DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

CAPÍTULO 2

LA DERIVADA Y LA RECTA TANGENTE

• Recta tangente a un punto P: pendiente en punto P

• Recta secante: pendiente recta secante pasa por P y otro punto

DERIVADA: INTERPRETACIÓN

• Taza de cambio o razón de cambio promedio: de la función f en elintervalo entre x0 y x0 + x.

• Derivada: de una función f (x) viene dada por:

Esto siempre y cuando exista el límite.

• El valor de la derivada es una función de x, y se indica mediante cualquierade las siguientes notaciones:

• Diferenciabilidad: una función f (x) es diferenciable en un punto x0 si laderivada de la función existe en dicho punto.

REGLAS DE DERIVACIÓN

• FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE DERIVACIÓN:– Derivada de una función constante:

– Derivada de la función identidad:

– Derivada de una constante por una función:

– Regla de la suma:

– Regla de la diferencia:

– Regla del producto:

– Regla del cociente

– Regla de potencias

• FUNCIONES COMPUESTAS Y REGLA DE LA CADENA:Funciones compuestas: función interna g(x) y función externa f (g(x)).

Regla de la cadena: la derivada de la función f o g es el producto de la derivada de la

función externa f ( evaluada en g(x)) y la derivada de la función interna (evaluada en x).

Fórmulación alternativa de la regla de la cadena: sea u= g(x) y= f(u). Entonces la función

compuesta de f o g es: y= f(u) = f(g(x)), se aplica la fórmula:

• FUNCIONES INVERSAS:Dos funciones tales que: g(f(x)) = x y f(g(y))=y, se dice son inversas. Estas funciones

invierten el efecto de la otra.

Dada una ecuación cualquier y = f(x), se puede halalr una fórmula para la inversa de f

despejando x en la ecuación en términos de y.

Derivada de una función inversa:

• DERIVADAS SUPERIORES:Si y = f(x) es diferenciable:

y‘ se denomina primera derivada de f.

Si y’ es diferenciable:

y‘’ se denomina segunda derivada de f

Si y’’ es diferenciable:

y’’’ se denomina tercera derivada