2 laboratorinis darbas. tikimybiniai modeliaikriluko/tikimybi%f8_teorija/2%20...fx() px x()≤ ....
TRANSCRIPT
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 1
2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - išstudijuoti atsitiktinių dydžių ir vektorių skirstinius, skirstinio (pasiskirstymo) funkciją, tankio funkciją, skaitines charakteristikas ir jų savybes. Susipažinti su pagrindiniais diskrečiaisiais ir tolydžiaisiais tikimybiniais modeliais ir išmokti juos taikyti praktikoje.
Teorijos klausimai
Atsitiktinio dydžio apidrėžimas.1.Atsitiktinių dydžių klasifikacija.2.Skirstinio (pasiskirstymo) funkcijos apibrėžimas, grafikas ir savybės.3.Tikimybės masės funkcija ir jos savybės.4.Tankio funkcija ir jos savybės.5.Kaip rasti atsitiktinio dydžio patekimo į duotąjį intervalą tikimybę?6.Atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos ir jų savybės.7.Dvimačio diskretaus atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija ir jos 8.savybės.Absoliučiai tolydžiojo dvimačio atsitiktinio dydžio tankis.9.Kaip apskaičiuojama absoliučiai tolydžiojo dydžio patekimo į 10.plokštumos sritį D tikimybė?Atsitiktinio vektoriaus skaitinės charakteristikos.11.Sąlyginiai skirstiniai. Regresija.12.Diskretieji tikimybiniai modeliai (binominis, Puasono, geometrinis, 13.hipergeometrinis) ir jų savybės.Tolydieji tikimybiniai modeliai (normalusis, Stjudento, chi-kvadrato, 14.Fišerio, eksponentinis) ir jų savybės.Atsitiktinių dydžių sekų generavimas.15.
Tikimybių teorijos funkcijų rinkinys sistemoje Mathcad
Sistemoje MathCad yra funkcijų rinkinys skirtas tikimybių teorijos uždavinių sprendimui. Pirmoji šių funkcijų vardo raidė nusako jų paskirtį : d - diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių masės funkcijos arba tolydydžiojo atsitiktinio dydžio tankio funkcijos reikšmių skaičiavimas; p - skirstinio funkcijos reikšmių skaičiavimas; q - kvantilių skaičiavimas; r - atsitiktinių dydžių sekų generavimas.
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 2
F x( ) 0 x 1−<if
0.1 1− x≤ 2<if
0.3 2 x≤ 4<if
0.6 4 x≤ 5<if
1 x 5≥if
:=
Užrašysime skirstinio funkciją ir nubraižysime jos grafiką.
p
0.1
0.2
0.3
0.4
:=x
1−
2
4
5
:=
Tarkime, kad diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį
. F x( ) P X x≤( )
Skirstinio funkcija (distribution function) - tai funkcija, kuri kiekvienai x reikšmei priskiria tikimybę, kad atsitiktinis dydis X bus ne didesnis už x ,
Tipinių uždavinių sprendimas
Skirstinio funkcija
dweibull x s,( )X ~W(s)Veibulo (Weibull)
punif x a, b,( )X ~TT(a,b)Tolygusis (Uniform)
pt x ν,( )X ~t(ν)Stjudento (Student's)
ppois x λ,( )X ~P(λ)Puasono (Poisson)
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 3
x 2− 6..:=
2 1 0 1 2 3 4 5 6
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
F x( )
x
1 pav. Atsitiktinio dydžio X skirstinio funkcija
Apskaičiuosime skirstinio funkcijos reikšmę taške x=4 ,
F 4( ) 0.6= .
Išvada. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X bus ne didesnis už 4 lygi 0,6.
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X bus : ne didesnis už 2;•didesnis už 4;•
P X 2≤( )[ ] F 2( ):= P X 2≤( )[ ] 0.3=
P X 4>( )[ ] 1 F 4( )−:= P X 4>( )[ ] 0.4=
Duota tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija
F y( ) 0 y 1−<if
19
y3 1+( )⋅ 1− y≤ 2<if
1 y 2≥if
:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 4
Nubraižysime skirstinio funkcijos grafiką
y 2− 1.99−, 3..:=
2 1 0 1 2 3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
F y( )
y
2 pav. Atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis Y: bus ne didesnis už 1.5;•bus didesnis už 1;•pateks į intervalą tarp 0 ir 1.•pateks į intervalą tarp -2 ir 3.•
P X 1.5≤( )[ ] F 1.5( ):= P X 1.5≤( )[ ] 0.486=
P X 1>( )[ ] 1 F 1( )−:= P X 1>( )[ ] 0.778=
P 0 X≤ 1≤( )[ ] F 1( ) F 0( )−:= P 0 X≤ 1≤( )[ ] 0.111=
P 2− X≤ 3≤( )[ ] F 3( ) F 2−( )−:= P 2− X≤ 3≤( )[ ] 1=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 5
Tikimybės masės ir tankio funkcijos
Tikimybės masės funkcija (probability mass function arba trumpai probability function ) - tai funkcija, kuri kiekvienai diskretaus atsitiktinio dydžio X reikšmei xi priskiria tikimybę
p xi( ) P X xi( ) .
Tarkime, kad diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį
x
1−
2
4
5
:= p
0.1
0.2
0.3
0.4
:=
.
Nubraižysime atsitiktinio dydžio X tikimybės masės funkcijos grafiką.
2 1 0 1 2 3 4 5 6
0.1
0.2
0.3
0.4
p
x
3 pav. Atsitiktinio dydžio X tikimybės masės funkcija
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X bus : ne didesnis už 4;•didesnis už 4;•
ORIGIN 1:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 6
P X 4≤( )[ ]
1
3
i
pi∑=
:= P X 4≤( )[ ] 0.6=
P X 4>( )[ ] p4:= P X 4>( )[ ] 0.4=
Duota tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija
F y( ) 0 y 1−<if
19
y3 1+( )⋅ 1− y≤ 2<if
1 y 2≥if
:=
Rasime tankio funkciją p(y) ir nubraižysime jos grafiką.
p y( ) F' y( )
Kai y < -1 ir y 2≥ , tai y
p y( )dd
0.
Kai 1− y≤ 2< , tai
y19
y3 1+( )⋅
dd
13
y2⋅→ .
Taigi
p y( ) 0 y 1−<if
13
y2⋅ 1− y≤ 2<if
0 y 2≥if
:=
Nubraižysime tankio funkcijos grafiką ir apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis Y :
bus ne didesnis už 1.5;•bus didesnis už 1;•pateks į intervalą tarp 0 ir 1;•pateks į intervalą tarp -2 ir 3;•bus lygus 2.•
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 7
y 2− 1.999−, 3..:=
2 1 0 1 2 30.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
p y( )
y
4 pav. Atsitiktinio dydžio Y tankio funkcija
P Y 1.5≤( )[ ]∞−
1.5
yp y( )⌠⌡
d:= P Y 1.5≤( )[ ] 0.486=
P Y 1>( )[ ]1
∞yp y( )
⌠⌡
d:= P X 1>( )[ ] 0.778=
P 0 Y≤ 1≤( )[ ]0
1
yp y( )⌠⌡
d:= P 0 Y≤ 1≤( )[ ] 0.111=
P 2− Y≤ 3≤( )[ ]2−
3
yp y( )⌠⌡
d:= P 2− Y≤ 3≤([ ] 1=
P Y=2( )[ ]2
2
yp y( )⌠⌡
d:=P Y=2( )[ ] 0=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 8
p y( ) 0 y 1−<if
13
y2⋅ 1− y≤ 2<if
0 y 2≥if
:=
Rasime atsitiktinio dydžio Y, kurio tankis p y( ) vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
DY∞−
∞yy MY−( )2 p y( )⋅
⌠⌡
dMY∞−
∞yy p y( )⋅
⌠⌡
d
Tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skaitinės charakteristikos išreiškiamos integralais:
SX 1.86=SX DX:=
DX 3.45=DX1
4
i
xi MX−( )2 pi⋅∑=
:=
MX 3.5=MX1
4
i
xi pi⋅∑=
:=
ORIGIN 1:=
Rasime atsitiktinio dydžio X vidurkį, dispersiją ir vidutinį kvadratinį nuokrypį.
p
0.1
0.2
0.3
0.4
:=x
1−
2
4
5
:=
Tarkime diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį
Atsitiktinio dydžio pagrindinės skaitinės charakteristikos yra vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis.
Skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 9
MY∞−
∞yy p y( )⋅
⌠⌡
d:=MY 1.25=
DY∞−
∞yy MY−( )2 p y( )⋅
⌠⌡
d:=DY 0.64=
SY DY:=SY 0.8=
Dvimačiai atsitiktiniai vektoriai.
Diskretieji dvimačiai vektoriai
Duotas dvimačio atsitiktinio dydžio (X,Y) skirstinys
X\Y 1 4 62 0.4 0.2 0.14 0.1 0 0.2
ORIGIN 1:=
XY"X\Y"
2
4
1
0.4
0.1
4
0.2
0
6
0.1
0.2
:=
Rasime koordinačių X ir Y skirstinius (besąlyginius) .
Pažymėkime
pi j, P X=xi Y=yj,( )[ ] .
Iš matricos XY išskiriame X ir Y galimų reikšmių vektorius x ir y bei tik matricą p.
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 10
Atsitiktinio dydžio Y skirstinys yra:
y j
146
= pyj
0.50.20.3
=pyj
1
2
i
pi j,∑=
:=j 1 3..:=
Skaičiuojame atsitiktinio dydžio Y reikšmių tikimybes pyi (besąlygines)
SX 0.92=SX DX:=
DX 0.84=DX1
2
i
xi MX−( )2 pxi
⋅∑=
:=
MX 2.6=MX
1
2
i
xi pxi
⋅∑=
:=
Skaičiuojame atsitiktinio dydžio X vidurkį MX , dispersiją DX ir standartinį nuokrypį SX (besąlyginius):
Išvada. Tikimybė, kad X įgis reikšmę 2 lygi 0,7 , o reikšmę 4 lygi 0,3.
Atsitiktinio dydžio X skirstinys yra: xi
24
= pxi
0.70.3
=
pxi
1
3
j
pi j,∑=
:=i 1 2..:=
Skaičiuojame atsitiktinio dydžio X reikšmių xi tikimybes pxi (besąlygines)
p submatrix XY 2, 3, 2, 4,( ):=
y submatrix XY 1, 1, 2, 4,( )T:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 11
cov X Y,( )[ ]
1
2
i 1
3
j
xi MX−( ) y j MY−( ) pi j,⋅∑=
∑=
:=
Skaičiuojame X ir Y kovariaciją
M XY=y1( )[ ] 2.4=M XY=y1( )[ ]
1
2
i
pi 1,
py1
xi⋅∑=
:=
Išvada. Kai Y 1 tikimybė, kad X įgis reikšmę 2 yra lygi 0,8 , o reikšmės 4 įgijimo tikimybė yra 0,2.
p1 1,
py1
p2 1,
py1
0.8
0.2
=x2
4
=
vadinamos diskrečiojo atsitiktinio dydžio X sąlyginiu skirstiniu, kai Y y1 1
P X=xi Y=y1( )[ ]P X=xi Y=y1,( )[ ]
P Y=y1( )[ ]
pi 1,
py1
Sąlyginės tikimybes
Rasime X sąlyginį skirstinį XY=y1 , sąlyginį vidurkį M( XY=y1 ) , X ir Y kovariaciją bei koreliacijos koeficientą.
SY 2.21=SY DY:=
DY 4.89=DY1
3
j
y j MY−( )2 pyj
⋅∑=
:=
MY 3.1=MY1
3
j
y j pyj
⋅∑=
:=
Skaičiuojame atsitiktinio dydžio Y vidurkį MY , dispersiją DY ir standartinį nuokrypį SY (besąlyginius):
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 12
Atsitiktinio dydžio X tankio funkciją yra
nes a tliekant simbolinius (symbolic) skaičiavimus su Mathcad, reikia atšaukti visus ankstesnius reikšmių priskyrimus kintamiesiems. Jeigu, prieš tai kintamiesiems nebuvo priskirtos reikšmės, tai šių operatorių nereikia rašyti.
, y y:=x x:=
Rasime vienmačių atsitiktinių dydžių X ir Y tankius (marginaliuosius).
Prieš integralų skaičiavimą rašome priskyrimo operatorius
P (X,Y)∈ D ( )[ ] 0.609=
P (X,Y)∈ D ( )[ ]
0.5−
0.5
x1 x
2−−
1 x2−
yp x y,( )⌠⌡
d
⌠⌡
d:=
Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis (X,Y) pateks į skritulį
x2 y2+ 0.25≤ (sritį D).
.
p x y,( )x 1+
πx2 y2+ 1≤if
0 x2 y2+ 1>if
:=
Duotas dvimačio atsitiktinio dydžio (X,Y) tankis
Tolydieji dvimačiai vektoriai
. ρ 0.365=ρ cov X Y,( )[ ]
DX DY⋅:=
ir koreliacijos koeficientą
cov X Y,( )[ ] 0.74=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 13
pX x( )
1 x2−−
1 x2−
yx 1+
π
⌠⌡
d x 1≤if
0 x 1>if
:=
.
Apskaičiavę integralą
1 x2−−
1 x2−
yx 1+
π
⌠⌡
d 2 1 x2−( )12
⋅ x 1+( )π
⋅→
gauname ekvivalentišką X tankio išraišką
pX x( ) 2 1 x2−⋅ x 1+( )π
⋅ x 1≤if
0 x 1>if
:=
.
Apskaičiuojame X vidurkį (besąlyginį)
MX1−
1
xxpX x( )⌠⌡
d:= MX 0.25=
Atsitiktinio dydžio Y tankio funkcija yra
pY y( )
1 y2−−
1 y2−
xx 1+
π
⌠⌡
d y 1≤if
0 y 1>if
:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 14
pX x( )
1 x2−−
1 x2−
yx 1+
π
⌠⌡
d x 1≤if
0 x 1>if
:=
.
Apskaičiavę integralą
1 x2−−
1 x2−
yx 1+
π
⌠⌡
d 2 1 x2−( )12
⋅ x 1+( )π
⋅→
gauname ekvivalentišką X tankio išraišką
pX x( ) 2 1 x2−⋅ x 1+( )π
⋅ x 1≤if
0 x 1>if
:=
.
Apskaičiuojame X vidurkį (besąlyginį)
MX1−
1
xxpX x( )⌠⌡
d:= MX 0.25=
Atsitiktinio dydžio Y tankio funkcija yra
pY y( )
1 y2−−
1 y2−
xx 1+
π
⌠⌡
d y 1≤if
0 y 1>if
:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 15
Funkcija φ y( ) vadinama atsitiktinio dydžio X regresija Y atžvilgiu.
φ y( ) M X Y=y ( )[ ]∞−
∞xx pX x y( )[ ]⋅
⌠⌡
d
∞−
∞
xxp x y,( )pY y( )
⋅⌠⌡
d
Rasime atsitiktinio dydžio X sąlyginį vidurkį.
g x( ) 0→
g x( )1−
1
yy pY y x( )[ ]⋅( )⌠⌡
d:=
Funkcija g(x) vadinama atsitiktinio dydžio Y regresija X atžvilgiu.
g x( ) M Y X=x ( )[ ]∞−
∞yy pY y x( )[ ]⋅
⌠⌡
d
∞−
∞
yyp x y,( )pX x( )
⋅⌠⌡
d
Randame atsitiktinio dydžio Y sąlyginį vidurkį.
, 1− x≤ 1≤ . pY y x( )[ ] 1
2 1 x2−( )12
⋅
→
, 1− x≤ 1≤ . pY y x( )[ ]
x 1+π
2 1 x2−⋅ x 1+( )π
⋅:=
pY y x( )[ ] p x y,( )pX x( )
Atsitiktinio dydžio Y sąlyginis tankis
MY 0=MY1−
1
yy pY y( )⌠⌡
d:=
Apskaičiuojame Y vidurkį (besąlyginį)
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 16
σy 1:=µy 0:=σx 1:=µx 0:=
. 1− ρ< 1<, čia ρ koreliacijos koeficientas,ρ 0.1:=
Dvimačio normaliojo skirstinio tankis priklauso nuo 5 parametrų. Nubraižysime tankio paviršių , kai
N µ1 µ2, σ1, σ2, ρ,( ) ~X Y,( )Dvimatį normalųjį skirstinį sutrumpintai žymėsime
Dvimačio normaliojo skirstinio tankio funkcij
5 pav. Regresijos funkcija x=φ(y)
1 0.5 0 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
φ y( )
y
y 0.99− 0.98−, 0.99..:=
φ y( )1
3 1 y2−⋅:=φ y( )
1
3 1 y2−( )12
⋅
→
, 1− y≤ 1≤ . φ y( )
1−
1
xx
x 1+π
1 y2−−
1 y2−
xx 1+
π
⌠⌡
d
⋅
⌠⌡
d:=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 17
k11
2 π⋅ σx⋅ σy⋅ 1 ρ 2−( )⋅:=
p x y,( ) k1 e
12
−1
1 ρ2−
⋅x µx−
σx
2
2 ρ⋅x µx−
σx
⋅y µy−
σy
⋅−y µy−
σy
2
+
⋅
⋅:=
Sudarysime funkcijos reikšmių matricą ir nubraižysime dvimačio normaliojoskirstinio tankio funkcijos grafiką
ORIGIN 0:=
N 30:= i 0 N..:= j 0 N..:=
xnormi
µx 3 σx⋅−( ) 2 3 σx⋅( )⋅iN
⋅+:=
ynormi
µy 3 σy⋅−( ) 2 3 σy⋅( )⋅iN
⋅+:=
Dvimatis_Normalusisi j, p xnormi
ynormj
,( ):=
k 11
2 π⋅ σ x⋅ σ y⋅ 1 ρ2
−( )⋅:=
p x y,( ) k 1 e
12
−1
1 ρ2
−
⋅x µ x−
σ x
2
2 ρ⋅x µ x−
σ x
⋅y µ y−
σ y
⋅−y µ y−
σ y
2
+
⋅
⋅:=
Sudarysime funkcijos reikšmių matricą ir nubraižysime dvimačio normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiką
ORIGIN 0:=
N 30:= i 0 N..:= j 0 N..:=
x normi
µ x 3 σ x⋅−( ) 2 3 σ x⋅( )⋅i
N⋅+:=
y normi
µ y 3 σ y⋅−( ) 2 3 σ y⋅( )⋅i
N⋅+:=
Dvimatis_Normalusis i j, p x normi
y normj
,( ):=
6 pav. Dvimačio normaliojo skirstinio tankis
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 18
Diskretieji tikimybiniai modeliai
Atsitiktinį dydį, kuris įgyja reikšmes iš baigtinės arba skaičios reikšmių aibes vadiname diskrečiuoju. Skaiti reikšmių aibė - tai begalinė aibė, kurios elementus galima sunumeruoti (pvz., visų natūraliųjų skaičių aibė). Dažniausiai praktikoje pasitaiko šie diskretieji skirstiniai: binominis, geometrinis, hipergeometrinis ir Puasono.
Binominis skirstinys . Nubraižysime binominio skirstinio funkcijos grafiką, kai parametrai n=4 ir p=0.5.
x 2− 6..:=
2 1 0 1 2 3 4 5 60.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
pbinom x 4, 0.5,( )
x
7 pav. Binominio skirstinio funkcija
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~B(4 , 0.5) bus: ne didesnis už 2;•ne didesnis už 3;•lygus 3.•
P X 2≤( )[ ] pbinom 2 4, 0.5,( ):= P X 2≤( )[ ] 0.687=
P X 3≤( )[ ] pbinom 3 4, 0.5,( ):= P X 3≤( )[ ] 0.938=
P X=3( )[ ] P X 3≤( )[ ] P X 2≤( )[ ]−:= P X=3( )[ ] 0.25=
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 19
Nubraižysime binominio skirstinio su parametrais n =4 ir p=0.5 tikimybės masės funkcijos grafiką.
x 0 4..:=
1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
dbinom x 4, 0.5,( )
x
8 pav. Binominio skirstinio tikimybės masės funkcija
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~B(4 , 0.5): bus lygus 3;•pateks į intervalą [1 ; 3];•bus ne didesnis už 2;•
P X=3( )[ ] dbinom 3 4, 0.5,( ):=P X=3( )[ ] 0.25=
P 1 X≤ 3≤( )[ ]
1
3
x
dbinom x 4, 0.5,( )∑=
:= P 1 X≤ 3≤( )[ ] 0.875=
P X 2≤( )[ ]
0
2
x
dbinom x 4, 0.5,( )∑=
:= P X 2≤( )[ ] 0.688=
6. Tolydieji tikimybiniai modeliai
Atsitiktinį dydį, kuris gali įgyti kiekvieną reikšmę iš baigtinio arba begalinio intervalo vadiname tolydžiuoju. Dažniausiai praktikoje pasitaiko šie tolydieji skirstiniai: normalusis, Stjudento,eksponentinis, tolygusis tolydusis, chi-kvadrato, Fišerio, beta, gama ir Veibulo.
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 20
Normalusis skirstinys. Nubraižysime normalaus skirstinio funkcijos grafiką, kai parametrai
µ 0:= , σ 3:= .
x 10− 9.5−, 10..:=
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pnorm x µ, σ,( )
x
9 pav. Normaliojo skirstinio funkcija
Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~N(µ , σ): bus ne didesnis už 2;•bus ne didesnis už 4;•pateks į intervalą tarp 2 ir 4.•
P X 2≤( )[ ] pnorm 2 µ, σ,( ):= P X 2≤( )[ ] 0.748=
P X 4≤( )[ ] pnorm 4 µ, σ,( ):= P X 4≤( )[ ] 0.909=
P 2 X≤ 4≤([ ] P X 4≤( )[ ] P X 2≤( )[ ]−:= P 2 X≤ 4≤([ ] 0.161=
Nubraižysime normalaus skirstinio tankio funkcijos grafiką, kai parametrai µ=0 ir σ=3 bei apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~N(0 , 3):
bus ne didesnis už 2;•bus ne didesnis už 6;•pateks į intervalą [2 ; 6 ];•bus lygus 2.•
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 21
x 10− 9.5−, 10..:=
10 6 2 2 6 10
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
dnorm x 0, 3,( )
x
10 pav. Normaliojo skirstinio tankis
P X 2≤( )[ ]∞−
2
xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡
d:=P X 2≤( )[ ] 0.748=
P X 6≤( )[ ]∞−
6
xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡
d:= P X 6≤( )[ ] 0.977=
P 2 X≤ 6≤( )[ ]2
6
xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡
d:= P 2 X≤ 6≤( )[ ] 0.23=
P X=2( )[ ]2
2
xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡
d:= P X=2( )[ ] 0=
Tolydžiojo atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos išreiškiamos integralais:
MX∞−
∞xx p x( )⋅
⌠⌡
d DX∞−
∞xx MX−( )2 p x( )⋅
⌠⌡
d
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 22
P Z 1.645≤( ) =0.95 z0.95[ ] 1.645=z0.95[ ] qnorm 0.95 0, 1,( ):=
P Z 1.645−≤( ) =0.05z0.05[ ] 1.645−=z0.05[ ] qnorm 0.05 0, 1,( ):=
Kvantilių skaičiavimas
Apskaičiuosime s tandartinio normaliojo skirstinio 0,05 ir 0,95 kvantilius. Tarkime, kad Z~N(0,1), tuomet
Pastaba. Prieš integralų skaičiavimą rašome priskyrimo operatorius µ µ:=
σ σ:= x x:= , nes a tliekant simbolinius (symbolic) skaičiavimus su Mathcad, reikia atšaukia visus ankstesnius reikšmių priskyrimus kintamiesiems. Jeigu, prieš tai kintamiesiems nebuvo priskirtos reikšmės, tai šių operatorių nereikia rašyti.
∞−
∞
xx µ−( )2 1
σ 2 π⋅⋅e
x µ−( )2
2 σ( )2⋅
−
⋅
⋅
⌠⌡
d simplify σ→
ir standartinį nuokrypį
∞−
∞
xx1
σ 2 π⋅⋅e
x µ−( )2
2 σ( )2⋅
−
⋅
⋅
⌠⌡
d simplify µ→
Skaičiuojame vidurkį
x x:=σ σ:=µ µ:=
. , σ > 0p x( )1
σ 2 π⋅⋅e
x µ−( )2
2 σ2⋅
−
⋅
Pavyzdžiui, normaliojo skirstinio tankio funkcija
Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 23
Apskaičiuosime Stjudento skirstinio 0,05 ir 0,95 kvantilius. Tarkime, kad T~t(10), tuomet
t0.05; 10[ ] qt 0.05 10,( ):= t0.05; 10[ ] 1.812−=
t0.95; 10[ ] qt 0.95 10,( ):= t0.95; 10[ ] 1.812=
Atsitiktinių skaičių sekų generavimas
Sugeneruosime 6 atsitiktinius skaičius, kurių skirstinys yra normalusis su vidurkiu 2 ir standartiniu nuokrypiu 1.
rnorm 6 2, 1,( )
1.561
1.3206
1.5267
1.0485
0.3143
2.0435
=