2-hedef programlama(2sunu)

7/27/2019 2-Hedef Programlama(2Sunu)

1/13

1

Seluk niversitesi

Mhendislik Mimarlk Fakltesi - Endstri Mhendislii Blm

HazrlayanYrd. Do. Dr. smail Karaolan

YNEYLEM ARATIRMASI-2-Hedef Programlama-

Giri

Bugne kadar anlatlan btn DP modellerinde tek bir amazerinde duruldu. Yani ama fonksiyonundaki btn karardeikenleri llebilen ayn birime sahipti.

Baz durumlarda ayn birime evrilemeyen birok ama

birlikte isteniyor olabilir.Bu tip problemlerin zmnde 1972 ylnda LEE veIGNIZOnun gelitirdii ama (hedef) programlamayaklam kullanlmaktadr.

Ama programlama, belirli kararlar erevesinde farkl veelien amalarn en iyilenmesini ayn anda salayanmatematiksel bir yntemdir.

Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan 2/25


2/13

2

Giri

Verilen herhangi bir problemin formlasyonunda mmkn olduukadar salanmas gereken ve geici olabilmekle birlikte kesin olarakbelirlenen ihtiyaca hedefdenir.

Greli nem derecesine gre arlklandrlan birok hedeften negatif,pozitif veya her iki yndeki sapmalar e zamanl olarak minimize etmeyiamalayan ok amal dorusal programlama zm tekniine hedefprogramlama denir.

Hedef programlama iin iki durum incelenecektir;

1. nceliksiz Hedef Programlama (non-preemptive goal

programming)2. ncelikli Hedef Programlama (preemptive goal programming)


nceliksiz Hedef Programlama

Her bir amacn bir birine yakn nemde olmas (yani nceliin sz konusuolmad) durumunda kullanlan ama programlama yaklamdr.DPde olduu gibi ama kst denklemi 3 ekilde karmza kabilir;

= 1

= 2

= = 3

1. kstta biyi aan her bir birimin cezasnn 3,2. kstta binin altnda kalan her bir birimin cezasnn 5,3. kstta ise biyi aan her bir birimin cezasnn 2, binin altnda kalan her birbirimin cezasnn ise 4 olduunu varsayalm.Hedef programlamada bu hedeflerin tamamn ayn anda karlayabilmek ouzaman mmkn olamamaktadr.Bunun yerine ynetimin amalarna mmkn olduunca yaklalmayaallmaktadr.



3/13

3


rneimizde, farkl ama fonksiyonunu, istenensnrlardan sapmalar en kklenecek ekildeaadaki gibi tek bir ama fonksiyonunadntrlebilir.

Burada : hedeften pozitif ynl sapma

= 0, : hedeften negatif ynl sapma

= 0,

Seluk niv. Mh. Fak. End. Mh. Bl.Dr. smail Karaolan

i i i if x b f x b f x b f x b

MinZ1 2 3 3

3 5 2 4

5/25


Ama fonksiyonunun dorusal olmayan yapsndan dolay hedefprogramlama modelini dorusallatrmak gerekmektedir.Bu nedenle her bir ama fonksiyonu iin yardmc karardeikeni tanmlanr.

=

1 =

2

=

3

1. kst iin pozitifyndeki sapmay ifade eden , 2. kst iin

negatifyndeki sapmay ifade eden , 3. kst iin ise her iki

yndeki sapmalar ifade eden ve

ama fonksiyonunda yeralacaktr. Bu deikenler amatan sapmalar gsterir.



4/13

4


Dnm ilemlerinden sonramatematiksel model yandaki gibiolacaktr.Bu dnmden sonra ok amalmatematiksel model uygun bir dorusalprogramlama modeli zcs (simpleksyntemi gibi) ile zlerek optimal sonuelde edilebilir.


i

i

i

k k

d d d d

ST f x d d b

f x d d b

f x d d b

d d k

1 2 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 5 2 4

0, 0 1,2,3

MinZ

dier model kstlar

dier iaret kstlar

Orijinal Ama Kst

Denklemi

Ama Programlama

Gsterimi

En kklenecek Sapma

Deikeni

+

=

= ,

ZET

7/25

nceliksiz Hedef ProgramlamaRNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)

Bir otomobil firmas yeni rettii bir model iin televizyonda reklam yaynlamayplanlamaktadr. Otomobil firmasnn reklam irketine bildirdii hedefler:

1. Reklam en az 40 milyon yksek gelirli izlemelidir.(YG hedefi)2. Reklam en az 60 milyon orta gelirli izlemelidir.(OG hedefi)3. Reklam en az 35 milyon dk gelirli izlemelidir.(DG hedefi)

Reklam irketi futbol ma veya sinema arasnda olmak zere iki reklam kuandikkate alacaktr. Otomobil irketinin reklam btesi ise en fazla 600 birimdir.Dier bilgiler ise aadaki gibidir. Bu verilere gre ve yukardaki hedefidikkate alacak ekilde reklam plan nasl olacaktr.


zleyici Says (milyon kii/dakika) Maliyet(birim/dakika)YG OG DG

Futbol 7 10 5 100

Sinema 3 5 4 60

Hedef (milyon kii) 40 60 35

Hedeften Saplan Her 1 Milyon zleyici iin Kayp 200 100 50

8/25


5/13

5


Karar Deikenleri: Futbol arasnda yaynlanacak reklam sresi (dakika)

: Sinema arasnda yaynlanacak reklam sresi (dakika)

Sapma Deikenleri

: i. hedeften pozitif sapma miktar (i=1,2,3)

: i. hedeften negatif sapma miktar (i=1,2,3)



Futbol 7 10 5 100

Sinema 3 5 4 60



9/25

Optimal zm

Matematiksel Model



j

i i

d d d

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x

x j

d d i

1 2 3

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2

200 100 50

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,3

MinZ Ama Fonksiyonu

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kst

aret Kst

aret Ks t

Z

x x

d d

d d d d

1 2

1 3

1 2 2 3

250

6, 0

2, 5

0


Futbol 7 10 5 100

Sinema 3 5 4 60



10/25


6/13

6


= 5 sonucu 3 numaral amatan 5 birimlik sapma olduuanlamna gelmektedir.

SORU: Bte ne kadar arttrlrsa btn hedefler salanm olur?


Optimal zm

Matematiksel Model

j

i i

d d d d

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x d d

x j

d d i

1 2 3 4

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 4 4

200 100 50 0.1

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,3,4

MinZ AF

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kstaret Kst

aret Kst

Z

x x

d d

d d

d d d d

1 2

1 4

2 3

1 2 3 4

3.33

4.33, 3.33

0.33, 33.33

0

0

11/25

ncelikli Hedef Programlama

nceliksiz Hedef Programlama ama fonksiyonlarnn ayncinsten (maliyet, uzaklk vb.) tanmlanabildii durumlar iinkullanlabilecek bir yntemdir.Ancak, ama fonksiyonlar ayn birimden olmad ya dabirbirleri arasnda bir ncelik olduu durumda hepsini dorudantek bir fonksiyon ierisine alp zm aramak anlamsz olacaktr.Bu durumda ama fonksiyonlarn kendi ierisinde sralayp,srasyla zm elde etme (ncelikli Hedef Programlama) yolunagidilmektedir.zm iin yntem bulunmaktadr.

Arlklandrma Yntemi: Amalara nceliine gre arlk verip tek bir ama fonksiyonu gibi zmek.

Hedef Programlama Simpleks Yntemi: Simpleks ynteminin hedefprogramlanma iin uyarlanmas.

Ardk zm: Ama fonksiyonlarnn nceliklerine gre teker tekerzlp bir sonraki aamada kst olarak tanmlanmas.



7/13

7

ncelikli Hedef ProgramlamaArlklandrma Yntemi

RNEK UYGULAMABir otomotiv yan sanayi firmas retiminde kullanmak zere drt cinsmakina ve tehizatn almn planlanmakta olup bunun iin toplam 3500birim denek ayrmtr. Gerekli bilgiler aadaki tabloda verilmitir. Buproje ile ilgili hedefler ncelik srasna gre aada verilmitir:

1. Toplam etkinliin en az 80 puan olmas.2. Yllk toplam bakm ve iletme giderinin mmkn olduu kadar 70 birimi

amamas.3. Torna tezgah ihtiyacnn mmkn olduu kadar tam karlanmas.4. Dier makina ve tehizat ihtiyalarnn ise ihtiya miktarndan az olmayacak

ekilde karlanmas.

Buna gre ncelikli hedef programlama modelini oluturunuz.


Tehizat

Cinsi

Birim

Maliyet

Bakm-letme

Giderleri

Etkinlik

Puan

htiya

(adet)Torna Tezgah 600 4 6 5

Freze Tezgah 250 3 4 5

Kumpas 150 2 5 10

Rntgen Cihaz 40 1 3 20

13/25


Karar Deikenleri:: satn alnacak i. tezgah miktar (i=1,2,3,4)

:j. hedeften negatif ynl sapma miktar (j=1,,6)

:j. hedeften pozitif ynl sapma miktar (j=1,,6)


TehizatCinsi

BirimMaliyet

Bakm-letmeGiderleri

EtkinlikPuan

htiya(adet)

Torna Tezgah 600 4 6 5

Freze Tezgah 250 3 4 5

Kumpas 150 2 5 10

Rntgen Cihaz 40 1 3 20

14/25


8/13

8



Matematiksel Model

2

2

Min Z P d P d P d P d P d P d P d

S .T . x x x x

x x x x d d

x x x x d d

x d d

x d d

x d d

x d d

x ,x ,x ,x ,tmsd ,

1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 4 6

1 3 4

1 3 4 1 1

1 2 3 4 2 2

1 3 3

2 4 4

3 5 5

4 6 6

1 2 3 4

1

600 250 150 40 3500

6 4 5 3 80

4 3 2 70

5

5

10

20

0

d ,d ,d ,d ,d

d ,d ,d ,d ,d ,d

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

Optimal zm

x

x

x

x

d

d

d

d

d

d d

d d

d d

d

1

2

3

4

1

2

3

4

5

2 3

4 5

6 1

6

4

0

2

20

14

30

1

5

8

0

0

0

0

15/25

ncelikli Hedef ProgramlamaHedef Programlama Simpleks Yntemi

ncelikli hedef programlama problemleri aada simpleksmetodundan farkllklar belirtilen ve simpleks metodunun biruzants olan hedef programlama simpleksi ile zlebilir.

Algoritma

1. Normal simpleks tablosunda sadece bir ama satr var iken, mhedef bulunan bir hedef programlama simpleks tablosunda herhedef iin bir ama satr olmak zere toplam m adet ama satrvardr. Her ama fonksiyonu ilgili hedefteki istenmeyen yndekisapmadan doan cezay (maliyeti) temsil etmektedir. Buna greherhangi bir i hedefinin ama fonksiyonu deerinin sfrdan bykolmas > , i hedefinde istenmeyen ynde bir sapmaolduunu gsterir. deeri sfra yaklatka hedefe yaklalmaktaolup, = ise ihedefi elde edilmi demektir.



9/13

9


Algoritma (devam)2. Hedef programlama probleminde giren deiken aada akland

ekilde belirlenir.a) Henz elde edilmemi en ncelikli hedef bulunur. Baka bir ifade ile > olan

en ncelikli ihedefi bulunur.b) i hedefinin ama satrnda katsays en pozitif olan deiken giren deiken

olarak seilir. Ancak bu hedeften daha ncelikli bir hedefin ama satrndaki ayndeikenin katsays negatif ise o deiken temele giremez. Bu durumda birsonraki ama satrna (i+1 hedefine) geilir ve i+1 hedefine yaklalmaya allr.

3. Herhangi bir satr ilemi yapldnda bu ilem mutlaka her hedefinama satrna uygulanr.

4. Eer btn hedefler elde edilmi ise ( = = = = ise), veya

elde edilmemi her ihedefi iin, temele girebilecek ve deeriniazaltabilecek btn deikenler i'den daha ncelikli bir hedefteki sapmayartryorsa optimal zm elde edilmi demektir.



RNEK UYGULAMA(REKLAM RKET

PROBLEM)Reklam irketi

rneindeki hedeflerinncelikleri sras ile (YG)hedefi, (OG) hedefi ve(DG) hedefi olarak kabuledilirse, bu probleminncelikli hedefprogramlama modeliyandaki ekilde olur.


Matematiksel Model

ji i

d

d

d

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x

x j

d d i

MinZ YG Amac

MinZ OG Amac

MinZ DG Amac

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kst

aret Kst

1 1

2 2

3 3

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2, aret Kst3

18/25


10/13

10

Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

Z2 2 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

Z3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

? 4 0 7 3 -1 0 0 1 0 0 0 40

? 5 0 10 5 0 -1 0 0 1 0 0 60

? 6 0 5 4 0 0 -1 0 0 1 0 35

s4 7 0 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600

0



Z X1 X2 d1+ d2

+ d3+ d1

- d2- d3

- s4

EnKk

Oran Testi

ter.No.

TD D.NoKatsaylar

STD

RNEK UYGULAMA (REKLAM RKET PROBLEM)

19/25

Z1 1 1 7 3 -1 0 0 0 0 0 0 40

Z2 2 1 10 5 0 -1 0 0 0 0 0 60

Z3 3 1 5 4 0 0 -1 0 0 0 0 35

d1- 4 0 7 3 -1 0 0 1 0 0 0 40 5 5/7

d2- 5 0 10 5 0 -1 0 0 1 0 0 60 6

d3- 6 0 5 4 0 0 -1 0 0 1 0 35 7

s4 7 0 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600 6

0

Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

Z2 2 1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 - 1/10 -0

Z3 3 1 0 1 0 0 -1 0 0 0 - 1/20 5

X1 4 0 1 3/5 0 0 0 0 0 0 1/100 6

d2- 5 0 0 -1 0 -1 0 0 1 0 - 1/10 -0

d3- 6 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 - 1/20 5

d1+ 7 0 0 1 1/ 5 1 0 0 -1 0 0 7 /10 0 2

2

Z1 1 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

Z2 2 1 0 5/7 1 3/7 -1 0 -1 3/7 0 0 0 2 6/7

Z3 3 1 0 1 6/7 5/7 0 -1 - 5/7 0 0 0 6 3/7

X1 4 0 1 3/7 - 1/7 0 0 1/7 0 0 0 5 5/7 ---

d2-

5 0 0 5/7 1 3/7 -1 0 -1 3/7 1 0 0 2 6/7 2d3

- 6 0 0 1 6/7 5/7 0 -1 - 5/7 0 1 0 6 3/7 9

s4 7 0 0 17 1/7 14 2/7 0 0 -14 2/7 0 0 1 28 4/7 2

1



Z X1 X2 d1+ d2

+ d3+ d1

- d2- d3

- s4

EnKk

Oran Testi

ter.No.

TD D.NoKatsaylar

STD


Optimal zm

Z Z ,Z ,x ,x ,d d d d ,d ,d1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 30 5 6 0 0 2 5

20/25


11/13

11

ncelikli Hedef ProgramlamaArdk zm

Hedef programlama simpleks yntemi ile benzerlik gsteren bir yaklamdr.Matematiksel modelin tek seferde zlmesi yerine her bir kst iin teker tekerzlp kst olarak eklenmesi mantna dayanmaktadr.

AlgoritmaAdm 1:Hedef ama fonksiyonlar, nceliklerine gre bykten ke sralanr.Adm 2:zm yaplmam ncelii en bykolan hedefin ama fonksiyonu

modelin ama fonksiyonu olarak alnr ve optimal zm bulunur.Adm 3:Btn ama fonksiyonlar zlmse ilem durdurulur. Bu durumda en

son ncelikli hedefin optimal zm, ncelikli hedef programlamaprobleminin optimal zmdr. Eer zlmemi ama fonksiyonu varsa

Adm 4e gidilir.

Adm 4:zlen ama fonksiyonu, bulunan optimal ama fonksiyonu deerine eitolacak ekilde alnarak modele kst olarakeklenir veAdm 2ye gidilir.


Balang Kstlar


RNEK UYGULAMA(REKLAM RKET

PROBLEM)Reklam irketi

rneindeki hedeflerinncelikleri sras ile (YG)hedefi, (OG) hedefi ve(DG) hedefi olarak kabuledildii durum iinproblemi ardkzmleme yntemi ilezn.


ncelik Srasnda Ama Fonksiyonlar

j

i i

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x

x j

d d i

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kst

aret Kst

aret Kst

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,3

d

d

d

MinZ YG Amac

MinZ OG Amac

MinZ DG Amac

1 1

2 2

3 3

22/25


12/13

12

Balang Kstlar


Birinci Hedef:Bu modelin optimalzm ile =

= elde edilmektedir. Yani 1.hedef salanmtr. 1.hedefi bozmadan 2.hedefi elde etmek iin

= kst modeleeklenerek 2. hedefinistenmeyen yndekisapmas (

deikeni)

minimize edilir.


j

i i

d

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x

x j

d d i

MinZ YG Amac

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kst

aret Kst

aret Kst

1 1

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,3


23/25

Balang Kstlar


kinci Hedef:Bu modelin optimalzm ile =

= elde edilmektedir. Yani 2.hedef salanmtr. 2.

hedefi bozmadan 3.hedefi elde etmek iin

= kst modeleeklenerek 3. hedefinistenmeyen yndekisapmas (

deikeni)minimize edilir.


j

i i

d

ST x x d d

x x d d

x x d dx x

x j

d i

d

d

MinZ OG Amac

YG Kst

OG Kst

DG KstBte Kst

aret Kst

aret Kst

2 2

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2

1

7 3 40

10 5 60

5 4 35100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,3

0


24/25


13/13

Optimal zm

Balang Kstlar



j

i i

d

ST x x d d

x x d d

x x d d

x x

x j

d d i

d

d

MinZ DG Amac

YG Kst

OG Kst

DG Kst

Bte Kst

aret Kst

aret Kst

3 3

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2

1

1

2

3 3

2

7 3 40

10 5 60

5 4 35

100 60 600

0 1,2

0, 0 1,2,

0

3

0


Z Z ,Z ,x ,x ,d d d d ,d ,d1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 30 5 6 0 0 2 5

nc Hedef:Bu modelgerekletirilmesigereken son hedefi ifadeettiine gre, bu modelinoptimal zm aynzamanda ncelikli hedefprogramlamamodelinin optimal

zmdr.

25/25

2-hedef programlama(2sunu)

Documents