na siebie, a więc jest także (r, 8δ)-izometrią przestrzeni (X, ‖· ‖p)

na siebie. Korzystając z twierdzenia 2.9, otrzymujemy, że dla każdej izometrii U : X →

X przestrzeni (X, ‖·‖p) w siebie (U jest wtedy izometrią przestrzeni (X, ‖·‖pr) w siebie)

zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞. 2

48

Twierdzenie 5.14. Niech p, r ∈ (0, 1], będą takie, że pr < 1, niech δ > 0 i niech X,Y

będą przestrzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami takimi, że card(X) =

card(Y ). Jeżeli funkcja f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą waru-

nek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna addytywna izometria U : X → Y oraz stała

L > 0, zależna od p, r, takie że

‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) (5.12)

dla x ∈ X.

Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.

Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,

że X jest niezerowa. Ustalmy η > 0. Z lematu 5.10 wynika, że istnieje bijekcja

gη : X → Y taka, że gη(0) = 0 oraz ‖f(x)− gη(x)‖ ¬ η1r dla każdego x ∈ X.

Dla x, y ∈ X, z uwagi na to, że ‖ · ‖r jest 2-pr-jednorodną F-normą, mamy

‖gη(x)− gη(y)‖r ¬ ‖gη(x)− f(x)‖r + ‖f(x)− f(y)‖r + ‖f(y)− gη(y)‖r ¬

2η + ‖f(x)− f(y)‖r ¬ ‖x− y‖r + 2η + δ

oraz

‖gη(x)− gη(y)‖r = ‖f(x)− f(y)− (f(x)− gη(x) + gη(y)− f(y))‖r

‖f(x)− f(y)‖r − ‖f(x)− gη(x) + gη(y)− f(y)‖r

‖f(x)− f(y)‖r − (‖f(x)− gη(x)‖r + ‖f(y)− gη(y)‖r)

(‖x− y‖r − δ)− ‖f(y)− gη(y)‖r − ‖gη(x)− f(x)‖r

‖x− y‖r − δ − 2η.

Zatem gη jest (r, 2η + δ)-izometrią. Z twierdzenia 5.5 wynika, że funkcja Uη : X → Y

określona wzorem Uη(x) = limn→∞gη(2nx)2n dla x ∈ X, jest surjektywną, addytywną

izometrią taką, że

‖gη(x)− Uη(x)‖ ¬ L((2η + δ)p‖x‖1−pr + (2η + δ)1r )

dla x ∈ X, gdzie L > 0 jest pewną stałą zależną tylko od p, r, a niezależną od η, δ.

Ponieważ

‖f(x)− Uη(x)‖ ¬ ‖f(x)− gη(x)‖+ ‖gη(x)− Uη(x)‖

49

dla x ∈ X,

to

‖f(x)− Uη(x)‖ ¬ η1r + L((2η + δ)p‖x‖1−pr + (2η + δ)

1r ) (5.13)

dla x ∈ X.

Dla dowolnych x ∈ X, n ∈ N mamy

‖f(2nx)2n− Uη(x)‖ ¬ ‖

f(2nx)2n− gη(2

nx)2n‖+ ‖gη(2

nx)2n

− Uη(x)‖ =

12np‖f(2nx)− gη(2nx)‖+ ‖

gη(2nx)2n

− Uη(x)‖ ¬12npη1r + ‖gη(2

nx)2n

− Uη(x)‖.

Stąd oraz z równości Uη(x) = limn→∞gη(2nx)2n dla x ∈ X wynika, że Uη(x) = limn→∞

f(2nx)2n

dla x ∈ X, η > 0, a to oznacza w szczególności, że Uη nie zależy od η. Niech U = Uη.

Przechodząc do granicy η → 0+ w (5.13), otrzymujemy

‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) dla x ∈ X.

Jednoznaczność U wynika z lematu 5.1. Surjektywność U wynika z surjektywności

Uη. 2

Każda ośrodkowa przestrzeń metryczna ma moc mniejszą bądź równą continuum

([11], rozdz. 14, §3, tw. 2). Ponieważ niezerowa przestrzeń liniowa nad R ma moc

większą bądź równą continuum, to przestrzenie X, Y będą spełniały założenia twier-

dzenia 5.14, np. gdy będą ośrodkowymi, niezerowymi przestrzeniami z zupełnymi,

2-p-jednorodnymi F-normami.

Wniosek 5.15. Niech p ∈ (0, 1), r 1, δ > 0 i niech X,Y będą przestrzeniami z

zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami takimi, że card(X) = card(Y ). Jeżeli funkcja

f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją

dokładnie jedna addytywna izometria U : X → Y i stała L > 0, zależna od p, takie że

‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δpr ‖x‖1−p + δ

1r )

dla x ∈ X.

Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2