espectro de una funcion

INDICE.-

INTRODUCCIÓN

OBJETIVO

ESPECTRO DE FRECUENCIA

ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA

EJEMPLO 1 (ESPECTRO DE FRECUENCIA)

EJEMPLO 2 (ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA)

Espectro de fase Representaci´on frecuencia-fase

Espectro de amplitud Representaci´on frecuencia-amplitud

Espectro de Frecuencia

Ejemplo: la onda cuadrada

1 Ortiz Fuentes Luis Matematicas IV

INTRODUCCIÓN

El objeto de este trabajo es el de acercar los conceptos de procesamiento de señales y sus aplicaciones a estudiantes de áreas diversas, no necesariamente de ingeniería, física o matemáticas. Por ello, se ha procurado huir de un excesivo formalismo matemático y centrar las explicaciones en los conceptos. Se ha dividido esta conferencia en tres partes.

La primera muestra los conceptos básicos de procesamiento de señales. Principalmente la definición de señal y sus tipos, la noción de espectro y transformada de Fourier, así como el muestreo y el concepto de sistema.

La segunda parte aborda un repaso de los distintos métodos matemáticos que se utilizan en esta disciplina desde un punto de vista descriptivo, para hacer llegar al alumno la necesidad de los mismos.

OBJETIVO

Estas trabajo está desarrollado especialmente para la materia de MATEMATICAS IV .Han sido concebidas como materia de estudio para un primer curso de análisis de Fourier.Se estudian los siguientes temas: ESPECTROS DE FRECUENCIA de la series de Fourier. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritmética de una serie de Fourier. Comportamiento de las series de Fourier.

El objetivo fundamental del curso es motivar a los participantes hacia el estudio del análisis armónico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los tópicos que ya han estudiado, tanto para comprender resultados clásicos, como para resolver problemas sencillos.


ESPECTRO DE FRECUENCIA

En el estudio de las señales periódicas de tiempo, los ingenieros eléctricos consideran de mucha utilidad el análisis espectral de diversas formas de onda. Si f es periódica y tiene un periodo fundamental T, la gráfica de los puntos (nѡ, |Cn|), donde Ѡ es la frecuencia angular fundamental y los Cn son los coeficientes definidos en (8), se llama espectro de frecuencia de f.

Cn=1

2 p∫−p

p

f ( t ) e−¿π t /pdt, n = 0, ± 1, ±2,…… (Ecu. 0)

ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA

Se caracteriza por la distribución de amplitudes para cada frecuencia de un fenómeno ondulatorio (sonoro, luminoso o electromagnético) que sea superposición de onda de varias frecuencias.Al expresar una función periódica f (t) mediante su expansión en serie dc Fourier estamos descomponiendo a la función en sus componentes armónicas o de frecuencia. Hemos visto que si f (t) tiene periodo T entonces tiene componentes de frecuencia a las frecuencias.

Ѡ (t )=n2πT

=nѠ0

+(n=1 ,2 ,2 ,………) (Ecu. 1)

Donde Ѡo es la frecuencia de la función padre f (t). (Aquí todas las frecuencias son medidas en rads-ᶦ).Por tanto, una serie de Fourier puede ser interpretada como el espectro de frecuencias de la función periódica f (t), y proporciona una representación alternativa de la función en su forma de onda en el dominio de tiempo. Este espectro de frecuencia se representa dibujando las gráficas de las amplitudes y las fases de las diversas componentes armónicas contra la frecuencia angular Ѡn .Un dibujo de la amplitud contra la frecuencia angular se denomina espectro de amplitud mientras que la gráfica de fase contra frecuencia angular se conoce como espectro de fase.Para una función periódica f (t) de periodo T las componentes armónicas sólo aparecen en frecuencias discretas Ѡn, que están determinadas por (Ecu. 1), así que estos espectros se conocen como espectros de frecuencias discretas o espectros de línea. Un ejemplo del uso de una representación de un espectro discreto de una función periódica es en la medición de la distorsión en amplificadores. Donde el contenido armónico de la salida. Medido digitalmente, en una entrada senoidal que proporciona una medida de la distorsión. Si la expansión en serie de Fourier de una función periódica f (t) de periodo T se obtuvo en la forma trigonométrica

f ( t )=12a0+∑

n=1

∞

(an cosn2πtT

+bn senn2πtT )

Entonces, esto puede expresarse en términos de sus distintas componentes armónicas como

f ( t )=A0+∑n=1

∞

An sen( n2πtT

+фn) (Ecu. 2)

Donde


A0=12a0 , A0=

−anAn

√(an ²+bn ²)

Y las están determinadas por

senф n= bnAn,cosфn= an

An

Figura 1.Espectro de frecuencia discreta real

Figura 2.Forma compleja del espectro de

amplitud

En este caso el dibujo frecuencia angular constituirá el espectro de amplitud y el de фn contra Ѡn el espectro de fase. Estos pueden Incorporarse en la misma gráfica al indicar las diversas fases en el espectro de amplitud como se ilustra en la figura 1. Puede verse el espectro de amplitud consiste de una serie de rectas verticales equidistantes cuyas longitudes son proporcionales a las amplitudes de las diversas componentes armónicas que integran a la función f (t) es claro que la forma trigonométrica de la serie de Fourier en general no conduce al trazo del espectro de frecuencia discreto y primero tienen que determinarse las amplitudes an y las fases фn a partir los valores de an y bn y previamente determinados. Al trabajar en análisis de señales en litás común usar la forma compleja de la serie de Fourier. Para una función periódica f (t) de periodo T. ésta está dada por los complejos dados por

Cn = |Cn| eᶨᶲⁿ (n = 0, ± 1, ±2,…………….)

Donde |Cn| y фn denotan la magnitud y el argumento de Cn respectivamente. Como en general Cn es una cantidad compleja, necesitamos dos espectros de línea para determinar el espectro de frecuencia discreto: el espectro dc amplitud es el trazo de |Cn| contra Ѡn y el espectro de fase aquel de фn contra Ѡn en los casos Cn, es real se puede usar un solo espectro para representar la función f (t).Como c-n=c*n=|Cn| el espectro de amplitud será simétrico con respecto al eje vertical esta ilustrado con la fig. 2. Se observa que la forma compleja del espectro de frecuencia discreto tenernos componentes de frecuencia discretos 0Ѡ± Ѡb± 2Ѡb ±3Ѡb…………….. ; esto es, están involucradas ambas discretas positivas y negativas. Es claro que las señales con frecuencias negativas no son viables físicamente. Y han sido introducidas por razones matemáticas. En la frecuencia nѠo, tenemos la componente e ᶨⁿᵚᵒᵗ que ella misma no es una señal física; para obtener una señal física debemos considerar ésta junto con la


componente correspondiente e⁻ᶨⁿᵚᵒᵗ a la frecuencia -nѠo, ya que entonces tenemos

e ᶨⁿᵚᵒᵗ + e⁻ᶨⁿᵚᵒᵗ = 2 cos nѠot (Ecu. 3)

EJEMPLO 1 (Espectro de Frecuencia)

Encuentre el espectro de frecuencia de la onda cuadrada periódica, o pulso periódico, ilustrada en la figura O. La onda es la extensión periódica de la función :

0 ,−12<t<−1

4

f (t )=1 ,− 14<t< 1

4

0 ,14<t<1

2

Figura 0.Pulso periódico

Solución:Aquí T=1=2p, por lo que P=1/2. Como f es 0 en los intervalos (-1/2, 1/4), y (1/4, 1/2), la (Ecu 0) se convierte en

Cn= ∫−1 /2

1/2

f ( t ) e2∈π tdt= ∫−1 /4

1/4

1∗e2∈π tdt

Cn=e2∈π t

2∈π¿−1 /4

1/4 =

1nπ

∗e¿ π /2

2i∗e−¿π /2

2 i

Esto es,

Cn=1nπsen

n π2

(por 2)

Puesto que el ultimo resultado no es válido en n=0 , calculamos en forma separada:

C0= ∫−1 /4

1/4

dx=12


La tabla siguiente muestra algunos de los valores de |Cn| , y la fig. 0(a) describe

El espectro de frecuencia de f .puesto que la frecuencia fundamental es Ѡ= 2π /T en la escala horizontal las unidades nѡ son ± 2π ± 4 π ±6 π …………….. A la fig 0(a) se le añadió una curva en línea descontinua con el fin de enfatizar la presencia de valores iguales a cero |Cn| para el caso en que n sea un entero par diferente de cero.

Figura 0.a.Espectros de frecuencia discreta de f

EJEMPLO 2 (Espectro de Frecuencia discreta)

Dibuje los espectros de amplitud y fase de la función periódica

f ( t )=2 tT

(0<t<2T ) , f ( t+2T )=f (t)

En este ejemplo considere ambas formas compleja y real. Considere también que los coeficientes complejos fueron determinados como:

c0=2 , c0=j2n π

(n=0 ,±1 ,±2 , ±3 ,…….)

Así:

;

En la figura 3(a) y (b) se muestran los espectros de amplitud y fase correspondientes.


Figura 3.Espectros de frecuencia discreta para el ejemplo 1, con Ѡo =π /T: (a) espectro de amplitud; (b) espectro de fase

Figura 4.Espectros de frecuencia real discreta (correspondiente a la expansión senoidal).

Donde los coeficientes se

calcularon de la forma trigonométrica de la expansión en serie de Fourier de f (t) y son

a0 =4, an =0, bn=-4/nπDe manera que la amplitud de los coeficientes en (Ecu. 1) son:

A0 =2, An =4/nπ (n=1, 2, 3,…………)

llegando al espectro de frecuencia real discreto de la figura 4. Como |Cn| = ½√(an ²+bn ²) las líneas del espectro de amplitud en la forma compleja (fig.3) son, como se esperaba, la mitad de la amplitud relativa de aquellas en la representación real (fig. 4), la otra mitad del valor se asigna a las frecuencias negativas correspondientes.

En la representación compleja las fases a frecuencias negativas (fig. 3b) son las negativas de las correspondientes frecuencias positivas. En nuestra representación particular (Ecu. 2) de la forma real las fases de las frecuencias positivas difieren en ½π entre la forma real y la compleja. De nuevo, esto no es sorprendente, ya que de (Ecu. 3) vimos que combinando frecuencias positivas y negativas en la forma compleja llegamos a una cosenoide en esa frecuencia en lugar de una senoide. Para mantener la igualdad de las fases en frecuencias positivas entre las representaciones real y compleja, una expansión cosenoidal.

f ( t )=A0+∑n=1

∞

An cos (фn+ nπtT ) (Ecu. 4)


De la serie de Fourier real, se adopta frecuentemente como alternativa de la expansión en serie senoidal (Ecu. 2). Tomando (Ecu. 4), el espectro de amplitud quedará como para (Ecu. 2), pero el espectro de fase determinado por

senф n=−bnAn

,cosфn=−anAn


fase

amplitud

Espectro de Frecuencia.-Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda s(t) es ω,

uńicamente se requieren los valores de

amplitud y fase de cada uno de los parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores se llama

espectro.

{(A1 , Φ1 ), (A2 , Φ2 ), (A3 , Φ3 ), . . . }

• Espectro de amplitud Representación frecuencia-amplitud.

A1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

# armónico

• Espectro de fase Representación frecuencia-fase.

Φ1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

# armónico


1 2 3t

4 5 6

1 2 3 4 5 6t

Ejemplo: la onda cuadrada

La onda cuadrada de periodo 2π es la funcio´n definida por

1, si 0 ≤ t < π;s(t) =

−1, si π ≤ t < 2π; extendida con periodo 2π.

1,0

0,5

0

0,5

1,0

Los coeficientes de Fourier de esta funcio´n son

bn =01

Z

− sin nt dt + Z

an = 0

πsin nt dt

=

4 , si n es impar;πn

π −π 0 0, si n es par.

La suma de los primeros 8 parciales es

1,0

0,5

0

0,5

1,0


1 2 3 4 5 6t

1 2 3 4 5 6t

1 2 3 4 5 6t

La suma de los primers 60 parciales es

1,0

0,5

0

0,5

1,0

La suma de los primeros 200 parciales es

1,0

0,5

0

0,5

1,0

Todos los parciales tienen fase 0. Si desfasamos el parcial n = 5 en

a5 = b5 i b5 = 0, obtenemos:

π, es decir, en la serie trigonom´etrica,2

1,0

0,5

0

0,5

1,0


BIBLIOGRAFÍA

ANALISIS DE FOURIEREscrito por Hwei d. HSU

MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIAEscrito por Glyn James,David Burley segunda edición

MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIAEscrito por Dennis G. Zill tercera edición, volumen uno


espectro de una funcion

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