-
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica
Wydział Matematyki Stosowanej
Rozprawa doktorska
STABILNOŚĆ IZOMETRIIW P-JEDNORODNYCH F-PRZESTRZENIACH
Marek Żołdak
Promotor rozprawy: prof. dr hab. Józef Tabor
K R A K Ó W 2007
-
Spis treści
1 Wstęp 3
2 Stabilność izometrii w przestrzeniach z p-jednorodnymi F-normami 9
3 Uogólnienie twierdzenia Ulama-Mazura 14
4 Przestrzenie z 2-p-jednorodnymi F-normami 25
5 Stabilność izometrii w przestrzeniach z 2-p-jednorodnymi F-normami 31
A Pomocnicze nierówności i lematy 52
Prace cytowane 57
2
-
Rozdział 1
Wstęp
Niech (X, dX), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi, δ 0. Funkcję f : X → Y
nazywamy δ-izometrią przestrzeni (X, dX), (Y, dY ), jeżeli spełnia warunek
|dY (f(x1), f(x2))− dX(x1, x2)| ¬ δ
dla dowolnych x1, x2 ∈ X.
0-izometrię nazywamy izometrią. W 1944 r. S. M. Ulam postawił następujący problem
(przedstawiany jako stabilność izometrii):
(U1) Czy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdej surjektywnej δ-izometrii
f : X → Y istnieje izometria U : X → Y taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε ?
Jeżeli (Y,+) jest grupą abelową, a dY jest metryką w Y niezmienniczą na przesunięcia,
problem Ulama można równoważnie sformułować w postaci:
(U2) Czy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdej surjektywnej δ-izometrii
f : X → Y spełniającej warunek f(0) = 0 istnieje izometria U : X → Y spełniająca
warunek U(0) = 0 taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε ?
Dla dowodu (U1) ⇒ (U2) ustalmy ε > 0 i do ε2 dobierzmy δ > 0 tak, jak w warun-
ku (U1). Dla dowolnej surjektywnej δ-izometrii f : X → Y takiej, że f(0) = 0 istnieje,
z (U1), izometria U : X → Y taka, że supx∈XdY (f(x), U(x)) ¬ ε2 , w szczególności
dY (0, U(0)) ¬ ε2 . Przyjmując U′ := U−U(0) mamy, że U ′ jest izometrią, U ′(0) = 0 oraz
supx∈X dY (f(x), U′(x)) ¬ supx∈X dY (f(x), U(x)) + supx∈X dY (U(x), U(x) − U(0)) ¬
ε2 + dY (0,−U(0)) =
ε2 + dY (U(0), 0) ¬
ε2 +
ε2 = ε.
Dla dowodu (U2)⇒ (U1) ustalmy ε > 0, δ > 0 jak w (U2). Dla dowolnej surjektywnej
δ-izometrii f : X → Y istnieje, z uwagi na to, że f−f(0) jest surjektywną δ-izometrią,
która w zerze się zeruje, izometria U : X → Y taka, że
3
-
supx∈XdY (f(x)− f(0), U(x)) ¬ ε. Wówczas U ′ := U + f(0) jest izometrią, dla której
supx∈XdY (f(x), U ′(x)) = supx∈XdY (f(x)− f(0), U(x)) ¬ ε.
Założenie surjektywności f w warunkach (U1), (U2) jest istotne. S. M. Ulam oraz
D. Hyers pokazali w [8], że problem może mieć negatywne rozwiązanie, jeśli opuścimy
surjektywność funkcji, nawet gdy X i Y są skończenie wymiarowymi rzeczywistymi
przestrzeniami Hilberta. Podali oni następujący przykład: X = l21, Y = l22, f : X → Y
jest funkcją określoną wzorem f(x) = (x, g(x)) dla x ∈ R, gdzie g(x) = log x dla x 1
oraz g(x) = 0 dla x < 1. Wtedy g jest δ-izometrią dla pewnego δ > 0 a nie istnieje,
wobec ścisłej wypukłości Y , izometria U : X → Y taka, że supx∈X‖f(x)−U(x)‖ 0. Jeżeli funkcja f : X → Y jest surjektywną δ-izometrią spełniającą warunek
f(0) = 0, to istnieje dokładnie jedna surjektywna izometria liniowa U : X → Y
taka, że ‖f(x) − U(x)‖ ¬ 2δ dla każdego x ∈ X. Funkcja U jest określona wzorem
U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.
4
-
Przykład poniższy pokazuje, że liczby 2δ w powyższym twierdzeniu, w ogólnym
przypadku, nie można zastąpić mniejszą ([20]).
Przykład 1.2. Niech f : R → R, f(x) = −x dla x ∈ [0, δ], oraz f(x) = x − δ dla
x ∈ R \ [0, δ]. Wtedy f jest surjektywną δ-izometrią, spełniającą warunek f(0) = 0
taką, że supx∈R‖f(x)− U(x)‖ = 2δ, gdzie U(x) = limn→∞ f(2nx)2n = x dla x ∈ R.
Z cytowanego wcześniej twierdzenia Grubera, twierdzenia Ulama-Mazura, lematu
5.1 oraz twierdzenia 1.1 wynika, że przy założeniach twierdzenia 1.1 istnieje dokładnie
jedna izometria U : X → Y spełniająca warunek U(0) = 0 taka, że supx∈X‖f(x) −
U(x)‖ 0, pomię-
dzy dwiema przestrzeniami Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą surjektywnej
izometrii i funkcji ograniczonej.
5
-
Z twierdzenia 1.1 wynika również, że dwie rzeczywiste przestrzenie Banacha są izo-
metrycznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje δ > 0 oraz surjektywna
δ-izometria f przeprowadzająca jedną z tych przestrzeni na drugą.
Niech η > 0. Funkcję f : X → Y nazywamy η-surjektywną, jeżeli dla każdego y ∈ Y
istnieje x ∈ X takie, że ‖f(x)− y‖ < η. Stosunkowo niedawno Šemrl i J. Väisälä po-
kazali, że założenie o surjektywności f w twierdzeniu 1.1 można zastąpić słabszym:
wystarczy założyć, że f jest η-surjektywna, przy pewnym η > 0. Teza pozostaje ta
sama ([21]).
Twierdzenie Šemrla- Väisäli w pewnym sensie charakteryzuje wszystkie w przybliże-
niu surjektywne przybliżone izometrie pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha. Z
twierdzenia tego wynika bezpośrednio, że funkcja f : X → Y jest η-surjektywną δ-
izometrią, przy pewnych η > 0, δ > 0, wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą surjektywnej
izometrii i funkcji ograniczonej.
Wynika z niego także, że każda η-surjektywna izometria V : X → Y pomiędzy dwiema
przestrzeniami Banacha X, Y jest surjektywna. Istotnie, dla każdego δ > 0, funkcja
V −V (0) jest η-surjektywną δ-izometrią, stąd oraz twierdzenia Šemrla-Väisäli istnieje
surjektywna izometria V ′ : X → Y , niezależna od δ (bo określona wzorem V ′(x) =
limn→∞V (2nx)−V (0)
2n dla x ∈ X), spełniająca warunek supx∈X‖V (x)− V (0)− V′(x)‖ ¬
2δ. Przechodząc do granicy δ → 0+ otrzymujemy, że V = V (0) + V ′ jest surjektywna.
Pojawia się pytanie dotyczące stabilności izometrii dla innych klas przestrzeni.
Przedmiotem niniejszej pracy jest problem stabilności izometrii dla przestrzeni linio-
wych zbliżonych do przestrzeni unormowanych, w których „norma” spełnia warunki:
‖x‖ = 0⇔ x = 0, nierówność trójkąta ‖x+y‖ ¬ ‖x‖+‖y‖; nie zakładamy natomiast,
że ‖ · ‖ jest bezwzględnie jednorodna, tzn. ‖λx‖ = |λ|‖x‖ dla dowolnego skalara λ i
dowolnego wektora x. Warunek ten zastępujemy słabszym np., że istnieje p ∈ (0, 1]
takie, że dla dowolnego skalara λ i dowolnego wektora x zachodzi ‖λx‖ = |λ|p‖x‖,
bądź jeszcze słabszym, że istnieje p ∈ (0, 1] takie, że dla dowolnego wektora x za-
chodzi: ‖ − x‖ = ‖x‖ i ‖2x‖ = 2p‖x‖. Przestrzenie takie nazywamy przestrzeniami z
odpowiednio p-jednorodną- i 2-p-jednorodną F-normą. Pokażemy później, że w takich
przestrzeniach, przy założeniu zupełności przestrzeni w dziedzinie i w przeciwdziedzi-
nie, dla dowolnej surjektywnej δ-izometrii f i dla dowolnego x ∈ X również istnie-
je granica U(x) := limn→∞f(2nx)2n , jest ona addytywną, chociaż niekoniecznie liniową
6
-
(por. przykład 3.11), surjektywną izometrią, ale nierówność
supx∈X‖f(x)− U(x)‖ 0 i niech (X, dX), (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi. Wte-
dy funkcje (dX)r, (dY )r są „quasi-metrykami”, tzn. spełniają dwa pierwsze aksjo-
maty metryki oraz „nierówność trójkąta” z pewną stałą K 1 (por. lemat A.1).
δ -izometrie (w szczególności, gdy δ = 0, izometrie) przestrzeni „quasi-metrycznych”
(X, (dX)r), (Y, (dY )r) oraz problem Ulama dla (X, (dX)r), (Y, (dY )r) można zdefiniować
formalnie tak samo jak dla przestrzeni metrycznych. Oczywiście funkcja jest izometrią
przestrzeni (X, (dX)r), (Y, (dY )r), wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią przestrzeni
(X, dX), (Y, dY ). Funkcję f : X → Y nazywamy (r, δ)-izometrią przestrzeni (X, dX),
(Y, dY ), jeżeli jest δ-izometrią przestrzeni (X, (dX)r), (Y, (dY )r), tzn.
|(dY (f(x1), f(x2))
)r−(dX(x1, x2)
)r| ¬ δ
dla dowolnych x1, x2 ∈ X.
W tym rozdziale dowodzimy, przy pewnych dodatkowych założeniach, twierdzeń do-
tyczących stabilności bądź braku stabilności izometrii w przestrzeniach (X, (dX)r),
(Y, (dY )r), gdzie (X, ‖·‖X), (Y, ‖·‖Y ) są przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi, zupełnymi
F-normami, r > 0, dX(x1, x2) = ‖x1−x2‖X dla x1, x2 ∈ X, zaś dY (y1, y2) = ‖y1−y2‖Ydla y1, y2 ∈ Y , w zależności od wartości iloczynu p · r.
Pomocnicze nierówności i lematy wykorzystywane w pracy, a nie związane bezpo-
średnio z tematem pracy, zostały zamieszczone w Aneksie. Dla wygody Czytelnika w
7
-
obrębie każdego rozdziału zastosowano jednolitą numerację dla definicji, twierdzeń,
lematów, wniosków, stwierdzeń, przykładów i uwag.
W pracy stosujemy standardowe oznaczenia: N, N0, Z, Q, R oznaczają odpowiednio
zbiór liczb naturalnych, całkowitych nieujemnych, całkowitych, wymiernych oraz rze-
czywistych. Rozpatrywane przestrzenie liniowe są przestrzeniami rzeczywistymi. Sym-
bolem btc, gdzie t ∈ R, oznaczamy całkowitą część liczby t.
Pragnę w tym miejscu złożyć serdeczne podziękowanie mojemu promotorowi, pro-
fesorowi doktorowi habilitowanemu Józefowi Taborowi, za cenne wskazówki i uwagi
udzielane mi w trakcie pisania tej pracy.
8
-
Rozdział 2
Stabilność izometrii w
przestrzeniach z p-jednorodnymi
F-normami
W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie przestrzeni z p-jednorodną F-normą oraz po-
dajemy bez dowodów najważniejsze wyniki dotyczące braku stabilności izometrii w
takich przestrzeniach pochodzące z [22].
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową.
Definicja 2.1. Funkcję ‖·‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych x, y ∈ X warunki:
(i) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;
(ii) ‖ − x‖ = ‖x‖;
(iii) ‖x+ y‖ ¬ ‖x‖+ ‖y‖
nazywamy F-normą.
Definicja 2.2. Niech p ∈ (0, 1]. Funkcję ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych
x, y ∈ X warunki (i), (iii) oraz dla dowolnych λ ∈ R, x ∈ X warunek
(ii’) ‖λx‖ = |λ|p‖x‖,
nazywamy p-jednorodną F-normą.
Definicja 2.3. Niech p ∈ (0, 1]. Funkcję ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnych
x, y ∈ X, λ ∈ R warunki (ii’), (iii) nazywamy semi-p-jednorodną F-normą.
Oczywiście każda p-jednorodna F-norma jest semi-p-jednorodną F-normą oraz jest
F-normą, ale nie na odwrót.
9
-
Jeżeli ‖ · ‖ jest F-normą na niezerowej przestrzeni liniowej X spełniającą (ii’), przy
pewnym p > 0, to p ¬ 1. Dla x 6= 0, x ∈ X, na podstawie (ii’) i (iii), mamy bowiem
2p‖x‖ = ‖x+ x‖ ¬ 2‖x‖. Stąd otrzymujemy, że 2p ¬ 2, a więc p ¬ 1.
Parę (X, ‖·‖), gdzie X jest przestrzenią liniową, a ‖·‖ jest F-normą [p-jednorodną F-
normą], nazywamy przestrzenią z F-normą [odpowiednio przestrzenią z p-jednorodną
F-normą]. Przestrzeń z F-normą jest przestrzenią metryczną, z metryką d(x, y) =
‖x − y‖ dla x, y ∈ X. Metryka d jest niezmiennicza na przesunięcia tzn. d(x + z, y +
z) = d(x, y) dla x, y, z ∈ X. Z nierówności |‖x‖ − ‖y‖| ¬ ‖x − y‖ dla x, y ∈ X,
wynika że funkcja ‖ · ‖ : X → [0,∞) jest ciągła na tej przestrzeni. Również funkcja
+ : X × X → X, +(x, y) := x + y dla x, y ∈ X, jest ciągła, gdyż dla dowolnych
(xn), (yn) ⊂ X, x, y ∈ X takich, że xn → x, yn → y mamy ‖xn + yn − x − y‖ ¬
‖xn − x‖ + ‖yn − y‖ → 0 przy n → ∞. Przestrzeń z F-normą nie musi być jednak
przestrzenią liniowo-metryczną, gdyż funkcja · : R×X → X, ·(λ, x) := λ ·x dla λ ∈ R,
x ∈ X, nie musi być ciągła. Niech X będzie niezerową przestrzenią liniową i niech
‖x‖ := 1, gdy x 6= 0 oraz ‖0‖ := 0. Wtedy ‖·‖ jest F-normą wX, a metryka pochodząca
od F-normy jest metryką 0-1. Zatem topologia w X jest topologią dyskretną. Gdyby
funkcja · była ciągła, to X byłaby przestrzenią liniowo-topologiczną, a każde otoczenie
zera byłoby zbiorem pochłaniającym, w szczególności {0}, co daje sprzeczność.
Przestrzeń z p-jednorodną F-normą jest przestrzenią liniowo-metryczną.
Ciągłość mnożenia wektorów przez skalary wynika stąd, że dla dowolnych (λn) ⊂
R, (xn) ⊂ X,λ ∈ R, x ∈ X takich, że λn → λ, xn → x zachodzi
‖λnxn − λx‖ ¬ ‖λnxn − λnx‖+ ‖λnx− λx‖ ¬ |λn|p‖xn − x‖+ |λn − λ|p‖x‖ → 0
przy n→∞.
Przykłady przestrzeni z p-jednorodnymi F-normami.
Przykład 2.4. Niech lpn, gdzie p ∈ (0, 1], n ∈ N, będzie przestrzenią liniową nad R
wszystkich ciągów n-wyrazowych, o wyrazach z R, oraz niech ‖(t1, ..., tn)‖ =∑nk=1 |tk|p
dla (t1, ..., tn) ∈ lpn. Wtedy ‖ · ‖ jest p-jednorodną F-normą w lpn.
Przykład 2.5. Niech lp, gdzie p ∈ (0, 1], będzie przestrzenią liniową nad R wszystkich
ciągów o wyrazach z R sumowalnych z p-tą potęgą oraz niech ‖(tk)‖ =∑∞k=1 |tk|p dla
(tk) ∈ lp. Wtedy ‖ · ‖ jest p-jednorodną F-normą w lp.
10
-
Przykład 2.6. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech Lp(µ), gdzie p ∈
(0, 1], będzie przestrzenią liniową nad R wszystkich funkcji f : X → R całkowalnych
z p-tą potęgą. Mamy wówczas, że funkcja ‖f‖0 :=∫X |f |pdµ jest semi-p-jednorodną
F-normą w Lp(µ). Niech N := {f ∈ Lp(µ) : ‖f‖0 = 0}. Wtedy N jest podprzestrzenią
liniową przestrzeni Lp(µ). W przestrzeni ilorazowej Lp(µ) := Lp(µ)/N , dla f̃ ∈ Lp(µ)
oraz f ∈ f̃ kładziemy ‖f̃‖ :=∫X |f |pdµ. Wtedy ‖ · ‖ jest jest p-jednorodną F-normą
w Lp(µ).
Przykład 2.7. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową, a ‖ · ‖0 normą w X.
Wtedy funkcja ‖x‖ := ‖x‖p0 dla x ∈ X, gdzie p ∈ (0, 1], jest p-jednorodną F-normą
w X.
Uwaga 2.8. Jeżeli X = {1, ..., n}, S = 2X , a µ jest miarą daną wzorem µ(A) = cardA
dla A ⊂ {1, ..., n}, to Lp(µ) = Lp(µ) = lpn, bo w tym przypadku dowolny ciąg f =
(t1, ..., tn) o wyrazach z R jest funkcją mierzalną i całkowalną oraz∫X fdµ =
∑nk=1 tk.
Podobnie, jeśli X = N, S = 2N, a µ(A) = card(A), gdy zbiór A jest skończony, A ⊂ N,
oraz µ(A) =∞, gdy card(A) = ℵ0, A ⊂ N, to Lp(µ) = Lp(µ) = lp. W tym przypadku
bowiem dowolny ciąg f = (tk)∞k=1 o wyrazach z R jest funkcją mierzalną; ciąg ten
jest całkowalny wtedy i tylko wtedy, gdy∑∞k=1 |tk| < ∞. Zachodzi wówczas równość∫
X fdµ =∑∞k=1 tk ([17], rozdz. 7, §9, s. 316-317). Przestrzenie z przykładów 2.4 i 2.5
są więc szczególnymi przypadkami przestrzeni z przykładu 2.6.
Przestrzenie lpn, lp, Lp(µ) z przykładów 2.4, 2.5, 2.6 są zupełnymi przestrzeniami
metrycznymi ([14], rozdz. 1, tw. 5.1). Przestrzeń z przykładu 2.7 jest zupełna wtedy i
tylko wtedy, gdy przestrzeń unormowana (X, ‖ · ‖0) jest zupełna.
Gdy X i Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, problem Ulama ma
w ogólnym przypadku negatywne rozwiązanie, gdyż zachodzi następujące twierdzenie
([22], przykład 2.1).
Twierdzenie 2.9. Niech X będzie przestrzenią Banacha, p ∈ (0, 1), δ > 0 i niech
funkcja f : X → X będzie określona wzorem
f(x) = x+δ
‖x‖p· x dla x 6= 0
oraz f(0) = 0. Wtedy f jest surjektywną 8δ-izometrią przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na siebie
oraz dla każdej izometrii U : X → X przestrzeni (X, ‖ · ‖p) w siebie zachodzi równość
supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.
11
-
Inny przykład tego typu dla rzeczywistej przestrzeni Lp(µ), gdzie p ∈ (0, 1), a µ
jest niezerową miarą σ-skończoną, zostanie podany w rozdziale 5 (tw. 5.3).
Uwaga 2.10. Funkcja f z twierdzenia 2.9 jest homeomorfizmem przestrzeni (X, ‖ · ‖)
na (X, ‖ · ‖) (jak również przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na (X, ‖ · ‖p)).
Niech φ(t) := t+δt1−p dla t ∈ [0,∞). Wówczas z lematu A.5, φ jest bijekcją z [0,∞)
na [0,∞) oraz f(x) = φ(‖x‖) x‖x‖ dla x 6= 0, x ∈ X.
Niech g : X → X, g(y) = φ−1(‖y‖) y‖y‖ dla y 6= 0, y ∈ Y oraz g(0) = 0.
Ponieważ, dla x 6= 0, x ∈ X, mamy
(g ◦ f)(x) = φ−1(φ(‖x‖))φ(‖x‖) x‖x‖φ(‖x‖)
= ‖x‖ x‖x‖= x,
(g ◦ f)(0) = 0
oraz analogicznie
(f ◦ g)(y) = y dla y 6= 0, y ∈ Y, (f ◦ g)(0) = 0,
to f jest bijekcją oraz f−1 = g.
Ponieważ f , g są ciągłe na X \ {0}, limx→0 f(x) = limx→0 φ(‖x‖) x‖x‖ = 0 = f(0) i
analogicznie limx→0 g(x) = 0 = g(0), zatem f , f−1 są ciągłe.
W przestrzeniach z p-jednorodnymi zupełnymi F-normami zachodzi następujące
twierdzenie ([22], tw. 4.2), które jest słabsze w porównaniu z twierdzeniem 1.1.
Twierdzenie 2.11. Niech X, Y będą przestrzeniami z p-jednorodnymi zupełnymi F-
normami, p ∈ (0, 1), δ > 0. Jeżeli f : X → Y jest surjektywną δ-izometrią spełniającą
warunek f(0) = 0, to istnieją surjektywna izometria liniowa U : X → Y i stała Lp > 0,
zależna od p, takie że
‖f(x)− U(x)‖ ¬ Lp(δp‖x‖1−p + δ)
dla x ∈ X.
Jeśli X nie jest przestrzenią zerową, to wynika stąd, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞.
Twierdzenie to zostanie uogólnione w rozdziale 5 (tw. 5.14).
Izometrie między przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami charakteryzuje nastę-
pujące twierdzenie, będące uogólnieniem klasycznego twierdzenia Ulama-Mazura dla
przestrzeni unormowanych (szczególny przypadek tw. 3.1, z rozdz. 9, z [14]).
12
-
Twierdzenie 2.12. Niech X, Y będą przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami.
Wtedy każda surjektywna izometria U : X → Y taka, że U(0) = 0 jest przekształceniem
liniowym.
Wniosek 2.13. Jeżeli (X, ‖ · ‖), (Y, ‖ · ‖) są przestrzeniami z odpowiednio p1, p2-
jednorodnymi F-normami, gdzie p1, p2 ∈ (0, 1] i p1 6= p2, X 6= {0}, to nie istnieje
surjektywna izometria U przekształcająca X na Y .
Dowód. Przypuśćmy, że istnieje surjektywna izometria U : X → Y . Niech V :=
U − U(0). Wtedy, z twierdzenia 2.12, V jest liniowa. Stąd
‖V (x)‖ = ‖V (x)− V (0)‖ = ‖x− 0‖ = ‖x‖
dla x ∈ X.
Podstawiając 2x w miejsce x, otrzymujemy
2p2‖x‖ = 2p2‖V (x)‖ = ‖2V (x)‖ = ‖V (2x)‖ = ‖2x‖ = 2p1‖x‖
dla x ∈ X.
Stąd 2p2 = 2p1 , a więc p1 = p2, co jest sprzeczne z założeniem. 2
Problemem otwartym jest istnienie surjektywnych δ-izometrii pomiędzy dwiema
przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, z różnymi p.
13
-
Rozdział 3
Uogólnienie twierdzenia
Ulama-Mazura
W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie (r, δ)-izometrii oraz podajemy elementarne
własności takich funkcji. Następnie dowodzimy kluczowego lematu 3.3, z którego otrzy-
mujemy uogólnione twierdzenie Ulama-Mazura (wniosek 3.6). Lemat 3.3 zostanie wy-
korzystany także później do dowodu twierdzeń dotyczących stabilności izometrii (twier-
dzenia 5.5 i 5.6).
Niech 0 < p ¬ 1, r > 0, δ > 0 i niech (X, ‖ · ‖), (Y, ‖ · ‖) będą przestrzeniami z
F-normami.
Definicja 3.1. Funkcję f : X → Y nazywamy (r, δ)-izometrią, jeśli
| ‖f(x)− f(y)‖r − ‖x− y‖r | ¬ δ dla x, y ∈ X. (3.1)
Oczywiście (1, δ)-izometria jest tym samym co δ-izometria. Ogólniej, jeśli r ∈ (0, 1],
to (r, δ) izometria przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖) jest tym samym, co δ-izometria
przestrzeni (X, ‖ · ‖r) w (Y, ‖ · ‖r).
Lemat 3.2. Jeżeli X, Y, Z są przestrzeniami z F-normami, f : X → Y jest (r, δ1)-
izometrią i g : Y → Z jest (r, δ2)-izometrią, to g ◦ f jest (r, δ1 + δ2)-izometrią.
Jeżeli ponadto f jest bijekcją, to f−1 jest (r, δ1)-izometrią.
Dowód. Dla x, y ∈ X mamy
‖f ◦ g(x)− f ◦ g(y)‖r ¬ ‖g(x)− g(y)‖r + δ1 ¬ ‖x− y‖r + δ1 + δ2
oraz
‖f ◦ g(x)− f ◦ g(y)‖r ‖g(x)− g(y)‖r − δ1 ‖x− y‖r − δ1 − δ2.
14
-
Zatem f ◦ g jest (r, δ1 + δ2)-izometrią.
Załóżmy dodatkowo, że f jest bijekcją. Rozważmy dowolne u, v ∈ Y . Istnieją wtedy
x, y ∈ X takie, że u = f(x), v = f(y). Mamy wówczas
|‖f−1(u)− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r| = |‖x− y‖r − ‖f(x)− f(y)‖r| ¬ δ1.
Zatem f−1 jest (r, δ1)-izometrią. 2
Lemat 3.3. Niech r > 0, δ > 0 i niech X, Y będą przestrzeniami z F-normami, przy
czym F-norma w Y spełnia warunek:
istnieje p ∈ (0, 1], p 6= 1rtakie, że dla każdego y ∈ Y 2p‖y‖ ¬ ‖2y‖. (3.2)
Jeżeli funkcja f : X → Y jest bijektywną (r, δ) -izometrią spełniającą warunek f(0) =
0, to istnieją stałe dodatnie C1 (zależna od r), C2, C3, C4, C5 (zależne od p, r, δ) takie,
że
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖ ¬
C1‖x− y‖2pn
+C22pn+ C3 · 2n(
1r−p) + C4 · 2n(
1r−p)(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C5 (3.3)
dla x, y ∈ X, n 3, n ∈ N.
Co więcej, można założyć, że dla i = 2, 3, 4, 5, Ci jest postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r .
Dowód. Idea dowodu jest wzorowana na dowodzie lematu 15.3 [2].
W dowodzie wykorzystamy fakt, że ‖ z2‖ ¬12p‖z‖ dla z ∈ Y , który wynika z 3.2, gdyż
‖z‖ = ‖2 z2‖ 2p‖ z2‖.
Niech x, y ∈ X i niech
p := x+y2 , q :=f(x)+f(y)2 , d := ‖
f(x)−f(y)2 ‖.
Określamy ciąg odwzorowań (gn)n∈N0 , gn : Y → Y w następujący sposób:
g0(u) := f(2p− f−1(u)) dla u ∈ Y,
g1(u) := 2q − u dla u ∈ Y.
Oczywiście g0, g1 są bijekcjami. Ustalmy n ∈ N i załóżmy, że określiliśmy już bijekcje
g0, g1, ..., gn. Niech
gn+1 := gn−1 ◦ gn ◦ g−1n−1.
15
-
Wtedy gn+1 również jest bijekcją, jako złożenie trzech bijekcji.
Określamy ciąg punktów (qn)n∈N ⊂ Y następująco:
q1 = q,
qn+1 := gn−1(qn) dla n ∈ N.
Pokażemy, że dla każdego n ∈ N0, gn jest (r, 2n+1δ)-izometrią. Z definicji 3.1 oraz
lematu 3.2 dla dowolnych u, v ∈ Y mamy
| ‖f(2p− f−1(u))− f(2p− f−1(v)‖r − ‖f−1(u)− f−1(v)‖r | ¬ δ
oraz
| ‖f−1(u)− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r | ¬ δ.
Stąd
| ‖g0(u)− g0(v)‖r − ‖u− v‖r | =
| ‖f(2p− f−1(u))− f(2p− f−1(v)‖r − ‖u− v‖r | ¬ 2δ.
Z tego wynika, że g0 jest (r, 2δ) -izometrią.
Oczywiście g1 jest izometrią, a więc także (r, 22δ) izometrią. Ustalmy n ∈ N i załóżmy,
dla dowodu indukcyjnego, że gk jest (r, 2k+1δ) -izometrią dla wszystkich k ¬ n, k ∈ N0.
Wtedy, z lematu 3.2 oraz założenia indukcyjnego, gn+1 jest (r, 2nδ + 2n+1δ + 2nδ)-
izometrią, czyli (r, 2n+2δ)-izometrią.
Pokażemy, że
gn(f(x)) = f(y), gn(f(y)) = f(x) dla n ∈ N0. (3.4)
Ponieważ g0(f(x)) = f(2p − x) = f(y), g1(f(x)) = 2q − f(x) = f(y) i analogicznie
g0(f(y)) = f(x), g1(f(y)) = f(x), to równości (3.4) są prawdziwe dla n = 0 i n = 1.
Ustalmy n ∈ N i załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że równości (3.4) są prawdziwe
dla wszystkich k ¬ n, k ∈ N0. Wtedy, na mocy założenia indukcyjnego, gn+1(f(x)) =
(gn−1 ◦ gn)(f(y)) = gn−1(f(x)) = f(y); podobnie gn+1(f(y)) = f(x).
Pokażemy, że
‖qn − f(x)‖r ¬ dr + 2nδ, ‖qn − f(y)‖r ¬ dr + 2nδ (3.5)
dla n ∈ N.
Ponieważ
‖q1 − f(x)‖r = ‖f(x) + f(y)2
− f(x)‖r = ‖f(y)− f(x)2
‖r = dr < dr + 2δ
16
-
i analogicznie
‖q1 − f(y)‖r ¬ dr + 2δ,
to nierówności (3.5) są prawdziwe dla n = 1. Załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że
warunek (3.5) jest prawdziwy dla ustalonego n ∈ N. Wtedy korzystając z (3.4), z faktu
że gn−1 jest 2nδ-izometrią oraz z założenia indukcyjnego otrzymujemy
‖qn+1 − f(x)‖r = ‖gn−1(qn)− gn−1(f(y))‖r ¬ ‖qn − f(y)‖r + 2nδ ¬
dr + 2nδ + 2nδ = dr + 2n+1δ.
Podobnie sprawdzamy, że ‖qn+1 − f(y)‖r ¬ dr + 2n+1δ.
Pokażemy, że
‖qn − qn−1‖r ¬ Dr(dr + 2nδ) dla n 2, n ∈ N (3.6)
gdzie Dr := 2 dla r ∈ (0, 1] oraz Dr := 2r dla r > 1.
Załóżmy, że 0 < r ¬ 1. Ze względu na (3.5) oraz (A.1) mamy, że dla n 2
‖qn − qn−1‖r ¬ (‖qn − f(x)‖+ ‖f(x)− qn−1‖)r ¬
‖qn − f(x)‖r + ‖f(x)− qn−1‖r ¬ 2(dr + 2nδ).
Załóżmy, że r 1. Korzystając z (3.5) oraz z (A.2), otrzymujemy, że dla n 2
‖qn − qn−1‖ ¬ (‖qn − f(x)‖+ ‖f(x)− qn−1‖)r ¬
2r−1(‖qn − f(x)‖r + ‖f(x)− qn−1‖r) ¬ 2r(dr + 2nδ).
Wykażemy, że
‖gn(u)− u‖r 2pr‖qn − u‖r − 2pr+1 · 2nδ (3.7)
dla u ∈ Y, n ∈ N.
Ponieważ
‖g1(u)− u‖r = ‖2q − u− u‖r 2pr‖q − u‖r 2pr‖q − u‖r − 2pr+1 · 2δ,
to warunek (3.7) jest prawdziwy dla n = 1 i dowolnego u ∈ Y . Ustalmy n ∈ N i za-
łóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że nierówność (3.7) zachodzi dla każdego u ∈ Y .
Korzystając z faktu, że gn−1 i g−1n−1 są (r, 2nδ)-izometriami oraz z założenia indukcyj-
nego, otrzymujemy dla dowolnego u ∈ Y
‖gn+1(u)− u‖r = ‖gn−1gng−1n−1(u)− gn−1g−1n−1(u)‖r
17
-
‖gng−1n−1(u)− g−1n−1(u)‖r − 2nδ
2pr‖qn − g−1n−1(u)‖r − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ =
2pr‖g−1n−1gn−1(qn)− g−1n−1(u)‖r − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ
2pr(‖gn−1(qn)− u‖r − 2nδ)− 2pr+1 · 2nδ − 2nδ =
2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr · 2nδ − 2pr+1 · 2nδ − 2nδ
2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr · 2nδ − 2pr+1 · 2nδ − 2pr · 2nδ =
2pr‖qn+1 − u‖r − 2pr+1 · 2n+1δ.
Podstawiając w (3.7) u = qn+1, otrzymujemy
‖qn+2 − qn+1‖r 2pr‖qn+1 − qn‖r − 2pr+1 · 2nδ (3.8)
dla n ∈ N.
Pokażemy, że
‖qn − qn−1‖r (2pr)n−2‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ · 2n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)(3.9)
dla n 3, n ∈ N.
Z (3.8) mamy ‖q3 − q2‖r 2pr‖q2 − q1‖r − 2pr+1 · 2δ. Oznacza to, że nierówność (3.9)
jest spełniona dla n = 3. Załóżmy, dla dowodu indukcyjnego, że nierówność (3.9) jest
spełniona dla ustalonego n 3, n ∈ N. Wtedy, korzystając kolejno z (3.8) i (3.9),
otrzymujemy
‖qn+1 − qn‖r 2pr‖qn − qn−1‖r − 2pr+12n−1δ
2pr(2pr)n−2‖q2 − q1‖r − 2pr2pr+1δ2n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)− 2pr+12n−1δ =
(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ[2pr2n−2
(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2n−1
]=
(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1[2pr−1
(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 1
]=
(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1(2pr−1 − (2pr−1)n−1 + 1− 2pr−1
1− 2pr−1)=
(2pr)n−1‖q2 − q1‖r − 2pr+1δ2n−1(1− (2pr−1)n−11− 2pr−1
).
Z nierówności (3.9) dla n 3, n ∈ N mamy
‖q2 − q1‖r ¬‖qn − qn−1‖r
(2pr)n−2+2pr+1δ · 2n−2
(2pr)n−2(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
).
18
-
Stąd oraz z (3.6) otrzymujemy
‖q2 − q1‖r ¬(2pr)2Drdr
(2pr)n+(2pr)2Dr2nδ(2pr)n
+2pr+1 · δ · 2n−2 · (2pr)2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)(3.10)
dla n 3, n ∈ N.
Z drugiej strony
‖q2 − q1‖r = ‖f(2p− f−1(q))− ff−1(q)‖r
‖2p− 2f−1(q)‖r − δ 2pr‖f−1f(p)− f−1(q)‖r − δ
2pr(‖f(p)− q‖r − δ)− δ = 2pr‖f(p)− q‖r − 2prδ − δ
2pr‖f(p)− q‖r − 2 · 2prδ.
Stąd oraz z (3.10) dostajemy, że
2pr‖f(p)− q‖r ¬ ‖q2 − q1‖r + 2 · 2prδ ¬
(2pr)2Drdr
(2pr)n+(2pr)2Dr2nδ(2pr)n
+2pr+1 · (2pr)2 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2 · 2prδ
dla n 3, n ∈ N.
Zatem
‖f(p)− q‖r ¬ (2pr)Drdr
(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+2pr+1 · 2pr · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ
dla n 3, n ∈ N.
Z ostatniej nierówności oraz z nierówności ‖ z2‖ ¬12p‖z‖ dla z ∈ Y , otrzymujemy
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖r ¬
2prDr‖f(x)−f(y)2 ‖r
(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+22pr+1 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ ¬
Dr‖f(x)− f(y)‖r
(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+22pr+1 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ ¬
Dr(‖x− y‖r + δ)(2pr)n
+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+22pr+1 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ =
Dr‖x− y‖r
(2pr)n+Drδ
(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+22pr+1 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ
dla n 3, n ∈ N.
Jeśli r 1, to wynika stąd, że dla n 3, n ∈ N
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖ ¬
19
-
D1rr ‖x− y‖2pn
+D1rr δ
1r
2pn+ 2pD
1rr δ
1r · 2
nr
2pn+22pr+1r · δ 1r · 2n−2r2pn
·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
) 1r + 2
1r δ1r ,
a jeśli 0 < r ¬ 1, to dla n 3, n ∈ N
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖ ¬
(Dr‖x− y‖r
(2pr)n+Drδ
(2pr)n+(2pr)Dr2nδ(2pr)n
+22pr+1 · δ · 2n−2
(2pr)n·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+ 2δ
) 1r
¬
21r−1(Dr‖x− y‖r
2prn+Drδ
2prn
) 1r
+21r−1(2prDr2nδ2prn
+22pr+1 · δ · 2n−2
2prn·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
)+2δ
) 1r
¬
(21r−1)2 · D
1rr ‖x− y‖2pn
+ (21r−1)2 · D
1rr δ
1r
2pn+ (2
1r−1)3 · 2
pD1rr 2
nr δ1r
2pn+
(21r−1)3 · 2
2pr+1r · δ 1r · 2n−2r2pn
·(1− (2pr−1)n−21− 2pr−1
) 1r + (2
1r−1)22
1r δ1r .
W obu przypadkach otrzymujemy (3.3), z C1 = (21r−1)2D
1rr , C2 = (2
1r−1)2D
1rr δ
1r , C3 =
(21r−1)32pD
1rr δ
1r , C4 = (2
1r−1)32
2pr−1r δ
1r , C5 = (2
1r−1)22
1r δ1r , gdy r ∈ (0, 1), oraz C1 =
D1rr , C2 = D
1rr δ
1r , C3 = 2pD
1rr δ
1r , C4 = 2
2pr−1r δ
1r , C5 = 2
1r δ1r , gdy r 1. 2
Uwaga 3.4. Dla dowolnego r > 0, warunek (3.2) jest równoważny warunkowi:
istnieje c > 1 takie, że dla każdego y ∈ Y c‖y‖ ¬ ‖2y‖. (3.11)
Oczywiście z (3.2) wynika (3.11). Jeśli zachodzi (3.11) i Y jest niezerowa, to dla
y 6= 0, y ∈ Y mamy c‖y‖ ¬ ‖2y‖ ¬ 2‖y‖, stąd c ¬ 2. Zatem istnieje p′ ∈ (0, 1] takie, ze
c = 2p′. Przyjmując p = p′ gdy p′ 6= 1
roraz p ∈ (0, 1
r) gdy p′ = 1
rotrzymujemy 2p‖y‖ ¬
2p′‖y‖ = c‖y‖ ¬ ‖2y‖. Zatem zachodzi (3.2). Warunek ten zachodzi oczywiście, gdy
przestrzeń Y jest przestrzenią zerową.
Przykład 3.5. Niech X będzie przestrzenią liniową, ‖ ·‖1, ‖ ·‖2 będą odpowiednio p1-
i p2-jednorodnymi F-normami w X, gdzie p1, p2 ∈ (0, 1], i niech s 1. Wtedy funkcje
||| · |||s := (‖ · ‖s1 + ‖ · ‖s2 )1s oraz ||| · |||max := max{‖ · ‖1, ‖ · ‖2} są F-normami w X
spełniającymi warunek (3.11), z c = 2min{p1,p2}.
20
-
Wniosek 3.6. Niech X1, X2 będą przestrzeniami z F-normami, przy czym F-norma
w X2 spełnia (3.11). Jeżeli funkcja f : X1 → X2 jest surjektywną izometrią taką, że
f(0) = 0, to f jest addytywna.
Jeżeli ponadto, dla i ∈ {1, 2}, F-norma w Xi spełnia warunek:
dla każdego xi ∈ Xi funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona na pewnym zbiorze
T ⊂ R (zależnym od xi) takim, że dla pewnego n ∈ N zbiór T + · · ·+ T︸ ︷︷ ︸n
ma dodatnią
miarę wewnętrzną Lebesgue’a lub jest zbiorem drugiej kategorii o własności Baire’a,
(3.12)
to f jest liniowa.
Zauważmy, że dla dowolnego xi ∈ Xi, jeśli funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest
mierzalna w sensie Lebesgue’a [w sensie Baire’a], to jest ograniczona na pewnym,
zależnym od xi, zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a o mierze dodatniej [zbiorze
drugiej kategorii o własności Baire’a]. Istotnie, niech An := {α ∈ R : n ¬ ‖αxi‖ <
n+1} dla n ∈ N0. Ponieważ zbiory An są mierzalne w sensie Lebesgue’a [mają własność
Baire’a], są parami rozłączne i⋃∞n=0An = R, to istnieje zbiór An0 o dodatniej mierze
Lebesgue’a [drugiej kategorii]. Oczywiście funkcja R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona
na An0 .
Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 wynika, że dla dowolnego xi ∈ Xi funkcja
R 3 α 7→ ‖αxi‖ ∈ R jest ograniczona na każdym ograniczonym podzbiorze w R.
Dowód. f jest (1, δ)-izometrią dla każdego δ > 0. Przechodząc w (3.3) do granicy
przy δ → 0+, dostajemy
‖f(x1 + y12)− f(x1) + f(y1)
2‖ ¬ C1
‖x1 − y1‖2pn
dla x1, y1 ∈ X1, n 3, n ∈ N.
Przechodząc w otrzymanej nierówności do granicy przy n→∞, otrzymujemy
‖f(x1 + y12)− f(x1) + f(y1)
2‖ ¬ 0.
Zatem
f(x1 + y12) =f(x1) + f(y1)
2(3.13)
dla x1, y1 ∈ X1.
Podstawiając w (3.13) y1 = 0 dostajemy, że dla dowolnego x1 ∈ X1
f(x12) =f(x1)2.
21
-
Zastępując w ostatniej równości x1 przez x1 + y1, otrzymujemy
f(x1 + y12) =f(x1 + y1)2
(3.14)
dla x1, y1 ∈ X1.
Z (3.13) i (3.14) wynika addytywność f .
Przechodzimy do dowodu drugiej części wniosku. Dla dowolnego x1 ∈ X1 mamy
‖2x1‖ = ‖f(2x1)‖ = ‖2f(x1)‖ c‖f(x1)‖ = c‖x1‖.
Oznacza to, że F-norma w X1 również spełnia (3.11).
Niech α ∈ R i niech αn := b2nαc2n dla n ∈ N. Oczywiście (αn) ⊂ Q oraz αn → α.
Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 dla dowolnego x1 ∈ X1 istnieje K1(x1) > 0 takie,
że ‖αx1‖ ¬ K1(x1) dla każdego α ∈ [0, 1). Mamy wówczas
‖αnx1 − αx1‖ = ‖(b2nαc2n− α)x1‖ = ‖
b2nαc − 2nα2n
x1‖ ¬
1cn‖(b2nαc − 2nα)x1‖ ¬
1cnK1(x1)
n→∞→ 0.
Stąd
limn→∞(αnx1) = αx1 dla każdego x1 ∈ X1. (3.15)
Analogicznie
limn→∞(αnx2) = αx2 dla każdego x2 ∈ X2. (3.16)
Pokażemy jednorodność f . Z własności funkcji addytywnych wynika, że f jest Q-
jednorodna, tzn. f(αx1) = αf(x1) dla α ∈ Q, x1 ∈ X1 (np. ([18], rozdz. 12, tw. 4.1).
Niech α ∈ R, x1 ∈ X1. Wtedy z (3.15), ciągłości f , Q-jednorodności f oraz z (3.16)
otrzymujemy
f(αx1) = f( limn→∞(αnx1)) = lim
n→∞f(αnx1) =
limn→∞(αnf(x1)) = αf(x1).
2
Założenie, że f jest surjekcją we wniosku 3.6 jest istotne, nawet gdy X1, X2 są prze-
strzeniami unormowanymi. Funkcja f : R → R2 określona wzorem f(x) = (x, sinx)
dla x ∈ R, jest izometrią przestrzeni euklidesowej R w przestrzeń R2, z normą „mak-
simum”, ale f nie jest liniowa.
22
-
Uwaga 3.7. Jeżeli F-norma ‖ · ‖ w przestrzeni liniowej X spełnia warunek:
dla dowolnego x ∈ X, dowolnego ciągu (αn) ⊂ R
jeśli αn → 0, to αnx→ 0, (3.17)
to spełnia również warunek (3.12).
Dla ustalonego x ∈ X funkcja R 3 α 7→ αx ∈ X jest bowiem homomorfizmem
grupy topologicznej (R,+) w grupę topologiczną (X,+) (z topologią wyznaczoną przez
‖ · ‖), który wobec (3.17), jest ciągły w 0, a więc jest ciągły w R. Z ciągłości F-
normy otrzymujemy ciągłość, a stąd także mierzalność w sensie Lebesgue’a, funkcji
R 3 α 7→ ‖αx‖ ∈ R.
Uwaga 3.8. F-norma ‖·‖ w przestrzeni liniowejX spełniająca (3.12), nie musi spełniać
warunku (3.17).
Istotnie, niech X będzie niezerową przestrzenią liniową, ‖·‖1 p-jednorodną F-normą
w X, zaś ‖x‖2 = 1 gdy x 6= 0 , ‖0‖2 = 0. Wtedy ‖ · ‖ := ‖ · ‖1 + ‖ · ‖2 jest F-normą
spełniającą (3.12), która nie spełnia (3.17).
Uwaga 3.9. Jeżeli F-norma ‖ · ‖ w przestrzeni liniowej X spełnia warunki (3.12) i
(3.11), to spełnia także warunek (3.17).
Niech (αn) ⊂ R, αn → 0, x ∈ X. Z warunku (3.12) oraz lematu A.12 wynika,
że istnieje K(x) > 0 takie, że ‖αx‖ ¬ K(x) dla każdego α ∈ (−1, 1). Na podstawie
lematu A.10 istnieje ciąg (ln) ⊂ N taki, że ln → ∞ oraz 2lnαn → 0. Zatem dla
dostatecznie dużych n (n większych od pewnego n0 ∈ N) |2lnαn| < 1. Korzystając z
(3.11), otrzymujemy
cln‖αnx‖ ¬ ‖αn2lnx‖ ¬ K(x) dla n n0.
Stąd ‖αnx‖ ¬ K(x)cln → 0 przy n→∞.
Założenie, że c > 1 w warunku (3.11), jest dla wniosku 3.6 założeniem istotnym.
Przykład 3.10. Niech c1, c2 > 0, c1 ¬ 2c2. Niech ‖x‖ = c1 dla x ∈ Q \ {0}, ‖x‖ = c2dla x ∈ R\Q, ‖0‖ = 0. Wtedy ‖ · ‖ jest F-normą w R, spełniającą (3.12) oraz (3.11), z
c = 1 (dokładniej ‖2x‖ = ‖x‖ dla x ∈ R). Dla dowolnej bijekcji g1 : Q\{0} → Q\{0},
funkcja U : R→ R, U(x) = g1(x) dla x ∈ Q \ {0}, U(x) = x dla R \Q, U(0) = 0, jest
surjektywną izometrią przestrzeni (R, ‖ · ‖) na siebie, która nie musi być addytywna.
23
-
Spełnianie przez F-normy w X1 i X2 warunku (3.12) jest istotne dla liniowości
izometrii f we wniosku 3.6.
Przykład 3.11. Niech f : R → R będzie funkcją addytywną, nieciągłą i bijektywną
(istnienie takich funkcji wynika z lematu A.8), p ∈ (0, 1] i niech ‖x‖1 = |f(x)|p,
‖x‖2 = |x|p dla x ∈ R. Wówczas ‖·‖1, ‖·‖2 są F-normami w R, spełniającymi warunek
(3.11), z c = 2p. Ponieważ ‖f(x)− f(y)‖2 = ‖f(x− y)‖2 = ‖x− y‖1 dla x, y ∈ R, to f
jest (surjektywną, addytywną) izometrią przestrzeni (R, ‖ ·‖1) na przestrzeń (R, ‖ ·‖2).
Oczywiście f spełnia warunek f(0) = 0. Jednak f nie jest liniowa.
Zauważmy, że ‖ · ‖2, z przykładu 3.11, spełnia warunek (3.12), natomiast ‖ · ‖1tego warunku nie spełnia. Istotnie, gdyby ‖ · ‖1 spełniała (3.12), to ustalając x =
1, otrzymalibyśmy, że f jest ograniczona na pewnym zbiorze T ⊂ R takim, że dla
pewnego n ∈ N zbiór T + · · ·+ T︸ ︷︷ ︸n
ma dodatnią miarę wewnętrzną Lebesgue’a lub
jest zbiorem drugiej kategorii o własności Baire’a. Z własności funkcji addytywnych
wynikałoby więc, że f jest funkcją ciągłą ([10], rozdz. 9, §3, tw. 3), co jest sprzeczne z
założeniem. Zauważmy również, że dla funkcji f z przykładu 3.11, f−1 jest surjektywną
izometrią z (R, ‖ · ‖2) na (R, ‖ · ‖1) taką, że f−1(0) = 0, F-norma w dziedzinie funkcji
f−1 spełnia (3.12), natomiast F-norma w przeciwdziedzinie tego warunku nie spełnia.
Jednak f−1 nie jest liniowa. Oznacza to, że we wniosku 3.6 nie wystarczy założyć
warunku (3.12) tylko dla jednej przestrzeni.
24
-
Rozdział 4
Przestrzenie z 2-p-jednorodnymi
F-normami
W rozdziale tym wprowadzamy pojęcie 2-p-jednorodnej F-normy na przestrzeni li-
niowej oraz podajemy pewne przykłady takich funkcji. Podamy również przykłady
zupełnych 2-p-jednorodnych F-norm, które nie są p-jednorodnymi F-normami.
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową.
Definicja 4.1. Niech p ∈ (0, 1]. F-normę ‖ · ‖ : X → [0,∞) spełniającą dla dowolnego
x ∈ X warunek ‖2x‖ = 2p‖x‖, nazywamy 2-p-jednorodną F-normą.
Parę (X, ‖ · ‖) nazywamy wówczas przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą.
Oczywiście każda p-jednorodna F-norma jest 2-p-jednorodną F-normą. Jednak nie
każda 2-p-jednorodna F-norma jest p-jednorodną F-normą (zob. przykład 4.3 i wniosek
4.8). Zauważmy, że dowolna 2-p-jednorodna F-norma spełnia warunek (3.11) (oraz, dla
dowolnego r > 0, równoważny warunek (3.2)). Zauważmy również, że jeżeli (X, ‖ · ‖)
jest przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą oraz r ∈ (0, 1], to (X, ‖·‖r) jest przestrzenią
z 2-pr-jednorodną F-normą.
Jeśli F-norma ‖·‖ spełnia warunek: istnieje c > 1 takie, że dla każdego x ∈ X zachodzi
‖2x‖ = c‖x‖, to c ¬ 2 oraz ‖ · ‖ jest p-jednorodna, z p = log2 c (por. uwagę 3.4 lub
uwagę po definicji 2.3).
Oczywiście zachodzi następujący
25
-
Lemat 4.2. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą. Wtedy dla
dowolnych x ∈ X oraz n ∈ Z mamy
‖2nx‖ = 2np‖x‖. (4.1)
Przykład 4.3. Niech a : R→ R będzie funkcją addytywną, nieciągłą, p ∈ (0, 1] i niech
‖x‖a := |a(x)|p dla x ∈ R. Jeżeli a jest różnowartościowa, to ‖ · ‖a jest 2-p-jednorodną
F-normą w R, która jest zupełna, gdy a jest bijekcją.
Oczywiście ‖ · ‖a jest F-normą. Ponadto spełnia warunek ‖λx‖a = |λ|p‖x‖a dla
λ ∈ Q, x ∈ R. W szczególności jest 2-p-jednorodna. Jeżeli a jest bijekcją, to przestrzeń
metryczna (R, ‖ · ‖a) jest izometryczna z zupełną przestrzenią metryczną (R, | · |p)
(funkcja a : R → R jest izometrią przestrzeni (R, ‖ · ‖a) na (R, | · |p)), a więc jest
zupełna.
Lemat 4.4. Niech p ∈ (0, 1) i niech f : [1, 2] → [0,∞) będzie funkcją spełniającą
warunki:
1. f(1) > 0,
2. f(2) = 2pf(1),
3. f jest rosnąca,
4. funkcja [1, 2] 3 x 7→ f(x)x∈ [0,∞) jest malejąca.
Wtedy funkcja g : [0,∞)→ [0,∞) określona wzorem
g(x) =
2npf( x2n ) dla x ∈ [2
n, 2n+1], n ∈ Z,
0 dla x = 0
jest rosnąca, ciągła i g|[1,2] = f .
Ponadto, dla x, y ∈ [0,∞), mamy
g(x) = 0⇔ x = 0, (4.2)
g(2x) = 2pg(x), (4.3)
g(x+ y) ¬ g(x) + g(y). (4.4)
Dowód. Bez straty ogólności można założyć, że f(1) = 1. Istotnie, jeśli c := f(1),
to funkcja 1cf spełnia warunki 1.-4. oraz dla x = 1 przyjmuje wartość 1.
26
-
Oczywiście dla każdego x ∈ (0,∞) istnieje n ∈ Z takie, że x ∈ [2n, 2n+1], a jeśli x nie
jest postaci 2k, gdzie k ∈ Z, takie n jest dokładnie jedno. Jeśli x = 2n, gdzie n ∈ Z,
to x ∈ [2n, 2n+1] oraz x ∈ [2n−1, 2n]. Ponieważ jednak 2npf(2n2n ) = 2npf(1) = 2np oraz
2(n−1)pf( 2n
2n−1 ) = 2(n−1)p2p = 2np, to g(2n) jest jednoznacznie określona. Oczywiście
g(x) > 0 dla x ∈ (0,∞) oraz g(x) = f(x) dla x ∈ [1, 2].
Z warunku 3. wynika, że g jest rosnąca na każdym przedziale postaci [2n, 2n+1], gdzie
n ∈ Z, stąd jest rosnąca na (0,∞), a ponieważ g(0) = 0, to również na [0,∞).
Pokażemy, że funkcja g(x)xjest malejąca na (0,∞).
Dla dowolnego n ∈ Z i dowolnych x1, x2 ∈ [2n, 2n+1] takich, że x1 < x2 mamy, żex12n ,x22n ∈ [1, 2] i
x12n <
x22n . Z warunku 4. otrzymujemy więc, że
f( x22n )x22n¬ f(
x12n )x12n. Stąd
g(x2)x2=2npf(x22n )x2
=2np
2nf(x22n )x22n¬ 2
np
2nf(x12n )x12n=2npf(x12n )x1
=g(x1)x1.
Zatem funkcja g(x)xjest malejąca na każdym przedziale postaci [2n, 2n+1], jest więc
malejąca na przedziale (0,∞).
Z własności funkcji rosnących, dla x0 > 0 mamy
limx→x−0g(x) ¬ g(x0) ¬ lim
x→x+0g(x).
Z własności funkcji malejących, dla x0 > 0 mamy
1x0limx→x−0g(x) = lim
x→x−0
g(x)x g(x0)x0 limx→x+0
g(x)x=1x0limx→x+0g(x).
Stąd
limx→x−0g(x) g(x0) lim
x→x+0g(x).
Zatem limx→x−0 g(x) = g(x0) = limx→x+0 g(x). Z tego wynika, że g jest ciągła na
(0,∞). Oczywiście dla każdego n ∈ Z zachodzi równość g(2−n) = 2−np, gdyż 2−n ∈
[2−n, 2−n+1]. Ponieważ 0 ¬ limx→0+ g(x) = infx>0 g(x) ¬ g(2−n) = 2−np → 0 przy
n→∞, to g jest ciągła na [0,∞).
Pokażemy, że g spełnia warunki (4.2), (4.3), (4.4).
Ponieważ g(x) > 0 dla x ∈ (0,∞) i g(0) = 0, to jest spełniony warunek (4.2).
Jeśli x = 0, to (4.3) zachodzi. Jeśli x ∈ [2n, 2n+1], gdzie n ∈ Z, to 2x ∈ [2n+1, 2n+2].
Stąd
g(2x) = 2(n+1)pf(2x2n+1) = 2p2npf(
x
2n) = 2pg(x).
27
-
Nierówność (4.4) jest oczywista gdy x = 0 lub y = 0. Dla x, y > 0 mamy
g(x+ y) = xg(x+ y)x+ y
+ yg(x+ y)x+ y
¬ xg(x)x+ yg(y)y= g(x) + g(y).
2
Przykłady funkcji spełniających założenia lematu 4.4.
Przykład 4.5. Niech f(x) = xp dla x ∈ [1, 2], gdzie p ∈ (0, 1]. Wtedy g(x) = xp dla
x ∈ [0,∞).
Przykład 4.6. Niech f(x) = (2p − 1)x+ (2− 2p) dla x ∈ [1, 2], gdzie p ∈ (0, 1].
Wykresem f jest odcinek prostej łączący punkty (1, 1), (2, 2p) wykresu funkcji potę-
gowej [0,∞) 3 x 7→ xp ∈ R. Wtedy
g(x) = 2np((2p − 1) x
2n+ (2− 2p)
)=2(n+1)p − 2np
2nx+ 2np+1 − 2(n+1)p
dla x ∈ [2n, 2n+1] oraz g(0) = 0.
Wykresem g jest krzywa będąca sumą punktu (0, 0) oraz odcinków łączących kolejne
punkty (2n, 2np), (2(n+1), 2(n+1)p), n ∈ Z, wykresu funkcji [0,∞) 3 x 7→ xp ∈ R.
Twierdzenie 4.7. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią unormowaną oraz p ∈ (0, 1].
Załóżmy, że g : [0,∞)→ [0,∞) jest funkcją rosnącą spełniającą warunki (4.2), (4.3),
(4.4). Wtedy funkcja |||x||| := g(‖x‖) dla x ∈ X jest 2-p-jednorodną F-normą w X.
Ponadto, jeżeli g jest ciągła, to metryka wyznaczona przez 2-p-jednorodną F-normę
||| · ||| jest równoważna metryce wyznaczonej przez normę ‖ · ‖ i w konsekwencji prze-
strzeń (X, ||| · |||) jest przestrzenią liniowo-metryczną. Przestrzeń ta jest zupełna wtedy
i tylko wtedy, gdy (X, ‖ · ‖) jest przestrzenią Banacha.
Funkcję g spełniającą założenia twierdzenia 4.7 można otrzymać w sposób opisany
w lemacie 4.4.
Dowód. Pokażemy, że ||| · ||| jest 2-p-jednorodną F-normą.
Z (4.2) mamy
|||x||| = 0⇔ g(‖x‖) = 0⇔ ‖x‖ = 0⇔ x = 0.
Oczywiście ||| − x||| = g(‖ − x‖) = g(‖x‖) = |||x|||.
Z monotoniczności g oraz (4.4) mamy
|||x+ y||| = g(‖x+ y‖) ¬ g(‖x‖+ ‖y‖) ¬ g(‖x‖) + g(‖y‖) = |||x|||+ |||y|||.
28
-
Z (4.3) wynika, że |||2x||| = g(‖2x‖) = g(2‖x‖) = 2pg(‖x‖) = 2p|||x||| dla x ∈ X.
Zatem ||| · ||| jest 2-p-jednorodną F-normą.
Załóżmy dodatkowo, że g jest ciągła. Pokażemy, że metryka d(x, y) = ‖x − y‖ jest
równoważna metryce %(x, y) = |||x− y|||.
Niech (xn) ⊂ X, x ∈ X.
Załóżmy, że ‖xn − x‖ → 0. Wtedy z ciągłości g otrzymujemy:
limn→∞|||xn − x||| = g( lim
n→∞‖xn − x‖) = g(0) = 0.
Załóżmy, że |||xn − x||| → 0. Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje n0 ∈ N takie, że
g(‖xn − x‖) < g(ε) dla n > n0. Stąd oraz z monotoniczności g otrzymujemy, że
‖xn − x‖ < ε dla n > n0. Zatem ‖xn − x‖ → 0.
Ostatnia część twierdzenia wynika z następującego faktu ([16], s. 32):
Jeżeli d1, d2 są metrykami na przestrzeni liniowej X, które są równoważne i niezmien-
nicze na przesunięcia, to d1 jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy d2 jest zupełna. 2
Wniosek 4.8. Niech (X, ‖ · ‖) będzie niezerową przestrzenią unormowaną, p ∈ (0, 1)
i niech g(x) = 2(n+1)p−2np2n x + 2
np+1 − 2(n+1)p dla x ∈ [2n, 2n+1] oraz g(0) = 0. Wtedy
funkcja |||x||| = g(‖x‖) dla x ∈ X jest 2-p-jednorodną F-normą (zupełną wtedy i tylko
wtedy, gdy ‖ · ‖ jest zupełna) i nie jest p-jednorodną F-normą.
Dokładniej: λ ∈ R spełnia warunek:
|||λx||| = |λ|p|||x||| dla każdego x ∈ X (4.5)
wtedy i tylko wtedy, gdy λ = 0 lub jest postaci λ = α2k, gdzie k ∈ Z, |α| = 1, α ∈ R.
Dowód. g jest funkcją z przykładu 4.6. Zatem spełnia ona założenia twierdzenia 4.7.
Jest więc 2-p-jednorodną F-normą. Przechodzimy do dowodu drugiej części wniosku.
Oczywiście λ = 0 spełnia warunek (4.5). Z (4.3) wynika, że dla każdego x ∈ X, k ∈ Z,
|α| = 1, α ∈ R mamy
|||α2kx||| = g(‖α2kx‖) = g(‖2kx‖) = |||2kx||| = 2kp|||x||| = |α2k|p|||x|||.
Niech λ 6= 0, λ 6= α2k dla k ∈ Z, |α| = 1, α ∈ R i niech ‖x0‖ = 1, x0 ∈ X. Wtedy
istnieje m ∈ Z takie, że |λ| ∈ (2m, 2m+1). Ponieważ funkcja potęgowa (0,∞) 3 t 7→
tp ∈ R jest ściśle wklęsła, to2(m+1)p − 2mp
2mt+ 2mp+1 − 2(m+1)p < tp dla t ∈ (2m, 2m+1),
29
-
gdyż lewa strona powyższej nierówności jest równaniem siecznej łączącej punkty (2m, 2mp),
(2(m+1), 2(m+1)p) wykresu funkcji (0,∞) 3 t 7→ tp ∈ R. W szczególności g(|λ|) < |λ|p.
Stąd
|||λx0||| = g(|λ|‖x0‖) = g(|λ|) < |λ|p = |λ|p|||x0|||.
Zatem nie jest spełniony warunek (4.5). 2
Z wniosku 4.8 oraz faktu, że na każdej przestrzeni liniowej X nad R można określić
normę wynika, że jeśli X 6= {0}, to dla dowolnego p ∈ (0, 1) istnieje 2-p-jednorodna
F-norma na X, która nie jest p-jednorodną F-normą. Dokładniej, istnieje taka 2-p-
jednorodna F-norma ||| · ||| na X, która spełnia warunek (4.5) wtedy i tylko wtedy,
gdy λ = 0 lub λ = ±2k, gdzie k ∈ Z (por. lemat 4.2).
30
-
Rozdział 5
Stabilność izometrii w
przestrzeniach z 2-p-jednorodnymi
F-normami
W rozdziale tym opisujemy asymtotyczne zachowanie (r, δ)-izometrii w przestrzeniach
z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Dowodzimy (tw. 5.5, tw. 5.6), że dla każdej
bijektywnej (r, δ)-izometrii f : X → Y takiej, że f(0) = 0 funkcja U : X → Y ,
U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X, jest surjektywną, addytywną izometrią i istnieje
stała L > 0, zależna od p, r, taka że ‖f(x) − U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ 1r ) dla x ∈ X,
gdy pr < 1, oraz ‖f(x) − U(x)‖ ¬ Lδ 1r dla x ∈ X, gdy pr > 1. W obu przypadkach,
o ile X 6= {0}, otrzymujemy, że ‖f(x) − U(x)‖ = o(‖x‖) przy ‖x‖ → ∞ oraz U jest
jedyną addytywną izometrią z X w Y spełniającą ten warunek. W przypadku, gdy
pr < 1 znajdziemy przestrzenie z p-jednorodnymi F-normami X, Y oraz bijektywną
(r, δ)-izometrię f : X → Y taką, że równość supx∈X ‖f(x)− V (x)‖ =∞ zachodzi dla
każdej izometrii V : X → Y .
W rozdziale tym podajemy także uogólnienie twierdzenia 2.11 na przypadek, gdy X, Y
są równolicznymi przestrzeniami z zupełnymi, 2-p-jednorodnymi F-normami.
Lemat 5.1. Niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi F-normami,
V : X → Y addytywną izometrią, a f : X → Y funkcją taką, że ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy
‖x‖ → ∞. Wtedy dla każdego x ∈ X istnieje granica limn→∞ f(2nx)2n oraz limn→∞
f(2nx)2n =
V (x).
31
-
Dowód. Ustalmy x0 ∈ X \ {0}. Dla n ∈ N mamy
‖f(2nx0)2n
− V (x0)‖ =‖f(2nx0)− V (2nx0)‖
2np=‖f(2nx0)− V (2nx0)‖
‖2nx0‖· ‖2
nx0‖2np
=
‖f(2nx0)− V (2nx0)‖‖2nx0‖
‖x0‖ → 0
przy n→∞, gdyż ‖2nx0‖ = 2np‖x0‖ → ∞ przy n→∞.
Dla x0 = 0, ze względu na addytywność V , mamy
‖f(2nx0)2n
− V (x0)‖ = ‖f(0)2n‖ = ‖f(0)‖
2np→ 0
przy n→∞. 2
Gdy X i Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi F-normami, problem Ulama dla izo-
metrii pomiędzy przestrzeniami (X, ‖·‖r), (Y, ‖·‖r), może mieć negatywne rozwiązanie
w przypadku, gdy pr < 1.
Stwierdzenie 5.2. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi,
że pr < 1, X = Y = R, ‖x‖ := |x|p dla x ∈ R. Wtedy funkcja f : R → R określona
wzorem f(x) = x + δ|x|1−pr dla x ∈ R jest surjektywną (r, 2δ)-izometrią z (X, ‖ · ‖)
na (Y, ‖ · ‖) taką, że dla każdej izometrii U : R → R przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖)
zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.
Dowód. Pokażemy najpierw, że f jest (r, 2δ)-izometrią. Rozważmy dowolne x, y ∈ X
i oznaczmy
A := |‖f(x)− f(y)‖r − ‖x− y‖r|.
Rozpatrzymy dwa przypadki:
10 |x| 6= |y|,
20 |x| = |y|.
Przypadek 1.
Ze względu na symetrię A wystarczy rozważyć sytuację, gdy |x| > |y|.
Dla x, y 6= 0, korzystając z lematu A.2, mamy
A = |‖x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr‖r − ‖x− y‖r| =
| |x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr|pr − |x− y|pr| ¬
2 · | |x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr| − |x− y| |
|x− y + δ|x|1−pr − δ|y|1−pr|1−pr + |x− y|1−pr¬
32
-
2δ · | |x|1−pr − |y|1−pr ||x− y|1−pr
¬ 2δ · | |x|1−pr − |y|1−pr |(|x| − |y|)1−pr
¬
2δ( |x||y|)
1−pr − 1
( |x||y| − 1)1−pr.
Stąd oraz z lematu A.3 otrzymujemy, że A ¬ 2δ.
Gdy y = 0, x 6= 0, korzystając z lematu A.2, mamy:
A = | ‖f(x)‖r − ‖x‖r| = ||x+ δ|x|1−pr|pr − |x|pr| ¬
2 · | |x+ δ|x|1−pr| − |x| |
|x+ δ|x|1−pr|1−pr + |x|1−pr¬ 2 · δ|x|
1−pr
|x|1−pr¬ 2δ.
Przypadek 2.
Dla x = y mamy A = 0. Gdy x = −y, y 6= 0, mamy
A = | ‖ − y + δ|y|1−pr − y − δ|y|1−pr‖r − ‖ − 2y‖r| = 0.
W ten sposób udowodniliśmy, że f jest (r, 2δ)-izometrią.
Na podstawie lematu A.5 f jest surjektywna. Niech U : R → R będzie izometrią
przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖). Wtedy U jest również izometrią przestrzeni (R, | · |) w
(R, | · |). Z lematu A.11 wynika więc, że istnieją stałe a, b ∈ R takie, że U(x) = ax+ b
dla x ∈ R. Ponieważ ‖U(x)−U(y)‖ = ‖x− y‖ dla x, y ∈ R, to |a|p · |x− y|p = |x− y|p
dla x, y ∈ R. Stąd a = 1 lub a = −1. Zatem U jest postaci U(x) = x + b dla x ∈ R
lub U(x) = −x+ b dla x ∈ R, gdzie b ∈ R. W pierwszym przypadku ‖f(x)−U(x)‖ =
|δ|x|1−pr− b|p →∞ przy x→∞. W drugim ‖f(x)−U(x)‖ = |2x+ δ|x|1−pr− b|p →∞
przy x→∞. Zatem supx∈R‖f(x)− U(x)‖ =∞ dla każdej izometrii U : X → Y . 2
Następne twierdzenie jest modyfikacją przykładu 2.2 z [22]. Pokazuje ono, że w
obszernej klasie przestrzeni z zupełnymi p-jednorodnymi F-normami, jakimi są prze-
strzenie Lp(µ), gdzie µ jest miarą σ-skończoną, nie ma stabilności, jeśli dodatkowo
założymy, że aproksymująca izometria ma być afiniczna.
33
-
Twierdzenie 5.3. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z niezerową miarą σ-skończoną,
p ∈ (0, 1), δ > 0. Załóżmy ponadto, że gdy µ(X) = ∞, (Xn)∞n=1 jest ustalonym
ciągiem zbiorów mierzalnych, parami rozłącznych, których sumą jest X takich, że
0 < µ(Xn) < ∞ (zob. lemat A.9), a h : X → (0,∞) jest funkcją określoną wzo-
rami h(t) = 1n2
1µ(Xn)
dla t ∈ Xn, n ∈ N.
Niech
Φ(f) := f +δ
µ(X)|f |1−p dla f ∈ Lp(µ),
w przypadku, gdy µ jest miarą skończoną, oraz
Φ(f) := f +δ∫
X hdµh|f |1−p dla f ∈ Lp(µ),
gdy µ(X) =∞.
Wtedy Φ jest surjektywną 2δ-izometrią rzeczywistej przestrzeni Lp(µ) na Lp(µ) oraz
supf∈Lp(µ)‖Φ(f) − U(f)‖ = ∞ dla każdej afinicznej (w szczególności, wobec tw. 2.12,
dla każdej surjektywnej) izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).
Dowód. Załóżmy najpierw, że µ(X) 1}
|f1|p|f1|−p2dµ ¬
∫X|f1|pdµ+
δp
µ(X)p
∫Xdµ+
δp
µ(X)p
∫X|f1|pdµ
-
Zatem Φ jest dobrze określoną funkcją na Lp(µ) o wartościach w Lp(µ).
Na podstawie stwierdzenia 5.2, funkcja R 3 t 7→ t+ δµ(X) |t|
1−p ∈ R jest 2 δµ(X) -izometrią
przestrzeni (R, | · |p) na siebie, stąd∣∣∣|a+ δ
µ(X)|a|1−p − b− δ
µ(X)|b|1−p|p − |a− b|p
∣∣∣ ¬ 2 δµ(X)
dla a, b ∈ R.
Korzystając z tej nierówności (z f(t), g(t) w miejsce a, b) otrzymujemy
|‖Φ(f)− Φ(g)‖ − ‖f − g‖| =∣∣∣ ∫X|f(t)− g(t) + δ
µ(X)|f(t)|1−p − δ
µ(X)|g(t)|1−p|pdµ−
∫X|f(t)− g(t)|pdµ
∣∣∣ ¬∫X
∣∣∣|f(t)− g(t) + δµ(X)
|f(t)|1−p − δµ(X)
|g(t)|1−p|p − |f(t)− g(t)|p∣∣∣dµ ¬
∫X2δ
µ(X)dµ = 2δ dla f, g ∈ Lp(µ).
Zatem Φ jest 2δ-izometrią.
Oznaczmy przez φ, φ̂ funkcje przekształcające R w R określone wzorami: φ(x) =
x+ δµ(X) |x|
1−p dla x ∈ R oraz (zob. lemat A.5)
φ̂(y) =
(φ|[0,∞))−1(y) dla y ∈ [0,∞);
(φ|(−∞,− δ
1p
µ(X)1p))−1(y) dla y ∈ (−∞, 0).
Na podstawie lematu A.5 i znanych własności ciągłych funkcji monotonicznych ([5],
rozdz. II, ust. 83, s. 146), φ̂ jest ciągła na przedziałach (−∞, 0), [0,∞), a więc jest bo-
relowska. Ponadto φ̂ jest ściśle rosnąca na tych przedziałach, φ̂(0) = 0, limx→0− φ̂(x) =
− δ1p
µ(X)1p, jest zatem ściśle rosnąca na R. Ponieważ
(φ ◦ φ̂)(y) =
(φ|[0,∞) ◦ (φ|[0,∞))−1
)(y) = y dla y ∈ [0,∞);(
φ|(−∞,− δ
1p
µ(X)1p)◦ (φ|
(−∞,− δ1p
µ(X)1p))−1
)(y) = y dla y ∈ (−∞, 0),
to
φ ◦ φ̂ = idR . (5.1)
Pokażemy, że dla dowolnej funkcji g1 ∈ Lp(µ) funkcja f1 := φ̂ ◦ g1 należy do Lp(µ).
Oczywiście f1 jest mierzalna, jako złożenie funkcji borelowskiej φ̂ z funkcją mierzalną
g1. Aby wykazać całkowalność |f1|p, rozważymy najpierw trzy przypadki szczególne
dotyczące g1.
35
-
I. g1(x) 0 dla każdego x ∈ X.
Wtedy f1 0. Z równości φ◦f1 = g1 otrzymujemy, że f1(x) ¬ f1(x)+ δµ(X) |f1(x)|1−p =
g1(x) dla x ∈ X. Ponieważ∫X |g1|pdµ
-
Przypuśćmy, że istnieje afiniczna izometria U : Lp(µ)→ Lp(µ) taka, że
supf∈Lp(µ)‖Φ(f)− U(f)‖ =: K
-
δµ̃(X) |f̃ |
1−p dla f̃ ∈ Lp(µ̃), jest surjektywną 2δ-izometrią z Lp(µ̃) na Lp(µ̃). Stąd i z
lematu 3.2 wynika, że funkcja Ψ ◦ Φ̃ ◦ Ψ−1 jest surjektywną 2δ-izometrią z Lp(µ) na
Lp(µ). Ponieważ dla dowolnego f ∈ Lp(µ)
(Ψ◦Φ̃◦Ψ−1)(f) = (Ψ◦Φ̃)(h−1pf) = Ψ(h−
1pf+
δ
µ̃(X)h−(1−p)p |f |1−p) = f+ δ∫
X hdµh|f |1−p = Φ(f),
to Φ jest surjektywną 2δ-izometrią.
Niech U : Lp(µ) → Lp(µ) będzie afiniczną izometrią. Wówczas Ũ := Ψ−1 ◦ U ◦ Ψ
jest afiniczną izometrią z Lp(µ̃) w Lp(µ̃). Stąd, na podstawie pierwszej części dowodu,
supf∈Lp(µ)‖Φ(f)−U(f)‖ = supf̃∈Lp(µ̃)‖Φ̃(f̃)− (Ψ−1 ◦U ◦Ψ)(f̃)‖ = supf̃∈Lp(µ̃)‖Φ̃(f̃)−
Ũ(f̃‖ =∞. 2
Przyjmując w twierdzeniu 5.3, że X = N, S = 2N, µ jest „miarą liczącą” , Xn = {n}
dla n ∈ N, dostaniemy, że h = ( 1n2)∞n=1 oraz
∫X hdµ =
∑∞n=1
1n2= π
2
6 . W konsekwencji
funkcja Φ jest określona wzorem Φ((an)) = (an+ 6δπn2 |an|1−p) dla (an) ∈ lp i przekształca
lp na lp.
Przyjmując zaś X = {1}, S = 2X , µ(∅) = 0, µ({1}) = 1 oraz podstawiając pr w
miejsce p, otrzymujemy, że Φ jest określona wzorem Φ(x) = x + δ|x|1−pr dla x ∈ R i
przekształca R na R (por. stw. 5.2).
Poniższy lemat 5.4 będzie wykorzystywany do dowodu surjektywności funkcji U w
twierdzeniach 5.5 i 5.6.
Lemat 5.4. Niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z 2-p-jednorodnymi F-normami i
niech X będzie zupełna. Jeżeli f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą
warunek f(0) = 0, a U : X → Y addytywną izometrią taką, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy
‖x‖ → ∞, to U jest surjekcją.
Dowód. Oczywiście U(0) = 0. Niech w ∈ Y , w 6= 0. Z surjektywności f istnieje
ciąg (xn) ⊂ X taki, że f(xn) = 2nw dla n ∈ N. Z (3.1) otrzymujemy
‖xn‖r − δ ¬ ‖f(xn)‖r ¬ ‖xn‖r + δ,
a następnie‖xn‖r
2npr− δ2npr¬ ‖w‖r ¬ ‖xn‖
r
2npr+δ
2npr
dla n ∈ N.
Stąd
lim supn→∞
(‖xn‖r2npr
− δ2npr
)¬ ‖w‖r ¬ lim inf
n→∞
(‖xn‖r2npr
+δ
2npr).
38
-
Zatem istnieje granica limn→∞‖xn‖r2npr oraz limn→∞
‖xn‖r2npr = ‖w‖
r. Z tego wynika, że
limn→∞‖xn‖2np = ‖w‖ oraz limn→∞ ‖xn‖ = limn→∞(
‖xn‖2np 2
np) =∞. Ponieważ
‖w−U(xn2n)‖ = ‖f(xn)
2n− 12nU(xn)‖ =
‖f(xn)− U(xn)‖2np
=‖f(xn)− U(xn)‖
‖xn‖·‖xn‖2np
n→∞→ 0,
to w ∈ cl(U(X)). U jest izometrią, X jest przestrzenią zupełną, więc z lematu A.7
otrzymujemy, że cl(U(X)) = U(X). Zatem w ∈ U(X)). 2
Twierdzenie 5.5. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, pr < 1, δ > 0 i niech X, Y będą prze-
strzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest
bijektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna
addytywna izometria U : X → Y oraz stała L > 0, zależna od p, r, takie że
‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) (5.4)
dla x ∈ X.
Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.
Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,
że X jest niezerowa. Ustalmy x, y ∈ X. Niech I := ‖f(x+y2 )−f(x)+f(y)2 ‖. Z lematu 3.3
wynika, że
I ¬ C1‖x− y‖2pn
+C22pn+ C3 · 2n(
1r−p) + C4 · 2n(
1r−p)(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C5
dla n 3, n ∈ N,
gdzie C1 > 0 zależy od r, zaś C2, C3, C4, C5 są postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r dla i = 2, 3, 4, 5
oraz C ′i(p, r) > 0.
Zatem
I ¬ C1‖x− y‖2pn
+ 2n(1r−p)δ
1r
[C ′22
−nr + C ′3 + C
′4
(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C ′52−n( 1
r−p)]
dla n 3, n ∈ N.
Ponieważ ciągi 2−nr ,2−n(
1r−p), (2pr−1)n−2 są zbieżne, to istnieje stała C ′6 > 0, zależna
od p, r taka, że
I ¬ C1‖x− y‖2pn
+ C ′6δ1r 2n(
1r−p) = C ′6δ
1r
(C1‖x− y‖C ′6δ
1r
· 12pn+ 2n(
1r−p))
dla n 3, n ∈ N..
Stąd oraz z lematu A.6 otrzymujemy
I ¬ C ′6δ1r infn3
(C1‖x− y‖C ′6δ
1r
· 12pn+ 2n(
1r−p))¬
39
-
C ′6δ1r
[23(
1r−p)
pr+(21r−p+1 + 2p+1
)( C1C ′6δ
1r
)1−pr‖x− y‖1−pr
]=
C ′6(C1C ′6
)1−pr(21r−p+1 + 2p+1
)δ−1r(1−pr)δ
1r ‖x− y‖1−pr + C ′6δ
1r23(
1r−p)
pr=
δpK1‖x− y‖1−pr + δ1rK2,
gdzie K1, K2 są pewnymi stałymi zależnymi od p, r.
Zatem
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖ ¬ K(δp‖x− y‖1−pr + δ
1r ) (5.5)
dla x, y ∈ X, gdzie K := max{K1, K2}.
Podstawiając w (5.5) x = 2nz, y = 0, dostajemy
‖f(2n−1z)− f(2nz)2‖ ¬ K(δp2np(1−pr)‖z‖1−pr + δ
1r )
dla n ∈ N, z ∈ X.
Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, otrzymujemy
‖f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n‖ ¬ K
(δp2p2−np
2r‖z‖1−pr + δ1r
2(n−1)p)
(5.6)
dla n ∈ N, z ∈ X.
Wobec zupełności Y wynika stąd, że dla dowolnego z ∈ X szereg∑∞n=1(f(2n−1z)2n−1 − f(2nz)2n )jest zbieżny do f(z) − limn→∞ f(2
nz)2n . Niech U(z) := limn→∞
f(2nz)2n dla z ∈ X. Korzy-
stając z (5.6), otrzymujemy
‖f(z)− U(z)‖ = ‖∞∑n=1
(f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n
)‖ ¬
∞∑n=1
‖f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n‖ ¬ K
(δp2p‖z‖1−pr
∞∑n=1
2−np2r + δ
1r
∞∑n=1
12(n−1)p
)dla z ∈ X.
Istnieje zatem stała L > 0 (zależna od p, r) taka że
‖f(z)− U(z)‖ ¬ L(δp‖z‖1−pr + δ1r ) (5.7)
dla z ∈ X.
Podstawiając w (5.5) 2nx w miejsce x, oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy
‖f(2n−1(x+ y))− f(2nx) + f(2ny))2
‖ ¬ K(δp2np(1−pr)‖x− y‖1−pr + δ1r )
40
-
dla n ∈ N, x, y ∈ X.
Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy
‖f(2n−1(x+ y))2n−1
− f(2nx)2n− f(2
ny))2n‖ ¬ K
(δp2p2−np
2r‖x− y‖1−pr + δ1r
2(n−1)p)
dla n ∈ N, x, y ∈ X.
Przechodząc w powyższej nierówności do granicy przy n→∞, dostajemy
U(x+ y) = U(x) + U(y) dla x, y ∈ X.
Podstawiając w (3.1) 2nx w miejsce x oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy
|‖f(2nx)− f(2ny)‖r − ‖2nx− 2ny‖r| ¬ δ dla n ∈ N, x, y ∈ X.
W konsekwencji mamy
|‖f(2nx)2n− f(2
ny)2n‖r − ‖x− y‖r| ¬ δ
2nprdla n ∈ N, x, y ∈ X.
Przechodząc w tej nierówności do granicy przy n → ∞ i korzystając z ciągłości F-
normy w Y otrzymujemy, że dla dowolnych x, y ∈ X
|‖U(x)− U(y)‖r − ‖x− y‖r| = 0,
czyli ‖U(x) − U(y)‖ = ‖x − y‖. Zatem U jest izometrią. Z (5.7) wynika, że wówczas‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.4 otrzymujemy, więc że U jest surjekcją.
Dla dowodu jednoznaczności, załóżmy, że V : X → Y jest addytywną izometrią speł-
niającą (5.4) (z V zamiast U). Wtedy ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Stąd oraz lematu
5.1 otrzymujemy, że V (x) = limn→∞f(2nx)2n = U(x) dla x ∈ X. 2
Twierdzenie 5.6. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, pr > 1, δ > 0 i niech X, Y będą prze-
strzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest
bijektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna
addytywna izometria U : X → Y oraz stała L > 0, zależna od p, r, takie że
‖f(x)− U(x)‖ ¬ Lδ1r (5.8)
dla x ∈ X.
Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.
Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,
że X jest niezerowa. Ustalmy x, y ∈ X. Niech I := ‖f(x+y2 )−f(x)+f(y)2 ‖. Z lematu 3.3
41
-
mamy:
I ¬ C1‖x− y‖2pn
+C22pn+ C3 · 2n(
1r−p) + C4 · 2n(
1r−p)(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C5
dla n 3, n ∈ N,
gdzie C1 > 0 zależy od r, zaś C2, C3, C4, C5 są postaci Ci = C ′i(p, r)δ1r dla i = 2, 3, 4, 5
oraz C ′i(p, r) > 0.
Zatem
I ¬ C1‖x− y‖2pn
+(C ′22pn+ C ′3 · 2n(
1r−p) + C ′4 · 2n(
1r−p)(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C ′5
)δ1r
dla n 3, n ∈ N.
Przechodząc w tej nierówności do granicy przy n→∞, dostajemy
I ¬(C ′4 limn→∞
(2n(
1r−p)(1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r)+ C ′5
)δ1r =
(C ′4 limn→∞
(2n(1−pr)
1− (2pr−1)n−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C ′5
)δ1r =
(C ′4 limn→∞
(2n(1−pr) − (2pr−1)−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C ′5
)δ1r =
(C ′4
(−(2pr−1)−2
1− 2pr−1
) 1r
+ C ′5
)δ1r =
(C ′4
(1
(2pr−1 − 1)22(pr−1)
) 1r
+ C ′5
)δ1r .
Istnieje zatem K > 0, zależne od p, r, takie że
‖f(x+ y2)− f(x) + f(y)
2‖ ¬ Kδ
1r (5.9)
dla x, y ∈ X.
Podstawiając w (5.9) x = 2nz, y = 0, otrzymujemy
‖f(2(n−1)z)− f(2nz)2‖ ¬ Kδ
1r
dla n ∈ N, z ∈ X.
Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy
‖f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n‖ ¬ Kδ
1r
2(n−1)p(5.10)
dla n ∈ N, z ∈ X.
Z zupełności Y oraz (5.10) wynika, że dla dowolnego z ∈ X szereg∑∞n=1(f(2(n−1)z)2n−1 − f(2nz)2n )
42
-
jest zbieżny do f(z)− limn→∞ f(2nz)2n . Niech U(z) := limn→∞
f(2nz)2n dla z ∈ X.
Korzystając z (5.10) dostajemy, że
‖f(z)− U(z)‖ = ‖∞∑n=1
(f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n
)‖ ¬
∞∑n=1
‖f(2n−1z)2n−1
− f(2nz)2n‖ ¬ Kδ
1r
∞∑n=1
12(n−1)p
dla z ∈ X.
Oznaczając L := K∑∞n=1
12(n−1)p , otrzymujemy
‖f(z)− U(z)‖ ¬ Lδ1r (5.11)
dla z ∈ X.
Podstawiając w (5.9) 2nx w miejsce x oraz 2ny w miejsce y, otrzymujemy
‖f(2n−1(x+ y))− f(2nx) + f(2ny))2
‖ ¬ Kδ1r
dla n ∈ N, x, y ∈ X.
Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2(n−1)p, dostajemy
‖f(2n−1(x+ y))2n−1
− f(2nx)2n− f(2
ny))2n‖ ¬ K δ
1r
2(n−1)p
dla n ∈ N, x, y ∈ X.
Przechodząc w otrzymanej nierówności do granicy przy n → ∞, otrzymujemy ad-
dytywność U . Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 5.5 stwierdzamy, że U jest
izometrią. Z (5.11) wynika, że wówczas ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.4
otrzymujemy więc, że U jest surjekcją.
Dla dowodu jednoznaczności załóżmy, że V : X → Y jest addytywną izometrią speł-
niającą (5.8) (z V zamiast U). Wtedy ‖f(x)−V (x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Stąd oraz lematu
5.1 otrzymujemy, że V (x) = limn→∞f(2nx)2n = U(x) dla x ∈ X. 2
Poniższy lemat ustala związek pomiędzy (r, δ)-izometriami przy różnych r.
Lemat 5.7. Niech (X, ‖ ·‖), (Y, ‖ ·‖) będą przestrzeniami z F-normami. Jeżeli funkcja
f : X → Y jest (r, δ)-izometrią oraz 0 < r0 ¬ r, to f jest również (r0, δr0r )-izometrią.
Dowód. Dla x, y ∈ X, z (3.1), (A.1) mamy
‖f(x)− f(y)‖r0 = ‖f(x)− f(y)‖rr0r ¬ (‖x− y‖r + δ)
r0r ¬ ‖x− y‖r0 + δ
r0r
43
-
oraz
‖f(x)− f(y)‖r0 (‖x− y‖r − δ)r0r ‖x− y‖r0 − δ
r0r ,
gdy ‖x−y‖r δ. Nierówność ‖f(x)−f(y)‖r0 ‖x−y‖r0− δr0r zachodzi również, gdy
‖x− y‖r < δ, gdyż wtedy ‖x− y‖r0 − δr0r < 0. Zatem | ‖f(x)− f(y)‖r0 −‖x− y‖r0| ¬
δr0r . 2
Jako wniosek z twierdzenia 5.5 otrzymujemy
Wniosek 5.8. Niech p ∈ (0, 1], δ > 0 i niech X 6= {0}, Y będą przestrzeniami z
zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami. Jeżeli funkcja f : X → Y jest bijektywną
(1p, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieje dokładnie jedna addytywna
izometria U : X → Y taka, że
‖f(x)− U(x)‖‖x‖
→ 0 przy ‖x‖ → ∞.
Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.
Dowód. Z lematu 5.7 wynika, że f jest (12 , δp2 )-izometrią. Z twierdzenia 5.5 otrzy-
mujemy, że funkcja U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X jest addytywną izometrią z X na
Y taką, że ‖f(x)−U(x)‖‖x‖ → 0 przy ‖x‖ → ∞. Z lematu 5.1 dostajemy, że izometria taka
jest jedyna. Surjektywność U wynika z twierdzenia 5.5. 2
Poniższy fakt będzie potrzebny w dowodzie następnego lematu.
Lemat 5.9. Niech (X, ‖ · ‖) będzie przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą. Wtedy
wszystkie kule K(x0, r) := {x ∈ X : ‖x−x0‖ < r}, gdzie x0 ∈ X, r > 0, są równoliczne
i każda z nich ma tę samą moc co X.
Dowód. Lemat jest oczywisty, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc, że X
jest niezerowa. Dla dowolnych n ∈ Z, r > 0, x0 ∈ X mamy:
K(x0, r) = x0 +K(0, r) oraz K(0, 2npr) = 2nK(0, r).
Pierwsza równość jest oczywista, druga wynika z następujących zależności, które za-
chodzą dla dowolnego x ∈ X:
x ∈ K(0, 2npr)⇔ ‖x‖ < 2pnr ⇔ ‖ x2n‖ = 12pn‖x‖ < r ⇔ x ∈ 2nK(0, r).
Pokażemy, żeX =⋃∞n=1K(0, 2
np). Rozważmy dowolne x ∈ X. Mamy wówczas ‖ 12nx‖ =12np‖x‖
n→∞→ 0. Istnieje zatem n0 ∈ N takie, że 12n0 x ∈ K(0, 1). Stąd x ∈ K(0, 2n0p).
44
-
Dla dowolnego r > 0 istnieje n ∈ Z takie, że 2np ¬ r ¬ 2(n+1)p. Stąd 2nK(0, 1) =
K(0, 2np) ⊂ K(0, r) ⊂ K(0, 2(n+1)p) = 2n+1K(0, 1). Ponieważ, dla λ 6= 0, funkcja
X 3 x 7→ λx ∈ X jest bijekcją i przeprowadza K(0, 1) na λK(0, 1), to z twierdzenia
Cantora -Bernsteina otrzymujemy, że card(K(0, r)) = card(K(0, 1)). Zauważmy, że
card(K(0, 1)) ℵ0. Istotnie dla x 6= 0, x ∈ X mamy, że ‖ 12nx‖ =12np‖x‖ → 0 przy
n → ∞. Stąd istnieje n0 ∈ N takie, że { 12nx : n n0} ⊂ K(0, 1). Ponieważ zbiór
{ 12nx : n n0} jest przeliczalny, to card(K(0, 1)) ℵ0.
Zatem
card(K(0, 1)) ¬ card(X) ¬ ℵ0 · card(K(0, 1)) = card(K(0, 1)).
Stąd card(K(0, 1)) = card(X). Ponieważ dla dowolnego x0 ∈ X funkcja X 3 x 7→
x0+ x ∈ X jest bijekcją, która przeprowadza K(0, r) na K(x0, r), to card(K(x0, r)) =
card(K(0, r)). W konsekwencji card(K(x0, r)) = card(X) dla dowolnych x0 ∈ X,
r > 0. 2
Poniższy lemat pokazuje, że przy odpowiednich założeniach o X i Y , dowolną sur-
jekcję f : X → Y można jednostajnie aproksymować bijekcjami.
Lemat 5.10. Niech X będzie niepustym zbiorem, o ∈ X ustalonym elementem tego
zbioru, a Y przestrzenią z 2-p-jednorodną F-normą taką, że card(X) = card(Y ). Jeżeli
f : X → Y jest surjekcją taką, że f(o) = 0, to dla każdego δ > 0 istnieje bijekcja
g : X → Y taka, że g(o) = 0 oraz ‖f(x)− g(x)‖ ¬ δ dla x ∈ X.
Dowód. Niech δ > 0 i niech Rδ będzie rodziną wszystkich zbiorów B ⊂ Y ta-
kich, że 0 ∈ B oraz ‖x − y‖ δ dla dowolnych x, y ∈ B takich, że x 6= y. Wte-
dy Rδ 6= ∅ (gdyż {0} ∈ Rδ), oraz (Rδ,⊂) jest zbiorem częściowo-uporządkowanym.
Niech L będzie dowolnym łańcuchem w Rδ. Wtedy⋃C∈LC ∈ Rδ i jest ograni-
czeniem górnym łańcucha L. Na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna w Rδ ist-
nieje element maksymalny. Niech A będzie elementem maksymalnym w R δ2i niech
K(z, r) := {y ∈ Y : ‖z − y‖ < r} dla z ∈ Y , r > 0.
Pokażemy, że istnieje rodzina {Yu}u∈A podzbiorów Y o tej własności, że zbiory Yu są
niepuste, parami rozłączne,⋃u∈A Yu = Y , 0 ∈ Y0, card(Yu) = card(Y ), sup{‖x − y‖ :
x, y ∈ Yu} ¬ δ. Jeżeli⋃u∈AK(u,
δ4) = Y , to wystarczy przyjąć Yu = K(0,
δ4) dla
u ∈ A. Załóżmy, że ⋃u∈AK(u, δ4) 6= Y . Dla dowolnego y ∈ Y istnieje wtedy z ∈ Atakie, że ‖y− z‖ < δ2 . Istotnie gdyby istniał y ∈ Y taki, że dla każdego z ∈ A zachodzi
‖y − z‖ δ2 mielibyśmy, że A ∪ {y} ∈ R δ2 , wbrew maksymalności A.
45
-
Zatem istnieje funkcja
φ : Y \⋃z∈AK(z,
δ
4)→ A
taka, że
‖y − φ(y)‖ < δ2
dla y ∈ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4).Niech
Yu := K(u,δ
4) ∪ φ−1({u})
dla u ∈ A.
Oczywiście u ∈ Yu, stąd każdy ze zbiorów Yu, gdzie u ∈ A, jest niepusty.
Dla dowolnego x ∈ Yu mamy ‖x− u‖ < δ4 lub φ(x) = u. Jeśli φ(x) = u, to ‖x− u‖ =
‖x − φ(x)‖ < δ2 . Zatem ‖x − u‖ <δ2 dla x ∈ Yu. Stąd dla dowolnych x, y ∈ Yu
otrzymujemy
‖x− y‖ ¬ ‖x− u‖+ ‖y − u‖ < δ.
Zatem
sup{‖x− y‖ : x, y ∈ Yu} ¬ δ.
Dla y ∈ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4) mamy φ(y) ∈ A. Stąd y ∈ Yφ(y). Zatem ⋃u∈A Yu = Y .Niech y ∈ Yu ∩ Yv, gdzie u, v ∈ A. Jeżeli przy tym y ∈ K(u, δ4) i y ∈ K(v,
δ4), to
‖u−v‖ ¬ ‖u−y‖+‖y−v‖ < δ2 . Stąd i z określenia A mamy u = v. Jeśli y ∈ φ−1({u})
i y ∈ φ−1({v}), to u = v. Przypadki y ∈ K(u, δ4), y ∈ φ−1({v}) oraz y ∈ K(v, δ4),
y ∈ φ−1({u}) nie zach—dzą, gdyż φ−1({u}), φ−1({v}) ⊂ Y \ ⋃z∈AK(z, δ4). Zatemzbiory Yu są parami rozłączne.
Ponieważ 0 ∈ K(0, δ4) ⊂ Y0, to 0 ∈ Y0.
Z lematu 5.9 wynika, że
card(Y ) = card(K(u,δ
4)) ¬ card(Yu) ¬ card(Y ).
Zatem card(Y ) = card(Yu) dla u ∈ A.
Niech Xu := f−1(Yu) dla u ∈ A. Wtedy z surjektywności f dostajemy f(Xu) =
ff−1(Yu) = Yu dla u ∈ A. Stąd card(Yu) ¬ card(Xu) dla u ∈ A. Z drugiej strony
X = f−1(Y ) = f−1(⋃u∈A Yu) =
⋃u∈A f
−1(Yu) =⋃u∈AXu. Gdyby istniało u0 ∈ A
takie, że card(Yu0) < card(Xu0), to ponieważ card(Yu0) = card(Y ) otrzymalibyśmy,
że card(X) = card(⋃u∈AXu) card(Xu0) > card(Yu0) = card(Y ), co jest sprzeczne z
46
-
założeniem, że card(X) = card(Y ). Zatem card(Xu) = card(Yu) dla u ∈ A.
Stąd otrzymujemy, że dla każdego u ∈ A istnieje bijekcja gu : Xu → Yu. Ponadto, z
uwagi na to, że 0 ∈ Y0 i o ∈ X0 (bo f(o) = 0), można założyć, że g0(o) = 0. Kładziemy
g(x) = gu(x) dla x ∈ Xu. Ponieważ zbioryXu są niepuste (bo Yu były niepuste), parami
rozłączne i ich sumą jest X (bo Yu były parami rozłączne i ich suma było Y ), to g
jest dobrze określoną funkcją na X o wartościach w Y . Ponieważ gu były surjekcjami,
to g będzie surjekcją. Funkcja g jest również różnowartościowa. Ponadto, mamy, że
g(o) = g0(o) = 0. Dla x ∈ X mamy, że x ∈ Xu dla pewnego u ∈ A. Z tego wynika, że
f(x) ∈ Yu oraz g(x) ∈ Yu. Stąd ‖f(x)− g(x)‖ ¬ sup{‖y1 − y2‖ : y1, y2 ∈ Yu} ¬ δ. 2
Stwierdzenie 5.11. Niech (X,S, µ) będzie przestrzenią z niezerową miarą σ-skończoną,
p ∈ (0, 1), δ > 0. Wtedy na przestrzeni Lp(µ) istnieje bijektywna 4δ-izometria
Φ : Lp(µ) → Lp(µ) taka, że supf∈Lp(µ)‖¶|i(f) − U(f)‖ = ∞ dla każdej afinicznej
(w szczególności dla każdej surjektywnej) izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).
Dowód. W twierdzeniu 5.3 określiliśmy surjektywną 2δ-izometrię Φ0 : Lp(µ) →
Lp(µ) taką, że supf∈Lp(µ) ‖Φ0(f)−U(f)‖ =∞ dla każdej afinicznej izometrii U : Lp(µ)→
Lp(µ). Na podstawie lematu 5.10 istnieje bijekcja Φ : Lp(µ)→ Lp(µ) taka, że ‖Φ0(f)−
Φ(f)‖ ¬ δ dla każdego f ∈ Lp(µ). Ponieważ, dla dowolnych f, g ∈ Lp(µ) mamy
‖Φ(f)−Φ(g)‖ ¬ ‖Φ(f)−Φ0(f)‖+ ‖Φ0(f)−Φ0(g)‖+ ‖Φ0(g)−Φ(g)‖ ¬ ‖f − g‖+4δ
oraz
‖Φ(f)− Φ(g)‖ ‖Φ0(f)− Φ0(g)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f) + Φ(g)− Φ0(g)‖
‖Φ0(f)− Φ0(g)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f)‖ − ‖Φ(g)− Φ0(g)‖ ‖f − g‖ − 4δ,
to Φ jest 4δ-izometrią. Dla dowolnej afinicznej izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ) i dowolnego
f ∈ Lp(µ) zachodzi:
‖Φ(f)− U(f)‖ ‖Φ0(f)− U(f)‖ − ‖Φ0(f)− Φ(f)‖ ‖Φ0(f)− U(f)‖ − δ.
Stąd supf∈Lp(µ)‖Φ(f)− U(f)‖ =∞. 2
Problemem otwartym jest czy dla funkcji Φ ze stwierdzenia 5.11 równość supf∈Lp(µ)‖Φ(f)−
U(f)‖ =∞ zachodzi dla każdej izometrii U : Lp(µ)→ Lp(µ).
47
-
Poniżej pokazujemy, że w przypadku gdy X, Y są przestrzeniami z p-jednorodnymi,
zupełnymi F-normami, a f : X → Y bijektywną (r, δ)-izometrią, gdzie p ∈ (0, 1], r > 0
i pr < 1, może nie istnieć izometria U : X → Y spełniająca warunek supx∈X‖f(x) −
U(x)‖ 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi, że
pr < 1, X = Y = R, ‖x‖ := |x|p dla x ∈ R. Wtedy istnieje bijektywna (r, 4δ)-izometria
Φ : R → R przestrzeni (X, ‖ · ‖) na (Y, ‖ · ‖) taka, że supx∈X‖Φ(x)− U(x)‖ = ∞ dla
każdej izometrii U : R→ R przestrzeni (X, ‖ · ‖) w (Y, ‖ · ‖).
Dowód. Korzystamy ze stwierdzenia 5.11 oraz uwagi 2.8. Kładąc X = {1}, S = 2X ,
µ(∅) = 0, µ(X) = 1, oraz pr w miejsce p, gdzie p ∈ (0, 1], r > 0, pr < 1, otrzymujemy,
że Lpr(µ) = (R, |·|pr) oraz, że istnieje bijektywna 4δ-izometria Φ : (R, |·|pr)→ (R, |·|pr)
taka, że supx∈R‖Φ(x) − U(x)‖ = ∞ dla każdej afinicznej izometrii U : (R, | · |pr) →
(R, | · |pr). Z nierówności
|(|Φ(x)− Φ(y)|p)r − (|x− y|p)r| ¬ 4δ dla x, y ∈ R,
wynika, że Φ jest (bijektywną) (r, 4δ)-izometrią przestrzeni (R, | · |p) na (R, | · |p).
Ponieważ jednak funkcja U : R → R jest izometrią przestrzeni (R, | · |pr) w (R, | · |pr)
wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią przestrzeni (R, |·|p) w (R, |·|p), to supx∈R‖Φ(x)−
U(x)‖ = ∞ dla każdej afinicznej izometrii. Ta sama równość zachodzi dla każdej
izometrii U : (R, | · |p)→ (R, | · |p), gdyż U jako izometria przestrzeni (R, | · |) w siebie,
jest na podstawie lematu A.11 afiniczna. 2
Stwierdzenie 5.13. Niech p ∈ (0, 1], r > 0, δ > 0 będą ustalonymi liczbami takimi, że
pr < 1, (X, ‖·‖) będzie przestrzenią Banacha, a f : X → X funkcją określoną wzorami
f(x) = x+ δ‖x‖pr ·x dla x 6= 0 oraz f(0) = 0. Wówczas f jest bijektywną (r, 8δ)-izometrią
przestrzeni (X, ‖ · ‖p) na siebie taką, że dla każdej izometrii U : X → X przestrzeni
(X, ‖ · ‖p) w siebie zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞.
Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.9 i uwagi 2.10 f jest bijektywną 8δ-izometrią
przestrzeni (X, ‖·‖pr) na siebie, a więc jest także (r, 8δ)-izometrią przestrzeni (X, ‖· ‖p)
na siebie. Korzystając z twierdzenia 2.9, otrzymujemy, że dla każdej izometrii U : X →
X przestrzeni (X, ‖·‖p) w siebie (U jest wtedy izometrią przestrzeni (X, ‖·‖pr) w siebie)
zachodzi równość supx∈X‖f(x)− U(x)‖ =∞. 2
48
-
Twierdzenie 5.14. Niech p, r ∈ (0, 1], będą takie, że pr < 1, niech δ > 0 i niech X,Y
będą przestrzeniami z zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami takimi, że card(X) =
card(Y ). Jeżeli funkcja f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą waru-
nek f(0) = 0, to istnieją dokładnie jedna addytywna izometria U : X → Y oraz stała
L > 0, zależna od p, r, takie że
‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) (5.12)
dla x ∈ X.
Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2n dla x ∈ X.
Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy X jest przestrzenią zerową. Załóżmy więc,
że X jest niezerowa. Ustalmy η > 0. Z lematu 5.10 wynika, że istnieje bijekcja
gη : X → Y taka, że gη(0) = 0 oraz ‖f(x)− gη(x)‖ ¬ η1r dla każdego x ∈ X.
Dla x, y ∈ X, z uwagi na to, że ‖ · ‖r jest 2-pr-jednorodną F-normą, mamy
‖gη(x)− gη(y)‖r ¬ ‖gη(x)− f(x)‖r + ‖f(x)− f(y)‖r + ‖f(y)− gη(y)‖r ¬
2η + ‖f(x)− f(y)‖r ¬ ‖x− y‖r + 2η + δ
oraz
‖gη(x)− gη(y)‖r = ‖f(x)− f(y)− (f(x)− gη(x) + gη(y)− f(y))‖r
‖f(x)− f(y)‖r − ‖f(x)− gη(x) + gη(y)− f(y)‖r
‖f(x)− f(y)‖r − (‖f(x)− gη(x)‖r + ‖f(y)− gη(y)‖r)
(‖x− y‖r − δ)− ‖f(y)− gη(y)‖r − ‖gη(x)− f(x)‖r
‖x− y‖r − δ − 2η.
Zatem gη jest (r, 2η + δ)-izometrią. Z twierdzenia 5.5 wynika, że funkcja Uη : X → Y
określona wzorem Uη(x) = limn→∞gη(2nx)2n dla x ∈ X, jest surjektywną, addytywną
izometrią taką, że
‖gη(x)− Uη(x)‖ ¬ L((2η + δ)p‖x‖1−pr + (2η + δ)1r )
dla x ∈ X, gdzie L > 0 jest pewną stałą zależną tylko od p, r, a niezależną od η, δ.
Ponieważ
‖f(x)− Uη(x)‖ ¬ ‖f(x)− gη(x)‖+ ‖gη(x)− Uη(x)‖
49
-
dla x ∈ X,
to
‖f(x)− Uη(x)‖ ¬ η1r + L((2η + δ)p‖x‖1−pr + (2η + δ)
1r ) (5.13)
dla x ∈ X.
Dla dowolnych x ∈ X, n ∈ N mamy
‖f(2nx)2n− Uη(x)‖ ¬ ‖
f(2nx)2n− gη(2
nx)2n‖+ ‖gη(2
nx)2n
− Uη(x)‖ =
12np‖f(2nx)− gη(2nx)‖+ ‖
gη(2nx)2n
− Uη(x)‖ ¬12npη1r + ‖gη(2
nx)2n
− Uη(x)‖.
Stąd oraz z równości Uη(x) = limn→∞gη(2nx)2n dla x ∈ X wynika, że Uη(x) = limn→∞
f(2nx)2n
dla x ∈ X, η > 0, a to oznacza w szczególności, że Uη nie zależy od η. Niech U = Uη.
Przechodząc do granicy η → 0+ w (5.13), otrzymujemy
‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δp‖x‖1−pr + δ1r ) dla x ∈ X.
Jednoznaczność U wynika z lematu 5.1. Surjektywność U wynika z surjektywności
Uη. 2
Każda ośrodkowa przestrzeń metryczna ma moc mniejszą bądź równą continuum
([11], rozdz. 14, §3, tw. 2). Ponieważ niezerowa przestrzeń liniowa nad R ma moc
większą bądź równą continuum, to przestrzenie X, Y będą spełniały założenia twier-
dzenia 5.14, np. gdy będą ośrodkowymi, niezerowymi przestrzeniami z zupełnymi,
2-p-jednorodnymi F-normami.
Wniosek 5.15. Niech p ∈ (0, 1), r 1, δ > 0 i niech X,Y będą przestrzeniami z
zupełnymi 2-p-jednorodnymi F-normami takimi, że card(X) = card(Y ). Jeżeli funkcja
f : X → Y jest surjektywną (r, δ)-izometrią spełniającą warunek f(0) = 0, to istnieją
dokładnie jedna addytywna izometria U : X → Y i stała L > 0, zależna od p, takie że
‖f(x)− U(x)‖ ¬ L(δpr ‖x‖1−p + δ
1r )
dla x ∈ X.
Ponadto U jest surjekcją oraz U(x) = limn→∞f(2nx)2