grafici trigonometrijskih funkcija

Grafici trigonometrijskih funkcija

(seminarski rad)

Janjic Milena

Matematicki fakultet Beograd

Godina 2007.

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIHFUNKCIJA

Proucavanje funkcije ima za cilj da utvrdi na koji se nacin menja ta funkcijakad se menja njen argument. Te promene funkcije nazivamo tokom funkcije, autvrdivanje tih promena ispitivanjem funkcije.

Tok funkcije f(x) moze se predstaviti graficki. Grafik funkcije je geometrijskomesto tacaka cije su apscise sve dopustene vrednosti argumenta, a ordinateodgovarajuce vrednosti funkcije.

Trigonometrijske funkcije spadaju u grupu transcedentnih funkcija, jer seza datu vrednost argumenta x, odgovarajuca vrednodt y ne moze izracunatialgebarskim putem.

1 Trigonometrijske funkcije ostrog ugla

Posmatrajmo pravougli trougao ABC, kod koga je ugao kod temena C prav.Neka je a duzina katete CB, b duzina katete CA i c duzina hipotenuze AB. Nekaje α mera ugla CAB i β mera ugla CBA u stepenima. Znamo da je mera uglaACB jenaka 90.

A C

B

.α

β

b

c a

Broja

czove se sinus ugla α i obelezava se sa sin α.

Brojb

czove se kosinus ugla α i obelezava se sa cosα.

Broja

bzove se tangens ugla α i obelezava se sa tanα.

Brojb

azove se kotangens ugla α i obelezava se sa cot α.

Dakle,

sinα =a

c, cosα =

b

c, tan α =

a

b, cotα =

b

a.

1

U tabeli su prikazane vrednosti nekih ostrih uglova:

α 0 30 45 60 90 180 270

sin α 0 1/2√

2/2√

3/2 1 0 -1

cosα 1√

3/2√

2/2 1/2 0 -1 0

tan α 0√

3/3 1√

3 - 0 -

cotα -√

3 1√

3/3 0 - 0

2 Grafik funkcije y = sin x

Grafik funkcije y = sinx predstavljen je krivom linijom y = sin x koja senaziva sinusoida.

2.1 Crtanje grafika

2.1.1 Pomocu tablice

Posto je funkcija y = sinx sa osnovnim periodom 2π, ispitacemo njen tokkad se vrednost argumenta menja od 0 do 2π.

x 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2sin x 0 0.26 0.50 0.71 0.87 0.97 1

• grafik je simetrican u odnosu na pravu x = π/2, jer jesin(π/2 + x) = sin(π/2 − x)

• grafik je simetrican u odnosu na tacku (π, 0), jer jesin(π + x) = − sin(π − x)

x

y

0 ππ

12

π

2

π

6

π

3

π

45π

12

7π

12

2π

3

3π

4

5π

6

11π

12

1.00

0.26

0.50.71

2π

2

2.1.2 Pomocu trigonometrijskog kruga

Postavimo kruznu liniju poluprecnika r = 1 uz koordinatni sistem Oxy.

Podelimo ovaj krug na izvestan broj jednakih kruznih lukova A0A1, A1A2,

A2A3, itd. a odsecak OB ose Ox od 0 do 2π podelimo na isti broj jednakihodsecaka OB1, B1B2, B2B3 itd.

Na taj nacin svaki od odsecaka OB1, B1B2, B2B3 itd. predstavlja u radi-

janima izrazenu duzinu odgovarajuceg kruznog luka A0A1, A1A2, A2A3, itd.

x

y

0 π

B6B1 B2 B5

π

2

B3 B4 B7 B8 B9 B10 B11 B12

2π

M3

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8 A9

A10

A11

M1

M2 M4

M5

Prema tome, svakoj tacki kruga odgovara po jedna tacka na odsecku od 0 do2π. Zato se tacka grafika funkcije y = sin x za dato x, recimo za x = 3.14/2(=

π/2) nalazi tako sto se iz krajnje tacke odgovarajuceg luka A0A3 povuce pravaparalelna osi Ox i njen presek s normalom u tacki B3 bice trazena tacka M3

grafika.Spajajuci redom sve na taj nacin oredene tacke M1, M2, M3, . . . dobijamo

deo grafika funkcije y = sin x, kada se x menja od 0 do 2π.Ostale delove grafika dobijamo koristeci se cinjenicom da je funkcija y = sin x

periodicna:sin(x + 2kπ) = sin x, ∀k ∈ z .

x

y

−2π −π−

3π

2

0−

π

2

ππ

22π3π

23π5π

2

7π

2

1

−1

sinusoida

3

2.2 Tok funkcije

1. Oblast definisanosti∀x ∈ R

2. Periodicnost funkcijel = k · 2π, l1 = 2πsin(x + 2kπ) = sin x

3. Nule funkcijeza x = kπ ⇒ y = 0, k = 0,±1,±2, . . .

4. Znak funkcije2kπ < x < π + 2kπ ⇒ y > 0π + 2kπ < x < 2π + 2kπ ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijesin(−x) = − sinx - neparna (grafik je simetrican u odnosu na koordinatnipocetak)

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcijey′ = cosxx ∈ (−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ) ⇒ y′ > 0 ⇒ y ↑+1

−1

x ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ) ⇒ y′ < 0 ⇒ y ↓+1−1

7. Ekstremne vrednostiza x = π/2 + 2kπ ⇒ y = 1 - maxza x = 3π/2 + 2kπ ⇒ y = −1 - min

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ sin x ≤ 1 - ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = − sin xx ∈ (2kπ, π + 2kπ) ⇒ y′′ < 0 ⇒ funkcia je konkavnax ∈ (π + 2kπ, 2π + 2kπ) ⇒ y′′ > 0 ⇒ funkcija je konveksnaP (kπ, 0) − prevojne tacke

Sinusoida je neprekidna kriva koja se talasasto izvija iznad i ispod ose Ox iprostire u beskonacnost. Ona ima beskonacno mnogo talasa koji su svi kongru-entni talasu nad odseckom [0, 2π].

3 Grafik funkcije y = a sin x (a 6= 0)

3.1 Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = 2kπ, l1 = 2πa sin(x + 2kπ) = a sin x

4

3. Nule funkcijea sinx = 0 ⇒ sin x = 0, tj. x = kπ, k ∈ Z

4. Znak funkcijeAko je a > 0, funkcija ima isti znak kao funkcija y = sin x:2kπ < x < π + 2kπ ⇒ y > 0π + 2kπ < x < 2π + 2kπ ⇒ y < 0Ako je a < 0, funkcija ima znak suprotan znaku funkcije y = sinx

5. Parnost i neparnost funkcijea sin(−x) = −a sinx - neparna

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcijeZa a > 0 funkcija raste, odnosno opada na istim intervalima kao funkcijay = sin x:x ∈ (−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ) ⇒ y ↑+a

−a

x ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ) ⇒ y ↓+a−a

U slucaju a < 0 je obrnuto:x ∈ (−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ) ⇒ y ↓−a

+a

x ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ) ⇒ y ↑−a+a

7. Ekstremne vrednostia > 0 : za x = π/2 + 2kπ ⇒ y = a − max

za x = 3π/2 + 2kπ ⇒ y = −a − mina < 0 : za x = π/2 + 2kπ ⇒ y = a − min

za x = 3π/2 + 2kπ ⇒ y = −a − max

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ sin x ≤ 1 / · aa > 0 : −a ≤ a sin x ≤ aa < 0 : a ≥ a sin x ≥ −a

⇒ −|a| ≤ a sin x ≤ |a| − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosta > 0 : x ∈ (2kπ, π + 2kπ) ⇒ konkavna

x ∈ (π + 2kπ, 2π + 2kπ) ⇒ konveksnaa < 0 : x ∈ (2kπ, π + 2kπ) ⇒ konveksna

x ∈ (π + 2kπ, 2π + 2kπ) ⇒ konkavnaP (kπ, 0) − prevojne tacke

3.2 Crtanje grafika

Grafik funkcije y = a sinx dobija se na taj nacin sto se, polazeci od grafikafunkcije y = sin x svaka odinata pomnozi sa a.

Broj |a| naziva se amplituda funkcije y = a sin x i oznacava najvecu uda-ljenost grafika od x−ose.

5

a > 1

x

y

a

−a−a

π

2

1

π 2π3π

2

−1

y = a sin x

0 < a < 1

x

y

a

−aπ

2

1

π 2π3π

2

−1

y = a sin x

a < 0

x

y

a

−aπ

2

1

π 2π3π

2

−1

y = a sin x

4 Grafik funkcije y = sin(x + c)

4.1 Tok funkcije

1. Oblast definisanosti∀x ∈ R (∀x ∈ R ⇒ (x + c) ∈ R)

2. Periodicnost funkcijel = 2kπ, l1 = 2πsin(x + c + 2kπ) = sin(x + c)

3. Nule funkcijesin(x + c) = 0 ⇒ x + c = kπ, tj. x = kπ − c, (k ∈ Z)

4. Znak funkcije2kπ < x + c < (2k + 1)π, tj. 2kπ − c < x < (2k + 1)π − c ⇒ y > 0(2k+1)π < x+c < (2k+2)π, tj. (2k+1)π−c < x < (2k+2)π−c ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcije

Funkcija y = sin(x+c) ne mora biti ni parna ni neparna, samo za specijalnevrdenosti, tj. za c = kπ

2 , k ∈ Z, funkcija ce biti ili parna ili neparna.

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcije−π/2 + 2kπ < x + c < π/2 + 2kπx ∈ (−c − π/2 + 2kπ,−c + π/2 + 2kπ) ⇒ y ↑+1

−1

π/2 + 2kπ < x + c < 3π/2 + 2kπx ∈ (−c + π/2 + 2kπ,−c + 3π/2 + 2kπ) ⇒ y ↓+1

−1

6

7. Ekstremne vrednostisin(x + c) = 1 ⇒ x + c = π/2 + 2kπ,tj. za x = π/2 + 2kπ − c ⇒ y = 1 − max

sin(x + c) = −1 ⇒ x + c = 3π/2 + 2kπ,tj. za x = 3π/2 + 2kπ − c ⇒ y = −1 − min

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ sin(x + c) ≤ 1 − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = − sin(x + c)x ∈ (−c + 2kπ,−c + π + 2kπ) ⇒ konkavnax ∈ (−c + π + 2kπ,−c + 2π + 2kπ) ⇒ konveksnaP (−c + kπ, 0) − prevojne tacke

4.2 Crtanje grafika

Grafik funkcije y = sin(x+c) dobija se pomeranjem grafika funkcije y = sin x,i to:

- ulevo za duzinu c ako je c > 0, odn.

- udesno za duzinu c ako je c < 0.

c > 0

x

y

y = sin x

−c π − c π2π − c

2π

y = sin(x + c)

c < 0

x

y

y = sin x−c

π − cπ 2π − c2π

y = sin(x + c)

U specijalnom slucaju c = π/2 dobijamo funkciju y = sin(x + π/2) = cosx

x

y

y = sin x

−

π

2

π

2

π 3π

22π

y = sin(x + π

2) = cos x

Broj c (odn. −c) naziva se pomeranje faze i pokazuje velicinu i smer pome-ranja garfika funkcije y = sin(x+c) duz ose Ox. On predstavlja resenje jednacinex + c = 0.

7

Grafik ove funkcije moze se dobiti i tako sto se najpre nacrta grafik funkcijey = sin x, a zatim osa Oy translatorno pomeri duz ose Ox, i to, ako je c > 0 zac udesno, a ako je c < 0 za c ulevo.

c > 0

x

y

x

y

−c π − c 2π − c

y = sin(x + c)

0

c < 0

x

y

x

y

−c π − c 2π − c

y = sin(x + c)

0

5 Grafik funkcije y = sin bx

5.1 Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = 2kπ

b , l1 = 2πb

sin b(x + 2πb ) = sin(bx + 2π) = sin bx

3. Nule funkcijesin bx = 0 ⇒ bx = kπ, tj. x = kπ

b , (k ∈ Z)

4. Znak funkcije

2kπ < bx < (2k + 1)π, tj. 2kπb < x < (2k+1)π

b ⇒ y > 0

(2k + 1)π < bx < (2k + 2)π, tj. (2k+1)πb < x < (2k+2)π

b ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijesin b(−x) = − sin bx ⇒ neparna

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcije−π

2 + 2kπ < bx < π2 + 2kπ

x ∈ (− π2b + 2kπ

b , π2b + 2kπ

b ) ⇒ y ↑+1−1

π2 + 2kπ < bx < 3π

2 + 2kπ

x ∈ ( π2b + 2kπ

b , 3π2b + 2kπ

b ) ⇒ y ↓+1−1

7. Ekstremne vrednostisin bx = 1 ⇒ bx = π

2 + 2kπ,

tj. za x = π2b + 2kπ

b ⇒ y = 1 − max

sin bx = −1 ⇒ bx = 3π2 + 2kπ,

tj. za x = 3π2b + 2kπ

b ⇒ y = −1 − min

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ sin bx ≤ 1 − ogranicena

8

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = −b2 sin bxx ∈ (2kπ

b , πb + 2kπ

b ) ⇒ konkavna

x ∈ (πb + 2kπ

b , 2πb + 2kπ

b ) ⇒ konveksna

P (kπb , 0) − prevojne tacke

5.2 Crtanje grafika

Posto je funkcija y = sin bx periodicna, dovoljno je poznavati njen grafik naintervalu koji odgovara njegovom osnovnom periodu, tj. na intervalu [0, 2π

b ].Ovaj deo grafika naziva se talas funkcije , a broj 2π

b talasna duzina.Broj b pokazuje koliko ima talasnih duzina (tj. talasa) na odsecku duzine

2π i naziva se frekvencija (ucestalost) funkcije.Ukoliko je b > 1, grafik funkcije sin bx dobija se sazimanjem sinusoide y =

sin x, a ako je 0 < b < 1 razvlacenjem grafika te sinusoide.

x

y

y = sin 2x

y = sin x

1

−1

x

y

y = sin x

2

y = sin x

1

−1

6 Grafik funkcije y = a sin(bx + c)

(a 6= 0, b > 0, c 6= 0)

6.1 Tok funkcije



b , l1 = 2πb

a sin(bx + c + 2kπ) = a sin(b(x + 2kπb ) + c) = a sin(bx + c)

3. Nule funkcijesin(bx + c) = 0 ⇒ bx + c = kπ, tj. x = kπ

b − cb , (k ∈ Z)

4. Znak funkcijea > 0 : 2kπ < bx + c < (2k + 1)π, tj.

2kπb − c

b < x < (2k+1)πb − c

b ⇒ y > 0

(2k + 1)π < bx + c < (2k + 2)π, tj.(2k+1)π

b − cb < x < (2k+2)π

b − cb ⇒ y < 0

a < 0 : obrnuto


Funkcija ne mora biti ni parna ni neparna

9

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcijea > 0 : −π

2 + 2kπ ≤ bx + c ≤ π2 + 2kπ, tj.

x ∈ (− cb − π

2b + 2kπb ,− c

b + π2b + 2kπ

b ) ⇒ y ↑+a−a

a < 0 : π2 + 2kπ ≤ bx + c ≤ 3π

2 + 2kπ, tj.x ∈ (− c

b + π2b + 2kπ

b ,− cb + 3π

2b + 2kπb ) ⇒ y ↓+a

−a

7. Ekstremne vrednostia > 0 : a sin(bx + c) = a ⇒ bx + c = π

2 + 2kπtj. za x = − c

b + π2b + 2kπ

b ⇒ y = a − max

a sin(bx + c) = −a ⇒ bx + c = 3π2 + 2kπ,

tj. za x = − cb + 3π

2b + 2kπb ⇒ y = −a − min

a < 0 : obrnuto

Do ovih tacaka lako se moze doci i na osnovu monotonosti.

8. Ogranicenost funkcije−|a| ≤ a sin(bx + c) ≤ |a| − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosta > 0 : x ∈ (2kπ

b − cb ,

πb (2k + 1) − c

b ) ⇒ konkavna

x ∈ (πb (2k + 1) − c

b ,πb (2k + 2) − c

b ) ⇒ konveksna

a < 0 : x ∈ (2kπb − c

b ,πb (2k + 1) − c

b ) ⇒ konveksna

x ∈ (πb (2k + 1) − c

b ,πb (2k + 2) − c

b ) ⇒ konkavna

P (kπb − c

b , 0) prevojne tacke

6.2 Crtanje grafika

Na osnovu ispitanih svojstava funkcije y = a sin(bx + c) = a sin b(x + cb )

zakljucujemo da njen grafik mozemo konstruisati na sedeci nacin:

1. Nacrtamo grafik funkcije y = sin x

2. Nacrtamo grafik funkcije y = sin bx ciji je period 2πb

3. Pomerimo ovaj grafik za | cb | ulevo ako je cb > 0, a udesno ako je c

b < 0,cime dobijamo grafik funkcije

y = sin b(x +c

b) tj. y = sin(bx + c)

4. Ordinate ovog grafika pomnozimo sa a i tako dolazimo do grafika funkcijey = a sin(bx + c)

Ustvari do grafika ove slozene funkcije moze se doci na vise nacina, ali su svioni u osnovi vrlo slicni.

Ti nacini su:

10

1. sin x

2. a sin x

3. a sin bx

4. a sin(bx + c)

1. sinx

2. sin bx

3. a sin bx

4. a sin(bx + c)

Izraz bx+ c naziva se faza funkcije y = a sin(bx+ c). Vrednost faze za x = 0,tj. c naziva se pocetna faza . Broj | cb | (tj. c

b ) naziva se pomeranje faze. Onpredstavlja resenje jednacine bx + c = 0.ϕ = c

b − pomera grafik ulevo ako je cb > 0, a udesno ako je c

b < 0.Ako je b = 1 tada je pocetna faza c, a pomeranje faze −c.

Primer : Nacrtati grafik funkcije y = − 12 sin(2x + π

4 )

l = 2kπb = 2kπ

2 = kπ ϕ = cb = π/4

2 = π8

1. sinx

2. sin 2x

3. − 12 sin x

4. − 12 sin(2x + π

4 )

x

y

y = sin x

1

−1

π 2π

y = −

1

2sin(2x + π

4)

y = sin 2x

−

1

2sin 2x

7 Grafik funkcije y = sin(bx + c) + d

Grafik ove funkcije dobija se trenslatornim pomeranjem grafika funkcijey = a sin(bx + c) duz ose Oy za velicinu d i to:

- na gore ukoliko je d > 0

- na dole ako je d < 0.

11

Na taj nacin menjaju se: max, min, nule funkcije, znak funkcije i granice za y.

Npr. Grafik funkcije y = − 12 sin(2x + π

4 ) + 14 dobicemo pomeranjem grafika iz

prethodnog primera duz ose Oy na gore za 14 .

x

y

3π

8

7π

8

11π

8

y = −

1

2sin(2x + π

4) + 1

4

y = −

1

2sin(2x + π

4)

Primer 1: Ispitati tok funkcije y = −2 sin(12x+ π

6 ), a zatim nacrtati njen grafik.y = a sin(bx + c) :l = 2kπ

b = 2kπ1/2 = 4kπ, l1 = 4π

ϕ = cb = π/6

1/2 = π3

ϕ = π3

Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = 4kπ, l1 = 4π−2 sin(1

2 (x + 4kπ) + π6 ) = −2 sin(1

2x + 2kπ + π6 ) = −2 sin(1

2x + π6 )

3. Nule funkcijesin(1

2x + π6 ) = 0 ⇒ 1

2x + π6 = kπ

12x = kπ − π

6

x = kπ−π/61/2 = 2kπ − 2π

6 ⇒ za x = −π3 + 2kπ ⇒ y = 0

4. Znak funkcije2kπ < 1

2x + π6 < (2k + 1)π ⇒ y < 0

2kπ − π6 < 1

2x < 2kπ + π − π6

4kπ − π3 < x < 4kπ + 2π − π

3

4kπ − π3 < x < 4kπ + 5π

3

−π3 + 4kπ < x < 5π

3 + 4kπ ⇒ y < 05π3 + 4kπ < x < 11π

3 + 4kπ ⇒ y > 0

12

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = −2 sin(1

2 (−x) + π6 ) = −2 sin(− 1

2x + π6 ) =

= −2 sin(−(12x − π

6 )) = 2 sin(12x − π

6 )6= −f(x)6= f(x) ⇒ ni parna ni neparna

6. Rascenje i opadanje (monotonost) funkcije−π

2 + 2kπ < 12x + π

6 < π2 + 2kπ ⇒ y ↓+2

−2

−π2 − π

6 + 2kπ < 12x < π

2 − π6 + 2kπ

− 2π2 − π

3 + 4kπ < x < π − π3 + 4kπ

− 4π3 + 4kπ < x < 2π

3 + 4kπ

x ∈ (− 4π3 + 4kπ, 2π

3 + 4kπ) ⇒ y ↓+2−2

x ∈ (2π3 + 4kπ, 8π

3 + 4kπ) ⇒ y ↑+2−2

7. Ekstremne vrednostiza x = 2π

3 + 4kπ ⇒ y = −2 − min

za x = 8π3 + 4kπ ⇒ y = 2 − max

8. Ogranicenost funkcije−2 ≤ −2 sin(1

2x + π6 ) ≤ 2 − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = sin(1

2x + π6 )

x ∈ (−π3 + 4kπ, 5π

3 + 4kπ) ⇒ konveksnax ∈ (5π

3 + 4kπ, 11π3 + 4kπ) ⇒ konkavna

P (−π3 + 2kπ, 0) prevojne tacke

Crtanje grafika

1. sinx

2. 2 sinx

3. −2 sinx

4. −2 sin 12

5. −2 sin(12x + π

6 )

x

y

π 2π−

π

3

5π

6

4π 11π

3

sin x

−2 sin( 1

2x + π

6)

2 sin x−2 sin x

−2 sin 1

2x

13

Primer 2: Nacrtati grfik i ispitati tok funkcije y = 2 sin(2x − 5π3 ) − 1

y = a sin(bx + c) + dl = 2kπ

b = 2kπ2 = kπ, l1 = π

ϕ = cb = −5π/3

2 = − 5π6

Grafik funkcije

1. sin 2x

2. 2 sin 2x

3. 2 sin(2x − 5π3 )

4. 2 sin(2x − 5π3 ) − 1

x

y

π

2

3π

12

11π

12

π 15π

12

3π

2

2π

sin 2x

2 sin(2x −

5π

3) − 1

2 sin 2x

2 sin(2x −

5π

3)

14

Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = kπ, l1 = π2 sin(2(x + kπ) − 5π

3 ) − 1 = 2 sin(2x + 2kπ − 5π3 ) − 1 = 2 sin(2x − 5π

3 ) − 1

3. Nule funkcije0 = 2 sin(2x − 5π

3 ) − 1

1 = 2 sin(2x − 5π3 )

12 = sin(2x − 5π

3 )

I 2x − 5π3 = π

6

2x = π6 + 5π

3

2x = 11π6

za x1 = 11π12 + kπ ⇒ y = 0

II 2x − 5π3 = 5π

6

2x = 5π6 + 5π

3

2x = 15π6

za x2 = 15π12 + kπ ⇒ y = 0

4. Znak funkcije11π12 + kπ < x < 15π

12 + kπ ⇒ y > 03π12 + kπ < x < 11π

12 + kπ ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = 2 sin(2(−x) − 5π

3 ) − 1 = 2 sin(−2x − 5π3 ) − 1 =

= 2 sin(−(2x − 5π3 )) − 1 = −2 sin(2x + 5π


6. Monotonost funkcije

x ∈ (13π12 + kπ, 19π

12 + kπ) ⇒ y ↓+1−3

x ∈ (7π12 + kπ, 13π

2 + kπ) ⇒ y ↑+1−3

7. Ekstremne vrednostix = 13π

12 + kπ ⇒ y = 1 − max

x = 19π12 + kπ ⇒ y = −3 − min

8. Ogranicenost funkcije−3 ≤ y ≤ 1 − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = −8 sin(2x − 5π

3 )

x ∈ (3π12 + kπ, 11π

12 + kπ) ⇒ konveksna

x ∈ (11π12 + kπ, 15π

12 + kπ) ⇒ konkavna

P (3π12 + kπ

2 ) prvojne tacke

15

8 Grafik funkcije y = cos x

Posto je sin(x + π2 ) = cosx, grafik funkcije y = cosx dobija se pomeranjem

grafika y = sin x za π2 ulevo (ili pomeranjem ose Oy za π

2 udesno).Ovaj grafik predstavljen je krivom koja se naziva kosinusoida. Ona, kao i

sinusoida ima beskonacno mnogo talasa, koji su svi kongruentni prvom talasu,tj. talasu koji odgovara vrednostima x = [0, 2π].

x

y

−2π −π−

3π

2

0−

π

2

ππ

22π3π

23π5π

2

7π

2

1

−1

sin x

kosinusoida

8.1 Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = 2kπ, l1 = 2πcos(x + 2kπ) = cosx

3. Nule funkcijeza x = π

2 + kπ ⇒ y = 0, k = 0,±1,±2, . . .

4. Znak funkcijeπ2 + 2kπ < x < 3π

2 + 2kπ ⇒ y < 0−π

2 + 2kπ < x < π2 + 2kπ ⇒ y > 0

5. Parnost i neparnost funkcijecos(−x) = cosx - parna (grafik je simetrican u odnosu na y−osu)

6. Monotonost funkcijey′ = − sinxx ∈ (0 + 2kπ, π + 2kπ) y′ < 0 ⇒ y ↓+1

−1

x ∈ (π + 2kπ, 2π + 2kπ) y′ > 0 ⇒ y ↑+1−1

7. Ekstremne vrednostiza x = 2kπ ⇒ y = 1 - maxza x = π + 2kπ ⇒ y = −1 - min

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ cosx ≤ 1 - ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = − cosx

16

x ∈ (−π2 + 2kπ, π

2 + 2kπ) y′′ < 0 ⇒ konkava

x ∈ (π2 + 2kπ, 3π

2 + 2kπ) y′′ > 0 ⇒ konveksna

P (−π2 + kπ, 0) − prevojne tacke

9 Grafik funkcije y = a cos(bx + c)(a 6= 0, b > 0, c 6= 0)

Ispitivanje funkcije y = a cos(bx + c) i crtanje njenog grafika moze se svestina ispitivanje funkcije y = a sin(bx + c) i crtanje njenog grafika pri cemu je

c′ = c +π

2, jer je

a cos(bx + c) = a sin(bx + c +π

2)

Medutim, ovu funkciju mozemo ispitati i direktno slicnim postupkom kao ikod funkcije y = a sin(bx + c).

9.1 Crtanje grafika

Crtanje grafika funkcije y = a cos(bx + c) vrsi se na isti nacin kao kody = a sin(bx + c).

1. y = cosx

2. y = cos bx − period je 2π6

3. y = a cos bx − mnozenjem ordinate sa a

4. y = a cos(bx + c) − pomeranjem za cb :

- ulevo ako je cb > 0

- udesno ako je cb < 0

Primer 3: Ispitati tok funkcije y = − cos(x + π3 ) i nacrtati njen grafik.

Tok funkcije


2. Periodicnost funkcijel = 2kπ, l1 = 2π− cos(x + 2kπ + π

3 ) = − cos(x + π3 )

3. Nule funkcije− cos(x + π

3 ) = 0cos(x + π

3 ) = 0 ⇒ x + π3 = π

2 ⇒ x = π2 − π

3 , tj. x = π6 + kπ

17

4. Znak funkcije−π

2 + 2kπ < x + π3 < π

2 + 2kπ, tj.

−π2 + 2kπ − π

3 < x < π2 + 2kπ − π

3

− 5π6 + 2kπ < x < π

6 + 2kπ ⇒ y < 0π6 + 2kπ < x < 7π

6 + 2kπ ⇒ y > 0

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = − cos(−x + π

3 ) = − cos(−(−x − π3 )) =

= − cos(x − π3 )

6= −f(x)6= f(x) ⇒ ni parna ni neparna

6. Monotonost funkcije2kπ < x + π

3 < (2k + 1)π, tj.2kπ − π

3 < x < (2k + 1)π − π3

2kπ − π3 < x < 2kπ + 2π

3

x ∈ (−π3 + 2kπ, 2π

3 + 2kπ) ⇒ y ↑+1−1

x ∈ (2π3 + 2kπ, 5π

3 + 2kπ) ⇒ y ↓+1−1

7. Ekstremne vrednostiza x = 2π

3 + 2kπ ⇒ y = 1 − maxza x = 5π

3 + 2kπ ⇒ y = −1 − min

8. Ogranicenost funkcije−1 ≤ y ≤ 1; − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = cos(x + π

3 )

x ∈ (π6 + 2kπ, 7π

6 + 2kπ) ⇒ konkavna

x ∈ (7π6 + 2kπ, 17π

6 + 2kπ) ⇒ konveksna

P (π6 + kπ, 0) − prevojne tacke

Crtanje grafika

1. y = cosx

2. y = cos(x + π3 )

3. y = − cos(x + π3 )

x

y

−2π −π−

3π

2

0−

π

2

ππ

22π3π

23π5π

2

7π

2

1

−1

− cos(x + π

3)

cos xcos(x + π

3)

18

Primer 4: Nacrtati grafik i ispitati tok funkcije y = 12 cos(2x − π

4 )

Crtanje grafikaϕ = c

b = −π8

1. y = cos 2x

2. y = 12 cos 2x

3. y = 12 cos(2x − π

4 )

x

y

π

4

3π

4

0

−

π

2

ππ

22π3π

2

1

−1

1

2cos2x

cos 2x1

2cos(2x −

π

4)

Tok funkcije



b = 2kπ2 = kp, l1 = π

12 cos(2(x + kπ) − π

4 ) = 12 cos(2x + 2kπ − π

4 ) = 12 cos(2x − π

4 )

3. Nule funkcijeza x = 3π

8 + kπ2 ⇒ y = 0


8 + kπ < x < 3π8 + kπ ⇒ y > 0

3π8 + kπ < x < 7π

8 + kπ ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = 1

2 cos(−2x − π4 ) = 1

2 cos(−(2x + π4 )) =

= 12 cos(2x + π


6. Monotonost funkcije

x ∈ (π8 + kπ, 5π

8 + kπ) ⇒ y ↓+ 1

2

− 1

2

x ∈ (5π8 + kπ, 8π

8 + kπ) ⇒ y ↑+ 1

2

− 1

2

19

7. Ekstremne vrednostiza x = π

8 + kπ ⇒ y = 12 − max

za x = 5π8 + kπ ⇒ y = − 1

2 − min

8. Ogranicenost funkcije− 1

2 ≤ y ≤ 12 ; − ogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = −2 cos(2x − π

4 )x ∈ (3π

8 + kπ, 7π8 + kπ) ⇒ konveksna

x ∈ (7π8 + kπ, 11π


P (3π8 + kπ

2 ) prevojne tacke

10 Grafik funkcije y = tg x

Posto je funkcija y = tg x periodicna, sa osnovnim periodom π, dovoljnoje da konstruisemo njen grafik za vrednosti x od −π

2 do π2 pa da ga potom

translatorno pomerimo za duzinu perioda duz ose Ox.Isto kao kod funkcije y = sin x, konstruisemo na osi Ox krug poluprecnika

r = 1 i podelimo desni polukrug na izvestan broj jednakih delova. Na isto tolikojednakih delova podelimo i odsecak ose Ox od −π

2 do π2 . Na taj nacin, svakoj

tacki kruga odgovara po jedna tacka odsecka ose Ox.

x

y

A0

O B4

π

2

B1 B3B2

π

4B8

−π

2

B5B7B6

−π

4

A1T1

A2

T2A3

T3

A5 T5

A6T6

A7

T7

A4

A8

M1

M2

M3

M5

M6

M7

y = tg x

20

U tacki A0 povucemo tangentu kruga. Centar kruga i tacke kruznice A1,A2,. . . , An odreduju na tangenti odsecke cije algebarske vrednosti predstavljajuvrednosti tangensa odgovarajuceg ugla (odredeni su tackama T0, T1,. . . , Tn).

Sve tacke trazenog grafika dobijajau se u preseku normala podignutih utackama B0, B1,. . . , Bn i pravih koje prolaze kroz tacke T0, T1,. . . , Tn paralelneosi Ox. Spajanjem ovih tacaka dobijamo krivu koja predstavlja tok funkcijey = tg x za −π

2 < x < π2 .

Vrednostima x = π2 i x = π

2 ne odgovara odredena vrednost funkcije jer zax = ±π

2 funkcija tg x nije definisana (radijus vektori OA4 i OA8 su paralelnitangenti A0T ). Ostali deo grafika dobija se pomeranjem ove krive za π, 2π,. . . ,−π, −2π ulevo ili udesno. Kriva koja pokazuje tok funkcije y = tg x naziva setangensoida.

U tackama x = π2 + kπ (k ∈ Z) grafik se prekida i zato se ove tacke zovu

tacke prekida. Prave paralelne osi Oy konstruisane u ovim tackama ne pripadajutangensoidi i nazivaju se asimptote. Njima se lukovi tangensoide beskonacnopriblizavaju, ali ih nikad ne dodiruju.

x

y

−

3π

2

−π −

π

2O π

2

π 3π

2

10.1 Tok funkcije

1. Oblast definisanostix ∈ (−π

2 + kπ, π2 + kπ) za k ∈ Z

2. Periodicnost funkcijel = kπ, l1 = πtg(x + π) = tg x

3. Nule funkcijeza x = kπ ⇒ y = 0

4. Znak funkcijekπ < x < π

2 + kπ ⇒ y > 0π2 + kπ < x < (k + 1)π ⇒ y < 0


tg(−x) = sin(−x)cos(−x) = − sin x

cos x = − sin xcos x = − tg x − neparna

6. Monotonost funkcijey′ = 1

cos2 x

x ∈ (−π2 + kπ, π

2 + kπ) ⇒ y′ > 0 ⇒ y ↑+∞−∞ − rastuca funkcija

21

7. Ekstremne vrednosti− nema ih

8. Ogranicenost funkcije−∞ ≤ tg x ≤ +∞; − neogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = 2 sin x

cos3 xx ∈ (−π

2 + kπ, kπ) ⇒ y′′ < 0 ⇒ −konkavnax ∈ (kπ, π

2 + kπ) ⇒ y′′ > 0 ⇒ −konveksnaP (0 + kπ, 0) − prevojne tacke

10. Asimptote

limx→π

2+ε

tan x = limε→0

sin(π/2 + ε)

cos(π/2 + ε)= lim

ε→0

cos ε

− sin ε= − lim

ε→0

cos ε

sin ε= −∞

limx→π

2−ε

tanx = limε→0

sin(π/2 − ε)

cos(π/2 − ε)= lim

ε→0

cos ε

sin ε= lim

ε→0

cos ε

sin ε= ∞

Prave x = π2 +kπ su vertikalne asimptote. Horizontalnih i kosih asimptota

nema.

11 Grafik funkcije y = tg x + c

Grafik ove funkcije dobija se tako sto se tangensoida y = tg x translatornopomeri za c udesno, ako je c < 0, odnosno ulevo, ako je c > 0.

Isto tako veoma se lako moze konstruisati grafik funkcije y = − tg x, imajuciu vidu da su tacke (x,− tg x) simetricne tackama (x, tg x) u odnosu na osu Ox.

x

y

y = 3 tg x

y = tg x

12 Grafik funkcije y = a tg x

(a 6= 0)

a > 0 : Funkcija y = a tg x ima ista osnovna svojstva kao i funkcija y = tg x.Grafik ove funkcije dobijamo tako sto ordinate grafika funkcije y = tg xpomnozimo brojem a.

22

a < 0 : Definisanost, periodicnost i nule funkcije y = a tg x ostaju iste kao kodfunkcije y = tg x, ali su znak i tok suprotni, tj. :−π

2 + kπ < x < kπ ⇒ y > 0kπ < x < π

2 + kπ ⇒ y < 0

x ∈ (−π2 + kπ, π

2 + kπ) ⇒ y ↓+∞−∞

Primeri :

a > 0

x

y

y = 3 tg x

y = tg x

a < 0

x

y

y = −

1

2tg x

y = tg x

13 Grafik funkcije y = tg bx

(b > 0)

13.1 Tok funkcuje

1. Oblast definisanosti−π

2 + kπ < bx < π2 + kπ ⇒ − π

2b + kπ < x < π2b + kπ

b (k ∈ Z)bx 6= π

2 + kπ ⇒ x 6= π2b + kπ

2. Periodicnost funkcijel = kπ

b , l1 = πb

tg bx = tg(bx + π) = tg b(x + πb )

3. Nule funkcijetg bx = 0 ⇒ bx = kπ, tj. x = kπ

b (k ∈ Z)

4. Znak funkcijekπ < bx < π

2 + kπ, tj. kπb < x < π

2b + kπb ⇒ y > 0

−π2 + kπ < bx < kπ, tj. − π

2b + kπb < x < kπ

b ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijetg(−bx) = − tg bx − neparna

6. Monotonost funkcijex ∈ (− π

2b + kπb , π

2b + kπb ) ⇒ y ↑+∞

−∞ − rastuca funkcija


8. Ogranicenost funkcije−∞ ≤ tg bx ≤ +∞ − neogranicena

23

9. Konveksnost i konkavnostx ∈ (− π

2b + kπb , kπ

b ) ⇒ konkavna

x ∈ (kπb , π

2b + kπb ) ⇒ konveksna

P (kπb , 0) − prevojne tacke

10. AsimptotePrave x = π

2b + kπb su vertikalne asimptote.

Primer : Nacrtati grafik funkcije y = tg 2x

l = kπb = kπ

2 = 12kπ

x

y

y = tg 2x

−

π

4O π

4

π

2

14 Grafik funkcije y = a tg bx

a > 0 : Funkcija ima ista osnovna svojstva kao i funkcija y = tg bx. Grafik sedobija mnozenjem ordinate grafika funkcije y = tg bx brojem a.

a < 0 : Menjaju se samo znak i tok funkcije (suprotni su), tj. :− π

2b + kπb < x < kπ

b ⇒ y > 0kπb < x < π

2b ⇒ y < 0

x ∈ (− π2b + kπ, π

2b + kπb ) ⇒ y ↓+∞

−∞

Primer 5: Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije y = −2 tg 34x

1. Oblast definisanostix 6= 4π

6 + 4kπ3

x 6= 2π3 + 4kπ

3

2. Periodicnost funkcijel = 4

3kπ, l1 = 43π

−2 tg 34 (x + 4

3kπ) = −2 tg(34x + kπ) = −2 tg 3

4x

3. Nule funkcijetg 3

4x = 0 ⇒ 34x = kπ, tj. x = 4kπ

3 ⇒ y = 0

24


2 + kπ < 34x < kπ, tj. − 2π

3 + 43kπ < x < 4

3kπ ⇒ y > 0kπ < 3

4x < π2 + kπ, tj. 4

3kπ < x < 2π3 + 4

3kπ ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = −2 tg 3

4 (−x) = −2 tg(− 34x) = +2 tg 3

4 = −f(x) − neparna

6. Monotonost funkcijex ∈ (− 2π

3 + 4kπ3 , 2π

3 + 4kπ3 ) ⇒ y ↓+∞

−∞ − opadajuca funkcija


8. Ogranicenost funkcije−∞ ≤ y ≤ +∞ − neogranicena

9. Konveksnost i konkavnostx ∈ (− 2π

3 + 4kπ3 , 4kπ

3 ) ⇒ konveksna

x ∈ (4kπ3 , 2π

3 + 4kπ3 ) ⇒ konkavna

P (4kπ3 , 0) prevojne tacke

10. AsimptotePrave x = 2π

3 + 4kπ3 su vertikalne asimptote.

Grafik

x

y

y = −2 tg 3

4x

−

2π

3

2π

3

15 Grafik funkcije y = ctg x

Znajuci da je ctg x = − tg(x + π2 ), grafik funkcije y = ctg x lako se kon-

struise pomocu tangensoide. Kriva kojom je predstavljen ovaj grafik naziva sekotangensoida.

25

x

y

−

3π

2

−π

−

π

2

O

π

2

π

3π

2

−2π 2π

15.1 Tok funkcije

1. Oblast definisanostix 6= kπ, k ∈ Z

2. Periodicnost funkcijel = kπ, l1 = πctg(x + kπ) = ctg x

3. Nule funkcijeza x = π

2 + kπ ⇒ y = 0

4. Znak funkcijekπ < x < π

2 + kπ ⇒ y > 0π2 + kπ < x < (k + 1)π ⇒ y < 0


ctg(−x) = cos(−x)sin(−x) = cos(x)

− sin(x) = − cos xsin x = − ctg x − neparna

6. Monotonost funkcijey′ = − 1

sin2 x

x ∈ (kπ, π + kπ) ⇒ y′ < 0 ⇒ y ↓+∞−∞ − opadajuca funkcija


8. Ogranicenost funkcije−∞ ≤ ctg x ≤ +∞ − neogranicena

9. Konveksnost i konkavnosty′′ = 2 cos x

sin3 x

x ∈ (kπ, π2 + kπ) ⇒ y′′ > 0 ⇒ y konveksna

x ∈ (π2 + kπ, π + kπ) ⇒ y′′ < 0 ⇒ y konkavna

Funkcije oblika: ctg(x+c), a ctg x, ctg bx, a ctg bx ispituju se i njihovi graficicrtaju na isti nacin kao funkcije tg(x + c), a tg x, tg bx, a tg bx.

26

Primer 6: Nacrtati grafik i ispitati tok funkcije y = 12 ctg(x − π

3 )

Crtanje grafika

1. ctg x

2. ctg(x − π3 )

3. 12 ctg(x − π

3 )

x

y

π

35π

6

4π

3

Tok funkcije

1. Oblast definisanostix 6= π

3 + kπ, k ∈ Z

2. Periodicnost funkcijel = kπ, l1 = π12 ctg(x + kπ − π

3 ) = 12 ctg(x − π

3 )

3. Nule funkcijeza x = 5π

6 + kπ ⇒ y = 0

4. Znak funkcijeπ3 + kπ < x < 5π

6 + kπ ⇒ y > 05π6 + kπ < x < 4π

3 + kπ ⇒ y < 0

5. Parnost i neparnost funkcijef(−x) = 1

2 ctg(−x − π3 ) = 1

2 ctg(−(x + π3 )) =

= − 12 ctg(x + π

3 )6= f(x)6= −f(x)

−ni parna ni neparna

6. Monotonost funkcijex ∈ (π

3 + kπ, 4π3 + kπ) ⇒ y ↓+∞

−∞ − opadajuca funkcija


27

8. Ogranicenost funkcije−∞ ≤ y ≤ +∞ − neogranicena

9. Konvesnost i konkavnostx ∈ (π

3 + kπ, 5π6 , +kπ) ⇒ konveksna

x ∈ (5π6 + kπ, 4π


10. AsimptotePrave x = π

3 + kπ su vertikalne asimptote.

16 Znacaj i primene trigonometrijskih funkcija

Znacaj trigonometrijskih funkcija je veliki jer imaju primenu u mnogimdrugim naukama: elektronici, fizici, mehanici i mnogim drugim.

U fizici, najveci znacaj imaju za proucavanje prostih i slozenih harmonijskihoscilacija. Proste harmonijske oscilacije odvijaju se po sinusnom zakonu.

Po ovom zakonu menjaju se:

1. jacina naizmenicne struje u koluJ = J0 sin(ωt + ϕ0)

2. napon naizmenicne struje koju indukuje magnetno poljeu = u0 sin(ωt + ϕ0)

3. ugaono rastojanje matematickog klatna od njegovog ravnoteznog polozajaϕ = ϕ0 sin t

√

gl

4. elongacija tela pri mehanickim oscilacijama

x = x0 sin(ωt + ϕ0)v = v0 cosωt ilia = −a0 sinωt

x = −x0 cos(ωt + ϕ0)v = v0 sin ωta = −a0 cosωt

Pimer 1: Na slici je prikazan prostoperiodicni napon na krajevima otpornikacija je otpornost R = 5Ω.

a) Nacrtati odgovarajuci dijagram struje

b) Kolike su odgovarajuce vrednosti elektricnog napona i struje?

00.05 0.1

0.15

10

−10

t[s]

u[v]

28

a) u0 = 10V, T = 0.15J0 = u0

R = 10V5 = 2A gde je u0 maksimalna vrednost napona, a J0 maksi-

malna jacina struje

00.05 0.1

0.15

2

−2

t[s]

J [A]

b) uef = u0√2

= 10V1.41 = 7.07V

Jef = J0√2

= 2A1.41 = 1.42A

Primer 2: Na slici je prikazan grafik harmonijskog kretanja nekog tela.

a) Napisati njegovu jednacinu

b) Nacrtati grafi ke brzine i ubrzanja ovog tela

00.1

0.2

2

−2

t[s]

X[cm]

a) Ovo je kosinusna kriva, pa jex = x0 cosωtx = x0 cos 2π

T t

x = 0.02m · cos(10π rads t)

b) brzina ovog tela jev = −v0 sin ωtv = −x0ω sin ωtv = −x0

2πT sin 2π

T t

v = −0.628ms sin(10π rad

s t)dok je ubrzanjea = −a0 cosωta = −x0ω

2 cosωta = −x0(

2πT )2 cos 2π

T t

a = −19.72ms cos(10π rad

s t)

29

0 0.1 0.2 0.3

0.628

−0.628

t[s]

v[m

s]

0 0.10.2

19.72

−19.72

t[s]

a[ m

s2 ]

0.3

30

Sadrzaj

1 Trigonometrijske funkcije ostrog ugla 1

2 Grafik funkcije y = sin x 22.1 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Pomocu tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Pomocu trigonometrijskog kruga . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Grafik funkcije y = a sin x (a 6= 0) 43.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Grafik funkcije y = sin(x + c) 64.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Grafik funkcije y = sin bx 85.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Grafik funkcije y = a sin(bx + c)(a 6= 0, b > 0, c 6= 0) 96.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Grafik funkcije y = sin(bx + c) + d 11

8 Grafik funkcije y = cosx 168.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9 Grafik funkcije y = a cos(bx + c)(a 6= 0, b > 0, c 6= 0) 179.1 Crtanje grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10 Grafik funkcije y = tg x 2010.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11 Grafik funkcije y = tg x + c 22

12 Grafik funkcije y = a tg x(a 6= 0) 22

13 Grafik funkcije y = tg bx(b > 0) 2313.1 Tok funkcuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

14 Grafik funkcije y = a tg bx 24

15 Grafik funkcije y = ctg x 2515.1 Tok funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

31

16 Znacaj i primene trigonometrijskih funkcija 28

32

Literatura

[1] JOVAN KECKIC, Matematika sa zbirkom zadataka sa III razred srednjegobrazovanja i vaspitanja, Naucna knjiga, Beograd 1989.

[2] VLADISLAV MILOSEVIC, MIODRAG IVOVIC, Zbirka resenih zadatakaiz matematike za III razred gimnazije prirodno-matematickog smera (sazadacima za takmicenje i prijemne ispite na fakultetima), Prosveta, Beograd

[3] Dr VOJIN DAJOVIC, Matematika za IV razred gimnazije prirodno-matematickog smera, Zavod za izdavanje udzbenika, Beograd 1964.

[4] Dr DUSAN ADNADEVIC, Dr ZORAN KADELBURG, Matematicka anal-iza I,

[5] VENE BOGOSLAVOV, Zbirka resenih zadataka iz matematike 2,

[6] Dr ERNEST STIPANIC, Matematika za treci razred usmerenog obrazovanjaprirodno-tehnicke i hidro-meteroloske i geodetske struke

33

grafici trigonometrijskih funkcija

Documents